problema de los dardos
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5. 5. 11. 11. Problema de los Dardos. XXV Olimpiada Thales. 5. 5. 11. 11. El Problema de los Dardos:. Ana le propuso a Enrique jugar a los dardos con una diana muy especial, como la que aparece en la figura. Ana le hizo la siguiente pregunta a Enrique: - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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XXV Olimpiada Thales
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SoluciónSolución MenúMenú
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5
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5
El Problema de los Dardos:
Ana le propuso a Enrique jugar a los dardos con una diana muy especial, como la que aparece en la figura. Ana le hizo la siguiente pregunta a Enrique:
“Pudiendo disparar todas las veces que quieras y sumando siempre la puntuación obtenida a la anterior, ¿cuál es la puntuación máxima menor que 100 a la que no podrás llegar nunca?”.
SoluciónSolución MenúMenú
¡Enrique, mucha atención con las puntuaciones en cada tirada y ve acumulando los puntos!
¡OK, Ana. Primero voy a tomar nota de las primeras tiradas!
Solución:
SoluciónSolución MenúMenú
¡Voy a ver que sucede con una y dos tiradas!
1 Tirada:
11
5
{5}
{11}
2 Tiradas:
11
5
11
5
11
5
11
5 {5}+{5}=10
{5}+{11}=16
{11}+ {11}=22
Solución:
SoluciónSolución MenúMenú
Y con tres tiradas, ¿puedo ya encontrar alguna regla?
3 Tiradas:
11
5
11
5
11
5
{5}+ {5}+ {5}=15
11
5
{11}+ {11}+ {11}=33
{5}+{5}+ {11}=21
{5}+ {11}+ {11}=27
Solución:
SoluciónSolución MenúMenú
¡Creo que ya se puede sacar algo en claro con cuatro tiradas!
4 Tiradas:
11
5
11
5
11
5
{5}+ {5}+{5}+{5}=20
11
5
{5}+{11}+ {11}+ {11}=38
{5}+{5}+{5}+{11}=26
{5}+{5}+ {11}+ {11}=32
11
5
{11}+{11}+ {11}+ {11}=44
Solución:
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Así seguiríamos tirando a la diana para conseguir, en definitiva, cada número con la condición de que sea menor o igual que 100. Si llamamos x al número de veces que el dardo da en 5, e y al número de veces que el dardo da en 11 se debe cumplir que:
5x+11y≤100
Solución:
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¡Enrique, te veo un poco indeciso!
¡En absoluto, Ana! En breve te puedo sacar algún patrón para conseguir llegar a la solución del problema planteado.
Solución:
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¡No olvidemos que tenemos que ver cuál es la puntuación máxima que no se puede conseguir menor o igual que cien. De las cuatro tiradas ya podemos sacar una consecuencia:
NO SE PUEDEN CONSEGUIR
a) Entre [1 y 10]: {1,2,3,4,6,7,8,9}, luego en este
intervalo, el máximo es 9.b) Entre [10,20]: {12,13,14,17,18,19}, luego en
este intervalo, el máximo es 19.
Solución:
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¡Para dar respuesta a la cuestión planteada la estrategia anterior es laboriosa. Vamos a encontrar el patrón más fácilmente si representamos gráficamente los datos que vayamos obteniendo en sucesivas tiradas.
Solución:
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
1
T
2
T
3
T
4
T
5
T
6
T
7
T
8
T
9
T
10
T
11
T
12
T
13
T
14
T
15
T
16
T
17
T
18
T
19
T
20
T
11
2
2
33
44
5
5
66
7
7
88
9
9
1T
2
T
3T
4
T
5T
6
T
7T
8
T
9
T
16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96
27 32 37 42 47 52 57 62 67 72 77 82 87 92 97
38 43 48 53 58 63 68 73 78 83 88 93 98
49 54 59 64 69 74 79 84 89 94 99
71 76 81 86 91 96
60 65 70 75 80 85 90 95 100
93 98
82 87 92 97
5
11 a) Los múltiplos de 11 cuyas tiradas den en la zona del 11 de la diana.
b) Los números que terminen en 0 y 5 con dardos cuya tirada den en la zona del número 5 de la diana conseguidos solo con el cinco.
d) Y así sucesivamente con los número que terminan en 2 y 7; 3 y 8; 4 y 9.
c) Los números que terminen en 1 y 6 con dardos cuya tirada sea una vez
en 11 y sucesivamente 1,2,3, 4, ….veces que den en el número 5 y cuya
suma no supere a 100.
e) Terminados en 0 y 5; 1 y 6; 2 y 7; 3 y 8
conseguidos con el 5 y el 11.
Tiradas
Solución:
SoluciónSolución MenúMenú
¿Te has dado cuenta Ana de un
detalle? Con la construcción de la tabla
anterior hay números que se repiten y son los que aparecen en rojo, por lo tanto los tenemos en cuenta una sola
vez y los eliminamos de la tabla.
Solución:
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
1
T
2
T
3
T
4
T
5
T
6
T
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T
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T
10
T
11
T
12
T
13
T
14
T
15
T
16
T
17
T
18
T
19
T
20
T
11
2
2
33
44
16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96
27 32 37 42 47 52 57 62 67 72 77 82 87 92 97
38 43 48 53 58 63 68 73 78 83 88 93 98
49 54 59 64 69 74 79 84 89 94 99
1T
2
T
3T
4T
Estos son los números que se
obtienen menor o igual que cien cumpliendo que
5x+11y≤100
Solución:
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
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T
2
T
3
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T
5
T
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10
T
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T
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T
13
T
14
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15
T
16
T
17
T
18
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19
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20
T
11
2
2
33
44
16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96
27 32 37 42 47 52 57 62 67 72 77 82 87 92 97
38 43 48 53 58 63 68 73 78 83 88 93 98
49 54 59 64 69 74 79 84 89 94 99
1T
2
T
3T
4T
Con los datos que aparecen la tabla podemos fácilmente deducir que NO SE PUEDEN
CONSEGUIR:
Entre [20 y 30 ]: {23,24,28,29} luego en este intervalo el
máximo es 29. Entre [30,40]: {34,39}, luego en este intervalo el máximo
es 39.
Solución:
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
1
T
2
T
3
T
4
T
5
T
6
T
7
T
8
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T
10
T
11
T
12
T
13
T
14
T
15
T
16
T
17
T
18
T
19
T
20
T
11
2
2
33
44
16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96
27 32 37 42 47 52 57 62 67 72 77 82 87 92 97
38 43 48 53 58 63 68 73 78 83 88 93 98
49 54 59 64 69 74 79 84 89 94 99
1T
2
T
3T
4T
¡Y a partir del 39 ya se pueden conseguir cualquiera hasta el número 100:
40,41,42,43,44,……..95,96,97,98,99,100
Por lo tanto, el mayor de todos que nunca conseguiríamos , es
39
Solución: