problemas isostaticos e hiperestaticos
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ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES
EN LOS MEDIOS CONTÍNUOS
PROBLEMAS ISOSTÁTICOS E HIPERESTÁTICOS
Julio Melián Pérez-Marín
2010
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
2
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
3
INTRODUCCIÓN
En la obra de este mismo autor sobre “Elasticidad Tensorial” se requiere una gran dosis
de asimilación práctica en forma de realización de múltiples ejercicios y problemas que
ayuden al alumno a fijar sus conceptos y, sobre todo, a lograr una clara y eficaz manera de
aplicarlos logrando así el rendimiento que su conocimiento y dominio debiera exigir.
Así que, como un complemento de dicha obra y continuación de la misma, se ofrece este
compendio de 113 problemas: unos resueltos con toda clase de detalles, otros tan solo con
la orientación de su enfoque y planteamiento, completando la colección con una serie de
enunciados que el alumno debe resolver por sí solo, adquiriendo así su propia autonomía y
completando su formación.
La extensión hacia el análisis elástico de las vigas cargadas transversalmente es el epílogo
adecuado de esta obra. Igualmente se han introducido una colección de problemas con el
planteamiento hiperestático de la casuística de pórticos simples que serán de aplicación e
interés para las asignaturas de cálculo de estructuras incluidas en el plan de estudios para
el Título de Grado de Arquitecto.
La práctica, como método para alcanzar el dominio de una materia, es el procedimiento
más adecuado para la preparación y éxito del estudiante. La entrada en el Espacio de
Educación Superior Europeo (EEES) de la Escuela de Arquitectura de la Universidad de
Las Palmas de Gran Canaria, exige la utilización de estos métodos para cumplir sus
objetivos con la aportación por la Universidad de los medios oportunos para el trabajo del
alumno.
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
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Esta obra está dividida en capítulos en los que se agrupan problemas referentes a los
ejercicios propios de las siguientes materias:
Cálculo y prácticas de álgebra tensorial: cambios de coordenadas, obtención de
vectores transformados de otros por un tensor, obtención de valores propios y
direcciones principales de un tensor simétrico y determinación de componentes
intrínsecas del transformado de un vector. Todo ello como esencia conceptual de la
condición tensorial de los esfuerzos actuantes en el interior de un sólido sometido
a cargas externas.
Problemas específicos de Círculos de Mohr y aplicaciones concretas a tensores de
esfuerzos. Dentro de las mismas premisas citadas antes.
Casos isostáticos en problemas de deformaciones de estructuras articuladas con
elementos unidimensionales. Orientado a comenzar el ejercicio de la utilización de
la Ley de Hooke que relaciona esfuerzos con deformaciones.
Problemas de determinación de tensiones y esfuerzos en barras de estructuras
hiperestáticas articuladas. Problemas hiperestáticos de deformaciones. Con lo que
se pretende que el alumno organice su mente en la percepción de las condiciones
hiperestáticas de la estructura y así poder determinar incógnitas imposibles de
calcular por las ecuaciones deducidas de la Estática Analítica.
Problemas de esfuerzos y deformaciones elásticas en cuerpos tridimensionales en
situación isostática. Traspasando así la barrera de los elementos unidimensionales
para adentrarnos en las formas reales tridimensionales.
Problemas de esfuerzos y deformaciones elásticas en sistemas tridimensionales
hiperestáticos. Con lo que se desea completar y concluir la formación práctica
integral del contenido de esta materia.
Problemas de resolución de reacciones y determinación de diagramas de fuerzas
cortantes, momentos flectores y elásticas en vigas isostáticas e hiperestáticas. Ello
capacitará al alumno para abordar, en cursos sucesivos de Cálculo de Estructuras,
y el estudio de pórticos simples, y estructuras reticulares como soporte resistente
en la edificación, cuyo desarrollo práctico se aborda en un último capítulo como
iniciación en los pórticos isostáticos e hiperestáticos.
Desde aquí le deseo al lector el mejor aprovechamiento de este trabajo.
Las Palmas de Gran Canaria, enero de 2010
El Autor
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
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ÍNDICE
Capítulo 1: Álgebra Tensorial
Capítulo 2: Círculos de Mohr
Capítulo 3: Problemas isostáticos unidimensionales
Capítulo 4: Sistemas y estructuras articuladas planas
Capítulo 5: Sistemas tridimensionales hiperestáticos
Capítulo 6: Elementos estructurales con carga transversal
Capítulo 7: Sistemas estructurales compuestos. Pórticos
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
6
Deseo dedicar este trabajo a los que
fueron mis alumnos en la primera
etapa de la Escuela de Arquitectura
de Las Palmas, sin cuyo apoyo esta
obra nunca hubiera visto la luz.
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
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Capítulo Primero
Álgebra Tensorial
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
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PROBLEMA nº I-1
Definido para unos ejes ;k;j;i
el siguiente Tensor simétrico:
201
021
113
, determinar:
a) Invariantes del Tensor.
b) Valores Propios.
c) Dirección principal correspondiente al mayor de los ejes del Elipsoide de Lamé.
d) Componentes normal y transversal del transformado por el Tensor, de aquel versor cuya
dirección viene dada por un vector: k6j2i3V
SOLUCIÓN
a) Los tres invariantes serán:
8211211223
201
021
113
ttt
ttt
ttt
ABC
1411322223tttttttttCABCAB
7223tttCBA
332313
232212
131211
22223
213
212113333222211
332211
b) La ecuación cúbica que nos determina los valores propios:
1C
2B
4A
1
4
2
045
02
02232022223
0
201
021
113
ttt
ttt
ttt
3
2
1
2
332313
232212
131211
c) El eje mayor del Elipsoide de Lamé corresponde al del valor propio 4A por lo que el
sistema de ecuaciones homogéneas a plantear sería:
32
321
31
21
321
31
21
32122
02
02
0
0A2
0A2
0A3
que, unidas a la condición de versor que define la dirección principal en cuestión :
123
22
21
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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10
obteniéndose:
6
6
6
6
3
6
3
2
1
; y resultando la dirección: k6
6j
6
6i
3
6uA
d) El versor de V
es k7
6j
7
2i
7
3
V
Vn
; por lo que su vector asociado mediante la
transformación del Tensor , será:
k7
15j
7
7i
7
17k2
7
60
7
21
7
3j0
7
62
7
21
7
3i1
7
61
7
23
7
3Tnw
resultando así que su componente normal es: 163,349
155
49
90
49
14
49
51 wn
; y la
transversal: 218,149
562.3
401.2
025.24587.27
401.2
025.24
49
56322
w
Reflexiónese acerca del resultado y los valores dados como componentes del tensor.
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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PROBLEMA nº I-2
Un tensor plano (T), transforma los versores 1n
y 2n
en los vectores 1v
y 2v
, siendo:
j2
3i
2
1n
j2
1i
2
3n
2
1
j2
26i
2
26v
j2
24i
2
24v
2
1
Hallar el tensor (T), referido a los ejes X e Y cuyos versores son i
y j
.
SOLUCIÓN
Si el tensor tiene por expresión
yyyx
xyxx
y
x
tt
tt
t
tT
)( , resultará que
)T(nv
)T(nv
22
11
;
es decir:
jttitttt
ttjijiv
jttitttt
ttjijiv
yyxyyxxx
yyyx
xyxx
yyxyyxxx
yyyx
xyxx
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
26
2
26
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
2
24
2
24
2
1
lo que, igualando los coeficientes de i
y de j
, en ambas ecuaciones, daría:
;2
24
2
1
2
3
;2
24
2
1
2
3
yyxy
yxxx
tt
tt
;2
26
2
3
2
1
;2
26
2
3
2
1
yyxy
yxxx
tt
tt
Sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas que, una vez resuelto, da respuesta al
problema:
;212
33t;21
2
33t
;22
33t;2
2
33t
yyyx
xyxx
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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PROBLEMA nº I-3
En un espacio de dos dimensiones, determinado por un sistema de ejes cartesianos X e Y, se
pide:
a) Hallar el tensor (T) de 2º Orden tal que transforma al vector jvivv yx
en el
jvivv yx
''' ; de tal manera que en el punto
;bv
;av
y
x el vector v
se transforma en sí
mismo. Y para
;bv
;nv
y
x (cuando n ), sean
;nv
;av
'
y
'
x
b) Hallar el lugar geométrico del extremo del 'v
, cuando el v
describe la recta bv y
SOLUCIÓN
Sustituyendo los valores dados de las componentes de v
y 'v
en las fórmulas de
transformación, se podrán calcular las componentes del Tensor solicitado en los ejes i
y j
.
Con él, haciendo la transformación de v
con su componente bv y constante, podrá
deducirse que dicha condición implica otro valor constante para '
xv , lo que, a su vez, obliga a
que ese lugar geométrico pedido sea otra recta perpendicular a la anterior.
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PROBLEMA nº I-4
Dado el tensor
21
24 en un espacio de dos dimensiones, referido a los ejes X e Y, determinar sus Valores
Propios y Direcciones Principales.
SOLUCIÓN
En general, las direcciones principales serán:
;cos
;cos
222
111
jisenjiu
jsenijiu
(expresiones que, en función del ángulo υ que forman iu1
con , cumplen las condiciones de
que 1u
y 2u
sean unitarios y perpendiculares) siendo sus asociados:
;cos22cos4
;2cos2cos4
0
0
jsenisenb
jsenisena
que deberán ser perpendiculares entre sí: 000 ba
(producto escalar nulo) por lo que:
0cos222cos2
cos4cos4
sensen
sensen
lo que, tras el correspondiente desarrollo analítico, resulta 0 ; es decir, iu
1 y ju
2
con lo que las direcciones principales resultarán
;j2ib
;j2i4a
0
0
siendo sus módulos los
valores propios A, B
521
522024
22
22
B
A;
Esto mismo puede ser razonado, entendiendo que si 1u
y 2u
coinciden con los ejes
originales, sus transformados serán las componentes xt
y yt
del Tensor dado, llegándose a la
misma conclusión.
X
Y
1u
1u
2u
υ
υ
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PROBLEMA nº I-5
Considérese el Tensor que, expresado en los ejes X, Y, Z, es:
110
101
011
T
y determínense sus valores propios y direcciones principales, así como la forma que adquiere
al referirlo a dichas direcciones.
SOLUCIÓN
Para calcular sus valores propios resolveremos la ecuación:
1
2
1
02101210
110
11
011
3
2
122
Las direcciones principales vendrán dadas por aquel triedro 321 u;u;u
tal que multiplicado por
el Tensor T nos den tres vectores de direcciones coincidentes con el triedro y de módulos
3;2;1 .
Tras el planteamiento de las ecuaciones homogéneas y la independiente del módulo unidad
del versor de cada dirección, se obtienen como solución:
kj2i6
6u
kji3
3u
ki2
2u
1
2
1
El Tensor, referido a sus direcciones principales, queda:
100
020
001
T
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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PROBLEMA nº I-6
Dado el Tensor simétrico referido a los ejes k;j;i
017
152
723
determínese:
a) Sus invariantes.
b) Valores Propios.
c) La dirección principal correspondiente al mayor de los ejes del Elipsoide de Lamé.
SOLUCIÓN
a) Invariantes:
27032451414
017
152
723
ttt
ttt
ttt
ABC
69149415tttttttttCABCAB
253tttCBA
332313
232212
131211
223
213
212113333222211
332211
b) Valores Propios:
6C
5B
9A
0965
0543502706920
17
152
723223
c) Dirección principal correspondiente al mayor valor propio 9A :
k42
4j
42
1i
42
5n
42
4n
42
1n
42
5n
1n16nn251nnn
n4n
n5n
0n9nn7
0nn14n2
0n7n2n6
A
3
2
1
22
22
22
23
22
21
23
21
321
321
321
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PROBLEMA nº I-7
Dado el Tensor que, referido a los ejes k;j;i
, tiene por expresión:
35
32
32
32
613
61
32
61
613
a) Compruébense que sus invariantes valen 6, 11 y 6.
b) Determínense sus valores propios.
c) Determínense sus direcciones principales
SOLUCIÓN
a) Invariantes:
6
35
32
32
32
613
61
32
61
613
ttt
ttt
ttt
ABC
1136
32
36
1
36
260
36
169tttttttttCABCAB
63
5
6
13
6
13tttCBA
332313
232212
131211
223
213
212113333222211
332211
b) Valores Propios:
1C
2B
3A
0231
065161160
35
32
32
32
613
61
32
61
613
223
c) Dirección principal correspondiente al mayor valor propio 3A :
k3
3j
3
3i
3
3n
3
3n
3
3n
3
3n
1n31nnn
nnn
0n8n4n4
0n4n5n
0n4nn5
A
3
2
1
22
23
22
21
321
321
321
321
El mismo proceso se seguirá con los otros dos valores propios, resultando:
;k6
62j
6
6i
6
6n;j
2
2i
2
2n CB
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PROBLEMA nº I-8
Dado el Tensor
312
141
213
T , referid aciertos ejes conocidos k;j;i
, hallar sus valores
propios y direcciones principales
PROBLEMA nº I-9
Determinar las componentes intrínsecas del transformado del versor j2
2i
2
2n
mediante un tensor plano que tiene un valor propio igual a -1 y que da, como
transformado de un versor a
, el vector de componentes intrínsecas 2;3 .
Se supone que jyi
son los versores de las direcciones principales.
PROBLEMA nº I-10
Dado el tensor
45
430
43
470
002
T . Determínese la posición de los vectores que al
transformarse por el Tensor no cambian de dirección y duplican su módulo.
PROBLEMA nº I-11
Un elemento de volumen de un sólido se encuentra sometido a los esfuerzos normales y
cortantes que indica la figura, medidos en Kg/cm2. Determinar los esfuerzos normales
máximos de tracción y de compresión.
220
20
20
20
220
20
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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Capítulo Segundo
Círculos de Mohr
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PROBLEMA nº II-1
El estado de esfuerzos en un punto del interior de un sólido elástico es el que se indica en la figura.
Determinar ζx, mediante el uso de los Círculos de Mohr, para que el esfuerzo cortante máximo sea
de 120 Kg/cm2. En caso de existir dos ó más soluciones, se deberá elegir el ζx de tracción.
Determinar también, gráficamente, los valores propios del tensor de esfuerzos.
Finalmente, calcúlense los esfuerzos normal y cortante sobre el plano que forma ángulos iguales con
los principales.
SOLUCIÓN
1. El esfuerzo cortante ηzy será igual al esfuerzo cortante ηyz= 340 ya que convergen en una
arista de corte de planos ortogonales.
2. Los planos perpendiculares a los ejes Y y Z son perpendiculares entre sí, y ambos pasan
por el eje X, que será Dirección Principal por no tener esfuerzo cortante asociado.
3. Los esfuerzos aplicados a los planos normales a Y y Z se encontrarán en uno de los tres
Círculos Principales de Mohr (los dos en el mismo círculo) ya que sus normales son
perpendiculares a una dirección principal y, además, diametralmente opuestos por ser
perpendiculares entre ellos.
40 Kg/cm2
40 Kg/cm2
ζx
340 Kg/cm2
ηzy
X
Z
Y
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4. Así, al dibujar las posiciones de los puntos Py y Pz, obtendremos el círculo de la figura:
5. Con lo que deducimos que el centro de ese círculo principal es el origen de ζ y η, que su
radio es de 80 y que los valores principales serán +80 Kg/cm2 y -80 Kg/cm
2. Por tanto,
para que se alcance un η max = 120 Kg/cm2, será preciso localizar un ζx situado bien a la
izquierda o la derecha de los valores propios encontrados.
6. Así que el esfuerzo pedido será: ζx=160 Kg/cm2
7. De otra parte, los valores propios serán los correspondientes al Tensor de Esfuerzos:
8000
0800
00160
Py(40, 340 )
Pz(- 40, 340 )
η
ζ
Py
Pz
η
ζ
η max = 120
80
ζ1x=160 ζ2x= -160
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8. Finalmente, el versor que forma ángulos iguales con los tres ejes coordenados será el
CBA u3
3u
3
3u
3
3n
por lo que su transformado será:
CBA u3
380u
3
380u
3
3160t
y sus componentes intrínsecas:
2cm/Kg
3
160
3
180
3
180
3
1160tn
2
2222
cm/Kg803
14
3
160
3
80
3
80
3
160
2222cm/Kg79.99cm/Kg
3
1480;cm/Kg33.53cm/Kg
3
160
valores que, con cierta aproximación, se comprueban mediante los Círculos de Mohr:
η
ζ
η max = 120 R=80
ζx=160 80z
ζZ=-80
54º 44’ 08”
53
100
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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PROBLEMA II-2
Del estado de esfuerzos en un punto, se sabe que de los planos cuyas normales forman 60º
con la dirección principal del mayor valor propio, el que soporta mayor esfuerzo cortante
tiene asociado un esfuerzo normal de compresión de 40 Kg/cm2 y que la máxima
compresión que soporta esa familia de planos es de 60 Kg/cm2. De otra parte, la
compresión máxima absoluta del tensor de esfuerzos es de 100 Kg/cm2.
Determinar el esfuerzo máximo de tracción y el esfuerzo máximo cortante.
SOLUCIÓN
1. Para la familia de planos que forman 60º con la dirección principal X correspondiente al
valor propio mayor (A), sus esfuerzos ζ y η habrán de pertenecer, en la construcción
gráfica de Mohr, al arco perteneciente a ese ángulo con centro en OA.
2. De ese arco, el punto que corresponde a la máxima compresión, será el situado en la
posición extrema izquierda. (Este punto podría coincidir con el mayor esfuerzo η de los
existentes en dicho arco, en el caso de que este arco no llegara a alcanzar la vertical por su
centro). Esa compresión máxima es de 60 Kg/cm2 (P’).
3. Sin embargo, el enunciado advierte que el máximo η se alcanza con un valor menor, (de
2cm/Kg40 ). Lo que implica que el máximo η se produce sobre el centro OA, y que
este punto está en 2cm/Kg40 , desconociéndose, por el momento, el radio del arco.
4. Volviendo al apartado 2, el punto que represente a la compresión máxima de esa familia
tiene que estar sobre la vertical de P’, sobre el susodicho arco y en la circunferencia
exterior de los Círculos de Mohr (punto P).
40
η
ζ
60
100
OA C
arco de 60º con X P
P’
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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25
5. De otra parte, el máximo absoluto de compresión es de 100 Kg/cm2. Así, el punto C
correspondiente al menor valor propio esta situado en esta coordenada. También
perteneciente a la circunferencia exterior, como el P.
6. Esto supone que la circunferencia con centro en OA y radio OAC será una de las interiores
de los Círculos de Mohr
7. Como se ha dicho en 4 y 5, por C y por P pasará la circunferencia exterior de los Círculos
de Mohr y, además, CP tendrá que formar con la vertical que pasa por C un ángulo de 30º,
con lo que puede trazarse la recta CP y así, en su intersección con P’P estará el punto P.
40
η
ζ
60
100
OA C
P
P’ B
40
η
ζ
60
100
OA C
P
P’
30º
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8. Así que la construcción de los Círculos de Mohr quedará:
9. Resultando que: 2
max cm/Kg80 ; y 2T
max cm/Kg60
η
ζ
η max = 80 RA=60
60A
60º
60 40 40
40 C
P
P’
OA
RB=80
OB
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PROBLEMA II-3
Del estado de esfuerzos en un punto se sabe lo siguiente:
1. En el plano donde se produce el esfuerzo cortante máximo absoluto, su esfuerzo
normal asociado es ζηmax = 10.
2. De su correspondiente tensor de esfuerzos, el valor propio intermedio vale B = 30.
3. En un cierto plano π cuya normal forma 45º con el eje principal correspondiente al
valor propio B, los esfuerzos que actúan en él son:
230
50
Determinar:
a) El esfuerzo máximo de tracción que se produce en ese punto.
b) El correspondiente esfuerzo máximo de compresión.
c) El máximo esfuerzo cortante absoluto.
d) El máximo esfuerzo cortante relativo a los planos que pasan por la dirección principal
correspondiente al esfuerzo normal máximo de tracción.
e) El máximo esfuerzo cortante relativo a los planos que pasan por la dirección principal
correspondiente al esfuerzo normal máximo de compresión.
SOLUCIÓN:
Según se establece en el punto 1 del enunciado, el centro de la circunferencia mayor de los
Círculos de Mohr (OB) se encuentra en 10 . Igualmente según el punto 3, un punto Pπ
de coordenadas ( 230,50 ) estará en un círculo de centro OB, por lo que el radio de ese
círculo será 341018001600230105022
.
230
50
Pπ
O OB
η
ζ
3410
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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28
Esta circunferencia donde se encuentra Pπ se cortará con el círculo menor AB en el punto
M que se determina con la recta que forma 45º con BB’ trazada desde B (según el punto
3). El punto B se conoce por el punto 2. Así, en el corte de la recta BB” con el citado
círculo determinaremos M y su proyección sobre el eje ζ nos dará el centro OC, y se
determina fácilmente A:
Cálculo analítico:
;3400x2x404003410xx20MOMOOO
;3410MO
;xMOBO
;201030BO
22
222
B
2
C
2
CB
B
CC
B
;60xOBOO;304010150010010x;01500x20x C
2
;90xOOOO CA
El resto de la construcción de Mohr ya es fácil utilizando el centro OB y radio AOB para
determinar C:
Respuestas a las cuestiones planteadas:
a) 90tracmax ; b) 70
compmax ; c) 80
absmax ; d) 50
relAmax ; e) 30
ralCmax
OB
η
ζ OC B A=90 C = - 70
80 50
30
OA
O OB
η
ζ
3410
Circunferencia de Pπ
M
OC B
A
B’
B” 45º
x
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29
PROBLEMA II-4
El estado de esfuerzos en un punto es tal como el que se expone en la figura
a) Determinar, utilizando los procedimientos gráficos de Mohr, los esfuerzos normales
máximos de tracción y de compresión, así como las direcciones en que estos se
manifiestan.
b) Calcular que esfuerzo normal habría que aplicar en la dirección del eje Z para que no
exista dilatación ni contracción volumétrica.
SOLUCIÓN:
a)
1. El eje Z es principal por no existir esfuerzos cortantes en el plano correspondiente.
Su valor propio sería B=0
2. Los planos que se indican en la figura (X e Y) pasan por el eje Z, así que en los
Círculos de Mohr, los puntos PX (4, 4) y PY (-2, 4) estarán sobre uno de los círculos
base del esquema de Mohr, y puede dibujarse como en la figura que sigue:
PX
PY
-2
4
η
ζ 4
4 B A C
O
B
θA
θC
4
X
Z
Y
2
4
4
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30
3. De manera que los máximos esfuerzos normales serán:
4C
6A
comp
max
trac
max
4. Y sus respectivas direcciones serán perpendiculares a Z y formando con X e Y,
respectivamente los ángulos dados por:
2
1tanarc
2
1tanarc
C
A
b) Si ζZ es el esfuerzo normal según Z, las deformaciones longitudinales unitarias en
cada eje serán:
;E
24
E
;E
2
E
4
;E
4
E
2
Zz
Zy
Zx
y si su suma debe ser nula: 0242 ZZ 2Z
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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31
PROBLEMA II-5
Sin determinar los valores propios por procedimientos analíticos, dibujar directamente los
círculos de Mohr del estado de esfuerzos indicado en la figura. Explíquese con toda
claridad la construcción seguida.
PROBLEMA II-6
El estado de esfuerzos en un punto queda representado por el esquema de la figura mediante
los esfuerzos normales y cortantes (expresados en Kg/cm2) que actúan en las seis caras de
un elemento de volumen tomado alrededor de dicho punto según los ejes X, Y y Z.
Se pide determinar los esfuerzos máximos de tracción y compresión sobre la familia de
planos cuyas normales forman 60º con el eje Y, así como el máximo esfuerzo cortante que se
ejerce sobre esa familia de planos.
X
Y
Z
30
50
50 3
50
50 3
7 7
3
2
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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32
PROBLEMA II-7
Un bloque de forma prismática tiene sus aristas paralelas a los ejes X, Y y Z. Las caras
perpendiculares al eje Z, están impedidas de cualquier desplazamiento en sentido alguno.
Y sobre las otras caras el prisma está sometido a los esfuerzos que señala la figura.
Determinar los esfuerzos máximos absolutos y la dilatación cúbica unitaria.
PROBLEMA II-8
El estado de esfuerzos en un punto del interior de un sólido elástico es el que se indica en
la figura, del cual no se conoce el esfuerzo normal ζZ (ni si es de tracción ó compresión).
Determinar ζZ, mediante el uso de los Círculos de Mohr, para que el esfuerzo cortante
máximo sea de 60 Kg/cm2, así como si ha de ser de tracción ó compresión. En caso de
existir dos ó más soluciones, se deberá elegir el menor valor absoluto de ζZ. Indicar, en
estas condiciones, cuales serán los valores propios del tensor de esfuerzos, y el esfuerzo
normal y cortante sobre el plano que forma ángulos iguales con los principales (este
último cálculo debe realizarse analíticamente basado en los resultados anteriores que se
obtuvieron gráficamente).
X
Y
Z
60
50
100
20 Kg/cm2
20 Kg/cm2
ζZ
20 3 Kg/cm2
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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PROBLEMA II-9
El esquema de la figura representa el estado de esfuerzos de un punto.
Utilizando los procedimientos gráficos de Mohr, determinar:
1. Esfuerzos normales máximos de tracción, compresión y esfuerzo cortante máximo
absoluto.
2. Esfuerzo normal máximo de tracción y esfuerzo cortante máximo que se presentan
en el abanico de planos cuya normal forme el mismo ángulo que forma el eje Y con
la dirección principal correspondiente a la compresión normal máxima.
PROBLEMA II-10
Un cuerpo elástico sometido a ciertas tensiones externas, tiene un estado de esfuerzos en
un punto de su interior, tal que el eje “U” corresponde a una dirección principal de su
tensor de esfuerzos, y sobre dos de los planos que pasan por ese eje “U” (oblicuos entre
sí) actúan los esfuerzos normales y cortantes siguientes:
Sobre el plano π1:
o 221 cm/Kg321,17cm/Kg310
o 21 cm/Kg3
Sobre el plano π2:
o 222 cm/Kg125,15cm/Kg337
o 222 cm/Kg196,5cm/Kg33
Además, en ese tensor de esfuerzos, el máximo cortante absoluto es:
ηmax = 10 Kg/cm2
Determinar
X
15 Kg/cm2 10 3
Kg/cm2
35 3
Kg/cm2
Y
Z
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1. Cuantas soluciones pueden cumplir con las condiciones enunciadas
2. La expresión matricial del tensor de esfuerzos en cada caso, indicando si existen o no
esfuerzos de compresión en cada uno, y sus esfuerzos máximos de tracción y de
compresión (si lo hay)
3. Esfuerzo cortante puro máximo (si lo hay)
4. Valor del esfuerzo principal en la dirección “U”, según cada solución
NOTA: Resuélvase el problema mediante el uso de los círculos de Mohr y dense las explicaciones de las
correspondientes construcciones gráficas.
PROBLEMA II-11
El esquema de la figura representa el estado de esfuerzos de un punto, del que se desea
saber, utilizando exclusivamente los procedimientos gráficos de Mohr, que esfuerzo de
tracción ζT
x habría que aplicar en las caras frontal y posterior para lograr que el esfuerzo
cortante máximo absoluto fuera de 50 Kg/cm2. Igualmente, se desea saber con qué
esfuerzo de compresión se obtendría igual esfuerzo cortante máximo.
Determinar también el máximo esfuerzo de compresión en las condiciones anteriores.
X
10 3 Kg/cm2
20 Kg/cm2
ζx
Y
40 Kg/cm2
Z
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35
PROBLEMA nº II-12
El Tensor elástico en un punto de un sólido es:
XYZ120
202
021
Determinar
a) Los máximos esfuerzos normales, y las direcciones en que se producen.
b) En que sección se produce el máximo esfuerzo cortante puro.
c) En que sección se produce el máximo esfuerzo cortante.
PROBLEMA nº II-13
El estado de esfuerzos en un punto queda definido por los esfuerzos que se ejercen sobre
tres planos ortogonales entre sí cuyas normales son los ejes X, Y y Z.
a) Sobre el plano normal al eje Z se ejerce una tracción de 100 Kg/cm2.
b) Sobre los planos normales a X e Y actúan sendas compresiones de 400 Kg/cm2,
acompañadas de esfuerzos cortantes de 100 Kg/cm2.
Determinar:
Esfuerzo máximo cortante absoluto.
Máximos esfuerzos normal y cortante de la familia de planos que forman 60º con el eje
Z.
Que esfuerzo habría se sustituir al de 100 Kg/cm2 según el eje Z, para que según esta
dirección no se produzca dilatación ni contracción alguna
PROBLEMA nº II-14
El estado de esfuerzos en el interior de un sólido elástico es tal que, sobre los planos
normales a las generatrices de un cono de 45º de apertura con su eje de revolución, el
esfuerzo normal máximo que se presenta es una tracción de 100 Kg/cm2 y el mínimo,
también de tracción, es de 10 Kg/cm2 .
Igualmente, de la totalidad de los planos referidos, el que soporta mayor esfuerzo cortante
es cargado con un ζ=80 Kg/cm2.
El eje del cono al que se hace referencia es la dirección principal de valor propio
intermedio.
Determinar los esfuerzos máximos absolutos de tracción, compresión y cortante.
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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36
PROBLEMA nº II-15
Del estado de esfuerzos en un punto se sabe lo siguiente:
1. Los versores 1n
y 2n
forman un mismo ángulo (de valor desconocido) con la
dirección principal de valor propio mínimo.
2. Sobre los planos perpendiculares a 1n
y 2n
actúan los esfuerzos normales y
cortantes siguientes:
ζ1 = 30 Kg/cm2; η1 = 40 Kg/cm
2;
ζ2 = 0 Kg/cm2; η2 = 10 Kg/cm
2;
3. El esfuerzo normal máximo es: ζmax = 70 Kg/cm2;
4. Además, se sabe que la dirección 1n
forma 45º con la dirección principal de
mayor valor propio.
Determinar:
a) Expresión del Tensor de esfuerzos referida a sus direcciones principales.
b) Esfuerzo de compresión máximo.
c) Esfuerzo cortante máximo.
d) Ángulos que forma la dirección 1n
con las direcciones principales.
PROBLEMA nº II-16
Del estado de esfuerzos en un punto se sabe lo siguiente:
1. Las direcciones principales son X, Y y Z, cuyos valores propios A, B y C son
desconocidos, aunque se sabe que A>B>C.
2. El plano YZ no soporta ningún esfuerzo normal.
3. De los planos cuyas normales forman 60º con el eje X, el que soporta mayor
esfuerzo normal de compresión está sometido a:
601 Kg/cm2; y 3201 Kg/cm
2;
mientras que el que soporta menor esfuerzo normal en compresión, tiene:
302 Kg/cm2; y 3102 Kg/cm
2;
Se desea saber:
a) El esfuerzo cortante máximo de la familia de planos que forman con el eje X el
ángulo citado en el punto 3.
b) El esfuerzo de compresión máximo.
c) El máximo esfuerzo cortante absoluto y el esfuerzo máximo de tracción.
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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PROBLEMA nº II-17
Del estado de esfuerzos en un punto se sabe lo siguiente:
1. Las direcciones principales son X, Y y Z, cuyos valores propios A, B y C son
desconocidos, aunque se sabe que A>B>C.
2. El valor propio A es de 60 Kg/cm2.
3. De la familia de planos cuyas normales forman 60º con el eje X, se saben los
esfuerzos normales y cortantes que soportan dos de ellos:
ζ1 = 10+5 3 = 18,66 Kg/cm2; η1 = 35 Kg/cm
2;
ζ2 = 10 Kg/cm2; η2 = 10 13 Kg/cm
2;
Se desea saber:
a) El esfuerzo cortante máximo de la familia de planos descrita en el punto 3.
b) Los esfuerzos normales máximo y mínimo de la citada familia de planos.
c) El esfuerzo de compresión máximo absoluto del estado de esfuerzos.
d) El máximo esfuerzo cortante absoluto y el esfuerzo cortante puro máximo.
PROBLEMA II-18
El estado de esfuerzos en un punto del interior de un sólido elástico es el que se indica en
la figura, del cual no se conoce el esfuerzo normal ζZ (ni si es de tracción ó compresión).
Determinar ζZ, mediante el uso de los Círculos de Mohr, para que el esfuerzo cortante
máximo sea de 150 Kg/cm2, así como si ha de ser de tracción ó compresión. En caso de
existir dos ó más soluciones, se deberá determinar cuales son. Indicar, en estas
condiciones, cuales serán los valores propios del tensor de esfuerzos, y el esfuerzo normal
y cortante sobre el plano que forma ángulos iguales con los principales.
50 Kg/cm2
50 Kg/cm2
ζZ
50 3 Kg/cm2
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PROBLEMA nº II-19
El estado de esfuerzos en un punto es el que se indica gráficamente.
Explicando razonadamente la solución mediante el uso de los círculos de Mohr,
determinar las siguientes características del tensor de esfuerzos:
1. Valores Propios del Tensor.
2. Esfuerzos máximos de tracción, compresión y cortante.
3. Esfuerzo cortante puro mínimo.
4. Deformación volumétrica unitaria.
Siguiendo procedimiento analítico, y siendo k;j;i
los versores de los ejes X; Y; Z;
indicados en la figura, determinar también
5. Esfuerzo normal perpendicular al versor: k2
2j
2
1i
2
1n
PROBLEMA II-20
Determinar la presión q vertical, distribuida uniformemente, que habría que aplicar en las
caras superior e inferior del paralelepípedo recto rectangular de la figura, de material
elástico de módulo de Young E y módulo de Poisson μ, sobre el que actúan las fuerzas
horizontales P, para que su volumen permanezca invariable. (A = área de caras laterales)
A
P
q
40
60
200
Y
Z
40
X
P
A
q
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39
PROBLEMA II-21
El paralelepípedo recto rectangular de la figura, de material elástico de módulo de Young E
y módulo de Poisson μ, se encuentra sometido a la acción de las fuerzas P horizontales, así
como a una compresión uniformemente distribuida sobre sus caras superior e inferior de
valor: q = P/2A
Determinar en función de los datos:
1. La orientación del plano sobre la que se manifiesta el esfuerzo cortante máximo, su
valor y el esfuerzo normal que lleva asociado.
