probabilidad
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Un poco de teoría y algunos buenos ejerciciosTRANSCRIPT
Profesor: Javier Trigoso T. Matemática 1
1
LAS PROBABILIDADES Y EL SENTIDO COMÚN
¿Existen leyes del azar? Nuestro sentido común
pareciera decirnos que el azar y las leyes son
conceptos contradictorios. Si algo sucede al azar, es
porque no hay leyes que lo determinan. ¿Cómo puede
hablarse entonces de leyes del azar? Sin embargo,
existe una rama de la Matemática que trata sobre las
leyes del azar y es la Teoría de Probabilidades. El
cálculo de probabilidades nos permite prever algunas
eventualidades de origen aleatorio. Cuando hablamos de prever, debemos hacerlo
con mucho cuidado, pues no se trata de enunciar una profecía, sino de una
cuantificación o medida con respecto a la ocurrencia de un evento. El objetivo de la
Teoría de Probabilidades es interpretar y calcular las probabilidades de fenómenos
complejos en función de las probabilidades mas sencillas de fenómenos conocidos.
Esto último podemos configurarlo intuyendo los eventos por simetría, por ejemplo,
el clásico lanzamiento de una moneda.
Cuando lanzamos una moneda, suponemos a priori la cualidad simétrica de
que ambos lados (cara y sello) tienen igual posibilidad de ocurrir o, para decirlo
cuantitativamente, tienen igual probabilidad de ocurrir. Como hay solo dos casos
posibles (cara o sello), decimos que hay un caso de dos de que resulte cara y, por
supuesto, también un caso de dos de que resulte sello. Esto se puede cuantificar
mejor si empleamos esta relación como razón geométrica y decimos: probabilidad
de cara es uno entre dos igual a un medio, y probabilidad de sello es uno entre dos
igual a un medio, y lo escribimos como:
cara sello
1 1P ; P
2 2
En virtud de nuestra experiencia, y tomando el termino suceso en la acepción del lenguaje corriente, podemos enunciar lo siguiente: “La probabilidad
de un suceso es la razón entre el número de casos esperados y el número de
casos posibles”.Así, por ejemplo, lanzamos un dado y esperamos obtener un
número impar.Sabemos que un dado tiene tres números impares: 1; 3 y 5, estos son
los casos esperados, y sabemos también que tiene seis números: 1; 2; 3; 4; 5 y 6,
estos son los casos posibles. Luego, calculamos:
impar impar
3 1P P
6 2
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DEFINICIONES FORMALES Y PROBABILIDAD
Recordando los ejemplos ya descritos sobre lanzamiento de monedas o dados,
hechos con resultados al azar, y teniendo en cuenta que son actos que se pueden
realizar todas las veces que se desee, definiremos:
Experimento aleatorio (E): es todo proceso que se puede
repetir indefinidamente con resultados imprevisibles.
Así, son experimentos aleatorios el lanzamiento de una moneda, de
un dado, la extracción de una bola de bingo, ciertos procesos
productivos dela naturaleza o de la industria como los nacimientos
(macho o hembra) o artículos (buenos o defectuosos), etc.
Espacio muestral: dado un experimento aleatorio E, se llama
espacio muestral Ω de E al conjunto formado por todos los
resultados posibles del experimento.
Por ejemplo, en el caso del lanzamiento de una moneda tenemos el
espacio muestral: Ω1={c; s}
Si lanzamos un dado, el espacio muestral es: Ω2 = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Evento o suceso: se llama evento o suceso de un experimento aleatorio Ea
cualquier subconjunto A del espacio muestral Ω de este experimento.
Hay sucesos que siempre van unidos a todo experimento aleatorio:
Suceso seguro: está formado por todos los resultados posibles del
experimento. Es el suceso que ocurre siempre y coincide con el espacio
muestral. Suceso imposible: es el suceso que no se produce nunca; es decir, no
aparece al realizar un experimento aleatorio.
Ejemplo 1:
Lanzamos al aire una moneda tres veces. Determina el espacio muestral
y los elementos que conforman los sucesos A: obtener dos caras y un
sello, y B: obtener por lo menos un sello.
