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R.

XVII OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA. TERUEL 2006

Problema Teórico 1. Un calendario fósil. 12/60 Puntos Algunos corales generan en su esqueleto finas estrías a causa de las interrupciones

diarias (día-noche) de su crecimiento. Estas estrías, posiblemente debidas a las variaciones de profundidad del mar por efecto de las mareas, se agrupan en estrechas bandas que corresponden a cada mes lunar. A su vez, las bandas mensuales se agrupan en otras, más anchas, con una periodicidad anual. Pueden apreciarse las citadas bandas en la fotografía de la figura 1, que corresponde a un coral fósil de Calceola sandalina, perteneciente al Museo Paleontológico de la Universidad de Zaragoza.

En definitiva, el sistema de estrías y bandas del esqueleto coralino equivale a un “calendario” de la época en la que el coral vivió y, a través de un estudio paleontológico, se deduce que entonces la duración del año era de unos 400 días. Por tanto, la Tierra giraba en torno a su eje con una velocidad angular mayor que en la actualidad. Puede suponerse que el periodo de rotación de la Tierra en torno al Sol no ha variado apreciablemente desde aquella época.

Por otra parte, mediciones muy precisas del tiempo de vuelo de pulsos láser emitidos desde la Tierra y reflejados en espejos colocados en la Luna, en misiones norteamericanas y de la antigua URSS, muestran que la distancia Tierra-Luna aumenta a razón de 3,8 cm/año.

La disminución de la velocidad angular de rotación de la Tierra y, en consecuencia, el paulatino aumento de la distancia entre la Luna y la Tierra, se deben a la enorme disipación de energía que se produce por la fricción del flujo y reflujo de las mareas oceánicas con los fondos marinos.

Dado que la masa de la Tierra es considerablemente mayor que la de la Luna y que la distancia entre sus centros es mucho mayor que cualquiera de sus radios, permite considerar la Luna como una partícula (puntual) de masa ML que describe una órbita

circular de radio R en torno al centro de la Tierra. En la figura 2 se representa a escala el sistema Tierra-Luna.

TL

Órbita R

ω

Fig. 2

Fig. 1

Bandas mensuales

Bandas anuales

2

R.


Suponga la Tierra esférica, con su eje de rotación perpendicular al plano de la órbita lunar, y que la pequeña velocidad con la que la Luna se aleja de la Tierra ha permanecido constante a lo largo del tiempo. Tenga en cuenta también que la Luna, vista desde la Tierra, presenta siempre la misma cara.

Con los datos que se indican al final del enunciado, a) Determine la distancia actual entre La Tierra y la Luna, R, en función de la

velocidad angular orbital de la Luna, ω, del radio de la Tierra, RT, y de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra, g. Calcule ω y R.

b) Calcule las velocidades angulares de la Tierra en torno a su eje en la actualidad, Tω , y cuando el coral vivía. Tω′ .

c) Determine la distancia entre la Tierra y la Luna, R′ , en la época en la que vivió el coral, en función de las siguientes magnitudes: R, MT , ML , RT, Tω , Tω′ y ω . Calcule el valor de R′ .

d) Haga una estimación de la “edad” del coral fósil, τ. Datos:

Masas de la Tierra y de la Luna: MT = 5,98·1024 kg; ML = 7,35·1022 kg; Radio de la Tierra: RT = 6,37·106 m Periodo de revolución de la Luna en torno a su eje: s10362 6⋅= ,TL Periodo de revolución de la Tierra en torno al Sol: s10163 7⋅= ,T Día sidéreo: s10648 4⋅= ,TT Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: 2m/s819,g =

Ayudas: De acuerdo con el modelo propuesto (Tierra rotatoria con su centro fijo y Luna de masa puntual), el momento angular del sistema respecto al centro de la Tierra es igual a la suma de los momentos angulares de la Luna en torno a la Tierra y de la Tierra en torno a su eje. Si el sistema está aislado, tal como se considera al sistema Tierra-Luna en este problema, su momento angular total debe conservarse. Para una esfera de masa m y radio a que gira con velocidad angular Ω en torno a un eje que pasa por su centro (figura 3), el módulo de su momento angular respecto al centro es 0L I= Ω , donde I

es el llamado momento de inercia respecto a dicho eje, cuyo valor es 225I m a= .

