TerceraEdicin PRINCIPIOS DELAS COMUNICACIONES

Jos E. Briceo M., Dr. Ing. Profesor Titular, ULA ii PUBLICACIONESDELAFACULTAD DEINGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA ELECTRICA Laprimeraedicindeestelibrofu recomendadaparasuedicinypublicacin porelDepartamentodeElectrnicay Comunicaciones de la Escuela de Ingeniera ElctricadelaFacultaddeIngenieradela UniversidaddelosAndes,ensuReunin Ordinariarealizadael14deDiciembrede 1989. Est prohibidala reproduccintotal o parcial de este libro sin previa autorizacin del autor. Ediciones: 1990, 1993, 1998, 2004 Cdigo:

Impreso en Mrida Taller de Publicaciones de la Facultad de Ingeniera, ULA. iiiINDICEDEMATERIAS PREFACIOxiii CAPITULO I1 REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES1 1.1.INTRODUCCION1 1.2.MODELOS DE SEALES5 1.2.1. Seales Determinsticas y Aleatorias 51.2.2. Seales Peridicas y no Peridicas 51.2.3. Seales de Energa y de Potencia 61.2.4. Seales Singulares9La Rampa Unitaria 10El Escaln Unitario 10La Funcin Signo 11El Impulso Unitario Delta Dirac 121.2.5.Seales Ortogonales 14 1.3.EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA 151.3.1. Representacin Espectral 151.4.SERIES Y ESPECTROS DE FOURIER181.4.1. Seales Peridicas 18 Definicin 181.4.2. Series de Fourier 19Definicin 20La Serie Trigonomtrica de Fourier 20La Serie Exponencial de Fourier 221.4.3. El Espectro Discreto 23Propiedades del Espectro Discreto 271.4.4. Espectro de Potencia de Seales Peridicas. Teorema de Parseval 281.5.LA TRANSFORMADA DE FOURIER31 1.5.1. Introduccin 311.5.2. El Espectro Continuo 331.5.3. Propiedades de la Transformada de Fourier de Seales Reales 341.6.DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGIA.TEOREMA DE RALEIGH381.7.TEOREMAS DE LA TRANSFORMADA DEFOURIER40 1.7.1. Teorema de la Superposicin o Linealidad 401.7.2. Teorema de la Traslacin o Desplazamiento en el Tiempo 411.7.3. Teorema del Cambio de Escala 411.7.4. Teorema de la Dualidad o Simetra 421.7.5. Teorema de la Traslacin o Desplazamiento en Frecuencia 44Teorema de la Modulacin 441.7.6. Teorema de la Diferenciacin e Integracin en el Tiempo 461.7.7. Teorema de la Diferenciacin e Integracin en Frecuencia 49 iv 1.8.TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEALES PERIDICAS 501.9.DENSIDADESPECTRAL DE POTENCIA53 1.9.1. Introduccin 53Definicin 531.9.2. Teorema de la Modulacin para Seales de Potencia 551.10.RELACION ENTRE EL ANCHO DE BANDA Y LA DURACION DE UNA SEAL 58 1.11.FUNCIONES DE CORRELACION 60 1.11.1. Introduccin 601.11.2. Autocorrelacin 60 Definicin 61 Propiedades de la Funcin de Autocorrelacin 621.11.3. Teorema de Wiener-Kintchine 651.11.4. Teorema de la Modulacin para Seales de Potencia 671.11.5. Intercorrelacin 68 Propiedades de la Funcin de Intercorrelacin 681.11.6. Deteccin de una Seal en presencia de Ruido 691.12.RESUMEN 71 PROBLEMAS DE APLICACIN71CAPITULO II 87 REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SISTEMAS872.1.INTRODUCCIN 872.2.CARACTERIZACION DE SISTEMAS 87 2.2.1.Concepto de Sistema 87 2.2.2. Clasificacin de Sistemas 882.2.3. Caracterizacin de Sistemas Lineales en el Dominio del Tiempo 89 Respuesta Impulsional 89 Sistemas Lineales Invariantes y Variantes en el Tiempo 90 Causalidad y Estabilidad en Sistemas Lineales 93 2.2.4. Caracterizacin de Sistemas Lineales en el Dominio de la Frecuencia 95 Funcin de Transferencia 95 Criterio de Paley-Wiener 97 Propiedades de la Funcin de Transferencia 972.3.LA INTEGRAL DE CONVOLUCION1002.3.1. Aplicaciones en el Anlisis de Seales y Sistemas 1002.3.2. Interpretacin Grfica de la Convolucin 1062.4.DISTORSION EN LAS SEALES1082.4.1. Transmisin sin Distorsin 108 Sistemas de Fase Lineal 1112.4.2. Tipos de Distorsin 112 Distorsin de Amplitud 113 Distorsin de Fase 113 Distorsin no Lineal 113 Compansin 118v2.5.INTERCONEXION DE SISTEMAS1182.6.FILTROS 120 2.6.1. Introduccin 120 2.6.2. Filtros Ideales 120Filtro Ideal Pasabajo 121Filtro Ideal Pasabanda 121Filtro Ideal Pasaalto 122Filtro Ideal Eliminador de Banda 1222.6.3. Ancho de Banda en Filtros Reales 1262.7.SEALES Y SISTEMAS PASABANDA1292.7.1. La Transformada de Hilbert 1292.7.2. La Seal Analtica 1332.7.3. Seales Pasabanda 1342.7.4. Seales Moduladas y Bandas Laterales 140 Modulacin en Doble Banda Lateral 140 Modulacin en Banda Lateral Unica 1422.7.5. Seales Pasabanda de Potencia 1442.7.6. Sistemas Pasabanda 1452.8.FUNCIONES DE CORRELACION EN SISTEMAS LINEALES149 2.8.1.Autocorrelacin Entrada/Salida 1492.8.2.Intercorrelacin Entrada/Salida 151 2.9.RUIDO EN SISTEMAS1522.9.1. Introduccin 1522.9.2. Ruido Interno 153 Ruido de Disparo 153 Ruido Trmico 153 Circuitos Equivalentes del Ruido 154 Potencia de Ruido Disponible 1562.9.3. Ruido Blanco 156 Ruido Blanco Pasabanda de Banda Angosta 1592.9.4. Ancho de Banda Equivalente del Ruido 1622.9.5. Caracterizacin del Ruido en Sistemas 163 Relaciones Seal/Ruido en Sistemas de Comunicacin 163 Relaciones Seal/Ruido en un Receptor con Deteccin Coherente 164Ganancia de Conversin o de Deteccin, 165 Cifra de Ruido 167 Cifra de Ruido en Sistemas en Cascada 170 Cifra de Ruido en Redes Atenuadoras 171 Medida del Ruido 1752.10. RESUMEN 177PROBLEMAS DE APLICACIN178 vi CAPITULO III 193 VARIABLES Y PROCESOS ALEATORIOS1933.1.INTRODUCCIN 1933.2.NOCIONES DE LA PROBABILIDAD1933.2.1.Definicin de la Probabilidad 193Definicin Emprica de la Probabilidad 193Sucesos Mutuamente Excluyentes o Disjuntos 194Definicin Axiomtica de la Probabilidad 1943.2.2.Probabilidad Conjunta. Probabilidad Condicional. Independencia 195Probabilidad Conjunta 195Probabilidad Condicional 195Independencia Estadstica 196Probabilidad Total 197Teorema de Bayes 197Modelo Probabilstico de un Canal de Comunicaciones 1983.3.VARIABLES ALEATORIAS. FUNCIONES DE PROBABILIDAD2013.3.1.Variables Aleatorias Discretas 2013.3.2.Variables Aleatorias Continuas 2033.3.3.Distribuciones Conjuntas 206Distribucin Condicional 207 3.4.FUNCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS209 Teorema Fundamental 2093.5.PROMEDIOS ESTADSTICOS210 3.5.1.Definicin 2103.5.2.Valor Promedio de Funciones de Variables Aleatorias 211Valor Promedio de una Funcin de una Variable Aleatoria 211Valor Promedio de una Funcin de Variables Aleatorias 212Valor Promedio de Variables Aleatorias Estadsticamente Independientes 2123.5.3.Momentos 213Momentos Centrales 2143.6.FUNCION CARACTERSTICA 215 3.7.FUNCIONES DE PROBABILIDAD ESPECIALES218 3.7.1.Distribucin Normal o Gaussiana 2183.7.2.Distribucin de Poisson 2203.7.3.Distribucin Binomial 221 3.7.4.Distribucin Uniforme 2213.7.5.Distribucin de Laplace 2223.7.6.Distribucin de Cauchy 2223.7.7.Distribucin de Raleigh 2223.7.8.Distribucin de Maxwell 2223.8.PROCESOS ALEATORIOS O ESTOCASTICOS223 3.8.1.Introduccin 223 Estadsticas de Primer Orden 224Estadsticas de Segundo Orden 225 vii3.8.2.Estacionaridad y Ergodicidad 226Estacionaridad en el Sentido Estricto 226Estacionaridad en el Sentido Amplio 226Ergodicidad 2273.8.3.Funcin de Autocorrelacin y Densidad Espectral de Potencia 228Funcin de Autocorrelacin 228Densidad Espectral de Potencia 2293.9.PROCESOS ALEATORIOS DISCRETOS 230 3.9.1.Secuencias Aleatorias Discretas 2303.9.2.Densidad Espectral y Funcin de Autocorrelacin de Secuencias PCM 2363.9.3.Secuencias Binarias Seudoaleatorias 241Caractersticas Espectro-Temporales 241Dispersin del Espectro (Spread Spectrum) 243Generacin de Secuencias Binarias Seudoaleatorias 2453.10.RESUMEN 247 PROBLEMAS DE APLICACIN 248 CAPITULO IV255PRINCIPIOS DE LA TRANSMISION DE INFORMACIN 2554.1.INTRODUCCIN255 4.2.MODELO DE UN SISTEMA DE TRANSMISION DE INFORMACION255 Fuente de Informacin256 Transductor de Entrada 256Transmisor 256 Canal 256Receptor 257Ruido 257Ancho de Banda y Potencia de Transmisin 2574.3.CONCEPTO Y MEDIDA DE LA INFORMACION 2584.4.CARACTERIZACION DE LA INFORMACION 2604.4.1.Entropa 260 4.4.2.Velocidad de Informacin 2624.4.3.Codificacin de Canal 2634.4.4.Velocidad de Modulacin 2644.4.5.Redundancia Agregada 2654.5. CARACTERIZACION DEL CANAL267 4.5.1.Ancho de Banda del Canal 2674.5.2.Capacidad del Canal 270Definicin 270Canal sin Ruido 271Canal con Ruido 272

viii 4.6.EL SISTEMA IDEAL DE TRANSMISION DE INFORMACIN274 4.6.1.Introduccin 274 4.6.2. El Receptor Ideal 274 Relacin de Expansin del Ancho de Banda, 2754.7.RESUMEN 277 PROBLEMAS DE APLICACION 277 CAPITULO V 287 MODULACION Y TRANSMISION DE IMPULSOS 2875.1.INTRODUCCIN 2875.2.TEORIA DEL MUESTREO UNIFORME DE SEALES 2885.2.1. Introduccin 2885.2.2. Teoremas del Muestreo Uniforme de Seales 288Teorema No 1. Teorema del Muestreo de Shannon 288Teorema No 2. Recuperacin o Interpolacin de la Seal 289Teorema de Parseval para Seales Muestreadas 291Teorema No 3. Muestreo de Seales Pasabanda 292Muestreo en el Dominio de la Frecuencia 294 Teorema No 4 2955.2.3.Muestreo Prctico de Seales Pasabajo 299Muestreo Natural 299Muestreo con Retencin 3015.2.4.Distorsin Producida por el Muestreo 306Distorsin de Solapamiento (Aliasing) 306Distorsin de Interpolacin 307Distorsin por Efecto de Apertura 3075.3.SISTEMAS DE MODULACION ANALOGICA DE IMPULSOS308 5.3.1.Introduccin 3085.3.2.Modulacin de Amplitud de Impulsos (PAM) 309Ancho de Banda y Relaciones S/N en Sistemas PAM 310 5.3.3.Modulacin de la Duracin de Impulsos (PDM) 313Ancho de Banda en Sistemas PDM 3165.3.4.Modulacin por Posicin de Impulsos (PPM) 316Ancho de Banda y Relaciones S/N en PPM y PDM 3205.3.5.Comparacin entre las Ganancias de Conversin en PAM, PDM y PPM 324 5.4.SISTEMAS DE MODULACION DIGITAL DE IMPULSOS 3265.4.1.Introduccin 3265.4.2.Modulacin de Impulsos Codificados (PCM) 326Cuantificacin y Codificacin 326Demodulacin de SealesPCM 330Ancho de Banda y Relaciones S/N en Sistemas PCM 3315.4.3.Modulacin Diferencial de Impulsos Codificados (DPCM) 3375.4.4.Modulacin Delta Lineal (DM) 339Ancho de Banda y Relaciones S/N en Sistemas de Modulacin Delta Lineal 343 ix

