1- Una caldera tiene forma de prisma recto de base cuadrada y un volumen de 768 metros cbicos

Juan Fermn Recio Gonzlez

Problemas de Optimizacin

1- Una caldera tiene forma de prisma recto de base cuadrada y un volumen de 768 metros cbicos. Se sabe que la prdida de calor a travs de las paredes laterales vale 100 unidades por metro cuadrado, mientras que a travs del techo es de 300 unidades por metro cuadrado. La prdida por el suelo es tan pequea que puede considerarse nula (=0). Calcula las dimensiones de la caldera para que la prdida de calor sea mnima.

Antes de nada tenemos que tener bien claro los pasos que tiene un problema de optimizacin.

Paso 1:Encontrar dentro del problema la funcin a maximizar o minimizar. sta vendr acompaada de la expresin sea mnima o sea mxima, maximiza o minimiza.Paso 2:Debemos encontrar en el problema una ecuacin que me relaciones las variables que intervienen en la funcin, generalmente vienen dadas por un nmero que representa una frmula conocida.En problemas de geometra me tengo que fijar siempre en tringulos rectngulos para aplicar el teorema de Pitgoras, en reas de figuras planas o volmenes de figuras en el espacio. En nuestro caso: volumen de 768 metros cbicos.Paso 3:En la ecuacin que relaciona las variables, despejamos una de las variables en funcin de la otra y sustituimos en la funcin a maximizar o minimizar. As consigo una funcin en una variable.

Paso 4:Una vez que tengo la funcin en una variable, derivo e igualo a cero la derivada. Resuelvo la ecuacin que me queda, y las soluciones sern los posibles mximos y mnimos.

Para comprobar que los valores son mximos o mnimos basta ver que ocurre a ambos lados del posible mximo o mnimo en cuestin de crecimiento o decrecimiento. Tambin se puede ver con la derivada segunda.

En problemas de la vida real casi siempre se descartan las soluciones negativas.

Paso 5:Sustituyo en la ecuacin que relaciona las variables y ya tengo las soluciones para las variables que intervienen en mi funcin.

Ahora sustituyo dichos valores en la funcin y obtendr cul es el valor mximo o mnimo que alcanza la funcin.Para empezar debemos de hacer un dibujo.

Esta es mi caldera. Como tiene la base cuadrada, el largo y el ancho de la base miden lo mismo, esto es, a.Paso 1:Ahora vamos a ver cul es la funcin a maximizar y cul es la ecuacin que me relaciona las variables a y b.

El texto nos indica cual es la funcin a maximizar o minimizar: la prdida de calor sea mnima.Ahora esta prdida se produce por el techo y por las paredes laterales en unidades por metro cuadrado.

La caldera tiene cuatro caras laterales cuya superficie es ab y tiene un techo cuya superficie es aa.As pues la funcin a maximizar es:, 100 unidades por cada metro cuadrado de cada cara y 300 unidades por cada metro cuadrado del techo, esto es: .Paso 2:Tenemos que buscar en el texto una frase que me relacione las variables y esta es la siguiente:

un volumen de 768 metros cbicos. El volumen de un prisma es alto x largo x ancho. En este caso, , es decir: .

Paso 3:Despejamos una de las variables de la ecuacin obtenida (preferiblemente despejamos b porque despejar a supone trabajar con races) y despus sustituimos en la funcin.

. Sustituimos en . Nos queda : , o lo que es lo mismo: .Paso 4:Derivamos, igualamos a cero y obtenemos los posibles mximos y mnimos.

;

;

;

;

;

;

Formo dos intervalos

Tenemos claro que si decrece y crece, en tenemos un mnimo.

Paso 5:Sustituyo en , que es la ecuacin que relaciona las variables y obtengo que . Calculo la prdida de calor que sufre la caldera sustituyendo y en .

2- Se quiere construir un recipiente cnico de generatriz 10 cm y de capacidad mxima. Cul debe ser el radio de la base?

En este caso hacemos primero el dibujo, que tiene que ser algo parecido a lo siguiente:

Paso 1:El problema nos pide capacidad mxima con lo que la funcin a maximizar en este caso es el volumen del cono, que ya sabemos que es

En este caso tenemos dos variables, la altura y el radio, as pues la funcin a maximizar ser: .

Paso 2:Esta funcin tiene dos variables, R y h, as pues necesitamos una ecuacin que nos relacione las variables. El nico dato que an no hemos usado es generatriz 10 cm y observando el dibujo vemos que la generatriz, 10 cm, forma un tringulo rectngulo con h y R, por lo que la ecuacin que nos relaciona las variables es el Teorema de Pitgoras: . En este caso los catetos son h y R, as pues la ecuacin que relaciona las variables es: , .

