probabilidades1

PROBABILIDADESExperimentos y Eventos

¿Cómo osamos hablar de leyes del azar? ¿No es, acaso, el azar la antítesis de cualquier ley?Bertrand Russell

Probabilidad Dominar la fortuna

La probabilidad de tener un accidente de tráfico aumenta con el tiempo que pasas en la calle. Por tanto, cuanto más rápido circules, menor es la probabilidad de que tengas un accidente.

El 33% de los accidentes mortales involucran a alguien que ha bebido. Por tanto, el 67% restante es causado por alguien que no ha bebido. A la vista de esto y de lo anterior, esta claro que la forma más segura de conducir es ir borracho y a gran velocidad.

“OPORTUNIDADES” Y “PROBABILIDADES”

Ante la falta de certidumbre, es común utilizar expresiones como : “Las oportunidades son muy buenas”, o, “Tenemos buenas oportunidades” , o “pocas oportunidades”.

Sin embargo, las Probabilidades nos proporcionan una mejor descripción para estas situaciones, que son mejor percibidas y empleadas en la TOMA DE DECISIONES.

Experimentos y Eventos

• ¿Cuál es la probabilidad de obtener 1 cara si arrojamos una moneda una vez?

Posibles Resultados de Número

Favorables Resultados de Número Prob

5.0

2

1

,

sc

c


• ¿Cuál es la probabilidad de obtener 1 cara si arrojamos una moneda tres veces?



375.0

8

3

2

33

),(sss)(scs),(sscss),(scc),),(csc),(c(ccc),(ccs

),(ssc)(css),(scs

C

S

C

C

C

C

C

S

S

S

S

S

S

C

ÁRBOL DEPROBABILIDADES

Definiciones

• Experimento– Actividad que origina un evento. – Proceso de hacer una observación y obtener un resultado.

• Evento (o punto muestral)– Uno o más de los posibles resultados de un experimento.

• Espacio Muestral– Colección de todos los posibles resultados de un

experimento.

• Probabilidad– Medida numérica entre 0 y 1 que expresa la posibilidad que

ocurra un evento

Probabilidad como una medida numérica de su posibilidad de ocurrencia

0 1.5

Incremento posibilidad de Ocurrencia

Probabilidad:

El evento es muy improbable de ocurrir.

El evento es muy improbable de ocurrir.

La ocurrencia del evento es tanto probable como improbable.

La ocurrencia del evento es tanto probable como improbable.

El evento es casi seguro que ocurra.

El evento es casi seguro que ocurra.

Lanzar una moneda Cara, Sello.Lanzar dos monedas CC, CS, SC, SSSacar una carta (valor) 2©, 2¨, ..., Aª (52)Sacar una carta (color) Roja, NegraLanzar un dado. 1, 2, 3, 4, 5, 6Jugar un partido Ganar, Empatar, PerderInspeccionar una parte Defectuoso, Bueno

Experimento Espacio Muestral

1 Cara y 1 Sello CS, SCCara en la 1ra. moneda CC, CSAl menos una Cara CC, CS, SCCara en cada lanzamiento CC

Experimento: Lanzar dos monedas

Espacio Muestral: CC, CS, SC, SS

Evento Resultados


• ¿Si lanzamos 2 dados, cuál es la probabilidad de obtener un puntaje de 7?



1667.0

36

6

6

)1,6(),2,5(),3,4(),4,3(),5,2(),6,1(2


• ¿Cuál es la probabilidad de sacar un as al sacar un naipe de una baraja?



0769.0

13

1

52

4

Naipes 52

Espadas de As Diamantes, de As Tréboles, de As Corazones, de As

Principios de conteo

• Principio aditivo: Si se desea escoger un objeto que puede tener r tipos distintos, y para el primer tipo hay t1 opciones, para el segundo tipo hay t2 opciones, para el tercer tipo t3 opciones, y así sucesivamente hasta tr opciones para el ultimo tipo, entonces el objeto puede escogerse de t1 +t2 ...+tr maneras. Es decir, el total de opciones es la suma del número de opciones en cada tipo.

• EJEMPLO: Supongamos que hay que escoger un libro de entre tres materias: matemáticas, historia y biología. Hay seis libros de matemáticas, 9 de historia y 4 de biología. Entonces tenemos 6+9+4 = 19 opciones.

5-37

Principios de conteo

• Principio multiplicativo: si hay n1 modos de hacer una cosa y n2 formas de hacer otra, existen n1 x n2 formas de hacer ambas.

• EJEMPLO: Una persona tiene 10 camisas y 8 corbatas. ¿Cuántos conjuntos de camisas/corbatas tiene?