Resolución
Determinamos el espacio muestral: Ω ccc,ccs,csc,css,scc,scs,ssc,sss
Determinamos el suceso A (obtener dos caras y un sello): A ccs,csc,scc
Determinamos el suceso B (obtener por lo menos un sello):
B ccs,csc,css,scc,ssc,sss
Son experimentos
aleatorios:
Lanzar un dado
Sacar una carta
de una baraja
Jugar un número
de una ruleta
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PROBABILIDAD DE UN SUCESO
Ley de Laplace
Si los sucesos elementales del espacio muestral son equiprobables, la probabilidad
de un suceso A, denotado P(A), es el cociente entre el número de casos favorables
de que ocurra el suceso A y el número de casos posibles:
n Anúmero de casos favorables
P Anúmero de casos posibles n Ω
Propiedades de la probabilidad
Para cada suceso A, la probabilidad P(A) está comprendida desde 0 hasta 1, es
decir, 0 P A 1
La probabilidad del suceso seguro (Ω) es 1, es decir P Ω 1
La probabilidad del suceso imposible Ø es 0, es decir P Ø 0
Si Ā es el suceso contrario o complementario de A, P Ā 1 P A
Si A y B son dos sucesos compatibles, P A B P A P B P A B
Si A y B son dos sucesos incompatibles, P A B P A P B
Ejemplo 2:
Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado, salga un número par o primo.
Determinamos el espacio muestral y los sucesos A, salir número par, y B,
salir número primo:
Ω 1;2;3;4;5;6 ; A 2;4;6 ; B 2;3;5
Aplicamos la propiedad de sucesos compatibles, ya que existe un número par
que también es primo (el número 2)
3 3 1 5
P A B P A P B P A B P A B6 6 6 6
Entonces, la probabilidad de que salga un número par o primo es 5/6.
Probabilidad de sucesos independientes y dependientes
Dos sucesos son independientes cuando el resultado del primero no influye en la
probabilidad del segundo. La probabilidad de un suceso ligado a dos sucesos
independientes se calcula multiplicando la probabilidad de cada suceso.
P A B P A .P B
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Ejemplo 3:
Se extraen dos cartas de una baraja de 52, en forma sucesiva
y con reposición. Calcula la probabilidad de que ambas cartas
sean de corazones.
Al reponer la carta extraída en el primer suceso, la
probabilidad del segundo suceso no queda afectada, ya que la baraja
mantiene las 52 cartas.
Calculamos la probabilidad de cada suceso:
P(A): obtener corazón en la primera extracción. 13
P A52
P(B): obtener corazón en la segunda extracción. 13
P B52
Calculamos la probabilidad del experimento aleatorio:
13 13 1
P A B P A .P B P A B .52 52 16
La probabilidad es 1/16
Dos sucesos son dependientes cuando el resultado del primero influye en la
probabilidad del segundo. La probabilidad de un suceso ligado a dos sucesos
dependientes se calcula multiplicando la probabilidad del primer suceso por la
probabilidad del segundo suceso, habiendo ocurrido el primero.
BP A B P A .PA
Ejemplo 4:
Se extraen dos cartas de una baraja de 52, en forma sucesiva y sin
reposición. Calcula la probabilidad de que ambas cartas sean de corazones.
Al no reponer la carta extraída en el primer suceso, la probabilidad del
segundo suceso queda afectada, ya que la baraja se reduce a 51 cartas.
Calculamos la probabilidad de cada suceso:
P(A): obtener corazón en la primera extracción. 13
P A52
P(B): obtener corazón en la segunda extracción, habiendo salido corazón en
la primera extracción. 12
P B51
Calculamos la probabilidad del experimento aleatorio:
13 12 1BP A B P A .P P A B .
A 52 51 17
La probabilidad es 1/17
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ESPERANZA MATEMÁTICA
En todo fenómeno probabilístico existen dos posibilidades: acertar o no acertar la
posibilidad de que ocurra un suceso. Así, por ejemplo:
El meteorólogo, después de estudiar las variables que intervienen en el
clima, predice cuál será el comportamiento de este (con el ánimo de
acertar)
El comerciante compra diferentes productos para vender y calcula (a veces,
considerando las variables que intervienen en el precio) cuánto deberá
vender para estimar la cantidad a comprar.
Un jugador de casino tira los dados con cierta fuerza esperando que salga
determinada cara para ganar el premio.
En estos ejemplos y en muchos otros, todos los que participan tienen la esperanza
de ganar (o acertar y cuánto más veces, mejor), pero esto no es fácil.
La esperanza matemática (o valor esperado o, simplemente esperanza)
de una variable aleatoria es la suma de las probabilidades de cada suceso
multiplicado por su valor.
Esto es:
n
i ii 1
E x x.p
Entonces, la esperanza matemática de x o valor esperado de x, E(x) es:
1 1 2 2 3 3 n nE x x .p x .p x .p ............................. x .p
Ejemplo 5:
Una lotería electrónica realiza su
sorteo los domingos al mediodía. El
premio principal lo pueden ganar 0, 1,
2, 3, 4 personas y sus respectivas
probabilidades son 0,80, 0,07, 0,06,
0,04, 0,03. ¿Cuál es el número
esperado de ganadores en dicho
sorteo?
