PROBLEMA 8.

Sea el tetraedro ABCD y sus aristas opuestas AD y BC, que se muestran en la siguiente figura:

Por el punto M, mitad de la arista AD, se traza la paralela a BC. Con ambas rectas se determina el plano X. Así mismo, por el punto M se traza la perpendicular a BC, que interseca a esta arista en P, punto medio. Con los puntos A, D y P se tiene el triángulo equilátero ADP, donde AP es mediana del triángulo

MP es mediana de ADP relativa a AD. Precisamente, la longitud de MP es la mínima distancia entre BC y AD.

En el triángulo rectángulo AMP, empleamos el teorema de Pitágoras, no sin antes recordar que, por dato del problema, la arista del tetraedro mide l u.; AM, l2u .y AP mide

l√32u . MP también mide

l√32u .

PROBLEMA 9.

Este teorema se resuelve mediante el teorema de las tres perpendiculares.

Ya que nos estamos refiriendo a aristas de un cubo, BN es perpendicular a BM y PM es perpendicular a BM. Luego, MN es perpendicular a PM. Por lo tanto, para calcular el área del triángulo PMN operamos:

A=6.6 √22

=18√2u2

PROBLEMA 10.

El poliedro OPQRST es un octaedro regular (se comprueba fácilmente que su arista mide 4 √2cm .¿

a) El área superficial del octaedro es igual a ocho veces el área del triángulo equilátero OPS. Es decir:

A s=8.¿¿¿

b) El volumen del octaedro se calcula mediante la fórmula

V=a3√23, donde arepresenta lamedida de laarista .

V=(4√2 )3√2

3=2563u3.