problemas de cinemática resueltos

8/16/2019 Problemas de Cinemática resueltos

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EJERCICIOS RESUELTOS

1. Una partícula se mueve en el espacio de tal forma que:

; ; Donde r y z están en metros, en radianes y t en seg. Determine los vectores velocidad y

aceleración en el instante en que la componente radial de la aceleración es 0⃗ ⃗

̅ ̂ ̂ r = 2a

̇ = 4at ̇ ̈ = 4a ̈

̇ ̇ ̇ Para cuando ̈ ̇

√ Sustituyendo en las componentes de la velocidad:

√ √ √


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√ √

̂ ̂ ( ̈ ̇ ̇) ̈ Evaluando ⃗ para √

√ √

2. La aceleración de un cohete durante un intervalo breve la da la ecuación . Al principio del intervalo, la posición y la velocidad del cohete son 275pies y 110 pies/s; respectivamente. Determine la posición, la velocidad y la aceleración del

cohete cuando seg.Solución

Datos: Para t = 0 seg so = 275 pies y o = 110 pies/seg , = ? t = 4 seg

La aceleración para el tiempo t = 4 seg será:

pies/seg2 La velocidad se obtiene integrando la ecuación de aceleración

∫ ∫ ∫


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La posición del cohete para t = 4 seg puede obtenerse integrando la ecuación de velocidad

∫ ∫ ∫

3. La aceleración de una partícula en movimiento rectilíneo esta expresada por la

ecuación pulg/seg2. Si So = 0 y Vo = 36 pulg/seg cuando t = 0 seg, determinela posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t=5 seg.

Solución

Datos: Para t = 0 seg so = 0 pies y o = 36 pulg/seg , = ? t = 5 seg

a)

Calculo de la velocidad de la partícula


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Evaluando en t = 5 seg

b)

Calculo de la posición de la partícula para t 5 seg

()


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Evaluando en t = 5 seg

c)

La aceleración de la partícula a los 5 seg se obtiene al sustituir el valor obtenido de

velocidad a los 5 seg en la ecuación

4. El movimiento curvilíneo de una partícula se describe por las ecuaciones: en las cuelas x e y están en pies y t en segundos. Determinelas magnitudes y direcciones de los vectores de posición, velocidad y aceleración cuando t

4seg.

Solución

Datos:

Magnitudes y direcciones de ̅ ̅ > t 4 seg.

Se obtienen las derivadas de las ecuaciones:

̇ ̈

̇ ̈


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La magnitud de ̅ será:

La dirección de ̅ puede darse a través del ángulo que forman x e y

̅

La magnitud de ̅ será: ̇ ̇

La dirección de ̅ puede darse a través del ángulo que forman ̇ e ̇ ̇

̇

La magnitud de será: ̈ ̈

La dirección de puede darse a través del ángulo que forman ̈ e ̈

̈̈


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5. La rotación de la barra OA con respecto de O está definida por la relación ,donde se expresa en radianes y t en segundos. El collarín B resbala por la barra de tal

forma que su distancia desde O es , donde se expresa en pulgadas y ten segundos. Cuando 1 s determínense a) su velocidad, b) su aceleración total. Utilicesistema de coordenadas tangenciales y normales

Solución

Datos

̅

Del Mov. Curvilineo :

̇ ̇ ̈ ̈ ̇ ̈

Adoptando sistema de coordenadas

tangenciales y normales

̅ ̇ ̈ ̇


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a)

La velocidad será:

̅ ̇ ̅ ̇ ̅ Para t

1 seg̅

b)

̈ ̈

̇ ; donde ̇

La Aceleración total será:


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6. La trayectoria de una partícula P es un caracol. El movimiento de la partícula está

definido por las relaciones r = b(2 + cost) y =t, donde t y se expresan en segundos y

radianes respectivamente. Determine a) La velocidad y aceleración de la partícula cuando t

= 2 seg b) el valor de para el cual la velocidad es máxima. Resolver utilizando sistema de

coordenadas radiales y transversales

Solución

Datos:

r = b(2 + cost)

=t ? Cuando t 2 seg =? Cuando

a)

Para obtener la velocidad y aceleración mediante coordenadas polares se debe diferenciar

y

en función del tiempo

̇

̈

̇ ̈

Para t 2 seg y Por tanto:

̇ ̈

̇ ̈


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̇ ̇

̈ ̇ ̈ ̇ ̇

b)

Valores de cuando máximo ̇ ̇

Siendo Pero por lo que …

7. Conforme gira la leva A, la rueda B del seguidor gira sin resbalar sobre la cara de la

leva. Sabiendo que las coordenadas normales de la aceleración en el punto de contacto C

de la leva A y de la rueda B son 26 in/seg2

y 267 in/seg2 respectivamente. Determine el

diámetro de la rueda del seguidor.

