PROBLEMAS DE INTERACCIÓN GRAVITATORIA, 2º DE BACHILLERATO

1.- Se desea colocar en órbita un satélite de comunicaciones, de tal forma que se encuentre siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre (órbita geoestacionaria). Si la masa del satélite es de 1500 kg, se pide calcular:

a) La altura sobre la superficie terrestre a la que hay que situar el satélite.

b) La energía total del satélite cuando se encuentra en órbita.

DATOS: G = 6,67·10-11 SI, MTIERRA = 5,98·1024 kg, RTIERRA=6370 km

SOLUCIÓN: a.- h=35900 km ; b.- Etotal=-7,08·109 J

2.- Sean dos masas puntuales de 100 kg y 150 kg, situadas en los puntos A(-2,0) m y B(3,0) m, respectivamente. Se pide calcular:

a) El campo gravitatorio en el punto C(0,4) m

b) El trabajo necesario para desplazar una partícula de 10 kg de masa desde el punto C(0,4) m, hasta el punto O(0,0) m

DATOS: G = 6,67·10-11 SI

SOLUCIÓN:

a.- vector E=(0,91 i – 6,18 j) · 10-10 N/kg, módulo E=6,25·10-10 N/kg

b.- W = 3,20·10-8 J

3.- Se determina experimentalmente, la aceleración con la que cae un cuerpo en el campo gravitatorio terrestre en dos laboratorios diferentes, uno situado al nivel del mar y otro situado en un globo que se encuentra a una altura h=19750 m sobre el nivel del mar. Los resultados obtenidos son: g=9,81 m/s2 en el primer laboratorio y g’=9,75 m/s2 en el segundo laboratorio. Calcula:

a) El valor del radio terrestre

b) Si la densidad media de la Tierra es de r=5523 kg/m3, determinar el valor de la constante de gravitación universal G.

SOLUCIÓN: a.- R=6,4·106 m, b.- G=6,6·10-11 N·m2/kg2

4.- Un satélite de 500 kg de masa se mueve alrededor de Marte, describiendo una órbita circular a 6·106 m de su superficie. Sabiendo que la aceleración de la gravedad en la superficie de Marte es de 3,7 m/s2 y que su radio es de 3400 Km, calcula:

a) La fuerza gravitatoria sobre el satélite

b) La velocidad y el periodo del satélite

c) ¿A que altura debería encontrarse el satélite para que su periodo fuese el doble?

SOLUCIÓN: a.- F=242N, b.- v = 2130 m/s, T=7h, 42 min c.- h2 = 11500 km

5.- Una partícula puntual de masa m1=10 kg está situada en el origen de coordenadas O de un cierto sistema de coordenadas. Una segunda partícula puntual de masa m2=30kg está situada sobre el eje de las X, en el punto A de coordenadas (6,0) m. Calcula:

a) El módulo, la dirección y el sentido del campo gravitatorio en el punto B de coordenadas (0,2) m.

b) El punto sobre el eje X para el cual el campo gravitatorio es nulo.

c) El trabajo realizado por el campo gravitatorio cuando la masa m2 se traslada desde el punto A hasta el punto C de coordenadas (0,6) m

DATO: G=6,67·10-11 SI

SOLUCIÓN: a.- vector: (0,475 i – 1,83 j)·10-10 N/kg, módulo: 1,89·10-10 N/kg dirección: a=-75,45º b.- P (2,19,0) m c.- W = 0 los dos puntos son equipotenciales.

6.- La órbita de una de las lunas de Júpiter Io, es aproximadamente circular con un radio medio de 4,2·108 m. El periodo de la órbita vale 1,53·105 s. Calcula:

a) El radio de la órbita circular de la luna de Júpiter, Calisto, que tiene un periodo de 1,44·106 s

b) La masa de Júpiter

c) El valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Júpiter.

