UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA

FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

INECUACIONES

Curso : Matemática I

Profesor : Lic. Danilo Atoche García.

Integrantes :

Seminario Beltrán Edwin.

Ruesta Rivera Joseliana.

Silva Ancajima Emilio Pierre.

Maza Grau Juan Alberto.

Rodríguez Rodríguez Royer.

Zapata Sánchez Heidy.

López Sandoval Kevin Arnold.

Mijahuanga Castillo Carlos.

-2012-

3

EJERCICIOS

1. Si a y b son números positivos desiguales, demostrar que: 2 2a b

a bb a

0a

0b

0a b

2

0a b

2

( ) 0a b a b

3 2 2 3 0a a b ab b

3 3 2 2a b a b ab Dividimos entre ab

2 2a ba b

b a

2 2a ba b

b a L.Q.Q.D

2. Si a , b y c son números positivos distintos, demostrar que:

2 2 2 23a b c a b c

0a

0b

2

0a b 2 2 2a b ab

2

0b c 2 2 2b c bc

2

0a c 2 2 2a c ac

Sumamos: 2 2 22 2 2 2 2 2a b c ab bc ac

Sumamos 2 2 2a b c a ambos miembros

2 2 2 2 2 23 3 3 2 2 2a b c a b c ab bc ac

Factorizando: 22 2 23( )a b c a b c

Por lo tanto: 2 2 2 23a b c a b c L.Q.Q.D

4

3. Si a y b son números positivos distintos, demostrar que:

2

3 3 2 2a b a b a b

0a

0b

0a b

0ab

2

0a b

2 2 2a b ab

Multiplicamos por ab

2 2 2 22ab a b a b

Sumamos 4 4a b

4 2 2 4 2 2 4 42a ab a b b a b a b

2

4 3 3 4 2 2a a b ab b a b

Agrupamos para factorizar: 2

3 3 2 2a a b b a b a b

2

3 3 2 2a b a b a b LQQD

4. Si a y b son números positivos distintos, demostrar que: 4 4 3 3a b a b ab

Como a b pueden ocurrir dos casos:

I. a b entonces 0a b

3 3a b 3 3 0a b

Multiplicamos 3 3 0a b a b ^

4 3 3 4 0a a b ab b

4 4 3 3a b a b ab L.Q.Q.D

II. a b entonces 0a b

3 3a b 3 3 0a b

Multiplicamos 3 3 0a b a b

4 3 3 4 0a a b ab b

4 4 3 3a b a b ab L.Q.Q.D

5

5. Si x y y son números positivos distintos, demostrar que:

2

4 4 2 2 3 3x y x y x y

2

2 2

2

0 00

0 0

x xx y

y y

2

0x y

2 2 2x y xy

Multiplicamos por 2 2x y : 2 2 2 2 3 32x y x y x y

4 2 2 4 3 32x y x y x y

Sumamos 6 6x y :

6 4 2 2 4 6 6 3 3 62x x y x y y x x y y

Factorizamos por agrupación de términos:

2

2 4 4 2 4 4 3 3x x y y x y x y

2

4 4 2 2 3 3x y x y x y L.Q.Q.D

6. Si x , y , z son números positivos distintos, demostrar que:

6xy x y yz y z zx z x xyz

2 2 20 2x y x y xy Multiplicamos a ambos miembros z

2 2 2z x y xyz

2 2 20 2x z x z xz Multiplicamos a ambos miembros y

2 2 2y x z xyz

2 2 20 2y z y z yz Multiplicamos a ambos miembros x

2 2 2x y z xyz

Luego sumamos 2 2 2z x y xyz 2 2 2y x z xyz 2 2 2x y z xyz

Obtendremos:

2 2 2 2 2 2 6z x y y x z x y z xyz

2 2 2 2 2 2 6x z y z x y yz xy xz xyz Luego agrupamos términos.

2 2 2 2 2 2 6x z y z x y yz xy xz xyz

6xy x y xz x z yz y z xyz L.Q.Q.D

6

7. Determinar los valores de x para los cuales: 3 21x x x

Transponemos 2x y x al primer miembro: 3 21 0x x x

Factorizamos el primer miembro por el método de Ruffini.