Datos:


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Para la leva

La velocidad tangencial de la leva es la misma que la rueda del seguidor en el punto de

contacto.

8. La velocidad de las lanchas A y C son las indicadas y la velocidad relativa de la

lancha b respecto de A es Determinase:

a. ?

b.

c.

El cambio en la posición de B con respecto a C durante un intervalo de 10 seg.

Demuéstrese también que para cualquier movimiento


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Datos:

Calculo de

Calculo de

̅ Para determinar la velocidad de B podemos analizar el movimiento de Brespecto a A


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Calculo de la Velocidad de B

| | | |

Ahora calculamos ya conocida

Cambio de la posición de B respecto a C


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9. En el instante mostrado, los automóviles A y B están viajando con

velocidades de 55 y 40 mi/h, respectivamente. Si B está incrementando su rapidez en

1200 ⁄ , mientras que A mantiene una rapidez constante, determine la velocidady la aceleración de B con respecto a A. El automóvil B se mueve por una curva que

tiene un radio de curvatura de 0.5 millas.

Solución:

Paso n° 1: Ubicar sistema fijo y sistema móvil.

El enunciado del problema nos indica que el auto observado es el B, mientras que en

el auto A hay un observador que en este caso es un observador móvil. En cuanto al

sistema fijo, lo más adecuado es ubicarlo siempre que sea posible en el mismo punto

que el sistema móvil, por lo tanto, el sistema móvil quedara ubicado sobre el auto A y

el sistema fijo por debajo del auto A coincidiendo en posición en el instante de tiempo

estudiado.

Paso n°2: Agrupar datos e incógnitas según el elemento al que pertenecen.

Sistema móvil (auto A) Partícula (auto B)

= 0 = 0,5 mi = -55 ̂ mi/h =( -40 cos 30° ̂ + 40 sen 30° ̂) mi/h = 0 (Velocidad constante) = ( -1200 cos 30° ̂ + 1200 sen 30° )̂ ⁄


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⁄ = ( 3200 sen 30° ̂ + 3200 cos 30° )̂ ⁄

= ( -1200 cos 30°

̂ + 1200 sen 30°

̂)

⁄ + ( 3200

sen 30° ̂ + 3200 cos 30° ̂) ⁄

Paso n°3: Aplicar las ecuaciones y resolver las incógnitas.

28.5 mi/h, =44.5°

= 3418 ⁄ , =80.6°

Ejercicios Propuestos

1. Una partícula está restringida a moverse hacia arriba y hacia la derecha a lo largo de la

trayectoria:

La coordenada x de la partícula en cualquier momento es:

Encuentre la componente “y” de la velocidad y la aceleración cuando x = 15 cms


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2. Un automóvil recorre a velocidad constante la curva parabólica ACB, cuya ecuación es

de la forma con = constante. Determine la aceleración total para cuandos= 1,20m; L =60m y v = 27m/seg; en la posición mostrada:

3. La mecha de un cohete que se lanza verticalmente hacia arriba está siendo seguida

por medio de un radar situado a una distancia de 1.2 km de la plataforma de lanzamiento. Los

datos de rastreo indican que la velocidad angular es de 0.2 rad/seg y la aceleración angular es de

0.1 rad/seg2 cuando =45 Determine la velocidad y la aceleración del cohete en esta posición:

4. El vector posición de una partícula se mueve a lo largo de una curva que se

desarrolla en tres dimensiones esta dado por ̅ [ ] endonde rad. Describir su posición, velocidad y aceleración en coordenadas cilíndricas.


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5. Un avión recorre una trayectoria parabólica vertical. Cuando se encuentra en el

punto A va con una rapidez de 200 m/seg que se incrementa a un ritmo de 0.8 m/seg 2. Determine

la magnitud de la aceleración del avión cuando se encuentra en el punto A. Resolver mediante

sistema de coordenadas tangenciales y normales.

6. La aceleración de una partícula esta expresada por la ecuación en el cual está en m/s2 y s e m. Si So = 0 y vo = 0 cuando t = 0 seg, determine a) la posición S endonde la velocidad es máxima y b) la velocidad cuando S 2 m.

7.

