Segunda Pijamada Online de Problemas

11 de noviembre de 2013

Recopilacion por Leonardo Martnez

Bienvenido a la segunda Pijamada Online de Problemas!

En este archivo hay dos secciones: Problemas y Retos Grupales. En la seccion de Problemas encontrarasel corazon de la pijamada: 8 problemas de cada una de las areas que se exploran en la Olimpiada deMatematicas. En Retos Grupales hay una serie de desafos para que conjuntamente los desbloqueemos en elFB. La Pijamada es en espritu mas colaborativa que competitiva.

Como pequeno recordatorio, en el FB le haremos as: habra una publicacion por cada problema y en esapublicacion se subiran todos los comentarios con respecto a ese problema. Los comentarios son basicamentede cuatro tipos, y es recomendable etiquetar al inicio del comentario de que tipo es:

Observacion Una idea que resulta despues de trabajar un rato con el problema.

Sugerencia Una idea que no resuelve el problema, pero que ayuda para avanzar hacia la solucion.

Esbozo Un breve esquema de como ira una solucion.

Solucion Una solucion redactada para el problema.

Algunas sugerencias:

Si eres el primero en comentar para un problema, te toca abrir la publicacion como Problema . . . ycomo comentario poner lo que queras poner.

Para buscar si ya hay publicacion de un problema, puedes usar la funcion buscar del grupo (la lupa dearriba a la derecha), o cargar varias publicaciones y usar la funcion buscar de tu navegador (CTRL F).

Un problema contara como resuelto cuando tenga un esbozo de solucion correcto. Sin embargo algunosRetos requieren soluciones completas!

Dentro de cada area los problemas estan aproximadamente en orden de dificultad.

Si hay problema que ya habas visto y te sabes la solucion, ayuda mucho dejar sugerencias.

Fuera del grupo (en el perfil por ejemplo) puedes usar el hashtag #2daPijamadaOMM.

Que padre que andes por aqu. Listo? Pasa la pagina!

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1. Problemas

Algebra

1. Las posibles calificaciones para un examen eran 0, 1, 2, 3, 4. Despues de que se califico, se observo queel numero de estudiantes que obtuvieron 3 puntos fue igual al numero de estudiantes que obtuvieron2 puntos. Ademas, todos consiguieron por lo menos 1 punto. La suma de todos los puntos obtenidospor los estudiantes en el examen fue igual al numero de estudiantes aumentado en 30. Encuentra elnumero de estudiantes que consiguieron por lo menos 3 puntos.

2. Sea a b = a+ b ab. Encuentra todas las ternas (x, y, z) de enteros tales que

(x y) z + (y z) x+ (z x) y = 0.3. Los numeros 1, 2, 3, . . ., 2013 se escriben alrededor de un crculo. Se suman los valores absolutos de

todas las diferencias de numeros que quedaron adyacentes. Cual es la mnima suma que se puedeobtener as?

4. Sean a, b, y c enteros positivos tales que a2 + b2 + 1 = c2. Muestra quea2

+c2

es par. Recuerda que

bxc es el mayor entero menor o igual a x.5. Demostrar que si x, y son numeros reales positivos, entonces

x2 + y2 + 1 > xy2 + 1 + y

x2 + 1.

6. Se sabe que a2 + b2 + (a+ b)2 = c2 + d2 + (c+ d)2. Muestra que a4 + b4 + (a+ b)4 = c4 + d4 + (c+ d)4.

7. Determina la suma de todos los enteros tales que sus dgitos de izquierda a derecha son o bien estric-tamente crecientes, o bien estrictamente decrecientes (por ejemplo 1349, o 987540).

8. Sea g(x) = ax2 + bx + c un polinomio de grado 2 con coeficientes reales (a 6= 0) tal que la ecuaciong(g(x)) = x tiene cuatro soluciones reales distintas.