Solución a) De acuerdo con el modelo que sugiere el enunciado y representado en la figura 2,

la ecuación del movimiento de la Luna, considerada como una partícula de masa ML, que describe una órbita de radio R en torno a la Tierra es,

22 ωRM

RMMG L

LT = ⇒ 3RMG T=ω (1)

0L

Ω

Fig.3

3

R.


Como la aceleración de la gravedad es 2T

T

RM

Gg = ⇒ 3RgRT=ω , por lo que

31

2

2 /T gRR ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ω.

Dado que la Luna presenta siempre la misma cara, la velocidad angular de rotación de la Luna debe ser igual a su velocidad angular orbital, es decir

LTπω 2

= ⇒

rad/s10662 6−⋅= ,ω , por lo que el valor de R es m10833 8⋅= ,R . b) La velocidad angular actual de la Tierra en torno a su eje es 2T TTω π= . Como las

estrías del coral indican que mientras la Tierra realizaba una revolución en torno al Sol daba 400 vueltas en torno a su eje, el periodo T’ de revolución de la Tierra era,

s10907s400

10163 47

⋅=⋅

=′ ,,T

y, en consecuencia, la velocidad angular de la Tierra cuando vivía el coral era,

TT ′

=′ πω 2 ⇒ 57,95 10 rad/sTω −′ = ⋅

c) Considerando la Tierra y la Luna como un sistema aislado, su momento angular se conserva, lo que significa que el momento angular respecto al centro de la Tierra en la actualidad debe ser igual que en la época en la que el coral estaba vivo. Por lo tanto, de acuerdo con el modelo que se propone, (Tierra rotatoria con su centro fijo y Luna masa puntual),

ωωωω 22 RMIRMI LTTLTT +=′′+′ (2)

De (1), la velocidad angular orbital de la Luna, en la actualidad y cuando vivía el coral son, respectivamente,

3RgRT=ω y

3R

gRT

′=′ω

Por lo que, sustituyendo en (2), gRRMIRgRMI TLTTTLTT +=′+′ ωω .

De la “ayuda”, el momento de inercia es 52 2 /RMI TTT = , con lo que resulta,

( )2

521

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−′−=′ TT

L

TTM

RMgR

gR ωω

Con los valores obtenidos para Tω , Tω′ y ω y los datos del enunciado, se obtiene

m10653 8⋅=′ ,R d) De acuerdo con el enunciado, la velocidad con la que la Luna se aleja de la Tierra

es constante y de valor -93,8cm/año 1,2 10 m/sv = = ⋅ . La “edad” del coral fósil puede estimarse como el tiempo que ha transcurrido desde que la distancia Tierra-

Luna era R´ hasta la actual R, es decir, R Rv

τ′−

= ⇒ 161,5 10 sτ = ⋅ .

4

R.


Problema T2. Electrómetro absoluto de Kelvin 12/60 Puntos Tres placas metálicas están en el vacío, colocadas como se indica en la figura 1. La

placa C es circular de radio a; la B posee un orificio circular de radio ligeramente mayor que a, y en él esta colocada la placa C. La A, de radio igual al exterior de B, está separada de las anteriores una distancia d considerablemente menor que a. Cuando las placas se conectan eléctricamente a unos bornes entre los cuales hay una diferencia de potencial ∆V, la placa B, llamada anillo de guarda, hace que el campo eléctrico en la región cilíndrica comprendida entre la C y la A sea uniforme.

Tomando como datos la diferencia de potencial ∆V, la distancia d, el radio a de la placa C y la permitividad eléctrica del vacío ε0, determine:

a) El módulo, dirección y sentido del campo eléctrico uniforme E, en la región comprendida entre las placas C y A.

b) La carga eléctrica en la placa C. c) El módulo, dirección y sentido de la fuerza que la placa A ejerce sobre la C. Considérese ahora la figura 2, que es un

esquema simplificado del instrumento con el cual Lord Kelvin en 1860, midió por primera vez la fuerza electromotriz de una asociación en serie de pilas Daniell.

El aparato consiste en una balanza, cuyo plato izquierdo, suspendido por alambres conductores, es un disco metálico que juega el papel de la placa C de la figura 1. Coplanario con el disco C hay un anillo de guarda y a una distancia d por debajo, se sitúa la placa fija A.

