coleccixn problemas matemáticas ii uv

COLECCIN DE EJERCICIOS Y

PROBLEMAS DE MATEMTICAS II

GRADO EN A.D.E.

GRADO EN ECONOMA

GRADO EN F.Y.C.

CURSO ACADMICO 2012-13

Coleccin ejercicios y problemas Matemticas II

Curso Acadmico 2012-13

1

NDICE

TEMA 1.- INTRODUCCIN A LA OPTIMIZACIN 2

TEMA 2.- PROGRAMACIN NO LINEAL 6

TEMA 3.- INTRODUCCIN A LA PROGRAMACIN LINEAL 14

TEMA 4.- MTODO DEL SIMPLEX 19

TEMA 5.- DUALIDAD EN PROGRAMACIN LINEAL 26

TEMA 6.- ANLISIS DE SENSIBILIDAD Y POST-OPTIMIZACIN 33

TEMA 7.- PROGRAMACIN LINEAL ENTERA 40



2

TEMA 1.- INTRODUCCIN A LA OPTIMIZACIN

1.- Identifica en el siguiente problema de Programacin Matemtica el conjunto de variables, la funcin objetivo, el conjunto de restricciones, las

condiciones de signo y el conjunto de oportunidades.

a) min x+y

s.a. 2x+y3

x,y0

b) max x2+y2+z2

s.a x+y6

x+3y8

x+2y+z20

x,y0

2.- Dibuja, para las siguientes funciones dos curvas de nivel.

a) f(x,y)=3x-2y b)g(x,y)=x2+y2 c)h(x,y)=x+5y

3.- Dibuja los siguientes conjuntos y di en cada caso si son o no conjuntos

cerrados y si son o no conjuntos acotados.

a) S={(x,y)2 / x+y6, 2x+y3, x0,y0}

b) S={(x,y)2 / x+y6, x+2y3,y0}

c) S={(x,y)2 / x2+y29}

4.- Resuelve grficamente los siguientes problemas

I) Max x+y

s.a: 2x+y 3

x+2y 3

x+y 6

x0,y0

II) Max 2x+3y

s.a: x+2y 10

x 20

x0,y0

III) Max x-y

s.a: 3x+2y 5

x0 , y0

IV) Max x2 + y

2

s.a: x + y = 1

V) min x2 + y

2

s.a: x + y = 1

VI) Max x+ y

s.a: x+4y 5

x0 , y0

5.- Transforma los problemas del problema 4 a forma cannica (objetivo de

maximizar con restricciones menor o igual u objetivo de minimizar con restricciones mayor o igual y variables no negativas) y a forma estndar

(restricciones de igualdad y variables no negativas)



3

6.- Pon un ejemplo en cada uno de los casos:

a) Un problema que tenga solucin ptima cuyo conjunto de oportunidades sea acotado.

b) Un problema no acotado cuyo conjunto de oportunidades sea acotado.

c) Un problema que tenga solucin ptima cuyo conjunto de oportunidades sea no acotado.

d) Un problema no acotado cuyo conjunto de oportunidades sea tambin no acotado.

7.- Demuestra tericamente la existencia de ptimo global para los siguientes problemas:

I) Max x+y

s.a: 3x+y 4

x+y 5

x0,y0

II) Max x2+3y2

s.a: (x-1)2+(y-3)2

x0,y0

III) min x-y

s.a: 3x+2y 5

x0 , y0

8.- Para los siguientes problemas encuentra, si la hay, una solucin factible

interior y una solucin factible frontera.

I) min x-y

s.a: x+y 5

x0 , y0

II) Max x+y

s.a: x 4

x0,y0

Max x+3y

s.a: (x-2)2+(y-1)2

x0,y0

I)min x+3y

s.a: y x2

x0,y0

9- Aplica el teorema Local-Global en cada uno de los siguientes casos: a) Sabemos que (11,10) es un mnimo local del siguiente problema:

min x2+y2+2x+4y+10 s.a. x+y=21

b) Sabemos que (3,3) es un mximo local del siguiente problema: Max x+y+14

s.a. x+y6

x0 c) Sabemos que (7,0) es un mnimo local del siguiente problema:

Min x2-y2 s.a. x+5y7

x,y0

10.- Sea P un problema de Programacin Matemtica y sea P otro problema que resulta de aadirle a P una restriccin ms. Supongamos que

su objetivo es maximizar.

(a) Cul ser mayor, el conjunto de oportunidades de P o el de P?. (b) Cul ser mayor, el ptimo de P o el de P? (c) Si .x es una solucin factible de P, lo ser tambin de P?, y al revs? (d) Si .x* es el ptimo de P, lo ser tambin de P?



4

11.- Supn que hemos resuelto un problema de Programacin con

restricciones y hemos encontrado un ptimo global. Si eliminamos las restricciones, el problema tendr necesariamente ptimo? Y si lo tiene,

ser mejor o peor que el problema con restricciones?, puede ser el mismo?

12.- Un problema de maximizar tiene solucin ptima, y hemos encontrado

una solucin en la que la funcin objetivo vale 25. Podemos afirmar que el valor ptimo de la funcin objetivo es mayor que 25?, y mayor o igual?

13.- Calcula, si es posible:

a) {1,3,6} {2,5,6}

b) {1,3,6} {2,5,6}

c) {(0,1),(3,4)} {(0,4)}

d) {(0,2,-6),(8,-1,4,8)} 4

e) {(x,y)2 / x2+y29} {(x,y)2 / x2+y214}

f) {(x,y)2 / x2+y29} {(x,y,z)3 / x2+y214}

g) {(x,y)2 / x+2y4} {(x,y)2 / 3x+y3}

h) {x / x 14} {y / y3}

i) ([3,+[ [2,4]) {x / x 14}

14.- Aade los smbolos necesarios para que sean ciertas las siguientes expresiones. Puedes utilizar , , , , , , < , >, .

a) 1 {6,1,4}

b) [2,8] [-3,8] [2,12]

c) {x / 3 x 18} = [3,18]

d) {(x,y)2 / x + y 13, 2 x 3 y13 } =

= {(x,y)2 / x + y 13 } {(x,y)2 / 2 x 3 y13 }

e) [-2,9] {x / 3 x 9} [-2,7]

f) { x / x 13} [2, [

g) [2,8] [9,14] =

15.- Estudia grficamente si los siguientes conjuntos son conjuntos

convexos:

a) {(x,y)2 / x+2y4}

b) {(0,1),(3,4)}

c) {(3,-1)}

d) {(x,y)2 / -5x+y=4}

e) {(x,y)2 / x+y4, x0, y0}

f) {(x,y)2 / x2+y24, y0}



5

g) {(x,y)2 / x y2}

16.- Estudia si las siguientes funciones son convexas y/o cncavas:

a) f(x,y)=x2+y

b) f(x,y,z)=x-3y+2z

c) f(x,y)=-4x2-y2

d) f(x,y)=3x2+2y2+4xy-6

e) f(x,y,z) = 3x2+2y2+3z2-2xy+4xz

f) f(x,y,z) = -4x-2y2+xy+yz

g) f(x,y,z) = -2x-y2-3xy-5yz

h) f(x,y) = ln(x+y)

i) f(x,y) = ex+y

17.- Utilizando las propiedades de los conjuntos convexos estudia si los siguientes conjuntos son o no convexos:

a) {(x,y)2 / x+2y4, 3x-2y 7}

b) {(x,y)2 / 3x2+2y2+4xy-6 30}

c) {(x,y)2 / -4x2-y2 7}

d) {(x,y)2 / ln(x+y) 25, -5x+3y 10, y 0}

e) {(x,y)2 / 3x2+2y2+4xy-6 30}{(x,y)2 / ln(x+y) 25}



6

TEMA 2.- PROGRAMACIN NO LINEAL

1. Escribe las condiciones de Kuhn y Tucker de los siguientes problemas:

I)