5.5.TRANSMISION DE IMPULSOS EN BANDA DE BASE346 5.5.1.Introduccin 3465.5.2.Tcnicas de Multicanalizacin o Multiplicidad 347Tcnicas de Multiplicidad por Divisin de Tiempo (TDM) 348 5.5.3.Interferencia Intersmbolo 3505.5.4.Cdigos de Lnea 3525.6.RECEPCION DE IMPULSOS EN BANDA DE BASE 3555.6.1.Introduccin 3555.6.2.El Filtro Acoplado 3575.7. TRANSMISIONYRECEPCIONDESEALESBINARIASMEDIANTE PORTADORA MODULADA 361 5.7.1.Introduccin 3615.7.2.Demodulacin y Sicronizacin de Seales Binarias Moduladas 362 Mtodos de Demodulacin 362 Sincronizacin de Portadora y Temporizacin364 5.7.3.Modulacin Binaria de Amplitud (ASK) 366 Ancho de Banda y Relaciones S/N en Sistemas ASK 367 Rendimiento de Transmisin 368Demodulacin Coherente de Seales ASK 369Demodulacin no Coherente de Seales ASK 3725.7.4.Modulacin Binaria de Frecuencia (FSK) 374Ancho de Banda y Relaciones S/N en Sistemas FSK 374 Principio de Ortogonalidad en Seales FSK 375 Ancho de Banda en FSK 377 Relaciones S/N en FSK 377Demodulacin Coherente de Seales FSK 378Demodulacin no Coherente de Seales FSK 3795.7.5.Modulacin Binaria de Fase (PSK) 384Demodulacin de Seales PSK 384Modulacin Binaria Diferencial de Fase (DPSK) 385 Ancho de Banda y Relaciones S/N en Sistemas PSK y DPSK 388 5.7.6.Comparacin entre los Sistemas de Modulacin Binaria 3925.8.MODULACION DIGITAL M-aria MEDIANTE PORTADORA MODULADA 3935.8.1.Introduccin 3935.8.2.Modulacin PSK M-aria 3945.8.3.Modulacin DPSK M-aria 398 5.8.4.Modulacin FSK M-aria de Banda Ancha 400 Ortogonalidad de Seales FSK M-aria 402 5.8.5.Acceso Mltiple por Divisin de Tiempo(TDMA) 403 5.9. TRANSMISION DE SEALES DIGITALES MEDIANTE DISPERSION DEL ESPECTRO (SPREAD SPECTRUM)4045.9.1.Introduccin 404 5.9.2.Sistemas SS de Secuencia Directa(DSSS) 405 Acceso Mltiple por Divisin de Cdigo (CDMA) 409 5.9.3.Dispersin del Espectro mediante Conmutacin de Frecuencias (FHSS) 411 x5.9.4.Consideraciones Finales 415 5.10.RESUMEN 415 PROBLEMAS DE APLICACIN 416 CAPITULO VI433 MODULACION Y TRANSMISION DE SEALES CONTINUAS 433 6.1.INTRODUCCIN433 6.1.1.Esquemas de Modulacin Analgica de Ondas Continuas 434 6.2.MODULACION LINEAL DE SEALES CONTINUAS4366.2.1.Introduccin 4366.2.2.Modulacin de Amplitud en Doble Banda Lateral con PortadoraSuprimida(DSB) 436 Ancho de Banda y Relaciones S/N en Modulacin DSB 438 6.2.3.Modulacin de Amplitud con Portadora de gran Potencia (AM) 438Potencia y Rendimiento de Transmisin en AM 442Moduladores y Transmisores AM 446 Ancho de Banda y Relaciones S/N en Modulacin AM 448 Efecto Umbral en Sistemas AM 4506.2.4.Modulacin en Banda Lateral Unica(SSB) 452Generacin de Seales SSB 453Demodulacin de Seales SSB 454Ancho de Banda y Relaciones S/N en Modulacin SSB 456 6.2.5.Modulacin en Banda Lateral Residual (VSB) 4616.2.6.Comparacin entre los Sistemas de Modulacin Lineal 467 6.3.TECNICAS DE TRASLACION DE FRECUENCIAS 470 6.3.1.Conversin de Frecuencias 470 Frecuencias Imagen 471El Receptor Superheterodino 4716.3.2.Multiplicidad por Divisin de Frecuencia(FDM) 474 Ancho de Banda de la Banda de Base Multicanal 475 Multicanalizacin en Sistema Telefnicos 476 Acceso Mltiple por Divisin de Frecuencia(FDMA) 4766.4.MODULACION ANGULAR O EXPONENCIAL DE SEALES CONTINUAS4786.4.1.Introduccin 478 Esquemas de Modulacin Angular de Seales Continuas 479Efecto de una Componente Continua en Modulacin Angular 4836.4.2.Modulacin Angular de Banda Angosta 4836.4.3.Modulacin Angular de Banda Ancha 486 Modulacin Sinusoidal Compuesta 4916.4.4.Potencia y Ancho de Banda en Modulacin Angular de Banda Ancha 493 Potencia en Modulacin Angular 493 Ancho de Banda en Modulacin Angular 493 6.4.5.Generacin y Deteccin de Seales Moduladas en Angulo 499Generacin Directa de Seales Moduladas en Frecuencia 502Generacin Indirecta de Seales Moduladas en Frecuencia 502 Demodulacin de Seales Moduladas en Angulo 503xi6.4.6.Interferencia y Relaciones S/N en Modulacin Angular 509Interferencia509Relaciones S/N en Modulacin de Frecuencia511Efecto Umbral en Modulacin de Frecuencia 514Relaciones S/N en Modulacin de Fase 5166.4.7.Comparacin entre los Sistemas de Modulacin Angular 5176.5.COMPARACIONENTRELOSSISTEMASDEMODULACIONDESEALESCONTINUAS5196.5.1.Criterios de Comparacin 5196.5.2.Comparacin entre los Sistemas de Modulacin Angular vs Modulacin Lineal 5196.5.3.Intercambio Ancho de Banda-Relacin S/N en Sistemas de Banda Ancha 520 6.5.4 Comparacin entre los Sistemas de Banda Ancha 5226.5.5.Caractersticas Generales de los Sistemas de Modulacin de Ondas Continuas5236.6.RESUMEN 525 PROBLEMAS DE APLICACIN525 APENDICE A 543 CALCULO NUMERICO DE LAS SERIES Y TRANSFORMADAS DE FOURIER 543A.1.Clculo Numrico de los Coeficientes de Fourier543A.2.La Transformada de Fourier Discreta (DFT) 545 Clculo Directo de la Transformada de Fourier Discreta 548 A.3.La Transformada de Fourier Rpida (FFT) 549 Algoritmo FFT por Decimacin en el Tiempo 549APENDICE B555MISCELNEOS555 B.1.El Espectro Electromagntico 555B.2.Designacin de las Bandas de Microondas 555B.3.Bandas de Televisin (NTSC,CATV) y FM en VHF 556B.4.Bandas de Televisin (NTSC,CATV) en UHF 556B.5.Cdigo ASCII o Alfabeto Internacional No 5 de la UIT-T 557 B.6.Cdigo Baudot 557APENDICE C 558 TRANSFORMADAS 558 C.1.Teoremas de la Transformada de Fourier 558C.2.Pares de Transformadas de Hilbert 558C.3.Pares de Transformadas de Fourier 559C.4.Otros Teoremas de Inters 559xii APENDICE D 560FORMULAS MATEMTICAS560 D.1.Identidades Trigonomtricas 560 D.2.Integrales Indefinidas 561D.3.Integrales Definidas561D.4.La Funcin Error 562BIBLIOGRAFA563

