Problema de Dirichlet y Teorema de Poisson O.R. FAURE A˜ no 2016 Aqu´ ı se dedicar ´ a el tiempo a un tema exclusivamente, que est´ a en el centro de la Teor´ ıa de Series de Fourier. En t ´ erminos f´ ısicos, consiste en determinar la distribuci ´ on de temperatura en condiciones estacionarias de un disco cuando se conocen las temperaturas de su contorno; la formulaci´ on matem´ atica es conocida como Problema de Dirichlet. Empezando desde cero, se lleg a a una soluci ´ on de la forma: ∑ n a n r|n| e inθ , llamada Serie Trigonom´etrica. El int ento de compr oba r que ´ esta puede ser la soluci´ on del problema del calor conduce al Teorema de Poisson, uno de los resultados mas atractivos del an´ alisis . Se deducen luego algunas (pocas) consecuen cias important es, pero solame nte esas poc as dan una idea de la import anc ia del teorema. Ide as de la demost rac i´ on y de la repre- sentaci ´ on integral en la que se basa, aparecen frecuentemente en matem ´ aticas aun hoy. 1. ECUACI ´ ON DELC ALOR ENC ONDICIONES E STACIONARIAS El primer paso para la resoluci´ on de problemas de calor (lo mismo para la mayor parte de pro- blema de la f´ ısica matem´ atica) consiste en hallar una ecuaci ´ on diferencial que rija la situaci ´ on. Puesto que se trata aqu´ ı de un disco, el sistema natural de coorde nadas es el polar . La tem- peratura en el punto de coordenadas (r, θ ) se designar´ a por u(r, θ ). Par a hallar la ec uac i´ on significativa, consid´ erese una secci ´ on cualquiera del disco dada por: 0<r0 <r<r1 ≤ 1, θ 0 < θ < θ 1 . (1) V´ ease la Figura 1. Puesto que se est´ a considerando el problema en condiciones estacionarias, la velocidad de entrada del calor en esta secci ´ on debe ser cero, de otro modo la temperatura media cambiar´ ıa con el tiempo. Ahora bien, un postulado b ´ asico de la conducc i ´ on del calor es que la velocidad seg´ un la cual el calor atraviesa una curva Ces proporcional a la integral a lo largo de la curva de la derivada normal ∂ u/∂ nde la distribuci ´ on de temperatura. Aqu´ ı ∂ u/∂ nes la derivada de u con respecto a la longitud de arco a lo largo de cualquier curva perpendicular a C. Cuando Ces la lado θ = θ 1 en la porci´ on dada en (1), se puede tomar esta curvas perpendiculares como las dadas porr=constante. Entonces, puesto que la longitud de un arco circular es igual al ´ angulo multiplicado por el radio, a lo largo de θ = θ 1 la derivada normal es: du dn = lim h→0 u(r1 , θ 1 + h) − u(r1 , θ 1 ) rh = r−1 u θ (r, θ 1 ) (2) y la velocidad de entrada del calor en la secci´ on de la Figura 1 a lo largo del contorno θ = θ 1 es kr1 r0 r−1 u θ (r, θ 1 )dr, (3)