2. Variación de su volumen. (Datos: E; μ; P; A = área de caras laterales; y L = longitud de la barra)
PROBLEMA II-22
Del estado de esfuerzos plano en un punto se sabe:
1. Para una cierta orientación 1n
, los esfuerzos normal y tangencial que actúan en
ese plano son 801 Kg/cm2 y 301 Kg/cm
2.
2. El esfuerzo cortante máximo absoluto corresponde a un plano desconocido y vale
50max Kg/cm2.
3. No existe ninguna orientación de plano en el que haya esfuerzo cortante puro.
Se pide determinar:
a) Esfuerzo normal máximo.
b) Orientación del plano donde actúa el esfuerzo normal máximo referido a 1n
.
c) Expresión del Tensor de Esfuerzos referido a los ejes 1n
y su perpendicular.
d) Expresar dicho tensor referido a las direcciones principales.
A
P
q
L
P
q
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40
PROBLEMA nº II-23
Los ejes X; Y; Z ; son las direcciones principales de un tensor de esfuerzos, ordenados de
mayor a menor dimensión de sus valores propios respectivos.
Sobre el plano cuyo versor normal se encuentra sobre el Y-Z formando 30º con el eje Z,
actúa esfuerzo cortante puro de valor 2cm/Kg330 .
Se sabe también que el esfuerzo normal que actúa sobre el plano perpendicular al versor
k2
2j
2
1i
2
1n
; tiene un valor de 40 Kg/cm
2.
Calcular:
a) Esfuerzo máximo de tracción.
b) Esfuerzo máximo de compresión.
c) Esfuerzo máximo cortante.
PROBLEMA nº II-24
El estado de esfuerzos en un punto reúne las características siguientes:
a) El esfuerzo cortante puro máximo es igual a 2cm/Kg320 .
b) El esfuerzo cortante puro mínimo es igual a 2cm/Kg20 .
c) El esfuerzo cortante máximo absoluto es igual a 2cm/Kg40 .
Determinar:
1. Esfuerzos normales máximos absolutos de compresión y de tracción.
2. Esfuerzo cortante máximo en el haz de planos que forman 45º con el eje principal
de valor propio intermedio, así como esfuerzo normal asociado.
PROBLEMA nº II-25
Del estado de esfuerzos en un punto material se sabe lo siguiente:
a) Sobre la sección donde tiene lugar el “ absolutomax ”, actúan los esfuerzos:
;cm/Kg35;cm/Kg52
12
1
b) Además, se sabe que el esfuerzo normal que actúa sobre el plano que forma
ángulos iguales con los ejes principales, vale: ;cm/Kg102
2
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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41
Determinar:
1º. El esfuerzo cortante que actúa en el plano mencionado en b) formando ángulos
iguales con los tres ejes principales.
2º. Las componentes escalares del tensor de esfuerzos referidas a las direcciones
principales.
3º. Comprobar los resultados obtenidos mediante comparación con los círculos de
Mohr.
PROBLEMA nº II-26
Del estado de esfuerzos en un punto se sabe:
a) El esfuerzo cortante máximo vale 2cm/Kg30 y en el plano en que actúa no
existe esfuerzo normal alguno.
b) La diferencia entre los esfuerzos principales de tracción es de 2cm/Kg20 .
Determinar:
1º. Esfuerzos normales máximos de tracción y compresión.
2º. Valor del esfuerzo cortante puro mínimo y orientación del plano sobre el que
actúa, referido a las direcciones principales.
3º. Esfuerzos normal y cortante en el plano que forma ángulos iguales con los tres
principales.
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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42
PROBLEMA II-27
Llamemos X ,Y y Z a los ejes principales del estado de esfuerzos en un punto. Sean A, B y
C sus correspondientes valores propios, siendo A>B>C.
De este estado de esfuerzos se sabe:
1. Del abanico de planos que forma un cierto ángulo θ con el eje X, existen dos planos
sometidos a los esfuerzos:
2
1
21
cm/Kg20
cm/Kg310
2
2
22
cm/Kg10
cm/Kg0
2. El esfuerzo cortante máximo absoluto es de 3110MAX
3. El esfuerzo cortante puro mínimo es nulo.
Determinar los esfuerzos máximo de tracción y de compresión.
SOLUCIÓN:
Los puntos P1 y P2 que representan los esfuerzos en los dos planos referidos en el enunciado,
deberán estar en un arco del gráfico de los Círculos de Mohr con centro en el punto OA, por
lo que, en el corte del eje ζ con la mediana del segmento 21 PP se encontrará OA.
P1
P2
OA
η
ζ
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43
Si el esfuerzo cortante puro mínimo es cero, quiere decir que para 0 , existe un 0 .
O sea, que 0 es un valor propio tal que, dada la posición del arco
21 PP , no podrá ser ni
el mayor (ya que en este caso P1 y P2 quedarían fuera del área de existencia) ni,
evidentemente, el más pequeño, por lo que 0B .
Bajo tales condiciones, con centro en OA y radio OAB se trazará el círculo interior BC,
pudiéndose determinar la posición del valor propio C.
Finalmente al ser el esfuerzo cortante máximo absoluto: 3110MAX , este será el
radio del círculo máximo que deberá pasar por C, determinándose así el valor propio A.
Con los valores dados en el enunciado resultan:
;cm/Kg320;cm/Kg202C
MAX2T
MAX
P1
P2
OA
η
ζ B A C
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44
PROBLEMA II-28
El estado de esfuerzos de un punto se caracteriza por tener un esfuerzo cortante máximo
absoluto que alcanza un valor de 100 Kg/cm2, en un plano donde no existe esfuerzo
normal, ni en tracción, ni en compresión. Además, el esfuerzo cortante puro mínimo es de
50 Kg/cm2.
Si denominamos X, Y y Z a las Direcciones Principales del correspondiente Tensor de
Esfuerzos, y A, B y C, a sus correspondientes Valores Propios (siendo A>B>C), calcular:
Esfuerzos máximos de tracción y compresión.
Esfuerzos que se manifiestan en el plano cuya normal forma 60º con el eje X y 45º
con el eje Z.
En función de μ, determinar que esfuerzo debiera añadirse al existente en la
dirección del eje Z para que, en esa dirección, no se produjera deformación
longitudinal alguna.
¿Se podría obtener el mismo resultado si en vez de modificar el esfuerzo en el eje Z,
se hiciera sobre cualquiera de los otros ejes X ó Y? ¿Los resultados serían distintos
dependiendo del módulo de elasticidad E del material en cuestión?
e
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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45
SOLUCIÓN:
1. El punto P representa el esfuerzo máximo absoluto acompañado de ζ=0. Mientras que el Q
está marcando el esfuerzo cortante puro mínimo. Así se determina que el radio del círculo máximo es de 100, y su centro el origen de coordenadas. Con ello, quedan calculados los
valores propios A y C. Si se une C con Q y se traza por este punto la perpendicular a esa
recta CQ, se obtendrá B, para así completar los Círculos de Mohr.
El esfuerzo máximo de tracción será de 100 Kg/cm2.
El esfuerzo máximo de compresión será de -100 Kg/cm2.
Si en vez de unir C con Q, se uniera A con Q, aparecería otra solución simétrica a esta.
+25
+100
η
B (Y) A (X)
75
C (Z)
-100
OA
P (0; 100)
O
Q (0; 50)
ζ
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46
2. La intersección de los arcos MN a 60º con el eje X y MN a 45º con el eje Z permitirá
determinar los valores de ζ y η correspondientes al punto solución J (cruce de los arcos).
3. Si los esfuerzos principales según X e Y son respectivamente +100 Kg/cm2 y +25 Kg/cm
2,
para que no exista deformación según Z (εZ = 0), será preciso que:
1250E
25100
Ez
zz
con lo que el incremento al -100 Kg/cm2 existente, será de 100+125μ Kg/cm
2.
4. También es evidente que conservando el ζZ actual, será posible evitar la deformación en esa
dirección variando ζx ó ζY convenientemente en la fórmula:
0EE
100 yx
. El resultado es independiente de E.
ζ
+25
+100
η
B (Y) A (X)
75
C (Z)
-100
OA O
M60X
N60X
60º
M45Z
N45Z
45º
OC
J
η
ζ
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47
PROBLEMA II-29
Un elemento cúbico, de un material de módulo de elasticidad E y módulo de Poisson μ,
está sometido a una tracción de 68 Kg/cm2 según el eje Z vertical. En la dirección del eje
X, está sometido también a otra tracción de 18 Kg/cm2. Sobre ambas caras no actúan
esfuerzos cortantes.
Además, se sabe que existe un esfuerzo puro cortante de 60 Kg/cm2
que actúa sobre un
plano cuya normal forma con el eje Z un ángulo θ cuya tangente trigonométrica vale
4/3: ( º13,533
4tanarc ).
1. Determinar el esfuerzo cortante máximo absoluto existente en el estado de
esfuerzos que estamos estudiando.
2. Determinar la deformación cúbica unitaria en ese estado de esfuerzos.
NOTA: Los ejes X, Y y Z son ortogonales entre sí; y se desconocen las acciones de
los esfuerzos actuantes sobre la cara perpendicular al eje Y.
SOLUCIÓN: a) Del estado de esfuerzos indicado, los ejes X y Z son principales, ya que no existen esfuerzos
cortantes sobre los planos normales a ambos, siendo sus correspondientes valores propios (en el tensor de esfuerzos correspondiente) 18 y 68, respectivamente. El eje Y será la tercera
dirección principal.
b) Esto permite dibujar uno de los Círculos de Mohr de ese estado de esfuerzos, así como el comienzo del arco correspondiente a la familia de planos cuyas normales forman el referido
ángulo θ con el eje Z (punto M), ( º13,533
4tanarc ); e, indiscutiblemente, también es
posible señalar el punto P que representa al plano citado de coordenadas (0; 60):
e
ζ
θ=53,13º
18
68
η
P (0; 60)
M
B (X) A (Z) 50
OA O
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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48
c) Los puntos M y P pertenecen al círculo que representa a la familia de planos cuyas normales
forman 53,13º con el eje principal Z. Por tanto, como cuerda de ese arco, permiten determinar su centro sobre el eje horizontal ζ: el punto OA. Ya, con el centro OA se trazará, pasando por
B, el otro círculo menor BC, determinándose inequívocamente el Tensor de Esfuerzos
analizado.
ζ
18
68
η
P (0; 60)
M
B (X) A (Z) 50
C (Y)
-66
OA
N
O
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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49
d) La determinación analítico-geométrica de los valores deducidos gráficamente se obtiene por el
siguiente procedimiento:
En el triángulo ABM y puesto que la tangente del ángulo en B es conocida (4/3), la relación de
los lados AByMA,BM es 3, 4 y 5; con lo que 30MB . La misma relación existe en el
triángulo BMP, por lo que sus catetos valdrán 18BPy24MP .
Así, 36JMOPy24OJ ; precisamente resulta ser JPJM por lo que
AOOOJ resultando ser el radio de esta circunferencia 42COBO AA ; siendo así
finalmente el valor propio 66C y el esfuerzo cortante máximo absoluto
672
6668
.
18
68
η
P (0; 60)
M
B (X) A (Z) 50
C (Y)
-66
OA P
O
J
18
24 30 24
36
36
24 42
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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50
e) En cuanto a la deformación cúbica unitaria de este estado de esfuerzos, será necesario
determinar cada una de las deformaciones longitudinales unitarias según cada dirección
principal. Es decir:
E
4020e
E
8666
E
AB
E
CE
218
E
CA
E
BE
4868
E
CB
E
A
CBA
C
B
A
Al ser 3,0 resultaría una dilatación del orden de E
8e
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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51
PROBLEMA II-30
Referido a unos ciertos ejes X, Y y Z, el estado de esfuerzos en un punto queda expresado
por el tensor:
100310
050
310010
; en Kg/cm2
Razonando con los Círculos de Mohr, determinar:
1. Los valores propios del tensor (comprobar el resultado mediante cálculo
analítico) e indicar los esfuerzos máximos de tracción, cortante y de compresión.
2. La dirección principal en que se manifiesta ese esfuerzo normal de tracción.
3. El esfuerzo cortante máximo que aparece en la familia de planos cuyas normales
forman 60º con la dirección principal antes calculada.
SOLUCIÓN:
La expresión matricial del tensor, referida a X, Y y Z:
100310
050
310010
; indica
claramente que la dirección Y es principal, ya que no lleva acompañado esfuerzo
cortante alguno, y que el correspondiente valor propio es de 5 Kg/cm2.
Las direcciones X y Z, perpendiculares a Y, tendrán sus tensiones asociadas xt
y zt
con sus componentes intrínsecas ζ y η ocupando posiciones en los círculos de Mohr
PX y PZ sobre la circunferencia determinada por el ángulo θY = 90º.
Además, al ser X y Z perpendiculares entre sí, los puntos representativos PX y PZ
serán diametralmente opuestos en la circunferencia aludida.
Con todo lo anterior, podemos situar PX y PZ en el diagrama (ζ;η), unirlos como
diámetro y dibujar la circunferencia principal correspondiente, con centro en OY,
determinando los valores propios que serán de A = +20 y C = -20 Kg/cm2.
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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52
De este diagrama, ya se conocía que 5 Kg/cm2 era otro valor propio, por lo que el
esfuerzo máximo de tracción será2
max cm/Kg20 y el máximo esfuerzo cortante
de 2
max cm/Kg20 , también.
La dirección principal del ζmax vendrá determinada por el ángulo APX con la vertical
AA’ que, como puede apreciarse es de 30º. Así que esa dirección será expresada
referida a los ejes dados X, Y y Z mediante las expresión k2
1i
2
3uA
en la que
k,j,i
son los versores de esos ejes.
Respecto a la familia de planos cuyas normales forman los 60º con la dirección
calculada Au
, trazaremos la recta AMN y, con centro en OA, el arco MN,
determinando así el esfuerzo cortante máximo correspondiente:
2
35'NO'NNNO
3102
320º60senCN'NN
5,2'CNCO'NO5,122
CBCO25CB
102
120º60cosCN'CN20
2
140º60cosACCN
2
A
2
Aº60
maxAAA
2º60
maxcm
Kg50,17
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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53
+5
+20
η
B (Y) A
C
-20
OA
P (0; 20)
O=OY ζ
10
310
Px
-10
310
PZ
A’
30º M
N
º60max 60º
N’
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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54
PROBLEMA II-31
Del estado de esfuerzos en un punto, se sabe:
Que las Direcciones Principales son X, Y y Z: la X correspondiente al esfuerzo
máximo de tracción y la Z al máximo de compresión.
Que de los planos que pasan por el eje X, el que soporta el esfuerzo cortante
máximo, tiene 2cm/kg200 .
Que de los planos que pasan por el eje Z, el que soporta el esfuerzo cortante
máximo, tiene 2cm/kg400 .
Que existe una orientación de un plano en el que no existen esfuerzos cortantes ni
normales.
Determinar:
1. Esfuerzo normal máximo de tracción.
2. Esfuerzo normal máximo de compresión.
3. Esfuerzo cortante máximo absoluto y esfuerzo normal asociado a este.
4. Esfuerzo cortante puro máximo.
5. Máximo esfuerzo cortante de la familia de planos que forman 45º con el eje
principal Y.
SOLUCIÓN:
1. Los planos que pasan por el eje X (correspondiente al mayor valor propio A)
tienen sus normales perpendiculares a X, así que los esfuerzos σ y τ estarán en el
círculo de centro OA, y el mayor τ será su propio radio 200RA .
2. El mismo razonamiento cabe hacerse respecto a los planos que pasan por el eje
Z (correspondiente al menor valor propio C) y, entonces, 400RC .
3. Si existe un cierto plano sin esfuerzo cortante, ese será principal. Y si el normal
es nulo, este será Valor Propio intermedio, ya que los otros dos uno es tracción y el
otro, compresión.
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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55
4. Con lo anterior estamos en condiciones de dibujar los tres círculos de Mohr y
dar respuesta a las cuestiones planteadas:
0;cm/Kg600
;cm/Kg400;cm/Kg800
max2abs
max
2compmax
2traccmax
5. En cuanto a la determinación del esfuerzo cortante puro máximo, este se puede
deducirse del triángulo BDOB:
222
puro
2
B
2
B
2cm/Kg68,5652400200600BDBODOBD
6. El cortante máximo de la familia de planos que se pregunta se calculará como
el radio OBE en el triángulo OBOCE:
2222
C
2
BCB cm/Kg4485200400200EOOOEO
D
E
OA (-200)
η
ζ B A (800) C (-400)
OC (400) OB
(200)
ηma
x
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PROBLEMA II-32
Del estado de esfuerzos en un punto se sabe:
a) Que sobre un cierto plano, perpendicular a una dirección X, solamente actúa un
esfuerzo normal de tracción de .
b) Que del abanico de planos que pasan por dicho eje X, el que tiene por normal
no soporta esfuerzo normal alguno, mientras que .
c) Que el versor es perpendicular a X, y que los esfuerzos que actúan sobre el
plano normal a son .
1º.- Determinar el esfuerzo de tracción máximo a que se ve sometido el punto y el máximo
esfuerzo cortante.
2º.- De entre los esfuerzos cortantes que actúan en planos cuyas normales forman 45º con
el eje X, ¿cuánto vale el mayor de ellos?
SOLUCIÓN:
a) El eje X es dirección principal de esfuerzos y su valor propio es 30 Kg/cm2.
b) El abanico de planos que pasan por X están definidos por versores perpendiculares
a X por lo que, en los círculos de Mohr, su representación se situará sobre uno de los
círculos principales (el que sea asociado a la dirección principal X); al igual que la que
corresponde al versor , que
también es perpendicular a X.
c) Llevando las conclusiones
anteriores a los Círculos de
Mohr:
En el borrador que figura en el
dibujo de la izquierda, tras la
representación de los ejes ζ y η, se
posicionan los puntos P1 y P2 con
los valores de los esfuerzos dados
30
111,3
5
P1
80
60
P2
σ
τ
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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57
para n1 y n2, y en la mediana del segmento se hallará el centro del círculo
asociado al eje principal X. Así, el trazado del círculo en cuestión se determinará de
forma inmediata, obteniéndose dos de los valores propios que faltaban.
Tan solo queda posicionar el valor propio 30, para, con ello acabar así de trazar los tres
Círculos de Mohr.
d) Llevando la construcción deducida antes a un gráfico con la escala adecuada, resultará:
P2
P1
A = 93,14 B C = -133,14 OC OB
ηmax = 113,14
ζ
η
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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58
e) La consideración de los planos cuyas normales forman 45º con el eje X, al ser este
el principal de valor propio intermedio, obliga a analizar el arco que, con centro en
OB, identifica todos los esfuerzos normales y cortantes que actúan en los diferentes
planos de ese abanico.
f) El mayor esfuerzo cortante del arco en cuestión será entonces:
A C OC
OB
B OA
P N
M
η
ζ
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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59
PROBLEMA II-33
Del estado de esfuerzos en un punto, se sabe:
Existen dos valores propios iguales y de signo contrario.
El esfuerzo cortante puro mínimo se presenta en un plano cuya normal sigue la
dirección W y vale .
El esfuerzo normal máximo absoluto de compresión actúa sobre un plano cuya
normal sigue la dirección X, y tiene un valor de .
1. Determinar los esfuerzos normal y cortante que actúan en un plano cuya
normal U forma el mismo ángulo que el eje W con la dirección X, y que,
además forma 60º con la dirección principal de mayor valor propio.
Considerando las familias de planos cuyas normales forman un ángulo θ común con la
dirección principal del valor propio máximo, ¿entre qué valores de θ ningún plano de
dichas familias presentará esfuerzos de compresión?
SOLUCIÓN
1. Existiendo dos valores propios iguales y de signo contrario, un círculo de Mohr que
pasa por esos valores propios tendrá su centro en el origen de coordenadas.
2. Si el = 200, quiere decir que el primer punto del eje η que pertenece al campo
de existencia del gráfico de los Círculos de Mohr será él mismo. De manera que,
además del centro mencionado en 1., sabremos que o el radio del círculo será de
200 (determinando así los dos valores propios de +/- 200 Kg/cm2 en caso de que
dicho círculo fuera uno de los interiores), o ese centro corresponderá al círculo
exterior. Por tanto existen dos vías para la solución del problema.
3. Si seguimos en primer lugar la primera, y tenemos en cuenta que, además, el
máximo esfuerzo de compresión es de 400, habremos definido otro valor propio no
coincidente con los anteriores, con lo que los tres círculos de Mohr quedarán
definidos.
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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60
4. Determinados ya los valores propios A, B y C; la dirección del eje X definirá la
dirección principal de C, y la W (correspondiente al plano de ) pertenecerá al
círculo de OC y, por tanto, perpendicular a X y, por tanto, uno de los
condicionantes para la dirección U es que el punto que represente los esfuerzos
asociados a él, esté sobre dicho círculo AB.
5. La otra condición, según expresa el primer apartado del enunciado, es que forma
60º con el eje principal del valor propio A. Por tanto habrá de trazarse en el sentido
correcto la línea de 60º citada y el arco correspondiente con centro en OA. La
intersección con el círculo AB dará la solución buscada: punto P. (Trazado en color
azul).
6. Analizando el 2º apartado, para todo ángulo θ comprendido entre 0º y el definido
θ0 (en marrón) no existirán esfuerzos de compresión sobre los planos que
representa.
OA (-300)
ζ B (-
200)
A (200) C (-400)
OC (0) OB (-100)
ηmax=300
(W)
(X)
60º
P
θ0 η
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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61
7. Volviendo a la otra consideración, de que el origen de coordenadas sea centro del
círculo mayor, el dato facilitado de que un valor propio es de –400 Kg/cm2, implica
que el otro sea de +400 Kg/cm2, resultando también fácil la construcción de los tres
círculos de Mohr y las respuestas a las cuestiones planteadas.
8. Existe también la solución simétrica respecto al eje η.
ζ B (-
100)
A (400) C (-400)
OB (0)
ηmax=400
(W)
(X)
60º
P
θ0 η
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Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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Capítulo Tercero
Problemas isostáticos unidimensionales
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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PROBLEMA III-1
Dos barras de acero, idénticas, de longitud L y sección S, se encuentran articuladas en uno
de sus extremos C, y los otros (A y B) están articulados en puntos fijos a un techo horizontal.
El ángulo θ que forman las barras con el eje de simetría vertical, es conocido. Del extremo
común C se cuelga un peso P.
Se desea conocer el esfuerzo a que se ven sometidas las barras de acero, el alargamiento
total de su longitud y el desplazamiento vertical que sufrirá la articulación C.
SOLUCIÓN:
Como puede verse en esta figura, dicha estructura sería simétrica, por lo que con este único
razonamiento bastaría para deducir que las tensiones de las barras AC y BC deberán ser iguales. Sin
embargo, aún no asumiendo tal circunstancia, ello queda puesto de manifiesto en el análisis del
equilibrio de la articulación C. Si se efectúan los cortes M y N por dos planos normales a cada barra e
infinitamente próximos al nudo C [fig. b)], el equilibrio de este deberá producirse bajo la acción de la
carga exterior P y de las tensiones X e Y que actuarían en cada barra. Así, al proyectar las fuerzas X e
Y sobre ejes horizontal y vertical, resultará:
YXsenYsenX (como se dedujo por simetría)
y también:
cos2
PXPcosX2Pcos)YX(
Ello implica que si “S” fuera el área de la sección recta de las barras, el esfuerzo a que se verían
sometidas sería:
cosS2
P ;
y el alargamiento de cada barra:
cosSE2
LP
EL
;
θ θ
C
P
X Y
senX senY
cos)YX(
b)
θ θ
B
C
P
A
M N
a)
L θ θ
C
c) C’
δC
δ
θ--Δθ
L
B A D
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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66
siendo el desplazamiento vertical del punto C:
2CcosSE2
LP
cos
1
Para la resolución del caso anterior se ha tenido en cuenta que, en virtud de la escasa magnitud de las
deformaciones de los materiales elásticos, el ángulo θ [fig. c)] variará también muy poco y su
incremento Δθ es imperceptible frente a los valores de origen ( ). No obstante, este
incremento puede determinarse con una precisión suficientemente alta [ver en la fig. c) el triángulo
DBC’ y el DBC]:
32C
cosSE2
P1
tan
cosSE2
PLcosL
Lsen
cosL
Lsen
'DC
DB)tan(
; y como:
tan1
tan
tan1
tan
tantan1
tantan)tan(
[donde se ha sustituido tan Δθ por Δθ (dado su valor tan pequeño) y despreciando Δθ frente a tan θ];
resulta finalmente:
sencosSE2
P
tagcosSE2
P
cosSE2
Ptan
233
y:
2sen
2
E2sencos
1
SE
P
de donde podemos concluir que el incremento del ángulo θ es independiente de la longitud L de las
barras, siendo directamente proporcional al esfuerzo ζ a que están sometidas y, por tanto, a la carga P
aplicada en C, e inversamente proporcional a la sección S de las barras.
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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67
PROBLEMA III-2
Dos piezas prismáticas longitudinales, están dispuestas como muestra la figura: con sus
extremos articulados en una pared fija en A y B, y entre sí en su otro extremo C, del que
cuelga verticalmente una carga P. Supuesta la barra AC de acero y la horizontal BC de
madera, con módulos de elasticidad conocidos, así como las características geométricas L y
θ, determínese las secciones rectas de ambas barras para que sus esfuerzos de trabajo sean
respectivamente ζtA y ζtM. Determinar igualmente el desplazamiento que sufrirá su punto de
unión C.
SOLUCIÓN:
Es importante entender especialmente que aquí el desplazamiento del punto C no es vertical como en
otros casos, en los que las razones de simetría obligan a ello. Es más, siendo ahora los elementos
componentes de la estructura de diferente material (acero y madera: EA y EM) y de diferente sección
(SA y SM), el concepto de simetría no tiene ningún sentido.
Aislemos el nudo articulado C para establecer el equilibrio de todas las fuerzas que actúan sobre él.
Para ello, como es habitual, cortaremos las barras AC y BC por secciones rectas infinitamente
próximas al nudo C [fig b)]. Al plantear las ecuaciones de equilibrio para los ejes horizontal y
L
B
A
θ
P
EA
EM
C
L sen θ
L cos θ
m
n
a)
θ
P
C m
n
X
Y
Y sen θ
Y cos θ
b)
L
B
A
θ
P
EA
EM
C
L sen θ
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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68
vertical, resulta que la tensión en la barra de acero (AC) habrá de ser una tracción cuya componente
vertical llegue a equilibrar a la carga P, teniendo esta misma tensión una componente horizontal que
será a su vez equilibrada por la tensión de la barra de madera que, naturalmente, estará sometida a
compresión. Denominando por X e Y a estas fuerzas respectivas de tracción y compresión, las
ecuaciones de equilibrio nos darán:
XcosY
PsenY
tan
PX
sen
PY
Así, las tensiones de las barras quedan determinadas con la exclusiva aportación de las ecuaciones de
equilibrio de la Estática, como corresponde a un caso isostático.
Los correspondientes esfuerzos normales en las barras serían:
)compresión(;tanS
P
)tracción(;senS
P
M
M
A
A
Si la intención es que los elementos de acero y madera estén sometidos a los esfuerzos de trabajo que
requiere el enunciado, ζA y ζM deben coincidir con ζtA y ζtM y las secciones Sd con que deberían ser
diseñadas para tales barras serían:
tan
PS
sen
PS
tM
dM
tA
dA
Entrando ahora en la deformación de la estructura, determinaremos mediante la Ley de Hooke las
deformaciones de cada barra según las tensiones X e Y a las que son sometidas para, posteriormente,
situar el nudo articulado C en la nueva posición que le corresponde ante los giros libres que pueden
dar las barras AC y BC alrededor de sus articulaciones fijas en A y B, respectivamente. Así, podemos
ver en la figura c) como la barra AC se alarga en δA desplazándose el nudo C hasta CA y, por su parte,
la barra BC se acorta en δM desplazándose el nudo C hasta CM. Y dado que la articulación C deberá
ser única, las barras girarán alrededor de sus articulaciones fijas A y B para que sus extremos CA y
CM resulten coincidentes en C’, donde quedaría definitivamente el nudo C después de la deformación
de la estructura [fig. d)].
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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69
Las cuantías correspondientes a las deformaciones δA y δM de cada barra quedarán determinadas por
la Ley de Hooke:
cosLE
LE
M
MM
A
AA
2
MM
M
AA
A
cossen
L
ES
P
sen
L
ES
P
así [fig. III-7 b)], asumiendo ya conocidos las deformaciones δA y δM de las barras, el desplazamiento
total de C hasta C’ tendrá las componentes horizontal y vertical que se indican a continuación:
tan
)cos(sen
tan
JCsen'JCJCy:verticaldesplaz
x:horizontaldesplaz
AMA
AAMC
MC
sen
cosy
x
MAC
MC
; o bien:
2
3
MM2
AA
C
MM
C
sen
cos
ES
PL
sen
1
ES
PLy
tan
cos
ES
PLx
L
B
A
θ
P
EA
EM C
L sen θ
L cos θ
c)
CM
CA
C’
δA
δM
θ
EA
EM C
d)
CM
CA
C’
δA
δM
θ
J
xC
yC
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70
PROBLEMA III-3
Una pilastra de sección variable está compuesta de dos materiales diferentes: acero (de
Módulo de Elasticidad EA y sección SA) y de hormigón (de Módulo de Elasticidad EH y
sección SH). Se le somete a una tracción axial desde el exterior (W) y compresión en el
tramo central de hormigón con una carga P. Se desea saber los esfuerzos a que se ven
sometidos cada tramo de la pilastra y el alargamiento total de la misma.
SOLUCIÓN:
2a (EH; SH)
a
a
(EA; SA)
(EA; SA)
P
W
W
P
(a)
a (EA; SA)
P
W
ζH
SH
EH
ζH SH+P =W
(b)
EA
W
ζA
SA
ζASA=W
(c)
2a (EH; SH)
a
a
(EA; SA)
(EA; SA)
P
W
W
P
(a)
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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71
Como no puede ser menos, deberemos aislar una parte de la pilastra mediante un corte por una
sección recta, que ponga de manifiesto el esfuerzo ζ que se produce en uno de los tramos, para luego
repetir la operación con otra sección perteneciente al otro tramo. De esa manera, conocidos los
esfuerzos y las longitudes de cada uno se podrá determinar su incremento de longitud y así el
alargamiento total.
En la figura (a) se ha efectuado un corte por una sección correspondiente al tramo central de
hormigón sustituyendo las acciones del resto de la pilastra por el correspondiente esfuerzo normal ζH
que, al ser multiplicado por la superficie sobre la que actúa SH, nos dará la fuerza total que está
ejerciendo la parte inferior sobre la aislada. A esta fuerza le tendremos que agregar la carga P que
actúa en su mismo sentido, y a esta resultante se le tendrá que oponer la carga exterior W en el
correcto estado de equilibrio, tal como se indica al pié de la figura (b) que muestra esta situación.
De la misma manera, efectuando un corte en el tramo de acero del primer tercio de la pilastra [fig.
(c)], el esfuerzo normal ζA actuando sobre la superficie SA equilibra la fuerza W. El tramo inferior,
por simetría respecto al plano horizontal central, será exactamente igual que el primero de ellos.
Por tanto los valores de los esfuerzos serán:
;S
PW
;S
W
H
H
A
A
(nótese que si W P H ; y el hormigón estaría en compresión)
así, a través de la Ley de Hooke, podemos determinar las deformaciones longitudinales unitarias:
;SE
PW
E
;SE
W
E
HHH
HH
AAA
AA
y las deformaciones parciales de cada tramos serán:
;SE
a2)PW(a2
;SE
aWa
HH
HH
AA
AA
o sea, que el alargamiento total de la pilastra vendrá definido por la expresión:
;SE
a2)PW(
SE
aW22
HHAA
HATotal
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72
PROBLEMA III-4
Un anillo metálico cuyo Módulo de Elasticidad es “E”, tiene un radio “R” y un espesor
“e” (muy pequeño frente a R). se le somete a una presión interna uniforme de valor “p”.
¿Cuánto ha de valer “e” para que el esfuerzo que soporta el anillo sea “ζt”?.
SOLUCIÓN:
En el anillo resulta evidente su simetría respecto a cualquier diámetro y, por tanto, respecto a su
centro. Ello nos permite poder trabajar con una de sus mitades simétricas, sabiendo que la otra
mitad tendrá un comportamiento idéntico. Así, si imaginamos un corte por uno de los diámetros
(AB), la otra mitad del anillo actuará sobre esta con los esfuerzos normales y cortantes que
mutuamente se ejerzan, y que serán los mismos en cualquier sección diametral del anillo en
cuestión.
De estos esfuerzos, podemos asegurar que el cortante es nulo, dado que éste no existe en el plano
perpendicular a la sección recta (nos encontraríamos en el exterior del anillo donde ninguna acción
es ejercida). De manera que tan solo tendremos un esfuerzo normal que se transmite a lo largo de
toda la circunferencia del anillo, dando lugar a la extensión total del mismo (obtenida como suma
integral de los alargamientos de cada elemento de longitud de arco del anillo) y aumentando el
tamaño del radio. El anillo está, pues, sometido a una tracción lineal en la dirección tangente a su
arco.