xiiiPREFACIOALATERCERAEDICION El presente texto es el resultado de ms de tres dcadas de enseanza de las comunicaciones enlaEscueladeIngenieraElctricadelaUniversidaddeLosAndes(ULA)yesunareedicin corregidayaumentadadeltextodelmismonombre editadoporelConsejodePublicacionesdela Universidad de los Andes y utilizado en los cursos del Pregrado de Ingeniera Elctrica. Estelibrohasidoconcebidoparaservircomointroduccinalosprincipiosbsicosdela teoramodernadelacomunicacinyalossistemasdecomunicacindesdeelpuntodevistadel anlisisdesistemas.Elmtodoseguidoconsisteenlapresentacindelosprincipiosmatemticos aplicados a los modelos fsicos de los sistemas con ejemplos, hasta donde es posible, de sistemas de comunicacin prcticos. No estcontemplada la deduccin de los principios matemticosbsicos utilizados. Losrequisitosnecesariosparaentenderelmaterialsonconocimientoselementalesdela teora de las probabilidades y variables aleatorias, trigonometra, lgebra lineal, clculo diferencial e integral,convolucinynocionesdecircuitoselctricosyelectrnica,esdecir,conocimientosa nivel de sexto o sptimo semestre de Ingeniera Elctrica o Electrnica. El material, incluyendo los Apndices, se cubre cmodamente en dos semestres o tres trimestres. Eltextoestdivididoencincocaptulosycuatroapndices.Losdosprimeroscaptulos comprendenlosprincipiosbsicostericos,eltercercaptuloesunaintroduccinalateoradela probabilidad,variables y procesos aleatorios, en el cuarto captulo se presentan los principios de la transmisindeinformacin,yloscaptulosquintoysextosonaplicacionesensistemasde comunicacin prcticos. El procedimiento seguido se ha planteado principalmente desde el punto de vistadeterminstico;sinembargo,atodololargo deltextosehacecontinuasreferenciasasealesaleatorias, y para el lector poco familiarizado con estos conceptos, en el Captulo III se presenta una breve introduccin a las variables y procesos aleatorios. Nuestra intencin es la de proporcionar al estudianteconocimientosslidosdelosfundamentostericoscomointroduccin,tantoanaltica comointuitiva,alametodologaaseguirenelanlisis,planificacin,diseoyevaluacinde sistemasdecomunicacin,ycomounaprimerafaseenelestudiodelaTeoraEstadsticadela Comunicacin y Sistemas Avanzados de Comunicacin. Laseleccindetpicos,organizacinypresentacinsonconsecuenciadenuestra experienciaenlaenseanzadeestamateria.Enparticular,sehacenfasisenlosprincipiosy conceptosdelossistemasydelasaplicacionesmsbienqueenlainstrumentacinprctica,pues los dispositivos, circuitos y componentes pueden cambiar con la tecnologa y son ms del dominio de la electrnica que de las comunicaciones.A fin de facilitar el estudio no dirigido, el material se complementaconunabibliografasuficienteyconnumerososejemplosresueltosyproblemasal final de cada captulo, en su mayor parte con respuesta. Para profesores de la materia hay disponible unManualdelInstructorconlasolucincompletadetodoslosproblemaspropuestoseneltexto. Los interesados en este Manual se pueden dirigir directamente al autor. QuizsenlaIngenieradelasComunicacionesesdondesehaceempleomuyextenso,tal vezabusivo,delassiglas.Estacodificacinesnecesariaporcuantopermite,alosiniciados, expresarse rpidamente y sin ambigedades acerca de un tpico dado. La mayor parte de los libros de comunicaciones en idioma espaol son traducciones de otros idiomas, y cada traductor interpreta otraducelibrementeyluegodefineunassiglas correspondientesasutraduccin.Elresultadoson xivtextoscompletamenteilegibles,anparalosiniciados.Enestetextoutilizaremoslassiglas correspondientes al idioma ingls, pues la mayora de la informacin pertinente se encuentra en este idioma.Porejemplo,paralaModulacinDiferencialdeImpulsosCodificadosutilizaremosla siglaeninglsDPCMynoMDICoMCIDoMCPDoMICD,encontradasencuatrotextos diferentes. Vamosadescribirsumariamenteelcontenidodeloscaptulosqueconformaneltexto.En losCaptulosIyIIsepresentanlastcnicasymodelosmatemticosnecesariosparala representacindesealesysistemas,tantoeneldominiodeltiempocomoeneldominiodela frecuencia.Particularmente,sehacenfasisespecialenlosmtodosclsicosparaelanlisis espectral de seales: las Series y la Transformada de Fourier, y se presenta un desarrollo unificado de la densidad espectral de potencia y de las funciones de correlacin. En el Captulo II se presenta unbreveestudiodelossistemaslinealesysucaracterizacinespectro-temporal,ascomola descripcin, tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia, de la transmisin desealesatravsdefiltros ycanaleslineales.LaTransformadadeHilbertsedefineentrminos muysencillosymedianteelconceptodefuncinanaltica,seobtieneladescripcindeseales pasabandadebandaangostayelconceptodebandaslateralesensealesmoduladas.Elcaptulo concluyeconunbreveestudiodelruidoensistemasdecomunicacinysucaracterizacincomo Relacin Seal/Ruido, Temperatura de Ruido, Cifra de Ruido y Medida del Ruido. En el Captulo III se desarrollan algunos modelos probabilsticos de las variables y procesos aleatorios.Elcaptulocomienzaconunabreverevisindelosconceptoselementalesms importantesdelateoradelaprobabilidadyacontinuacinseintroduceelconceptodevariable aleatoria, tanto en su forma discreta como en su forma continua. El concepto de proceso aleatorio se presentacomounmodeloparadescribirunacoleccindefuncionesdeltiempoyseestudianlas propiedades de los procesos estacionarios y ergdicos en relacin con la funcin de autocorrelacin yladensidadespectraldepotencia.Porltimo,seestudianalgunosmodelosquerepresentan secuenciasaleatoriasbinariasdegranutilizacinenlateora,prcticaydiseodesistemas comunicacindigitalysepresentaelconceptodedispersindelespectro(SpreadSpectrum).El materialpresentadoenestecaptuloessolamenteunaintroduccin,omsbienunrepaso,dela teoradelaprobabilidadyprocesosaleatorios,ynosepretendequeseauncursocompletoens mismo.Ellectorinteresadoenprofundizarsusconocimientosenestecampopuedeconsultarla bibliografa especializada. En el Captulo IV se presentan las ideas bsicas de la Teora de la Informacin ms desde unpuntodevistaintuitivoquemediantedesarrollosmatemticosavanzados.Elconceptode informacin,laentropa,lavelocidaddeinformacin,lavelocidaddemodulacin,elanchode bandadeuncanalylacapacidaddeShannonsepresentanhacindosenfasisenlacodificacin digital de seales y en las caractersticas de los canales reales. Se definen, asimismo, los parmetros bsicos de un sistema ideal de transmisin de informacin. ElCaptuloVestdedicadoalamodulacinytransmisindeimpulsos,basesdelas tcnicasdelprocesamientodigitaldesealesydelatransmisindedatos.Secomienzaconla Teora del Muestreo de Seales, utilizando las tcnicas y conceptos estudiados en los Captulos I y II.Elmuestreoylarecuperacindesealessetratantantodesdeunpuntodevistatericocomo prctico,ysehacenfasisdesuimportanciaenlossistemasdemodulacindeimpulsos.Se estudianlosdiferentessistemasdemodulacinanalgica(PAM,PDMyPPM)ydigital(PCM, DPCM y DM) de impulsos y se comparan sus caractersticas en el caso de transmisin y recepcin en banda de base. En este captulo se estudia tambin la transmisin de impulsos binarios mediante portadoramoduladaysedescribenlossistemasusualesparalatransmisindedatosenpresencia xvdelruidoconaplicacionesasistemasreales.Asimismo,sehaceunabreveintroduccinala transmisindesealesdigitalesmediantedispersindelespectro(SpreadSpectrum)yalgunasde susaplicaciones.Dondeesaplicable,seutilizanocitanlasRecomendacionesdelUIT-T(Unin InternacionaldeTelecomunicaciones-SectordeTelecomunicaciones)ydelUIT-R(Unin Internacional de Telecomunicaciones-Sector de Radiocomunicacin) . En el Captulo VIse estudia la modulacin y transmisin de seales continuas, tales como voz,msicaovideo.Sedefinenlosdostiposdemodulacindeondascontinuas:lineal (Modulacin de Amplitud) y exponencial (Modulacin Angular), y se desarrollan las descripciones de los diferentes sistemas particulares, tanto en el dominio de la frecuencia como en el dominio del tiempo.Particularnfasissedaalcomportamientodelossistemasdesdeelpuntodevistadela potencia(RelacionesS/N)comodelanchodebanda,sinolvidarlacomplejidadenla instrumentacinprctica.Sedesarrollaelconceptodemulticanalizacinomultiplex,ysedan algunos ejemplos de su aplicacin en telefona, radiodifusin y transmisin por satlites. El captulo concluye con una comparacin de todos los sistemas estudiados, tanto de impulsos como de ondas continuas, y se sealan algunas de sus aplicaciones en el campo de la transmisin de informacin. EnelApndiceAsepresentaunabreveintroduccinalclculonumricodelos CoeficientesyTransformadadeFourier.EnparticularseestudialaTransformadadeFourier Discreta,sepresentanalgunasdesusaplicaciones,especialmentelaTransformadadeFourier Rpida (Fast Fourier Transform, FFT), de gran aplicacin en el Anlisis Espectralde Seales. En losApndicessiguientessedainformacinadicionalacercadelEspectroElectromagntico,las BandasdeFrecuenciaenFM,VHFyUHF,ascomofrmulasmatemticas,tablasde transformadas, etc., que son de amplia utilizacin en el texto.Se ha hecho un esfuerzo considerable para presentar el material de tal manera que haya una progresincoherentedesdelosprincipiosyconceptoshastalasconsideracionesdediseo,sin profundizardemasiadoendesarrollosmatemticosinnecesarios,eintentando,enloposible, interpretarenformaintuitivalosconceptosyresultados,ascomosumaterializacinfsica (dispositivos y circuitos). QueremosdejarconstanciadenuestroagradecimientoalosProfesoresErmanno Pietrosemoli y Nstor Angulo Reina, de la Ctedra de Comunicaciones de la Escuela de Ingeniera ElctricadelaUniversidaddelosAndes,cuyasvaliosassugerenciashancontribuidoamejorar considerablemente la exactitud y claridad del texto Finalmente, quiero dedicar este libro aMargot, mi esposa, por el apoyo que siempre me ha dadoyporlapacienciaquehademostradoporeltiemporobadoasucompaaydedicadoala elaboracin de este texto. Jos E. Briceo M., Dr. Ing. < briceros@hotmail.com> Mrida, Agosto 2003 CAPITULO I REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DESEALES 1.1. INTRODUCCION El propsito de un sistema de comunicacin es el de transmitir informacin. Un sistema de comunicacincomprendeuntransmisor,uncanalsobreelcuallainformacinsetransmite,yun receptorpararecogerlainformacin.Elcanaldetransmisinpuedeserunsimpleparde conductores, un cable coaxial, una fibra ptica, una gua de ondas o el espacio libre. Lapalabracomunicacinpareceprivativadelingenierodecomunicacionesodelos mediosdecomunicacindemasas.Esteesunerrormuyfrecuenteanenpersonastcnicamente calificadas.Latransmisindemedidasdevoltaje,corriente,frecuencia,etc.,desdeunaestacin remotahastaelpuestodecontrolescomunicacin;latransmisindedatosatravsdeuncable coaxial en un sistema de automatizacin industrial es tambin comunicacin. La transmisin de un programa de opinin por un medio de transmisin de masas tambin es comunicacin. Hay un gran nmerodeaplicacionesenlascualeslapalabracomunicacinseempleaindistintamente.Sin embargo, desde el punto de vista que nos ocupa, la palabra o palabras ms apropiadas que describen el proceso son las de transmisin de informacin. Comoestaremoshablandocontinuamentedecomunicacin,ysiendolacomunicacintan diversa y tan importante, sera interesante conocer algo de sus orgenes histricos y de los hombres que han sobresalido en su estudio y desarrollo. Lateoramodernadelacomunicacintuvosu origenenelestudiodelascomunicaciones elctricasyalgunasdelasideasmsimportantesseoriginaronenlosprimerosintentospara establecer comunicaciones rpidas a larga distancia.En1832,SamuelMorse(1791-1877)logrlaprimeraformaeficientedeltelgrafo elctrico.Comotodossabemos,elcdigoMorsedetelegrafaconstadepuntosyrayascuyas combinacionesseasignanalossmbolosdelalfabeto(letrasynmeros).Latransmisinse efectuaba mediante conductores sobre postes y no haba demasiados problemas en lo que se refera a la reproduccin de la seal recibida en el extremo alejado. En 1843, Morse emprendi la tarea de construir una lnea con cable subterrneo, pero encontr ciertas dificultades que ms tarde afectaron a los cables submarinosanmsseveramente.Lasdificultades que Morse encontr, con su cable subterrneo,siguensiendotodavaunproblemaimportante.Enefecto,circuitosdiferentesque conduzcanigualmenteunacorrientecontinua,nosonnecesariamenteadecuadosparauna comunicacin elctrica en donde las corrientes son esencialmente variables. Si se transmite puntos y rayas demasiado a prisa por cable subterrneo, estos puntos y rayas, que bsicamente son impulsos, nopuedendiferenciarseenelextremoreceptor.ComoseindicaenlaFig.1.1(a),cuandose transmite un corto impulso de corriente, se recibe en el extremo alejado del circuito un impulso de corrientemuchomslargo,muydisperso.Asimismo,comoseindicaenlaFig.1.1(b),cuandose transmite una seal clara y distinta, puede suceder que se reciba una seal difcil de interpretar. I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 2Naturalmente, si los impulsos son lo suficientemente largos, la interpretacin en el extremo receptorsercompleta,perolavelocidaddetransmisinhabrdisminuidoapreciablemente.Es evidente,entonces,quehayunavelocidaddetransmisinlmiteasociadadealgnmodoconun circuitoocanaldado.Losprimerostelegrafistasestabanconscientesdeestalimitacin,yensus esfuerzos para superarla se sentaron los primeros cimientos de la teora de la comunicacin. Impulso Transmitido ImpulsoRecibido t tt t(a)(b) Seal Transmitida Seal RecibidaFig. 