(10)(8) = 80 - - - Visualizar en el diagrama de árbol• Principio multiplicativo (Extensión): Si cada uno de los k

eventos independientes puede ocurrir de n modos diferentes, el numero total de posibilidades es nk

• EJEMPLO: Las placas de automóvil tienen 6 números o letras que se pueden repetir, y hay 26 letras y 10 dígitos posibles. Entonces (36)6 = 2,176’782,336 placas

5-37

Ejemplos :• Si Jaimito tiene 2 autos diferentes y 4 rutas para ir a la

Universidad, puede llegar 2*4, es decir de 8 modos distintos.

• EJERCICIO : Si queremos buscar las posibles combinaciones de consonantes y vocales para completar el nombre “_ _ _TECH”, donde la 1a sea c(21), la 2a v(5), y la 3a c(21) para completar la forma cvcTECH. (Puede ayudarse empleando el diagrama de árbol o árbol de probabilidades)

Otro ejemplo• ¿Cuántos números de 5 cifras están formados

únicamente de cuatros y doses (ejemplos: 44242, 24422)?

• Se pide números de cinco cifras, es decir llenar con doses y cuatros las cinco rayitas _ _ _ _ _.

• En la primera rayita podemos poner un dos o un cuatro (2 opciones), en la segunda podemos poner un dos o un cuatro (2 opciones), lo mismo en la tercera, cuarta y quinta rayita. Usando el principio de la multiplicación :

2× 2 × 2× 2 × 2= 25 = 32.• Rpta : Hay 32 números de 5 cifras formados solo por 4 y 2.

Otro ejemplo más

• ¿Cuántos números de cinco cifras no tienen cincos ni treses?

• Tenemos que llenar cinco espacios _ _ _ _ _. En el primer espacio, de los diez dígitos, no podemos usar el 3 ni el cinco, pero tampoco podemos usar un cero ya que si ponemos cero, el numero tendría menos de cinco cifras. Entonces tenemos 7 opciones para el primer espacio.

• En las restantes 4 posiciones podemos poner cualquier digito excepto el 3 y el 5, es decir 8 opciones en cada caso.

• Usando el principio de la multiplicación :7 × 84 = 28672 números posibles.

• Si hay que escoger un número de 4 cifras que tenga todas sus cifras pares excepto 4s y 8s, o todas sus cifras impares, excepto 5s y 7s, ¿De cuantas formas puede hacerse?

• Hay dos tipos de números que queremos contar: los que tienen dígitos pares y los que tienen dígitos impares.

• Por principio aditivo el total lo obtendremos sumando el total de cada caso.

• Cuando todos son pares, hay cuatro posiciones _ _ _ _. En la primera posición tenemos que poner un número par que no sea 4 ni 8, pero tampoco 0 (??). Entonces tenemos 2 opciones (2,6). Para las demás posiciones tenemos 3 opciones siempre (2,6,0). El total es 2×33 = 54.

• Cuando todos son impares, como no podemos poner 5s ni 7s, tenemos 3 opciones para cada espacio: 1,3,9. En total hay 34 = 81 números de esta forma.

• Entonces, el total pedido (con el principio aditivo) es 54 + 81 = 135.

Más ejemplos

Último ejemplito

• ¿Cuántos números de seis cifras hay que no tienen sus dígitos repetidos ?

• Tenemos seis espacios a llenar _ _ _ _ _ _ . • En el primero, tenemos 9 opciones, porque no podemos poner

al cero.• En la segunda posición también tenemos 9 opciones, porque,

aunque ya no podemos usar el numero que escogimos antes, ahora si podemos usar el cero.

• Para la tercera posición tenemos 8 opciones (de los 10 dígitos, ya usamos dos), para la cuarta posición hay 7 opciones, para la quinta 6 y para la ultima 5.

• En total hay 9×9×8×7×6×5= 136080 números de seis cifras sin dígitos repetidos.

Permutaciones• Permutación: un arreglo de r objetos seleccionados a

partir de un grupo único de n objetos posibles.

• Se refiere al número de modos diferentes en los que los objetos pueden ser ordenados. En una permutación, cada objeto sólo puede aparecer una vez, y cada ordenamiento de los objetos constituye una permutación diferente.

• Nota: el orden del arreglo es importante en las permutaciones.

5-38

Permutaciones

• Supóngase que hay ocho máquinas disponibles, pero solo tres espacios en el piso del taller donde se han de instalar tales máquinas. ¿De cuántos modos diferentes pueden colocarse las ocho máquinas?