Si fuerzas radiales uniformemente distribuidas actúan a lo largo del perímetro de un anillo delgado
circular, a modo de una presión interna p (fig. III-12), este sufrirá un estiramiento longitudinal
uniforme en todo él. Para su estudio, aún tratado como elemento unidimensional, consideraremos
su espesor e como una dimensión muy pequeña en comparación con el radio del anillo R, así como
la dimensión transversal a nuestro plano de trabajo, que podemos designar como b, de manera que
la sección recta del anillo, será ebS .
p
(a)
dθ
θ
fd
R
p
ζ ζ
e
(b)
A
B
C
O
θ
fd
ydf
(c)
p 2R
e
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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73
En el anillo resulta evidente su simetría respecto a cualquier diámetro y, por tanto, respecto a su
centro. Ello nos permite poder trabajar con una de sus mitades simétricas, sabiendo que la otra
mitad tendrá un comportamiento idéntico. Así, si imaginamos un corte por uno de los diámetros
(AB), la otra mitad del anillo actuará sobre esta con los esfuerzos normales y cortantes que
mutuamente se ejerzan, y que serán los mismos en cualquier sección diametral del anillo en
cuestión.
De estos esfuerzos, podemos asegurar que el cortante es nulo, dado que éste no existe en el plano
perpendicular a la sección recta, ya que nos encontramos con el exterior del anillo donde ninguna
acción es ejercida. De manera que tan solo tendremos un esfuerzo normal que se transmite a lo
largo de todo el perímetro del anillo, dando lugar a la extensión total del mismo, que se obtiene
como suma integral de los alargamientos de cada elemento de longitud de arco del anillo.
Ante éstos razonamientos, y volviendo a la figura III-12 (b), el corte diametral AB y la
consideración de simetría que persiste en el eje o diámetro perpendicular OC, nos permite afirmar,
no solo que los esfuerzos normales en A y B sean iguales, sino que la presión interna p dará como
resultante una fuerza de dirección vertical que habrá de ser contrarrestada por la que provoquen los
esfuerzos ζ en A y B, mientras que las componentes horizontales de las fuerzas debidas a la
presión se anularán entre sí por la simetría aludida respecto a OC.
Así que propongámonos determinar la fuerza que ejerce esta presión p sobre un elemento de anillo
de carácter genérico. Para ello, elijamos una sección del anillo situada en la posición que determina
un ángulo variable θ cuyo arco desde B habrá de ser Rl , y consideremos un incremento de
θ en “dθ”, que determinará un arco dRdl sobre el que se ejercerá, en dirección radial, la
fuerza infinitesimal dlbpfd
, formando con la horizontal el mismo ángulo θ.
Por ello, su componente vertical sería:
dsenRbpdlsenbpsendfdfy
Así, la suma de todas estas componentes desde que θ vale 0 hasta que alcanza los π radianes,
abarcando así la semicircunferencia de la figura, será:
Rbp20coscosRbpdsenRbpdsenRbpF
00
y
Esta fuerza, como se dijo antes, será equilibrada por la que producen los esfuerzos normales ζ en A
y B, es decir:
eb2F
de donde se deduce que: e
Rp
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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74
Este esfuerzo dará lugar, en la fase elástica de dilatación del anillo, a la deformación longitudinal
unitaria Ee
pR
E
que afectará a la longitud del perímetro total del anillo, de manera que su
longitud original: R2L , pasará a ser:
'R2R12L1'L ;
es decir, el nuevo radio del anillo será:
R1'R
Como puede observarse los resultados son independientes la anchura b del anillo.
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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75
PROBLEMA III-5
Las barras elásticas AB y AC de la figura tienen secciones respectivas 2S y S, con un mismo
módulo de elasticidad E.
Si en un momento determinado la articulación A sufriera una carga vertical de valor W,
determinar el esfuerzo normal ζ y la tensión T que tendría que soportar la barra AC, así
como la deformación longitudinal unitaria de la barra AB en función de los datos S, E, y la
longitud AC = L.
PROBLEMA III-6
Las barras elásticas AB y AC de la figura tienen secciones respectivas 2S y S, con un mismo
módulo de elasticidad E.
Si en un momento determinado la articulación A que une a ambas barras sufriera un
pequeño desplazamiento hacia la izquierda en una magnitud conocida 2δ. 3 , hasta la
posición A’, determinar el esfuerzo normal ζ y la tensión T que tendría que soportar la barra
AC, en función de los datos S, E, δ y la longitud AC = L.
30º A A’
B
C
2δ. 3
30º A B
C
W
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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76
PROBLEMA III-7
La barra AB de la figura, de peso P, se encuentra en equilibrio formando un ángulo de 45º
con la horizontal. Además, está articulada en el suelo en su extremo A y amarrada desde el
otro extremo B al punto C por un cable CB=2L que forma un ángulo de 30º con el suelo.
Finalmente, también soporta en su extremo B una fuerza vertical igual a su propio peso P. Si
las respectivas secciones y materiales de la barra y cable son (Sb; Eb) y (Sc; Ec), determinar:
La fuerza que soporta la articulación A.
La tensión del cable BC.
Los esfuerzos de tracción y/o compresión en barra y cable.
Desplazamiento del punto B (horizontal y vertical).
45º 30º C
B
A
P 2L
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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77
Capítulo Cuarto
Sistemas y estructuras planas articuladas hiperestáticas
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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79
PROBLEMA IV-1
Tres barras dispuestas simétricamente según indica la figura (se supone que las dos
exteriores son de un material de Módulo de Elasticidad E1 y la central de módulo E2), con
secciones respectivas S1 y S2, están cargadas en su nudo común C con la fuerza vertical P.
Las características geométricas son las que se indican: L y θ.
Particularizar para:
21 E2E
21 S6S
º60
SOLUCIÓN:
Idealizaremos tres cortes (m, n y k) en las proximidades del nudo C sobre cada una de las barras, para
aislar el nudo C, sometido a la carga exterior y a las tensiones de cada barra, y así poder estudiar su
equilibrio.
Evidentemente, por razones de simetría, las tensiones de las barras inclinadas serán iguales y las
llamaremos X. Por su parte, la barra vertical CD tendrá una tensión diferente que denominamos Y.
Dado que ya habremos utilizado una ecuación de las de equilibrio (proyección según el eje
horizontal) al considerar la simetría, solo nos quedará la ecuación de equilibrio vertical que se
expresaría así:
PYcosX2 ( I )
θ θ
C
P
X X
senX senX
(b)
Y
θ θ
C
(c) C’
δY
δX
θ-Δθ
L
B A D
θ θ
B
C
P
A
m n
(a)
L
k
D
E1; S1
E2; S2
θ θ
B
C
P
A
L
D
E1; S1
E2; S2
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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80
Si observamos la realidad geométrica de simetría de la figura (c) estaremos ante el hecho de que el
alargamiento δY y los dos alargamientos δX deberán ser tales que los tres den la confluencia de las
barras AC, BC y DC. Esto puede ser expresado de diversas formas, pero quizás sea la más clara
evidenciar que el triángulo DBC’ es rectángulo en D, lo mismo que lo era el DBC antes de la
deformación. Aplicando el Teorema de Pitágoras en ambos triángulos tenemos:
222222
2y
222x
2222
)cosL(BDLDCBDBC
)1()cosL(BD)1(L'DCBD'BC
La diferencia miembro a miembro de ambas expresiones permite escribir:
22y
222x
2 )cosL()1()cosL(L)1(L
o sea, dividiendo todo por L2 y desarrollando los cuadrados de los paréntesis:
22yy
22xx cos)21(cos1)21(
o lo que es lo mismo:
)2(cos2 2yy
22xx
y es aquí donde debemos aplicar los criterios de la Elasticidad en relación a los ínfimos valores de las
deformaciones de los materiales. Esto significará que si ε es muy pequeño, ε2 será despreciable frente
a su primera potencia y podremos deducir que:
2yx
2yx coscos22 ( II )
Esta última fórmula, que es la ecuación hiperestática de las deformaciones, debemos expresarla en
función de los respectivos esfuerzos ζ y, a su vez, de las fuerzas X e Y.
Así que, como:
222
y
y
111
xx
SE
Y
E
SE
X
E
al sustituirlo en la expresión ( II ) nos permitirá tener la ecuación hiperestática que se complementa
con la ( I ):
PYcosX2 ( I )
2
2211
cosSE
Y
SE
X ( III )
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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81
Así tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, de las que podemos despejar X e Y. Obtenidos los
valores de estas fuerzas, tendremos los esfuerzos correspondientes (dividiendo por las áreas de la
secciones rectas sobre las que actúa) y finalmente, por la Ley de Hooke, las deformaciones δx y δy a
que dan lugar.
Particularizando para los las relaciones dadas entre E1 y E2; entre S1 y S2; y el ángulo θ, resultará:
P4
3X
P4
1Y
Y3X
PYX
4
1
SE
Y
S6E2
X
PYX
2222
Y, de otra parte,
22yy
22xx
2222y
2211x
SE8
LPº60cosL
SE48
LPL
SE4
P
SE
Y
SE48
P
SE
X
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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82
PROBLEMA IV-2
Un soporte vertical de sección constante S, de material cuyo Módulo de Elasticidad es E,
está construido de tal manera que su base y su capitel están atrapados por superficies (piso y
techo) fijos e inamovibles. Es decir, empotrados en ellos. La carga axial P se aplica en una
sección intermedia como se representa en la figura. Se desea conocer las reacciones en A y
B, así como los esfuerzos normales a que se encuentra sometido cada tramo del soporte y el
desplazamiento que sufre la sección C.
SOLUCIÓN:
Se establecerá la ecuación de equilibrio isostático: PRR BA (I), resultando precisa una
segunda ecuación (la hiperestática) para poder calcular las dos reacciones RA y RB.
ζA
A
ax
RA
(b)
AA RS
:axpara
ax
A
P
ζB
a
RA
C
(c) BAB
AB
RPRS
RPS
:axpara
A
L
b P
a
B
RA
RB
C
(a)
PRR BA
A
L
b P
a
B
C
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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83
La ecuación hiperestática se planteará, plasmando la condición de que la distancia entre A y B no
pueda variar: 0BA (II). Esta ecuación hay que expresarla en función de RA y RB tras la
aplicación de la Ley de Hooke:
Como se ve en la figura (b), al cortar por una sección recta perteneciente al primer tramo, el esfuerzo
normal será: S
RAA ; mientras que al cortar por la sección recta en el segundo tramo [fig. (c)],
el esfuerzo correspondiente será: S
RBB ; así, convirtiendo estos esfuerzos en sus
correspondientes alargamientos respectivos, tendremos:
;aSE
Ra
Ea AA
AA
y: ;bSE
Rb
Eb BB
BB
(el primero de alargamiento y el segundo un acortamiento); con lo que la ecuación (II) se transformará en la ecuación hiperestática deseada:
bRaR BA (II)
que en unión de la: PRR BA (I)
hará posible dar respuesta a las cuestiones planteadas:
SEL
Pab
LS
Pa
LS
Pb
L
PaR
L
PbR
A
B
A
B
A
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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84
PROBLEMA IV-3
Un bloque pesado indeformable cuelga de una superficie horizontal fija, suspendido por tres
cables de materiales diferentes (E1, E2 y E3), y de igual sección recta S y longitud a, tal
como se indica en la figura. Se pide determinar los esfuerzos a que se verán sometidos los
tres cables.
SOLUCIÓN:
En la figura (a) se plantea el equilibrio de las fuerzas exteriores, todas verticales, aunque por la falta
de simetría que supone la diferencia de materiales de los cables, habrá que suponer que las reacciones
en los tres articulaciones (A1, A2 y A3) serán distintas entre sí.
(a)
Sumatoria de fuerzas
verticales = 0 PRRR 321
A1
a
P
R1
A2
R2
A3
R3
B1 B2 B3
E3 E2 E1
Momentos respecto
al punto A2 = 0 0bRbR 31
o sea: 31 RR
b b
A1
R1
A2
R2
A3
R1
E3 E2 E1
ζ1 ζ2 ζ3
(b)
;S
R
;S
R
;S
R
13
22
11
A1
a
P
R1
A2
R2
A3
R3
B1
B3
E3 E2 E1
δ1 δ2 δ3
;SE
R
E
;SE
R
E
;SE
R
E
3
1
3
33
2
2
2
22
1
1
1
11
(c)
A1
a
P
A2 A3
B1 B2 B3
E3 E2 E1
b b
B2
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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85
Sin embargo, la otra ecuación isostática de equilibrio que habría de aplicarse en este caso, el
equilibrio de momentos, si se toman respecto al punto A2, resultan las dos fuerzas de reacción R1 y R3
iguales. No obstante, aunque hemos podido utilizar dos ecuaciones de la Estática, sigue existiendo
grado uno de hiperestaticidad, ya que son tres las incógnitas. Así se hace necesario establecer la
ecuación hiperestática en base a las deformaciones de los tres cables, conservando la condición
hipotética de partida de que el bloque que sustentan es indeformable, por lo que la línea B1B2B3
deberá permanecer recta después de la deformación, lo que conlleva una relación entre los
alargamientos δ1, δ2 y δ3.
Una vez determinados los esfuerzos normales, como muestra en la figura (b), así como las
deformaciones [fig. (c)], la relación entre los alargamientos se deducirían de la semejanza entre los
triángulos constituidos por los incrementos de unos respecto a los otros:
)(2 3231
o sea:
3
1
2
2
3
1
1
1
E
R
E
R2
E
R
E
R; que es la tercera ecuación buscada.
Resolviendo:
S
P
EEEEE4
EE2
S
P
EEEEE4
EEE
S
P
EEEEE4
EE2
PEEEEE4
EEER
PEEEEE4
EE2RR
REE2
EEE2RR2P;R
EE
EEER2
31231
313
31231
3122
31231
311
31231
3122
31231
3131
1
31
312211
31
3122
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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86
PROBLEMA IV-4
El esquema de la figura está compuesto por cuatro barras articuladas de acero cuyo módulo
de elasticidad es E, formando un rombo de lado “a”, cuyo semi-ángulo en las articulaciones
superior e inferior es de 30º. Las secciones de las barras perimetrales son iguales, e igual a
2S, mientras que las de las diagonales son: S, para la AA, y 4S para la BB.
Las cargas, como se indica en la figura, son W en la dirección de la diagonal vertical y 2W,
en la dirección de la diagonal horizontal.
Calcular:
Incremento total “δT” de la longitud de la diagonal AA.
Fuerza a que se ve sometida la diagonal horizontal.
Esfuerzo “ζp” a que se ven sometidas las barras perimetrales AB.
PROBLEMA IV-5
El esquema de la figura indica dos planchas rígidas indeformables atravesadas por cuatro
pernos roscados de acero de módulo de Elasticidad “EA”. Las planchas sujetan un bloque de
hormigón de módulo de elasticidad “EH” y módulo de Poisson “µ”, mediante un par de
tuercas colocadas en cada perno, sin ejercer ninguna presión sobre el bloque de hormigón.
Estando así las cosas (sin presión alguna entre ninguno de los elementos del sistema, se
procede a dar un giro completo de apriete de las cuatro turcas superiores, avanzando así un
paso de rosca cuya longitud es “e”. Produciendo así una tensión de estiramiento en los
pernos de acero y una compresión uniforme sobre el bloque de hormigón.
2w 2w
A
A
B B
30º
w
w
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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87
Las dimensiones del bloque de hormigón corresponden a un cubo de arista “a” y el área de
la sección recta de los pernos de acero es S = a2/10.
La relación entre los módulos de elasticidad de los materiales es EA = 10.EH.
Determinar:
1. El esfuerzo normal al que se ve sometido el acero.
2. El máximo esfuerzo cortante del hormigón.
3. La deformación longitudinal unitaria del hormigón en dirección horizontal.
PROBLEMA IV-6
La estructura de la figura, corresponde a un hexágono regular con barras perimetrales de
sección doble que las radiales. Calcular las tensiones en cada barra.
EH; µ EA; S e (paso de rosca)
P P
P P
P P
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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88
PROBLEMA IV-7
Tres barras de la misma sección e idéntico material, están dispuestas como muestra la
figura: dos con sus extremos articulados en una pared fija en A y B, y la tercera en C (en
el techo). Sus otros extremos están unidos entre sí mediante una articulación única D, de
la que cuelga verticalmente una carga P. Supuesto conocido el módulo E de elasticidad,
así como las características geométricas L (longitud de la barra AD) y el ángulo θ,
determínese la sección recta mínima que habría que dar a las barras para que sus
esfuerzos no superen a uno de trabajo dado ζT.
Determinar igualmente el desplazamiento que sufrirá la articulación D.
SOLUCIÓN:
Sea S la sección buscada de las barras.
Aislando el nudo D y
denominando X, Y y Z a las
tensiones que soporta cada
barra, resultarán las ecuaciones
isostáticas de equilibrio
siguientes:
;cosYX
;PYsenZ
B
θ
P
D
L sen θ
C A
B
θ
P
D
L sen θ
C A
X
Z Y
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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89
Problema hiperestático de primer orden que precisa de una ecuación más.
Las deformaciones que se
producen en cada barra serán:
;SE
ZLsen
;SE
YL
;SE
cosXL
Z
Y
X
debiendo ser tales que el
desplazamiento final de la
articulación D (que es extremo
de todas ellas) esté en un punto
único y común para todas las
barras (DA, DB y DC coincidan
en D’).
YXtanYZ
;sen
cos
YZ
YX
YsenZsen
cosYcosXtan
;sen
cos
'HD
HDtan
2
YZ
YXA
Obsérvese que se ha tomado para el cálculo
anterior el valor absoluto de δX.
De esta manera hemos planteado la ecuación
hiperestática que deberá ser unida a las dos
isostáticas obtenidas antes. Así, si sustituimos
X y Z en esta última, podremos determinar Y,
para luego obtener X y Z.
B
θ
D
L sen θ
C A
DB
DC
DA
D’
L cos θ
L
θ
D DB
DC
DA
D’
δX δY
δZ
δX
θ
δZ – δY .senθ
δX + δY .cosθ
H
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
90
Pcossen1
cos1Z
Pcossen1
cossenX
Pcossen1
senY
YcosYtanYYsenP
33
3
33
2
33
2
2
Haciendo un análisis comparativo de las tres fuerzas obtenidas, deducimos que Z es mayor que las
otras dos, por dar un resultado superior a 33
cossen1
P
, siendo inferiores a este valor las
otras dos fuerzas X e Y.
Por ello, la barra vertical CD será la que sufra mayor solicitación de carga, por lo que la sección que
precise definirá a las demás:
T33
3
T
P
cossen1
cos1ZS
Finalmente, el desplazamiento de la articulación D quedará definida por sus componentes horizontal y
vertical δX y δZ utilizando los valores obtenidos de X, Z y S.
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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91
PROBLEMA IV-8
Tres barras de la misma sección e idéntico material, están dispuestas como muestra la
figura, de manera que las tres tienen sus extremos articulados en una bóveda de forma
circular fija en A, B, y C. Sus otros extremos están unidos entre sí mediante una articulación
única D (justo en el centro geométrico de la bóveda), de la que cuelga verticalmente una
carga P. Supuesto conocido el módulo E de elasticidad, así como la longitud de las barras R
(radio de la bóveda), determínese la sección recta mínima que habría que dar a las barras
para que sus esfuerzos no superen a uno de trabajo dado ζT.
Determinar igualmente el desplazamiento que sufrirá la articulación D.
SOLUCIÓN: Sea S la sección buscada de las barras.
Aislando el nudo D y denominando X, Y y Z a las
tensiones que soporta cada
barra, resultarán las ecuaciones isostáticas de equilibrio
siguientes:
;2
2ZX
;PY2
2Z
Problema hiperestático de primer orden que precisa de una
ecuación más.
B
45º
P
D
R
C
A
B
45º
P
D
R
C
A
Y
X
Z
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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92
Las deformaciones que se
producen en cada barra serán:
;SE
ZRDD
;SE
YRDD
;SE
XRDD
BZ
CY
AX
debiendo ser tales que el
desplazamiento final de la
articulación D (que es extremo de todas ellas) esté en un punto
único y común para todas las
barras (DA, DB y DC coincidan en D’).
;2ZXY;2
;2
2
2
2
;
2
2
2
2
'HD
HD1º45tan
ZXY
ZYZX
ZY
ZXB
Obsérvese que se ha tomado para el cálculo
anterior el valor absoluto de δX
De esta manera hemos planteado la ecuación
hiperestática que deberá ser unida a las dos
isostáticas obtenidas antes. Así,
P4
2Z
P4
1X
P4
3Y
Haciendo un análisis comparativo de las tres fuerzas obtenidas, deducimos que Y es mayor que las otras dos fuerzas X y Z.
Por ello, la barra vertical CD será la que sufra mayor solicitación de carga, por lo que la sección que
precise definirá a las demás:
TT
P
4
3YS
Finalmente, el desplazamiento de la articulación D quedará expresada por sus componentes horizontal
y vertical δX y δZ utilizando los valores obtenidos de X, Z y S.
B
45º
D
R
C
A
DA
DB
DC D’
45º
δX
δY
45º
D DA
DB
DC D’
45º
δX
δY
δZ
H
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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93
PROBLEMA IV-9
Dos barras metálicas iguales, de longitudes “a” y de módulo de elasticidad “E”, están
articuladas entre sí, por uno de sus extremos (B), y a sendas articulaciones fijas A, en sus
otros extremos. En B actúa verticalmente una carga exterior “2P”.
Determinar la tensión a que se encuentran sometidas las barras y el desplazamiento vertical
del nudo B, cuando la sección de las barras es conocida y de valor “S”.
SOLUCIÓN:
g) La disposición de las barras y su carga presentan una simetría total respecto al eje vertical que
pasa por B, de forma que las reacciones en las articulaciones fijas A serán asimismo simétricas, con una componente vertical P (para equilibrar la carga exterior) y otra desconocida horizontal
que, unida a P se compondrá en la tensión axial X (cuya función será que los extremos A de
las barras, mediante su estiramiento longitudinal, no se aproximen entre sí).
h) La deformación de la estructura, bajo las condiciones establecidas para las articulaciones A fijas, junto con la simetría del problema, conlleva que el punto B deberá desplazarse
verticalmente hasta la posición B’, produciéndose un alargamiento de las barras en función de
la tensión X a que están sometidas, y resultando un pequeño ángulo θ entre la horizontal y la nueva posición de las barras.
Todo esto nos permite establecer la relación entre la tensión X y el alargamiento de AB, de una
parte, y la ecuación de equilibrio aplicada al nudo B’, de la otra:
SE
X
E
XX
aSE
X1'aa
SE
XX
P2senX2
2P
a a
A A B
2P
a a
A A B
B’
X X
P P
θ
B’
θ
2P
X X
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
94
Y como la relación entre a’ y a es el coseno de θ: ;1
1
'a
acos
X
resultará:
X
X
X2
X
2
21
2
21
11
1
11cos1sen
;0PSEXP2X2;P21
2X
2232
X
X2
de donde deberán
determinarse la solución real de X y, además, otras dos raíces imaginarias no válidas.
Por último, utilizando la solución de X, se tendrá también el valor de θ
X
Parcsen ,
siendo el desplazamiento vertical del nudo B:
tana'BB
PROBLEMA IV-10
Tres barras metálicas iguales, de módulo de elasticidad “E”, de sección recta “S”, y de
longitudes “a”, están articuladas entre sí en los puntos B (como indica la figura), y a
sendas articulaciones fijas A. En B actúan verticalmente unas cargas exteriores “P”.
Plantear las ecuaciones isostática e hiperestática que permitan determinar las tensiones a
que se encuentran sometidas las barras. Plantear igualmente las ecuaciones que permitan
calcular el desplazamiento de los nudos B.
SOLUCIÓN:
a) La disposición geométrica de las barras y su carga presentan simetría vertical, de forma que las reacciones en las articulaciones fijas A serán asimismo simétricas, con una componente
vertical P (para equilibrar la carga exterior) y otra desconocida horizontal X que, unida a P, se
compondrá en la tensión axial inclinada Y que, transmitida hasta el nudo B, se volverá a descomponer para equilibrar la carga exterior sometiendo a la barra central a la tensión X.
P
a a
A A B
P
B
a
A A
X X
P P
Y Y
P
a a
B
P
B
a
B’ B’
θ
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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95
b) La deformación de la estructura, bajo las condiciones establecidas para las articulaciones A fijas, junto con la simetría del problema, conlleva que los puntos B deberán desplazarse
horizontal y verticalmente hasta las posiciones B’, produciéndose un alargamiento de las
barras en función de las tensiones Y (las de AB) y X (la de BB) a que estarán sometidas.
Resultando un pequeño ángulo θ entre la horizontal y la nueva posición de las barras AB
(ahora AB’).
c) El equilibrio de los nudos A y B, nos permitirá expresar las tensiones desconocidas X e Y en función de un único parámetro: θ.
tan
PX
sen
PY
tanXP
YsenP (ecuaciones isostáticas)
d) Todo esto nos permite, conocido el área de la sección recta de las barras S, establecer la
relación entre el alargamiento de AB y la tensión Y. Lo mismo que entre el alargamiento de
BB y la tensión X.
SEsen
Paa
tanSE
Paa
;SEsen
P
SE
Y
E
;tanSE
P
SE
X
E
YY
XX
YY
XX
e) Si observamos la relación geométrica que ha de existir entre ambos alargamientos, deduciremos la ecuación hiperestática que permite resolver el problema:
A
X
Y
Y
B’
P
P
B’ X
θ
A A B B
B’ B’
3a
A
B’ B’ Ya Xa
A
Ya
θ
θ
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
96
;sentanSE
P
2
3
);cos1(a2SE
Pa
tan
3
);cos1(a2SE
Pa
tan
1
SE
Pa
sen
cos2
);cos1(a2cos2
;a2cos)a(2
;a3cos)a()a(cos)a(
xY
xY
YxY
Una vez conocido el ángulo θ, las ecuaciones siguientes permitirán calcular las tensiones X e Y:
tanXP
YsenP
En forma análoga se determinaría las deformaciones de cada barra:
SEsen
Paa
tanSE
Paa
YY
XX
pudiendo así calcular los desplazamientos vertical y horizontal de los nudos B.
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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PROBLEMA IV-11
La figura representa un marco rígido indeformable que contiene en su interior una
probeta de hormigón cilíndrica de sección AH y módulo de elasticidad EH. La probeta se
encuentra sujeta, sin ejercer presión alguna, por un plato de prensa (también rígido e
indeformable) accionado por el vástago de acero de sección Aa y módulo de elasticidad
Ea, que va roscado a la parte superior del marco exterior citado.
a) Determínese el esfuerzo de compresión en el vástago de acero cuando el volante
de la prensa se la gira un cuarto de vuelta, siendo “p” el paso de rosca.
b) Calcular, asimismo, el esfuerzo cortante máximo en el hormigón y la orientación
del plano en que actúa.
La
LH
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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98
PROBLEMA IV-12
Entre dos superficies horizontales inamovibles (techo y suelo) se encuentra
encajada una columna de material de módulo de elasticidad “E” y de sección
variable en tres tramos. El primer tramo tiene de sección recta S; el segundo, 2S;
y el tercero, 3S. Los tres tramos tienen la misma longitud “a”; de forma que la
altura total será de “3a”.
En las secciones de separación de cada tramo actúan sendas cargas exteriores
“P”, y no se tiene en cuenta para nada el peso propio de la columna.
Determinar las Reacciones en A y B y la deformación longitudinal del tramo
central.
a 2 S
a
a
S
3 S
P
P
A
B
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
99
SOLUCIÓN
1. Las reacciones en A y B serán ambas de dirección ascendente por cuanto las cargas
externas tienden a empotrar en el suelo la pilastra y simultáneamente a
desprenderla del techo:
P2RR BA
única ecuación isostática de equilibrio que puede considerarse.
2. La longitud 3a que separa A de B no puede ser variada, por lo que el incremento
total de longitudes de los tres tramos sumados deberá ser nulo.
3. Considerando secciones en cada tramo, los esfuerzos a que se verán sometidos
serán:
S3
P2RS2
PRS
R
A3
A2
A1
a
2 S
a
a
S
3 S
P
P
RA
Sección 3-3
Sección 2-2
Sección 1-1
RB
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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100
4. Y los alargamientos correspondientes:
aSE3
P2Ra
aSE2
PRa
aSE
Ra
A33
A22
A11
5. Con lo cual la ecuación hiperestática nos permite escribir:
03
P2R
2
PRR;0 AA
A321
;P11
15R;P
11
7R BA
6. En cuanto a la deformación del tramo central, será preciso calcular previamente el
esfuerzo a que se halla sometido:
;S
P
11
2
S2
PRA2
(compresión)
dando lugar a una contracción longitudinal de:
;SE
Pa
11
22
Para comprobar estos resultados, deberá verificarse que la suma de las reacciones
da 2P y que la suma de las deformaciones es nula.
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
101
PROBLEMA IV-13
La figura muestra cinco barras metálicas, del mismo material y la misma sección recta,
que se encuentran articuladas entre sí en sus extremos A, B, C y D. Como se indica, las
articulaciones C y D están fijadas a unas paredes inamovibles. Y de su articulación A
cuelga una carga conocida P.
Se debe calcular lo siguiente:
1. Las fuerzas de tensión a que se verán sometidas cada barra (X, Y y Z); indicando
las que se vean sometidas atracción y las que estén en compresión.
2. El desplazamiento que sufre el nudo A (supuesto conocidos el módulo de
elasticidad del material E, la sección de las barras S, y la longitud de la barra
aAB ).
3. Las componentes horizontal y vertical de las reacciones en C y D.
4. La sección mínima que deberían tener las barras para que el esfuerzo de trabajo
no superara un valor predefinido ζt.
P
C
A
B
D
Z
Y
X X
Z
60º
60º
60º
60º
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
102
SOLUCIÓN:
a) La disposición geométrica de las barras y su carga, presentan simetría vertical, de
forma que las reacciones en las articulaciones fijas C y D serán asimismo
simétricas, con una componente vertical P/2 (para equilibrar la carga exterior) y
otra desconocida horizontal H. En todo caso, estas fuerzas horizontales no podrán
determinarse hasta no haber calculado las tensiones de las barra inclinadas X y Z.
b) Los ángulos que forman las barras, demuestran que los triángulos que forman son
equiláteros.
c) La deformación de la estructura, bajo las condiciones establecidas para las
articulaciones C y D fijas, junto con la simetría del problema, conlleva que los
puntos A y B deberán desplazarse verticalmente hasta las posiciones A’ y B’,
produciéndose un alargamiento de las barras en función de las tensiones, X (las de
AC y AD) e Y (la de AB), a que estarán sometidas. A su vez las barras BC y BD
sufrirán una compresión Z que tendrá como efecto final el desplazamiento vertical
del nudo B hasta B’, al que llamaremos dB. En la siguiente figura se detalla en
esquema de desplazamientos (dA y dB). Todo ello provocará la extensión de la
barra AB hasta A’B’, con un alargamiento:
BAY dd
P
C
A
B
D
Z
Y
X X
Z
A’
B’
dA
dB
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
103
d) El equilibrio de los nudos A y B, nos permitirá expresar las tensiones desconocidas
X e Y en función de P.
PYXPYº60cosX2
YZYº60cosZ2
(ecuaciones isostáticas)
e) La caída dA del nudo A, estará directamente relacionada con la deformación δX de
las barras AC y AD, simétricas; como también el descenso dB del nudo B lo estará
con la deformación de las barras BC y BD.
;2
1dº60cosd AAX
XA 2d
;2
1dº60cosd BBZ
ZB 2d
X X
Y
P
A
60º 60º
60º 60º
Z Z
Y
B
C
A
D
A’
60º
δX
dA
C
B
D
B’
dB
60º
δZ
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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104
f) De acuerdo a lo expresado en el apartado c):
)(2dd ZXBAY
g) Y, conforme a la Ley de Hooke,
)ZX(2Y
aSE
Ya
aSE
Ya
aSE
Xa
;SE
Z
E
;SE
Y
E
;SE
X
E
YY
YY
XX
ZZ
YY
XX
h) Lo que, junto a las ecuaciones isostáticas expresadas en el apartado d) da el
resultado:
;P5
2Z;P
5
2Y;P
5
3X
X e Y en tracción; Z en compresión
i) Así pués, el desplazamiento sufrido por el nudo A será:
SE
Pa
5
6a
SE
X22d XA
j) El Estudio del nudo articulado D, nos muestra la figura siguiente:
;P10
3P
10
32P
10
33º30cosZº30cosXR
;P2
1P
10
2P
10
3º30senZº30senXR
H
V
con lo que la reacción resultante sería:
P10
10R
D
P5
2Z
P5
3X
30º
30º
RV
RH
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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105
k) Como la tensión más alta se presenta en las barras AC y AD, con una fuerza de
tracción de P5
3, el máximo esfuerzo que aparecería en la estructura sería de
;S
P
5
3 por lo que si no se desea sobrepasar un esfuerzo de trabajo dado t la
sección mínima que admiten estas barras sería de:
t
min
P
5
3S
PROBLEMA IV-14
Un tablón rígido e indeformable A-A, de peso “P”, cuyo centro de gravedad está situado
en su punto medio G, se encuentra colgado de dos puntos B y C del techo, por dos parejas
de cables de acero AB y AC de igual sección, en la disposición geométrica que se indica
en la figura.
Determinar el desplazamiento vertical de la barra y las tensiones de los cables.
Se suponen conocidos el módulo de elasticidad del acero (E), la sección de los cables (S)
y la longitud del cable AB (LX ), además del peso P.
Calcular, también la sección SM que deberá tener el tablón de madera si el esfuerzo de
trabajo al que se desea someter la madera es un valor predeterminado conocido ζM.
(Suponer que este tablón sólo trabajara en tracción y no en flexión, que sería la
aproximación más real al caso en que la longitud A-A del tablón no fuera muy grande).