II)

III)

IV)

V)

2. Calcula todos los puntos de Kuhn y Tucker de los siguientes

problemas:

I)

II)

III)

3. Analiza la cualificacin de restricciones en los siguientes conjuntos de oportunidades:

I) { }

II) { }

III) { }

IV) { }

4. Para cada uno de los siguientes problemas, enuncia cmo debe ser

cada una de las funciones f, g1 y g2 (cncava, convexa o lineal) para que se cumplan las hiptesis del teorema de suficiencia de Kuhn y

Tucker:

I)

II)

III)

IV)

5. Analiza las hiptesis del teorema de suficiencia de Kuhn y Tucker en

los siguientes problemas y obtn la conclusin adecuada en caso de disponer de un punto de Kuhn y Tucker en cada uno de ellos:

I)

II)

III)

IV)

V)



7

6. En los problemas del ejercicio anterior en los que no se verifican las

hiptesis del teorema de suficiencia de Kuhn i Tucker, analiza las hiptesis del teorema alternativo de suficiencia y obtn la conclusin

adecuada en caso de disponer de todos los puntos de Kuhn y Tucker.

7. Aplica las condiciones de Kuhn y Tucker en los siguientes problemas de programacin clsica y resulvelos:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

8. Para el problema de PNL:

a) Analiza la cualificacin de restricciones y obtn la conclusin que

corresponda.

b) Escribe las condiciones de K-T.

c) Estudia si (2,1) y (0,0) son puntos de Kuhn y Tucker.

d) Analiza las hiptesis del teorema de suficiencia de Kuhn y Tucker y obtn la conclusin que corresponda.

9. Dado el problema de PNL:

a) Escribe las condiciones de Kuhn y Tucker.

b) Demuestra que el punto (-2,0) es un punto de Kuhn y Tucker.

c) Estudia si (-2,0) es mnimo global.

10. Para el siguiente problema:



8


b) Comprueba si los puntos (2,-6) y (8,0) verifican dichas condiciones.

c) Analiza el teorema de suficiencia de K-T y deduce la consecuencia

que se derive sobre si los puntos anteriores son ptimos globales.

11. Dado el problema:

a) Representa grficamente el conjunto de oportunidades

b) Calcula el nico punto de Kuhn y Tucker sabiendo que satura la

segunda restriccin.

c) Estudia si es mximo global.

12. Para el siguiente problema de PNL:


b) Estudia si (0,3) s un punto de Kuhn y Tucker.

c) Analiza el cumplimiento del teorema de suficiencia de Kuhn y Tucker

y deduce la consecuencia que corresponda.

13. Dado el siguiente problema:


b) Estudia si (0,0) cumple esas condiciones.

c) Comprueba que (1,-1) tambin las cumple.

d) Puedes utilizar la condicin suficiente de Kuhn y Tucker para concluir que son mnimos globales?

e) Explica razonadamente por qu los dos puntos no pueden ser mnimos globales a la vez.



9

14. Considera el problema:

a) Escriu les condicions de Kuhn i Tucker.

b) Calcula el punt de Kuhn i Tucker sabent que satura les dues primeres

restriccions i no la tercera.

c) Utilitza la condici suficient de Kuhn i Tucker per comprovar que el punt anterior s un mnim global.

15. Dado el siguiente problema de programacin no lineal:

a) Podemos asegurar que la solucin ptima (en caso de existir) va a

cumplir las condiciones de punto de Kuhn y Tucker?

b) Comprueba que el punto (0, 3/2, 1) cumple las condiciones de Kuhn y Tucker, indicando el valor de los multiplicadores asociados.

c) Demuestra que el punto (0, 3/2, 1) es mnimo global del problema.

d) Si el trmino independiente de la primera restriccin se disminuyera

1/6 Puedes indicar aproximadamente cul ser el valor ptimo de la funcin objetivo del nuevo problema?


a) Podemos asegurar que la solucin ptima del problema (en caso de existir) va a cumplir las condiciones de punto de Kuhn y Tucker?

Razona tu respuesta.

b) Escribe las condiciones de punto de Kuhn y Tucker.

c) Estudia si los puntos (2,-4,0) y (6,-1,2) verifican las condiciones de

Kuhn y Tucker, calculando (en su caso) el valor de los multiplicadores.

d) Qu puedes afirmar sobre la optimalidad de los puntos (2,-4,0) y (6,-1,2)?



10

e) El problema es acotado, si el trmino independiente de la primera

restriccin pasase a valer 10.25; indica aproximadamente cul sera el valor ptimo del nuevo problema.


a) Podemos asegurar que la solucin ptima del problema (en caso de existir) va a cumplir las condiciones de punto de Kuhn y Tucker?

Razona tu respuesta.

b) Escribe las condiciones de punto de Kuhn y Tucker.

c) Estudia si los puntos (2,-4,0) y (6,-1,2) verifican las condiciones de Kuhn y Tucker, calculando (en su caso) el valor de los multiplicadores.

d) Qu puedes afirmar sobre la optimalidad de los puntos (2,-4,0) y (6,-1,2)?

e) El problema es acotado, si el trmino independiente de la primera restriccin pasase a valer 9.75; indica aproximadamente cul sera el valor ptimo del nuevo problema.

18. Donat el segent problema del consumidor:


b) Comprova si (2, 8) s punt de Kuhn i Tucker.

c) Estudia si (2, 8) s el mxim global del problema del consumidor.

19. Donat el segent problema de minimitzar els costos duna empresa:


b) Calcula lnic punt de Kuhn i Tucker del problema sabent que z = 16.

c) Estudia si eixe punt s el mnim global del problema.

d) Si la producci mnima que sexigix en la primera restricci passa de 92 a 90, calcula aproximadament la variaci que es produiria en els

costos ptims.



11

20. La funcin de costes de una empresa que disea x y mantiene y

pginas web viene dada por:

La empresa dedica exactamente 89 horas semanales al diseo y mantenimiento de pginas web, consume 7 horas semanales por pgina

web diseada y 15 horas semanales por el mantenimiento de una pgina web. En la actualidad disea semanalmente 2 pginas web y mantiene 5.

a) Razona si la empresa est minimizando sus costes. El mnimo es global? En qu condiciones econmicas puedes garantizar que el

mnimo obtenido es global?

b) Razona (sin resolver de nuevo el problema) cul sera aproximadamente el coste ptimo si la empresa dedicara

exactamente 90 horas semanales al diseo y mantenimiento de pginas web.

21. Considera el problema siguiente:

donde B es la funcin de beneficios de una empresa y las variables x, y representan las cantidades producidas de dos artculos A y B.

a) Podemos asegurar que la solucin ptima (que todava no hemos calculado) cumple las condiciones de Kuhn y Tucker?

b) Estudia si la solucin (x,y) = (5,0) cumple dichas condiciones.

c) Enuncia la condicin suficiente de Kuhn y Tucker para problemas de maximizacin y utilzala para demostrar que el punto anterior es un

ptimo global del problema.

d) Razona qu ocurrir con los beneficios por cada unidad del producto

B que decida fabricar.

22. Dado el problema bsico del consumidor:

Se pide:

a) Analiza el problema desde el punto de vista de la programacin no

lineal: existencia de solucin, cualificacin de restricciones y aplicabilidad de los teoremas local-global y de suficiencia de Kuhn y Tucker.

b) Escribe las condiciones de Kuhn y Tucker.