Un automóvil y un camión viajan a una velocidad constante de 54 km/h; el automóvil

está 30 m por detrás del camión. El conductor del automóvil quiere rebasar al camión,

esto es, desea colocar su auto en B, 30 m por delante del camión, y después regresar a

la velocidad de 54 km/h. La aceleración máxima del automóvil es de 2 m/s2 y la

máxima desaceleración obtenida al aplicar los frenos es de 8 m/s2 ¿Cuál es el tiempo

más corto en el que el conductor del automóvil puede completar la operación de

rebase si en ningún momento sobrepasa la velocidad de 90 km/h? Trace la curva v-t.


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8. La aceleración de una partícula en movimiento rectilíneo esta expresada por la

ecuación pulg/seg2. Si So = 0 y vo = 36 pulg/seg cuando t = 0 seg,determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t=5 seg.

9. Una niña lanza una pelota desde el punto A con velocidad inicial Vo a un ángulo 3 con

la horizontal. Si una pelota golpea la pared en el punto B determine, a) la magnitud de

la velocidad inicial, b) El radio de curvatura mínimo de la trayectoria

10. La rotación de la varilla OA alrededor de O se define por medio d la relación = 0.5e-

0.8t sen 3t, donde se expresa en radianes y t en segundos, respectivamente. El

collarín se desliza a lo largo de la varilla de manera que su distancia desde O es r = 1 +2t - 6t2 + 8t3 , donde r esta en pies y t en segundos . En t= 0.5 seg determine a) la

velocidad del collarín b) la aceleración del collarín c) la aceleración del collarín relativa

a la varilla. Utilice sistema de coordenadas radiales y transversales.


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11. Las velocidades de los trenes A y B son como se indican en la figura. Si la velocidad de

cada tren es constante y B alcanza el cruce 10 minutos después de que A lo hizo,

determine: a) La velocidad relativa de B respecto a A, b) la distancia entre los frentes

de las maquinas 3 minutos después de haber pasado A por el cruce.

12. En el instante mostrado, los automóviles A y B están viajando con rapidez de 30 y 20

mi/h, respectivamente. Si A está incrementando su rapidez a 400 ⁄ , mientras quela rapidez de B está disminuyendo a 80 ⁄ , determine la velocidad y la aceleraciónde B respecto a A.


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13. En el instante mostrado, el ciclista en A está viajando a 7 m/s alrededor de la curva de

la pista mientras incrementa su rapidez en 0,5 ⁄ . El ciclista en B está viajando a 8,5m/s a lo largo de una porción recta de la pista e incrementa en 0,7 ⁄ . Determine lavelocidad relativa y la aceleración relativa de A con respecto a B en este instante.


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Parte II Cinemática del Cuerpo Rígido

Problemas Resueltos

1. Un motor da al disco “A” una aceleración angular de

rad/seg2. donde t esta en segundos. Si la velocidad angular inicial del disco rad/seg.Determine las magnitudes de la velocidad y la aceleración del bloque “B” cuando t 2 seg.

Datos:

rad/seg

2

rad/seg ?Para t 2 seg. ?


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Donde Aceleración Constante

2. El engrane A esta acoplado con el engrane B como se muestra en la figura.

Si A parte del reposo y tiene una aceleración angular constante de rad/seg2.


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Determine el tiempo necesario para que B alcance una velocidad angular de = 50rad/seg

Datos: , Parte del reposo t = ?


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3.

El collar C mostrado en la figura se mueve hacia abajo con velocidad de2 m/seg. Determine las velocidades angulares de CB y AB en este instante.

Datos:

Vc = 2 m/seg


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̅

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

̅

̅

̅ Haciendo : ̅ = 0

| |

̅ ̅ ̅ ||


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̅

̅

| |


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4. Partiendo del reposo s=0, la polea A recibe una aceleracion angular rad/seg

2, donde esta en radianes. Determine la rapidez del bloque B cuando se ha

levantado s = 6m. La polea tiene un cubo interior D que esta fijo a C y gira con él.

Datos:

rad/seg2s = 6m

A y C estan unidas por las mismas correas, por tanto tienen las mismas

componentes de y D y C estan sobre el mismo eje.


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5.

Determine la velocidad del bloque deslizable ubicado en C en el instante =, si el eslabon AB esta girando a 4 rad/seg.


