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Problemas de Métodos de la Física Matemática. Tema 1
Problema realizado por:
Víctor Manuel Sánchez Carrasco
Alejandro Jesús Pérez Aparicio
Víctor Manuel Piris Carnerero
Problema 13
Sea el problema no homogéneo
Halla la función de Green (a) como un desarrollo en serie y (b) en forma cerrada.
Comprueba la equivalencia de ambas expresiones.
a)
La ecuación de autovalores es . La forma genérica de la ecuación de
Sturm-Liouville es
Comparando ambas ecuaciones obtenemos que
; ; ;
Luego la solución será de la forma
Sabemos que
;
;
Si sumamos ambas expresiones
Y si restamos
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De modo que si sustituimos y los respectivos valores de y
En la ecuación
Y llamar A’=(A+B) y B’=i(A-B) de modo que nos queda
Ahora si aplicamos las condiciones de contorno
Sabemos que y
Por otro lado
Si tendríamos la solución trivial
Si
Concluimos que sólo cuando los autovalores del problema de Sturm-Liouville
con las condiciones de contorno son
Existe la siguiente solución
Por simplicidad podemos tomar el valor de la constante ya que sea cual sea el
valor de esta las autofunciones siempre serán las mismas
Utilizando la formula
Que nos permite representar la función de Green en series de autofunciones de las
autofunciones
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Su norma es
Nótese que y sustituyendo obtenemos
b)
Sea la ecuación diferencial de Sturm-Liouville no homogénea
con condiciones de contorno
La forma genérica de la ecuación de Sturm-Liouville es
Comparando ambas ecuaciones obtenemos que y
.
; ; ;
Luego la solución será de la forma
Aplicando la primera condición de contorno
Aplicando la segunda condición de contorno
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Sabemos que la función de Green es
Ahora con la condición de continuidad de en
Y con la condición de discontinuidad en
Nos permitirán calcular
El determinante del denominador es
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Basándonos en la siguiente relación trigonométrica
El determinante es igual a
por lo que la función de Green es
c)
Para comprobar la equivalencia entre ambas expresiones hemos hecho el desarrollo
en serie de Fourier de la función de Green obtenida por construcción, que viene dedo
por
con
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donde
La función peso de este problema es y de modo que
Sustituyendo en la integral y
De modo que las cuatro integrales que hay que resolver son del tipo
Llamando y
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Sacando factor común y
Como se puede ver
Recordando de nuevo la relación trigonométrica
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A demás como ya calculamos antes
Y por tanto los coeficientes de Fourier son
Que si recordamos como era la función de Green por el método de desarrollo en serie
de autofunciones
Como los coeficientes coinciden podemos decir que la función de Green obtenida por
construcción es equivalente a la obtenida por el método de desarrollo en serie de
autofunciones.