12

c) Demuestra que si el consumidor es racional, es decir, prefiere ms a

menos (utilidades marginales estrictamente positivas), la solucin de las condiciones de Kuhn y Tucker supondr que los consumos

ptimos agotan totalmente la renta.

d) Resuelve el problema si , M=180 y precios p1=5 y p2=3.

23. Marca las frases correctas:

Saber que un punto es regular y de Kuhn y Tucker sirve para afirmar

que es ptimo global.

Saber que un punto es regular y no es de Kuhn y Tucker sirve para descartarlo como ptimo global.

Saber que un punto no es regular sirve para descartarlo como ptimo global.

Saber que un punto no es de Kuhn y Tucker sirve para descartarlo

como ptimo global.

Saber que un problema cumple la cualificacin de restricciones sirve para que nicamente los puntos de Kuhn y Tucker puedan ser ptimos

globales.

Saber que un problema cumple la cualificacin de restricciones sirve

para afirmar que el mejor de los puntos de Kuhn y Tucker es el ptimo global.

Saber que un problema no cumple el teorema de Weiertrass sirve

para decir que ningn punto de Kuhn y Tucker es ptimo global.

Saber que un problema cumple las hiptesis del teorema de suficiencia de Kuhn y Tucker sirve para afirmar que todo punto de Kuhn

y Tucker es ptimo global.

Saber que un problema no cumple las hiptesis del teorema de

suficiencia de Kuhn y Tucker sirve para afirmar que ningn punto de Kuhn y Tucker es ptimo global.



13

24. Relaciona cada enunciat de la primera columna amb la conseqncia o

conseqncies de la segon columna:

Es compleix la qualificaci de

restriccions

El problema t ptim global

Es compleix el teorema de

Weierstrass

S s acotat

Es compleix el teorema de suficincia

de Kuhn i Tucker

Lptim global s un punt de KT

S s convex Tot punt de KT s ptim global



14

TEMA 3.- INTRODUCCIN A LA PROGRAMACIN LINEAL

1. Resuelve grficamente los siguientes problemas, obteniendo la solucin ptima e indicando de qu tipo es. Indica si el conjunto de

oportunidades es acotado o no.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2. Razona si es posible que se den cada una de las siguientes situaciones. Para aquellas que puedan darse indica un problema lineal que la

cumpla.

a) Problema Lineal no acotado con conjunto de oportunidades acotado.

b) Problema Lineal no acotado con conjunto de oportunidades no acotado.

c) Problema Lineal con solucin(es) ptima(s) con conjunto de

oportunidades acotado.

d) Problema Lineal con solucin(es) ptima(s) con conjunto de

oportunidades no acotado.

3. Expresa los siguientes problemas en forma estndar y cannica:

a)

b)

c)

Cuntas variables bsicas o distintas de cero tiene como mximo una solucin factible bsica de cada uno de estos problemas?



15

4. Dado el siguiente problema de PL:

Razona cul o cules de los siguientes puntos son SFB.

a) (10,10,0,0,0) c) (20,0,5,5,0) e) (20,0,5,0,0)

b) (0,0,0,30,20) d) (0,0,30,0,20)

5. Dado el siguiente problema de PL, calcula todas sus soluciones factibles bsicas e indica la base que tiene asociada cada una de ellas.

6. Dado el siguiente problema de programacin lineal:

a) Transforma el problema a forma estndar y escribe la matriz tcnica

A.

b) Calcula una solucin factible bsica cualquiera.

7. Dado el siguiente problema:

a) Determina la solucin factible bsica asociada a xB=(x1, x2).

b) Calcula dos soluciones factibles bsicas ms.

c) Calcula una solucin factible pero no bsica.



16

8. Sea el siguiente problema de Programacin Lineal:

Calcula:

a) Una solucin factible bsica no degenerada, indicando la base

asociada.

b) Una solucin factible bsica degenerada, indicando la o las bases asociadas.


a) Dibuja el conjunto de soluciones posibles. Identifica grficamente todas las soluciones posibles bsicas de este problema e indica el valor de las variables (x, y, s1, s2) en cada una de ellas.

b) Resuelve el problema.

10. Un cierto problema lineal tiene el siguiente conjunto factible:

a) Enumera todas las SFB de dicho problema

b) Si se sabe que la funcin objetivo de dicho problema es 4x-y, se puede calcular cul es la solucin ptima? Si la respuesta es afirmativa, indica cul es. Si la respuesta es negativa, razona qu

debera ocurrir para que s se pudiese.

c) Contestar a las mismas preguntas del apartado b), pero suponiendo

que la funcin objetivo del problema fuera x+y.

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5



17

11. Un problema lineal de maximizar en forma estndar tiene cuatro soluciones factibles bsicas que llamaremos SFB1, SFB2, SFB3 y SFB4.

La funcin objetivo en dichas soluciones factibles bsicas toma los valores: z1 = 3, z2 = 4, z3 = 8, z4 = 6, respectivamente. Explica si podemos o no asegurar que SFB3 es la solucin ptima del problema.

12. Considera el problema

a) Determina si existe una solucin factible bsica con variables bsicas

x, y, z.

b) Comprueba si (1/2, 3, 0, 9/2), (1, 1, 1, 4), (0, 5,1, 5) son soluciones factibles bsicas.

c) Calcula todas las soluciones factibles bsicas y el valor de la funcin objetivo en cada una de ellas.

d) Justifica que el problema tiene solucin ptima y calclala.

13. La figura representa el conjunto de oportunidades de un problema de

programacin lineal en forma cannica (contenido en el cuadrante x > 0, y > 0).

a) Cuntas variables bsicas tiene una solucin factible bsica?

b) De los tres puntos sealados en la figura, di cules son soluciones factibles bsicas y cules no.

c) Di cules de los tres puntos pueden ser ptimos del problema y

cules no.

d) Puede ser x una variable no bsica en alguna solucin?

e) El problema puede ser no acotado?, puede ser infactible?, puede tener soluciones de arista?, y de arista infinita?



18

14. Sea F(x,y,z) = x+y+2z la funcin objetivo de un problema lineal que

queremos maximizar. Las 3 variables son no negativas.

a) Aade una nica restriccin de tal manera que el problema tenga

solucin nica o de vrtice. Calcula todas las soluciones factibles bsicas y el valor de la funcin objetivo en cada una.

b) Aade una nica restriccin de tal manera que el problema tenga

solucin mltiple o de arista. Calcula todas las soluciones factibles bsicas y el valor de la funcin objetivo en cada una.

c) Aade una nica restriccin de tal manera que el problema sea no acotado.

d) Aade una nica restriccin de tal manera que el problema sea

infactible.

Nota: las restricciones no se acumulan en cada apartado.



19

TEMA 4.- MTODO DEL SIMPLEX

1. Dada la siguiente tabla del Simplex para un problema de maximizar

1 6 2 1 2 1

x1 x2 x3 x4 x5 x6

1 x1 1 1 0 0 4 1 2

2 x3 0 1 1 0 2 2 1 1 x4 0 -2 0 1 5 0 1

zj 1 1 2 1 13 5 5

wj 0 5 0 0 -11 -4

a) Cules son las variables bsicas y las no bsicas?

b) Cul es la solucin correspondiente a esta tabla? Cunto vale la funcin objetivo en esta solucin? Es una solucin factible bsica?

c) Verifica que dicha tabla cumple las condiciones que satisface cualquier tabla del Simplex.

d) Qu efecto tiene sobre la funcin objetivo introducir en la base cada una de las variables no bsicas?

e) Razona que la tabla no es ptima. Indica la variable de entrada, la

variable de salida y el elemento pivote.

f) Calcula la tabla siguiente. Verifica que la nueva tabla cumple las

condiciones que satisface cualquier tabla del Simplex.