-1

1

1

-1

-1

-1

2

1

-1

-2 1 0

21 2 1 0x x x

2

1 1 0x x

1 0 ; 1x x

1x

-1 1

( ) : 1, 1CS x

8. Si a ,b , c , d son números positivos distintos. Si se tiene a c

b d , demostrar

que: a a c c

b b d d

a c

ad bcb d Súmanos a ambos miembros ab

a b d b b d

(1)a a c

b b d

ad bc Súmanos a ambos miembros cd

ad cd bc cd

d a c c b d

(2)a c c

b d d

7

De (1) y (2) se tiene: a a c a c c

b b d b d d

Por lo tanto:

a a c c

b b d d

L.Q.Q.D

9. Si a ,b , c , x , y , z , son números positivos distintos tales que

2 2 2 2 2 21 1a b c x y z , demostrar que: 1ax by cz

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

1

1

2

a b c

x y z

a x b y c z

Restamos a ambos miembros

2 2 2ax by cz

2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2a ax x b by y c cz z ax by cz

2 2 2

2 1a x b y c z ax by cz

Si 2 2 2

0a x b y c z Por consiguiente:

1 0ax by cz

1 ax by cz L.Q.Q.D

10. Si a ,b , c , x , y , z , son números positivos distintos. Demostrar que:

22 2 2 2 2 2a b c x y z ax by cz

0, 0, 0, 0, 0, 0a b c x y z

0, 0, 0, 0, 0, 0ay bx az cx bz cy

2 2 2 2 20 2ay bx a y b x axby

2 2 2 2 20 2az cx a z c x axcz

2 2 2 2 20 2bz cy b z c y bycz

Sumamos: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a y b x a z c x b z c y axby axcz bycz

Sumamos a ambos miembros: 2 2 2 2 2 2a x b y c z

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2a y b x a z c x b z c y a x b y c z axby axcz bycz a x b y c z

Agrupamos, para factorizar:

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a x y z b x y z c x y z ax by cz

8

22 2 2 2 2 2a b c x y z ax by cz L.Q.Q.D

11. Si a ,b , c son números positivos distintos. Demostrar que: 3 3 3 3a b c abc

0a b c

2 2 20 2 0a b a b ab

2 2 20 2 0a c a c ac

2 2 20 2 0b c b c bc

Sumamos: 2 2 22 2 2 2 2 2 0a b c ab ac bc 2 2 2 0a b c ab ac bc

2 2 2 0a b c a b c ab ac bc

3 3 3 3 0a b c abc

3 3 3 3a b c abc

12. Resolver:

a) 3 2

31

x

x

3 23 0

1

x

x

3 2 3 30

1

x x

x

50

1x

1 0x

1x

-1

. : 1,C S x

9

b) 2 11 28 0x x

7 4 0x x

Puntos críticos: 4,7

4 7

-+ +-

. : 4,7C S x

c) 3

2 5

x

x

30

2 5

x

x

2 5 60

2( 5)

x x

x

6 10 ; 5

2 5

x xx

x

6 1 5 0 ; 5x x x x

Puntos críticos: -1, 5, 6

-1 5 6

+ +- - +

. : 1,5 6,C S x

d) 4 27 12 0x x x

2 24 3 0x x x

2 2 3 3 0x x x x x

Puntos críticos: 0, -2, 2, 3, 3

10

-2 0 2

+- - +

3

+

3

-

. : 2, 3 0, 3 2,C S x

e)

2

2

3 20

3 2

x x

x x

1 20

1 2

x x

x x

1 2 1 2 0x x x x

Puntos críticos: 1, 2, -1, -2

-1 2

+ +- - +

-2 1

+

. ( ) : , 2 1,1 2,C S x

f) 2 10 16

101

x x

x

2 10x x 16 10x 100

1x

2 260

1

x

x

20 4 1 26

20 104

104 Entonces 2 26 0;x x R

1 0x

1x

1

. 1,C S x

11

g) 7 5

48 3

x

x

7 54 0

8 3

x

x

7 5 4 8 30

8 3

x x

x

7 5 32 120

8 3

x x

x

25 170

8 3

x

x

25 17 8 3 0x x

25 17 8 3 0x x

Puntos críticos: 17 3,25 8

-+ +-17

25 3

8

17 3. : ,25 8

C S x

h)

