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PROBLEMAS CON LA DISTRIBUCION NORMAL.Con todo se pueden identificar tres tipos básicos de problemas relacionados con la distribución normal y con la aproximación de la binomial bajo determinadas condiciones a ella.

PROBLEMAS DIRECTOS EN DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD QUE SIGUEN EL MODELO NORMAL.Se dan como datos valores que toma la variable aleatoria y parámetros de la misma (media y desviación típica o bien su cuadrado , la varianza). Se piden probabilidades relacionadas: probabilidad de que los valores de la v.a sean inferiores o superiores a uno dado ,probabilidad de que estén comprendidos entre dos, etc.Las tablas de la distribución normal habitualmente usadas están adaptados a este tipo de problemas.

El proceso para resolverlos es el siguiente:a)Tipificación la variable a partir de los valores de la v.a aportados y los parámetros de la distribución.b)Consulta de la tabla de la función de distribución o, en su caso, uso de las propiedades de la curva normal para determinar la probabilidad solicitada en el caso de que la aportada por la tabla no sea la solicitada.Recuerda que en las tablas sólo se recogenlas probabilidades acumuladas a valores de la variable aleatoria mayores que la media, es decir valores cuya tipificación conduce a valores de z superiores o iguales a 0.

EJERCICIOS.1.-Una máquina de envasado automático de refrescos vierte en cada lata una cantidad de refresco que puede suponerse que sigue una distribución normal de media cl y desviación típica cl. El llenado de la lata se considera “incorrecto” si la cantidad de refresco vertido es inferior a 31,5 cl ó superior a 34 cl.

a) ¿Cuál es el porcentaje de llenados incorrectos para esta máquina?.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que en el llenado de 3 latas con esa máquina alguno de los llenados NO sea correctos?

En este problema la probabilidad obtenida se utiliza en el apartado b) para resolver un problema de probabilidad compuesta como los definidos en el tema anterior. Para la contestación a la cuestión planteada se debería usar el paso al suceso complementario (los tres llenados son correctos) pues en este caso se simplifica notablemente el cálculo.

2.-La duración (en años) de la placa base de los ordenadores sigue una distribución normal de parámetros . Calcula la probabilidad de que una placa base dure más de 12 años.

3.- Una fábrica de coches lanza al mercado el modelo “Mathe” del que se sabe que sus pesos siguen una distribución normal de media 3.100 kilos y una desviación típica de 130 kilos.a) ¿Cuál es la probabilidad de que, al comprar un coche Mathe, pese más de 3.130 kilos?b) ¿Qué distribución seguirá la media de las muestras de tamaño 100 de coches Mathe?c) ¿Cuál será la probabilidad de que al comprar un coche pese más de 2900 kilos y menos de 3500?

4.- La empresa informática DEPALE, S.A. lanza al mercado un nuevo productocuya vida útil se estima en 4.6 años, en promedio, con una desviación típica de 1.6 años. La empresa decide realizar una promoción inicial con objetode estimular las ventas. La promoción consiste en ofertar una garantíade sustitución del producto, sin coste adicional, si se detectase algún defectodurante el primer año de vida. Suponiendo que la duración de esteproducto sigue una distribución normal, determine la probabilidad de tener que reclamar su sustitución después de adquirirlo.

PROBLEMAS INVERSOS EN DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD QUE SIGUEN EL MODELO NORMAL.

Combinan cuestiones que se podrían encuadrar en el tipo anterior con otras que se ajusta a lo que se conocen problemas inversos.

En estos problemas se dan como datos probabilidades de que la variable aleatoria tome determinados valores y se trata de determinar bien esos valores o bien parámetros suyos.Un ejemplo:Los salarios mensuales de una empresa siguen una distribución normal de media 7.000 € y desviación típica 2.000 €.

a) ¿Qué porcentaje de trabajadores ganan entre 6.000 y 9.000 €?

b) Sabiendo que un 10% de las personas ganan más que el trabajador X ¿Cuánto gana el trabajador X?

a)Problema directo. Se tipifican los valores de la v.a aportados usando los parámetros de la distribución normal que son conocidos:x=9000

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se corresponde con z=1 y x=6000 con z=-0’5.Para el cálculo de la probabilidad solicitada se debe restar al valor de que la tabla da a z=1 el correspondiente al complementario que la tabla da a z=0’5.b)Se busca en la tabla de la normal estándar el valor de z para el que su función de distribución vale 0,9 (complementario de 0,1).Para ello se mira en los valores del cuerpo de la misma, resultando ser el más próximo 1’28.Como conocemos los valores de los parámetros no resulta difícil despejar de la fórmula usada para la tipificación enl valor de la variable solicitado (9560€)

OTRO EJEMPLO RESUELTOEl tiempo en minutos en que una persona es atendida en la sucursal A de un banco sigue una distribución normal N(9,1) (medidas en minutos).El tiempo que tarda en ser atendido en la sucursal B se ajusta a otra normal de media 8’5 y varianza 4.a)Un cliente dispone de sólo 10 minutos y tiene que hacer una gestión bancaria,¿En cuálla de las dos sucursales será más fácil que le hayan atendido considerando el tiempo del que dispone?b)¿Cuánto debe valer x si sabemos que el 80% de los clientes que van a la sucursal B debe esperar más de x minutos?c)Un cliente elige ir a la sucursal A con una probabilidad igual a 0’ en función de la proximidad de esta última a su domicilio.3 y a la sucursal B con probabilidad 0’7.¿Cuál es la probabilidad de que tenga que esperar más de 10 minutos?a)Sucursal A