Resolución:
Para responder a la pregunta debemos
calcular la esperanza matemática: E x 0(0,80) 1(0,07) 2(0,06) 3(0,04) 4(0,03)
E x 0 0,07 0,12 0,12 0,12
E x 0,43
El número esperado de ganadores es
0,43 y se interpreta como: “El número
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6
esperado de ganadores en 100
sorteos es 43”
Ejemplo 6:
Elvira le dice a Juan: Esta urna
contiene 70 bolas rojas y 30 bolas
blancas. Te doy S/.5 si la bola que
extraes es roja y si la bola que
extraes es blanca, tú me das S/.15. Si
Juan acepta el reto, ¿qué puede
esperar si juega muchas veces? Resolución:
Analizamos ambas situaciones:
La probabilidad de extraer
bola roja y ganar S/.5 es
70 7
P R100 10
La probabilidad de extraer
bola blanca y perder S/.15 es
30 3
P R100 10
Calculamos la esperanza matemática
E(x)
7 3E x 5. 15 .
10 1035 45 10
E x 110 10 10
Esto quiere decir que si Juan juega
muchas veces, se espera que pierda
S/.1
Como la esperanza matemática es
negativa, decimos que el juego no es
equitativo y que perjudica al jugador.
Observaciones:
Si la esperanza matemática es igual a 0, el “juego” se considera justo. Por
ejemplo: apostar 1 nuevo sol a que al lanzar una moneda sale cara (o sale
sello), siendo el premio dos nuevos soles si se gana y 0 nuevos soles si se
pierde. Si la esperanza matemática es menor que 0, el “juego” se considera injusto;
así, por ejemplo: si en una rifa se pagan 500 nuevos soles siendo un nuevo
sol el costo del boleto pero habiendo 1 000 boletos, la esperanza
matemática es – 0,5.
Si la esperanza matemática es mayor que 0, el “juego” es considerado como
favorable; por ejemplo, cuando por acertar qué cara va a salir en un dado se
paga 10 nuevos soles siendo el osto de un sol. Nótese que la probabilidad de
acertar es de 1/6. Por ello, el valor de la esperanza matemática es de 1,66
y, por tanto, bastante beneficiosa para el jugador.
PARA LA CLASE…
01. Se extrae al azar una carta de una
baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la
probabilidad de que sea una carta
roja o un As? 7/13
02. Se lanza un dado dos veces en
forma sucesiva, ¿cuál es la
probabilidad de que ambos resultados
sean 3? 1/36
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03. En una caja hay 20 tarjetas
Numeradas del 1 al 20. Se extrae una
carta al azar, ¿cuál es la probabilidad
de que sea mayor que 12 o múltipo de
5? 1/2
04. De una baraja de 52 cartas se
extraen dos de ellas, una tras otra.
Calcula la probabilidad de obtener:
a. Dos ases 1/221
b. “As” en la primera y una carta
distinta en la segunda extracción.
16/221
c. Ningún “as” 188/221
d. Algún “as” 33/221
05. Se lanza una moneda tres veces.
Calcula la probabilidad de obtener:
a. Cara en la primera, sello en la
segunda y cara en la tercera. 1/8
b. Dos caras 3/8
c. Ninguna cara 1/8
d. Al menos un sello 7/8
e. Dos caras o dos sellos 3/4
06. Se lanza una moneda. Si sale cara,
se extrae una bola de una bolsa en la
que hay 3 rojas y 2 blancas. Si sale
sello, se extrae una bola de otra bolsa
en la que hay 6 rojas y 2 blancas.
