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8/17/2019 problemas de probabilidades.docx

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PROBLEMAS DE PROBABILIDADES

30.- Respecto al partido de fútbol que protagonizarán los equipos A y B el próxio doingo! sepiensa lo siguiente" #e todas aneras se abrirá el arcador y cualquiera de los dos quipos tieneigual probabilidad de $acerlo. %i A anota el prier gol! la probabilidad de que el próxiotabi&n sea de A es '(3 contra )(3 de que sea de B* en cabio si B es el que anota! priero el gol!

$abrá un segundo gol que puede ser con igual probabilidad para cualquier bando. %i elarcador llega a ponerse dos a cero a fa+or de cualquier equipo la desoralización de uno y laapat,a del otro ipedirán que $aya ás goles* en cabio si llega a ponerse )-)! puede ocurrirtres cosas con iguales probabilidades" que A anote y gane '-)! que B anote y gane '-) o que no$aya ás goles. se un diagraa del árbol para calcular.

a /a probabilidad de que B gane.b /a probabilidad de que B $aya abierto el arcador dado que ganó el partido.

A1

B1

A2 B2 B2 A2

A3 No hay gol B

3 A

3 No hay gol B

3

a) P (B )=¿ La probabilidad de que B gane.

Aplicamos el teorema de la probabilidad total

P (B )=1

2 x 1

3 x 1

3+1

2 x 1

2 x 1

3+1

2 x 1

2=

1

18+ 1

12+1

4=14

36

b) P ( D )=¿ La probabilidad de que B haya abierto el marcador dado que ganó el partido.

1/21/2

1er

Gol

2/3

1/21/21/3

2d o Gol

1/3

1/3

1/31/31/3

1/3

3er Gol


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P (C )=¿ Probabilidad de que B abra el marcador y gane el partido

Dado que en el denominador tenemos una probabilidad total, aplicamos el teorema de Bayes

P( D

)=

P (C )

P ( B )=

1

2 x

1

2 x

1

3+

1

2 x

1

2

14

36=

1

4+

1

12

14

36=

1

3

14

36=

6

7

3.- 1l gerente de ercadotecnia de una copa2,a estudia el lanzaiento de un nue+o productoal ercado. l cuenta con la siguiente inforación" 1n el pasado! el 405 de los productosintroducidos por la copa2,a $a tenido gran &xito! el 35 &xito oderado y el '5 $afracasado. Adeás! se tiene un ni+el de infore fa+orable! del 605 de los productos que $antenido gran &xito! del 705 de los que $an tenido &xito oderado y del 305 de los quefracasaron. 1l gerente tiene las siguientes inquietudes que usted debe resol+er"

a 89u& porcenta:e de los productos tiene un infore fa+orable; Aplique un diagraa delárbol.b Actualice las probabilidades de los tres ni+eles de &xito" resente los resultados de este problea en una tabla de cruce de las +ariables" ni+el de

&xito y ?i+el de infore

G . E E . M F

I . F I . N . F I . F I . N . F I . F I . N . F

a¿ P (B )=¿ Probabilidad de que los productos tengan un informe favorable

Calculamos por elteorema de la probabilidad tota l

P (B )=40 .80 +35 .60 +25 .30 =32 +21 +7.5 =60.5

25%40%

35%

Niveles de xito

80% 70%30%60% 40%20%

Nivelde


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b) Actualiación de las probabilidades

P (G )= Actuali!aci"# de la probabilidad de $ue te#ga Gra# xito

P ( E )= Actuali!aci"#de la probabilidadde $ue te#ga xito Moderado

P (% )= Actuali!aci"# de la probabilidad de $ue Fracase

P (G )= P (¿ ) . P ( I . F /¿ )

P ( B ) =

40 .80

40 .80 +35 .60 +25 .30=

32

60.5=0.529

P ( E )= P ( EM ) . P ( I . F / EM )

P ( B ) =

35 .60

40 .80 +35 .60 +25 .30=

21

60.5=0.347

P (% )= P ( F ) . P ( I . F / F )

P ( B )

= 25 .30

40 .80

+35 .60

+25 .30

= 7.5

60.5=0.124

Ahora es m!s probable que se obtenga un nivel de "ran #$ito en el lanamiento del nuevo producto.