2. Responde a los apartados de la pregunta anterior para la siguiente

tabla del Simplex de un problema de maximizar:

5 1 2 0 0

x y z s1 s2

5 x 1 0 -1/3 2/9 5/9 0 1 y 0 1 1/3 1/9 -2/9 2

zj 5 1 4/3 11/9 23/9 2

wj 0 0 2/3 -11/9 -23/9

3. Dadas las siguientes tablas del Simplex para problemas de maximizar indica si son ptimas y en caso de serlo indica el tipo de solucin

ptima. Indica, cuando sea posible, la solucin ptima mostrada en la tabla. Si hay soluciones ptimas alternativas, calclalas.

4 4 6 0 0

x y z s1 s2

4 x 1 4 2 1 0 5 0 s2 0 -6 -5 -2 1 10

zj 4 16 8 4 0 20 wj 0 -12 -2 -4 0



20

4 -5 3 0 0

x y z s1 s2

3 z 1/3 -

2/3 1 1/3 0 2

0 s2 6 -5 0 2 1 24

zj 1 -2 3 1 0 6

wj 0 -3 0 -1 0

-1 1 0 0

x y s1 s2

-1 x 1 0 -1/2 -1/2 1/2

1 y 0 1 1/2 -1/2 1/2

zj -1 1 1 0 0

wj 0 0 -1 0

4 8 1 0 0

x y z s1 s2

0 s1 -3/2 0 5/2 1 0 10 8 y -1/2 1 1/2 0 0 1

0 s2 -1/2 0 -1/2 0 1 0

zj -4 8 4 0 0 8

wj 8 0 -3 0 0

4. Dados los siguientes problemas de maximizar, se muestra una tabla

del smplex asociada a cada uno:

Max 2x1+4x2+8x3

s.a: 2x1+2x2+4x38

2x1+x2+2x36

x1,x2 ,x3 0

2 4 8 0 0

x1 x2 x3 s1 s2

4 x2 1 1 2 1/2 0 4

0 s2 1 0 0 -1/2 1 2

zJ 4 4 8 2 0 16 wj -2 0 0 -2 0

Max 2x+3y

s.a: x+y+z = 4

y+z 2

x,y ,z 0

2 3 0 0

x y z s

2 x 1 0 0 -1 2

0 z 0 1 1 1 2

zJ 2 0 0 -2 4 wJ 0 3 0 2



21

Max -3x-4y

s.a: 2x+3y 10

x+3y 5

x,y 0

-3 -4 0 0

x1 x2 s

1

s2

0 s1 1 0 1 1 5

-4 x2 1/3 1 0 -1/3 5/3

zJ -4/3 -4 0 4/3 -20/3 wJ -5/3 0 0 -4/3

Para cada una de las tablas anteriores: Es la tabla ptima? Indica el valor de las variables y de la funcin objetivo en la solucin factible bsica que

representa. Indica las variables bsicas y no bsicas en dicha solucin. Indica la base asociada y calcula su inversa. Se encuentra dicha inversa en

la tabla?


Max 2x+2y+10

s.a: 4x+2y16

x+2y8

x,y0

Con cuntas tablas diferentes podra empezar el algoritmo del smplex como mucho? Plantea dos de ellas e indica en cada una, si es

procedente, la variable de entrada, la variable de salida, la base asociada y el elemento pivote.


Max x1+3x2

s.a: x1+x2 6

-x1+2x2 8

x1,x2 0

a) Resulvelo por el mtodo Smplex.

b) Dibuja el conjunto de oportunidades del problema. Identifica en el dibujo la solucin factible bsica que representa cada tabla calculada en el apartado anterior.

7. Resuelve por el mtodo Smplex:

Min x1+2x2+4x3

s.a: x1+x2 10

x1+2x2+x3 14

x10 , x20 , x3 libre



22

8. Dado el problema de PL:

Max 2x1+x2

s.a: -x1+x22

x1+2x26

2x1+x26

x1,x20

y sabiendo que en el ptimo x1=2 y x

2=2, calcula la tabla ptima del

Smplex sin realizar ninguna iteracin. De qu tipo es la solucin?

9. Dado el problema de PL

Max x1+x2

s.a: -x1+x2 2

x2 4

x1,x20

Obtn, sin iterar, la tabla del Smplex en la cual las variables bsicas son x

2 y s

2. Es la tabla ptima? En caso afirmativo, indica la solucin y

el valor de la funcin objetivo. En caso negativo, realiza una iteracin ms.

10. Dado el problema de PL:

Max 2x1-x2+x3

s.a: x1+x2+x36

-x1+2x24

x1,x2,x30

y sabiendo que en el ptimo x1=6 y x

2= x

3=0, calcula la tabla ptima

del Smplex sin realizar ninguna iteracin. De qu tipo es la solucin?


Min x+4y

s.a: x+3y=4

-1y8

x 0

Demuestra que el punto (x, y+, y-, s1, s2) = (7,0,1,9,0) es solucin factible bsica del problema en estndar y obtn la tabla del Smplex

asociada. Estudia si esta tabla es ptima o final. En caso afirmativo, escribe la solucin del problema lineal original y en caso negativo indica

qu variable entra, qu variable sale y el elemento pivote en la prxima iteracin.



23

12. Considera el problema lineal:

Max 5x+2y

s.a: -x+y 3

x+y = 4

2x+y 2

x,y 0

a) Escribe el problema artificial con el mnimo nmero de variables artificiales necesarias asociado al problema del enunciado.

b) Resuelve el problema por el mtodo de las penalizaciones.

c) Es imprescindible aadir variables artificiales para resolver el problema? En caso negativo, indica cul podra ser la tabla inicial del

smplex.


Max 3x+4y+10z

s.a: 2x+y +z = 1

2x-z = 2

2x-2z 2

x,y,z 0

a) Escribe el problema artificial con el mnimo nmero de variables

artificiales necesarias asociado al problema del enunciado.

b) Plantea la primera tabla del Smplex sociada al problema del apartado anterior y realiza una iteracin del Simplex a partir de ella. Estudia si

la tabla obtenida es ptima. En caso afirmativo, justifica el tipo de solucin del problema original y en caso negativo indica cul es la

variable que entra y cul es la que sale.

c) Cmo hubiramos resuelto el problema original por el mtodo smplex sin usar el mtodo de las penalizaciones?


Max -20x-30y-16z

s.a: 5/2x+3y +z 3

-x-3y-2z -4

x,y,z 0

a) Escribe el problema artificial con el mnimo nmero de variables artificiales necesarias asociado al problema del enunciado.

b) Plantea la primera tabla del Smplex sociada al problema del apartado

anterior.



24

15. La ltima tabla del smplex correspondiente a un determinado PL de

maximizar escrito en forma cannica es:

3 3 0 0

x y s1 s2

3 x 1 0 -1/3 4/3 4

3 y 0 1 1/3 -1/3 1

zj 3 3 0 3 15

wj 0 0 0 -3

a) Existe solucin? Es nica? Si la solucin es nica indica cul es y, si la solucin no es nica, obtn adems las soluciones alternativas.

b) Calcula la matriz A. Calcula el vector b de trminos independientes. Escribe el problema original.