A
30º
B B C C
P
G
30º
A
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
106
SOLUCIÓN:
a) La simetría y la indeformabilidad de la barra AA conllevan que, después del
alargamiento de los cables AB y AC, la distancia entre los puntos A no habrá
variado, por lo que sus desplazamientos serán verticales, manteniéndose la
simetría de la figura una vez deformada, con idénticas tensiones en las barras
correspondientes.
b) La figura siguiente muestra la deformación producida por los cables en su posición
final:
El ángulo que forman ahora los cables sería ligeramente inferior a los 30º pero, ante
las pequeñas deformaciones que se producen, en primera aproximación
conservaremos el valor de 30º.
c) Una observación detallada de las tensiones y alargamientos de una y otra barra, se
nos presentará bajo el aspecto siguiente (donde T sería la tensión horizontal
originada en el bloque indeformable A-A):
La componente horizontal de Y se equilibrará
con T.
La componente vertical de Y lo hará con X y
P/2.
A
30º
B B C C
P
G
30º
A
30º δx δy
P/2
Y X
T A
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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107
De otra parte, los alargamientos son cateto e hipotenusa de un triángulo rectángulo:
Por lo tanto, procede utilizar la Ley de Hooke para establecer las relaciones entre
tensiones y deformaciones (denominamos “S” a la sección de los cables y al
módulo de elasticidad del acero “E”):
;
Y como quiera que las longitudes de los cables también están en la relación
trigonométrica:
; resultará: ; o sea: ;
por lo que al sustituir en la ecuación de equilibrio:
; ;
Por su parte, el desplazamiento vertical será: ; para el que será
conocido S, E y LX .
En cuanto a la sección del tablón de madera, si está sometida a una tracción T, el
esfuerzo a que se someterá será:
Por lo que la sección solicitada, para un esfuerzo de trabajo ζM, será:
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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108
PROBLEMA IV-15
Cuatro cables de acero están enganchados al techo y unidos en su extremo inferior del
que cuelga una carga W constituyendo el esquema simétrico que muestra la figura.
1º.- Determinar el desplazamiento vertical del punto P y las tensiones de los cables.
Se suponen conocidos el módulo de elasticidad del acero (E), la sección de los cables (S)
y la longitud del cable AP (L), además de la carga W.
2º.- Si quisiéramos dimensionar la sección de los cables para no sobrepasar un cierto
esfuerzo de trabajo ζT, hacer el cálculo para determinar dicha sección.
SOLUCIÓN:
a) La simetría del problema conlleva que las tensiones de los cables simétricos sean
iguales y que su deformación concluya con un desplazamiento vertical del punto P.
b) Un corte de los cables por secciones infinitamente próximas a P, nos aislarían este
nudo con las tensiones de los cables y la carga:
A B
W
P
30º
B A 60º 60º
30º
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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109
El equilibrio vertical de fuerzas nos da:
o sea:
Que significará la ecuación isostática entre las tensiones
de los cables.
c) De otra parte, el alargamiento de los cables tiene que confluir en un punto único P’
que deberá estar situado bajo la vertical de P.
El ángulo que forman ahora los cables sería
ligeramente inferior a los primitivos pero,
ante las pequeñas deformaciones que se
producen, en primera aproximación
conservaremos el valor de 30º y 60º,
respectivamente, para P’A y P’B con la
vertical:
Ecuación hiperestática que, ahora, debemos expresarla en función de las tensiones
X e Y.
d) Las longitudes originales de los cables, partiendo del conocimiento del AP igual a
L y de relaciones geométricas simples, resulta:
Con lo que la aplicación de la Ley de Hooke para determinar los alargamientos y
nos relacionarán las tensiones X e Y:
W
P
30º
30º 30º
30º
X X
Y Y
P’
P
30º 30º
B A
δB
δA δ
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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110
e) De esta forma, tras haber deducido la ecuación hiperestática podemos ya dar los
valores de las tensiones de los cables:
f)
Resultando el desplazamiento vertical del nudo P:
g) En cuanto al cálculo de la sección de los cables, habremos de elegir aquella que
resulte mayor de los dos, correspondiendo, por tanto, a la que haya de soportar mayor
tensión; en este caso el cable AP, cuya tensión X es tres veces la otra.
Resultando así:
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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111
PROBLEMA IV-16
La figura representa el conjunto de tres barras de acero de igual sección articuladas cada
una a puntos fijos de paredes y techo (A, B y C), y entre sí en una articulación única (P).
Sus longitudes quedan indicadas en el dibujo. Del punto P se cuelga una carga W
produciendo las correspondientes tensiones en las barras. Se trata de calcular dichas
tensiones en función de W, a las que llamaremos X, Y y Z.
SOLUCIÓN:
El equilibrio del nudo P conlleva el planteamiento de las dos ecuaciones de la Estática
del Punto:
Lo que requiere la utilización de la ecuación hiperestática que
exprese que las tres barras, tras su deformación longitudinal,
deberán confluir en un mismo punto que corresponda a la nueva
situación de P, la que vamos a denominar P’.
Para ello, analizamos cada una de las posiciones que adquiriría P si tan solo
dependiera de una sola barra con la tensión que esta le proporciona: en el caso de
AP, la posición PX; en el caso de la BP, la posición sería PY; y en la de la barra CP,
la PZ.
B
C
A (X)
(Z)
(Y)
P
W
30º
a
2a
X
Z
Y
P
W
30º
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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112
Resulta evidente que las perpendiculares
(arcos desde el otro extremo) trazadas
por PX, PY y PZ a sus respectivas barras,
coincidirán en P’.
Puesto que vamos a establecer una relación geométrica los alargamientos y
acortamientos de las barras estarán considerados en valores absolutos:
Así, podemos establecer la siguiente identidad geométrica:
Es decir:
Ecuación que, unida a las isostáticas inicialmente obtenidas permitirán el cálculo de
las tensiones X, Y y Z (en las que el valor obtenido de Z sabemos que será de
compresión, mientras que las X e Y serán tracciones).
B
C
A (X)
(Z)
(Y)
30º
a
2a
P PX
PZ
PY P’
P PX
PZ
PY P’
H
30º
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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113
Capítulo Quinto
Sistemas tridimensionales hiperestáticos
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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114
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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115
PROBLEMA V-1
En el esquema de la figura, aparece (como cuerpo sólido elástico principal) un cubo de
hormigón que está encajado en una canaleta rígida NN, indeformable, fija y no desplazable
de su posición, quedando las caras anterior y posterior del sólido elástico libres y sin
contacto alguno con otro cuerpo. Sobre su parte superior se apoya una placa indeformable y
pesada “JJ” (de peso “W”) sobre la que actúa una fuerza de magnitud “9W”.
El bloque de hormigón tiene un módulo de elasticidad “E” y módulo de Poisson “µ”.
La arista del cubo de hormigón tiene una longitud conocida “a”.
Determinar:
1. El esfuerzo normal y cortante que se ejerce sobre el hormigón en un plano que forme 30º
con el plano horizontal y 90º con la cara frontal del bloque (plano π-π).
2. El volumen total del bloque tras la deformación que sufrirá.
9W
E; µ
N
N
N
N
J J
a
π
π 30º
W
X
Y
Z
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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116
SOLUCIÓN:
Ecuación isostática:
p . a2
= 10W; p = 10W/a2
Estado de esfuerzos en el bloque de hormigón:
ζx = 0 εx =? εx = μ . q/E + μ . p/E
ζy = - q εy = 0 εy = - q/E + μ . p/E = 0; q = μ . p = 10μ . W/a2
ζz = - p = - 10W/a2
εz =? εz = - p/E + μ . q/E = - (1 - μ2) p/E = - 10(1 - μ
2) . W/Ea
2
εx = μ2 . p/E + μ . p/E = (μ+ μ
2) . p/E = 10(μ+ μ
2) . W/Ea
2
Esfuerzos Principales del hormigón:
ζx = 0 ζy = - q = - 10μ x W/a2 ζz = - p = - 10W/a
2
1.- Círculos de Mohr y cálculo solicitado:
Radio del círculo:
R = (p - μp)/2 = (1 - μ) p/2
Esfuerzo cortante:
ηπ = R.sen 60º = (1 - μ) p.√3/4 =
=(1 - μ) 10√3W/4a2
Esfuerzo normal:
ζπ = - [(1+ μ)p/2 + R.cos 60º] =
= - [1/2 + μ /2 + 1/4 - μ /4]p;
ζπ = - [3 + μ]p/4 = - [3 + μ] 10W/4a2
2.- Volumen final:
e = εx + εy + εz = [10(μ+ μ2) . W/Ea
2] + [- 10(1 - μ
2) . W/Ea
2];
e = 10 . W/Ea2 [ - 1 + μ + 2μ
2] = -10(1 - μ - 2μ
2) . W/Ea
2;
V’ = V (1 + e) = {1 - 10(1 - μ - 2μ2).W/Ea
2} a
3
ζZ = -p
ζy = -q ζy = -q
J J
10W
σ
- p
30º
τπ
σπ
R
- μp
τ
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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117
PROBLEMA V-2
Una columna de hormigón de altura “10a”, con módulos de Elasticidad EH y de
Poisson μ, tiene una sección recta cuadrada de lado “3a”. Dicha columna resulta
encajada por un encofrado indeformable, a modo de zuncho, que se le adapta casi
perfectamente, resultando una ranura de ajuste cuyo ancho es “e” (muy pequeño
frente a “a”).
A lo largo de la pestaña del encofrado (ver figura) quedan distribuidos un total de
diez bulones roscados de acero, de módulo de elasticidad EA y secciones S.
Los bulones llevan sendas tuercas en sus extremos que son apretadas a tope hasta
unir ambos encofrados y cerrar completamente este zuncho, quedando la longitud
de los bulones igual a “a”.
Bajo estas condiciones, la columna es sometida a una compresión de valor “p” en
la dirección del eje Z. Tómense como direcciones de referencia los indicados.
Se desea saber:
1º.- Si el esfuerzo de rotura del acero de los bulones es “ζr”, ¿con qué presión “p”
se llegaría al límite de rotura de ellos?
2º.- En estas condiciones, ¿qué esfuerzo cortante máximo se habrá producido en la
columna de hormigón?
e
e
Ranura de ajuste y apriete
Bulones de acero
resistentes:
EA=10EH
Tuercas de
apriete
p
p
EH ; μ
Encofrados
indeformables
Z
X
Y
Y
X
a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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118
SOLUCIÓN
1. Al proceder al ajuste total del encofrado venciendo la pequeña distancia “e”
mediante el apriete de las tuercas de los bulones, se habrá producido una cierta
tracción en ellos acompañado de la compresión correspondiente en la dirección Y
de la sección de hormigón, la que, a su vez, provocará otra transversal, en dirección
X, como efecto de Poisson. En esta última, la deformación será nula. Pero en la
dirección Y el acercamiento “e” se verá aliviado por la extensión que se produzca
en los bulones. Es decir, que según el eje Y, el acortamiento de la arista “3a” del
hormigón, más el alargamiento de los bulones será igual a “e”.
a
e3;eaa3;e
AHY
AHY
AH
Y (1)
2. El hecho de actuar la compresión “p” según el eje Z de la columna, solamente hace
incrementar las compresiones transversales del hormigón (por el efecto de Poisson)
y, por añadidura, elevar las tensiones de los bulones. Pero la relación (1) entre las
deformaciones antes indicada, seguirá siendo la misma.
3. Por otra parte, deberemos analizar que condiciones de equilibrio deberán existir
entre las acciones que sigan la dirección del eje Y, ya que según el cual actuarán
esfuerzos sobre los bulones y sobre la columna. Para ello haremos una sección
imaginaria según el plano vertical paralelo al XZ que pasa por la ranura de ajuste
del encofrado:
2H
YA
a30S10 (2)
4. Ante todo lo anterior, analicemos separadamente el comportamiento elástico de los
bulones de acero y el de la columna de hormigón:
a. Bulones de acero
A
AA
E
(3)
b. Columna de hormigón
H
HY
H
2
H
HY
H
HY
H
HX
H
HYH
Y
HY
HX
H
HY
H
HXH
X
HZ
HY
HX
HZ
HY
HX
E
p1
E
1
E
pp
EE
p
E
p0E
p
E
?
?
0
p
?
?
(4)
HY
A
A
3ax10
a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
119
5. Los resultados obtenidos de A y HY en las ecuaciones (3) y (4), habrán de ser
reemplazados en la ecuación hiperestática (1), y así resultarán dos ecuaciones con
dos incógnitas al tratarla conjuntamente con la isostática (2):
a
e
EE
p1
E
13
a
e3;e
A
A
H
HY
H
2AH
YAH
Y
HA2
HA
HY
AA
2
2A
2
AHY
E10a
ep1302E10Econ,que
;30;30a30
a
a3
S
6. Es decir, que:
2
HA
2
p130E10a
e
; o bien:
130
2E10a
e
p
A2H
; (5)
7. De modo que si lo deseado es conocer la presión “p” que produce un rA ,
solo habrá que sustituir este valor en la ecuación (5) que determina “p”.
8. Para calcular el esfuerzo cortante en el hormigón, será preciso comparar los tres
esfuerzos principales HZ
HY
HX ;; para saber cual es el máximo y cual el
mínimo, cuya semidiferencia dará el ηmax.
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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120
PROBLEMA V-3
Un cubo de arista “a”, construido de un material de módulo de elasticidad “E” y
módulo de Poisson “μ”, está sometido a una presión uniforme P/a2 según el eje
“Z” vertical. En la dirección del eje “X” está bloqueado por paredes verticales que
le impiden deformación alguna en este sentido.
a. ¿Que fuerza “F” habría de aplicarse en la dirección “Y” para que en esa
dirección se deforme longitudinalmente con un acortamiento dado “δ”?
b. ¿Qué presión “q” aparecería en el sentido “X” producida por las paredes
mencionadas?
SOLUCIÓN:
a) El estado de esfuerzos y deformaciones queda expresado con los siguientes
datos e incógnitas:
?a
Pa
?a
F
0?q
z2z
y2y
xx
b) Resolviendo la ecuación 0x podemos despejar q en función de F y los
datos del problema:
2
22
xa
PFq0
E
a
P
a
F
E
q
X
Z
Y F F
P/a2
P/a2
a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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121
c) Sustituyendo en a
y
se podrá despejar F y luego determinar q:
aEa
PFPF
E
qa
P
Ea
F2
22
2y
;
1
PaEF
2a
P1
PaE
q
2a1
PaEq
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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122
PROBLEMA V-4
El esquema de la figura está compuesto por dos barras verticales de acero de longitudes
“a”, iguales, y de secciones S = a2/10, sometidas a unas fuerzas de compresión W, que
conectan a un bloque de hormigón de forma cúbica y arista 2a, mediante unas placas
rígidas e indeformables, que transmiten la compresión W al hormigón. Este bloque de
hormigón está limitado por sus caras laterales izquierda y derecha por sendas superficies
rígidas e indeformables, mientras que frontal y posteriormente se encuentran totalmente
libres.
Los coeficientes de deformación elástica del hormigón y acero son respectivamente:
EH; y EA = 10.EH;
mientras que el coeficiente de Poisson del hormigón es:
50, ;
Calcular:
1. Acercamiento total “δT” entre los puntos “A” de los extremos de las barras metálicas.
2. Deformación unitaria “εx” en el hormigón en la dirección normal a la cara frontal.
3. Esfuerzo “ζy” producido por las paredes laterales.
2
a
A W
2a
W
A
a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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123
PROBLEMA V-5
El pilar de hormigón de sección rectangular aa2 , está zunchado por una chapa de acero
de espesor 10
ae .
Siendo ;25,0y;E10E Ha determinar el esfuerzo cortante máximo del hormigón
cuando este está sometido a la compresión “p”.
PROBLEMA V-6
El soporte de sección variable de la figura está cargado con la fuerza vertical “P” en la sección que
se indica. Conocido el módulo de elasticidad “E” y el de Poisson “μ” del material, determinar las
reacciones en la base y cabeza del soporte.
a
2a
“p
”
“p
”
2a x 2a
a x a
P
4a
2a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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124
PROBLEMA V-7
La sección recta de una pieza prismática es un triángulo equilátero. Estando sus extremos superior e
inferior impedidos de todo tipo de desplazamiento, se le aplica una presión uniforme “p” en sus
caras laterales. Determinar el esfuerzo cortante máximo si “μ” es el coeficiente de Poisson
SOLUCIÓN:
a) Las acciones de compresión simple “p” en cada cara, por no tener componente “η”, son
acciones principales.
b) Al tener tres direcciones principales en el mismo plano transversal, indica que el elipsoide de
esfuerzos es de revolución de eje vertical.
c) Tomados dos ejes X e Y horizontales y el vertical Z, el tensor de esfuerzos será para estas
direcciones principales:
00
0p0
00p
donde “ζ” es el esfuerzo de compresión vertical debido a la imposibilidad de deformación en
esta dirección.
d) La deformación según el eje vertical será: p20E
p2
Ez
e) Así, razonado a través de los círculos de Mohr:
p5,02
pmaxmax
“p” “p”
“p”
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
125
PROBLEMA V-8
Un bloque elástico de Módulo de Young “E” y Módulo de Poisson “μ”, está apoyado sobre
una superficie horizontal inamovible y, lateralmente, está ajustado por unas barras
metálicas de Módulo de Elasticidad doble del anterior (2E).
Las caras anterior y posterior de este bloque están totalmente libres y las dimensiones del
bloque son las de un cubo de arista “2a”. Las barras tienen longitud “a” y sección recta
3
aS
2
Cuando se le somete a una compresión vertical conocida “p”, se desea saber el esfuerzo
cortante máximo de dicho bloque y el esfuerzo de compresión de las barras metálicas.
SOLUCIÓN:
Realizando dos cortes verticales que seccionen el bloque y la barra, resultará aislado en
perfecto equilibrio el conjunto representado en la figura donde actúa el esfuerzo horizontal
del hormigón HY y el de la barra metálica a , que deben (a través de las superficies sobre
las que actúan) mantener el equilibrio del conjunto aislado:
2HYa a4S (ecuación isostática)
12
aHY
De otra parte, el estado de esfuerzos en
el hormigón será:
p12
0
HZ
aHY
HX
a 2a a
2a.2a.2a
E ; μ
p
X
Y
Z
pHZ
S
Fa
2HYa4
F
pHZ
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
126
Siendo por tanto posible expresar las deformaciones longitudinales (según X) en función de
la incógnita hiperestática única a :
aE2
a
a2E
p
E12a2
aaa
aHYHY
y como la longitud horizontal total de las dos barras más el bloque no puede variar:
p7
1p
7
120
EE
p2
E602 HYa
aaaHY
Así hemos determinado la compresión en las barras, mientras que el estado de esfuerzos en el
hormigón será:
p
p
HZ
HY
HX
.7
1
0
lo que permite calcular, a través de los círculos de Mohr, el esfuerzo cortante máximo en el
hormigón: 2
pHmax
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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127
PROBLEMA V-9
El pilar de hormigón de sección recta cuadrada axa que se muestra en la figura, se
encuentra encajonado entre dos paredes fijas e indeformables que contactan con las caras
anterior y posterior del pilar (X), y además está encajado lateralmente entre dos placas
(también rígidas e indeformables, aunque no fijas) que están unidas por ocho barras de
acero elástico (Y) cuyo Módulo de Young es diez veces superior que el del hormigón
Ha E10E
También se sabe que la sección de cada barra de acero es de 0,025a2.
Tomando un valor hipotético del Coeficiente de Poisson 25,0 , determinar el esfuerzo
cortante máximo del hormigón cuando este está sometido a la compresión “p” (Z).
Determínese también el esfuerzo de tracción en las barras de acero.
X
Y
Z
“p”
“p” a
a
4a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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128
PROBLEMA V-10
El pilar de hormigón de sección recta cuadrada axa que se muestra en la figura, se
encuentra libre en sus caras anterior y posterior del pilar (X). Por otra parte, está encajado
lateralmente entre dos placas rígidas e indeformables (no fijas) que están unidas por ocho
barras de acero elástico (Y) cuyo Módulo de Young es diez veces superior que el del
hormigón
Ha E10E
.
También se sabe que la sección de cada barra de acero es de 0,025a2.
Tomando un valor hipotético del Coeficiente de Poisson 25,0 , determinar el esfuerzo
cortante máximo del hormigón cuando este está sometido a la compresión “p” (Z) y, a su
vez, de las placas laterales están tirando cuatro fuerzas “ 2paF ”. Determínese también el
esfuerzo de tracción en las barras de acero.
X
Y
Z
“p”
“p” a
a
F
F
F
F
F
F
F
F
3a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
129
PROBLEMA V-11
Un bloque prismático de hormigón como el que se muestra en la figura, se encuentra
encajonado por dos paredes fijas e indeformables entre las caras verticales laterales (Y),
mientras que sufre una tracción “2p” en la dirección perpendicular al dibujo (X).
Siendo el coeficiente de Poisson “μ”, y estando sometido a la compresión vertical “p” (Z),
determinar:
1. El esfuerzo cortante máximo absoluto del hormigón.
2. El máximo esfuerzo cortante y los máximos normales en tracción y compresión sobre
los planos cuyas normales forman 30º con el eje Y citado.
X
Y
Z
“p”
“p”
“2p”
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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130
PROBLEMA V-12
Llamemos X ,Y y Z a los ejes correspondientes a las aristas que constituyen el dibujo de la
figura. Ésta representa un hueco indeformable de superficie horizontal 2a.a (plano X-Y). En
su interior se vierten dos materiales elásticos (de módulos de elasticidad y de Poisson
deferentes: E1, E2, μ1 y μ2), de manera que uno ocupa el doble que el otro en la forma que
indica la figura. En estas condiciones y con la ayuda de un émbolo que transmite
uniformemente a ambos materiales la presión p (aunque cada uno asuma parte de esa
presión), y obligue a los dos a contraerse en igual medida, plantear el proceso que se debe
seguir para determinar los esfuerzos cortantes máximos en cada material.
SOLUCIÓN:
Habrá que tratar por separado los dos bloques elásticos para finalmente, a través de las relaciones
isostáticas e hiperestáticas, determinar los estados de esfuerzos en cada cual y calcular, a través de los
círculos de Mohr de cada uno, los esfuerzos cortantes máximos solicitados.
Cuerpo 1 Cuerpo 2
;p
;r
;q
11Z
11Y
11X
;
;
;0
Z1Z
11Y
1X
;p
;r
;q
22Z
22Y
22X
;
;
;0
Z2Z
22Y
2X
En el cuadro anterior, solo los valores nulos son conocidos, y todos los alargamientos unitarios ε se
expresarán en función de de los esfuerzos ζ, por lo que nos encontramos con un total de seis
incógnitas a desvelar.
E1 ; μ1 E2 ; μ2
p
2a a
X
Y
Z
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
131
2
2X
2
2
2Y
2
2
2Z2
Z
2
2Z
2
2
2X
2
2
2Y2
Y
2
2Z
2
2
2Y
2
2
2X2
X
1
1X
1
1
1Y
1
1
1Z1
Z
1
1Z
1
1
1X
1
1
1Y1
Y
1
1Z
1
1
1Y
1
1
1X1
X
EEE
EEE
EEE
EEE
EEE
EEE
Si comenzamos por ecuaciones isostáticas de equilibrio, según el eje Z deberá verificarse que:
22
21
2apa2pa3p ;(1) según el eje Y deberá ser: 21 rr ;(2).
En cuanto a las ecuaciones hiperestáticas, tenemos en primer lugar las que corresponden a las
deformaciones longitudinales unitarias en ambos cuerpos: según el eje X, ;01X (3) y ;0
2X (4).
Según el eje Z, ;2Z
1Z (5). Y según el eje Y, el alargamiento total de ambos bloques deberá ser
nulo: 0aa22Y
1Y ;(6).
Con ello hemos planteado un sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas, cuya resolución nos
permitirá conocer los esfuerzos principales en ambos cuerpos en función de los datos p, a, E1, E2, μ1 y
μ2. Usando los Círculos de Mohr tendremos los máximos η como la media entre el mayor y el menor
valor propio de cada bloque.
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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132
PROBLEMA V-13
Un bloque paralelepipédico de un material de módulo elástico E2 y módulo de Poisson μ,
tiene dimensiones exteriores de 4a x 6a en planta, y dispone de un hueco en su parte central
de 2a x 4a, como se muestra en la figura, atravesándole de arriba a abajo. Sus caras
verticales exteriores están limitadas por paredes rígidas e indeformables.
En el hueco central se introduce a modo de cuña otro material de módulo de elasticidad E1 y
el mismo módulo de deformación transversal μ. Las dimensiones de esta cuña exceden
originalmente de las del hueco abierto en la cantidad 2Δ,en cada uno de sus lados, con lo
que al ser introducido en él, se verá fuertemente comprimido.
Se desea determinarlas compresiones mutuas entre los dos materiales (qx y qy) y el esfuerzo
cortante máximo correspondiente al bloque principal (η2), al igual que el esfuerzo máximo
cortante del bloque central (η1)
SOLUCIÓN:
Al introducir el bloque 1 en el alojamiento del 2 (de menores dimensiones) se producirán unas
tensiones entre las paredes de ambos en forma de presión mutua de valor desconocido. En principio,
esta presión sobre las caras horizontal y vertical de la figura, no tendrán por qué ser iguales, así que
designaremos a ambas incógnitas hiperestáticas por qx y qy. Así que el aislamiento de una parte de
Perspectiva tridimensional
a a 4a
a
a
2a
Planta
E1 ; μ
E2 ; μ
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
133
ambos bloques como el designado por la línea de puntos indicada en la figura, nos mostrarán las
indicadas presiones, aclarándonos la situación de los esfuerzos que se manifiestan en los dos bloques:
Es decir, el bloque 1 estará sometido a los esfuerzos normales:
;0
;q
;q
z
yy
xx
Mientras que el bloque 2 parece tener diferente comportamiento para la zona que denominamos (A) y
la que denominamos (B):
;0
;q
;0
)A(
Az
yAy
Ax
;0
;0
;q
)B(
Bz
By
xBx
Así pues que tendremos dos incógnitas hiperestáticas qx y qy para cuya resolución se precisará
plantear otras tantas ecuaciones que pongan de manifiesto las deformaciones correspondientes a las
direcciones x e y. En ambos casos la longitud total será inalterable por ser las paredes rígidas e
indeformables (6a y 4a); lo que quiere decir que el exceso 2Δ que presentan las aristas del bloque 1
respecto a las dimensiones del hueco del bloque 2, deberán ser absorbidas entre ambos por sus
propias deformaciones.
Calculemos las deformaciones correspondientes:
BLOQUE 1:
)afectano(E
q
E
q
a4.E
qqa4
E
q
E
q
a4.E
qqa4
E
q
E
q
1
y
1
x1z
1
xy1y
1y
1
x
1
y1y
1
yx1x
1x
1
y
1
x1x
a a 4a
a
a
2a E1 ; μ
E2 ; μ
qx
qy
qx
qy
E2 ; μ
E1 ; μ
(A)
(B)
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
134
BLOQUE 2 (zona A):
)afectano(E
q
a2E
q)aa(
E
q
)afectano(a4E
q
1
yAz
2
yAy
Ay
2
yAy
Ax
Ax
2
yAx
BLOQUE 2 (zona B):
)afectano(E
q
)afectano(a2E
q
a2E
q)aa(
E
q
2
xBz
By
By
2
xBy
2
xBx
Bx
2
xBx
Con esta información calculada, podemos decir que la suma de las deformaciones según X y según Y
(en valores absolutos, ya que ambos serán negativos) deberán ser iguales a 2Δ:
2a2E
qa4.
E
2a2.E
qa4.
E
2
2
2
y
1
xy
2
x
1
yx
Ay
1y
Bx
1x
Sistema en qx y qy del que se calcularán
ambas incógnitas hiperestáticas para luego, a través de los Círculos de Mohr determinar los máximos
esfuerzos cortantes en cada caso.
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
135
PROBLEMA V-14
Una columna prismática cuya sección recta es un pentágono regular de lado “a”, se
encuentra comprimida por una carga axial que repartida por la sección recta da un esfuerzo
de compresión de “p” Kg/cm2. El material con que está construida la columna tiene un
Módulo de Elasticidad “E” y de Poisson “μ”, ambos conocidos.
La columna está abrazada por un zuncho de un material [m] cuyo Módulo de Elasticidad es
infinito mE .
Determinar el esfuerzo cortante máximo que se manifiesta en la columna y la deformación
longitudinal unitaria de esta según su propio eje. [A efectos finales numéricos, tómese
μ=0,32]
SOLUCIÓN:
a) El eje Z, vertical, será dirección principal del tensor de esfuerzos porque sobre el plano
horizontal que representa (sección recta de la columna) tan solo se ejerce un esfuerzo de
compresión (ζ=-p; η = 0). Así que las otras dos direcciones principales estarán en el plano
horizontal.
Además, cualquier plano vertical que pase por el eje de la columna y también sea
perpendicular a una de sus caras laterales, será plano de simetría. Por lo que habrá cinco en las
mismas condiciones y, por tanto, el estado de esfuerzos en ellos será idéntico. Esto conlleva
una situación de simetría axial con el eje Z, o lo que es lo mismo, que todos los ejes
a
“p”
“p”
X
Z
Y
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
136
horizontales serán direcciones principales con un esfuerzo único normal ζ común y sin
esfuerzo cortante.
b) Teniendo en cuenta que el Módulo de Elasticidad del material del zuncho es infinito, resultará
que este material no tiene deformación alguna:
0E
m
m
mm
por lo que la columna no puede deformarse según ninguna dirección horizontal.
c) El estado de esfuerzos y deformaciones a que dar lugar la situación anterior, será la siguiente:
?dadop
0?q
0?q
zz
yy
xx
d) Resolviendo la ecuación 0x podemos despejar q en función de p y los datos del
problema:
p47,0p1
q0E
pq
E
qx
E
p85,0
E
p
1
21
E
q2
E
p2
z
e) Siendo, entonces, los esfuerzos principales – p y – q = -0,47p, por los círculos de Mohr
tenemos el esfuerzo cortante máximo, a 45º con el eje Z y de valor:
p265,02
p47,0p
2
qpmax
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
137
PROBLEMA V-14
La figura muestra un simple dado de hormigón, de forma cúbica, armado mediante cuatro
barras corrugadas de acero que lo atraviesan en la dirección Z, de tal forma que existe
una adherencia total entre el acero y el hormigón, que imposibilita el desplazamiento de
ninguna partícula de la masa de hormigón sobre la superficie perimetral de las barras de
acero.
La parte superior e inferior del cubo están protegidas por dos placas indeformables y total
mente adheridas al acero y al hierro. Sobre ellas actúan cuatro fuerzas de tracción de
valor P, que producirán los efectos elásticos consecuentes en el conjunto. El cubo de
hormigón no se encuentra sometido sobre sus paredes laterales exteriores a ninguna
carga, presión ni limitación alguna de contorno.
Supuesta conocida la sección SA de cada barra, determinar la arista “a” del cubo de
hormigón para que los esfuerzos cortantes que ha de soportar no superen en ningún caso
el de un valor dado .
Datos conocidos:
P
EA
EH
SA Incógnita:
a
SOLUCIÓN:
a) La tracción general a que se ve sometido el conjunto con las cuatro fuerzas P,
deberá ser repartida adecuadamente entre las barras de acero y el bloque de
hormigón. Evidentemente, debido a la adherencia entre ambos materiales, el
alargamiento o deformación que sufra el uno será igual al del otro.
P P P P
P P P P
a
a
a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
138
b) Una sección transversal a las barras de armadura pondrá de manifiesto el equilibrio
entre las fuerzas que absorberá el acero, la que absorberá el hormigón y la acción
externa del total de 4P.
El hormigón y el acero se encontrarán en tracción con esfuerzos normales,
respectivamente, de ζz y ζA que actuarán sobre las áreas correspondientes a2 y SA,
por lo que las fuerzas resultantes serán: ; cuya
suma deberá ser igual a 4P. Así:
Esta consideración general debe ser compatible con la
igualdad entre los alargamientos unitarios de ambos
materiales en el sentido del eje Z definido en el enunciado.
Y puesto que no existen sobre el hormigón esfuerzos
transversales a este eje, su deformación longitudinal unitaria será: ; y, por
su parte, las barras de acero: ; lo que permitirá escribir: ;
siendo, entonces
c) Por lo tanto, el esfuerzo principal de tracción en el hormigón será
Siendo nulos los otros dos valores propios del tensor de esfuerzos. Por lo que el
esfuerzo cortante máximo habrá de ser la mitad de aquel, como quedaría patente
mediante el uso de los círculos de Mohr.
d) Así que si se desea que este esfuerzo cortante sea el valor dado , será preciso
que la arista a tenga un valor de
P
ζa
P
ζa
ζz
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
139
PROBLEMA V-15
Una columna de material de Módulo de Elasticidad “E” y Módulo de Poisson “μ”, tiene
sección variable [según tres tramos iguales en longitud =“a”], cuyas secciones rectas son
cuadradas y tienen por áreas “S”, “2S” y “3S” [tal como se indica en la figura], se
encuentra encastrada entre el techo y el suelo, que son inamovibles.
En su parte central (2) se ejerce una compresión lateral sobre dos de sus caras opuestas,
de valor “p” (eje Y de la figura), mientras que según la cara frontal y trasera está libre
(eje X, perpendicular al papel).