Sucursal B

Por lo tanto es más probables que le atiendan en la sucursal A. La forma lógica de resolver este problema consistiría en tipificar el valor 10 minutos para la distribución N(9,1) y la N(8’5,2).A

aquella que le corresponda el mayor valor de z le corresponderá una probabilidad mayor de atención inferior al tiempo límite establecido.No es preciso calcular la probabilidad para contestar a la cuestión demandada.b)

De acuerdo al gráfico, el tiempo de espera es de 6,8 minutos. Para hacer este problemainverso (se da una probabilidad y se pide unvalor de la v.a.) con la ayuda de la tabla sedebe mirar en el cuerpo de la misma el valor z que corresponde al centil 80. Posteriormente a partir de los parámetros y de ese valor z se puede calcular el valor solicitado.c)P(menos de 10 mn|A)=0’84 según a)P(menos de 10 mn|B)=0’77 según a)Por el Teorema de la probabilidad TotalP(ser atendido en menos de 10 mn)=P(ser atendido en A en menos de 10mn)+P(ser atendido en B en menos de 10 mn)==P(A).P(menos de 10 mn|A)+P(B).P(menos de 10 mn|B)=0’3.0’84+0’7.0’77

EJERCICIOS1.-Los salarios de los trabajadores de un país puede suponerse que siguen una distribución normal de media 2000 euros y desviación típica desconocida. a)Si la probabilidad de ganar más de 2100 euros es de 0.33, ¿cuál es la desviación típica?b)Los salarios en euros de los trabajadores en un segundo país también puede suponerse que siguen una distribución normal con la misma media y con varianza de 40000 euros2. ¿Es más fácil ganar más de 2100 euros en este segundo país que en el país del apartado anterior?

2.-Una variable aleatoria X sigue una distribución normal de media 4 y varianza 9:

a) Calcula

b) Encuentra un valor tal que

APROXIMANDO LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL POR LA NORMALEn estos prtoblemas:-Se debe detectar que la situación descrita se adapta a las características propias del modelo binomial.-Se precisa determinar los parámetros de esa distribución binomial :probabilidad de éxito en cada prueba y número de pruebas.

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-A partir de esos datos se calculan la esperanza y la desviación típica de la distribución binomial.-Se comprueba la verificación de las condiciones para aproximar la distribución binomial localizada por la normal de parámetros iguales a la esperanza y desviación típicas previamente calculadas.-Se reemplaza en cálculo con la binomial por los propios de la normal haciendo la oportuna corrección de continuidad.

UN EJEMPLOEl 60% de los jóvenes de secundaria y bachillerato tienen consola de videojuegos. Si en un instituto hay 800 alumnosa) ¿Cuántos se espera que tengan consola de videojuegos?La variable X = ”nº de jovenes, de 800, que tienen viedeoconsola”, sigue una distribuciónbinomial de parámetros n = 800 y p = 0.6b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 500 tengan consola de videojuegos?c) ¿Cuál es la probabilidad de que el nº de jóvenes con consola de videojuegos este entre 470 y 500 (ambos inclusive)?

OTRO EJEMPLOEl 15% de los habitantes de una determinada región son diabéticos. Se toma una muestra de 600 de esos habitantes y se pide:a) Número esperado de habitantes que no son diabéticos.b) Probabilidad de que el número de diabéticos sea mayor que 80.c) Probabilidad de que el número de diabéticos esté entre 80 y 110.

La variable aleatoria {número de personas diabéticas en un grupo de 600} sigue el modelo binomial puesto que 1.cada una de las pruebas son independientes, 2.-cada una de las pruebas tiene dos resultados, 3.- la probabilidad de ser diabético (0,15)no varía de prueba en prueba.Por otra parte se cumplen las condiciones para proceder a una aproximación a la distribución normal (n>30,n*p>5,n*q>5). La normal utilizada debe tener como parámetros la esperanza y la desviación típica de la binomial.Esperanza =n*p

(600*0,15) desviación típica =raiz(n*p*q)=raíz(600*0,15*0,85)

EJERCICIOS 1.- El 15% de los habitantes de una determinada región son diabéticos. Se toma una muestra de 600 de esos habitantes y se pide:a) Número esperado de habitantes que no son diabéticos.b) Probabilidad de que el número de diabéticos sea mayor que 80.c) Probabilidad de que el número de diabéticos esté entre 80 y 110.

2.-Se sabe que el 40% de las mujeres embarazadas dan a luz antes de la fecha prevista. En unhospital, han dado a luz 125 mujeres en una semana.a) ¿Cuál es el número esperado de mujeres a las que se les retrasó el parto?b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 45 y 60 mujeres se les haya adelantado el parto?c) Si hubiese habido 61 partos adelantados y si el nivel de significación fuera igual a 0.02, ¿estoharía rechazar la hipótesis de que el 40% de las mujeres dan a luz antes de la fecha prevista?

3.-Una de las pruebas de acceso a la universidad para personas mayores de 25 años consiste en un test con100 preguntas, cada una de las cuales dos posibles respuestas, siendo sólo una de ellas correcta. Para superar esta prueba debe obtenerse, al menos, 60 respuestas correctas.Si una persona contesta al azar, es decir, elige de forma aleatoria una de los dos respuestas posibles decada una de las 100 preguntas:a) ¿Cuál será el numero esperado de respuestas correctas?b)¿Qué probabilidad tendrá de superar la prueba?

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