1.1. Formas de Onda Transmitidas y Recibidas. Peronosolamenteeranlaslimitacionesdelcanallasquehacandifcillainterpretacin. Durantelastormentas,sobretodo,aparecansealesextraasquehacananmsdifcilla interpretacin.Estassealesespurias,llamadasengeneralruido,estnsiemprepresentesenlos circuitos y dificultan la interpretacin de la informacin contenida en un mensaje. Los telegrafistas de aquella poca tenan un conocimiento, que podramos llamar intuitivo, de las limitaciones de los sistemasfsicos,perohacefaltaalgomsqueunconocimientointuitivo:senecesitaunanlisis matemtico de estos fenmenos. Desdemuyprontoseaplicarontcnicasmatemticasalasolucindeestosproblemas, aunque el cuerpo completo de la teora slo se ha logrado en las ltimas dcadas. En 1885, William Thompson (1824-1907), conocido como Lord Kelvin, calcul en forma exacta la corriente recibida en un cable submarino cuando se transmita impulsos (puntos y rayas). Un ataquems poderoso a talesproblemassiguialainvencindeltelfonoporAlexanderGrahamBell(1847-1922),en 1876. En la telefona las seales varan brusca y rpidamente en un amplio margen de amplitudes, con una rapidez mucho mayor que en la telegrafamanual; esto complic an ms la recepcin de la seales. Muchoshombresayudaronalestablecimientodeltratamientomatemticodelatelefona. HombrescomoPoincar(1854-1912),Heaviside(1850-1925),Pupin(1858-1935),Baudot(1845-1903), son los ms eminentes de ellos. Estos hombres usaron los mtodos matemticos establecidos por el fsico francs Joseph Fourier (1768-1830), los cuales haban sido aplicados al estudio de las vibracionesyqueseutilizanparaanalizarelcomportamientodesealeselctricasquevarande modocomplicadoenfuncindeltiempo.ElAnlisisdeFourieresdeabsolutanecesidadenel estudio de las comunicaciones elctricas, porque provee las tcnicasmatemticas con las cuales el ingeniero puede describir seales y sistemas no solamente en el dominio del tiempo sino tambin en el dominio de la frecuencia. Este es el principal objetivo de este texto. I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 3ElAnlisisdeFouriersebasaenlarepresentacindeunafuncincomplicadacomouna sumadefuncionessinusoidales,ysuutilidaddependededoshechosfsicosimportantes:la invarianciaeneltiempoylalinealidad.Uncircuitoelctricoposeeparmetros(R,LyC)queno varan en el tiempo (por lo menos a corto plazo); en trminos ms formales, la ecuacin diferencial querepresentaalcircuitoesunaecuacincuyoscoeficientes(losparmetrosdelcircuito)son constantes.Lalinealidadsignifica,sencillamente,quesiconocemoslassealesdesalida correspondientesacualquiernmerodeentradasenviadasseparadamente,podemoscalcularla sealdesalidatotalsimplementesumandolassealesdesalidaindividuales;steeselenunciado del teorema de superposicin. El anlisis de Fourier de las seales en funcin de sus componentes frecuenciales, hace posible estudiar las propiedadesde transmisin de un circuito lineal para todas las seales en trminos de la atenuacin y desfasaje que les son impuestas a su paso por el circuito, y proporciona a los ingenieros una asombrosa variedad de resultados que no pueden ser obtenidos de otro modo. En1917,HarryNyquist,delaAmericanTelephoneandTelegraphCompany,delos EstadosUnidos,empezaatacarlosproblemasdelatelegrafaconmtodosmatemticosms poderosos y secundado por una gran intuicin y claridad de conceptos. Los primeros resultados de sutrabajolospublicen1924enelartculoCiertosFactoresqueafectanalaVelocidad Telegrfica [Nyquist, 1924]. En este artculoNyquist trata varios problemas relacionados con la telegrafa y, en particular, aclara la relacin entre la velocidadtelegrfica y el nmero de valores o impulsosdecorrientequepuedensertransmitidosycorrectamenteinterpretados.Estetrabajo,en nuestraopinin,eselprimercimientodelamodernateoradelainformacin.Nyquistdemostr que se poda transmitir varios mensajes simultneamente por un mismo canal si los anchos de banda delassealesmensajenosesolapaban.Observ,asimismo,quelavelocidaddetransmisinera proporcionalalanchodebandadelcircuitoyquepodaaumentarsemedianteunacodificacion apropiadadelaseal.Demostrqueunasealcontena,entodomomento,unacomponente continuadeamplitudconstante,que,consumiendopartedelapotenciatransmitida,notena utilidad y poda ser aadida en el receptor, lo mismo que si hubiera sido transmitida por el circuito. Nyquistcontinusustrabajossobrelosproblemasdelatelegrafayen1928publicun segundoeimportanteartculo:CiertosTpicosenlaTeoradelaTransmisinTelegrfica [Nyquist,1928].Estesegundoartculofuemscuantitativoyexactoqueelprimero,yjuntos abarcan mucho material importante que hoy est incorporado en la Teora de la Comunicacin.En1928,R.V.Hartley,elinventordelconocidoOsciladorHartley,publicelartculo TransmisindeInformacin[Hartley,1928].Hartleyatacelproblemadelacodificacinde los smbolos primarios (por ejemplo, las letras del alfabeto o caracteres alfanumricos) en trminos de smbolos secundarios (por ejemplo, puntos o rayas del cdigo Morse o secuencias de impulsos) y observquelaslongitudesdelossmbolossecundariosdeberandependerdelafrecuenciade ocurrenciadelossmbolosprimariossisedeseatransmitirlosmensajesconmsrapidez.Hartley sugiritambinunmodo deaplicartalesconsideracionesalassealescontinuas,porejemplo,las sealestelefnicasodetransmisindeimgenes.Finalmente,Hartleyestableci,deacuerdocon Nyquist,quelacantidaddeinformacinquepuedesertransmitidaesproporcionalalanchode bandadelcanalmultiplicadoporeltiempodetransmisin.Vemoslaimportanciaqueenla velocidad de transmisin tiene una codificacin adecuada. DespusdelostrabajosdeNyquist y Hartleynosepublicningntrabajodeimportancia hastaeladvenimientodelaSegundaGuerraMundial.Acicateadosporlasobligacionesdela defensa,losgobiernosbeligerantesestablecieronequiposdematemticos,cientficoseingenieros paraestudiarydesarrollarmuchosaspectosdelacienciaydelatecnologa.Elradar,las I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 4microondas, la televisin y muchos desarrollos ms, fueron los frutos de este esfuerzo combinado, hbilmente dirigido y con ilimitados medios econmicos. Problemascomoladeteccinyestimacindesealesenpresenciaderuidofueron resueltospor A.N.Kolmogoroff,enRusia, yen EstadosUnidos,independientemente,porNorbert Wiener(1894-1964).Despusdelaguerraotromatemtico,ClaudeE.Shannon(1916-),se interesenlosproblemasdelascomunicacionesenpresenciaderuidoyen1948publicendos partes su artculo Una Teora Matemtica de la Comunicacin [Shannon, 1948], que es otro de lospilaresdelamodernaTeoradelaComunicacin.EnelproblematratadoporShannonse permite elegir cmo representar el mensaje por medio de una seal elctrica, cuntos valores de la corrientesepuedenpermitirycuntossetransmitiranporsegundo,esdecir,elproblemadela codificacinylaredundancia.Elproblemanoes,pues,cmotratarunasealcontaminadacon ruidoparaobtenerunamejorestimacindeella,sinoquclasedesealenviarparatransportar mejor los mensajes de un tipo dado sobre un canal particular o circuito ruidoso. Shannon demostr, asimismo, que no es posible transmitir sin error si los cdigos utilizados no tienen redundancia. Lossistemasdecomunicacinconsistenenunconjuntodebloquesfuncionales interconectadosquetransfiereninformacinentredospuntosmedianteunaseriesecuencialde operacionesoprocesamientodeseales.LaTeoradelaComunicacintratadelosmodelosy tcnicasmatemticasquesepuedenutilizarenelestudioyanlisisdelossistemasde comunicacin. En los sistemas de comunicacin las seales son magnitudes que varan en el tiempo, tales comovoltajesycorrientesque,engeneral,serepresentarnconlanotacinx(t).Loselementos funcionalesdeunsistemasonloscircuitoselctricos,perotantoloscircuitoselctricos(sistemas) como las seales se pueden representar en el dominio del tiempo si la variable independiente es el tiempo (t), o en eldominio de la frecuencia si la variable independiente es la frecuencia (f). En el anlisis y estudio de los sistemas de comunicacin a menudo es necesario y conveniente describir o representar las seales y sistemas en el domino de la frecuencia, lo cual conlleva a los conceptos de espectro y de ancho de banda. Larepresentacinespectro-temporaldesealesysistemasesposiblemedianteelAnlisis EspectraldeFourier:SeriesyTransformadas.Enestecaptulosedesarrollarnlastcnicas matemticas para la descripcin de seales en el dominio de la frecuenciay de la correspondencia TiempoFrecuencia.Estastcnicasnosonsinomodelosmatemticos,esdecir,descripciones idealizadasdesealesreales.Aunquesepuedeelegirdiferentesmodelosparaunproblema particular,laseleccindelmodelomsapropiadoestarbasadaenelconocimientomsomenos completo de los fenmenos fsicos a modelar y en las limitaciones de los diferentes modelos. Enlaltimastresdcadaseldesarrollodelastelecomunicacioneshasidoextraordinario peromsquetododesdeelpuntodevistadelatecnologa:fueronlastcnicasdeintegracinde dispositivosdeestadoslidolasqueiniciaronestanuevaeradelascomunicaciones.El ProcesamientoyTransmisindeDatos,lasComunicacionesporSatliteylasComunicaciones Opticas son los dominiosen los cualesel crecimiento ha sido y seguir siendo espectacular. En la conjuncinentrelaElectrnica,lasTelecomunicacionesylaInformticaestarlabasedeeste desarrollo.EnlaReferencia[IEEE,1984]delaBibliografa,ellectorinteresadoencontrarun nutrido material sobre la historia de las telecomunicaciones en los ltimos 100 aos. I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 51.2.MODELOSDELASSEALES 1.2.1.SealesDeterminsticasyAleatorias Enlossistemasdecomunicacinseencuentrandosclasesampliasdeseales,conocidas comosealesdeterminsticasysealesaleatorias.Lassealesdeterminsticassepueden representarmedianteexpresionesmatemticasexplcitasdeltiempo.Porejemplo,unaseal sinusoidaldelaformax(t)=Acos(2fct)paratodot,esunasealdeterminstica.Sontambin sealesdeterminsticasaquellasquenoposeenunaecuacinquelasdescribaperoqueestn representadasmediantegrficos.Elpuntoaresaltaresqueelvalorexactodeunaseal determinstica se puede predecir o calcular por adelantado. Ensudefinicinmssencilla,unasealaleatoriaesaquellaenlacualexisteunmayoro menorgradodeincertidumbreencuantoaunvalorinstantneofuturo.Aunqueelvalorexactoen un instante dado no se conoce, muchas de las seales aleatorias que se encuentran en los sistemas de comunicacintienenciertascaractersticasensucomportamientoquepermitendescribirlasen trminos estadsticos o probabilsticos. ComoveremosenCaptuloIV,puededecirsequesolamentelassealesaleatorias proporcionanverdaderamenteinformacin,puestoquelassealesdeterminsticaspuedenser totalmenteconocidasdeantemano.Estoesverdaddesdeunpuntodevistamuyamplioy,por supuesto,todaslassealesprocesadasenunsistemadecomunicacinsondenaturalezaaleatoria, por lo menos en lo que se refiere al destinatario. Sin embargo, desde el punto de vista del anlisis, diseo,pruebayoperacindesistemas,nosolamenteesdeseablesinotambinnecesarioutilizar sealesdeterminsticasparaanalizarelsistemaypredecirsucomportamiento.Lasseales determinsticastienenpropiedadesbienconocidasademsdequesonmsfcilesdegenerary utilizar.En el Captulo III se presentan algunos fundamentos de las variables y procesos aleatorios. 1.2.2. Seales Peridicas y no Peridicas UnasealperidicaesaquellaqueserepiteenunaformapredeciblecadaTsegundos, donde T es el perodo de repeticin de la seal, es decir,x t x t T ( ) ( ) = + paratodot(1.1) Tesunaconstantepositivayeselvalormspequeoquesatisfacelaexpresin(1.1).Al intervalo de un perodo se le denomina tambin un ciclo de la seal, aunque la palabra ciclo se utiliza principalmente en seales sinusoidales. Unasealnoperidicaoaperidicasepuedeconsiderarcomoellmitedeunaseal peridica cuanto el perodo T tiende a infinito. En trminos ms formales, una seal no peridica es aquella para la cual no existe un T finito que satisfaga la expresin (1.1). Pudierapensarsequedentrodeunintervalofinitounasealnoperidicapuederepetirse despus de un perodo bastante grande y ser en realidad una seal peridica. Igualmente, podemos argumentarqueunasealaparentementeperidicadejedeserlodespusdeuntiempolo suficientementegrande.Desdeunpuntodevistaprcticoestosargumentosnoproducenninguna dificultad,peroenlosintervalosusualesdetrabajoyparaefectosdeanlisis,hayqueconsiderar siempre una u otra representacin. I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 61.2.3. SealesdeEnergaydePotencia La energa total de una seal x(t) en el dominio del tiempo se define en la forma E lim x t dtT TT= 222( )// (1.2) Lasealx(t)puedeserunvoltajeounacorriente.Eeslaenerganormalizadaparauna resistencia de 1 Ohm, y se expresa en joules. Como x(t) puede, en general, ser compleja, una definicin ms general de la energa es E lim x t dtT TT= ( )//222 (1.3) dondex t x t x t ( ) ( ) *( )2= . Si x(t) es real e independiente de T, la energa se puede definir en la forma siguiente, que es la ms utilizada en la caracterizacin de seales reales de aplicacin prctica. E x t dt =2( ) (1.4) La potencia promedio de una seal x(t) en el dominio del tiempo se define como la energa por unidadde tiempo; por lo tanto,la potencia promedio de la seal en el intervalo (-T/2, T/2) es PETlimTx t dtT TT= = 1222( )// (1.5) Si la seal es peridica, no es necesario tomar el lmite y la integracin se efecta dentro de un perodo T, es decir, PTx t dtTT=1222( )// six(t) es real(1.6) Esta es la potencia normalizada para una resistencia de 1 ohm; se mide en vatios (W). Para simplificar la notacin, en este texto utilizaremos continuamente el llamado operador promediotiempodefinidomediantelaexpresingeneral< >= [ ] [ ]//limT T TT122dt olaexpresin particular < >= [ ] [ ]//122T TT dt .Este es un operador lineal. Algunasvecessedefinetambinladenominadaintensidadnormalizadadeunaseal comolapotenciaolaenerganormalizadas,segnelcaso.Enestetextorepresentaremosla intensidad normalizada de una seal con la notacin< > x t2( ) , que corresponder a la energa si la seal es de energa, o a la potencia si la seal es de potencia; sin embargo, daremos preferencia a la notacin < > x t2( )para representar la potencia promedio normalizada de una seal x(t); asimismo,> < ) t ( xrepresentar el valor promedio (componente continua) de una seal x(t). De las definiciones (1.2) a (1.6) se puede establecer lo siguiente: (a)Se dice que una seal x(t) es de energa si y slo si I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 702< < x t dt ( )(1.7) lo cual implica que limTx t dtT TT =10222( )// Las seales de energa finita tienen potencia cero. (b)Se dice que x(t) es una seal de potencia si y slo si 01222< limTx t dtT TT( )// 0, es de potencia o de energa,Fig. 1.2. Porinspeccin,x(t)noesperidica;perocomola curva se extiende hasta el infinito, no es obvio si es o n de energa. En efecto, aplicando (1.4), 0tx(t)AFig. 1.2 A a t dt at dtAa2 2202 2A 2 exp( | | ) exp( ) = = joules Se verifica que EAa= < 2, por lo tantox t A a t ( ) exp( | | ) = es una seal de energa. Ejemplo 1.2 Determinarsilasealx(t)delaFig.1.3esde energa, de potencia o ninguna de las dos. El rea bajo la seal es infinita, por lo tanto no esunasealdeenerga.Lasealnoesperidicapero puedeserdepotencia.Vamosaverificaresto aplicando la expresin (1.5) a la seal de la Fig. 1.3.