Paso 3:Despejamos de la ecuacin y sustituimos en la funcin:

,

Paso 4:Derivamos, igualamos a cero y obtenemos los posibles mximos y mnimos.

;

;

;

;

;

Como estamos ante un problema de la vida real, la solucin negativa no tiene cabida, pues la altura del cono no puede ser negativa. Para ver si es mximo o mnimo:Formo dos intervalos

Tenemos claro que si crece y decrece, en tenemos un mximo.

Paso 5:Sustituyo en , que es la ecuacin que relaciona las variables y obtengo que . Calculo el volumen mximo sustituyendo y en .

3- Se quiere construir una pista de entrenamiento que consta de un rectngulo y de dos semicrculos adosados a dos lados opuestos del rectngulo. Si se desea que el permetro de dicha pista sea de 200m, halla las dimensiones que hacen mxima el rea de la regin rectangular.Lo primero es hacer el dibujo. Este dibujo es el que dan en el examen. Personalmente en vez de poner y, prefiero coger la mitad y llamarlo r como en la figura nueva: Paso 1:El problema nos pide mxima el rea de la regin rectangular con lo que la funcin a maximizar en este caso es el rea de un rectngulo:

En este caso tenemos dos variables, la base y altura ser: .

Paso 2:Esta funcin tiene dos variables, x y r, as pues necesitamos una ecuacin que nos relacione las variables. El nico dato que an no hemos usado es permetro de dicha pista sea de 200m . En este caso el permetro es la pista por fuera, es decir:

As pues el permetro es:

Es decir:

Paso 3:Despejamos x de la ecuacin y sustituimos en la funcin:

,

Paso 4:Derivamos, igualamos a cero y obtenemos los posibles mximos y mnimos.

;

;

;

.

Para ver si es mximo o mnimo:Formo dos intervalos

Tenemos claro que si crece y decrece, en tenemos un mximo.

Paso 5:Sustituyo en , que es la ecuacin que relaciona las variables y obtengo que . Calculo el rea mxima sustituyendo y en

.4- Se desea construir el marco para una ventana rectangular de 6 metros cuadrados de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 25 y el de tramo vertical 3 . Calcula las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mnimo. Cul ser ese coste mnimo?Lo primero es hacer el dibujo. Este dibujo es el de un rectngulo como el de la figura, de base x y de altura y.Paso 1:El problema nos pide el coste del marco sea mnimo con lo que la funcin a maximizar en este caso es coste que supone la construccin de un marco para una ventana rectangular. Dicho coste va a venir dado por la siguiente funcin:

.

Paso 2:Esta funcin tiene dos variables, x e y, as pues necesitamos una ecuacin que nos relacione las variables. El nico dato que an no hemos usado es 6 metros cuadrados de superficie.

La superficie o rea del rectngulo es rea = base altura, as pues .

Paso 3:Despejamos x de la ecuacin y sustituimos en la funcin:

,

Paso 4:Derivamos, igualamos a cero y obtenemos los posibles mximos y mnimos.

;

;

;

; .

Para ver si es mximo o mnimo:Formo dos intervalos

Tenemos claro que si decrece y crece, en tenemos un mnimo.

Paso 5:Sustituyo en , que es la ecuacin que relaciona las variables y obtengo que .

Calculo el coste mnimo sustituyendo e en

.

5- Un tanque de aceite tiene forma de cilindro con forma plana en la base y semiesfera en la parte superior. Si este tanque debe contener un volumen de 1000 metros cbicos y se desprecia el espesor del material, determina las dimensiones que minimizan la cantidad de material necesario.Lo primero es hacer el dibujo. Este dibujo es el de un cilindro normal que en la tapa tiene una semiesfera.Paso 1:El problema nos pide las dimensiones que minimizan la cantidad de material necesario con lo que la funcin a minimizar en este caso es el material necesario para la construccin de un tanque como el de la figura. El material necesario es el rea de cada elemento que recubre dicho tanque. El rea del cilindro recordemos que la sabemos sin mas que recurrir al desarrollo plano de ste, y stas reas son:

, y , con lo que la funcin a maximizar es .

Paso 2:Esta funcin tiene dos variables, r y h, as pues necesitamos una ecuacin que nos relacione las variables. El nico dato que an no hemos usado es un volumen de 1000 metros cbicos. El volumen del tanque de la figura es volumen del cilindro + volumen de la semiesfera, esto es:

, as, la ecuacin que relaciona r y h es: .Paso 3:Despejamos h de la ecuacin y sustituimos en la funcin:

, haciendo cuentas: , sustituimos en la funcin y obtenemos:

Paso 4:Derivamos, igualamos a cero y obtenemos los posibles mximos y mnimos.