DATOS: Radio de Júpiter = 71400 Km, G=6,67·10-11 SI

SOLUCIÓN: a.- rcalisto=1,87·106 Km, b.- MJUPITER=1,87·1027 kg,gJUPITER=24,5 m/s2

7.- Un satélite artificial de 500 Kg de masa se mueve alrededor de un planeta, describiendo una órbita circular con un periodo de 42,47 horas y un radio de 419000 km. Calcula:

a) La fuerza gravitatoria que actua sobre el satélite

b) La energía cinética, la energía potencia y la energía total del satélite en su órbita.

c) Si por cualquier causa el satélite duplicara su velocidad sin cambiar la dirección ¿Se alejará indefinidamente del planeta? Razona la respuesta.

SOLUCIÓN:a.- F=354 N, b.- EC=7,41·1010J, EP=-1,48·1011J ETOTAL=-7,41·10-11J

c.- se alejará indefinidamente, ya que la velocidad obtenida es mayor que la velocidad de escape

8.- Un satélite geoestacionario es aquel que se encuentra siempre en la misma posición respecto a un punto de la superficie de la Tierra. Se pide:

a) La distancia sobre la superficie terrestre a la que tiene que situarse un satélite geoestacionario.

b) La velocidad que llevará dicho satélite en su órbita geoestacionaria.

DATOS: MTIERRA= 6·1024 kg, RTIERRA=6370 km G=6,67·10-11 N·m2/kg2

SOLUCION: a.- 35800 Km de la superficie terrestre. B.- v=3080 m/s

9- Un objeto de masa m = 1000 kg se acerca en dirección radial a un planeta, de radio Rp=6000 Km, que tiene una gravedad de g=10 m/s2 en su superficie. Cuando se observa el objeto por primera vez se encuentra a una distancia r0 = 6 RP del centro del planeta. Determina:

a) ¿la energía potencial EP del objeto cuando se encuentra a la distancia r0?

b) La velocidad inicial del objeto vo, o sea cuando está a una distancia ro, si sabemos que llega a la superficie del planeta con una velocidad v=12 km/s.

SOLUCION: a.- EP=-1010 J, b.- vo=6,63 km/s

10.- Dos partículas puntuales, con la misma masa m1= m2= 100Kg se encuentran situadas en los puntos (0,0) y (2,0) respectivamente. Determina:

a) ¿Qué valor tiene el potencial gravitatorio en el punto (1,0) m? Tómese el origen de potenciales en el infinito. Calcula el campo gravitatorio, en módulo, dirección y sentido, que generan esas dos masas en el punto (1,0)

b) Si la masa m2 se deja en libertad, la fuerza gravitatoria haría que se acercara a la masa m1. Si no actúa ninguna otra fuerza, ¿Qué velocidad tendrá cuando esté a una distancia de 30 cm de m1?

SOLUCION:a.- V=-1,33·10-8 J/kg ETOTAL=(0 i + 0 j) N/kg b.- v=(-1,94·10-4 i) m/s

11.- Una sonda espacial de masa m=1200 kg se sitúa en una órbita circular de radio R=6000 km, alrededor de un planeta. Si la energía cinética de la sonda es de EC=5,4·109 J calcula:

a) El periodo orbital de la sonda

b) La masa del planeta

DATO: G=6,67·10-11 N·m2/kg2

SOLUCION: a.- T=1,26·104s b.- M=8,06·1023 kg

12.- Febos es un satélite que gira en una órbita circular de radio r=14460 km alrededor del planeta Marte con un periodo de 14 horas, 39 minutos y 25 segundos. Si sabemos que el radio de Marte es RMarte=3394 km. Calcula:

a) La aceleración de la gravedad en la superficie de Marte.

b) La velocidad de escape de Marte de una nave espacial situada en Febos.