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Datos:

̅ Determinando; ̅

̅

̅


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| |

6. Si la velocidad angular del eslabon AB es 3 rad/seg. Determine lavelocidad del bloque en el punto C y la velocidad angular del eslabon conector CB en el

instante y

Datos:

3 rad/seg

Puntos de Ubicación

pies pies pies


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̅

̅

| |


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7. En el instante mostrado, los automóviles A y B están viajando con

velocidades de 55 y 40 mi/h, respectivamente. Si B está incrementando su rapidez en

1200 ⁄ , mientras que A mantiene una rapidez constante, determine la velocidady la aceleración de A con respecto a B. El automóvil B se mueve por una curva que

tiene un radio de curvatura de 0.5 millas y la posición relativa de A con respecto a B en

el instante estudiado es de ( -3,42 ̂ - 9,40 ̂) mi

Solución:

Paso n° 1: Ubicar sistema fijo y sistema móvil.

El enunciado del problema nos indica que el auto observado es el A, mientras que en

el auto B hay un observador que en este caso es un observador móvil. En cuanto al

sistema fijo, lo más adecuado es ubicarlo siempre que sea posible en el mismo punto

que el sistema móvil, por lo tanto, el sistema móvil quedara ubicado sobre el auto B y

el sistema fijo por debajo del auto B coincidiendo en posición en el instante de tiempo

estudiado.

Paso n°2: Agrupar datos e incógnitas según el elemento al que pertenecen.

Sistema móvil (auto A) Partícula (auto B)

= 0 = 0,5 mi = ( -3,42 ̂ - 9,40 ̂) mi =( -40 cos 30° ̂ + 40 sen 30° ̂) mi/h


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= -55 ̂ mi/h = ( -1200 cos 30° ̂ + 1200 sen 30° )̂ ⁄ = 0 (Velocidad constante) ⁄

= ( 3200 sen 30° ̂ + 3200 cos 30° ̂) ⁄ = ( -1200 cos 30° ̂ + 1200 sen 30° )̂ ⁄ + ( 3200sen 30° ̂ + 3200 cos 30° )̂ ⁄ Ω = 40/0,5 ; rad/seg ̇ = 1200/0,5 ; ̇

Paso n°3: Aplicar las ecuaciones y resolver las incógnitas.

̇

Problemas Propuestos

1. (CIR) debido al desplazamiento, los puntos A y B sobre el borde del disco tienen

las velocidades mostradas. Determine las velocidades del punto central C y del

Punto E en ese instante

Resp. Vc = 2.50 pies/seg Ve = 7.91 pies /seg


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2. (CIR) La placa cuadrada esta confinada dentro de las ranuras en los puntos

A y B cuando = 30º, el punto A se esta moviendo a VA = 8 m/seg. Determine la

velocidad del punto D en ese instante.

Resp. VD = 5.72 m/seg

3. El carro de uno de los juegos de un parque de diversiones gira alrededor del eje A con una velocidad angular constante Waf , la cual es medida respecto al segmento

AB. Al mismo tiempo el segmento AB gira alrededor del eje principal de soporte B

con una velocidad angular constante Wf . Determine la Velocidad y Aceleración de

un pasajero que se encuentra en el puesto C en el instante mostrado. Datos:

Waf= 2rad/seg

Wf= 1rad/sega = 15 m

b = 8 mθ = 30º


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4. El “Scambler” es un juego que consiste en tres brazos principales que giran conrapidez angular constante W 1 = 12 rpm respecto a un eje pivote central fijo Ō y entres conjuntos de cuatro brazos secundarios que giran con rapidez angular absoluta

constante W 2 = 15 rpm respecto a un punto pivote móvil O en el extremo de cada

brazo principal. Cada brazo secundario lleva una banca que puede acomodar hasta

tres pasajeros. La configuración inicial en el tiempo t = 0 es θ1= 0 y θ2 = 0. Observeque θ1 y θ2 tienen sentidos opuestos.Suponga que el pasajero en A está en el extremo exterior de la banca, con r = 13 pies, a = 4 pies, b = 6 pies. Determine la aceleración experimentada por el pasajero.


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5. Una partícula de agua se está moviendo hacia afuera y a lo largo

del aspa impulsora de una bomba centrífuga de agua, con una

velocidad tangencial de 50 m/seg; y una aceleración tangencial de

30 m/seg2, ambas relativas al extremo del aspa. El rotor del aspa

tiene un radio de 8 cm, mientras que las aspas tienen una longitud

y un radio de 40 cm y 15 cm respectivamente. Dado que el aspa

gira con una aceleración constante de 5 rpm2 en el sentido de las

manecillas del reloj, determinar la velocidad y la aceleración de la

partícula de agua en el instante en que abandona el aspa, cuando

ésta gira con una rapidez de 200 rpm en el sentido de las

manecillas del reloj.

P

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