)!(

!Pr

rn

nn

Permutaciones

• Primer espacio: 8 posibilidades• Segundo espacio: 7 posibilidades (una ya se utilizó)• Tercer espacio: 6 posibilidades.

• 8 x 7 x 6 = 336 permutaciones

• Excel : =PERMUTACIONES(8,3)

)!38(!8

!5!8

1*2*3*4*51*2*3*4*5*6*7*8

Permutaciones

• Usted tiene 10 camisas. Suponiendo que cada camisa que viste va a la ropa sucia y que las camisas se lavan cada semana, ¿Cuántas maneras diferentes de seleccionar sus camisas se producen en una semana?

800,604!3

!10

)!710(

!10710

P

Permutaciones

• Se desean acomodar cinco libros en un librero, ¿De cuantas maneras posibles pueden ser ordenados?

120!0

!5

)!55(

!555

P

Permutaciones

• Se tienen 6 libros, pero solo caben 4 en la repisa. Los que restan quedaran finalmente en el escritorio. De cuantas maneras se pueden acomodar los libros en la repisa?

360!2!6

)!46(!6

46

P

Permutaciones

• Un alumno tiene para el fin de semana 9 tareas, pero como tiene una fiesta solo tendrá tiempo para hacer 5 de ellas. En cuántos ordenes/arreglos diferentes puede cumplir con las tareas en el fin de semana?

120,15!5!9

)!59(!9

59

P

Combinaciones• Combinación: el número de modos para elegir r

objetos de un grupo de n objetos.• Solo considera los posibles conjuntos de objetos,

sin tomar en cuenta el orden en el que se organizan los elementos del conjunto.

• El orden no interesa.

5-39

Combinaciones

• En un juego de cartas, usted recibe 5 naipes de una baraja compuesta por 52 naipes. ¿Cuántas “manos” de cartas puede usted recibir?– Primer naipe: 52 posibilidades– Segundo naipe: 51 posibilidades– Tercer naipe: 50 posibilidades– Cuarto naipe: 49 posibilidades.– Quinto naipe: 48 posibilidades.

• Si fuera una permutación 52 x 51 x 50 x 49 x 48 = 311’875,200 manos.

Combinaciones

0311’875,20

)!552(

!52!47!52

rnP

960,598'2)!552(!5

!52!5

)!552(!52

rnC

)!(!

!

rnr

nCrn

Pero el orden no importa:

Permutaciones o Combinaciones?Permutación (interesa

el orden)Combinación (no interesa el orden)

C,T C,T = T,CC,D C,D = D,CC,E C,E = E,CT,CT,D T,D = D,TT,E T,E = E,TD,CD,TD,E D,E = E,DE,CE,TE,D

64

24)!24(!2

!424

C

12224

!2!4

)!24(!4

24

P

Combinaciones

• En una clase de 24 alumnos se quieren formar 6 grupos de estudio. ¿Cuántos grupos diferentes se pueden formar?

626,10!20!*4

!24

)!424(!4

!24424

C

Combinaciones

• En el ejemplo de la repisa, cuantas combinaciones habrían para acomodar los 4 de los 6 libros? 15

126

• En el ejemplo del alumno, cuantas combinaciones tendría para hacer las 5 de las 9 tareas del fin de semana?

Asignación de probabilidades a resultados muestrales

• Deben satisfacerse dos requerimientos de probabilidad básicos :

• Los valores de probabilidad asignados a cada resultado experimental (punto muestral) deben estar entre 0 y 1.

• La suma de TODAS las probabilidades de los resultados experimentales debe ser 1. Por ejemplo, para un espacio muestral de k resultados experimentales :

0 <= P(Ei) <= 1 para todo i

P(E1) + P(E2) + … + P(Ek) = 1

Asignación de Probabilidades

Método ClásicoMétodo Clásico

Método de Frecuencia RelativaMétodo de Frecuencia Relativa

Método SubjetivoMétodo Subjetivo

Asigna probabilidades basado en asumir la igualdad de resultados igualmente probables

Asigna probabilidades basado en la experimentación o datos históricos

Asigna probabilidades basado en el juicio propio

Enfoques de la probabilidad

• Probabilidad clásica: se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles.

• Utilizando el punto de vista clásico,

posibles resultados de totalnúmero

favorables resultados de número= eventoun de adProbabilid

5-4

• Frecuencia Relativa: La probabilidad de que un evento ocurra a largo plazo se determina observando en qué fracción de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado.