Para aislar al dispositivo de posibles influencias eléctricas externas se coloca dentro de una caja metálica (jaula de Faraday) conectada a tierra. La figura 3, tomada de un libro de Física de los años 30, muestra un electrómetro de este tipo sin la caja metálica.

Con este dispositivo, la batería cuya fem ε se desea medir, se conecta como se indica en la figura 2. Como la placa A ejerce una fuerza sobre la C, para mantener la balanza en equilibrio es preciso añadir pesas en el platillo derecho de la balanza.

Fig. 1

d ∆V A

C B

Fig

d

Caja áli

ε

Fig. 2

A

C B

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R.


d) Si la masa requerida para equilibrar la balanza es kg10212 5−⋅= ,m , empleando los datos que se indican a continuación, determine la fuerza electromotriz de la batería, ε .

e) ¿Cuál es el error ∆ε en la medida de la fem debido a una imprecisión 0,5 mgm∆ = en la masa de la pesa?

Datos: Separación entre las placas: m10002 3−⋅= ,d . Radio de la placa C: m10001 1−⋅= ,a ; Permitividad dieléctrica: 21212

0 mNC10858 −−−⋅= ,ε . Aceleración de la gravedad: 19,81 msg −=

Solución a) De acuerdo con el enunciado, el anillo de guarda (placa B) asegura que el campo

eléctrico sea uniforme en la región comprendida entre la placa C y A. Por lo tanto, limitándonos a dicha región que es la de interés en el problema, la placa C por estar conectada al borne negativo, tendrá una carga negativa –Q, y, la inferior, conectada al borne positivo, tendrá la misma carga pero positiva, +Q. Ambas placas, separadas la distancia d, tal como se muestra en la figura 4, tienen una superficie 2aS π= .

El campo estará dirigido de la placa positiva a la negativa y, dado que el potencial entre las placas es ∆V, su valor será EdV =∆ , por lo que el módulo del campo es

dVE ∆

= (1)

y la dirección y sentido son las indicadas en la figura. b) Cada una de las placas, consideradas como planos cargados con densidades de carga

superficialesσ y σ− , crean sus respectivos campos. Su superposición es nula en puntos exteriores al espacio comprendido entre las placas y en los interiores es

0ε

σ=E (2)

En efecto, consideremos un punto P perteneciente al espacio entre placas y otros dos, P´ y P´´ exteriores, como se muestra en la figura 5a, y designamos por n al vector unitario perpendicular a ambas placas.

En la figuras 5b y 5c se representan los campos que crean individualmente las

∆V

F

E

0=E

0=E

0=E

F

n nE0ε

σ=

0=E

n02ε

σ−

n02ε

σ

n

F

n

F

n02ε

σ

n02ε

σ

n02ε

σ−

n

F

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R.


placas en los puntos señalados y se indican sus valores pueden ser obtenidos mediante la ley de Gauss (aplicada a una “caja de píldoras” cilíndrica con su eje normal al plano y una base a cada lado). Por último, para obtener el campo total se suman en cada uno de los tres puntos los campos de cada placa. Es decir, se suman los valores indicados en las figuras 5b y 5c, obteniéndose los indicados en la figura 5d.

Se deduce por tanto que el campo total en la región interior es nE0ε

σ= , cuyo

módulo es el dado en la expresión (2). Por otra parte, eliminando E entre (1) y (2) se obtiene la densidad superficial de

carga de las placas,

dV∆

= 0εσ , (3)

por lo que la carga de la placa C, teniendo en cuenta que es negativa, será,

2aQ πσ−= ⇒ dVaQ ∆

−= 20 πε

c) Sobre cada una de las cargas de la placa C (Fig. 1 del enunciado) actúa una fuerza debida al campo eléctrico creado por la placa inferior, cuyo valor indicado en la figura 5b, es

nE02ε

σ=

Como el campo es uniforme y la distribución de carga (negativa) en C también lo es, la fuerza total sobre ella es

ndVanQF ∆

−=−= 2

0 22πσ

εσ

y teniendo en cuenta (3)

ndVaF

2

02

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

−== επ

d) Ahora la diferencia de potencial ∆V es la fuerza electromotriz de la batería,ε , que se pretende medir. La fuerza F desequilibra la balanza y para volverla a equilibrar será preciso colocar en el platillo derecho una masa m tal que el momento de su peso sea igual al de la fuerza. Si suponemos que los brazos de dicha balanza son iguales, se tendrá que mgF = , de donde resulta,

ε0

22

επ amgd= (4)

Sustituyendo los valores numéricos que nos dan, ε = V079,

e) El error ∆ε debido a una imprecisión ∆m de la masa m puede obtenerse de la forma siguiente,

7

R.