Demuestra que no existe ninguna funcion f : R R tal que f(f(x)) = g(x) para todo x real.Combinatoria

9. Sea n un entero mayor o igual a 4. Muestra que todo cuadrado se puede dividir en n subcuadrados.

10. Cuantos rectangulos se pueden obtener eligiendo cuatro vertices de un nagono regular?11. En una cuadrcula infinita dos jugadores marcan casillas alternadamente. Uno de ellos usa y el otro. El primero que haga un cuadrado de 2 2 con su smbolo gana. El jugador con el primer turno,puede siempre ganar?

12. En un tablero de 10 10 la mitad de los cuadrados se pintan de negro y la mitad de blanco. Un ladoque sea comun a dos cuadrados se le llama borde si los cuadrados que separa tienen colores distintos.Determina el numero mnimo y maximo de bordes que puede tener un acomodo as.

13. Cuantos numeros de 10 dgitos hay tales que cada uno de los dgitos es 7 u 8 y que ademas no tienendos dgitos 7 juntos?

14. Un Erizo consiste de dos segmentos de longitud uno que son perpendiculares entre s y se cortan ensu punto medio. Leo y David juegan a colocar alternadamente Erizos sobre una mesa circular de radio2013. Los Erizos no pueden salirse de la mesa ni tocar a Erizos que ya esten en la mesa. Pierde el queen su turno ya no pueda colocar un Erizo. Juega primero David.

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a) Muestra que el juego siempre termina, es decir, que en la mesa cabe una cantidad finita de Erizos.

b) Encuentra que jugador tiene estrategia ganadora y di cual es.

15. Cual es la mayor cantidad posible de subconjuntos que se pueden tomar del conjunto {1, 2, . . . , 2n+1}de modo que la interseccion de cualesquiera dos de estos subconjuntos consista de uno o mas numerosconsecutivos?

16. El servicio secreto de la OMM tiene 16 espas en Hidalgo. Cada uno de ellos vigila a alguno(s) de suscolegas. Se sabe que si A vigila a B, entonces B no vigila a A. Tambien sabemos que cualesquiera10 espas pueden ser numerados de modo que el primero vigila al segundo, el segundo al tercero, yas, hasta que el noveno vigila al decimo y el decimo al primero. Muestra que cualesquiera 11 espastambien pueden ser numerados de modo que se vigilen de manera similar.

Geometra

17. Sea ABCD un cuadrilatero con AD = BC y DAB + ABC = 120. Un punto externo P hace queDPC sea un triangulo equilatero. Muestra que APB tambien es equilatero.

18. Sea ABCD un rectangulo de area 1, P , Q, R los puntos medios de los lados BC, CD y AD. Sea Mel punto medio del segmento QR. Determina el area del triangulo APM .

19. En el triangulo ABC la bisectriz del angulo en B corta a AC en D y la bisectriz del angulo en C cortaa AB en E. Sean P y Q los puntos donde la recta DE intersecta al circuncrculo de ABC.

Si AP = AQ, demuestra que el triangulo ABC es isosceles.

20. La circunferencia 1 tiene centro A y dos puntos diametralmente opuestos B y E. La circunferencia2 tiene centro B y radio BA. La circunferencia 3 tiene centro en E y radio EB.

Sea C una interseccion de 1 y 2 y D una interseccion de 2 y 3 (con C y D en lados opuestos dela recta AB).

Muestra que CD corta al segmento AB en razon aurea, es decir, que si G es el punto de interseccion

de estos segmentos, entonces AGGB =1+5

2 .

21. El cuadrilatero ABCD esta inscrito en una circunferencia de radio 1 de modo que la diagonal AC esun diametro y BD = AB. Las diagonales se cortan en P . Se sabe que PC = 25 . Cuanto mide CD?

22. En una semicircunferencia fija, tomamos una cuerda variable KL, pero de longitud constante. M esel punto medio de KL. Sean C y D las proyecciones de K y L sobre la base de la semicircunferencia.Muestra que todos los triangulos CDM que se pueden obtener variando KL son isosceles y semejantesentre s.