16. Qu valores de la siguiente tabla seguro estn mal?

x y s1 s2 s3

s1 1/3 0 1 -1 1 -2

y 0 2 0 -1/3 2/3 2

x 1 0 0 2/3 -1/3 2

Zj 1 2 0 0 1 6

Wj 0 1 0 0 -1

17. Estamos resolviendo un problema lineal de maximizacin mediante el

mtodo smplex. Explica qu conclusin podemos extraer en cada uno de los casos siguientes:

a) Tenemos una variable no bsica cuyo wj>0, pero ninguna de las

variables bsicas cumple el criterio de salida. b) Estamos en la tabla ptima y una variable no bsica tiene

rendimientos marginales nulos. c) Estamos en la tabla ptima y todas las variables no bsicas tienen

rendimientos marginales menores que cero estrictamente.

18. Pon un ejemplo de un problema lineal que tenga al menos una

restriccin de igualdad y no necesite variables artificiales para que la matriz bsica de la primera tabla pueda ser la identidad.

19. Cuando en un problema de programacin lineal de maximizar se llega a una tabla con todos los wj0 y una variable artificial es bsica, qu

se sabe sobre la solucin del problema?



25

20. Consideremos un problema lineal de maximizar. Contesta a las

siguientes preguntas:

a) Qu signo deben tener el valor de las variables bsicas en una tabla

cualquiera del smplex? b) Qu signo tiene que tener el valor de la funcin objetivo en una

tabla cualquiera del smplex?

c) Se conoce a priori el valor de algn wj en una tabla cualquiera del smplex?

d) Siempre podremos construir al menos una tabla del smplex? e) Cundo la inversa de la base (B-1) asociada a una cierta tabla se

podr encontrar en dicha tabla? Dnde estar?

f) Cundo la primera caja de la tabla del Smplex contendr la matriz identidad? Dnde estar?

g) Cundo la primera caja de la tabla del Smplex ser la matriz A?



26

TEMA 5.- DUALIDAD EN PROGRAMACIN LINEAL

1. Plantea el problema dual asociado de:

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

Problema 6

Problema 7

Problema 8

2. Resuelve grficamente los siguientes problemas:

a)



27

b)

3. Plantea el problema dual del siguiente problema de programacin

lineal:

Sin usar el mtodo Simplex, se puede afirmar algo acerca de la solucin ptima del problema dual?

4. Plantea el problema dual del siguiente problema de programacin lineal:

Resuelve el problema dual sin usar el mtodo Simplex.

5. Escribe un problema de programacin lineal cuyo problema dual sea infactible. Justifica la respuesta sin plantear el problema dual.

6. Sabemos que (0,6,0) es la solucin ptima de

Plantea el problema dual y calcula su solucin ptima (variables principales, variables de holgura y funcin objetivo).





28


Plantea el problema dual y calcula su solucin ptima (variables

principales, variables de holgura y funcin objetivo).

9. Sabemos que (0,11/3,-2/3) es la solucin ptima de


10. Sabemos que (0,4,-4) es la solucin ptima de


11. Dado un problema lineal de maximizar en forma cannica cuya solucin es:

(x1, x

2, x

3, s

1, s

2)=(1,0,3,0,0)

F(1, 0, 3)=20

(wx1, wx2, wx3, ws1, ws2)=(0,-2,0,-2,-4)

Indica las variables bsicas y las no bsicas del ptimo dual, as como su valor, los wj duales y el valor de la funcin objetivo dual en el

ptimo.

12. Para los siguientes problemas:

a) Plantea el problema dual.

b) Obtn la solucin ptima dual completa (variables principales y de holgura, rendimientos marginales y funcin objetivo).



29

c) Indica de qu tipo es el ptimo dual (degenerada o no degenerada;

vrtice, o arista).

Problema 1

Tabla ptima del problema 1

2 4 8 0 0

x1 x2 x3 s1 s2

4 x2 1 1 2 1/2 0 4

0 s2 1 0 0 -1/2 1 2

ZJ 4 4 8 2 0 16

Wj -2 0 0 -2 0

Problema 2


2 6 0 0

x y s1 s2

2 x 1 0 -1/5 3/5 3

6 y 0 1 2/5 -1/5 2

Zj 2 6 2 0 18

Wj 0 0 -2 0

Problema 3



30


1 1 -5 0 0

x y z s t

1 x 1 2 -3 0 1 6

0 s 0 -5 5 1 -2 0

Zj 1 2 -3 0 1 6

Wj 0 -1 -2 0 -1

Problema 4


1 2 0 0 0

x Y s1 s2 s3

0 s1 0 0 1 -1 1 2

2 y 0 1 0 -1/3 2/3 2

1 x 1 0 0 2/3 -1/3 2

Zj 1 2 0 0 1 6

Wj 0 0 0 0 -1

Problema 5


1 -5 3 0 0

x y z s t

3 z 1/3 -2/3 1 1/3 0 2

0 t 6 -5 0 2 1 24

Zj 1 -2 3 1 0 6

Wj 0 -3 0 -1 0



31

13. Sea el siguiente problema (PD)

con solucin ptima (1/2, 3/2, 0, 0, 0), el dual del problema lineal (PP).

Escribe el problema (PP) y averigua su solucin ptima a partir del ptimo de (PD).

14. Una empresa fabrica dos productos en cantidades diarias x e y.

Dispone de 200 horas diarias de mano de obra y el segundo artculo requiere una materia prima de la que se dispone a razn de 30

unidades diarias. Los beneficios unitarios son de 2 y 5 u.m. respectivamente. El problema es

Sabiendo que el ptimo es (50,10), calcula las variables principales

duales e interprtalas. Le interesara a la empresa pagar 10 horas extras diarias a 1 u.m. cada una?

15. El conjunto de oportunidades de un determinado problema lineal es

{ }

Supongamos que resolvemos el problema dual asociado. Analiza cules

de los siguientes casos son posibles:

a) El problema dual tiene solucin ptima.

b) El problema dual es no factible.

c) El problema dual es no acotado.

16. Dado un problema lineal con cinco variables, se sabe que (0,3,0,1,4) es una solucin factible. Supongamos que resolvemos el problema dual asociado. Analiza cules de los siguientes casos son posibles:

a) El problema dual tiene solucin ptima.

b) El problema dual es no factible.

c) El problema dual es no acotado.

17. Dado un problema lineal de minimizar en forma cannica, se sabe que el ptimo es degenerado. Qu se puede saber acerca del ptimo dual?

18. Es posible resolver grficamente un problema lineal de 4 variables y 2 restricciones? En caso afirmativo explica cmo; en caso negativo,



32

indica el nmero mximo de variables y restricciones que debe tener

un problema para poder ser resuelto grficamente.

19. Entre los tres posibles tipos de solucin de un problema lineal

(infactible, acotado y no acotado), indica cules pueden aparecer en su problema dual en los casos siguientes:

a) Si el primal es infactible.

b) Si el primal es acotado.

c) Si el primal es no acotado.

20. Sea el siguiente problema de PL: (P)

Y sea .

Sea (D) su problema dual y

Razona si pueden darse o no las siguientes situaciones:

a) P es no acotado

b) D es infactible

c) D es no acotado

d) x0 es solucin ptima de P y 0 es solucin ptima de D

e) P es un problema con ptimo pero x0 no es solucin ptima de P

f) Existe alguna solucin del problema D con

g) El valor ptimo de la funcin objetivo de P es

h) El valor ptimo de la funcin objetivo de P es

i) El valor ptimo de la funcin objetivo de D es

21. Dado el siguiente problema

a) Resulvelo por el Mtodo Simplex a partir de la tabla con variables bsicas xB =(x,y)

b) Si es posible, utiliza la tabla ptima del problema anterior para averiguar la solucin ptima de su problema dual (variables

principales y de holgura, rendimientos marginales y funcin objetivo).

c) Comprueba que la frmula (,)=cBB-1 conduce a la misma solucin

ptima.

d) Obtn la tabla ptima del problema dual y comprueba que el valor de todas las variables y los rendimientos marginales en el ptimo

coinciden con los obtenidos en el apartado b).