∆ε ( ) ( )0

20

222

21

επ

∆

επ

∆

a

gmmd

a

gmmd

−−

+=

Se ha empleado este razonamiento por ser el más utilizado por los estudiantes de Bachillerato. Podría haberse obtenido más directamente por medio de procedimientos habituales de propagación de errores.

Si g,,m k10005mg005 6−⋅==∆ , el resultado es ∆ε = 0,9 V

Problema Teórico 3. Oscilaciones 8/60 Puntos Una pequeña bolita de masa m descansa sobre un muelle que está oscilando

verticalmente con un movimiento armónico simple dado por y = A sen ωt. a) Deducir las expresiones de la fuerza Fb que el pistón ejerce

sobre la bolita en función del tiempo t y de la posición y. A partir de ellas, encontrar la relación que han de guardar los parámetros de este movimiento y la aceleración de la gravedad para que la bolita no se separe del pistón.

b) Siendo 2 2 , 15 cmA g Aω = = , ¿en qué posición yd e instante td se despega la bolita del pistón?

c) Para la aplicación numérica anterior, representar gráficamente, i) la fuerza por unidad de masa, /bF m , en función de la posición del pistón, y; ii), la posición de la bolita y del pistón en función del tiempo, en el intervalo 0 2t T π ω≤ ≤ = .

Solución La fuerza neta ΣF sobre la bola para que describa el movimiento dado, y la de

interacción bola – piston, Fb, son:

a) 2 2 sinbF F mg ma m y m A tω ω ωΣ = − = = − = − , ( )( )

2

2 sin

bF m g y

m g A t

ω

ω ω

= −

= −

La separación ocurre cuando se alcanza 0bF = , ya que esta fuerza no puede ser negativa. Por tanto, no hay despegue si

20 sinbF g A t tm

ω ω> ⇒ > ∀ , 2 .g Aω> 2 20 sinb d dF g y A tω ω ω= ⇒ = =

b) Se produce despegue donde (yd) y cuando (td):

2 7,5 cm2 2d

g g Ayg Aω

= = = = , 1 1arcsin 45,8 ms2 6 2dt g A

πω

= = = .

8

R.


c) Gráficas

Fuerza del pistón sobre la bolita vs posición

-2

0

2

4

6

8

10

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Posición del pistón, y/A

Fuer

za, F

/m (m

/s^2

)

Posiciones en función del tiempo

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

tiempo, t/T

posi

ción

y (m

)

posición de la bola posición del pistón

Despegue

Despegue

Reencuentro

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R.


Problema Teórico 4. La pompa flotante 4/60 Puntos Un niño sopla pompas de agua jabonosa, y se observa que algunas de ellas flotan

momentáneamente en el aire en calma, que suponemos en condiciones normales. a) Encontrar la delgadez o espesor relativo de tales pompas, definido como la relación

espesor / radio. b) Determinar la masa líquida de una de ellas de 5 cm de radio.

Se supone que la masa molecular media del aire es 29, que la temperatura interior de una pompa es la normal del cuerpo humano, 37 ºC, y que la densidad del agua jabonosa es igual a la del agua pura.

Nota: No hay que tener en cuenta el efecto de la tensión superficial del líquido.