Se debe calcular lo siguiente:
1. Las fuerzas de reacción que se ejercerán sobre el techo y el suelo.
2. Esfuerzo normal máximo en el tramo (1).
3. Esfuerzo normal máximo en el tramo (3).
4. Esfuerzo cortante máximo en el tramo (2).
5. Desplazamiento de las secciones de separación denominadas como C y D.
2 S
S
3 S
a
a
a
A
B
C
D
p p
(1
)
(3
)
(2
)
X
Y
Z
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
140
SOLUCIÓN:
a) La presión transversal al eje de la columna en la dirección Y producirá expansiones
en los sentidos perpendiculares X y Z. Y así como en el sentido X no existe
ninguna ligadura que impida este desplazamiento, en el sentido Z se verá minorada
la extensión vertical por los encastres en A y B, en los que aparecerán sendas
reacciones R para que las dilataciones y contracciones a lo largo del eje Z, en los
tres tramos, se compensen sin modificar la distancia AB = 3a. Así que el problema
habrá de plantearse con esa única incógnita hiperestática R.
b) La igualdad de las reacciones en A y en B es evidente, en razón al equilibrio de las
fuerzas verticales, como también es obvio su sentido (compresión) para evitar la
dilatación vertical. De esta forma, los tramos (1) y (3) estarán sometidos a
compresión con la correspondiente contracción, mientras que el (2),
necesariamente, tendrá que ver alargada su longitud en la misma cantidad que
corresponda a la suma de las contracciones de (1) y (3):
2 S
a+δ1+δ3
a-δ1
a-δ3
X
Y
Z
C
p p
A
(1)
R
(2)
D
3 S
B
(3)
R
S
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
141
c) Por tanto, habrá que determinar los esfuerzos normales según la dirección Z en los
tres tramos en función de la incógnita hiperestática R. Para ello, analizando las
situaciones en que se encuentran las secciones horizontales en cada uno:
d) Y así como las deformaciones en los tramos (1) y (3) solo obedecen a la Ley de
Hooke, dado que están sometidos a carga axial únicamente, no se podrá decir lo
mismo del tramo (2) en que existen cargas transversales que influyen en las
deformaciones en los otros sentidos, por lo cual analizaremos en particular este
tramo intermedio, calculando el alargamiento δ2 :
SE
pS
SE2
Ra
;aE
p
SE2
Ra
E
p
SE2
R
)afectaráno(
)afectaráno(
S2
R
p
0
2
Z2
Z
Y
X
2Z
Y
X
e) En cuanto a los tramos (1) y (3), conforme a la Ley de Hooke, en el sentido del eje
Z:
SE3
Ra4a
SE3
RR3
aSE3
Ra
aSE
Ra
;SE3
R
E
;SE
R
E31
33
11
33
11
f) La condición hiperestática de que la distancia AB quede invariable nos permite
expresarla así:
0pS2
R
3
R4;0321
pS11
6R
S
R1
S
A
(1)
R
ζ1
S2
R2
C p p
(2)
2S
A
R
ζ2
S3
R3
3 S
B
(3)
R
ζ3
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
142
g) El esfuerzo normal máximo en los tramos (1) y (3) son los ya mencionados ζ1 y ζ3
que, en función de p serán:
;p11
2y;p
11
631
h) Como los esfuerzos principales (normales) en el tramo (2) son:
p11
3
p
0
Z
Y
X
El esfuerzo cortante máximo (siguiendo los Círculos de Mohr) será:
2
pmax
ya que ζZ es bastante menor que p.
i) Las secciones C y D se desplazarán de acuerdo a la Ley de Hooke, para los
esfuerzos ζ1 y ζ3 ya calculados:
;aE
p
11
2y;a
E
p
11
631
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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143
Capítulo Sexto
Elementos estructurales con carga transversal
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
144
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
145
PROBLEMA VI-1
Determinar el momento máximo y la flecha máxima en una viga simplemente apoyada en
sus extremos, sometida a una carga q uniformemente repartida y cuya luz es L. Tómense
E e I como valores del módulo de elasticidad y momento de inercia de la viga. Calcular el
ángulo que forma la tangente a la elástica en los apoyos
.
SOLUCIÓN:
La simetría que caracteriza al problema exige
reacciones iguales en los dos apoyos, de forma
que sumen la carga total que gravita sobre la
viga: qL.
El desarrollo correspondiente del diagrama de
fuerzas cortantes se iniciará con la reacción en
el apoyo A y linealmente disminuirá con la
pendiente –q :
qx2
qLV
con lo que la función del momento flector se
deduce de :
cteVdxMdxVdM;Vdx
dM
cuya constante de integración deberá ser nula
por cuanto en la posición x=0 (sección A), al
ser una articulación, no existirá momento
alguno. Así:
2x
2
qx
2
qLM
siendo su valor máximo el que se manifiesta
en el punto medio de la viga (x=L/2):
8
qLM
2
max
Con la función del momento flector, puede exponerse la ecuación diferencial de la
elástica:
(d. m. f.)
B A
2
qL
2
qL
L
q
A B
q
A B
θA
(elástica)
qL/2
(d. f. c.)
-qL/2 A
B
-
+
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
146
;xqL24
1qLx
12
1qx
24
1yEI
);0K0y;0xpara(
;KxqL24
1qLx
12
1qx
24
1yEI
;qL24
1qLx
4
1qx
6
1yEI
);qL24
1K0y;
2
Lxpara(
;KqLx4
1qx
6
1yEI
;x2
qLx
2
qMyEI
334
2
2334
323
31
123
2
Así, la flecha máxima se producirá en el centro (2
Lx ) y valdrá:
EI
qL
384
5y
4
max .
Igualmente, el ángulo de la tangente en A será y’ en 0x : EI24
qL3
A
PROBLEMA VI-2
Determinar el momento máximo y la flecha máxima en una viga doblemente empotrada,
sometida a una carga q uniformemente repartida y cuya luz es L. Tómese E e I como
valores del módulo de elasticidad y momento de inercia de la viga.
SOLUCIÓN:
La simetría que caracteriza al problema exige reacciones iguales en los dos apoyos, de
forma que sumen la carga total que gravita sobre la viga: qL (equilibrio isostático).
De otra parte, las condiciones de contorno que supone la existencia de los empotramientos,
exigen la aparición en ellos de momentos de reacción MA que obliguen a la elástica a salir
con tangente horizontal en los extremos A y B de la viga. Estas reacciones son
hiperestáticas, y solo podrán ser resueltas mediante el planteamiento analítico ó gráfico
(Mohr) de la citada condición de contorno.
El desarrollo correspondiente del diagrama de fuerzas cortantes se iniciará con la reacción
en el apoyo A y linealmente disminuirá con la pendiente –q :
qx2
qLV
con lo que la función del momento flector se deduce de :
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
147
cteVdxMdxVdM;Vdx
dM
cuya constante de integración deberá ser -MA
por cuanto en la posición x=0 (sección A), así
debe ser. Así:
A2
Mx2
qx
2
qLM
correspondiendo su máximo, bien a los que
aparecen en los empotramientos o al que se
manifiesta en el punto medio de la viga (x=L/2).
Evidentemente, nada puede ser conocido hasta
no determinar la incógnita hiperestática.
Para ello, integrando la ecuación diferencial,
lograremos deducir la función y’ que al anularse
en 0x y también en x=L/2, permitirá
calcular MA.
;x24
qLqLx
12
1qx
24
1yEI
);0K0y;0xpara(;Kx24
qLqLx
12
1qx
24
1yEI
12
qLM0y;
2
Lxpara(;xMqLx
4
1qx
6
1yEI
);0K0y;0xpara(;KxMqLx4
1qx
6
1yEI
;Mx2
qLx
2
qMyEI
22
34
222
234
2
AA23
11A23
A2
Así, la flecha máxima se producirá en el centro (2
Lx ) y valdrá:
EI
qL
384
1y
4
max
Por otra parte, la función del momento flector será 12
qLx
2
qx
2
qLM
22 resultando en
el punto medio de la viga 24
qLM
2
C ; (más pequeño que los del empotramiento), por lo
que: 12
qLM
2
max
qL/2
(d. f. c.)
-qL/2 A
B
-
+
2
qL
2
qL
L
q
A B
MA MA
(d. m. f.)
B A
q
A B
(elástica)
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
148
También interesa conocer la posición de los puntos de inflexión, donde cambia de
curvatura la elástica y que se producirá en las secciones de momento flector nulo:
0LxL6x622 ; o sea:
L6
3
2
1xinf
PROBLEMA VI-3
Determinar el momento máximo y la flecha máxima en una viga simplemente apoyada en
sus extremos, sometida a una carga P situada a las distancias a y b de los extremos de la
viga, cuya luz total es L=a+b. Tómense E e I como valores de su módulo de elasticidad y
momento de inercia. Calcular el ángulo que forma la tangente a la elástica en el apoyo A
y la sección en la que se produce la flecha máxima.
SOLUCIÓN:
Las ecuaciones de equilibrio isostático nos definen por un lado: PRR BA ; y por otro,
tomando momentos respecto a B: bPLRA de donde:
PL
aR
PL
bR
B
A
El desarrollo correspondiente del diagrama de fuerzas cortantes se iniciará con la reacción
del apoyo A cuyo valor permanece constante hasta dar el salto brusco de discontinuidad
que supone la carga P. Tras este salto pasa al valor de RB con el que llega hasta el final del
diagrama. Así se presentan dos tramos AC y CB de funciones diferentes de la fuerza
cortante V, en cuya sección común C deberán coincidir tanto la tangente a la elástica como
la flecha en sí: Tramo AC: ;PL
bV1 tramo CB: ;P
L
aV2
De esta forma el diagrama de momentos flectores tendrá un primer tramo de
variación lineal positiva y otro segundo de variación también lineal negativa:
xLPL
aaxVMM
PL
abM;Px
L
bxVM
2max2
max11
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
149
Ello repercutirá en dos ecuaciones matemáticas diferentes de la elástica: una para cada
tramo, con plena coincidencia de flecha y tangente en la sección común C.
22
2
12
1
2
1
Kx2
1LxP
L
ayEI
KPxL2
byEI
xLPL
ayEI
PxL
byEI
Las constantes de integración K1 y K2 deberán
cumplir dichas condiciones para ax :
2
2
1
2
212
1
2KaLaP
L
aKPa
L
byy
CC
2
2
12
PaKK
En una segunda integración, aparecerán nuevas
constantes C1 y C2. La primera será nula por ser
0y1 en el apoyo A (perteneciente a este entorno),
es decir en x=0; y para la segunda habrá de tenerse
en cuenta que también en B la flecha es nula (x=L):
2
2
132
2
13
1
2232
2
113
1
Cx2
PaKx
6
1x
2
LP
L
ayEI
xKPxL6
byEI
CxKx6
1x
2
LP
L
ayEI
CxKPxL6
byEI
LK
aLPaLC
CPaLLPa
LKCLPa
KPaLPaL
yEI
LxparayCxPa
KxPa
xL
PayEI
12
2
22
12
2
1
22
2
2
2
1
23
2
6
32
;032226
:;226
PL
b
(d. f. c.)
A
B
- PL
a
+
P
C
AR
L
P
A B
a b
BR
C
(d. m. f.)
B A C
A B
θA
(elástica)
P
C
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
150
es decir:
LK6
a3L2PaLx
2
PaKx
2
Pax
L6
PayEI
xKPxL6
byEI
1
2
123
2
13
1
ambas expresiones deberán coincidir cuando ax , en la sección C de aplicación de la
carga:
LK6
a3L2PaL
2
PaaK
2
Pa
L6
PayEI
aKPaL6
byEI
1
3
1
34
ax2
13
ax1
simplificando:
bKPaL6
aaL3L2yEI
aKPaL6
byEI
1
323
ax2
13
ax1
y al igualar los segundos miembros tendremos el valor de:
PL6
b2aabK1
ello permite ya la obtención de cualquiera de los valores requeridos:
1. Flecha en C: PEIL3
bay
22
ax
2. Tangente en C:
PEIL3
baaby ax
3. Tangente en A:
PEIL6
b2aaby 0x
4. Tangente en B:
PEIL6
ba2aby Lx
5. Situación de la flecha máxima: La flecha máxima aparecerá en la sección
correspondiente a la tangente horizontal a la elástica. Si (como sucede en este
ejemplo) a<b la tangente horizontal acontecerá en el segundo tramo y
haciendo 0y2 se determinará el valor correspondiente de x:
3
aLx
22
maxy
6. Flecha máxima:
PaEIL39
aLy
322
max
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
151
Así, si fuera el caso de tener la carga aplicada en el punto medio de la viga a=b=L/2, los
valores anteriores serían: EI16
PLy
3
0x ; EI48
PLy
3
max ;
y el momento máximo: 4
PLMmax
PROBLEMA VI-4
La viga de la figura está de módulo de elasticidad E y sección cuyo momento de inercia
respecto a la línea neutra es I en el tramo central, y 2I en los volados.
Calcular:
3. Reacciones en los apoyos B
4. Momentos flectores a derecha e izquierda de los apoyos
5. Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en la viga
6. Angulo que gira la viga en los apoyos B
7. Forma y curvaturas de la elástica
8. Posición de las secciones de inflexión
9. Posición de la flecha máxima
10. Cálculo de dicha flecha máxima
11. Flecha de los extremos volados A
A A B B
I
2Pa 2Pa
2a a a
2I 2I
Pa Pa 2P
2a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
152
PROBLEMA VI-5
La viga de la figura está de módulo de elasticidad E y sección cuyo momento de inercia
respecto a la línea neutra es I.
Calcular:
1. El momento MD que habría de aplicarse en el extremo de la parte volada para que,
en esa sección D, la tangente a la elástica fuera horizontal.
2. Reacciones en el apoyo C y el empotramiento A.
3. Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en la viga.
4. Angulo que gira la viga en el apoyo C.
5. Forma y curvaturas de la elástica.
6. Posición de las secciones de inflexión.
7. Posición de la flecha máxima.
8. Cálculo de dicha flecha máxima.
PROBLEMA VI-6
La viga de la figura tiene módulo de elasticidad E y sección cuyo momento de inercia
respecto a la línea neutra es I.
Determinar:
1. Reacciones en los apoyos
2. Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en la viga
3. Valores máximos de los momentos flectores y secciones que los soportan
4. Angulo que gira la viga en los apoyos A y B. Calcularlos.
5. Forma y curvaturas de la elástica. Dar la estimación y explicar porqué.
6. ¿Existe algún punto entre A y C con flecha nula? Explicar porqué.
7. Posición de las tangentes horizontales a la elástica. Calcularlas.
8. Posición de las secciones de inflexión. Calcularlas.
2a a a
A D B C MD
Pa
a a a a
A A
B
8/9.Pa
C
B
8/9.Pa
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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153
PROBLEMA VI-7
Aplicando los Teoremas de Mohr, determinar la flecha en el extremo volado D de la viga
de la figura. Momento de Inercia I y módulo de elasticidad E.
PROBLEMA VI-8
Aplicando los Teoremas de Mohr, determinar la flecha en el centro de la viga de la figura.
(Datos: Momento de Inercia I; módulo de elasticidad E; carga P; y luz de la viga 5a).
PROBLEMA VI-9
La viga de la figura que tiene sección uniforme de momento de inercia I y cuyo módulo de
elasticidad es E, está cargada uniformemente con una carga repartida “q” a lo largo de
toda ella (incluida la parte volada). En su extremo C se encuentra aplicado un momento
exterior de fuerzas de magnitud “ 2qL
2
3” en el sentido de giro de las agujas del reloj. El
otro extremo A está empotrado, mientras que en B hay un apoyo articulado simple.
Calcular las reacciones en A y B, así como los diagramas de fuerzas cortantes y
momentos flectores.
Determinar igualmente la forma de la elástica, con sus puntos de inflexión donde los haya
y las flechas máximas en ambos tramos de la viga.
P
A C D
2a 2a a
B
P
A C
2a 3a
B
2L L
A B C
q
2qL
2
3
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
154
SOLUCIÓN:
a) Las reacciones en las secciones de contorno de la viga, vienen dadas por las
ecuaciones isostáticas de equilibrio. Sin embargo, al tener un grado de
hiperestaticidad, quedará una incógnita (tomaremos la reacción del empotramiento
A) a determinar por la ecuación hiperestática.
b) Los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores (en función de la
incógnita hiperestática R) serán:
c) Las correspondientes funciones de fuerzas cortantes y momentos flectores resultan:
TRAMO AB (0<x<2L):
RL2Rxqx2
1MRqxV
211
2L L
A B C
q
2qL
2
3
R
2RL
R+3qL
-R
-R-2qL
qL
-
+2RL
2qL
2
3
discontinuidad
de la tangente del
diagrama mm.ff.
Sección de inflexión
de la elástica
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
155
TRAMO BC (2L<x<3L):
2222 qL6qLx3qx
2
1MqL3qxV
d) De esta forma, los valores máximos de momentos flectores podrán estar, o bien en
los extremos del diagrama, o bien será el valor de la tangente horizontal, que
tendrá lugar, en todo caso, en su primer tramo, ya que el punto de inflexión debe
manifestarse en la sección B.
e) Siguiendo el proceso de estudio, las ecuaciones diferenciales de la elástica serán:
2223222
2
22
12312
2
12
KxqL6qLx2
3qx
6
1
dx
dyEIqL6qLx3qx
2
1
dx
ydEI
KRLx2Rx2
1qx
6
1
dx
dyEIRL2Rxqx
2
1
dx
ydEI
La tangente a la elástica en la sección del empotramiento A (x=0) tendrá que ser
horizontal:
0K1
La tangente a la elástica en la sección B tendrá que ser única para el primero y
segundo tramo (x=2L):
2322
3322RL2qL6KKqL12qL6RL4RL2
La integración final de las ecuaciones diferenciales dan:
2232234
2
1234
1
CxRL2qL6xqL3qLx2
1qx
24
1EIy
CRLxRx6
1qx
24
1EIy
Siendo igualmente nula la flecha en A (tramo 1):
f) 0C1
Y resultarán también iguales a cero las flechas en la sección B (x=2L) para los dos
tramos:
422
44444
334
qL3
13C0CqLqL12qL12qL4qL
3
24
qLR0RL4RL
3
4qL
3
2
f) Con las constantes de integración determinadas y la incógnita hiperestática calculada,
procedemos a escribir las funciones de fuerzas cortantes, momentos flectores y
correspondientes ecuaciones de la elástica y tangente para cada tramo:
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
156
TRAMO 1
2
qLx
4
qLqx
2
1M
4
qLqxV
22
11
xqL2
1qLx
8
1qx
6
1
dx
dyEIxqL
4
1qLx
24
1qx
24
1EIy
223122341
TRAMO 2
2222 qL6qLx3qx
2
1MqL3qxV
32232
4322342
qL2
13 xqL6qLx
2
3qx
6
1
dx
dyEI
qL3
13xqL
2
13xqL3qLx
2
1qx
24
1EIy
g) Esquemáticamente:
qL
+
-
qL4
9
qL4
1
2L L
A B C
q
2qL
2
3
qL4
1
qL4
13
2qL
2
1
Sección de inflexión de la elástica
0,78L
2qL
2
1
2qL
2
3
2max qL2M
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
157
Con esta información ya pueden dibujarse el estado de cargas y reacciones de la
viga, sus diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores y la forma
aproximada que toma la curva de la elástica. Además, podremos calcular las
posiciones de flechas máximas, puntos de inflexión y cualquier otro valor que
desee ser conocido, simplemente sustituyendo en las ecuaciones obtenidas los
valores que le corresponden a x en la sección interesada.
Corte con el eje de referencia del d. m. f. (momento flector nulo)
L78,0x0L2Lxx202
qLx
4
qLqx
2
1M0M
222
211
Situación del momento flector máximo 2
max qL2ML2x
Situación de la flecha máxima en el TRAMO 1
0L12Lx3x40L2
1Lx
8
1x
6
10
dx
dy 22221
EI
qL2,0yL4,1x
4
1max
Y la flecha máxima en el volado:
EI
qL875,3yL3x
4
2max
PROBLEMA VI-10
La viga de la figura, cuyo módulo de elasticidad es E, tiene entre A y B sección
uniforme de momento de inercia I, mientras que entre B y C su momento de inercia
es 2I. Los momentos Pa están aplicados en las secciones D y C (extremo volado),
tal como se indica en el dibujo. El extremo A está empotrado, mientras que en B
hay un apoyo articulado simple.
Mediante el uso de los Teoremas de Mohr, calcular las reacciones en A y B, así
como los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores.
Determinar igualmente la forma de la elástica, con sus puntos de inflexión donde
los haya.
2a a
A B C
Pa
a
Pa I
D
2I
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
158
SOLUCIÓN:
a) Las reacciones en las secciones de empotramiento y apoyo, vienen dadas por las
ecuaciones isostáticas de equilibrio. Sin embargo, al tener grado uno de
hiperestaticidad, quedará una incógnita a determinar por la ecuación hiperestática
(tomaremos la reacción R del apoyo B).
b) La estimación previa de la forma de la elástica ayuda claramente a presentir los
sentidos de las reacciones y la forma de los diagramas de fuerzas cortantes y
momentos flectores:
El equilibrio implícito a que se ve sometida la viga antes de ser condicionada por el
empotramiento A y el apoyo B, permiten deducir su deformada en esta situación de
total libertad (línea de puntos más fina) para hacerla pasar luego por los puntos A y
B (línea de puntos más gruesa); resultando finalmente la reacción del momento de
empotramiento en A que obligue a una tangente horizontal de la elástica (línea
gruesa), como condición de contorno. Consecuentemente, se obtienen las
direcciones de las fuerzas de reacción en A y B y la relación de equilibrio isostático
entre esas reacciones R y el momento del empotramiento 3Ra.
c) Los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores (en función de la
incógnita hiperestática R) serán:
-R
+R -
+3Ra
-Pa
-Pa
2Ra-Pa
2Ra
2a
R
3Ra
R
2I I
D
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
159
d) Las correspondientes funciones de fuerzas cortantes y momentos flectores resultan:
TRAMO AD (0<x<a):
Ra2MRa3RxMRV )ax(D111
TRAMO DB (a<x<3a):
PaMPaRa3RxMRV )a3x(B222
TRAMO BC (3a<x<4a):
PaMPaM0V )a4x(C333
e) De esta forma, los valores máximos de momentos flectores tendrán que
corresponder a alguno de los extremos del diagrama, o bien –Pa o bien +3Ra.
f) Tal como se pide en el enunciado del problema, se exige su resolución mediante el
uso de los Teoremas de Mohr.
g) Así, habrá que expresar la ecuación hiperestática evidenciando que la distancia
desde B a la tangente en A es nula. El uso del diagrama de momentos flectores
permite su recomposición con el triángulo entre A y B y el rectángulo entre D y B,
en la forma que se representa a continuación:
Por tanto, el momento estático de las áreas triangular y rectangular (con sus
respectivos signos) respecto al eje que pasa por B, será:
P9
2R0a2a3Ra3
2
1aa2Pa
+3Ra
-Pa
-Pa
2Ra-Pa
2Ra
B A
3a
2a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
160
h) Con esta información ya pueden dibujarse el estado de cargas y reacciones de la
viga, sus diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores y la forma
aproximada que toma la curva de la elástica. Además, podremos calcular las
posiciones de flechas máximas, puntos de inflexión y cualquier otro valor que
desee ser conocido, simplemente sustituyendo en las ecuaciones obtenidas los
valores que le corresponden a x en la sección interesada.
SOLUCIÓN MÁS COMPLETA:
a) Las reacciones en las secciones de empotramiento y apoyo, vienen dadas por las
ecuaciones isostáticas de equilibrio. Sin embargo, al tener grado uno de
hiperestaticidad, quedará una incógnita a determinar por la ecuación hiperestática
(tomaremos la reacción R del apoyo B).
2a a
A B C
Pa
a
P9
2
D
P9
2
Pa9
6
xfm
Pa9
6
-Pa
-Pa
Pa9
5
Pa9
4
P9
2
- P
9
2
Pa
Sección de inflexión
2a a
A B C
Pa
a
Pa
R
3Ra
R
2I I
D
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
161
b) La estimación previa de la forma de la elástica ayuda claramente a presentir los
sentidos de las reacciones y la forma de los diagramas de fuerzas cortantes y
momentos flectores:
El equilibrio implícito a que se ve sometida la viga antes de ser condicionada por el
empotramiento A y el apoyo B, permiten deducir su deformada en esta situación de
total libertad (línea de puntos más fina) para hacerla pasar luego por los puntos A y
B (línea de puntos más gruesa); resultando finalmente la reacción del momento de
empotramiento en A que obligue a una tangente horizontal de la elástica (línea
gruesa), como condición de contorno. Consecuentemente, se obtienen las
direcciones de las fuerzas de reacción en A y B y la relación de equilibrio isostático
entre esas reacciones R y el momento del empotramiento 3Ra.
c) Los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores (en función de la
incógnita hiperestática R) serán:
d) Las correspondientes funciones de fuerzas cortantes y momentos flectores resultan:
TRAMO AD (0<x<a):
Ra2MRa3RxMRV )ax(D111
TRAMO DB (a<x<3a):
PaMPaRa3RxMRV )a3x(B222
TRAMO BC (3a<x<4a):
PaMPaM0V )a4x(C333
-R
+R -
+3Ra
-Pa
-Pa
2Ra-Pa
2Ra
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
162
e) De esta forma, los valores máximos de momentos flectores tendrán que
corresponder a alguno de los extremos del diagrama, o bien –Pa o bien +3Ra.
f) Siguiendo el proceso de estudio, las ecuaciones diferenciales de la elástica serán:
33
33
2
32
222
2
22
121
2
12
C2
1Pax
2
1
dx
dyEICPax
dx
dyEI2Pa
dx
ydI2E
Cax)PR3(Rx2
1
dx
dyEIa)PR3(Rx
dx
ydEI
CRax3Rx2
1
dx
dyEIRa3Rx
dx
ydEI
Las constantes de integración que han sido introducidas, tendrán que verificar las
condiciones de contorno que define el problema y, por tanto, las que implican la
continuidad de la elástica al pasar de un tramo al siguiente. Así:
La tangente a la elástica en la sección del empotramiento A (x=0) tendrá que
ser horizontal:
0C1
La tangente a la elástica en la sección D tendrá que ser única para el primero y
segundo tramos (x=a):
222
2222PaCCa)PR3(Ra
2
1Ra3Ra
2
1
La tangente a la elástica en la sección B tendrá que ser única para el segundo y
tercer tramos (x=3a):
233
22a)R9P(CC
2
1a3Pa
2
1Paa3a)PR3(Ra
2
9
Con lo que, sustituidas ya totalmente las constantes Ci , la primera integración de
las ecuaciones diferenciales, resultan:
23
222
21
a)R9P(2
1Pax
2
1
dx
dyEI
Paax)PR3(Rx2
1
dx
dyEI
Rax3Rx2
1
dx
dyEI
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
163
La integración final de las ecuaciones diferenciales darán:
'3
223
'2
2232
'1
231
Cxa)R9P(2
1Pax
4
1EIy
CxPaaxPR32
1Rx
6
1EIy
CRax2
3Rx
6
1EIy
Deberá procederse en forma análoga para calcular las constantes de integración
C’i y la reacción R:
La flecha en A es nula (x=0) (tramo 1):
0C'1
Las flechas en la sección D (x=a) para los dos tramos uno y dos, deberán ser
iguales:
3'2
'2
33333Pa
2
1CCPaaPR3
2
1Ra
6
1Ra
2
3Ra
6
1
La flecha en la sección B (x=3a) para el tramo segundo será nula:
P9
2R0Pa
2
1a3Pa9)PR3(
2
1a27R
6
1 3333
La flecha en la sección B (x=3a) para el tramo tercero será también nula:
3'3
'3
33Pa
4
3C0Ca3)P2P(
2
1a9P
4
1
g) Con las constantes de integración determinadas y la incógnita hiperestática
calculada, procedemos a escribir las funciones de fuerzas cortantes, momentos
flectores y correspondientes ecuaciones de la elástica y tangente para cada tramo:
TRAMO AD (0<x<a):
Pa9
4MPa
9
6Px
9
2MP
9
2V )ax(D111
Pax3
2Px
9
1
dx
dyEIPax
3
1Px
27
1EIy
21231
TRAMO DB (a<x<3a):
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
164
Pa9
5MPa
9
3Px
9
2MP
9
2V )ax(D222
22232232 PaPax
3
1Px
9
1
dx
dyEIPa
2
1xPaPax
6
1Px
27
1EIy
TRAMO BC (3a<x<4a):
PaM0V 33
233223 Pa
2
1Pax
2
1
dx
dyEIPa
4
3xPa
2
1Pax
4
1EIy
h) Con esta información ya pueden dibujarse el estado de cargas y reacciones de la
viga, sus diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores y la forma
aproximada que toma la curva de la elástica. Además, podremos calcular las
posiciones de flechas máximas, puntos de inflexión y cualquier otro valor que
desee ser conocido, simplemente sustituyendo en las ecuaciones obtenidas los
valores que le corresponden a x en la sección interesada.
2a a
A B C
Pa
a
P9
2
D
P9
2
Pa9
6
xfm
Pa9
6
-Pa
-Pa
Pa9
5
Pa9
4
P9
2
- P
9
2
Pa
Sección de inflexión
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
165
Así, la sección de la viga que tiene tangente horizontal (además del empotramiento)
será la que se encuentra en el segundo tramo con 0dx
dy2 ; es decir, aquella que
verifica:
a86,1a)15(2
3a
2
3693x0a9ax3x fm
22
Siendo entonces la flecha que le corresponde, la que se deduce de sustituir este
valor de xfm en y2.
Por su parte, la flecha en el extremo volado será:
EI
Pa55,0
EI
Pa
4
955y
33
(max)2
Mientras que la flecha en el extremo volado será calculada sustituyendo x=4a en
y3:
EI
Pa25,1
EI
Pa
4
5y
33
(max)3
i) Sin embargo, tal como se pide en el enunciado del problema, todo lo expuesto a
partir del apartado f) no se corresponde con la respuesta pedida, ya que se exige su
resolución mediante el uso de los Teoremas de Mohr.
j) Así, habrá que expresar la ecuación hiperestática evidenciando que la distancia
desde B a la tangente en A es nula. El uso del diagrama de momentos flectores
permite su recomposición con el triángulo y el rectángulo entre A y B, en la forma
que se representa a continuación:
+3Ra
-Pa
-Pa
2Ra-Pa
2Ra
B A
3a
2a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
166
Por tanto, el momento estático de las áreas triangular y rectangular (con sus
respectivos signos) respecto al eje que pasa por B, será:
P9
2R0a2a3Ra3
2
1aa2Pa
Resolución evidentemente mucho más rápida y sencilla que la realizada
anteriormente, llevándonos igualmente a las conclusiones sobre las reacciones,
diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores, como a la forma de la
elástica, que ya fueron apuntadas antes, en el apartado h).
Toda la exposición efectuada en esta resolución del problema entre los apartados f)
a h) ha tenido como único objetivo resaltar la utilidad de los Teoremas de Mohr
para determinados casos.
PROBLEMA VI-11
Una viga, apoyada en sus secciones A y B como se indica en la figura, está
cargada con dos momentos exteriores de valor Pa en las secciones B y D y con
sentidos de giro opuestos. A partir de su extremo izquierdo, continúa volada hasta
la sección C. El momento de inercia de la sección recta de la viga entre A y B es I,
mientras que la parte volada tiene otra sección de momento de inercia doble (2I).
El material es el mismo para ambos tramos y su Módulo de Elasticidad es E .
Se pide calcular:
1. Reacciones en los apoyos.
2. Diagrama de momentos flectores.
3. Forma y curvaturas de la elástica.
4. Angulo de la tangente a la elástica en B.
5. Posición de la sección de flecha máxima y valor de esta.
6. Valor de la flecha en C.
B I 2I C
Pa
Pa A D
a a 2a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
167
SOLUCIÓN:
La viga se encuentra en perfecto equilibrio, por lo que la vinculación de los apoyos
es meramente representativa, sin que pueda aparecer reacción alguna.
El diagrama de fuerza cortante tendrá pues una representación plana de fuerza
cortante nula.
Por su parte, el diagrama de momentos flectores será uniforme y constante entre D
y B y de valor Pa, mientras que desde C hasta D habrá de ser nulo.
Tras el diagrama de momentos flectores, resulta fácil dibujar el esquema de la
elástica, que presentará entre D y B un arco de flexión pura positiva y entre D y C
un tramo recto sin curvatura.
Sin embargo, la determinación analítica de las características de esta elástica
deberá contemplar la diferente función del momento flector en el tramo DB, de la
que corresponde al tramo CAD. Y, para este último tramo, que en el cálculo
analítico de la elástica, el volado CA se verá afectado por un momento de inercia
doble que en la otra parte AD.
Con ello, es también de destacar que la elástica del volado se limitará a tener una
continuidad del tramo recto AD, por lo que cualquier cálculo de flecha en él se
limitará a multiplicar el ángulo de la tangente en A por la distancia a la que se
pretende conocer esa flecha.
B
I 2I
C
Pa
Pa
A
D
(d.f.c.)
(d.m.f.) (+) Pa
B
I 2I
C
Pa
Pa
A
D
a a 2a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
168
Así pues, el cálculo analítico se limitará a los tramos “1” (AD) y “2” (DB).
TRAMO AD (“1”):
;KxyEI)0K0y0x(;KKxyEI
;KyEI
;0yEI
111
1
1
TRAMO DB (“2”):
;Ca3Pa2
9CxPax
2
1yEI
);Ca3Pa2
9C0ya3x(;CCxPax
2
1yEI
;CPaxyEI
;PayEI
322
32
22
2
2
DETERMINACIÓN DE LAS CONSTANTES K y C:
;Pa3
2K;Pa
3
5C;Pa5Ca3;Ca2Pa4CaPa
;Ca2Pa4Ca3Pa2
9CaPa
2
1Kayyaxpara
;CPaKyyaxpara
22333
33321
221
ECUACIONES DE LA ELÁSTICA EN AMBOS TRAMOS:
Tramo AD:
;xPa3
2yEI
;Pa3
2yEI
21
21
Tramo DB:
;Pa2
1xPa
3
5Pax
2
1yEI
;Pa3
5PaxyEI
3222
22
Angulo de la tangente a la elástica en B:
EI3
Pa4y
2
2B a3x
Posición de la sección de flecha máxima y valor de esta:
a3
5x0y2 EI9
Pa8y
3
2max
Valor de la flecha en C:
ay;EI3
Pa2y AC
2
1A EI3
Pa2y
3
C
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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169
Capítulo Séptimo
Sistemas estructurales compuestos. Pórticos
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
170
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
171
PROBLEMA VII-1
En el pórtico articulado de la figura actúa una presión de viento sobre los pilares en la
forma indicada con una carga uniformemente repartida q.