33

TEMA 6.- ANLISIS DE SENSIBILIDAD Y POST-OPTIMIZACIN

1. Si el coeficiente en la funcin objetivo de una variable no bsica cambia pero sin salirse de su intervalo de sensibilidad, analiza los cambios que

se producen sobre la composicin de la base, el valor de las variables bsicas y el valor de la funcin objetivo en el ptimo del nuevo

problema.

2. Dado el problema de programacin lineal:

cuya solucin ptima viene dada por la siguiente tabla:

2 4 8 0 0

x1 x2 x3 s1 s2

4 x2 1 1 2 1/2 0 4

0 s2 1 0 0 -1/2 1 2

Zj 4 4 8 2 0 16

Wj -2 0 0 -2 0

a) Calcula a partir de la tabla ptima el intervalo de sensibilidad de c1 e interprtalo.

b) Escribe la nueva solucin ptima del problema cuando c1=5.

3. Si el coeficiente en la funcin objetivo de una variable bsica cambia, pero sin salirse de su intervalo de sensibilidad, analiza los cambios que

se producen sobre la composicin de la base, el valor de las variables bsicas y el valor de la funcin objetivo en el ptimo del nuevo

problema.

4. Dado el problema:

cuya tabla ptima es:



34

2 6 0 0

x y s1 s2

2 x 1 0 -1/5 3/5 3

6 y 0 1 2/5 -1/5 2

Zj 2 6 2 0 18

Wj 0 0 -2 0

a) Calcula el intervalo de sensibilidad del coeficiente de la variable x en la funcin objetivo e interprtalo.

b) Si se decide establecer c1= 10 Sigue siendo la tabla ptima?

cul es el valor ptimo de la funcin objetivo?

5. Si un trmino independiente de una restriccin cambia, pero sin salirse

de su intervalo de sensibilidad, analiza los cambios que se producen sobre la composicin de la base, el valor de las variables bsicas y el valor de la funcin objetivo en el ptimo del nuevo problema.

6. Per al segent problema de PL:

Calcula la taula ptima del smplex comenant desde la segent taula del smplex, que prviament has de completar:

2 1 3 0 0

x1 x2 x3 s1 s2

1 x2 5/4 1 0 1/4 1/2

3 X3 1/2 0 1 -1/2 0

Zj

Wj

Realitza l'anlisi de sensibilitat de b2 i interpretal.




35

Y la siguiente tabla ptima para el problema equivalente de

maximizar:

1 -5 3 0 0

x y z s t

3 z 1/3 -2/3 1 1/3 0 2

0 t 6 -5 0 2 1 24

Zj 1 -2 3 1 0 6

Wj 0 -3 0 -1 0

Si el trmino independiente de la primera restriccin valiera 12

(b1=12) cul sera la solucin ptima del problema? Escribe el valor de variables y funcin objetivo en el ptimo y justifica de qu tipo es

la solucin.

8. Si un coeficiente tcnico asociado a una variable no bsica cambia, pero sin salirse de su intervalo de sensibilidad, analiza los cambios que se

producen sobre la composicin de la base, el valor de las variables bsicas y el valor de la funcin objetivo en el ptimo del nuevo

problema.

9. Donat el segent problema lineal:

Amb la taula ptima segent :

3 1 3 4 0 0

x1 x2 x3 x4 s1 s2

3 x1 1 11/5 0 -2 -2/5 3/5 1

3 x3 0 -4/5 1 4 3/5 -2/5 6

Zj 3 21/5 3 6 3/5 3/5 21

Wj 0 -16/5 0 -2 -3/5 -3/5

Es demana:

a) Si el coeficient de x4 en la primera restricci passa a ser a14=3,

calcula la soluci ptima.

b) Calcula linterval de sensibilitat de a14 e interpretal.



36

10. Si aadimos una nueva variable no bsica al problema analiza los

cambios que se producen sobre la composicin de la base, el valor de las variables bsicas y el valor de la funcin objetivo en el ptimo del nuevo

problema.

11. Per al problema de PL:

a) Calcula la taula ptima del smplex sense fer iteracions sabent

que la soluci ptima s (x1, x2, x3)=(0,6,0).

b) Si safegix una nova variable x4 amb coeficient en la funci

objectiu c4=3 i coeficients tcnics ( ), dedux si la soluci

ptima de lapartat a) s ptima i en cas contrari calcula la nova soluci ptima.

12. Si aadimos una nueva restriccin al problema analiza los cambios que se producen sobre la composicin de la base, el valor de las

variables bsicas y el valor de la funcin objetivo en el ptimo del nuevo problema.

13. Donat el problema segent de programaci lineal:

amb la taula ptima per al corresponent problema de maximitzar:

-8 -3 -2 0 0

x y z s t

-2 z 0 1/2 1 -1/2 0 3

0 t -2 1 0 -2 1 4

Zj 0 -1 -2 1 0 -6

Wj -8 -2 0 -1 0

Calcula la soluci ptima si afegim la restricci . Quines sn les variables bsiques?



37

14. Sea el PL:

Sabiendo que las variables bsicas en la solucin ptima son s2 y x

2,

se pide:

a) Obtn la solucin ptima.

b) Realiza el anlisis de sensibilidad de: c1, c2, b1, b2 y a11.

c) Obtn, partiendo de la solucin ptima conocida, la solucin

ptima para cada uno de los siguientes cambios: c1=3/2, c1=3, c2=1/2, c2=4, b1=5, b1=10 y b2=8, y a11=2.

d) Obtn, partiendo de la solucin ptima conocida, la solucin ptima si se introduce una nueva variable x3 con c3=6 y Pt3 =

(2,2). Idem si se introduce una nueva restriccin .

e) Partiendo de la solucin ptima inicial, calcula el valor que debera tener el coeficiente en la funcin objetivo de una nueva

variable para que entrara en la base, si sus coeficientes en las restricciones son a13=2 y a23=1.

(Nota: cada uno de los apartados y subapartados de este problema

debe realizarse a partir del problema original y no de los resultados del apartado o subapartado anterior.)

15. Considera el problema:

Su tabla ptima es:

2 3 0 0

x y s1 s2

3 y 2 1 1 0 4

0 s2 1 0 -1 1 0

Zj 6 3 3 0 12

Wj -4 0 -3 0

a) Obtn la solucin ptima y el valor de la funcin objetivo en el

ptimo si cambia simultneamente el valor de c1=5, c2=2. Cules son ahora las variables bsicas? Por qu son diferentes



38

si los cambios en los coeficientes de las variables estn dentro

del intervalo de sensibilidad?

b) Idem si c1=5, b1=6. Cules son ahora las variables bsicas?

c) Idem si c1=5, a11=1. Cules son ahora las variables bsicas?

16. Un botellero embotella y comercializa tres tipos de vino A, B y C, obteniendo un beneficio por cuba de 50, 25 y 20 u.m., respectivamente.

Cada cuba ha de pasar por dos fases, llenado y precintado. La primera trabaja hasta un total de 640 horas semanales y la segunda 900 horas semanales. El nmero de horas que una cuba necesita en cada fase

viene dado por la tabla:

Llenado Precintado

A 16 30

B 4 5

C 6 10

a) La solucin ptima del modelo lineal que representa el problema es (0,160,0,0,100).

b) Cuntas cubas de tipo C rellenara si las horas totales de la seccin de llenado fueran 700?

c) Si el beneficio por cuba tipo A fuese 55 u.m., cuntas cubas tipo B se llenaran?

d) Cunto puede disminuir el beneficio unitario de las cubas del

tipo A sin que la solucin vare?

e) Calcula e interpreta el intervalo de sensibilidad del beneficio

por cuba del tipo B.