Solución

a)

( )

00

0

3 20 40 0 3

0

50 0

Peso Empuje ;

1 1 1 4

1, 291 0,12 ; 5,17·103 3000

Tl T

l T lm

l

TMPm V VRT T

TPm V V R R RM R T T T

T RR R RT R

ρρ ρ ρρ

ρ ρ ρ π ρ π

ρρ

−

= → + = = =

⎛ ⎞⎛ ⎞= − = − = − = ∆⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∆⎛ ⎞∆ = − = =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( ) ( )2 2 5

4 3 3 6

4 4 5,17·10

2·10 ·10 0,0517 27,6·10 ; 86,8 mg

l l l lm V S R R R R R

m

ρ ρ ρ π πρ

π π

−

− −

= = ∆ = ∆ =

= = =

Problema Teórico 5. Propagación de un rayo laser. 6/60 Puntos Un rayo de luz laser es una onda electromagnética que se puede considerar

monocromática y unidimensional, representada por su vector eléctrico (módulo) ( ) ( )0 0 0, sinE t x E t k xω= − . Se propaga en el aire ( 1n ) e incide normalmente sobre la

superficie de una lámina de caras planas y paralelas de índice de refracción n. Suponiendo que el rayo reflejado y el refractado tienen la misma intensidad, a) Determinar las funciones de ondas ( ) ( ), y ,r tE t x E t x , de la onda reflejada y de la

transmitida, respectivamente.

b) ¿Cuál es el valor máximo de Et después de atravesar la lámina, si su espesor es 1 mmd = y su coeficiente de absorción es 3 -110 mβ = .

c) La onda transmitida en la primera cara y la reflejada en la segunda, interfieren en su recorrido común en el interior de la lámina. Con relación a la onda resultante de esta

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R.


interferencia, ¿a qué distancia, xmax, de la cara posterior de la lámina, se encuentran los puntos de máxima amplitud?

d) Encontrar la expresión del ángulo de incidencia, i, para el que el rayo reflejado y el refractado son normales entre sí.

Ayuda: La intensidad de una onda electromagnética es proporcional al cuadrado del valor máximo del campo E.

Solución

a)

( ) ( ) ( ) ( )

2 010 02

00 0 0

0 00 0 0 0

Siendo , y, en general, , .2

Además, , , ,

, = sin y , sin2 2

r t r t

tr t r t

r t

EI I I I E E E

cv k k k nkn v c n

E EE t x t k x E t x t nk x

ω ωω ω ω

ω ω

= = ∝ = =

= = = = = = =

+ = −

b) 3 32 10 ·10

,max 0 0 02 2 2,max 02

0 0

; 0, 432 2 2

d dt x

t tot

E E E EI e E E e e e EI E e

β ββ

−− − −−= = = = = = =

c) max max0 0

2 22 ; , 1, 2,3,...m mx m x m mk nk nkπ π πλ= = = = =

d) 2

sin sin sin cos , arctansin cos

i ri n t i n i i n

r t t iπ

= ⎫⎪= ⇒ = =⎬⎪+ = ⇒ = ⎭

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R.


Prueba experimental Características de un pequeño motor 18/60 Puntos

Objetivo y fundamento Se trata de determinar algunas características de un pequeño motor de corriente

continua, del tipo de los utilizados en juguetería. Un motor de corriente continua es, básicamente, una bobina de hilo conductor

arrollada en torno a un eje, que interacciona con un campo magnético producido por un imán u otra bobina auxiliar. Mediante un generador (por ej., una batería), se hace pasar una corriente eléctrica continua por la bobina. Su interacción con el campo magnético consiste en un sistema de fuerzas sobre el eje y, por tanto, sobre lo que esté mecánicamente unido a él (la carga del motor), haciéndolo girar.

Desde el punto de vista energético, el motor recibe energía eléctrica mediante la corriente que se hace pasar por la bobina, y realiza trabajo mecánico mediante la rotación de su eje. Sin embargo, alguna energía se disipa por efecto Joule en el hilo con el que está construida la bobina.

Mientras el fundamento teórico es simple, la realización práctica está sujeta a una gran cantidad de condicionantes, entre ellos la geometría del conjunto, para optimizar sus características, especialmente su rendimiento energético.

Materiales suministrados - Motor de corriente continua - Polea para el motor (se

inserta a presión en el eje del motor). Su diámetro es de 6,0 ± 0,1 mm

- Portapilas para las dos pilas - Brida para sujetar el motor - 3 resistencias de 15 Ω

- 4 pinzas para las sondas de los multímetros. - Listón largo de madera - Escuadra metálica para sujetar el listón - Sargento para sujetar la escuadra a la mesa - Hilo de 0,1 mm de diámetro - Arandelas (que se usan como pesas). Las 4

arandelas grandes tienen una masa de 11,6 g, y la pequeña, de 5,9 g.