En el pórtico no se consideran otras cargas exteriores, y las secciones de pilares y dintel
tienen el mismo Momento de Inercia I, estando construidos del mismo material de Módulo
de Elasticidad E.
Calcular:
1. Reacciones en las bases de los pilares.
2. Diagramas de momentos flectores en los pilares y el dintel.
3. El momento flector máximo en el dintel y los pilares.
4. Angulo que gira la crujía de unión entre pilares y dintel.
5. Forma y curvaturas de la elástica (indicando las curvaturas en las inmediaciones
de las articulaciones de la cimentación y en las crujías pilar-dintel).
6. Posición de las secciones de inflexión.
7. Posición de la flecha máxima en el dintel.
8. Cálculo de dicha flecha máxima.
9. Desplazamiento de las crujías (flecha del pilar en B)
B B
6a
A A
q q 2a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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172
SOLUCIÓN:
Cálculo de reacciones verticales:
V . 6a = 2 . 2qa . a
V = 2/3 . qa
Estudio del pilar:
Cálculo del momento de la cabeza del pilar:
Mp = 2qa · a = 2qa2
Cálculo de la elástica del pilar:
MxP = + 2qax – ½ · qx2
EI·y`` = – MxP = ½ qx2 – 2qax
EI·y` = 1/6 ·qx3 – qax
2 + K1
EI·y = 1/24 · qx4 – 1/3 · qax
3 + K1x + K2 (x = 0; y = 0; K2 = 0)
[K1 se calculará por la condición de ortogonalidad entre pilar
y dintel en la crujía]
EI·y = 1/24 · qx4 – 1/3 · qax
3 + K1x
Flecha máxima del pilar en B (x = 2a):
EI·yB = 2/3 · qa4 – 8/3 · qa
4 + 2aK1
Tangente a la elástica en B (x = 2a):
EI·y`B = 4/3 ·qa3 – 4qa
3 + K1 = – 8/3 · qa
3 + K1;
θP = [– 8/3 · qa3 + K1]/EI
Análisis de la crujía:
1. Transmitirá el momento de la cabeza del pilar al
extremo del dintel. 2. Transmitirá la reacción vertical V de la cimentación al
extremo del dintel
q
2a
B
Mp
A 2qa
2/3 · qa
2/3 · qa
B B
A A
q q
2a
H=2qa H=2qa
2qa 2qa
V V
6a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
173
Estudio del dintel:
RESPUESTA A CUESTIONES PLANTEADAS:
1. Reacción horizontal: H = 2qa
Reacción vertical: V = 2/3 ·qa
2. Diagramas de momentos flectores:
Ecuación hiperestática:
θD = θP ; + 2qa3 = – 8/3 · qa
3 + K1; K1 = + 14/3 · qa
3
2/3 · qa 2/3 · qa
Mp= 2qa2
Mp= 2qa2
6a
Cálculo de la elástica del dintel:
MxD = – 2/3 · qax + Mp = – 2/3 · qax + 2qa2
EI·y`` = – MxD = + 2/3 · qax – 2qa2
EI·y` = + 1/3 · qax2 – 2qa
2x + C1
EI·y = + 1/9 · qax3 – qa
2x
2 + C1x + C2 (x = 0; y = 0; C2 = 0); (x = 6a ó 3a; y = 0; C1 = + 2qa
3)
EI·y = + 1/9 · qax3 – qa
2x
2 + 2qa
3x
Tangente a la elástica en B (x = 0):
EI·y`B = C1 = + 2qa3;
θD = + 2 · qa3/EI
Ecuaciones de la elástica del pilar:
EI·y`P = 1/6 ·qx
3 – qax
2 + 14/3 · qa
3
EI·yP = 1/24 · qx4 – 1/3 · qax
3 + 14/3 · qa
3x
- 2qa2
+ 2qa2
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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174
3. Momento Flector máximo del dintel y los pilares se produce en las crujías:
Mmax = 2qa2
4. El ángulo que gira la crujía:
θB = + 2 · qa3/EI
5. Elástica:
6. Secciones de inflexión solo hay una en el centro del dintel
7. Posición flecha máxima dintel:
EI·y` = + 1/3 · qax2 – 2qa
2x + C1 = + 1/3 · qax
2 – 2qa
2x + 2qa
3 = 0
x2
m – 6ax m + 6a2 = 0; x = 3a √9a
2 – 6a
2 = [3 √3] · a xm = [3 +/- √3] · a
8. Valor de la flecha máxima:
EI·y = + 1/9 · qax3
– qa2x
2 + 2qa
3x;
Xm = [3 – √3 ] · a; EI.ymax = [+ 1/9 · (9 – 6√3+ 3) – 2(3 – √3) + 2] . qa3 . a[3 –
√3]
EI.ymax = (12 –20√3/3) . qa3; ymax = (12 -20√3/3) · qa
4/EI = + 0,45 · qa
4/EI
9. Desplazamiento de las crujías:
EI·yB = 2/3 · qa4 – 8/3 · qa
4 + 2aK1 = 2/3 · qa
4 – 8/3 · qa
4 + 2a · 14/3 · qa
3 =
22/3 · qa4
yB = + 22/3 · qa4/EI
yB yB
xm
ymax
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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175
PROBLEMA VII-2
En el pórtico empotrado de la figura actúan las fuerzas P que se indican en las
crujías.
En el pórtico no se consideran otras cargas exteriores, y las secciones de pilares y
dintel tienen el mismo Momento de Inercia I, estando construidos del mismo
material de Módulo de Elasticidad E.
Calcular:
1. Reacciones en las bases de los pilares.
2. Diagramas de momentos flectores en los pilares y el dintel.
3. El momento flector máximo en el dintel y los pilares.
4. Angulo que gira la crujía de unión entre pilares y dintel.
5. Forma y curvaturas de la elástica (indicando las curvaturas en las
inmediaciones de las articulaciones de la cimentación y en las crujías
pilar-dintel).
6. Posición de las secciones de inflexión.
7. Posición de la flecha máxima en el dintel.
8. Cálculo de dicha flecha máxima.
9. Desplazamiento de las crujías (flecha del pilar en B)
2a
B B
6a
A A
P P
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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176
SOLUCIÓN:
Equilibrio isostático del pórtico:
V . 6a + 2MA = 2 . 2Pa
MA = 2 Pa – 3 Va
Estudio del pilar:
2a
B B
6a
A A
H=P H=P
V V
P P
MA MA
Cálculo del momento de la cabeza del pilar:
Mp = 2Pa - MA = 3Va;
(en función de la incógnita hiperestática V)
Cálculo de la tangente a la elástica en la cabeza del pilar:
(a través del 1er
Teorema de Mohr)
EI θP = – [– (2Pa–3Va).2a + ½ 2Pa.2a] = (2P – 6V).a2;
θP = (2P – 6V) a2/EI
Cálculo de la flecha en la cabeza del pilar:
(a través del 2º Teorema de Mohr)
EI·yB = – [– (2Pa–3Va).2a.a + ½ 2Pa.2a.2a/3] = (4P – 4P/3 – 6V).a3
yB = (8P/3 – 6V).a3/EI
+
P
dfc dmf
3Va
-(2Pa - 3Va)
2Pa
Mp
B
P
MA
P
V
A
2a
V
θP
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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177
Estudio de la crujía:
Estudio del dintel:
V
V
P
P MD
MP
1 Transmitirá el momento de la cabeza del pilar al extremo del
dintel: MD = MP = 3Va.
2 Transmitirá la reacción vertical V de la cimentación al extremo
del dintel.
3 Transmitirá la carga P hacia la cabeza del pilar.
V MD= 3Va
Ecuación hiperestática:
θD = θP ; + 3Va2 = (2P – 6V) a
2; V = 2P/9
V
Cálculo de la elástica del dintel:
MxD = 3Va – Vx
EI·y`` = – MxD = Vx – 3Va
EI·y` = + 1/2 · Vx2 – 3Vax + C1
EI·y = + 1/6 · Vx3
– ½.3Vx2 + C1x + C2 (x = 0; y = 0; C2 = 0); (x = 6a ó 3a; y = 0; C1 = +
3Va2)
EI·y = + 1/6 · Vx3
– ½.3Vx2 + 3Va
2x
Tangente a la elástica en B (x = 0):
EI·y`B = C1 = + 3Va2;
θD = + 3Va2/EI
θD
6a
+3Va
- 3Va
V (–)
MD= 3Va
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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178
RESPUESTA A LAS CUESTIONES PLANTEADAS:
1. Reacción horizontal: H = P
Reacción vertical: V = 2P/9
2. Diagramas de momentos flectores:
3. Momento Flector máximo del dintel se produce en las crujías:
MDmax = 2Pa/3
Momento Flector máximo de los pilares se produce en la base:
MPmax = 4Pa/3
4. El ángulo que gira la crujía: θB = + 2Pa2/3EI
5. Elástica:
yB yB
xm
ymax
- 2Pa/3 + 2Pa/3
- 4Pa/3 - 4Pa/3
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
179
6. Secciones de inflexión: una en el centro del dintel; la otra en los pilares a 1/3
de su altura, es decir a “2a/3” de la crujía.
7. Posición flecha máxima dintel:
EI·y` = + 1/9 · Px2 – 2/3 · Pax + 2/3 · Pa
2 = 0 ; 1/3 · Px
2 – 2Pax + 2Pa
2 = 0
x2
m – 6ax m + 6a2 = 0; x = 3a √9a
2 – 6a
2 = [3 √3] · a
xm = [3 +/- √3] · a
8. Valor de la flecha máxima:
EI·y = + 1/27 · Px3 – 1/3 · Pax
2 + 2/3 · Pa
2x; para: xm = [3 – √3 ] · a;
EI.ymax = [+ 1/27 · (9 – 6√3+ 3) – 1/3 · (3 – √3) + 2/3] . Pa2 · a[3 – √3]
EI.ymax = (1/9 + √3/9) · [3 – √3] Pa3 = 2√3Pa
3/9;
ymax = 2√3/9 · Pa3/EI = + 0,38 · Pa
3/EI
9. Desplazamiento de las crujías:
yB = (8P/3 – 6V) ·a3/EI = (8P/3 – 12P/9) ·a
3/EI = 4/3 · P a
3/EI;
yB = + 4/3 · Pa3/EI
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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180
PROBLEMA VII-3
En el pórtico de la figura se producen sendos giros de las zapatas de cimentación
de los pilares, iguales y simétricos, girando hacia el exterior del pórtico un ángulo
conocido θ. En el pórtico no se considera la existencia de carga exterior alguna, y
las secciones de pilares y dintel tienen el mismo Momento de Inercia I, estando
construidos del mismo material de Módulo de Elasticidad E.
Se desea conocer el estado de tensión a que el pórtico se verá sometido ante los
giros mencionados, determinando lo siguiente:
1. El momento flector máximo en el dintel y los pilares.
2. Reacciones en las bases de los pilares: fuerzas horizontales y verticales y
momentos de empotramiento.
3. Diagramas de momentos flectores en los pilares y el dintel.
4. Angulo que gira la crujía de unión entre pilares y dintel.
5. Forma y curvaturas de la elástica (indicando claramente las curvaturas en
las inmediaciones de las cimentaciones y en las crujías pilar-dintel).
6. Posición de las secciones de inflexión.
7. Posición de la flecha máxima en el dintel, así como el signo o sentido de la
misma.
8. Cálculo de dicha flecha máxima.
B B
3a
3a
A A
θ
θ
θ
θ
3a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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181
SOLUCIÓN:
Equilibrio isostático del pórtico:
V = 0 (nos quedan dos incógnitas hiperestáticas: H y MA)
Estudio del Pilar:
H
V
MA
H
V
MA
B B
3a
3a
A A
θ
θ
θ
θ
3a
NOTAS:
Por simetría, las crujía B no se desplazarán y la
distancia de B a la tangente en A será el producto del ángulo θ por la altura del pilar = 3a·θ
Obsérvese que el ángulo θ tiene sentido negativo.
3aθ
MA
B
Mp
H
H
θ
A
θP
3a +
H
(dfc) (dmf)
-MA
3Ha
3Ha-MA
Cálculo del momento de la cabeza del pilar (ecuación isostática):
AP MHa3M (1)
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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182
Análisis de la crujía:
1 Transmitirá el momento de la cabeza del pilar al extremo del dintel:
MD = MP = 3Ha-MA.
2 Transmitirá la reacción horizontal H de la cimentación al extremo del dintel.
Estudio del dintel:
Por simetría, la tangente en el punto medio será horizontal.
Cálculo de la tangente a la elástica en la cabeza del pilar: “θP”
(a través del 1er
Teorema de Mohr y en función de θ y las incógnitas MA y H)
a3)Ha2
3M(a3Ha3
2
1a3MEI)( AAP
a3EI2
Ha3M2 A
P (2)
Cálculo de la distancia desde B a la tangente en A en la cabeza del pilar:
(a través del 2º Teorema de Mohr en función de los mismos términos)
2
a9)HaM(a
2
Ha9
2
a3aM3EIa3
2
A
2
A
EI2
a3)HaM( A ;
a3
EI2HaM A (3)
MD
H MP
H
θD
θP
V= 0 (d. f. c.)
6a
MD = MP
MD = MP
θD -
fD
B B
fD
(d. m. f.)
MD = MP
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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183
RESPUESTA A LAS CUESTIONES PLANTEADAS:
1. Momento máximo del dintel: a
EI
15
2MD (en todo el dintel)
Momento máximo de pilares: a
EI
15
16M A (en la base de pilares)
2. 2
a15
EI6H ; 0V ;
a
EI
15
16M A
Cálculo de la tangente a la elástica en el extremo del dintel:
(a través del 1er
Teorema de Mohr) a3Ma3MEI)0( PDD
a3EI
MP
D (4)
Cálculo de la distancia desde B a la tangente en el centro del dintel:
(a través del 2º Teorema de Mohr)
2PDD aM
2
9
2
a3a3MEIf
(5)
Ecuación hiperestática: ecuaciones (2) y (4)
a3
EI2Ha3M2M2a3
EI2
Ha3M2a3
EI
MAP
APPD
y, sustituyendo MP y MA por (1) y (3):
EI6Ha15a3
EI2)
a3
EI2Ha(4Ha9
a3
EI2M4Ha9
a3
EI2Ha3M2)MHa3(2
2
AAA
2
a15
EI6H (6)
a
EI
15
16M A (7)
a
EI
15
2MP (8)
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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184
3. Diagramas de momentos flectores:
4. El ángulo que gira la crujía: 5
2D
5. 6. y 7. Elástica, sección de inflexión y flecha en el dintel:
8. Valor de la flecha máxima en el dintel: [ecuación (5)] a5
3fD
a15
EI2
a15
EI28
a3
1
a3
8
a3
1
a3
8
Sección de
inflexión
3a Flecha máxima: fD
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
185
PROBLEMA VII-4
En el pórtico empotrado de la figura actúan las fuerzas P que se indican en los
extremos de los volados.
En el pórtico no se consideran otras cargas exteriores, y las secciones de pilares y
dintel tienen el mismo Momento de Inercia I, estando construidos del mismo
material de Módulo de Elasticidad E.
Calcular:
1. Reacciones en las bases de los pilares.
2. Diagramas de momentos flectores en los pilares y el dintel.
3. El momento flector máximo en el dintel, los pilares y el voladizo.
4. Angulo que gira la crujía de unión entre pilares y dintel.
5. Forma y curvaturas de la elástica.
6. Posición de las secciones de inflexión.
7. Posición de la flecha máxima en el dintel.
8. Cálculo de dicha flecha máxima.
9. Desplazamiento de las crujías (flecha del pilar en B).
10. Flecha en el extremo del volado.
B B
6a
A A
3a
P
P
a a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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186
SOLUCIÓN:
Estudio del pilar:
Equilibrio isostático del pórtico (momentos):
V . 6a + 2MA = 8Pa
MA = 4Pa - 3Va
MA
V V
MA
B B
6a
A A
3a
P
P
a a
(dfc)
Cálculo del momento de la cabeza del pilar:
Mp = MA = 4Pa - 3Va; (en función de la incógnita
hiperestática V)
(dmf)
- (4Pa – 3Va)
Cálculo de la tangente a la elástica en la cabeza del pilar:
(a través del 1er
Teorema de Mohr)
EI θP = – [– (4Pa – 3Va).3a] = (12P – 9V).a2;
θP = (12P – 9V) a2/EI
Cálculo de la flecha en la cabeza del pilar:
(a través del 2º Teorema de Mohr)
EI yB = – [– (4P–3Va).3a. ½3a] = (36P – 27V). ½a3
yB = (36P – 27V). a3/2EI
V
MA
B
Mp
3a
v θP
A
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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187
Estudio del dintel:
Cálculo de la elástica del dintel:
MxD = 3(V-P)a – (V-P)x
EI·y`` = – MxD = (V-P)x – 3(V-P)a
EI·y` = + 1/2 ·(V-P)x2 – 3(V-P)ax + C1
EI·y = + 1/6 · (V-P)x3 – ½.3(V-P)x
2 + C1x + C2 (x = 0; y = 0; C2 = 0); [x = 6a ó
3a; y = 0; C1 = + 3(V-P)a2]
EI·y = + 1/6 · (V-P)x3 – ½.3(V-P)x
2 + 3(V-P)a
2x
Tangente a la elástica en B (x = 0):
EI·y`B = C1 = + 3(V-P)a2;
θD = + 3(V-P)a2/EI
V-P (–)
VD θD
VD
MD= 3(V-P) a MD
6a
+3(V-P) a
- 3(V-P) a
Análisis del volado y la crujía:
1 El volado transmitirá la carga P de su extremo a
la crujía
2 El volado transmitirá a la crujía el momento Pa
3 La cabeza del pilar transmitirá a la crujía el
momento MP = 4Pa - 3Va.
4 El pilar transmitirá la reacción vertical V de la
cimentación a la crujía.
5 El muñón del dintel en la crujía tendrá que
equilibrar las anteriores con una fuerza
cortante VD y un momento flector MD, cuyo
cálculo dá:
PVV
aPVMPaM
D
PD
)(3
Mp
MD
V
VD
P a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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188
RESPUESTA A LAS CUESTIONES PLANTEADAS:
1. Reacción horizontal: H = 0
Reacción vertical: V = 5P/4
2. Diagramas de momentos flectores:
3. Momento Flector máximo del dintel se produce en las crujías:
MDmax = 3Pa/4
Momento Flector máximo de los pilares se produce en toda su altura:
MPmax = Pa/4
Momento Flector máximo del volado se produce en las crujías:
MVmax = Pa
4. El ángulo que gira la crujía: θB = + 3Pa2/4EI
Ecuación hiperestática:
θD = θP ; + 3(V-P)a2 = (12P – 9V) a
2; V = 5P/4
- 3Pa/4
+ 3Pa/4
-Pa
Pa
- Pa/4 - Pa/4
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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189
5. Elástica:
6. Secciones de inflexión: una, en el centro del dintel.
7. Posición flecha máxima dintel:
EI·y` = + 1/8 · Px2 – 3/4 · Pax + 3/4 · Pa
2 = 0 ; Px
2 – 6Pax + 6Pa
2 = 0
x2
m – 6ax m + 6a2 = 0; x = 3a √9a
2 – 6a
2 = [3 √3] · a
xm = [3 +/- √3] · a
8. Valor de la flecha máxima del dintel:
EI·y = + 1/24 · Px3 – 3/8· Pax
2 + 3/4 · Pa
2x;
Para xm = [3 – √3 ] · a;
EI.ymax = [+ 1/24 · (9 – 6√3+ 3) – 3/8 · (3 – √3) + 3/4] . Pa2 · a[3 – √3]
EI.ymax = (1/8 + √3/8) · [3 – √3] Pa3 = 2√3Pa
3/8;
EI
Pa43,0
EI4
Pa3y
33
max
9. Desplazamiento de las crujías:
yB = (36P – 27V). a3/2EI = (36P – 27.5P/4) ·a
3/EI = 9/8 · P a
3/EI;
EI
Pa12,1
EI8
Pa9y
33
B
10. Flecha en el extremo volado:
La función del momento flector es: PxMV por lo que la ecuación
diferencial de la elástica será:
;KxKPx6
1yEI;KPx
2
1yEI;PxyEI 21
31
2
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
190
bajo las condiciones de que para ax deberá cumplirse que 0y y que
By ; lo que permitirá calcular K1 y K2.
322
23ax
211
22
B
Pa12
13K;0KaPa
4
5Pa
6
1yEI
;Pa4
5K;KPa
2
1
4
Pa3EI
EI
Pa08,1
EI12
Pa13y
33
0x
PROBLEMA VII-5
En el pórtico de la figura articulado en la base de sus pilares y cargado anti
simétricamente con la carga uniformemente distribuida q, determinar lo siguiente:
1. Momento flector máximo que deben soportar dintel y pilares.
2. Reacciones en las bases de los pilares.
3. Diagramas de momentos flectores en pilares y dintel.
4. Angulo que gira la crujía de unión entre pilares y dintel.
5. Elástica del pórtico (indicando claramente las curvaturas en las
inmediaciones de las cimentaciones y en las crujías pilar-dintel).
6. Posición de las secciones de inflexión.
7. Posición de la flecha máxima en el dintel, así como el sentido de la misma.
8. Cálculo de dicha flecha máxima.
9. Desplazamiento de las crujías.
B B
2a
A
2a
A
q
q
2a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
191
SOLUCIÓN:
Equilibrio global del pórtico:
qaVa2qa2aV4
Estudio del Pilar:
La antisimetría no permite la existencia de reacciones
horizontales en las cimentaciones por falta de cargas
externas que las equilibren.
La articulación en las bases de los pilares descartan la
existencia de momentos de reacción en la cimentación.
V V
B B
2a
2a
A
2a
A
q
q
(dfc
)
(dmf)
2a
B
V
A
V
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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192
Estudio de la Crujía:
Estudio del dintel:
Por antisimetría, en su punto medio, la flecha será nula.
MD=0
MP
V=qa
V=qa
1 Al ser nulo el momento flector en la
cabeza del pilar (MP=0) también lo será
en el extremo del dintel (MD=0)
2 La fuerza axial de compresión del pilar
será transmitida al dintel como fuerza
cortante: V=qa
q
4a
θB
B B
qa qa q
C
qa
(d. f. c.)
-
+ + qa
qa
C
B B
C B B
(d. m. f.)
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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193
RESPUESTA A LAS CUESTIONES PLANTEADAS:
1. Momento máximo del dintel: 2
D qa2
1M (en x=a)
Momento máximo de pilares: 0M A (en todo el pilar)
2. Reacciones en las bases de los pilares:
0H ; qaV ; 0M A
NOTA: El estado de carga y reacciones en la mitad BC del dintel responde
exactamente a una viga simplemente apoyada con carga uniforme, por lo que
todas sus características de comportamiento serán las mismas que las de dicho
estado de carga en viga articulada.
Fuerza cortante:
qxqaFx
Momento flector:
2
maxx2
x qa2
1MM;ax;qx
2
1qaxM
Ecuación diferencial de la elástica:
4max
334
22334
3B
323
311
23
2
qa24
5yy;ax;xqa
3
1qax
6
1qx
24
1EIy
0K0y;0x;Kxqa3
1qax
6
1qx
24
1EIy
qa3
1EI;0x;qa
3
1qax
2
1qx
6
1yEI
qa3
1K0y;ax;Kqax
2
1qx
6
1yEI
;qaxqx2
1yEI
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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194
3. Diagramas de momentos flectores:
4. El ángulo que gira la crujía: EI3
qa3
B
5. 6. 7. y 8. Elástica, sección de inflexión y flecha en el dintel:
9. Desplazamiento de las crujías: EI3
qa2a2f
4
BB
B B
2a
2a
A
2a
A
q
q
EI
qaB 3
3
Sección de inflexión: centro del dintel
Sección de flecha máxima: a la distancia “a” de B
Valor de la flecha máxima: EI24
qa5f
4
max
B B
2a
2a
A
2a
A
q
q
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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195
PROBLEMA VII-6
En el pórtico articulado de la figura actúan las fuerzas P que se indican en los
extremos de los volados.
En el pórtico no se consideran otras cargas exteriores, y las secciones de pilares y
dintel tienen el mismo momento de inercia I, estando construidos del mismo
material de Módulo de Elasticidad E.
Calcular:
1. Reacciones en las bases de los pilares.
2. Diagramas de momentos flectores en los pilares y el dintel.
3. El momento flector máximo en el dintel, los pilares y el voladizo.
4. Angulo que gira la crujía de unión entre pilares y dintel.
5. Forma y curvaturas de la elástica.
6. Posición de las secciones de inflexión.
7. Posición de la flecha máxima en el dintel.
8. Cálculo de dicha flecha máxima.
9. Desplazamiento de las crujías (flecha del pilar en B).
10. Flecha en el extremo del volado.
B B
6a
A A
3a
P
P
a a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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196
SOLUCIÓN:
Equilibrio isostático del pórtico:
V . 6a = 8Pa
V = 4/3 P
Estudio del pilar:
P
B B
6a
A A
3a
P a a
V = 4/3 P V = 4/3 P
3a
B
(dfc) (dmf) 4/3 P
A
4/3 P
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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197
Estudio del voladizo y crujía:
Estudio del dintel:
1 El volado transmitirá la carga P de su extremo a la crujía
2 El volado transmitirá a la crujía el momento de P por la
luz del volado Pa
3 El pilar transmitirá la reacción vertical V=4/3 P desde la
cimentación a la crujía.
4 El muñón del dintel en la crujía tendrá que equilibrar las
anteriores con una fuerza cortante VD y un momento
flector MD, cuyo cálculo da:
3
PPP
3
4V
aPM
D
D
MD
4/3
P
VD
P a
Cálculo de la elástica del dintel:
MxD = Pa – 1/3 Px
EI·y`` = – MxD = 1/3 Px –Pa
EI·y` = + 1/6 ·Px2 – Pax + C1
EI·y = + 1/18 · Px3 – 1/2.Pax
2 + C1x + C2 [x = 0; y = 0; C2 = 0]; [x = 6a ó 3a; y = 0; C1 = + Pa
2]
EI·y = + 1/18 · Px3 – 1/2.Pax
2 + Pa
2x
Tangente a la elástica en B (x = 0):
EI·y`B = C1 = + Pa2;
θD = + Pa2/EI
P/3
P/3 (–)
θD
6a
+Pa
MD= Pa
P/3
-Pa
MD= Pa
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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198
RESPUESTA A LAS CUESTIONES PLANTEADAS:
1. Reacción horizontal: H = 0
Reacción vertical: V = 4P/3
2. Diagramas de momentos flectores:
3. Momento Flector máximo del dintel se produce en las crujías: MDmax = Pa
Momento Flector máximo de los pilares es nulo en toda su altura
Momento Flector máximo del volado se produce en las crujías: MVmax = Pa
4. El ángulo que gira la crujía:
θB = + Pa2/EI
5. Elástica:
θB
-Pa
+Pa
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
199
6. Secciones de inflexión: una en el centro del dintel.
7. Posición flecha máxima dintel:
a33a6a9a3x;0a6ax6x
0Pa6Pax6Px;0PaPaxPx6
1y.EI
2222
2222
a33xm
8. Valor de la flecha máxima del dintel:
;Pa3
3a33Pa
6
31yEI
;a33Pa1332
13369
18
1yEI
;a33x;xPaPax2
1Px
18
1yEI
22max
2max
m223
EI
Pa58,0
EI3
Pa3y
33
max
9. Desplazamiento de las crujías:
;EI
Pa3a3y
3
BB EI
Pa3y
3
B
10. Flecha en el extremo volado:
La función del momento flector es: PxMV por lo que la ecuación
diferencial de la elástica será:
;KxKPx6
1yEI;KPx
2
1yEI;PxyEI 21
31
2
bajo las condiciones de que para ax deberá cumplirse que 0y y que
By ; lo que permitirá calcular K1 y K2.
322
23ax
211
22B
Pa3
4K;0KaPa
2
3Pa
6
1yEI
;Pa2
3K;KPa
2
1PaEI
EI
Pa67,1
EI3
Pa4y
33
0x
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
200
PROBLEMA VII-7
En el pórtico empotrado de la figura no se considera la actuación de cargas
exteriores. Sobre él se produce un asentamiento de una de las zapatas en las que
están empotrados los pilares. El valor de este asentamiento es 2 . Las secciones
de pilares y dintel tienen distinto Momento de Inercia: I3 para los pilares, frente
a I para el dintel, estando construidos del mismo material de Módulo de
Elasticidad E .
Se pide calcular:
1. Reacciones en las bases de los pilares.
2. Diagrama de momentos flectores en los pilares y el dintel.
3. El momento flector máximo y la fuerza cortante máxima.
4. Angulo que gira la crujía de unión entre pilares y dintel.
5. Forma y curvaturas de la elástica.
6. Posición de las secciones de inflexión.
7. Desplazamiento horizontal de la cabeza de los pilares HB .
8. Comparar los efectos de este asentamiento del pórtico descrito, si estuviera
articulado en vez de empotrado (reacciones, momentos flectores, fuerzas
cortantes, ángulo de giro de la crujía y desplazamiento de las cabezas de
los pilares).
B B
6a
A A
3a
I
3I 3I
A’ 2Δ
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
201
SOLUCIÓN:
La estructura reúne características antisimétricas, por tanto:
Equilibrio isostático del pórtico (momentos):
V . 6a = 2MA
MA = 3Va
Estudio del pilar:
V
V MA
MA
B B
6a
A A
3a
I
3I 3I
A’ 2Δ
θP
θP
dfc dmf
– 3Va
3a
v
B
Mp
MA
A
v
θP
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
202
Estudio de la crujía:
Estudio del dintel:
Cálculo de la tangente a la elástica en la cabeza del pilar:
(a través del 1er
Teorema de Mohr)
E .3I . θP = – (– 3Va).3a = + 9Va2;
θP = 3V a2/EI
Cálculo de la flecha en la cabeza del pilar:
(a través del 2º Teorema de Mohr)
E .3I .yB = 9Va2. ½3a= 27/2 . Va
3
δHP = 9/2 . V. a3/EI
1. La cabeza del pilar transmitirá a la crujía el momento MP = 3Va.
2. El pilar transmitirá la reacción vertical V de la cimentación a la crujía.
3. El muñón del dintel en la crujía tendrá que equilibrar las anteriores
con una fuerza cortante VD y un momento flector MD:
¡Error! Marcador no definido.
Mp
MD
V
VD
V (+)
+
-- -3V.a
+3V.a
V
6a
2Δ θD Δ
MD= 3V.a
MD= 3V.a
V
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
203
Cálculo de la elástica del dintel:
MxD = – 3Va + Vx
EI·y`` = – MxD = –Vx + 3Va
EI·y` = – 1/2 Vx2 + 3Vax + K1
EI·y = – 1/6 · Vx3 +3/2 . Vax
2 + K1x + K2 (x = 0; y = 0; K2 = 0)
(x = 3a; y = Δ; EI . Δ= – 9/2 Va3 + 27/2 Va
3 +3a K1;
a3
3Va9EI
1K
xa3
3Va9EI
2
Vax 2
33Vx
6
1 -EI·y
Tangente a la elástica en B (x = 0):
EI
2Va3
a3D
a3
3Va9EI
1K'ByEI
;
Cálculo de la incógnita hiperestática V:
a6EIK
a18
EIV;
EI
Va6
a3;
EI
Va3
a3EI
Va3; 13
222
DP
Aplicación a las funciones del problema:
23xDa6
EIx
a18
EIM
a6
EIx
a6
EIx
a36
EI'EIy
2
2
3
xa6
EIx
a12
EIx
a108
EIEIy
2
2
3
3
Giro de la crujía:
a6D
;
Desplazamiento de la crujía:
4EIa18
EIa
2
9
EI
Va
2
93
33
HP
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
204
Pórtico articulado:
Ante las condiciones de contorno actuales, donde las articulaciones no permiten la
existencia de momentos sobre las bases A de los pilares, tampoco podrán existir reacciones
verticales, como antes, con lo que los diagramas de momentos flectores de los pilares serán
nulos (y así la curvatura de su elástica) sin poder transmitir momento flector alguno al
dintel (que también quedará exento de flexión alguna), siendo así el ángulo girado por los
pilares el mismo que gire el dintel: 2Δ = 6a . θP :
a3P
; y el desplazamiento horizontal: a3HB
RESPUESTA A LAS CUESTIONES PLANTEADAS:
1. Reacción horizontal: H = 0
Reacción vertical: V = ΔEI/18.a3
Momento de empotramiento: MA = ΔEI/6.a2
3a
B B
6a
A A
I
3I 3I
A’ 2Δ
θP θP 2Δ
B’
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
205
2. Diagramas de momentos flectores:
3. Momento Flector máximo del dintel, en las crujías: MDmax = ΔEI/6a2
La fuerza cortante en el dintel es constante: VD = ΔEI/18.a3
El momento flector máximo de los pilares (todo él): MPmax = ΔEI/6a2
Fuerza cortante en los pilares: VP=0
4. El ángulo que gira la crujía: θB = + Δ/6a
5. Elástica:
- ΔEI/6a2
- ΔEI/6a2
- ΔEI/6a2
- ΔEI/6a2
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
206
6. Secciones de inflexión: una en el centro del dintel.
7. Desplazamiento horizontal de las cabezas de los pilares: δHP = Δ/4
8. En el pórtico articulado se observan evidentes mejoras respecto a las
solicitaciones de esfuerzos normales y cortantes de la estructura por cuanto
no existen momentos flectores ni fuerzas cortantes. Sin embargo, el
desplazamiento del dintel del pórtico (Δ) se hace cuatro veces mayor, como
el ángulo que gira la crujía se hace el doble del caso de empotramiento.