Calcula la probabilidad de que la bola
extraída de la bolsa sea blanca. 13/40
07. Se lanza un dado. Si sale un
número mayor que 4, se extrae una
bola de una caja que contiene 3
blancas y 5 negras. En caso contrario,
se extrae una bola de otra caja en la
que hay 2 blancas y 6 negras. ¿Cuál es
la probabilidad de obtener finalmente
una bola negra? 17/24
08. Una urna contiene 5 bolas rojas y
2 bolas blancas; otra urna contiene 8
bolas rojas y 4 blancas. Se extrae una
bola de la primera urna y sin ver su
color se introduce en la segunda urna;
luego se extrae una bola de la
segunda urna. Calcula las siguientes
probabilidades:
a. Que la bola extraída de ambas
urnas sea roja. 45/91
b. Que la bola extraída de la primera
sea roja y de la segunda sea
blanca. 20/91
c. Que la bola extraída de la primera
sea blanca y de la segunda sea
roja. 16/91
d. Que la bola extraída de ambas sea
blanca. 10/91
e. Que la bola extraída de la segunda
sea roja. 61/91
f. Que la bola extraída de la segunda
sea blanca. 30/91
09. Al invertir en ciertas acciones,
una persona puede tener una ganancia
en un año de S/.1 800 con
probabilidad de 0,3 o tener una
pérdida de S/.500 con probabilidad
de 0,7. ¿Cuál es la ganancia esperada
de esta persona? S/.190
10. Para disuadir a sus compañeros de
trabajo de participar en apuestas,
Pedro analiza un juego con dados:
cada vez que se juega, la casa hace
una apuesta de S/.100. Si el
participante lanza dos dados y la suma
es 7, gana el doble, ¿es equitativo
este juego? No
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PARA LA CASA…
01. Al arrojar un dado, ¿cuál es la
probabilidad de que salga 3 o un
número par?
A. 2/3 B. 1/2 C) 1/3
D) 5/6 E) 1/6
02. En una bolsa se echan 12 bolitas
numeradas correlativamente del 1 al
12. Calcular la probabilidad de
obtener un número menor que 5 o
múltiplo de 5 al sacar una de ellas.
A. 1/2 B. 1/3 C. 1/6
D. 1/18 E. 0
03. Calcula la probabilidad de
obtener dos ases de un naipe de 52
cartas, sin devolver la primera carta
al naipe.
A. 1/26 B. 1/352 C. 4/663
D. 1/221 E. 3/674
04. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la
probabilidad de obtener un puntaje
menor que 5 ó mayor que 10?
A. 1/72 B. 1/12 C. 1/4
D. 1/6 E. Ninguna
05. Determinar la probabilidad de que
al lanzar un dado cuatro veces no se
obtenga ningún 6.
A. 0 B. 1/1296 C. 10/3
D. 2/3 E. 625/1296
06. Calcula la probabilidad de que al
sacar dos fichas de una bolsa, que
contiene 3 fichas rojas y 4 blancas,
con reposición, ambas sean fichas
rojas.
A. 3/4 B. 2/7 C. 6/49
D. 1/7 E. 9/49
07. Si se lanza un dado, calcular la
probabilidad de que se obtenga un
número impar o múltiplo de 3.
A. 1/2 B. 2/3 C. 1/3
D. 1/6 E. 5/6
08. Se extraen dos cartas, una tras
otra, sin devolución, de una baraja de
40 cartas. Calcular la probabilidad de
que ambas cartas sean reyes.
A. 1/100 B. 1/5 C. 1/130
D. 23/130 E. 1/20
09. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la
probabilidad de que la suma de los
resultados sea menor que 6, si
sabemos que dicha suma ha sido
múltiplo de 4?
A. 1/3 B. 1/4 C. 5/18
D. 3/10 E. Ninguna de las
anteriores
10. En un naipe de 40 cartas se toman
3 cartas distintas. Calcular la
probabilidad de que sean números
distintos.
A. 1/64.000 B. 3/40 C. 1/59.280
D. 4/3.705 E. 192/247
11. Se tiene dos urnas con bolas. La
primera contiene 2 bolas blancas y 3
bolas negras; mientas que la segunda
contiene 4 bolas blancas y una bola
negra. Si se elige una urna al azar y se
extrae una bola, ¿cuál es la
probabilidad de que la bola
extraída sea blanca?
A. 6/5 B. 8/25 C. 2/5
D. 3/5 E. 4/5
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12. ¿Cuál es la probabilidad de
obtener siete puntos en el
lanzamiento de dos dados?
A. 1/6 B.1/2 C. 7/12
D. 7/36 E. 7/2
13. Al lanzar dos monedas, ¿qué
probabilidad hay de obtener una cara
y un sello?
A. 4 B. 2 C. 1
D. 1/2 E. 1/4
14. Una caja contiene 12 bolas negras
y 8 rojas, ¿qué probabilidad hay de no
sacar una bola negra?
A. 2/5 B. 3/5 C. 2/3
D. 3/2 E. 8
15. Se lanza un dado y sale 4. ¿Qué
probabilidad hay de que al lanzarlo
nuevamente sume con el primer
resultado un número menor que 9?
A. 1/9 B. 5/6 C. 7/36
D. 4/9 E. 2/3
16. En un curso de 60 alumnos, 1/3 de
los alumnos habla inglés, 1/4 habla
francés y 1/10 habla los dos idiomas,
¿cuál es la probabilidad de que un
alumno elegido al azar hable sólo un
idioma?