- Cinta métrica - Cronómetro - 2 multímetros - Clip - 2 pilas de 1,5 V - 3 pinzas metálicas - Tijeras

Montaje (I) Montaje mecánico del motor Se sujeta el motor mediante una brida,

que, a su vez, se sujeta mediante dos pinzas en la parte superior del listón de madera. El listón de madera se coloca vertical, apoyado en el borde de la mesa, y se sostiene mediante una escuadra sujeta al listón con una pinza. Un sargento aprieta la

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R.


escuadra contra la mesa (ver figura y contraportada). Montaje eléctrico del circuito del motor

(circuito I, ver contraportada) Se colocan dos pilas en serie en el portapilas, que se

coloca detrás del listón. Se puede sujetar aprisionando los cables con una de las pinzas que aguantan la brida con el motor. Estas pilas son el generador que se usará para hacer funcionar el motor.

Se conecta un polímetro, empleado como voltímetro en

la escala de 20 V de corriente continua, para medir la tensión en los terminales del motor.

Se conecta uno de los terminales del portapilas a un terminal del motor (doblando los cables entre sí). El otro terminal del portapilas se conecta a uno del polímetro funcionando como amperímetro en la escala de 200 mA de corriente continua. Bastará con tocar el terminal del motor con el otro terminal del amperímetro para alimentar el motor y hacer que gire. El contacto tiene que ser firme para evitar variaciones en la intensidad.

Comprobación del montaje El motor debe girar al tocar el cable con la sonda

del amperímetro, y los instrumentos deben indicar la tensión y la intensidad.

Determinación de la resistencia interna R del motor Si el motor no se deja girar se comporta como una resistencia, R, correspondiente al

hilo que forma el bobinado. Puesto que el valor de R es pequeño, la medida directa de esta resistencia con el polímetro puede dar un error apreciable. Por ello, es conveniente un procedimiento basado en tomar varias medidas de intensidad y voltaje en un circuito que incluye el motor.

Modo de operación (circuito II) El motor se alimenta con una batería,

conectándolo en serie con un conductor de resistencia Rext. Con distintos valores de Rext, se obtienen distintas intensidades en el motor, para ello se utiliza, en cada caso, una combinación distinta (en serie o en paralelo) de 3

Circuito I

Circuito II

R

13

R.


resistencias de 15 Ω, para lo cual se enrollan sus terminales. Para cada valor de Rext se miden la intensidad y la tensión en el motor, sujetando el eje del motor para impedir que gire.

Medidas 1. Hacer una tabla de valores Rext ,V e I correspondiente a las medidas realizadas en

el circuito anterior. Puesto que el motor bloqueado se comporta como una resistencia, la ley de Ohm permite calcular su valor, R.

2. Hacer la representación gráfica V−I. 3. A partir de ella, calcular el valor de la resistencia R.

Montaje (II) Se hace pasar un hilo de una longitud similar a la del listón por la polea de plástico y se anuda, con el nudo en la parte interior, tal como muestra la figura (ver contraportada). Puede ser conveniente utilizar un clip para ayudar a pasar el hilo por los agujeros. La polea se inserta a presión en el eje del motor. Se ha de asegurar que el motor está sujeto con su eje horizontal, de modo que al hacerlo funcionar, el hilo se enrolle a lo largo de toda la anchura de la polea.

Se dobla el clip para hacer un portapesas que permita colgar las arandelas que se utilizarán como pesas. Se cuelga el portapesas de un lazo en el extremo inferior del hilo.

Relación entre la fuerza electromotriz ε’ y la velocidad angular ω del motor Cuando gira un motor, además del efecto principal (la fuerza de interacción

electromagnética), se tiene un efecto secundario inseparable del anterior: una bobina (muchas espiras acopladas) girando en un campo magnético produce una fuerza electromotriz (fem) inducida que, de acuerdo con la ley de Faraday-Lenz, se opone al paso de la corriente. Por esta razón, en los motores se habla de fuerza contraelectromotriz, que se designa con el símbolo ε’. Aquí se aprovecha la experiencia con un dispositivo técnico para hacer una comprobación científica.