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
207
PROBLEMA VII-8
La viga de la figura, cuyo módulo de elasticidad es E, tiene entre A y B sección
uniforme de momento de inercia I, mientras que entre B y C su momento de inercia
es 2I. Las cargas P están aplicadas en las secciones F y G que se indican, entre A
y B. Y en su extremo volado C se encuentra solicitada por un momento exterior de
valor 3Pa, tal como se indica en el dibujo, en el sentido de giro de las agujas del
reloj. El otro extremo A está empotrado, mientras que en B hay un apoyo
articulado simple.
Calcular las reacciones en A y B, así como los diagramas de fuerzas cortantes y
momentos flectores.
Determinar igualmente la forma de la elástica, con sus puntos de inflexión
donde los haya y las flechas máximas en ambos tramos de la viga.
SOLUCIÓN:
a) Las reacciones en las secciones de empotramiento y apoyo, vendrían determinadas
por las ecuaciones isostáticas de equilibrio. Sin embargo, al tener grado uno de
hiperestaticidad, quedará una incógnita (tomaremos la reacción R del apoyo B) a
determinar por la ecuación hiperestática.
R
3Ra
R a a
A B C
P
P a a
Pa
F G
a a
A B C
P
P a a
Pa I
G F
2I
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
208
b) La estimación previa de la forma de la elástica ayuda claramente a presentir los
sentidos de las reacciones y la forma de los diagramas de fuerzas cortantes y
momentos flectores.
c) Los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores (en función de la
incógnita hiperestática R) serán:
d) Las correspondientes funciones de fuerzas cortantes y momentos flectores resultan:
TRAMO AF (0<x<a):
Ra2MRa3RxMRV )ax(F111
TRAMO FG (a<x<2a):
a)RP(M
Ra2)ax)(PR(M)PR(V
)a2x(G3
22
TRAMO GB (2a<x<3a):
PaM
a)RP()a2x(RMRV
)a3x(B3
33
TRAMO BC (3a<x<4a):
PaMPaM0V )a4x(C444
-R
+R
-
-(R+P)
+3Ra
-Pa
-Pa
+2Ra
-(P-R)a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
209
e) De esta forma, los valores máximos de momentos flectores tendrán que
corresponder a alguno de los extremos del diagrama, o bien –Pa o bien +3Ra.
f) Siguiendo el proceso de estudio, las ecuaciones diferenciales de la elástica serán:
44
44
2
4
2
3
23
2
3
2
2
22
2
2
2
1
21
2
1
2
2
1
2
122
)3(2
13
)3()(2
1)3()(
32
13
CPaxdx
dyEICPax
dx
dyEIPa
dx
ydIE
CaxRPRxdx
dyEIPaRaRx
dx
ydEI
CaxRPxPRdx
dyEIaRPxPR
dx
ydEI
CRaxRxdx
dyEIRaRx
dx
ydEI
La tangente a la elástica en la sección del empotramiento A (x=0) tendrá que ser
horizontal: 0C1
La tangente a la elástica en la sección F tendrá que ser única para el primero y
segundo tramos (x=a):
222
2222Pa
2
1CCa)R3P(a)PR(
2
1Ra3Ra
2
1
La tangente a la elástica en la sección G tendrá que ser única para el segundo y
tercer tramos (x=2a):
233
222Pa
2
3CCa2a)R3P(Ra2Pa
2
1a2a)R3P(a)PR(2
La tangente a la elástica en la sección B tendrá que ser única para el tercero y
cuarto tramos (x=3a):
244
22Ra9CC
2
1a3Pa
2
1Pa
2
3a3a)R3P(Ra
2
9
Con lo que, sustituidas ya totalmente las constantes Ci, la primera integración de las
ecuaciones diferenciales, resultan:
24
223
222
21
Ra2
9Pax
2
1
dx
dyEI
Pa2
3ax)R3P(Rx
2
1
dx
dyEI
Pa2
1ax)R3P(x)PR(
2
1
dx
dyEI
Rax3Rx2
1
dx
dyEI
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
210
La integración final de las ecuaciones diferenciales nos dará para la elástica:
'4
224
'3
2233
'2
2232
'1
231
CxRa2
9Px
4
1EIy
CxPa2
3ax)R3P(
2
1Rx
6
1EIy
CxPa2
1axR3P
2
1x)PR(
6
1EIy
CRax2
3Rx
6
1EIy
Donde las constantes de integración se determinarán también por las condiciones
de contorno y continuidad: Así, la flecha en la sección A de empotramiento (x=0),
será nula (tramo 1):
0C'1
La flecha en la sección F será la misma si se calcula mediante la ecuación de la
elástica del tramo 1 que si se calcula con la ecuación del tramo 2:
Y resultarán también iguales a cero las flechas en la sección B (x=2L) para los dos
tramos:
422
44444
334
qL3
13C0CqLqL12qL12qL4qL
3
24
qLR0RL4RL
3
4qL
3
2
g) Con las constantes de integración determinadas y la incógnita hiperestática
calculada, procedemos a escribir las funciones de fuerzas cortantes, momentos
flectores y correspondientes ecuaciones de la elástica y tangente para cada tramo:
TRAMO 1
2
qLx
4
qLqx
2
1M
4
qLqxV
22
11
xqL2
1qLx
8
1qx
6
1
dx
dyEIxqL
4
1qLx
24
1qx
24
1EIy
223122341
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
211
TRAMO 2
2222 qL6qLx3qx
2
1MqL3qxV
32232
4322342
qL2
13 xqL6qLx
2
3qx
6
1
dx
dyEI
qL3
13xqL
2
13xqL3qLx
2
1qx
24
1EIy
h) Con esta información ya pueden dibujarse el estado de cargas y reacciones de la
viga, sus diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores y la forma
aproximada que toma la curva de la elástica. Además, podremos calcular las
posiciones de flechas máximas, puntos de inflexión y cualquier otro valor que
desee ser conocido, simplemente sustituyendo en las ecuaciones obtenidas los
valores que le corresponden a x en la sección interesada.
i) El trabajo indicado en el párrafo anterior debe ser realizado minuciosamente por el
alumno, para lo que ya se le debe suponer formación suficiente con las
explicaciones y resoluciones de los problemas anteriores.
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
212
PROBLEMA VII-9
En el pórtico empotrado de la figura actúan las fuerzas P que se indican en los
extremos de los volados.
En el pórtico no se consideran otras cargas exteriores, y las secciones de pilares y
dintel tienen el mismo Momento de Inercia I, estando construidos del mismo
material de Módulo de Elasticidad E.
Calcular, aplicando los Teoremas de Mohr siempre que sea posible:
1. Reacciones en las bases de los pilares.
2. Diagramas de momentos flectores en los pilares y el dintel.
3. El momento flector máximo en el dintel, los pilares y el voladizo.
4. Angulo que gira la crujía de unión entre pilares y dintel.
5. Forma y curvaturas de la elástica.
6. Posición de las secciones de inflexión.
7. Posición de la flecha máxima en el dintel.
8. Cálculo de dicha flecha máxima.
9. Flecha en el extremo del volado.
10. Posición y deflexión máxima del pilar.
B B
6a
A A
3a
P P a a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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213
SOLUCIÓN:
Equilibrio isostático del pórtico:
Tomando las reacciones verticales iguales a P,
el conjunto del pórtico queda equilibrado
con las incógnitas hiperestáticas H y MA.
Estudio del pilar:
P P
MA MA
B B
6a
A A
P P a a
H H
3a
Equilibrio isostático del
pilar:
Mp + MA = 3Ha;
3a
B
Mp
MA
A
H
H
θP
P
P
(dfc)
H
(dmf)
MA
– MP MA
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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214
Estudio de la crujía:
Estudio del dintel:
Ecuación hiperestática de flecha nula en la cabeza del pilar: (2º Teorema de Mohr)
0 = – MA.3a. ½3a + ½ (MA+MP)3a.a= ½a2[3MP – 6MA] MP = 2MA
Cálculo de la tangente a la elástica en la cabeza del pilar: (1er Teorema de Mohr)
EI (θP-0) =– MA.3a + ½ (MA+MP)3a = 3/2 (MP – MA) a= 3/2 MA.a; θP = 3MA a/2EI
Mp
MD
P
P a
El volado y la crujía:
1 El volado transmitirá la carga P de su extremo a la crujía
2 El volado transmitirá a la crujía el momento de P por la
luz del volado Pa
3 La cabeza del pilar transmitirá a la crujía el momento
MP = 2MA
4. El pilar transmitirá la reacción vertical P desde la base
de cimentación a la crujía.
5. El muñón del dintel en la crujía tendrá que equilibrar las
anteriores con una fuerza cortante un momento flector
MD, cuyo cálculo da:
APD M2PaMPaM
+Pa – 2MA
MD= Pa – 2MA MD= Pa – 2MA
6a θD
C
B B
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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215
RESPUESTA A LAS CUESTIONES PLANTEADAS:
1. Reacción horizontal: H = 2/5 P
Reacción vertical: V = P
Momento de empotramiento; MA = 2/5 Pa
2. Diagramas de momentos flectores:
3. Momento flector máximo del dintel se produce en las crujías: MDmax
= Pa/5
Momento flector máximo de pilares se produce en las crujías: MPmax = 4Pa/5
Momento flector máximo del volado se produce en las crujías: MVmax = Pa
4. El ángulo que gira la crujía: θB = + 3Pa2/5EI
Tangente a la elástica en B: (1er
Teorema de Mohr)
a3)M2Pa(EI
10 ADBC θD = (Pa – 2MA).3a/ EI
Ecuación hiperestática:
θD = θP ; (Pa – 2MA).3a/ EI = 3MA a/2EI ; 2.(Pa – 2MA) = MA ; MA= 2/5 Pa
+ Pa/5
+Pa
-4Pa/5
+2Pa/5
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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216
5. Elástica:
6. Secciones de inflexión: a un tercio de la altura del pilar.
7. Posición flecha máxima dintel: por simetría, en el centro del dintel.
8. Valor de la flecha máxima del dintel:
(por el 2º Teorema de Mohr): fmax = 9Pa3/10EI = 0,9 Pa
3/EI
9. Flecha en el extremo volado:
La función del momento flector es: PxMV por lo que la ecuación diferencial
de la elástica será:
;KxKPx6
1yEI;KPx
2
1yEI;PxyEI 21
31
2
Bajo la condición de que para ax , habrán de ser 0y ; e By ; podrán
calcularse K1 y K2:
322
23ax
211
22B
Pa15
14K;0KaPa
10
11Pa
6
1yEI
;Pa10
11K;KPa
2
1Pa
5
3EI
EI
Pa93,0
EI15
Pa14y
33
0x
B B
A A
P P
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
217
10. Deflexión máxima de los pilares:
Estará situada a 2/3 de la base del pilar (1er Teorema de Mohr: Área nula desde
el empotramiento)
Por el 2º Teorema de Mohr, la distancia desde el punto de máxima flecha a la
tangente en el empotramiento:
EI
Pa
15
4
EI
aM
3
2aa2Ma2
3
2a2M2
2
1
EI
132
AAA
EI
Pa27,0
EI
Pa
15
433
PROBLEMA VII-10
El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares del mismo módulo de
elasticidad E, e idéntica sección cuyo momento de inercia, con respecto a su línea
neutra, es conocido: I.
Calcular:
1 Reacciones en la cimentación
2 Momentos flectores en las cabezas de los pilares
3 Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en pilares y dintel
4 Angulo que giran las uniones de dintel con pilares
5 Forma y curvaturas de la elástica
6 Posición de las secciones de inflexión
7 Posición de las deflexiones y flechas máximas de pilares y dintel
8 Cálculo de dichos valores máximos
3a
A A
B B
Pa
Pa
Pa
Pa
a
a
a
6a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
218
SOLUCIÓN:
La deformada de los pilares (dibujada en línea roja) cuando el pórtico es liberado
de las ligaduras en A, exige la aparición de las fuerzas H que repongan las
secciones A en su real ubicación. Ello conllevaría una deformación como la que se
indica con la línea verde de puntos (caso de una articulación en A) con la
correspondiente deformación del dintel. Pero al restituirse finalmente todos los
aspectos de la ligadura (empotramiento) habrán de considerarse los momentos MA
que restituyan las tangentes en las bases de los pilares a su orientación vertical en
lo que sería la deformada elástica final (línea azul más gruesa).
Todo ello hará que el pilar (estudiado aisladamente) deba ser equilibrado en su
cabeza por el momento que le transmita el dintel para compensar el momento
aparecido MA y el provocado por la reacción horizontal H a la distancia 3a :
aH3
El estudio del pórtico liberado de todas sus ligaduras muestra el perfecto
equilibrio ante las cargas externas simétricas, por lo que ante esta situación el
pórtico se limitaría a la deformación de sus pilares hacia la parte interna,
siguiendo las curvaturas definidas por los momentos flectores. Línea roja.
3a
A A
B B
6a
Pa
Pa
Pa
Pa
a
a
a
H H
MA MA
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
219
Estudio del pilar:
El diagrama de momentos flectores se puede descomponer en las áreas que en el
siguiente esquema se indican:
Mp
MA
H
Pa
Pa
B
A
H
θP
3a
(dfc)
H (dmf)
MA
MP= MA+3Ha
MA+Ha
MA+Ha-Pa
MA+2Ha-Pa
Equilibrio isostático del pilar:
Mp = MA + 3Ha;
MP= MA+3Ha
MA
=
MA+Ha
MA+Ha-Pa
MA+2Ha-Pa
MA+2Ha
-Pa
-Pa
MA
MP= MA+3Ha
+
MA+Ha
Ecuación hiperestática de flecha nula en la cabeza del pilar: (2º Teorema de Mohr)
Distancia de B a la tangente en A = 0 = – MA.3a. ½3a – ½ 3Ha.3a.a + Pa.a. ½3a
MA = 1/3.Pa -Ha
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
220
Así, ahora encontraremos que la figura anterior de los diagramas de fuerzas
cortantes y momentos flectores deberá quedar rectificada como se expone en la
próxima figura.
La descomposición del diagrama de momentos flectores quedaría ahora de la
siguiente manera:
Cálculo de la tangente a la elástica en la cabeza del pilar: (1er Teorema de Mohr)
EI (θP-0) =– MA.3a – ½ 3Ha.3a + Pa.a = –3/2 H.a2; θP = – 3H a
2/2EI
Ante la evidencia de que el ángulo θP >0 , resultará que H<0; es decir, que el sentido
elegido para H había sido erróneo. Este aparente contrasentido se justifica entendiendo
que la magnitud del momento MA capaz de producir la tangencia vertical del pilar en
su base, debe ser tan grande que abrirá los pilares y para que se mantengan en su
posición A, se precisan fuerzas hacia el interior del pórtico en vez de hacia el exterior
del mismo.
(dfc)
H
(dmf)
MA
MP= MA - 3Ha
MA - Ha
MA – Ha - Pa
MA - 2Ha - Pa
3a
Mp
MA
H B
A
H
θP
Pa
Pa
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
221
Y entonces, las ecuaciones de equilibrio y las conclusiones de los Teoremas de
Mohr, resultarán:
Estos nuevos resultados deben ser asumidos bajo el nuevo planteamiento del
sentido de la reacción H. Lo contrario conllevaría graves errores conceptuales con
las consecuencias de unos resultados falsos.
-Pa
-Pa
=
MA+Ha MA
MP= MA - 3Ha
MA - Ha
MA – Ha - Pa
MA - 2Ha - Pa
+
MA+Ha MA= MP + 3Ha
MP= MA - 3Ha
Equilibrio isostático del pilar:
Mp = MA - 3Ha;
Ecuación hiperestática de flecha nula en la cabeza del pilar: (2º Teorema de Mohr)
Distancia de B a la tangente en A = 0 = – MP.3a. ½3a – ½ 3Ha.3a.2a + Pa.a. ½3a
MP = 1/3.Pa - 2 Ha; y MA = 1/3.Pa + Ha
Cálculo de la tangente a la elástica en la cabeza del pilar: (1er Teorema de Mohr)
EI (θP-0) =– MP.3a – ½ 3Ha.3a + Pa.a = 3/2 H.a2; θP = 3H a
2/2EI
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
222
Estudio del dintel:
El resto del trabajo se deja para ejercitación del lector.
+1/3 Pa – 2Ha
MD= 1/3 Pa – 2Ha MD= 1/3 Pa – 2Ha
6a θD
C
B B
Tangente a la elástica en B: (1er
Teorema de Mohr)
a3)Ha2Pa3
1(EI
10 DBC θD = (P – 6H) a
2/ EI
Ecuación hiperestática:
θD = θP ; (P – 6H) a2/ EI = 3H a
2/2EI; 2P – 12H = 3H ;
H = 2P/15
MA = 7/15 Pa ; MP = 1/15 Pa ; θB = Pa2/5EI ; δC = 3Pa
3/10 EI ;
3a
A A
B B
6a
Pa
Pa
Pa
Pa
a
a
a
2P/15
7Pa/15
2P/15
7Pa/15
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
223
PROBLEMA VII-11
El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares de módulo de elasticidad
E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra son iguales entre sí
(I). La sección central del dintel se encuentra, además, apoyada en una base fija C.
Y las únicas cargas que actúan en el pórtico son los momentos Pa indicados en las
secciones B de intersección de dintel con pilar.
Calcular:
1. Reacciones en la cimentación
2. Momentos flectores en las cabezas de los pilares
3. Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en pilares y dintel
4. Angulo que giran las uniones de dintel con pilares
5. Forma y curvaturas de la elástica
3a
A A
B B
2a
Pa Pa
2a
C
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
224
SOLUCIÓN:
a) Liberando las ligaduras del pórtico, incluido el apoyo central C, la tendencia a la
separación de las bases de los pilares A (dados los sentidos de las acciones
externas Pa) obligará a la aparición de reacciones horizontales H simétricas y
dirigidas hacia el interior del pórtico para restaurar las posiciones A. Al restablecer
el apoyo C, anulando la flecha central del dintel, surgirán reacciones verticales V
dirigidas hacia abajo para contrarrestar la acción del apoyo C, que empujará hacia
arriba para rectificar la tendencia de la elástica del dintel. Ver figura.
b) La simetría existente en el pórtico, unida a la carencia de flecha en el punto medio
del dintel, hace que esta sección C se comporte como si fuera un empotramiento,
sin desplazamiento vertical y con tangente horizontal.
3a
A A
B B
2a
Pa Pa
2a
C
H H V V
2V
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
225
c) En razón a los vínculos correspondientes a la articulación A y al empotramiento C,
las reacciones exteriores deberán ser, respectivamente, una fuerza RA (de
componentes vertical V y horizontal H), y una fuerza RC (con las mismas
componentes que RA) más un momento MC que proporcione la curvatura de la
elástica en ese punto. Ver figura anterior.
d) La ecuación isostática correspondiente, será la de equilibrio de momentos del
conjunto (ya que el de cargas horizontales y verticales ya se ha tenido en cuenta).
Las ecuaciones hiperestáticas serán la de tangencia horizontal en C y la de la
ortogonalidad pilar-dintel en B después de la deformación.
Con ello obtendremos tres ecuaciones para las tres incógnitas H, V y MC.
A
B
Pa
3a
C
H
H
V
V
MC
Ecuación isostática de equilibrio:
PaMa2Va3H C (1)
2a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
226
e) Estudio del dintel:
* La tangente horizontal en C (supone que la distancia desde B hasta la tangente en
C es nula) por el 2º teorema de Mohr:
;2
;023
22)(
2
1 2
CD
CCD
MM
aMaaMM
(2)
El ángulo del dintel en B:
;
;22)(2
11
EI
aM
aMaMMEI
C
B
CCDBC
(3)
El equilibrio del dintel:
a2VMM CD (4)
f) Estudio del pilar:
B
MD
C
MC
V
V
(d.f.c.)
(-)
(+)
MC
MD
V
(d.m.f.)
2a
(-)
A
B MP
H
H
(-)
H
MP=3Ha
(-)
x
HxM x
(d.f.c.) (d.m.f.)
3a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
227
21
13
2
213
12
x2
2
Ha2
3
EI
1K0ya3x
;xKHx6
1
EI
1y
;0K0y0x
;KxKHx6
1
EI
1y
;KHx2
1
EI
1
dx
dy
;HxEI
1M
EI
1
dx
yd
;xa3x3
1
EI2
Hy
;a3xEI2
H
dx
dy
23
22
(5) EI
Ha3
dx
dy 2
a3x
B
(6)
g) Ecuación hiperestática de identidad del ángulo girado por B en el pilar y en el
dintel [ecs. (3) y (6)]:
Ha3M
;EI
Ha3Pilar
;EI
aMelintD
C2
B
CB
(7)
h) En consecuencia, ya se pueden calcular el resto de las incógnitas utilizando las
ecuaciones (1) (2) (4) y (7):
;Pa3
1M
;Pa3
2M
;Pa3
1M
;P2
1V
;P9
1H
C
D
P
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
228
PROBLEMA VII-12
Un pórtico, en estructura y cargas simétricas, se encuentra empotrado en sus
cimientos, y sus pilares sobresalen sobre el dintel la tercera parte de su propia
altura, como se indica en la figura. De igual manera el dintel sobresale de los
pilares, como voladizos en la misma longitud. En los extremos de ambos salientes,
simétricamente, actúan unas cargas puntuales P y 2P (ver figura). Todos los
elementos estructurales son del mismo material y de igual sección.
Se desea calcular lo siguiente:
1. Las reacciones en las cimentaciones.
2. Ángulo girado por las crujías.
3. La flecha que se produce en el extremo volado vertical C.
4. La flecha máxima en el tramo central del dintel.
5. Forma de la elástica y posición de los puntos de inflexión en los pilares.
6. Diagrama de momentos flectores.
6a a
a
3a
a
A A
C
B
C
D D B
P P
2P 2P
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
229
SOLUCIÓN:
1. Los cimientos del pórtico deberán ejercer las reacciones pertinentes al caso que
se nos presenta, con reacciones verticales 2P en sentido ascendente y, además,
simétricamente, horizontales H y momentos MA desconocidos (tanto en
magnitud como en sentido) e hiperestáticos.
2. Con objeto de analizar los posibles sentidos de los momentos MA y reacciones
horizontales H, se debe tomar en consideración que el dintel, al no tener cargas
transversales ni momentos exteriores aplicados en su vano, tendrá que verse
sometido a flexión pura (bien positiva o bien negativa).
3. En una primera aproximación, se puede entender que las cargas verticales 2P
de los volados le transmiten al dintel una flexión pura negativa (con un
momento de 2Pa). Mientras que las horizontales P de los minaretes tienden a
producir la flexión pura positiva en el mismo dintel (con un momento de solo
Pa: justo la mitad).
4. Interpretando que la flexión pura con momento 2Pa es superior a la flexión
pura Pa, podemos, a priori, asumir que, siendo la flexión negativa superior a la
positiva, la elástica de nuestro dintel será flexión pura negativa. Cualquier error
en esta apreciación sería finalmente contrastada con un valor negativo en el
resultado del cálculo de las incógnitas hiperestáticas H y MA.
5. Ello provocará una elástica general del pórtico como la que se refleja, a
continuación en la figura, con la correspondiente deducción de los sentidos de
las reacciones H y MA.
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
230
6. Y bajo estas condiciones comenzamos el análisis de los diferentes elementos
compositivos del pórtico, comenzando por los salientes volados: horizontales y
verticales.
7. Las cargas y momentos transmitidos por ambos salientes a la crujía, unidos a la
hipótesis que hemos asumido en 5) respecto a la elástica, nos permite sacar
conclusiones en relación al dintel y al pilar:
Equilibrio de la Crujía: ;PaMM DP
6a a
a
3a
a
A A
C
B
C
D D B
P P
2P 2P
MA MA
H H
2P 2P
2P
2P
2Pa
a
B D
P
P
Pa
a B
C
2P
2Pa
B
P
Pa
2P
MP
H
MD
P-H
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
231
Estudio del Pilar: ;aH3MM AP
(1º teorema e Mohr):
;MMa32
1
EI
1
;aM3MMa32
1
EI
1
APP
AAPP
(2º teorema de Mohr):
;aH6M;aH3M;M2M
;02
a3aM3aMMa3
2
1
PAAP
AAP
Por lo tanto,
;aH6PaM D
Y así tenemos los
momentos MA, MP y MD
en función de H.
Para poner también θP en
función de H, habrá que
sustituir atrás:
;EI2
Ha92
P
8. La incógnita hiperestática pendiente de resolver será H, la que determinaremos
por la ecuación que se deduzca de la igualdad de los ángulos girados en la
crujía por el pilar y el dintel.
9. Para determinar el ángulo θD en el dintel es posible apoyarse en el 1º teorema
de Mohr por cuanto la tangente a la elástica en su punto medio será horizontal.
+
(dfc)
H
-MA
+MP
+
(dmf)
a
2P
2P
H
H
MA
MP
3a
B
A
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
232
;Pa5
1Pa
15
26PaM;P
15
2H
EI2
Ha9Ha6Paa3
EI
1
;Ha6Paa3EI
1aM3
EI
1;aM3
EI
10
D
2
PD
DDDD
10. Las reacciones en los cimientos serán pues:
;Pa5
2M;P2V;P
15
2H A
11. El ángulo girado por las crujías será:
;EI
Pa
5
32
B
12. La flecha en C la obtenemos como suma del giro de la crujía que le desplazará
en θB.a y la distancia desde D a su tangente en B:
EI
Pa
15
4
EI
Pa
5
3
EI
a3
2Pa
2
1y
332
C
6a
B B P-H MD
P-H MD
θD
(dfc)
(dmf) -MD -MD (-)
P
P
Pa
a B
C
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
233
13. La flecha en el punto medio del dintel la obtendremos como la distancia desde
B a la tangente en ese punto medio, cambiada de signo (ver figura del apartado
9):
EI
Pa
10
9a
2
3a3M
EI
1y
3
Dmax
14. La forma de la elástica resulta la supuesta en el apartado 5. Y los puntos de
inflexión en los pilares estarán a la distancia a de los cimientos A y en las
crujías B.
15. Por último, el diagrama de momentos flectores se incluye a continuación (para
simplificar, se indica solo una de las mitades simétricas: a la izquierda el d.m.f.
de los elementos verticales=pilares; el de la derecha al dintel):
6a a
a
3a
a
A A
C
B
C
D D
B
2/5.Pa
4/5.Pa
Pa
1/5.Pa
2Pa
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
234
PROBLEMA VII-13
La figura representa una estructura acodada formada por un pilar AC y una viga
CB que están sólidamente unidas. A y B son articulaciones fijas. Sus secciones
rectas son iguales y ambos están construidos del mismo material de Módulo de
Elasticidad E. En la crujía de unión actúa un momento exterior conocido “Pa” en
el sentido de las agujas del reloj, y las dimensiones quedan indicadas.
1. Se desean las reacciones en A y B y el ángulo que gira la crujía.
2. A la vista de los diagramas de momentos flectores, dibujar la elástica.
SOLUCIÓN:
1. Al considerarse fijos los puntos A y B, no teniendo en cuenta deformaciones
longitudinales ni en pilar ni en viga, el punto C de la crujía también será fijo.
En consecuencia en pilar y viga las flechas en C serán nulas, igual que en las
articulaciones A y B.
2. Por otra parte, en ambas articulaciones aparecerán reacciones horizontales (H)
y verticales (V) que deberán equilibrarse mutuamente y compensar el momento
exterior Pa, por lo que:
a
2a Pa
A
C B
a
2a Pa
A
C B
H
V
V
H
Equilibrio de
momentos:
;PHV2
;PaHaVa2
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
235
Los sentidos de H y V son inequívocos al considerar la acción vertical que
habría que ejercer en B, si se soltara esa articulación, para reponerlo a su
correcta posición. Lo mismo que procedemos al soltar la articulación A y
considerar la fuerza horizontal correspondiente, para llevar dicho punto a su
sitio.
3. En la descomposición de los tres elementos (pilar, crujía y viga) que se expone
a continuación, es fácil deducir las reacciones de los otros extremos de cada
elemento y los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores:
4. En su virtud, las ecuaciones diferenciales de la elástica de cada tramo, se
resolverán como sigue:
C Pa
V
V
H
H
MP
MD
C
B
2a
V
V H H
MD
(-) -V
(+) MD
A
C
a
V
V
H
H
MP
(-)
(-)
H MP
Análisis de la
viga:
Va2M D
Análisis del
pilar:
HaM P
Análisis de la
crujía:
PaMM PD
PHV2
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
236
pilar viga
;xHa6
1Hx
6
1yEI
;Ha6
1Hx
2
1yEI
;Ha6
1K;0y
;KxHx6
1yEI
;KHx2
1yEI
;HxyEI
;HxM
23P
22P
2ax
3
2
PX
;xVa3
4VaxVx
6
1yEI
;Va3
4Vax2Vx
2
1yEI
;Va3
4C;0y
;CxVaxVx6
1yEI
;CVax2Vx2
1yEI
;Va2VxyEI
;VxVa2M
223D
22D
2a2x
23D
2D
D
DX
(se ha tenido en cuenta que para 0x , en ambos elementos, 0y ; es decir,
en A para el pilar y en C para la viga)
5. Al aplicar la ecuación hiperestática que iguala los ángulos de giro en C del pilar
y la viga:
V4Hyy
;Va3
4yEI0xpara
;Ha3
1yEIaxpara
DP2
D
2P
Lo que, unido a la ecuación isostática:
P3
2Hy;
6
PV
6. El ángulo girado por la crujía serán pues:
EI
Pa
9
22
C
7. Resultando finalmente la elástica en la forma que se indica:
Pa
A
C B
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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237
PROBLEMA VII-14
El pórtico empotrado de la figura contempla dos minaretes como elementos
sobresalientes de la parte superior de los pilares, en cuyos extremos superiores se
considera la actuación simétrica de los momentos exteriores Pa. Las secciones de
pilares, dintel y minaretes tienen el mismo Momento de Inercia I , y son del mismo
material de Módulo de Elasticidad E .
Se pide calcular:
1. Reacciones en las bases de los pilares.
2. Diagrama de momentos flectores en el pórtico completo.
3. El momento flector máximo y la fuerza cortante máxima en el pórtico.
4. Angulo que gira la crujía de unión entre pilares y dintel.
5. Forma y curvaturas de la elástica.
6. Posición de las secciones de inflexión.
7. Desplazamiento horizontal de la cabeza de los minaretes .
B B
6a
A A
I
I I
3a
a
C C
I I
Pa Pa
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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238
SOLUCIÓN:
Si no existieran ligaduras de ningún tipo en las bases de los pilares, la estructura se
encontraría en equilibrio y se deformaría simétricamente bajo la acción de los
momentos exteriores “Pa”, tendiendo la base de los pilares a un desplazamiento
hacia el exterior.
La corrección de estos desplazamientos exige la aparición en la cimentación de
cargas horizontales “H” sobre las bases de los pilares con dirección “hacia dentro”
que lleven los puntos “A” a su correcta posición, aunque la elástica del pilar (ahora
considerado como articulado en “A”) daría lugar a una tangente en su origen
distinta de cero (no vertical) y de signo negativo (hacia el exterior del pórtico).
Al ser la ligadura real un empotramiento, esta exigirá igualmente que el cimiento
actúe con los momentos de empotramiento “MA” (simétricos) y con el sentido
apropiado que lleve a dicha tangente a la posición vertical de empotramiento.
La condición de simetría exige igualmente que las crujías “B” no se desplacen, por
lo que la elástica del pilar debe ser tal que recupere con su curvatura continua y
uniforme dicha posición, que es inalterable.
B B
6a
A A
3a
I
I I
a
C C
I I
Pa Pa
Las reacciones H y MA serán
hiperestáticas, por cuanto aparecen
como consecuencia de deformaciones
de la estructura
H H
MA MA
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
239
La conservación de la curvatura de la elástica del dintel, la ortogonalidad de las
crujías y el efecto de los momentos exteriores en los extremos de los minaretes
acaban por definir la forma general de la elástica del pórtico, como se expresa en la
figura, y que permitirá determinar los sentidos de los momentos flectores en
relación correcta con las curvaturas:
Estudio del pilar:
La distancia desde B a la tangente en A = 0
(2º Teorema de Mohr)
;M2M;0M3MM
;0a2
3a3Maa3)MM(
2
1
APAPA
APA
que, en combinación con la ecuación de
equilibrio:
;Ha2M
;HaM
P
A
Cálculo de la tangente en la cabeza del pilar:
;EI
Ha
2
3
;aM2
3aMa3M3
2
1EI
2
P
AAAP
Estudio de la crujía:
Ecuación de equilibrio de momentos: Mp+MA = 3Ha;
(d.f.c.)
-H
H
MA
H
MP
B
A +
-MP
+M
A (d.m.f.)
Equilibrio de la crujía:
1. La cabeza del pilar transmitirá a la crujía el momento MP = 2Ha
2. El minarete transmitirá el momento Pa
3. El muñón del dintel en la crujía tendrá que equilibrar los
anteriores con un momento flector MD, cuyo cálculo da:
a)H2P(MPaM PD
Mp
MD
Pa
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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240
Estudio del dintel:
Cálculo de la tangente en el extremo del dintel:
;EI
a)H2P(3;a3MEI
2
DDD
Con ello quedan respondidas las preguntas 1 y 4 del enunciado. El momento
máximo es Pa en las cabezas de los minaretes; y la fuerza cortante máxima:
H = 2/5P [que se manifestará en los pilares] (pregunta nº 3).
En cuanto a la elástica del pórtico, la primera figura de esta solución da cumplida
cuenta de ella (pregunta nº 5)
La profundización en el estudio del pórtico expuesto requiere un análisis de los
minaretes. Estos pueden considerarse como piezas empotradas en A, con un apoyo
en B y el momento transmitido por el dintel, y con un momento exterior Pa
aplicado en su extremo C.
(d.f.c.)