1 21

3 4

x x

x x

1 21 0

3 4

x x

x x

1 2 3 40

3 4

x x x x

x x

2x 23 2x x

7 12

03 4

x

x x

4 10

03 4

x

x x

4 10 3 4 0 ; 3, 4x x x x x

Los puntos críticos son: 5

, 3, 42

12

5/2 3 4

+ +- - +

. : 5 2,3 4,C S x

i) 2

2

2 6 31

5 4

x x

x x

2

2

2 6 31 0

5 4

x x

x x

2 2

2

2 6 3 5 40

5 4

x x x x

x x

2 2

2

2 6 3 5 40

5 4

x x x x

x x

2 10

4 1

x x

x x

4x y 1x .

Para hallar los valores críticos de: 2 1x x utilizamos la formula general

para resolver ecuaciones. Luego los puntos críticos son: 1 5

2

y

1 5

2

además 4x y 1x .

1 4

+ ++ - - ++

1 5

2

1 5

2

1 5 1 5

. : , 1, 4,2 2

C S x

j) 2 2 3

2 4 1

x x

x x

2 2 30

2 4 1

x x

x x

2 4 1 2 3 20

2 4 1

x x x x

x x

13

2 5 40

2 4 1

x x

x x

2x 1 4x

1 40

2 4 1

x x

x x

Los puntos críticos son: 1, 4, -2, 1/4

-2 11/4 4

+ +- - ++

1. : , 2 ,1 4,4

C S x

13. Resolver:

a) 1

11x

11 0

1x

1 10

1

x

x

1 1

01

x

x

2

01

x

x

2 1 0x x

1x

2 1 0x x

1x

Los puntos críticos son: 1, 2

21

-+ +-

. : 1,2C S x

14

b) 2

03 5x

3 5 0x

5

3x

5

3

5

. : ,3

C S x

c) 4

4xx

44 0x

x

2 4 40

x x

x

0x

2

20

x

x

2x y 0x

0x

0

. : 0, 2C S x

d) 2 3

21 2

x x

x x

2 2 2 3

1 2

x x x

x x

2 2 2 30

1 2

x x x

x x

2 1 30

1 2

x x x x

x x

15

2 22 4 30

1 2

x x x x

x x

2 22 4 30

1 2

x x x x

x x

2 3

01 2

x

x x

2x y 1x

2 3 1 2 0x x x

Los puntos críticos son: 3

,1, 22

1 3/2 2

+ +- - +

3. : 1, 2,2

C S x

e) 4 5 6 6x x

4 5 6 6 0x x

2 9 20 12 0x x

2 9 8 0x x

8 1 0x x

Los puntos críticos son: -8, -1

-1-8

+-+

. : , 8 1,C S x

16

f) 2

3xx

2 23

x

x

2 23 0

x

x

2 3 20 ,

x x

x

2 10

x x

x

2 1 0 ,x x x

0x

Los puntos críticos son: 0, -1, -2

0

+ +- - +

-1-2

. : 2, 1 0,C S x

g) 2

10 1

5 2

x

x

2

10 10

5 2

x

x

2

2

2 20 50

2 5

x x

x

2

2

2 250

2 5

x x

x

Encontramos el discriminante de: 2 2 25x x

2

2 4 1 25

96

Como el discriminante es negativo, significa que:

2 2 25 0 ,x x x R

Y como también 25 0 ,x x R

. ( ) : ,C S x

17

h) 1 1

21

x x

x x

1 12 0

1

x x

x x

2( 1) 2 (1 ) (1 )0

(1 )

x x x x x

x x

2 2 22 2 (1 2 )0

(1 )

x x x x x x

x x

2 2 22 2 1 20

(1 )

x x x x x x

x x

22 10

(1 )

x x

x x

(2 1) 10 , 0, 1

( 1)

x xx x

x x

Los puntos críticos son:1

2, -1, 0,1

-1 1/2 1

+ +- - ++

0

1

. ( ) : , 1 0, 1,2

C S x

14. Demostrar la validez de las siguientes desigualdades:

a) 3

13 4

d c

c d , donde 0d , 0c , 2 3d c

Si 0d 1 0d

Si 0c 1 0c

1 10 0cd dc

3 20 0

2 3

c d

d c

3 20 0

2 3

c d

d c

18

2

3 20

2 3

c d

d c

3 22

2 3

c d

d c Dividimos entre 2

31

4 3

c d

d c

31

3 4

d c

c d L.Q.Q.D

b) 2

2

96x

x

, donde 0x

4

2

96 0

x

x

4

2

9 60

x x

x

2

2

2

30

x

x

22 3

0 ; 0x

xx

c) 2yx

y x , si 0x , 0y , x y

0 0x x

0 0y y

0xy

2

0x y

2x y xy

Dividimos entre xy

2x y

xy xy

2yx

y x

L.Q.Q.D

19

d) 3 5

25 3

a b

b a , si 0a , 0b , 3 5a b

0 3 0a a

0 5 0b b

0 15 0ab ab

2

3 5 0a b

2 29 25 30a b ab entre 15ab

3 52

5 3

a b

b a

L.Q.Q.D

e) Para cualquier número reales a , b , c , d : 2 2 2 2 2ab cd a c b d

2

0 ad bc

2 2 2 20 2a d abcd b c

2 2 2 22abcd a d b c sumamos 2 2a b y 2 2c d a ambos miembros

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22a b abcd c d a d b c a b c d factorizando

2 2 2 2 2 2 2ab cd a d b c b d

2 2 2 2 2ab cd d b a c L.Q.Q.D

15. Resolver:

a) 1 2 3

1 3 2x x x

3 2 1 3

3 1 2

x x

x x x

3 2 1 30

3 1 2

x x

x x x

2 3 5 3 1 30

1 3 2

x x x x

x x x

23x 25 6 10 3x x x

9 3 9

01 3 2

x x

x x x

1

01 3 2

x

x x x

20

1 3 2 1 0x x x x

Los puntos críticos son: -1, -3, -2, 1

-3 -2 -1 1

- - +++

. : 3, 2 1,1C S x

b) 6 3 7

01 1 2x x x

6 1 2 3 1 2 7 1 10

1 1 2

x x x x x x

x x x

2 2 26 3 2 3 2 7 10

1 1 2

x x x x x

x x x

24 15 250

1 1 2

x x

x x x

4 5 50

1 1 2

x x

x x x

Los puntos críticos son: 5

, 5, 1, 1, 24

++ +

1

-

-2 -1

-

5

4

-

5

5. : 2, 1,1 5,

4C S

c) 2 2

2

2 7 5 6 5

x x

x x x x

2 2

20

2 7 5 6 5

x x

x x x x

2

02 5 1 5 1

x x

x x x x

2 5 2 50

2 5 5 1

x x x x

x x x

21

5

02 5 5 1

x

x x x

5

5 2 5 5 1 0 , 5, 12

x x x x x x x

Los puntos críticos son: 5

0, , 5, 12

-5 -5/2 -1 0

- - ++++ +

5. : , 5 , 1 0,

2C S

d) 4 221 20 0x x x

Sacamos factor común

3 21 20 0x x x

Para factorizar 3 21 20x x utilizamos Ruffini.

5

1

1

0

5

-21

25

-20

20

5 4 0

25 5 4 0x x x x

5 1 4 0x x x x

Los puntos críticos son: 0, 5, -1, -4

-4 -1 0 5

- - +++

. : 4, 1 0,5C S x

22

e) 2

1 14 3 0

4 4x x

1

4z x

2 4 3 0z z

3 1 0z z

1 13 1 0

4 4x x

11 30

4 4x x

-

-3/4-11/4

++

11 3

. : ,4 4

C S x