Como en cualquier dispositivo práctico que efectúa transformaciones de energía, interesa el máximo rendimiento, entendido como la relación entre el beneficio obtenido (la energía o trabajo desarrollado) y el coste necesario para obtenerlo (la energía o trabajo suministrado).

Según el esquema del circuito III, la tensión V entre los terminales del motor cumple:

Circuito III

← Generador Motor →

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R.


IRV += 'ε Modo de operación Se define previamente la altura h a la que el motor elevará la carga, y se anota este

valor. Se cuelgan distintas pesas del hilo y, al cerrar el circuito tocando un terminal del

motor con un terminal del amperímetro, el motor gira, enrolla el hilo y levanta la pesa una altura h.

Medidas Combinando las pesas del modo apropiado se puede conseguir una serie de masas

creciente m (se puede ignorar la masa del clip). 4. Hacer una tabla con los valores de la masa empleados y, para cada uno de ellos,

con las medidas obtenidas de: a) el tiempo que tarda subir la altura h b) la tensión V en los terminales del motor c) la intensidad I que circula Es conveniente medir separadamente (repitiendo la elevación) el tiempo, y la tensión e

intensidad, ya que resulta muy complicado poder hacer las tres medidas simultáneamente. Las medidas del tiempo con el cronómetro son la principal fuente de error en el

experimento, por ello, se sugiere tomar 5 medidas del tiempo para cada pesa. Para la intensidad y la tensión, 3 medidas son suficientes. Tomar más medidas de estas magnitudes, que resultaría deseable para un mejor tratamiento de los errores, puede suponer que no se disponga de tiempo suficiente para completar todas las tareas que se proponen.

Cálculos y gráficas 5. La tabla se ha de completar calculando, para cada una de las masas utilizadas, los

correspondientes valores de: • La fuerza contraelectromotriz, ε’, • la velocidad v con que se levanta la pesa (que se supondrá constante durante cada

ascenso), • el error ∆v en la velocidad, • la potencia mecánica desarrollada por el motor, Pm = mgv, • la potencia eléctrica suministrada al mismo, Pe = IV • el rendimiento de la transformación de energía, Re = Pm / Pe.

6. A partir de los valores tabulados se hará la representación gráfica de la fuerza contraelectromotriz del motor ε’ en función de la velocidad v con que asciende la pesa. Para simplificar la representación, así como para realizar el apartado 7, se puede considerar que los errores en los valores de ε’ son insignificantes frente a los errores de v.

15

R.


7. Se determinará la constante de proporcionalidad, k, entre ε’ y la velocidad angular ω con que gira el motor, así como el error ∆k en el valor de k.

8. A partir de los valores tabulados se hará la representación gráfica del rendimiento en función de la masa. Se determinará la masa para la cual el rendimiento es máximo. Soluciones Datos obtenidos en una realización correcta del experimento

Determinación de la resistencia interna, R, del motor

1. Tabla de valores medidos Rext, V e I. Usando escalas de multímetro de 20 V y 200

mA para V e I, respectivamente, se obtiene la tabla adjunta.

2. Representación gráfica V − I

3. Resistencia del hilo R (pendiente de la recta): • 8,8R = Ω , mínimos cuadrados Excel.

• 8,9R = Ω , buscando “a mano” la recta que mejor ajusta a los puntos.

• Considerar correcto 8,8 0,1R = ± Ω .

Rext (ohmios) I (A) V (V)

15 0,1185 1,04 30 0,0756 0,66 7,5 0,1635 1,44

22,5 0,0924 0,81 45 0,0558 0,49

Gráfica V- I para obtener la resistencia del hilo del motor

y = 8,8032x - 0,0021R2 = 1

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18

I (A)

V(V

)

16

R.


Relación entre la fuerza contraelectromotriz ε’ y la velocidad angular ω del motor 4. Tabla con los valores de la masa empleados y, para cada uno de ellos, con las

medidas obtenidas de: a) El tiempo que tarda en subir la altura h, b) la tensión V en los terminales del motor, c) la intensidad I que circula.