• Proporción de veces que se observa que ocurre un evento en un número muy grande de pruebas.

nesobservacio de total númeroevento el ocurrió que veces de número

= evento del adProbabilid

5-8


Ejemplo : Cara/Sello

• Lanzar una moneda : Cara (0), sello (1)• Aplicacion en Excel…

Frecuencia Relativa

0 25 50 75 100 1250.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

Número de Lanzamientos

Total de Caras Número de Lanzamientos

Ejemplo : Tasa de mortalidad

Ejemplo : Frecuencias relativas

Medio de TransporteNúmero promedio de

muertes por 180 millones km/pasajero

Automóviles de pasajeros 0.96Autobuses escolares < 0.01Autobuses diversos 0.03Autobuses entre ciudades 0.01Trenes de pasajeros 0.09Aviones 0.08

• Probabilidad Subjetiva: La probabilidad de que suceda un evento específico que asigna una persona con base en cualquier información disponible.

• Ejemplos de la probabilidad subjetiva son estimar la probabilidad de que un equipo de fútbol gane el campeonato este año.

5-10


Ejemplo : Enfoque subjetivo (“corazonadas”)

Evento Probabilidad subjetivaRobarán el proyector en esta clase Baja (Prob. <= 0.001)Hablarás por teléfono con alquien hoy Media (Prob. >= 0.600)Sus zapatos estarán en el pie correcto Alta (Prob. >= 0.999)Aprobará el curso de Fund Estadística Alta (Prob>= 0.999)Apuestas en casinos y bingos (1994) 482,000,000,000 dólaresPago de primas de seguros contra incendios 2002

8,300,000,000 dólares

Clases de Eventos

• Eventos Mutuamente Excluyentes– Dos o más eventos que no pueden ocurrir al mismo

tiempo.– A: Reina de Corazones; B: Reina de Espadas

• Los eventos A y B son mutuamente excluyentes.

• Eventos No Mutuamente Excluyentes– Dos o más eventos que si pueden ocurrir al mismo

tiempo.– A: Naipes de Corazones; B: As

• Los eventos A y B no son mutuamente excluyentes.• El As de Corazones

Mutuamente Excluyentes

Evento A Evento B

Espacio Muestral

No Mutuamente Excluyentes

Evento A Evento B

Reglas básicas de probabilidad• Si los eventos son mutuamente excluyentes, la

ocurrencia de cualquier evento impide que el otro evento ocurra.

5-11

Evento A Evento B

Regla de la Adición

• Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de sus probabilidades respectivas:

• P(A o B) = P(A) + P(B)• Probabilidad que al lanzar una moneda salga

cara o sello.

Regla del complemento

• La regla del complemento se utiliza para determinar la probabilidad de un evento, conociendo su probabilidad de No Ocurrencia.

• Se obtiene restando del número 1 la probabilidad de que No ocurra un evento.

• Si P(A) es la probabilidad del evento A y P(Ac) es el complemento de A, – P(A) + P(Ac) = 1– P(A) = 1 – P(Ac).

5-14

Complemento

Evento A

Complemento de A

Ac

Regla especial de la adición

• Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces P(A o B) se calcula con la siguiente fórmula:

• P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

5-18

Regla especial de la Adición

Evento A Evento B

P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

53

Lanzamos dos dados, uno rojo y otro blanco. ¿Cuál es la probabilidad de que sumen 3?

xx

36/2)3( P

54

Supongamos que hemos lanzado ya el dado rojo y ha salido un 1. ¿Cuál es ahora la probabilidad de que sumen 3?

x

6/1)1|3( rojodadosumadeP

SucesosA = ser hombre (H)B = edad 20

A Ac

B

Bc

Probabilidades

P(A) =

4

62

2

6/14 = 0.43

P(B) = 6/14 = 0.43

P(A B) = 4/14 = 0.29

P(A B) =

6/14 + 6/14 - 4/14 = 0.43+ 0.43 - 0.29 = 0.57

P(AB) = 4/6 = 0.67

P(A) + P(B) - P(A B)

Intuir la probabilidad condicionada

A

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A ∩ B) = 0,10

A

¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=1 P(A|B)=0,8

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A ∩ B) = 0,08

BB

A

B

A

B

¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=0,05 P(A|B)=0

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A ∩ B) = 0,005

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A ∩ B) = 0

Intuir la probabilidad condicionada

Cuatro tipos de probabilidad

Marginal

La probabilidad de que ocurra

X

Unión


X o Y

Conjunta


X e Y

Condicional


X sabiendo que ha ocurrido Y

YX YX

Y

X

P X( ) P X Y( ) P X Y( ) P X Y( | )

probabilidades1

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