0tAx(t) Fig. 1.3 limTA dtATT=122202 /W I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 8Se verifica entonces que < >= < x tA222( ) , por lo tanto, x(t) es una seal de potencia. PodemosdecirtambinqueunasealcontinuadeamplitudAparatodotesunasealde potencia cuya potencia esA2. Ejemplo 1.3.Potencia de una Seal Sinusoidal Sea la seal sinusoidalx t A f tc( ) cos( ) = + 2 ,donde A, fc y son constantes reales. Por inspeccin, el perodo T de x(t) es T=1/fc.De (1.6), < >= + = + +`) x t f A f t dtf Adt f t dtc cccffffffcccccc2 2 221 21 21 21 21 21 2224 ( ) cos ( ) cos( )////// La segunda integral de la derecha es cero pues la integracin cubre dos perodos completos de la funcin por integrar. La potencia promedio de una seal sinusoidal ser entonces < >= =

x tA A22222( ) (1.9) donde A / 2 es el valor eficaz de la seal sinusoidal, resultado ya obtenido en los cursos de CircuitosElctricos.Ntesequelainformacindefase(valorde)nointervieneparanadaenel clculo de la potencia. Esto es vlido para cualquiera seal, sea o n sinusoidal. Ejemplo 1.4.EnergadeunaSealTriangular Sea la seal triangular mostrada en la Fig. 1.4(a),donde x tAt( )(| |)= 1 para | t|0 para | t| > Estaformadesealesdeusomuyfrecuente,porloquesehadefinidolafuncin tringulo, Fig. 1.4(b), representada por Triang t tt( ) ( )| |= = 1para| t| 10para | t| > ( ) t0 -1 0 1t tx(t) A 1(a)Seal(b)FuncinTringuloFig. 1.4 En consecuencia,x t At( ) ( ) = .La energa de x(t) ser:E Atdt A = =2 1232 2 20( )joules I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 9 Ejemplo 1.5.Potencia Promedio de una Seal Peridica Rectangular Sea la seal peridica rectangular mostrada en la Fig. 1.5(a). / 2( ) t / 2 T -T0 0 -1/2 1/2t t1 Aoooo oooo(a) Seal Peridica Rectangularx(t)(b) Funcin RectnguloFig. 1.5. Estaformadesealtambinesdeusomuyfrecuente,habindosedefinidolafuncin rectngulo, Fig. 1.5(b), representada por Re ( ) ( ) ct t t = =10para | t|12para| t| >12 Porconsiguiente,x t At( ) ( ) = enT.Lapotenciapromediodelasealperidica rectangular x(t) ser < >= =x tTA dtTA2 2 2022( )/ En la literatura tcnica a la relacin RTT = se la denomina ciclo o relacin de trabajo. 1.2.4.SealesSingulares Hayunaclasedesealeselementalescuyosmiembrostienenformasmatemticasmuy simples peroque son discontinuas o tienen derivadas discontinuas.Debido a que estas seales no tienenderivadasfinitasdeningnorden,generalmenteselasdenominasealesofunciones singulares. Las seales singulares ms comunes en el anlisis de seales y sistemas son la rampa, el escaln unitario, la seal signo y el impulso unitario Delta Dirac. Aunqueestetipodesealesnosonsinoidealizacionesmatemticasynoocurren naturalmente en un sistema fsico, ellas sirven para varios propsitos de gran utilidad en el anlisis de seales y sistemas.En primer lugar, sirven como aproximacin de seales que verdaderamente ocurren en los sistemas cuando se efectan operaciones de tipo conmutativo. En segundo lugar, su formamatemticamssimplepermiteefectuarcuantitativamenteelanlisisdeunsistemacon muchamsfacilidadquesiseemplearansealesmscomplicadas.Adems,muchasseales complicadas pueden representarse como combinaciones de estas seales elementales. Por ltimo, no poresomenosimportante,estassealespuedensimularseenellaboratorioconmuchafacilidady aproximacin, de modo que puede determinarse experimentalmente si un sistema se comporta en la forma predicha por un anlisis matemtico previo. I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 10LaRampa Unitaria Larampaunitaria,r(t),semuestraenlaFig. 1.6 y se define en la forma siguiente: r ttpar( ) = a 0 t0 para t < 0(1.10) 0 t11r(t) Fig. 1.6.La Rampa Unitaria. Si se desea que la pendiente sea distinta de la unidad, bastar multiplicar por una constante; por lo tanto, br(t) es una rampa de pendiente b. Una forma matemtica para cambiar la pendiente es mediante un cambio de escala en el eje t. En efecto, como la pendiente de r(t) es la unidad, su valor debeserlaunidadsiemprequesuargumentosealaunidad,esdecir,br(t)yr(bt)representan rampas cuyas pendientes son iguales a b. En la Fig. 1.7 se representa diferentes formas de la rampa.

0t 0b-a 11r(-t+1) tt0(b/a)r(-t) Aa 1+a Ar(t-a) Fig. 1.7.Formas diferentes de la Rampa. El Escaln Unitario El escaln unitario, u(t), se muestra en la Fig. 1.8 y se define en la forma u t ( ) = 1para 0 t0 para t < 0 (1.11) 0t1u(t)Fig. 1.8.El Escaln Unitario. Para un cambio de escala en el eje t, u at u t u ttao( ) ( ), ) ( ) = = perou(at - to Puede observarse que la rampa es la integral del escaln unitario, es decir,r t u t dtt( ) ( ' ) ' =(1.12) Esta expresin es vlida para todo t, excepto t =0,en cuyo punto no existe una derivada; por lo tanto, u tddtr t ( ) ( ) = (1.13) De las definiciones de rampa y escaln unitario, se puede decir que r t t u(t) ( ) = . En la Fig. 1.9 se muestran diferentes representaciones del escaln unitario. I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 11.Au t to( ) u t to( ) +to toto + Au t to( )0A 1tt0t0Fig. 1.9.Formas del Escaln Unitario.-A La Funcin Signo Lafuncinsigno,sgn(t),esaquellaquecambia designocuandosuargumentopasaporcero;se representaenlaFig.1.10ysedefineenlaforma siguiente: sgn( ) t= 1 para0 t-1 parat < 0(1.14) 1-1Fig. 1.10. Funcin Signosgn(t) t0 Para un cambio de escala en el eje t, sgn( ) sgn( ), ) sgn( ) at t ttao= = perosgn(at - to. La funcin signo es una funcin impar de t. El escaln unitario y la funcin signo se relacionan mediante las siguientes expresiones: u t t ( ) [ sgn( )] = +121osgn(t) = u(t) - u(-t)(1.15) En la Fig. 1.11 se muestran algunas representaciones de la funcin signo.

toto + = A t t A t to osgn( ) sgn( )sgn( ) t tot

00-11tFig. 1.11. Formas de la Funcin Signo. Usando combinaciones de las funciones rampa, escaln y signo, es posible representar otros tiposdeseal.Ellectorpuedeverificarquelassealesx(t)yz(t)delaFig.1.12sepueden representar en la forma x ttu t u t u t u t t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [sgn( ) sgn( )] = = + = + + = + 212 z t r t r t r t u t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + 1 2 2 3 I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 12 00t tx(t)z(t)1 2 3-11-11Fig. 1.12.Seales Compuestas. ElImpulsoUnitarioDeltaDirac ElImpulsoUnitarioDeltaDirac,representadoenlaforma(t),noesunafuncinenel sentidomatemticousual.Perteneceaunaclaseespecialdefuncionesconocidacomofunciones generalizadas o distribuciones, y se define mediante un proceso o regla de asignacin en vez de una ecuacin. El impulso unitario Delta Dirac se define entonces mediante la integral x(t) (t)dt = x(t)|t =0 =x( ) 0 (1.16) dondex(t)esunafuncincualquieracontinuaent=0.ElimpulsounitarioDeltaDiracse representa en la forma mostrada en la Fig. 1.13. Medianteuncambiodevariablesen ladefinicin(1.16),sepuededemostrarla conocida Propiedad de Muestreo o Cernido delimpulsounitarioDeltaDirac.Enefecto, si x(t) es continua en t = to, se verifica que x t t t dt x to o( ) ( ) ( ) = (1.17) ( ) tFig. 1.13. El Impulso Unitario Delta Dirac 1t0 La propiedad de muestreo del impulso unitario, expresin (1.17), es de mucha aplicacin en el anlisis de seales y sistemas y la estaremos utilizando continuamente. Otras propiedades del impulso unitario son: (a)( ) t= 0para t 0 (b)( ) t to = 0 parat to (c) ( ) t t dt t to ott = < 1, entonces x(at) es la seal x(t) con una escala de tiempo t comprimida en un factor|a|.En forma similar, Xfa( ) representa la funcinX(f) con una escala de frecuenciafexpandidaodilatadaenunfactor|a|[Ntesequesi|a|> . Se puede demostrar en forma similar que | | x t A f t jAX f f X f fc c c( ) sen( ) ( ) ( ) 22 + (1.96) ElteoremadelamodulacinseilustraenlaFig.1.31.Enestecasox(t)esunaseal pasabajo,esdecir,esunasealcuyoespectroX(f)estconcentradoalrededordelorigenycuya frecuencia mxima esfm, Fig. 1.31(b).El ancho de banda de esta seal esB fm= . I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 45fcX fc( )2fmx t x t A tc c( ) ( ) cos( ) = fcfmfmx(t)tt0000A/21ff(a)Dominio del Tiempo(b)Dominio de la FrecuenciaFig. 1.31 Teorema de la Modulacin.X(f) SealescuyoespectrotienelaformadeX fc( ),Fig.1.31(b),elcualestconcentrado alrededordelasfrecuenciasfc,sedenominansealespasabandaysuanchodebandaes B fm= 2 . En la prctica generalmente se cumple queB fo f fc m c>> >> . Esta clase de seales se tratar extensamente ms adelante. Ejemplo 1.23.EnergadeunaSealModulada Sea x(t) una seal de energa, de frecuencia mximafm, y se desea determinar la energa de la seal modulada| | x t x t A f t X fAX f f X f fc c c c c( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) ( ) = = + + 22De (1.86), E X f dfAX f f X f f dfc c c c= = + + | ( )| | ( ) ( )|2224 Si f fc m, la expresin anterior se puede escribir en la forma

| |EAX f f X f f dfAX f f dfAX f f dfc c c c c= + + = + + 22 222224 4 4| ( )| | ( )| | ( )| | ( )|pero cada una de las integrales de la derecha es igual a la energa Ex de x(t). La energa de la seal modulada ser entonces EAEc x=22 donde Exes la energa de la seal modulante x(t). I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 46 Ejemplo 1.24.Espectro de un Impulso de Radiofrecuencia Considrese el impulso sinusoidal de duracin ,Fig. 1.32(a), conocido con el nombre de ImpulsodeRadiofrecuencia(RF),degranutilizacinensistemasderadaryensistemasde transmisin de impulsos mediante portadora modulada , que veremos en el Captulo V. 1fcfc1/ A / 2z(t)A00tf(a) Impulso de Radio Frecuencia(b)EspectroFig. 1.32.Transformadas del Impulso de Radiofrecuencia.Z(f) El impulso de RF, Fig. 1.32(a), se puede describir en la forma ) f ( c sin A )t( Apero), t f 2 cos( )t( A ) t ( zc =y por el teorema de la modulacin, Z fAsincf fsincf fc c( ) (/) (/) =++