A. 1/3 B. 1/4 C. 23/60
D. 29/60 E. 7/12
17. ¿Cuál de las siguientes
expresiones no corresponde a un
suceso aleatorio?
A. Jugar un juego de azar
B. Enfriar agua a 0º C.
C. Lanzar una piedra y medir su
alcance
D. Preguntarle a un desconocido si
fuma
E. Apostar en una carrera de caballos
18. ¿Qué probabilidad hay de que la
lanzar 2 dados se obtenga una suma
menor que 6?
A. 10 B. 5/6 C. 1/6
D. 5/18 E. 5/36
19. ¿Cuál es la probabilidad de ganar
el premio de un rifa para la cual se
venden 20 listas y cada lista tiene 20
números, si se compran 4 números?
A. 1/100 B. 1/10 C. 1/5
D. 1/4 E. Ninguna de las
anteriores
20. ¿Cuántos elementos tiene el
espacio muestral que se obtiene al
lanzar 3 monedas?
A. 27 B. 9 C. 8
D. 6 E. 3
21. Al lanzar un dado 2 veces
consecutivas, ¿qué probabilidad hay
de obtener primero un 3 y luego un
número par?
A. 1/3 B. 1/12 C. 1/9
D. 2/3 E. 4
22. Una clase está formada por 10
chicos y 10 chicas; la mitad de las
chicas y la mitad de los chicos han
elegido francés como asignatura
optativa.
A. 0,24 B. 0,35 C. 0,69
D. 0,75 E. 1
23. ¿Y la probabilidad de que sea
chica y no estudie francés?
A. 0,25 B. 0,43 C. 0,69
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10
D. 0,75 E. 1
24. En un centro escolar los alumnos
pueden optar por cursar como lengua
extranjera inglés o francés. En un
determinado curso, el 90% de los
alumnos estudia inglés y el resto
francés. El 30% de los que estudian
inglés son chicos y de los que estudian
francés son chicos el 40%. El elegido
un alumno al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que sea chica?
A. 0,24 B. 0,35 C. 0,69
D. 0,75 E. 1
25. El 20% de los empleados de una
empresa son ingenieros y otro 20%
son economistas. El 75% de los
ingenieros ocupan un puesto directivo
y el 50% de los economistas también,
mientras que los no ingenieros y los no
economistas solamente el 20% ocupa
un puesto directivo. ¿Cuál es la
probabilidad de que un empleado
directivo elegido al azar sea
ingeniero?
A. 0,45 B. 0,05 C. 0,405
D. 0,40 E. 1
26. Un jugador lanza dos monedas.
Gana 1 ó 2 nuevos soles si aparecen
una o dos caras. Por otra parte pierde
5 nuevos soles si no aparece cara.
Determina la esperanza matemática
del juego y si éste es favorable.
A. 1/4. Es favorable
B. 9/4. Es favorable
C. −1/4. Es desfavorable
D. -9/4. Es desfavorable
E. No se puede determinar
27. Un jugador lanza un dado
corriente. Si sale número primo, gana
tantos cientos de euros como marca
el dado, pero si no sale número primo,
pierde tantos cientos de euros como
marca el dado. Determinar la
esperanza matemática del juego.
A. 15,333 B. 16,333
C. 16,667 D. 17,333
E. 17,667
28. Si una persona compra un
Boleto en una rifa, en la que puede
ganar de 5 000 nuevos soles o un
segundo premio de 2 000 nuevos soles
con probabilidades de: 0,001 y 0,.003.
¿Cuál sería el precio justo a pagar por
la papeleta?
A. S/.9,5 B. S/.10 C. S/.10,5
D. S/.11 E. S/.11,5
29. Tenemos 100 números de lotería a
5 euros cada uno, con un premio de
50, otro de 100 y otro de 250 euros,
¿cuál sería la esperanza matemática
de ganancias para una persona que
compre 2 números?
A. 400 euros B. 500 euros
C. 600 euros D. 700 euros
E. 800 euros
30. Un juego consiste en lanzar un
dado con sus caras marcadas con los
números 1, 2, 3, 4, 5, 6; si sale 2 se
puede ganar S/.12, si sale 3 ó 5 se
puede ganar S/.6 y se pierde S/.9 en
los otros casos. Determina la utilidad
esperada en el juego.
A. ganar S/.0,25 B. ganar S/.0,5
C. perder S/.0,5 D.perder S/.0,25
E. ni ganar ni perder
http://issuu.com/sapini/docs