(d.m.f.) (+) MD
MD MD θD
B B
3a 3a
Cálculo de la incógnita hiperestática H:
;P5
2H);H2P(2H;
EI
a)H2P(3
EI
Ha
2
3;
22
DP
Reacciones, momentos y giros:
;P5
2H ;Pa
5
2M A ;Pa
5
4M P ;Pa
5
1M D
EI
Pa
5
32
DP
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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241
Tras dibujar los diagramas de
f.c y m.f., queda de manifiesto
el punto de inflexión de la
elástica a la distancia a de la
base del pilar (pregunta nº 6).
Por su parte, la distancia de C a
la tangente en A, mediante el 2º
T. de Mohr, resulta:
a2
1Paa
2
5a3Pa
5
2a3a3Pa
5
6
2
1EI
2
EI
Pa
10
293
Con ello se da respuesta a la 7ª
pregunta del enunciado.
En cuanto al diagrama de momentos flectores del pórtico completo (preg. 2ª):
2/5P
(d.f.c)
P5
2H
Pa5
1M D
P5
2H
3a a
Pa
Pa5
2M A
(-)
(+)
2/5Pa
Pa 4/5Pa
(d.m.f.)
a
B B
A A
C C
Pa Pa
2/5Pa 2/5Pa
4/5Pa
Pa
(+)
(+)
(-)
(-)
1/5Pa
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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242
PROBLEMA VI-15
En el pórtico articulado de la figura actúan las fuerzas P que se indican en las crujías.
En el pórtico no se consideran otras cargas exteriores, y las secciones de pilares y dintel
tienen el mismo Momento de Inercia I, estando construidos del mismo material de Módulo
de Elasticidad E.
Calcular:
1. Reacciones en las bases de los pilares.
2. Diagramas de momentos flectores en los pilares y el dintel.
3. El momento flector máximo en el dintel y los pilares.
4. Angulo que gira la crujía de unión entre pilares y dintel.
5. Forma y curvaturas de la elástica.
6. Posición de las secciones de inflexión.
7. Posición de la flecha máxima en el dintel.
8. Cálculo de dicha flecha máxima.
9. Desplazamiento de las crujías (flecha del pilar en B)
P B B
6a
A A
3a
P
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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243
SOLUCIÓN:
Equilibrio isostático del pórtico:
V . 6a = 2 . 3Pa
V = P
Estudio del pilar:
Ecuación diferencial de la elástica:
;KxPx6
1yEI;KPx
2
1yEI;PxyEI
32
Cálculo de la tangente a la elástica en la cabeza del pilar:
KPa2
9EI
2P
Cálculo de la flecha en la cabeza del pilar:
Ka3Pa2
9yEI
3B
B B
6a
A A
3a
H=P H=P
V V
P P
Cálculo del momento de la cabeza del pilar:
Mx = Px; MP = 3Pa
A
3a
B
P
P
+
P
dfc dmf
3Pa P Mp
+
P
θP
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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244
Estudio de la crujía:
Estudio del dintel:
1. Transmitirá el momento de la cabeza del pilar al extremo
del dintel: MD = MP = 3Pa
2. Transmitirá la reacción vertical P de la cimentación al
extremo del dintel.
3. Transmitirá la carga P hacia la cabeza del pilar.
Mp
MD
P
P
P
P
Cálculo de la elástica del dintel:
;xPa3Pax2
3Px
6
1yEI;Pa3Pax3Px
2
1yEI
Pa3C0y;CxPax2
3Px
6
1yEI
;CPax3Px2
1yEI;Pa3PxyEI;PxPa3M
22322
2a3x
23
2x
Tangente a la elástica en B (x = 0): 2
D Pa3EI
Ecuación hiperestática: (θP = θD)
222Pa
2
15K;KPa
2
9Pa3
P
- 3Pa
P (–)
P θD
MD= 3Pa MD= 3Pa
6a
+3Pa
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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245
RESPUESTA A LAS CUESTIONES PLANTEADAS:
1. Reacción horizontal: H = P
Reacción vertical: V = P
2. Diagramas de momentos flectores:
3. Momentos Flectores máximos del dintel y pilares se producen en las crujías:
MDmax = 3Pa
4. El ángulo que gira la crujía:
θB = + 3Pa2/EI
5. Elástica:
yB yB
xm
ymax
θA
θB
- 3Pa + 3Pa
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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246
6. Secciones de inflexión: una solamente, en el centro del dintel.
7. Posición flecha máxima dintel:
;a)33(x;0a6ax6x;0Pa3Pax3Px2
1yEI
2222
xm = (3 +/- √3) · a
8. Valor de la flecha máxima:
;Pa3yEI
;Pa)33(3)33(2
3)33(
6
1xPa3Pax
2
3Px
6
1yEI
3max
323223
Para el primer tramo del dintel: xm = [3 – √3 ] · a;
ymax = √3 · Pa3/EI = + 1,73 · Pa
3/EI
9. Desplazamiento de las crujías:
;Pa18Pa2
153Pa
2
9Ka3Pa
2
9yEI
3333B
yB = + 18 · Pa3/EI
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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247
PROBLEMA VI-16
La figura representa una estructura en forma de cruceta con sus extremos
articulados y carga “q” exterior uniformemente distribuida en la forma descrita.
Las longitudes de los cuatro brazos son iguales de la misma sección y del mismo
material.
1. Calcular las reacciones en los empotramientos y el giro del nudo central de
la cruceta.
2. Dibujar los diagramas de momentos flectores y elásticas correspondientes,
indicando la posición de los puntos de inflexión.
3. Calcular la flecha máxima.
SOLUCIÓN:
1. La estructura presenta una antisimetría total respecto al centro de la cruceta A,
por lo que las reacciones en las articulaciones B y C serán iguales y
antisimétricas. Además, las articulaciones no darán ninguna reacción axil (p.ej.
en las barras verticales) ya que su condición doblemente antisimétrica no
permitiría el equilibrio con reacciones horizontales en las otras articulaciones.
Así que la determinación de las reacciones transversales se limitará al
establecimiento del equuilibrio de momentos del conjunto. Al mismo tiempo se
conservará inalterable la posición del punto A.
q
A B
B
C
C
2a
q
q
q
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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248
2. Cuanto queda dicho se traduce en el estado de acciones externas (resultantes de
la carga “q” y reacciones “R”) y el esquema de la elástica general que se
indica:
3. Calculada la reacción “R”, como el caso isostático que constituye el problema,
se podrá estudiar solamente un brazo de la
cruceta, dado que por simetría los otros tendrán
idénticas características:
Nótese que la antisimetría no permite la existencia de
momentos flectores en la cruceta “A”, por lo que el tramo
BA se comporta como una viga simplemente apoyada con
una carga distribuida “q”.
La determinación hecha de la función del momento flector
M permite desarrollar la ecuación diferencial de la elástica
y sus integraciones:
2a
A B
qa qa
q
qa
-qa
(d.f.c
.)
(d.m.f.
)
2a
A
B
B
C
C
R
R R
R
2qa 2qa
2qa 2qa
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
249
Existe un punto de inflexión único en “A”, tanto horizontalmente como
verticalmente.
PROBLEMA VI-17
La figura representa una estructura en forma de cruceta con sus extremos
empotrados y una sola carga exterior consistente en un momento aplicado
exactamente en el punto de encuentro de los elementos horizontal y vertical. Las
longitudes y secciones de los cuatro brazos son iguales y del mismo material.
Calcular las reacciones en los empotramientos y el giro del nudo central de la
cruceta.
Dibujar los diagramas de momentos flectores y elásticas correspondientes,
indicando la posición de los puntos de inflexión y flecha máxima.
a
4Pa
A B
B
B
B
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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250
SOLUCIÓN:
1. La estructura presenta una antisimetría total respecto al centro A, tanto en el eje
horizontal como en el vertical, por lo que las reacciones en los
empotramieentos B serán todas iguales y antisimétricas: a) oponiéndose, de una
parte, al giro que propugna el momento exterior 4Pa, b) conservando
inalterable la posición del punto A, de otra, y finalmente, c) respetando la
condición de empotramiento de los extremos B.
2. Si planteáramos la abstracción de considerar los extremos B articulados, en vez
de empotrados, surgirían fuerzas de reacción en B (todas iguales) equilibrando
por pares al momento exterior 2Pa. Es decir fuerzas de valor P, como muestra
la figura, con unas deformaciones elásticas del tipo de las que se indican. Con
ello, las conclusiones a) y b) quedarían aplicadas (rojo):
La conclusión c) implicaría la aparición de momentos de empotramiento para
que rectifiquen la curvatura de la elástica en el sentido conveniente (azul)
a
A B
B
B
B
P
4Pa
P
P P
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
251
3. Esos momento de reacción, como puede verse en la figura, tienen todos el
mismo sentido de giro, por lo que desestabilizarían el equilibrio del conjunto,
haciendo necesaria la aparición de nuevas fuerzas de reacción en B (ver figura
siguiente) que se sumarían a las P ya descritas y que vamos a llamar R, como
una incógnita hiperestática, cuya relación con los momentos de empotramiento
debe deducirse de la ecuación de equilibrio:
4. La resolución de la incógnita hiperestática R se deducirá de la condición de
mantenerse el punto A sin desplazamiento alguno, por lo que la distancia desde
A a la tangente en B será nula. Esto puede establecerse a partir del segundo
Teorema de Mohr en el diagrama de momentos flectores.
Para ello aislamos un tramo cualquiera BA, con las reacciones ya descritas en B
y las cargas transmitidas desde A para el correspondiente equilibrio.
a
B
B
B
P+R
P+R
P+R
MB=Ra
MB=Ra
MB=Ra A
B 4Pa
P+R
MB=Ra
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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252
Ahora podemos considerar su diagrama de momentos flectores descompuesto
como se indica a continuación para facilitar la aplicación de los teoremas de
Mohr:
2º Teorema de Mohr (distancia desde A a la tangente que pasa por B):
Mientras que el giro del nudo será (1er teorema de Mohr):
Así pues, las reacciones en los empotramientos serán:
Y la rotación del nudo central:
Diagrama de
Fuerzas Cortantes -(P+R)
A B Pa
P+R
Ra
P+R a
+Ra
-Pa x
a-x
+Ra
-Pa
= +
-Pa-Ra
a
+Ra
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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253
Respecto a los diagramas de momentos flectores y elástica, quedan reflejados a
continuación:
SIGUIENDO OTRO PLANTEAMIENTO:
La situación de antisimetría total del problema, nos permitirá efectuar cuatro
cortes en las proximidades del punto central A, estableciendo acciones
antisimétricas en los muñones, que equilibren el momento 4Pa, como se indica
en la figura:
A partir de aquí, ya podríamos continuar el problema
en la línea que se indica a partir del punto 4.- de la
solución anterior.
+Pa/2
-Pa a/3
a/3
A B Pa
1,5P
Pa/2
1,5P a
inflexió
n flecha máxima
4Pa
A Pa
a
Pa
a
Pa
a
Pa
a
R
R
R
R
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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254
PROBLEMA VI-18
Los dos elementos estructurales de la figura constituyen una crujía y actúan como
pilar y viga, ambos empotrados respectivamente en su cimiento y en un muro de
carga.
Se encuentran sometidos a sendas cargas puntuales P, localizadas y orientadas en
la forma que indica la figura.
Se pide determinar las cargas que soportan el cimiento y el muro, fuerza cortante
máxima y el momento flector máximo a que se ve sometida la estructura, la flecha
máxima y la forma de la correspondiente elástica.
La viga y el pilar están constituidos del mismo material (de módulo de elasticidad
E), tienen la misma sección (cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es
I) y sus longitudes son iguales.
P P
P
P
a
a a a
a
a
A
C
B
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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255
SOLUCIÓN:
a) La disposición geométrica de las barras y su carga, presentan simetría respecto al
eje que pasa por C a 45º con la horizontal, de forma que las reacciones en los
empotramientos A y B serán por lo tanto iguales y simétricas, aportando las
reacciones que equilibren horizontal y verticalmente el conjunto.
b) La misma disposición de simetría exigirá una elástica simétrica, en la que el
ángulo recto de la crujía en C se conserve, por lo que dicha unión ni sufrirá
desplazamiento alguno, ni efectuará ningún giro. Lo que significa que tanto el pilar
como la viga atacarán a la crujía con tangentes a la elástica vertical y horizontal
respectivamente. Es decir, que esa crujía se comportaría exactamente igual que
hacen los empotramientos como condiciones de contorno. Tanto para el pilar como
para la viga, estando ambos en idéntica situación de doble empotramiento.
c) Todo ello nos podría permitir trivializar el problema reduciéndolo a una simple
viga doblemente empotrada, sin embargo vamos a desarrollar los razonamientos
oportunos con la rigurosidad más estricta.
VB=HA=Y
HB=VA=X
MA=MB=MO
P P
P
P
a
a a a
a
a
A
C
B
eje de simetría
VB
VA
HB
HA
MB
MA
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
256
d) Un análisis completo de la estructura nos muestra a estas conclusiones de simetría
con la evidente igualdad de las reacciones VB y HA, a las que llamaremos Y; como
la igualdad de las HB y VA, que llamaremos X; y los momentos, MA y MB, dada la
situación de simetría.
e) El estudio final de cualquiera de esas ramas (la CB por ejemplo) como doblemente
empotradas nos dará por fin la solución buscada:
f) Tan solo resta la determinación de la
incógnita hiperestática MO, que
podrá determinarse por el primer
Teorema de Mohr al igualar la
tangente en el punto medio del vano
con la de cualquiera de sus extremos:
El área negativa del d.m.f. es:
MO (a + a/2) = 3/2 MOa
El área positiva:
½ Pa.a + Pa.a/2 = Pa2
Al igualar ambas áreas:
MO = 2/3 Pa (negativo)
El momento en el centro del vano:
Pa – MO = 1/3 Pa
Las respuestas a las cuestiones planteadas son ya inmediatas.
P
Y Y
P
X X MO M
O
Y = P ; al igual que
será, si se estudiara el
pilar, que X = P;
C B
P
P P
P
P P MO M
O
P
P
M
O
M
O MO -
Pa
a a/
2
M
O
M
O P
a
a a/
2
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
257
ROBLEMA VI-19
Los dos elementos estructurales de la figura constituyen una crujía y actúan como
pilar y viga, ambos empotrados respectivamente en su cimiento y en un muro de
carga.
Se encuentran sometidos a sendas cargas puntuales P, localizadas a mitad de cada
vano y orientadas en la forma que indica la figura.
Se pide determinar las cargas que soportan el cimiento y el muro, fuerza cortante
máxima y el momento flector máximo a que se ve sometida la estructura, la flecha
máxima y la forma de la correspondiente elástica.
La viga y el pilar están constituidos del mismo material (de módulo de elasticidad
E), tienen la misma sección (cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es
I) y sus longitudes son iguales.
P
P
a a
a
a
A
C
B
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
258
SOLUCIÓN:
a) La disposición geométrica de las barras y su carga, presentan antisimetría respecto
al eje que pasa por C a 45º con la horizontal, de forma que las reacciones en los
empotramientos A y B serán por lo tanto iguales y antisimétricas, aportando las
reacciones que equilibren horizontal y verticalmente el conjunto.
b) De otra parte, el extremo C de la viga no puede acercarse ni alejarse de B, ya que
la longitud “2a” deberá permanecer inalterable. La misma circunstancia deberá
acaecer analizando el pilar AC, por lo que C tampoco podrá desplazarse
verticalmente. Así que el punto C deberá ser considerado como posición fija.
c) También, la misma disposición de antisimetría exigirá elásticas antisimétricas, en
las que el ángulo recto de la crujía en C se conserve, aunque sí podrá efectuar un
cierto giro. Lo que significa que tanto el pilar como la viga atacarán a la crujía con
tangentes a la elástica de una misma inclinación a un punto fijo que es C. Es decir,
que cada elemento de esa crujía se comportaría exactamente igual que hacen las
vigas empotradas en un extremo y apoyadas en el otro, sin absorber momento de
reacción en C; cosa que de otro modo, resulta evidente al tener que compatibilizar
las elásticas giradas en C con el equilibrio de momentos en la crujía.
Por antisimetría:
VB=HA=Y
HB=VA=X
MA=MB=MO
HB
VB
eje de
antisimetría
VA
HA
MB
MA
P
P
a a
a
a
A
C
B
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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259
d) Sin embargo, aunque así sea, no se puede simplificar absolutamente el problema
reduciéndolo a una simple viga empotrada y apoyada, pues las reacciones axiales
van a jugar el importante papel de soportar una parte de las cargas “P” del otro
elemento de la estructura. Lo que hará que se transmitan ciertas cargas de
compresión a los cimientos.
e) Un análisis global de la estructura nos expone estas conclusiones de antisimetría
con la evidente igualdad de las reacciones VB y HA, a las que llamaremos Y; como
ocurre igual con las HB y VA, que llamaremos X; y los momentos, MA y MB.
f) El estudio final de cualquiera de esas ramas (la CB por ejemplo) como empotrada-
apoyada nos llevará por fin a la solución buscada:
g) Tan solo resta la determinación de la incógnita hiperestática MO, que podrá
determinarse por el 2º Teorema de Mohr al anular la distancia desde C a la
tangente en B:
El área negativa del d.m.f. es:
(P-2X).a2;
La distancia desde su c.d.g. al
eje que pasa por C:
(a+1/2 a)=3/2 a
El área positiva 1:
½ (P-X).a2
La distancia desde su c.d.g. al
eje que pasa por C:
(a+1/3 a)=4/3 a
El área positiva 2: ½ X.a2
La distancia desde su c.d.g. al eje que pasa por C:
2/3 a
Igualando los momentos estáticos correspondientes:
(P-2X)a2.3/2.a = ½ (P-X).a
2. 4/3 a + ½ X.a
2. 2/3 a
P
P
X
Y=P-
X
P
X Y
X X M
O
θc
Xa
a a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
260
Lo que simplificado nos da como soluciones de X e Y:
X = ¼ P; Y = ¾ P;
Resultando el momento del empotramiento:
M0 =1/2 Pa
Las respuestas a las cuestiones planteadas resultan ya muy fáciles de determinar aplicando
convenientemente los Teoremas de Mohr con el esquema del diagrama de momentos
flectores.
PROBLEMA VI-20
En el pórtico de la figura calcular la flecha máxima del dintel, y el momento máximo en
los pilares. Utilícense los teoremas de Mohr donde sean aplicables. Dibujar la forma de la
elástica de forma que queden indicados claramente los puntos de inflexión de la misma.
Los Módulos de Elasticidad y Momentos de Inercia de pilares y dinteles son conocidos e
iguales entre sí (E e I).
B B
A
4a
A
2a
a P
2a
a P
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
261
SOLUCIÓN:
a) Como el pórtico es simétrico y no tiene cargas verticales, las reacciones en las
articulaciones solo se presentarán en sentido horizontal.
b) La elástica del dintel será simétrica y, por tanto con tangente horizontal en su
punto medio. Ello permitirá utilizar los Teoremas de Mohr tanto para determinar
el ángulo de giro de sus extremos B, como para determinar la flecha en el centro.
c) El análisis del pilar nos facilita los diagramas de fuerzas cortantes y momentos
flectores en función de la incógnita hiperestática H. Así como el dintel, que estará
sometido a flexión pura por los momentos transmitidos por las cabezas de los
pilares, deberá acoplarse a la cabeza de estos conservando la ortogonalidad con
ellos. La flexión pura conllevará una elástica continua, sin inflexiones, en arco de
circunferencia. Todo ello nos permitirá intuir la elástica en consonancia con los
diagramas de momentos flectores.
H H
B B
A
4a
A
2a
a P
2a
a P
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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262
Para valores de x comprendidos entre: el momento flector en el
pilar será: ; siendo entonces la ecuación diferencial de su elástica, en ese
primer tramo, y sus respectivas integraciones:
Entre: el momento flector será:
;
Así que la ecuación diferencial de este tramo de elástica, con sus respectivas
integraciones serán:
(d.f.c.) (d.m.f.
)
x
H
B
A
2a
a
P
P-H P-H
H
M
p
inflexión de la elástica
cambio de pendiente del m.f.
-Mp
2Ha
Mx
θp
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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263
En el punto de aplicación de la carga [común a los dos tramos: ] el valor de
la flecha y la tangente a la elástica serán iguales para las ecuaciones de ambos
tramos:
Lo que simplificado quedaría:
O sea:
Quedando determinadas las otras constantes (k1 y k2) al aplicar la condición de que
para: será:
lo que, con el valor calculado para k, resulta:
y, de otra parte:
Todo en función de la incógnita hiperestática H, que determinaremos igualando los
ángulos girados por las cabezas de pilares y extremos de dintel.
d) El ángulo de la cabeza del pilar será el valor de cuando .
Es decir:
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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264
e) Por su parte, el dintel sometido a flexión pura, como se ha dicho antes, permitirá
el uso de los Teoremas de Mohr, facilitando así el cálculo del ángulo girado por
sus extremos.
La aplicación del 1er
Teorema de Mohr permitirá directamente calcular el ángulo
girado por el extremo B:
Que igualado al del pilar:
f) El momento máximo en los pilares habrá de ser el mayor de entre Mp y 2Ha :
De donde se deduce que Mp es el valor máximo del momento en todo el pórtico
Para la determinación de la flecha en el centro nos apoyaremos en el 2º Teorema de
Mohr:
4a
(d.f.c.)
B B
θp
C
Mp Mp
-Mp
(d.m.f.)
-Mp
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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265
PROBLEMA VI-21
El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares del mismo módulo de
elasticidad E y sección cuyos momentos de inercia, con respecto a la línea neutra,
son I y 2I, respectivamente.
Calcular:
1. Reacciones en la cimentación
2. Momentos flectores en las cabezas de los pilares
3. Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en pilares y dintel
4. Angulo que gira las uniones de dintel con pilares
5. Forma y curvaturas de la elástica
6. Posición de las secciones de inflexión
7. Posición de las flexiones y flechas máximas de pilares y dintel
8. Cálculo de dichos valores máximos
4a
2a
A A
B
2I
I
2I p p
B
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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266
PROBLEMA VI-22
El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares de módulo de elasticidad
E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es I en el dintel, 2I
en los pilares y, también, 2I en los volados.
Calcular:
1. Reacciones en la cimentación
2. Momentos flectores en las cabezas de los pilares
3. Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en pilares y dintel
4. Angulo que giran las uniones de dintel con pilares
5. Forma y curvaturas de la elástica
6. Posición de las secciones de inflexión
7. Posición de la flecha máxima de pilares y la flecha máxima del dintel
8. Cálculo de dichos flechas máximas
9. Flecha de los extremos volados
3a
A A
B B
2I
I
Pa Pa
2a a a
2I 2I
2I
Pa Pa 2P
2a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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267
PROBLEMA VI-23
El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares de módulo de elasticidad
E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es I en el dintel, en
los pilares y, también, en los volados.
Calcular:
1. Reacciones en la cimentación
2. Momentos flectores en las cabezas de los pilares
3. Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en pilares y dintel
4. Angulo que giran las uniones de dintel con pilares
5. Forma y curvaturas de la elástica
6. Posición de las secciones de inflexión
7. Posición de la flecha máxima de pilares y la flecha máxima del dintel
8. Cálculo de dichos flechas máximas
9. Flecha de los extremos volados
3a
A A
B B
I
I
Pa Pa
2a a a
I I
I
Pa Pa 2P
2a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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268
PROBLEMA VI-24
El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares de módulo de elasticidad
E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es I en el dintel, en
los pilares y, también, en los volados.
Calcular:
1. Reacciones en la cimentación
2. Momentos flectores en las cabezas de los pilares
3. Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en pilares y dintel
4. Angulo que giran las uniones de dintel con pilares
5. Forma y curvaturas de la elástica
6. Posición de las secciones de inflexión
7. Posición de la flecha máxima de pilares y la flecha máxima del dintel
8. Cálculo de dichos flechas máximas
9. Flecha de los extremos volados
3a
A A
B B
I
I
3Pa 3Pa
2a a a
I I
I
2P
2a
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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269
PROBLEMA VI-25
En el pórtico de la figura se produce un desplazamiento horizontal 2Δ << a de una
de las zapatas de sus pilares.
En el pórtico no se considera la existencia de carga exterior alguna, y las
secciones de pilares y dintel tienen el mismo Momento de Inercia I, estando
construidos del mismo material de Módulo de Elasticidad E.
Se desea conocer el estado de tensión a que el pórtico se verá sometido ante dicho
desplazamiento, determinando lo siguiente:
1. El momento flector máximo en el dintel y los pilares.
2. Reacciones en las bases de los pilares: fuerzas horizontales y verticales y
momentos de empotramiento.
3. Diagramas de momentos flectores en los pilares y el dintel.
4. Angulo que gira la crujía de unión entre pilares y dintel.
5. Forma y curvaturas de la elástica (indicando claramente las curvaturas en las
inmediaciones de las cimentaciones y en las crujías pilar-dintel).
6. Posición de las secciones de inflexión.
7. Posición de la flecha máxima en el dintel, así como el signo o sentido de la
misma.
8. Cálculo de dicha flecha máxima.
B B
2a 2a
3a
A A
A’
2Δ
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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270
PROBLEMA VI-26
El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares de módulo de elasticidad
E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es I en el dintel y 2I
en los pilares. Calcular:
1. Reacciones en la cimentación
2. Momentos flectores en las cabezas de los pilares
3. Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en pilares y dintel
4. Angulo que giran las uniones de dintel con pilares
5. Forma y curvaturas de la elástica
6. Posición de las secciones de inflexión
7. Posición de la flecha máxima de pilares y la flecha máxima del dintel
8. Cálculo de dichos valores máximos
9. Indicar cuál debe ser el momento flector que debe tomarse para el diseño de
la sección recta de cada elemento del pórtico
3a
A A
B B
2I
I
6a
2I
Pa
Pa
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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271
PROBLEMA VI-27
El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares de módulo de elasticidad
E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es I. Calcular:
1. Reacciones en la cimentación
2. Momentos flectores en las cabezas de los pilares
3. Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en pilares y dintel
4. Angulo que giran las uniones de dintel con pilares
5. Forma y curvaturas de la elástica
6. Posición de las secciones de inflexión
7. Posición de la flecha máxima de pilares y la flecha máxima del dintel
8. Cálculo de dichos valores máximos
9. Desplazamiento de las cabezas de los pilares
10. Indicar cuál debe ser el momento flector que debe tomarse para el diseño de
la sección recta definida para el pórtico
3a
A A
B B
I
I
3a
I
Pa
Pa
3a
2Pa
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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272
PROBLEMA VI-28
El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares de módulo de elasticidad
E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es I en el dintel, en
los pilares y, también, en los volados.
Calcular:
1. Reacciones en la cimentación
2. Momentos flectores en las cabezas de los pilares
3. Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en pilares y dintel
4. Angulo que giran las uniones de dintel con pilares
5. Forma y curvaturas de la elástica
6. Posición de las secciones de inflexión
7. Posición de la flecha máxima de pilares y la flecha máxima del dintel
8. Cálculo de dichos flechas máximas
9. Flecha de los extremos volados
3a
A A
B B
2I
I
Pa Pa
2a a a
2I 2I
2I
2P
2a
Pa Pa
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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273
PROBLEMA VI-29
El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares de módulo de elasticidad
E y sección. Las bases de los pilares están empotradas en sendos cimientos
perfectamente estabilizados en A. El pórtico está cargado con los momentos “P.a”
en las uniones B de pilares y dintel, como se indica en la figura, además de la
carga “P” en la sección central del dintel, C. Calcular:
1. Reacciones en la cimentación
2. Momentos flectores en las cabezas de los pilares
3. Momentos flectores en los extremos del dintel
4. Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en pilares y dintel
5. Angulo que giran las uniones B de dintel con pilares
6. Forma y curvaturas de la elástica
7. Posición de las secciones de inflexión
8. Posición de la flecha máxima del dintel
9. Cálculo de dichos flechas máximas
10. Desplazamiento de las cabezas de los pilares
3a
A A
B B
I
I
3a
I
Pa Pa 2P
3a
C
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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274
PROBLEMA VI-30
El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares de módulo de elasticidad
E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es I en el dintel, 2I
en los pilares y, también 2I en los volados.
Calcular:
1. Reacciones en la cimentación
2. Momentos flectores en las cabezas de los pilares
3. Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en pilares y dintel
4. Angulo que giran las uniones de dintel con pilares
5. Forma y curvaturas de la elástica
6. Posición de las secciones de inflexión
7. Posición de la deflexión máxima de pilares y la flecha máxima del dintel
8. Cálculo de dichos valores máximos
9. Flecha de los extremos volados
10. Indicar cuál debe ser el momento flector que debe tomarse para el diseño
de la sección recta de cada elemento del pórtico
3a
A A
B B
2I
I
Pa Pa
6a a a
2I 2I
2I
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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275
PROBLEMA VI-31
El pórtico de la figura está compuesto por dintel de módulo de elasticidad E, y
sección S cuyo momento de inercia, con respecto a su línea neutra, es 3I, mientras
que los pilares (del mismo material que el dintel) tienen un momento de inercia I.-
Las bases de los pilares está empotradas en sendos cimientos perfectamente
estabilizados en A.- Calcular:
1. Reacciones en la cimentación
2. Momentos flectores en las cabezas de los pilares
3. Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en pilares y dintel
4. Angulo de giro de las uniones de dintel con pilares
5. Forma y curvaturas de la elástica
6. Posición de las secciones de inflexión
7. Posición de las deflexiones y flechas máximas de pilares y dintel
8. Cálculo de dichos valores máximos
9. Desplazamiento de las cabezas de los pilares
3a
A A
B B
4a
Pa Pa
a a 2a
I I
3I C C
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
276
PROBLEMA VI-32
En el pórtico doble de la figura calcular el desplazamiento del dintel y el momento
máximo que ha de soportar toda la estructura, así como la posición de la sección
donde se manifiesta. Dibujar la forma de la elástica de manera que queden
indicados los puntos de inflexión de la misma.
Los Módulos de Elasticidad y Momentos de Inercia de pilares y dinteles son
conocidos e iguales entre sí (E e I).
SOLUCIÓN:
a) Estando los pilares articulados en su base, no existen reacciones en forma de
momentos en A ni en C, pero sí habrán fuerzas horizontales que equilibren las cargas
exteriores P y verticales que compensen el momento de vuelco que producen estas
fuerzas.
b) La antisimetría, exige que las reacciones verticales en A sean iguales y de sentido
contrario, anulándose la del pilar central. Mientras que las horizontales, siendo iguales
en los pilares exteriores, será diferente a ellas en C.
2a
P P
2a 2a
B
A C
D
B
A
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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277
c) En cuanto a la elástica, por supuesto antisimétrica, se producirá un desplazamiento de
los nudos B y D iguales y hacia la derecha, obligando a su vez al dintel a mantener la
ortogonalidad con los pilares en su encastre.
d) De manera que el equilibrio isostático nos permitirá calcular directamente las fuerzas
verticales V y nos dará una ecuación entre X e Y, quedando el problema pendiente de
la obtención de una ecuación hiperestática para la determinación de las incógnitas
presentadas.
e) El estudio de los pilares nos podrá determinar los momentos flectores en sus cabezas
que serán los que se transmitan al dintel.
2a
2a 2a
X
V
A
X
V
B
A
Y
C
D
B P
P
X
B
A
2a
X
M
B
(d.f.c.)
X
(d.m.f.) (d.f.c.)
Y
Y
D
C
2a
Y
M
D
(d.m.f.)
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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278
f) Asumiendo ya que el momento en las cabezas de los pilares exteriores se transmitirán
a los extremos externos del dintel, queda visualizar la crujía que, en forma de T,
remata el pilar central en el punto D. Esta se encontrará sometida al momento flector
procedente del pilar y a los momentos anti simétricos Me (además de las fuerzas
horizontales, no indicadas):
g) Así, ya se puede analizar el dintel (solo presentaremos una mitad) con sus
solicitaciones en función de una única incógnita hiperestática (X ó Y):
De manera que la relación entre MB y Me vendrá dada por la pendiente P de la
fuerza cortante:
D
MD
Me Me
(dfc)
(dmf)
2a
P P
MB=2Xa Me=Ya
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
279
h) Esta conclusión, no viene más que a confirmar la expresión ya obtenida en el apartado
d). De otra parte, totalmente obvio, por cuanto no se ha aplicado aún ninguna
condición hiperestática. Esta condición deberá dejar constancia de que la
ortogonalidad entre dintel y pilares permanece inalterable. En el presente estudio no
resulta cómodamente aplicable ninguno de los teoremas de Mohr, por lo que se
realizarán los cálculos por integración sucesiva de la ecuación diferencial de la
elástica.
i) En el pilar AB la función del momento flector es [denominando z a la altura
variable de la sección del pilar, entre 0 y 2a], por lo que el cálculo correspondiente
deberá ser:
para: luego: k2=0
para: ;
luego:
el desplazamiento de B:
j) En el pilar CD la función del momento flector es [denominando también z a
la altura variable de la sección del pilar, entre 0 y 2a], y el cálculo correspondiente
deberá ser:
para: luego: c2=0
para: ;
luego:
el desplazamiento de D:
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
Julio Melián/2010
280
k) En el dintel BD la función del momento flector es [denominando
otra vez z a la distancia variable de la sección del dintel, entre 0 y 2a], y ahora el
cálculo correspondiente deberá ser:
para: luego:
b2=0
para: luego:
así que:
así que para:
l) La identidad entre los ángulos girados en las uniones B y D por dintel y pilares
respectivos (θB y θD) nos puede permitir la determinación de las constantes k1 y c1:
m) Las constantes anteriores sustituidas en i) y j), nos permiten igualar los
desplazamientos de B y D, que serán idénticos, y que constituyen la ecuación
hiperestática necesaria para el cálculo de X e Y.
o sea,
n) Resuelta la hiperestaticidad, la contestación a las preguntas formuladas resulta ya
sencillo.
Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos
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