2 1 1 Este espectro se muestra en la Fig. 1.32(b) (frecuencias positivas solamente). Obsrvese que si la sinusoide fuera de duracin infinita( ), el espectro sera discreto con componentes de frecuencia enfc.En efecto, de (1.21b), | | lim Z f limAsincf fsincf f Af f f fc cc c =++

= + + ( ) (/) (/) ( ) ( )2 1 1 2 En consecuencia, | | A f tAf f f fc c ccos( ) ( ) ( ) 22 + + resultado ya obtenido en el Ejemplo 1.22. 1.7.6.Teorema de la Diferenciacin e Integracin en el Tiempo LaTransformadadeFouriersepuedeemplearpararesolverecuacionesdiferenciales lineales.Enestaaplicacinparticular,lastransformadasdelassealesquesondiferenciadaso integradas son importantes. Six t X f ( ) ( ), entonces ddtx t j f X f ( ) ( ) ( ) 2(1.97a) ddtx t j f X fnnn( ) ( ) ( ) 2 (1.97b) I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 47x t dtj fX ft( ' ) ' ( ) 12si X(0) = 0(1.98a) x t dtj fX f X ft( ' ) ' ( ) ( ) ( ) +12120siX(0) 0 (1.98b) Demostracin: x t X f j tf df x t X f j f j tf df ( ) ( ) exp( ) ; ( ) ( )( ) exp( ) = = 2 2 2 ddt lo cual implica queddtx t j f X f ( ) ( ) ( ) 2Esteresultadosepuedeextenderparaladerivadan-simamediantediferenciaciones sucesivas dentro del signo integral. En este caso se tiene que ddtx t j f X fnnn( ) ( ) ( ) 2En cuanto a la integracin en t, considrese una funcin g(t) definida por g t x t dt G ft( ) ( ' ) ' ( ) = Esevidenteque ddtg t x t ( ) ( ), = yporelteoremadediferenciacineneltiempo,( ) ( ) ( ), j f G f X f 2 = de donde G fj fX f X f ( )( )( ) ( ) = 12 o x(t' )dt'1j2 f 0t. Sinembargo,paraqueg(t)tengaunatransformadadeFourierG(f),esnecesario,por supuesto, que G(f) exista. Una condicin, quizs algo ms restrictiva que la integrabilidad absoluta, expresin (1.72), es que limg t x t dttt = =( ) , ( ' ) ' 0 00 o sealimt Esto significa que el rea bajo x(t) es cero, es decir, x t dt ( ) =0,lo cual equivalea X(0) = 0. SiX( ) 0 0 ,entonces g(t) ya no es una seal de energa y la transformada de g(t) incluir impulsos unitarios de Dirac. En efecto, g(t) se puede escribir en la forma g t x t dt x t u t t dt x t tt( ) ( ' ) ' ( ' ) ( ' ) ' ( ) ( ) = = = u dondeelasteriscodenotaunproductodeconvolucin.Msadelantedemostraremosquela transformadadeFourierG(f)delproductodeconvolucinx t t ( ) ( ) ues { } x t ( ) { } u t ( ) En consecuencia,G f X ffj fX fj fX f ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) = +

= + 21212012 I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 48de donde x t dtj fX f X ft( ' ) ' ( ) ( ) ( ) + 12120para X(0) 0. Ladiferenciacineneldominiodeltiempocorrespondeamultiplicacinpor(j2f)enel dominiodelafrecuencia.Asimismo,integracineneldominiodeltiempocorrespondeadivisin por (j2f) en el dominio de la frecuencia. EsteteoremapermitedeterminarlatransformadadeFourierdeunasealcualquiera, sobretododetipogrfico,quesepuedaaproximarenunaformalinealportramos.Mediante diferenciacionessucesivasseexpresalasealcomosumadesealescuyastransformadasson fcilesdeevaluaryluegoseaplicaelteorema.Generalmente,lasealx(t),pordiferenciacin sucesiva, se transforma en una suma lineal de impulsos unitariosy la transformada X(f) se obtiene directamenteaplicandolaspropiedadesyteoremasapropiadosalcaso,comoseilustraenel siguiente ejemplo. Ejemplo 1.25 VerificarlatransformadadeFourierdelasealtriangulardelEjemplo1.14,medianteel teoremadediferenciacineneldominiodeltiempo.EnlaFig.1.33(b)y(c)semuestranlasdos primeras derivadasde la seal triangular de la Fig. 1.33(a). AAAA2A(a) Seal Triangular(b) PrimeraDerivada(c) Segunda Derivadax(t)x'(t)x''(t)t t t0 00A Fig. 1.33.De la Fig. 1.33(c),| |ddtx tAt tAt222 ( ) ( ) ( ) ( ) = + + Tomando la transformada de ambos miembros | | ( ) ( ) exp( ) exp( ) j f X fAj f j fA2 2 2 22 = + | | ( ) ( ) cos( ) sen ( ) j f X fAfAf 222 142 2 = = de donde X f A sinc f ( ) ( ), = 2 resultado idntico al del Ejemplo 1.14. I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 491.7.7.TeoremadelaDiferenciacineIntegracinenFrecuencia Six t X f ( ) ( ), entonces t x(t)ddfX f 1(-j2 ) ( ) (1.99) tddfX fnnnx(t)1(-j2 )n( ) (1.100) x ttj X f dff( )( ' ) ' 2para t 0(1.101) Demostracin: X f x t j ft dt X f x t j t j ft dt ( ) ( ) exp( ) ; ( ) ( )( ) exp( ) = = 2 2 2 ddf Por lo tanto,ddfX f j ( ) ( ) = 2 { } t x(t)ddfX f , ( ) dedonde t x(t)1(-j2 )Por diferenciacin sucesiva dentro del signo integral, se obtiene tddfX fnnnx(t)1(-j2 )n[ ][ ]( )Encuantoalaintegracinenfrecuencia,sepuedeaplicarelteoremadedualidadala expresin (1.98a), obtenindose x tj tX f dff( )( ' ) '2 y mediante un cambio de variables en la integral, x ttj X f dff( )( ) ( ' ) ' 2para t 0. Ejemplo 1.26.Aplicaciones de los Teoremas de la Transformada de Fourier En los siguientes ejemplos se utilizan las Tablas de Transformadas del APENDICE C. (a)Dada y tddtxtj t ( ) ( ) exp( ) =

222 428 determinarY(f) cuandox t sinc t ( ) ( ) = 2 2 . xtxtx t sinc t ( )( )( ) [ ( )]2 422 222 2 2 2=

= = Y f j f ( ) ( ) = 22 { } x t j t j f ( ) exp( ) ( ) = 2 8 22 { } x tf f( ) 24pero{ } | | x t X f j f X f j ff f f f( ) ( ) exp( ) ( ) exp[ ( )] = = 2 4 4 4 44 4 por consiguiente, Y f f X f j f ( ) ( ) exp[ ( )] = 4 4 4 42 2 Tambin,)24 - f( = 4) - X(fy)2f( ) f ( X ) t 2 ( c sin 2 ) t ( x = = I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 50de donde Y ff j f( )exp[ ( )]= 4 4 42 2 para3 f 50en el resto (b)DadaX f Af fBj t fco( ) ( ) exp( ), =+ 2 determinar x(t). | x t ( ) =1AfBj f tct t to( ) exp( )`)

2pero `) =1 2AfBABsinc Bt ( ) ( )

| |x t ABsinc Bt j f tct t to( ) ( ) exp( ) = 22,de donde x t ABsinc B t t j f t to c o( ) [ ( )] exp[ ( )] = 22(c)DadaY fj f j t fa j fo( )exp( ), =+2 22 determinary(t) . Y(f) se puede escribir en la forma Y f j fa j fj t fo( ) ( ) exp( ) =+

2122 y tddt( ) =

+`)

112 a j ft t to, pero +`) = 112 a j fat u texp( ) ( )| |ddtat u t t a at u t exp( ) ( ) ( ) exp( ) ( ), = de donde y t t t a a t t u t to o o( ) ( ) exp[ ( )] ( ) = 1.8.TRANSFORMADADEFOURIERDESEALESPERIODICAS La Transformada de Fouriersurgi de la necesidad de conocer el espectro de una seal no peridica. Para las seales peridicas dicha informacin se obtuvo a partir del desarrollo en Serie de Fourier.Sinembargo,paraunificarelanlisis,esconvenienteextenderelusodelaTransformada deFourierasealesperidicas.Esevidentequesisedeseaobtenerlatransformadadeunaseal peridicaapartirdeladefinicin,expresin(1.68),elresultadoserainfinitopueslasseales peridicasnosondemdulointegrable(nocumplenconlacondicin(1.72)).Noobstante, medianteunprocesodelmitessepuederepresentarunasealperidicaentrminosdela TransformadadeFouriersiemprequeaestatransformadaselepermitaincluirimpulsosDelta Dirac. Seax tT( )unasealperidicaqueserepresentarmediantesudesarrolloenSeriede Fourier x t X j nf tTT n on( ) exp( ); = ==21 fo I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 51Su transformada ser X f X j nf t j ft dtT n on( ) exp( ) exp( ) =

= 2 2 X f X j nf t j ft dt XT n o nn n( ) exp( ) exp( ) = === 2 2 { } exp( ) j nf to2pero del teorema de traslacin en frecuencia,{ } exp( ) ( ) j nf t f nfo o2 = ;por lo tanto, x t X j nf t X f X f nfT n o T n on n( ) exp( ) ( ) ( ) = = == 2 (1.102) La Transformada de Fourier de una seal peridica es un tren infinito de impulsos unitarios DeltaDirac,espaciadosenfoycadaunodereaXn,dondeXn,elcoeficientedeFourier,se defini en (1.42).Esevidentequeelespectrodeunasealperidicaseguirsiendodiscretoancuandose calcule a partir de la Transformada de Fourier. An ms, una seal que contenga una parte peridica yunaparteaperidica,poseerunespectrocontinuoenelqueexistirncomponentesdiscretas superpuestas sobre l.ElclculodeloscoeficientesdeFouriersepuedesimplificarmuchocuandoseefectaa travsdelaTransformadadeFourier.Enefecto,seax(t)lafuncingeneratrizdeunaseal peridicax tT( ). Entonces Xn se puede escribir en la siguiente forma XTx t j nf t dtTX nfn o o= =121( ) exp( ) ( ) o tambinX f X nfTXnTf X fn o o o f nfo= = ==( ) ( ) ( )|1 (1.103) dondeX(nfo)eslatransformadadex(t)evaluadaalasfrecuenciasdiscretasnfo.Laexpresin (1.103)permitecalcularloscoeficientesdeFourierdelespectrodiscretodex tT( )atravsdela transformada de Fourier de x(t), pues esta transformada puede ser obtenida con ms facilidad pues se dispone de extensas tablas de transformadas de Fourier. Sin embargo, hay que verificar siempre que x(t) est acotada enT. La expresin (1.102) puede escribirse ahora en la forma x t x t nTTXnTj ntTTn n( ) ( ) ( ) exp( ) = === 12 (1.104) Esta expresin es una forma de la llamada Frmula de la Suma de Poisson. En resumen,para una seal peridica xT(t), x t x t nTTXnTj ntTX f f X nf f nfT T o o on n n( ) ( ) ( ) exp( ) ( ) ( ) ( ) = = = === 12 (1.105) EsevidentequelatransformadadeFourierdeunasealperidicaesunaserieinfinitade impulsosdeDiracseparadosenfoyponderadosporelfactorfoX(nfo),dondeX(f)esla I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 52transformada de Fourier de la seal generatriz.La envolvente de la serie infinita de impulsos es igual afo|X(f)|. Ejemplo 1.27 Calcular y dibujar el espectro de la seal de la Fig. 1.34. / 2 / 2 -2T-T0 T 2TtA A2Ay(t)Fig. 1.34 La seal y(t) se puede expresar en la forma y t x t x tT( ) ( ) ( ) = + ,donde x t AtX f A sinc f ( ) ( ) ( ) ( ) = = yx t At nTX fT Tn( ) ( ) ( ) == (1.105), de y), f ( X ) f ( X ) f ( YT+ = Y f A sinc f A f sinc nf f nfo o on( ) ( ) ( ) ( ) = + = El espectro Y(f) se muestra en la Fig. 1.35. fo3fofo3fo5fo5foAfo2fo015.95 -6fofofofo 0Fig. 1.35.Transformada de la seal de la Fig. 2.33.--- - -A/2Y(f) 79 -7 -9 f