; haciendo cuentas obtengo la siguiente expresin ; ; ;

Para ver si es mximo o mnimo:Formo dos intervalos

Tenemos claro que si decrece y crece, en tenemos un mnimo.

Paso 5:Sustituyo en , que es la ecuacin que relaciona las variables y obtengo que

Calculo el rea mnimo sustituyendo y en

.

6- Una hoja de papel debe tener 18 centmetros cuadrados de texto impreso, mrgenes superior e inferior de 2 centmetros de altura y mrgenes laterales de 1 centmetro de anchura. Obtener las dimensiones que minimizan la superficie del papel.

Lo primero es hacer el dibujo. Este dibujo es el de un una hoja de papel con mrgenes.Paso 1:El problema nos pide las dimensiones que minimizan la superficie del papel con lo que la funcin a minimizar en este caso es el rea del rectngulo que forma la hoja de papel.

As pues, la funcin a maximizar es .

Paso 2:Esta funcin tiene dos variables, x e y, as pues necesitamos una ecuacin que nos relacione las variables. El nico dato que an no hemos usado es 18 centmetros cuadrados de texto impreso. Sabiendo que el texto impreso es el recuadro central, tenemos que sus dimensiones son x-2 para la base (a x le restamos 1 centmetro de margen izquierdo y otro centmetro de margen derecho) e y-4 para la altura (a y le restamos 2 centmetros de margen superior y otros 2 centmetros de margen inferior), as pues, la ecuacin que nos relaciona las variables es: .Paso 3:Despejamos x de la ecuacin y sustituimos en la funcin:

, haciendo cuentas: ; , sustituimos en la funcin y obtenemos:

Paso 4:Derivamos, igualamos a cero y obtenemos los posibles mximos y mnimos.

; haciendo cuentas obtengo la siguiente expresin ; ; ; Como estamos ante un problema de la vida real, la solucin negativa no tiene cabida, pues el ancho no puede ser negativo. Para ver si es mximo o mnimo:

Formo dos intervalos

Tenemos claro que si decrece y crece, en tenemos un mnimo.

Paso 5:Sustituyo en , que es la ecuacin que relaciona las variables y obtengo que

Calculo el rea mnimo sustituyendo e en

.

7- Recortando convenientemente en cada esquina de una lmina de cartn de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente, se construye una caja. Calcular x para que el volumen de dicha caja sea mximo.

Lo primero es hacer el dibujo. Este dibujo es el de un un rectngulo con las esquinas dibujadas y el ancho de la esquina es x.Paso 1:El problema nos pide Calcular x para que el volumen de dicha caja sea mximo con lo que la funcin a maximizar en este caso es el volumen de la caja que voy a formar con la lmina de cartn cuyas dimensiones son, Alto = x, Ancho = 50-2x y Largo = 80-2x.

As pues, la funcin a maximizar es .

Paso 2:Esta funcin tiene una variable, as pues, paso directamente al paso 4 y derivo la funcin para obtener los mximos y mnimos.

Paso 4:Derivamos, igualamos a cero y obtenemos los posibles mximos y mnimos.

; haciendo cuentas obtengo como resultados: ; Para ver si cul es el mximo y cul es el mnimo:

Formo tres intervalos

Tenemos claro que si crece y decrece, en tenemos un mximo y en tenemos un mnimo.

Paso 5:Calculo el volumen mximo sustituyendo

.

8- Halla las dimensiones de un depsito abierto superiormente en forma de prisma recto de base cuadrada, de 500 metros cbicos de capacidad y que tenga un revestimiento de coste mnimo.

Lo primero es hacer el dibujo. Este dibujo es el de un un prisma recto de base cuadrada y sin tapa pues es abierto superiormente.Paso 1:El problema nos pide tenga un revestimiento de coste mnimo con lo que la funcin a maximizar en este caso es el rea del prisma que no tiene tapa. Como tiene cuatro caras laterales iguales y de dimensiones xy y una base de dimensin xx, tenemos que la funcin a minimizar es

Paso 2:Esta funcin tiene dos variables, x e y, as pues necesitamos una ecuacin que nos relacione las variables. El nico dato que an no hemos usado es 500 metros cbicos de capacidad. As pues, como sabemos el volumen, tenemos que la ecuacin que relaciona las variables es:

Paso 3:Despejamos y de la ecuacin y sustituimos en la funcin:

, sustituimos en la funcin y obtenemos:

Paso 4:Derivamos, igualamos a cero y obtenemos los posibles mximos y mnimos.

; haciendo cuentas obtengo la siguiente expresin ; ; ; Para ver si es mximo o mnimo:

Formo dos intervalos

Tenemos claro que si decrece y crece, en tenemos un mnimo.

Paso 5:Sustituyo en , que es la ecuacin que relaciona las variables y obtengo que

Calculo el rea mnimo sustituyendo e en

.

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