17. Una empresa produce dos artculos en cantidades x e y, y los distribuye en un mercado cuya demanda mxima (conjunta para los dos

productos) se estima en 200 unidades. El coste de produccin unitario es de 2 u.m. para el primer producto y 3 u.m. para el segundo. El

presupuesto de la empresa es de 500 u.m. Por otra parte, el beneficio que se obtiene por cada unidad del primer artculo es de 3 u.m., mientras que para el segundo es de 1 u.m.

a) Calcula la produccin que maximiza los beneficios y el beneficio mximo.

b) Estudia las variaciones que se produciran si el beneficio unitario obtenido por el segundo artculo fuera de 2 unidades

monetarias en lugar de 1.

c) Repite el apartado anterior para un beneficio unitario de 4 u.m.



39

d) Calcula el intervalo de sensibilidad del beneficio unitario de

cada uno de los dos artculos.

e) Calcula el intervalo de sensibilidad del coste unitario del

segundo artculo.

f) Calcula el intervalo de sensibilidad de la demanda del mercado.

g) Estudia las modificaciones en la solucin que se produciran

para una demanda de 250 unidades de producto.

h) Repite el apartado anterior para una demanda de 300 unidades

de producto.

i) Supongamos que la empresa se ve obligada a producir al menos tanta cantidad del segundo artculo como la mitad del

primero, es decir, y x/2 o, equivalentemente, x 2y 0. Obtn la nueva solucin ptima.

18. Una empresa se plantea el siguiente problema lineal:

(beneficios) (capital) (horas de trabajo)

a) Calcula la tabla ptima del smplex sabiendo que el punto ptimo es (5, 0, 0).

b) Haz el anlisis de sensibilidad de a12 y a22.

c) Razona el efecto de reducir el trabajo de 15 a 12 horas.

d) Calcula el valor de las variables duales. Razona si a la empresa

le interesa disponer de ms capital o de ms horas de trabajo para aumentar sus beneficios.



40

TEMA 7.- PROGRAMACIN LINEAL ENTERA

1. Dado un cierto problema de programacin lineal entera pura cuyo rbol de ramificacin es el siguiente:

a) Razona si el objetivo del problema es de maximizacin o

minimizacin.

b) Se ha llegado al ptimo? En caso afirmativo explica por qu y, en caso negativo, indica qu nodo debera ramificarse y por medio de

qu restricciones.

c) Escribe el problema que se ha resuelto en el nodo 1.2.1.

2. Dado un cierto problema de programacin lineal entera pura cuyo rbol de ramificacin es el siguiente:

a) Sita en cada ramificacin la restriccin que se ha aadido.

b) Se ha llegado al ptimo? En caso afirmativo explica por qu y, en

caso negativo, indica qu nodo debera ramificarse y por medio de qu restricciones.

0

1

2

2.1

2.2

x=2.5 y=1.8

F(x,y)=16

F(x,y)=14 x=3 y=1

F(x,y)=15 x=2 y=2.1

F(x,y)=14.5 x=0.8 y=3

F(x,y)=14.8 x=2 y=2

0

1

2

1.1

1.2

1.2.1

1.2.2

F(x,y,z)=41.36 x=0.05 y=8 z=8.58

F(x,y,z)=41.33 x=0 y=8 z=8.67

F(x,y,z)=39 x=0 y=7.67 z=8

x=1

z=9

F(x,y,z)=26.4 x=1 y=4.4 z=4.6

Infactible

Infactible

y=8

F(x,y,z)=37 x=0 y=7 z=8



41

3. Sea un cierto problema de programacin lineal entera pura de cuyo

rbol de ramificacin y acotacin se conocen los siguientes datos:


minimizacin.

b) Se ha llegado al ptimo? En caso afirmativo explica por qu y, en caso negativo, indica qu nodo debera ramificarse y por medio de

qu restricciones.

c) Escribe el problema que se ha resuelto en el nodo 6.

4. Dado un cierto problema de programacin lineal entera mixta, donde las variables x, z tienen condiciones de integridad, y cuyo rbol de ramificacin es el siguiente:


minimizacin.

b) Se ha llegado al ptimo? En caso afirmativo explica por qu y, en

caso negativo, indica qu nodo debera ramificarse y por medio de qu restricciones.

c) Escribe el problema que se ha resuelto en el nodo 1.2.

0

1

2

1.1

1.2

F(x,y,z)=41.33 x=0 y=8 z=8.67

F(x,y,z)=39 x=0 y=7.67 z=8

F(x,y,z)=26.4 x=1 y=4.4 z=4.6

Infactible

0

1

2

3

4

5

6

F=3840 x=192

F=3838 x=190.5 y=1

F=3835.5 x=191 y=0.5

F=3840.4 x=190 y=1.4

F=3838 x=191 y=0

F=3848 x=191 y=1

F(x,y)=3832.5 x=191.6

z=8.58 y=8

F(x,y,z)=41.36 x=0.05



42

5. Consideremos un problema de PLE puro con dos variables x e y.

Supongamos que se dispone del siguiente rbol de ramificacin y acotacin asociado:

a) Razona si se trata de un problema de maximizacin o minimizacin.

b) Escribe sobre las ramas las restricciones que han ido aadindose en

cada ramificacin.

c) Razona si se ha encontrado ya la solucin ptima. En caso negativo, ramifica el nodo que corresponda.

d) Si suponemos que el problema original es de PLE mixta donde solamente la variable x debe ser entera, cul sera la respuesta del

apartado (c)?

6. Consideramos un problema de PLE puro con dos variables x e y.

Suponemos que se dispone del siguiente rbol de ramificacin y acotacin asociado:

a) Razona si se trata de un problema de maximizacin o minimizacin.

b) Escribe sobre las ramas las restricciones que se han ido aadiendo en cada ramificacin.

c) Razona si se ha encontrado ya la solucin ptima. En caso negativo,

ramifica el nodo que corresponda.

d) Si suponemos que el problema original es de PLE mixta donde slo la variable x ha de ser entera, cul sera la respuesta al apartado (c)?



43

7. Un problema lineal con 3 variables enteras tiene el siguiente rbol de

soluciones siguiendo el mtodo de ramificacin y acotacin:

a) Aadir en el rbol anterior la restriccin incorporada en cada rama.

b) Selecciona la opcin correcta con una X:

No se conoce todava la solucin ptima: es necesario ramificar el problema 2.

La solucin ptima es (3, 0, 4) con F.obj.=25 La solucin ptima es (11/3, 0, 3) con F.obj.=23 La solucin ptima es (4, 0, 4) con F.obj.=28

8. En un problema de Programacin lineal entera pura se han obtenido las siguientes soluciones:

a) Sita en cada rama les restricciones que se han aadido.

b) Razona si se ha encontrado la solucin. En caso afirmativo, indica cul es. En caso negativo, indica qu problema deberamos ramificar

y con qu restricciones.

P.L. associado

(x,y,z)=(34, 0, 38)

F.obj.=254

Problema 1:

(x,y,z)=(3,0,4)

F.obj.=25

Problema 2:

(x,y,z)=(11/3, 0, 3)

F.obj.=23

P.L.A.