Ejemplo 1.28.Transformada de un Tren de Impulsos Delta Dirac El tren de impulsos unitarios, Fig. 1.36(a), es una serie de gran aplicacin en el anlisis de seales y sistemas. Esta serie peridica se representa en la forma Tnt t nT ( ) ( ) = = I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 53Tt ( )of ( )2fofofofo2fo -3T-2T-T0 T2T3To o o o o oo o o o o o 1t f0(a) Tren de Impulsos (b) Transformada del Tren de Impulsos Unitarios.Fig. 1.36La funcin generatriz de Tt ( ) esx t t X f ( ) ( ) ( ) = = 1para todo fDe (1.103): X fTn o= = =11puesX(nfpara todono)La transformada de Fourier del tren de impulsos de Dirac ser, de (1.105), o o ono ff f f nf f fo( ) ( ) ( ) = == ,la cual se muestra en la Fig. 1.36(b).Entonces, T o o o o fn nt t nT f f f nf f fo( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = === (1.106a) Tambin, de (1.105), T o o o on nt f j nf t f nf t ( ) exp( ) cos( ) = = +

== 2 1 2 21(1.106b) UntrendeimpulsosdeDiracdeperodoTyreaunitaria,tienecomotransformadade FourierotrotrendeimpulsosdeDiracdeperodofoyreafo.AlafuncinTt ( )selaconoce tambin con el nombre de funcin peine de Dirac. 1.9. DENSIDADESPECTRALDEPOTENCIA 1.9.1.Introduccin Demaneraanlogaalconceptodeespectrodedensidaddeenerga,sepuededefinirun espectro de densidad de potencia para seales cuya energa no est definida, es decir, que no poseen unatransformadadeFourieryquefuerondefinidasmediantelaexpresin(1.5).Muchasseales determinsticas y todas las seales aleatorias pertenecen a esta clase. DefinicinElespectrodedensidaddepotenciadeunasealx(t),determinsticaoaleatoria, representadaporS fx( ),sepuededefinirpartiendodelapremisadequesuintegraldebeserla potencia promedio de x(t), es decir, < >=x t S f dfx2( ) ( ) (1.107) LadensidadespectraldepotenciaS fx( )representasimplementeladistribucindela potencia en el dominio de la frecuencia y sus dimensiones sonW/Hz. Puesto que la potencia es una I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 54magnitud positiva, S fx( ) ser una funcin par y positiva de fpara todo f, es decir,S f S fx x( ) ( ) = y0 ) f ( Sx para todo f. El problema ahora es conseguir una expresin explcita que relacione x(t) con S fx( ), pero comox(t)noposeeunatransformadadeFourierX(f),nopuedeutilizarseunatransformadapara determinarS fx( ). Sin embargo, mediante un enfoque determinstico, se puede utilizar el conceptoconocidocomoelcriteriodelasealtruncada.Enefecto,seax(t)unasealdepotenciaysea x tT( )una parte de x(t) comprendida dentro de un intervalo (-T/2, T/2), como se muestra en la Fig. 1.37(b)(No confundir estax tT( )con una seal peridica de perodo T). x tT( )-T/2 T/2-T/2 T/2 x(t)0 0t t(a)Seal de Potencia (b)Seal TruncadaFig. 1.37 Lasealx tT( ) ,Fig.1.37(b),sedenominasealtruncadadex(t),ysienelintervalo ( / T 2,T / 2) cumpleconlascondicionesdeexistenciadelaTransformadadeFourier,entonces x t X fT T( ) ( ) .Esta transformada X fT( ) se utilizar para relacionarx(t)conS fx( ). La potencia promedio de x(t) es, de (1.5), < >= = x t limTx t dt limTx tT T TTTT2 222221 1( ) | ( )| ( )//// x (t)dt Comox t x tT( ) ( ) = en el intervalo ( / , T 2 T/ 2), entonces se puede escribir < >=x t lim x t t dtTT2( ) ( ) ( ) xT

perox t X f j tf dfT T( ) ( ) exp( ) =2 ,entonces < >=

x t limTx t X f j tf df dtTT T212 ( ) ( ) ( ) exp( ) < >=

`) x t limTX f x t j ft dt dfTT T212 ( ) ( ) ( ) exp( ) La integral dentro de los corchetes es igual a X fT( ), de donde < >= =

x t limTX f f df limX fTdfTTTT 221( ) ( ) ( )| ( )| XT (1.108) Comparando(1.108)conladefinicindedensidadespectraldadaen(1.107),seconcluye que S f limX fTxTT( )| ( )|=2 siempre que el lmite exista (1.109) I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 55LacantidadS fx( )esentonceslaDensidadEspectraldePotenciadeunasealx(t).Las unidades deS fx( ) sonW/Hz respecto a una resistenciaR = 1 Ohm. Obsrvese que el espectro de densidaddepotenciadeunasealretienesolamentelainformacindeamplitudperdindosela informacindefase.Porconsiguiente,paraunasealdadaexisteun soloespectrodedensidadde potenciaS fx( ),mientrasquelamismadensidadespectralS fx( )correspondetericamenteaun nmero infinito de seales que difieren entre ssolamente en fase. Para simplificar la notacin, vamos a representar la relacin entre la seal x(t) y su densidad espectralS fx( )enlaformax(t)Sx(f),lacualsimplementeexpresaquex(t)poseeuna densidadespectralS fx( )dadayque,conocidax(t),pudieradeterminarseS fx( )peronoaslo contrario. Obsrvese que en la formulacin de la expresin (1.109) si X fT( )es independiente de T, ladensidadespectralS fx( )sehacecero.Estoocurredebidoaque,parasealesqueposeenuna transformadadeFourier,laintegraldelaexpresin(1.108)tiendeaunvalorlmite,elcual,de acuerdocon(1.3),essimplementelaenergadelaseal;enconsecuencia,cuandoT,la potenciapromedioescero.Enresumen,elconceptodeespectrodepotencianotienesignificado cuandox(t)poseeunatransformadadeFourierespecfica.Sinembargo,enlaprcticanos encontramosconunagrancantidaddeseales,sobretododetipoaleatorio,quenoposeen transformadas de Fourier y para las cuales el concepto de espectro de potencia s es aplicable. Ms adelante, al estudiar las funciones de correlacin, volveremos sobre este tema. 1.9.2.TeoremadelaModulacinparaSealesdePotencia Consideremosahoraunasealmoduladax tc( )cuyadensidadespectralsequiere determinar. Sea entonces, x t x t A f t fc c( ) ( ) cos( ) ( ) = 2dondex(t) Sx,siendox(t) una seal real pasabajo. Si x(t) es una seal de potencia, entoncesx tc( ) ser tambin una seal de potencia, es decir, x t S fc xc( ) ( ) Sea tambin x tT( )la seal truncada de x(t),donde x t X fT T( ) ( ) . Hagamos entonces x t x t A f tcT T c( ) ( ) cos( ) = 2cuya transformada es | | X fAX f f X f fcT T c T c( ) ( ) ( ) = + + 2 La densidad espectral de potenciaS fxc( ) ser, de (1.109), S f limX fTlimATX f f X f fxcTcTTT c T c( )| ( )|| ( ) ( )| = = + + 2 224(1.110a) | || |S f limATX f f X f f X f f X f fxcTT c T c T c T c( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + 24 | S f limATX f f X f f X f f X f fxcTT c T c T c T c( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + +24 | + + + X f f X f f X f f X f fT c T c T c T c( ) ( ) ( ) ( ) I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 56Supongamosquex tT( ) espasabajo,defrecuenciamximafm,dondef fc m ,yseala Fig.1.38dondesemuestraelespectroXT(f)dex tT( )ysusformasdesplazadas X f f f fT c c( ) ( ) + y XT.

fcfcfmfmX fT( )X f fT c( ) +X f fT c( ) X f fT c( ) X f fT c( ) +0fFig. 1.38 EnlaFig.1.38sepuedeobservarquelosproductoscruzadosseanulanpuessustrminos ocupan bandas de frecuencia diferentes, es decir, X f f X f f X f f X f fT c T c T c T c( ) ( ) ( ) ( ) + + = = 0 de dondeX f f X f f X f fT c T c T c( ) ( ) | ( )| + = +2yX f f X f f X f fT c T c T c( ) ( ) | ( )| + = 2 Por lo tanto,S f limA X f fTX f fTxcTt c T c( )| ( )| | ( )|=++

2 2 24(1.110b) La densidad espectral de potencia de la seal modulada ser, de(1.109), | | S fAS f f S f fxc x c x c( ) ( ) ( ) = + + 24 (1.111) Laexpresin(1.111)esvlidaparacualquierasealx(t)pasabajodepotencia,pueslos productoscruzadosseanulan.Six(t)esunasealdepotenciapasabanda,eneldesarrollode (1.110a)aparecerunproductocruzadodelaforma2X f f X f fT c T c( ) ( ) + queserdistintode cero, y la expresin (1.111) no ser entonces vlida para seales pasabanda. Sin embargo, si x(t) es una seal pasabanda aleatoria (ruido, por ejemplo), el producto cruzado ser siempre cero debido a laspropiedadesdeincoherenciadelassealesaleatorias;laexpresin(1.111)sepodraplicar entoncesaestetipodeseales.Laspropiedadesdeincoherenciadelassealesaleatoriaslas veremos en el Captulo III. El Teorema de la Modulacin para Seales de Potencia se puede enunciar entonces en la forma siguiente: Six(t)esunasealdepotenciapasabajo,determinsticaoaleatoria,ydefrecuencia mximafm, o una seal aleatoria pasabanda de ancho de banda mf 2y centrada enfc, se verifica que | | x tx t A f tx t A f tS fAS f f S f fcccxc x c x c( )( ) cos( )( ) sen( )( ) ( ) ( ) = `) = + + 22 42 (1.112) donde S fx( ) es la densidad espectral de potencia de x(t)y f fc m .Este teorema, ilustrado en la Fig. 1.39,se puede demostrar con ms facilidad utilizando el TeoremadeWiener-Kintchine,queseestudiarenlaSeccin1.11.3,medianteaplicacindelas propiedades de las funciones de correlacin. I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 57