Tiempo (s) Intensidad (mA) Tensión (V) Masa (g) t1 t2 t3 t4 t5 I1 I2 I3 V1 V2 V3

5,9 1,87 1,81 1,78 1,84 1,78 33,9 32,8 33,3 3,08 3,08 3,07

11,6 1,93 1,93 1,91 1,87 1,91 48,9 47,3 47,2 3,02 3,04 3,03

17,5 2,06 2,03 2,03 2,03 2,09 59,5 60,1 59,4 3,00 3,00 3,00

23,2 2,16 2,13 2,16 2,19 2,16 73,4 73,1 72,8 2,96 2,96 2,96

29,1 2,38 2,43 2,31 2,38 2,41 86,3 85,7 86,2 2,92 2,93 2,92

34,8 2,59 2,59 2,53 2,63 2,56 98,6 98,5 98,3 2,89 2,88 2,89

40,7 2,78 2,84 2,85 2,81 2,82 110,2 111,3 111,7 2,85 2,85 2,84

46,4 3,10 3,06 3,06 3,10 3,03 125,4 125,5 126,0 2,82 2,83 2,81

52,3 3,37 3,32 3,47 3,50 3,56 137,2 138,5 136,4 2,78 2,77 2,77

La altura h es un valor particular de cada experimentador. En las medidas que siguen,

h = 0,960 ± 0,005 m

17

R.


5. Tabla de los valores medios experimentales y cálculos

Valores medios experimentales Cálculos

Masa m (g)

Tiempo medio,

t (s)

Error tiempo, ∆t (s)

Intens. media, I (mA)

Tensión media, V (V)

Veloc., mv h t=

(m/s)

Error veloc.,

∆v (m/s)

∆V en R V IR∆ = (V)

Fcem '

V IRε =

−

(V)

Potencia mP

mgv=

(W)

PotenciaeP IV= (W)

Rendto.e

m e

RP P

=

5,9 1,82 0,039 33,3 3,08 0,529 0,011 0,293 2,78 0,031 0,103 0,30

11,6 1,91 0,024 47,8 3,03 0,503 0,006 0,421 2,61 0,057 0,136 0,39

17,5 2,05 0,027 59,7 3,00 0,469 0,006 0,525 2,47 0,080 0,172 0,45

23,2 2,16 0,021 73,1 2,96 0,444 0,004 0,643 2,32 0,101 0,209 0,47

29,1 2,38 0,045 86,1 2,92 0,403 0,008 0,757 2,17 0,115 0,243 0,46

34,8 2,58 0,037 98,5 2,89 0,372 0,005 0,867 2,02 0,127 0,274 0,45

40,7 2,82 0,027 111,1 2,85 0,340 0,003 0,977 1,87 0,136 0,305 0,43

46,4 3,07 0,030 125,6 2,82 0,313 0,003 1,106 1,71 0,142 0,340 0,40

52,3 3,44 0,098 137,4 2,77 0,279 0,008 1,209 1,56 0,143 0,364 0,38

6. Representación gráfica de la fuerza contraelectromotriz del motor ε’ en función de la velocidad v con que asciende la pesa.

E' en función de v

y = 4,7685x + 0,2341R2 = 0,9977

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600

v(m/s)

E'(V

)

18

R.


7. Constante de proporcionalidad, k, entre ε’ y la velocidad angular ω con que gira el motor, así como el error ∆k en el valor de k.

En primer lugar se calcula la pendiente, p, de la recta en la representación ε’–v Ajustada con Excel: p = 4,77 Vs/m. A partir de las rectas de pendiente máxima y mínima (4,96 y 4,49 Vs/m,

respectivamente) hechas “a mano” teniendo en cuenta las barras de error de v , se obtiene 4,7 0,3 Vs/m.p = ± La constante k pedida, se relaciona con la pendiente p de la gráfica y con el

radio r de la polea:

' 'k prv r

ε εω

= = = ,

resultando Vs/rad 001,0014,010)05,03)(3,07,4( 3 ±=⋅±±= −k 8. Representación gráfica del rendimiento en función de la masa.

Rendimiento en función de la masa

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0 10 20 30 40 50 60

m(g)

Ren

dim

ient

o

El rendimiento es máximo para una masa 23 2 gm = ± .

problema teórico 1. un calendario fósil. 12/60 puntos - universitat de … olimp fisica... ·...

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