(x1,x2,x3)=(4, 3'5, 2)

F=53'5

1

(x1,x2,x3)=(4'5, 4, 0)

F=51'5

1.1

Infactible

1.2

(x1,x2,x3)=(4, 4, 0)

F=48

2

(x1,x2,x3)=(4, 3, 1'5)

F=49

2.1

(x1,x2,x3)=(4, 25, 1)

F=44'5

2.2

(x1,x2,x3)=(35, 3, 2)

F=47'5



44

9. Consideremos el siguiente problema de programacin entera mixta:

Si el primer problema que se resuelve al aplicar el mtodo de

ramificacin y acotacin tiene como una solucin ptima

)32,0,316()( 321 ,x,xx , con F=58/3, marca con una X cul o cules de

las siguientes opciones son coherentes para las soluciones de los 2

subproblemas despus de la primera ramificacin:

)21,0,6()( 321 ,x,xx con F=205 y )21,1,5()( 321 ,x,xx con F=195




10. Consideremos el siguiente rbol de soluciones de un problema de programacin entera puro segn el mtodo de ramificacin y acotacin:

a) Aade en cada rama la restriccin correspondiente.

b) Razona cul es la solucin ptima, si es nica y si es mnimo o

mximo global.

c) Detecta cul de las 7 soluciones que aparecen en el rbol es

incoherente y porqu.

(x,y,z)=(16/3, 0, 2/3), F=58/3

(x,y,z)=(5, 1, 1/2), F=19,5

(x,y,z)=(4, 4, 0), F=20

(x,y,z)=(5, 0, 1), F=20

(x,y,z)=(6, 0, 1/2), F=20,5

(x,y,z)=(6, 0, 1),

F=23

(x,y,z)=(5, 2, 0),

F=22



45

11. Al resolver el siguiente problema lineal puro se obtiene el siguiente

rbol de ramificacin y acotacin:

a) Razona si el problema es de maximizar o minimizar y escribe las

restricciones asociadas a las ramas.

b) Se ha llegado al ptimo? En caso afirmativo, explica por qu y cul

es el ptimo. En caso negativo, escribe las ramas siguientes y las restricciones asociadas.

c) Reproduce el rbol de ramificacin y acotacin del problema lineal mixto con x, y Z+, z 0. Se ha llegado al ptimo? En caso afirmativo,

explica por qu y cul es el ptimo. En caso negativo, escribe las

ramas siguientes y las restricciones asociadas.

12. Al resolver el siguiente problema lineal entero puro se obtiene el siguiente rbol de ramificacin y acotacin:



b) Se ha llegado al ptimo? En caso afirmativo, explica por qu y cul

es el ptimo. En caso negativo, escribe las ramas siguientes y los problemas que se han de resolver en los nodos asociados a dichas

ramas.

c) Reproduce los rboles de ramificacin y acotacin de los problemas lineales enteros mixtos con y, z Z+, x 0, y con z Z+, x, y 0. Se ha

llegado al ptimo? En caso afirmativo, explica por qu y cul es el ptimo. En caso negativo, escribe las ramas siguientes y las

0

1

2

3

4

F=6 x=0 y=3

F=6.5 x=0.5 y=3 z=0

z=0

F=6.333 x=1 y=2.667 z=0

F=6.667 x=0 y=3.333 z=0

Infactible

0

2

1

1.2

1.1

F=3 x=3 y=0 F=2.46

x=1.46 y=0

F=2.31 z=0

F=2.36 x=2 y=0 z=0.36

z=1

F=5.43 x=2 y=0.57 z=0

y=0 x=2.31

z=0



46

restricciones asociadas.

13. l resolver el siguiente problema lineal entero puro se obtiene el siguiente rbol de ramificacin y acotacin:



b) Se ha llegado al ptimo? En caso afirmativo, explica por qu y cul es el ptimo. En caso negativo, escribe las ramas siguientes y las

restricciones asociadas.

c) Reproduce el rbol de ramificacin y acotacin del problema lineal entero mixto con x, y Z+, z 0. Se ha llegado al ptimo? En caso

afirmativo, explica por qu y cul es el ptimo. En caso negativo, escribe las ramas siguientes y las restricciones asociadas.


Max. x + 4y

s.a. x + y 2 2x + 3y 12 2x + y 8 x, y 0

(a) Representa grficamente en la cuadrcula adjunta el conjunto factible.

(b) Obtn por el mtodo grfico la solucin ptima del problema.

(c) Considera el problema lineal anterior y supn que las dos variables

deben ser enteras. Representa el conjunto factible asociado a este

PLE.

(d) Obtn grficamente la solucin ptima del PLE anterior.

(e) Si utilizsemos la tcnica de ramificacin y acotacin para

resolver el PLE anterior, cul sera la primera ramificacin a

partir del nodo inicial y qu problemas resolveramos en cada

uno de los dos nuevos nodos?

F=2.857 x=0 y=1.429 z=0

0

1

2

3

4

F=3.25 x=0.25 y=1 z=0

F=5 x=1 y=0 z=0

F=4 x=0 y=2 z=0

F=3.667 x=0

y=1 z=0.333

Infactible

F=5.286 x=0 y=0.143 z=1

5

6



47

15. Al resolver un problema lineal entero de maximizacin obtenemos el siguiente rbol de ramificacin y acotacin:

Escribe lo que falta en el rbol (6 elementos), de manera que el rbol sea coherente y haya 3 maneras diferentes de saturar nodos. Las

cruces significan que el nodo correspondiente ha sido saturado. No es necesario buscar la funcin objetivo del problema.



48

16. Supongamos que estamos resolviendo un problema de PLE de

maximizar con el siguiente conjunto de oportunidades y con la funcin objetivo 2x+2y.

Resuelve el problema utilizando el mtodo de ramificacin y acotacin.

17. Queremos resolver el problema de Programacin Lineal Entera

Min -11x y s.a. 10x+6y 25 y 2.5 x, y Z+

construyendo su rbol de ramificacin y acotacin. Para ello disponemos de

los ptimos de diversos problemas de PL, obtenidos del problema lineal asociado a nuestro PLE aadiendo restricciones. Las siguientes tablas muestran las soluciones ptimas a estos PLs. Dibuja el rbol buscado empleando la informacin que necesites de las tablas, aadiendo las restricciones en cada rama cuando ramifiques y explicando por qu saturas

cada nodo. Cuando ya no puedas continuar el rbol porque te falta informacin, indica si se ha encontrado el ptimo del PLE. En caso contrario, indica que nodo(s) habra que ramificar.

Nivel 0 del rbol: La solucin del PL asociado es (2.5,0), con f* = - 27.5.

Informacin para el nivel 1 del rbol:

Restriccin

aadida

x 2 x 3 x 3 x 2

Sol. ptima del

PL

(2.5,0),

f* = - 27.5

Infactible (2.5,0),

f* = - 27.5

(2,0.833),

f* = -22.83



49

Informacin para el nivel 2 del rbol (cada celda es la solucin de aadir

al PL asociado las restricciones de la fila y columna correspondientes):

Restricciones aadidas

y 0 y 1 y 0 y 1

x 2 (2.5,0), f* = - 27.5

(2.5,0), f* = - 27.5

Infactible (2.5,0), f* = - 27.5

x 3 Infactible Infactible Infactible Infactible

x 3 (2.5,0), f* = - 27.5

(2.5,0),

f* = - 27.5

(2.5,0),

f* = - 27.5

(2.5,0),

f* = - 27.5

x 2 (2,0), f* = - 22

(2,0.833),

f* = -22.83

(2,0.833),

f* = -22.83

(1.9,1),

f* = - 21.9

coleccixn problemas matemáticas ii uv

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