SOLUCIÓN: a.- gMarte=3,72 m/s2 b.- ve=2,44·103 m/s (en este caso se desprecia la gravedad de Febos)

13.- Un objeto de masa M1= 100 kg de peso está situado en el punto A de coordenadas (6,0) m. Un segundo objeto de masa M2=300 kg está situado en el punto B de coordenadas (-6,0) m. Calcula:

a) El punto sobre el eje X para el que el campo gravitatorio sea nulo.

b) El trabajo realizado por el campo gravitatorio cuando la masa M1 se traslada desde el punto A hasta el punto C de coordenadas (-6,6)m

DATO: G=6,67·10-11 N·m2/kg2

SOLUCION: a.- Punto donde el campo es nulo P(1,61,0) m b.- W=1,67·10-7 J

14.- Sabiendo que el radio orbital de la luna es de 3,8·108 m y que tiene un periodo de 27 días, se quiere calcular:

a) El radio del satélite de comunicaciones que da una vuelta a la Tierra cada 24h (satélite geoestacionario)

b) La velocidad de dicho satélite

SOLUCIÓN: a.- r =4,22·107 m b.- v=3070 m/s

15.- Una sonda espacial de 200 kg de masa se encuentra en una órbita circular alrededor de la Luna a 160 km de su superficie. Calcular:

a) La energía mecánica y la velocidad orbital de la sonda.

b) La velocidad de fuga de la atracción lunar desde esa posición.

DATOS: G=6,67·10-11 N·m2/kg2, MLUNA=7,22·1022 kg, RLUNA=1740 km

SOLUCION: a.- E= -2,54·108 J, v = 1592 m/s b.- vescape = 2251,5 m/s

16.- Disponemos de dos masas esféricas de 8 y 2 cm de diámetro respectivamente. Considerando únicamente la interacción gravitatoria entre estas dos masas. Calcular:

a) La relación entre las dos masas m1/m2 sabiendo que si ponemos ambos cuerpos en contacto el campo gravitatorio en el punto donde se tocan es nulo.

b) El valor de cada masa sabiendo que el trabajo necesario para separar los dos cuerpos, desde la posición de contacto hasta otra donde sus centros distan 20 cm es de W=1,6·10-12J

DATO: G=6,67·10-11 N·m2/kg2

SOLUCIÓN: a.- m1/m2 = 16 b.-

17.- Razona si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes:

a) La fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo, es directamente proporcional a la masa de este. Sin embargo, dos cuerpos de diferente masa que se sueltan desde la misma altura llegan al suelo simultáneamente.

b) El trabajo realizado por una fuerza conservativa en el desplazamiento de una partícula entre dos puntos es menor si la trayectoria seguida es en el segmento que une dichos puntos.

SOLUCION: a.- VERDADERA b.- FALSA

18.- Desde la superficie de un planeta esférico sin atmósfera, de radio r = 2,3·106 m y masa M = 8,6·1023 kg, se dispara un proyectil con velocidad v0 horizontal, es decir en dirección tangente a la superficie.

a) Calcula el valor de v0 para que el proyectil describa una órbita circular completa rasante a la superficie del planeta.

b) ¿Cuál es el periodo de esta órbita?

c) Si el proyectil se dispara con una velocidad doble de la anterior, ¿Escapará de la atracción gravitatoria? Justifica la respuesta

DATO: G = 6,67·10-11 N·m2/kg2

SOLUCIONES: a.- v0 = 4994 m/s b.- T = 2893,7 s c.- vescape = 7062 m/s, Si que escapará y llegará fuera del campo gravitatorio creado por el planeta aún con energia cinética.

19.- Razona por qué es imposible que un satélite describa en torno a la Tierra una órbita que como la de la figura, no está contenida en el plano del ecuador, sino en otro paralelo a él.

SOLUCIÓN: La fuerza central (fuerza centrípeta) dirigida hacia el centro del planeta es la que la mantiene en órbita. Condición imprescindible para que se conserve el momento angular o cinético, si orbitara en esta posición la fuerza centrípeta no seria central (dirigida hacia el centro de la Tierra y perpendicular a la dirección de la velocidad) y por tanto r y F no tendrían la misma dirección con lo que el momento angular no se conservaría, con lo que estaría en contra de las leyes que rigen el movimiento de los satélites.