23. Las diagonales AC y CE de un hexagono regular ABCDEF son divididas interiormente en los puntosM y N respectivamente, de tal manera que:

AM

AC=CN

CE= r.

y que BMN son colineales. Determina el valor de r.

24. Sea ABC un triangulo acutangulo, escaleno, y sean M , N y L los puntos medios de BC, CA yAB respectivamente. Las mediatrices de AB y AC intersectan a la recta AM en los puntos D y Erespectivamente. Las rectas BD y CE se intersectan en el punto F . Muestra que el cuadrilatero ANFPes cclico.

Teora de numeros

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25. Determina si existe o no un numero natural n tal que la suma de los dgitos de n sea divisible entre 23y la suma de los dgitos de n+ 1 tambien sea divisible entre 23.

26. Determina si existen enteros positivos x, y, z tales que el producto (x+ y)(y + z)(z + x) sea igual a:

a) 6767

b) 7676

c) 6776

En cada caso, si la respuesta es afirmativa, hallar todas las ternas ordenadas (x, y, z) que satisfacen lacondicion.

27. Para un entero positivo k, llamaremos d(k) a su cantidad de divisores y s(k) a la suma de sus dgitos.Un entero n es sorprendente si existe un entero positivo k tal que d(k) = s(k) = n. Cual es el menorentero sorprendente impar mayor que 1?

28. Si k es impar, muestra que 2n+2 divide a k2n 1 para todo natural n.

29. Determina si puedes repartir los numeros del 1 al 81 en un tablero de 9 9 de modo que el productoen todas las filas y columnas sea el mismo.

30. Encuentra todas las parejas de enteros positivos (a, b) para las cuales 2a + 3b es un cuadrado perfecto.

31. Existiran enteros positivos a > b > 1 tales que para cualquier entero positivo k tenemos que existeun entero positivo n para el cual an+ b es la kesima potencia de un entero?

32. Para un entero positivo n denotamos con (n) a la suma de los divisores positivos de n y (n) elnumero de enteros positivos menores o iguales a n que son primos relativos con n. Determina si elconjunto de los n tales que (n)(n) es un cuadrado perfecto es finito o infinito.

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2. Retos grupales

Aqu hay algunos retos grupales que se iran desbloqueando conforme vayan cumpliendo los requisitos.Cada vez que se cumpla alguno, habra una publicacion especial.

Calentamiento Resolver 3 problemas

Cardano Resolver 3 problemas de algebra

Emmy Noether Resolver 5 problemas de algebra

Galois Resolver 7 problemas de algebra

Turan Resolver 3 problemas de combinatoria

Vera Sos Resolver 5 problemas de combinatoria

Erdos Resolver 7 problemas de combinatoria

Euclides Resolver 3 problemas de geometra

Alicia Stott Resolver 5 problemas de geometra

Hilbert Resolver 7 problemas de geometra

Wiles Resolver 3 problemas de teora de numeros

Sophie Germain Resolver 5 problemas de teora de numeros

Fermat Resolver 7 problemas de teora de numeros

Terence Tao Terminar los problemas numerados con numeros primos

Penrose Se subieron dibujos para los 8 problemas de geometra

Leslie Lamport Se hacen PDFs escritos en LaTeX que colectivamente tengan soluciones completasde 8 problemas

Fotografos Se suben soluciones completas escritas a mano y fotografiadas/escaneadas para 8 problemas

Problema popular Un problema es compartido 8 veces o mas

Problema chevere Un problema recibe 16 likes o mas

Solucion Pro Una solucion/esbozo recibe 12 likes o mas

Voz interior Una excelente sugerencia para un problema

Generalizador Una buena generalizacion de un problema de la lista

Bibliotecario Citar correctamente la fuente original de 4 problemas

Safe Se resuelve un problema no resuelto en los ultimos 8 minutos de la pijamada

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