c) %abla de cruce de variables

?i+el de xito"ran #$ito #$ito &oderado 'racaso

?i+el de@nfore

(nforme 'avorable *+ *+ -.+(nforme /o

'avorable

0+ 1+ -.+

36.- 1l departaento de +entas de un $iperercado reportó que el '05 de sus +entas sonpagadas en efecti+o! el 35 con c$eques y 45 con tar:eta de cr&dito. 1l 305 de las copras enefecti+o! el 605 de las copras con c$eques y el 05 de las copras con tar:eta son por ás de70

a %i la se2ora >e2a acaba de coprar en ese $iperercado por un onto de )00!8=uál esla probabilidad de que $aya pagado con tar:eta de cr&dito;

b %i tres clientes acaban de coprar en tal $iperercado! 8=uál es la probabilidad de quesólo uno de ellos $aya coprado por ás de 70;

E C &

45%20%

35%

Formas de Pago


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Mayor a 60 Me#or a 60 Mayor a 60 Me#or a 60 Mayor a 60 Me#or a 60

a) P ( D )=¿ La probabilidad de que haya pagado con tar2eta dado que el monto de la compra es

mayor a 34.

P (C )=¿ Probabilidad de que haya pagado con tar2eta y un monto mayor a 34

Dado que en el denominador tenemos una probabilidad total, aplicamos el teorema de Bayes

P ( D )= P (C )

P ( M )

= 45 .70

20 .30

+35 .80

+45 .70

=31.5

65.5=0.4809

b) P5A) 6 Probabilidad de que sólo uno de ellos haya comprado por m!s de 734

3.+ es la probabilidad de que alguien pague m!s de 734

=liente A =liente B =liente =

)er =aso 3.+ 1.+ 1.+'do =aso 1.+ 3.+ 1.+3er =aso 1.+ 1.+ 3.+

P ( A )=3 (65.5 ) (34.5 )2=0.2338

4).- n gerente está a a la espera de la llaada telefónica de 3 de sus clientes para realizar unnegocio. /a probabilidad de que lo llae cualquiera de sus 3 clientes en fora independiente es0.3. Adeás! la probabilidad de realizar el negocio es de 0.' si llaa un cliente! es de 0.4 si

llaan dos clientes y es de 0.6 si llaan los 3 clientes. %i ninguno de los 3 le llaa! no realiza elnegocio.

a =alcule la probabilidad de que realice el negociob %i el gerente realizó el negocio! 8=uántos clientes es ás probable que le $aya llaado;

30% 30%70%80% 20%70%

Mo#to de la

3(65 )(34.5 )2


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a) P ( 'N )= Probabilidad de $ue el gere#terealice el #egoci o

8ea A i el evento en el que llaman i clientes. Donde i6 4, , *,

P ( A i )=C 3

i (0.3)

i(0.7)3−i

9alculamos las probabilidades de que al gerente le llamen , * o clientes. :a que debemos calcular la probabilidad de que se realice el negocio no consideramos el evento en el que ning;n cliente llama, porque en este evento no se realia el negocio.

P ( A 1 )=C 3

1(0.3 )

1

(0.7)2=0.441

P( A

2 )=C 3

2 (0.3

)

2

(0.7

)

1

=0.189

P ( A3 )=C 3

3(0.3)

3

(0.7)0=0.027

9onsideremos el evento B< =l gerente realia el negocio.

P ( B / A1)= Probabilidad de $ue el gere#te realice el #egociocua#do≤llam" 1 clie#te

P ( B / A2 )= Probabilidad de $ue el gere#te realiceel #egociocua#do≤llamaro# 2clie#tes

P ( B / A3 )= Probabilidad de $ue el gere#te realiceel #egociocua#do≤llam aro#3clie#tes

P ( B / A0 )=0 P (B / A1 )=0.2 P ( B / A2 )=0.4 P ( B/ A3 )=0.8

P ( 'N )= P ( A1) . P (B / A1 )+ P ( A2 ). P (B/ A2 )+ P ( A3 ) . P ( B/ A3 )

P ( 'N )=0.441 x 0.2+0.189 x 0.4+0.027 x 0.8=0.1854

b) 9alculamos la probabilidad de que ,* o clientes le llamaron al gerente dado que realió elnegocio.


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P ( A1 ) . P ( B / A 1) P ( 'N )

=0.441 x 0.2

0.1854=0.4757

P ( A2 ) . P (B / A2) P ( 'N )

=0.189 x 0.40.1854

=0.4077

P ( A3 ) . P (B / A3 ) P ( 'N )

=0.027 x 0.80.1854

=0.1165

=s m!s probable que le llame cliente cuando el gerente realia el negocio.

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