S fx( )fmfmfcfcA24S fxc( )x t x t A f tc c( ) ( ) cos( ) = 2f f0 01(a) Densidad Espectral de x(t) (b) Densidad Espectral de Fig. 1.39. Teorema de la Modulacin para Seales de Potencia. La expresin (1.112) es vlida aunque la modulacin se realice con un seno, puesto que el seno y el coseno difieren solamente en un factor de fase y por lo tanto tendrn el mismo espectro de densidad de potencia.Esteteoremaesdegranaplicacinenlossistemasdecomunicacinparaelclculodela potencia de seales moduladas y en especial en el clculo de las relaciones Seal/Ruido (S/N). Ejemplo 1.29.Potencia de una Seal Modulada Seax(t)unasealpasabajodepotencia,conunafrecuenciamximafm,quemodulauna seal sinusoidal de amplitud unitaria y frecuencia fc . Entonces, x t S f t x t f t S fx c c( ) ( ) ( ) ( ) cos( ) ( ) = yxc2 ,donde | | S f S f f S f f fc x c x c m( ) ( ) ( ) ; = + + 14fc La potencia de la seal modulada es, de (1.107), | | < >= = + + x t S f df S f f S f f dfc c x c x c214( ) ( ) ( ) ( )Pero cada una de las integrales de la derecha es la potencia < > x t2( ) dex(t); de donde, < >= < > x t x tc2 212( ) ( )La potencia de una seal modulada es la mitad de la potencia de la seal moduladora. En general, six t x t A f tc c( ) ( ) cos( ) = + 2 ,entonces < >= < > x tAx tc2222( ) ( ) (1.113) Ntese que la informacin de fase no interviene en el clculo de la potencia. La expresin (1.113), vlida para seales tanto determinsticas como aleatorias, ser utilizada continuamente a lo largo de todo el texto. I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 581.10.RELACION ENTRE EL ANCHO DE BANDA Y LA DURACION DE UNA SEAL De acuerdo con la propiedad escalar de la Transformada de Fourier, una seal de duracin infinita(existe para todo t) tiene un espectro contenido dentro de unabandade frecuenciasB, es decir, { } x t ( ) = 0 para B 122x (1.119) Six(t) es peridica de perodo T, RTt x t dtxTT( ) ( ) ( )// = +122x (1.120) En general, six(t) es compleja, R x t x t x t x tx( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =< + >=< + > (1.121) Enestasdefiniciones,lavariablejuegaelpapeldeunparmetrodeexploracino bsqueda. Lafuncindeautocorrelacinsepuededefinirtambinparasealesdeenerga,encuyo caso, para x(t) real, I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 62R x t x t dt x t x t dtx( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = (1.122) Esta integral se conoce con el nombre de Integral de Correlacin de x(t). EnlaFig.1.43semuestralafuncindeautocorrelacindetressealesdepotencia diferentes. Rx( ) Rx( ) Rx( ) 0 0 0(a)(b) (c)Fig. 1.43.LaFig.1.43(a)representalafuncindeautocorrelacintpicadeunaseal.Laforma mostradaen(b)representaunasealquenotieneningunarelacinentredos puntosinfinitamente cercanos, caracterstica sta propia de las seales aleatorias como, por ejemplo, el ruido blanco que estudiaremosenelCaptuloII.En(c)semuestralafuncindeautocorrelacindeunaseal constante en el tiempo; esta correlacin no tiene sentido fsico.Unexamenmsatentodelprocesodecorrelacinnosmuestraquelafuncinde autocorrelacinRx( ) esunamedidadelarapidezdevariacindeunasealx(t).Enefecto,la funcindeautocorrelacinestcomprimidaeneldominiodesix(t)tienecomponentesdealta frecuencia,yextendidaeneldominiodesix(t)contienesolamentecomponentesdebaja frecuencia. Esto nos induce a pensar que si la funcin de autocorrelacin posee una transformada de Fourier,estatransformadaestarrelacionadaenalgunamedidaconelcontenidoespectraldex(t). Demostraremos ms adelante que esa relacin no est basada en la transformada de Fourier de x(t)pues x(t) no posee una, sino en ladensidad espectral de potenciaS fx( )de x(t). EnelCaptuloIII,secalculaalgunasfuncionesdeautocorrelacinqueseutilizanenla caracterizacin de algunas de las seales digitales que veremos en el Captulo V. PropiedadesdelaFuncindeAutocorrelacin 1.La potencia promedio de x(t) es igual a Rx(0).En efecto, para=0, R limTx t dt x txT TT( ( ) ( )//0)12 222= =< > (1.123) El valor de la funcin de autocorrelacin en el origen es igual a la potencia promedio de la sealx(t). 2.La funcin de autocorrelacin es una funcin par de .En efecto, R x t x t x t x tx( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =< + > =< >para0 =< + + + >=< + + + >, de donde R R T R nTx x x( ) ( ) ( ) = + = +(1.126) 5. Si el valor promedio (componente continua) de x(t) es distinto de cero, entonces Rx( ) poseeruna componente continua de valor igual al cuadrado del valor promedio de x(t). Enefecto,si< > x t ( ) 0,entoncessepuedeescribirx(t)enlaformax t b x to o( ) ( ) = + ,dondeb x to =< > ( ) eslacomponentecontinuadex(t),y < >= x to( ) 0. La funcin de autocorrelacin de x(t) ser

R b x t b x tR b b x t b x t x t x tx o o o ox o o o o o o o( ) [ ( )][ ( )]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =< + + + >=< + + + + + >2 R b b x t b x t x t x tx o o o o o o o( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =< > + < > + < + > + < + >2

pero< >= >=< + >= =< + > b b t x t x t x to o o o o2 20 ; ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) < xRo xo , entonces R b Rx o xo( ) ( ) = +2 cuando < >= x t bo( )(1.127) Esta expresin nos permite investigar el comportamiento deRx( ) cuando || . En efecto, si < >= x t ( ) 0, entonces lim Rx| |( )= 0cuando < >= x t ( ) 0 (1.128) Estoesasporquecuando| | ,lassealesx t ( ) ) yx(t + sontandismilesque ellas pierden todarelaciny ya no hay correlacin entre ellas, es decir, Rx( ) | 0cuando| . Si < >= x t bo( ) 0, entonces cuando | | , y de la expresin (1.127), I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 64lim R lim b R b lim Rx o xo o xo| | | | | |( ) [ ( )] ( ) = + = +2 2 pero,de (1.128),lim Rxo| |( )= 0,de donde lim R bx o| |( )= 20cuando < x(t) >= bo (1.129) Lasexpresiones(1.128)y(1.129)sonvlidassiemprequex(t)nocontenga componentes peridicas. Si x(t) contiene componentes peridicas, entonces, de acuerdo conlaPropiedad4,paraaltosvaloresde,ancuando| | ,Rx( ) exhibirun comportamiento peridico. 6.SiR x t x t x t x tx( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =< + > =< + >y Rx

,sepuededemostrar(Ver Problema de Aplicacin 2.27) queR R R jRx x x x( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] = = +

yRz2(1.130) dondeRz( ) eslafuncindeautocorrelacindez t x t jx t ( ) ( ) ( ), ( ) = +

yRx esla transformada de Hilbert deRx( ) .Obsrvesequesiz(t)eslasealanalticadex(t),entoncesRz( ) / 2eslaseal analticadeRx( ) .Porlotanto,latransformadadeFourierdeRz( ) (que demostraremos ms adelante que es su densidad espectral de potencia)deber tener un espectro idnticamente nulo para f < 0. Todas estas propiedades se aplican tanto a seales determinsticas como aleatorias. Ejemplo 1.31.Autocorrelacin de una Seal SinusoidalSea x t A tc( ) cos( ) = + , donde es un desfase constante. RATt t dtx c cTT( ) {cos( ) cos[ ( ) ]}// = + + +222 { } RATt dtx c c cTT( ) cos[ ( ) ] cos( )// = + + +22222RATdtATt dtx c cTTcTT( ) cos( ) cos[ ( ) ]//// = + + + 2 222222 22pero la segunda integral es cero debido a la periodicidad del integrando. Entonces, RAx c( ) cos( ) =22) f 2 cos(2Ac2 =El resultado sera el mismo para x t A tc( ) sen( ) = + . Ntese que la informacin de fase se pierde en la funcin de autocorrelacin. Ejemplo 1.32.Funcin de Autocorrelacin de una Seal Peridica Rectangular Vamos a determinar la funcin de autocorrelacin de la seal peridica de la Fig. 1.44(a). SeaR R Rx x x( ) ( ) ( ) ( ) = < = + para 0y Rpara0x I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 65En consecuencia,R R Rx x x( ) ( ) ( ) = + + paratodo .De la Propiedad 2: R R Rx x x x( ) ( ), ( ) ( ) = = + o tambin RRx( ) A22 /o o o o o o AT-T-T/4 0 T/4 tx(t)-T-T/2 0 T/2T(a)Seal x(t) (b) Funcin de Autocorrelacin de x(t)Fig.1.44o oo o o Por consiguiente, R R Rx x x( ) ( ) ( ) = + . Solamente se calcula Rx( ) , y para 0 se hace en Rx( ) .Entonces, para < < = = + = +TTA dtATT ATxT 20,12 21222 22 R ( ) ( ) (/)/ para02 2122 < = = + TRATx x, ( ) ( ) (/) R . Puesto que x(t) es peridica, combinando estos dostrminos se obtiene la seal generatrizRgx x( ) ( ). deREntonces, RATATgx( )| |/(/) =

=2 2212 2 2La funcin de autocorrelacin de la seal peridica rectangular x(t) ser tambin peridica: R Rx gx( ) ( ) =

( - nT) =A - nTT/ 22n=- n=-2la cual tendr la forma mostrada en la Fig. 1.44(b). 1.11.3.TeoremadeWiener-Kintchine Hemosvistoquelassealesdepotenciasepuedencaracterizarmedianteladensidad espectral de potencia y sera muy conveniente averiguar si hay alguna operacin que utilizando las funciones de correlacin permita relacionarlas con la densidad espectraldepotencia. En efecto,la funcindeautocorrelacin,ademsdeserunamedidadelasemejanzaentreunasealx(t)yuna rplica de ella desplazada en un tiempo , verifica la relacin (de la Propiedad 1) R x t S f dfx x( ) ( ) ( ) 02=< >=

Esta expresin nos dice que la potencia promedio de una seal de potencia, igual a Rx (0), es igual al rea de su densidad espectral de potencia. Esto nos induce a pensar queentre la funcin deautocorrelacinyladensidadespectralexisteunarelacinmuyestrechaquevamosatratarde I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 66determinar. Consideremos entonces la densidad espectral de potencia de una seal de potencia, es decir, x t S f limX fTxTT( ) ( )| ( )| =2 donde X fT( )es el espectro de la seal truncada de x(t).Por transformada de Fourier inversa 1{ } S f limX fTj2 f dfxTT( )| ( )|exp( ) = 2(1.131) Enlaexpresin(1.131)sehaelegidounanuevavariablepueslavariabletestya implcita en la definicin de X fT( ) .Intercambiando el orden de las operaciones, 1{ } S f limTX f X f j f dfxTT T( ) ( ) ( ) exp( ) =12 Como x(t) es real, entonces, X f x t j ft dt f X f x t j ft dtT T T T TTTTT( ) ( ' ) exp( ' ) ' ( ) ( ) ( ) exp( )////= = = 2 22222 y XRearreglando, 1{ } S f limTx t x t j t t f df dt dtxTT TTTTT( ) ( ) ( ' ) exp[ ( ' ) ] '////= +

`) 122222 La integral dentro de los corchetes es, de (1.21d), igual a ( ' ) t t + , y de la propiedad de muestreo del impulso unitario se obtiene finalmente 1{ } S f lim t x t dtxTT TTT( ) ( ) ( )//= + x 22 Comox t x tT( ) ( ) =en el intervalo (-T/2,T/2), entonces 1{ } S f limT Tx t x t dt x t x t Rx xTT( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )//=+ =< + >=122 , de donde S f Rx x( ) ( ) (1.132a) Esteresultado,degranimportanciaenelanlisisespectraldeseales,seconoceconel nombredeTeoremadeWiener-KintchineoRelacionesdeWiener-Kintchine.Esteteorema establecequelafuncindeautocorrelacinyladensidadespectraldepotenciaformanunparde transformadas de Fourier, es decir, R S f j f df S f R j f dx x x x( ) ( ) exp( ) ( ) ( ) exp( ) = = 2 2(1.132b) LadeduccinrigurosadelTeoremadeWiener-Kintchineestfueradeloslmitesquenos hemos impuesto. LasrelacionesdeWiener-Kintchinedemuestranquelafuncindeautocorrelacindeuna seal contiene solamente aquellas componentes de frecuencia presentes en la seal misma, es decir, la funcin de autocorrelacin no depende de la forma de la seal en el dominio del tiempo (pues ha I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 67perdidolainformacindefase)sinodesucontenidoespectral.Estaequivalenciatiempo frecuencia es aplicable tanto a seales determinsticas como aleatorias. Si las seales son de energa, se verifica quex t X f x t dt Ex( ) ( ); ( ) ( ) = =Rx02 energade x(t) G f X f X f X f R x tx x( ) | ( )| ( ) ( ) ( ) ( ) = = = 2x(-t) (1.133) El Teorema de Wiener-Kintchine proporciona un mtodo prctico para la determinacin de la densidad espectral de potencia de una seal x(t) cualquiera. En efecto,primero se determina la funcindeautocorrelacinRx( ) dex(t),yportransformacindeFourierdeRx( ) seobtieneS fx( ) , la densidad espectral de potencia de x(t). La mayora de las seales en las comunicaciones y enmuchasotrasreasdelaingenieraelctricasonsealesdepotenciacuyocontenidoespectral debeserbienconocido,ylaimportanciaprcticadelTeoremadeWiener-Kintchineesquelas operacionesdeclculosepuedenefectuarenformamuyeficienteyrpidamedianteclculo numrico en computadoras digitales, aplicando las tcnicas del clculo numrico de la transformada de Fourier que se dan en el APENDICE A. 1.11.4.Teorema de la Modulacin para Seales de Potencia EnlaSeccin1.9.2sedemostrelTeoremadelaModulacinparaSealesdePotencia. Este teorema lo podemos demostrar tambin utilizando el Teorema de Wiener-Kintchine. Seax(t)unasealpasabajodepotencia,debandalimitadaB,ysealasealmodulada x t x t A tc c( ) ( ) cos( ) = conf Bc , donde x t S f R x t S f Rx x c xc xc( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y R x t x t A x t t x t txc c c c c( ) ( ) ( ) ( ) cos( ) ( ) cos[ ( )] =< + >= < + + >2 | | RAx t x t txc c c( ) ( ) ( ) cos[ ( )] cos( ) = < + + + >222> + + < > + < = )] t 2 ( cos[ ) t ( x ) t ( x2A+ ) t ( x ) t ( x ) cos(2A) ( Rc2c2xc Debido a la periodicidad del segundo trmino, la integral correspondiente es cero, es decir, < + + >= x t x t tc( ) ( ) cos[ ( )] 2 0,de donde ) f 2 cos( ) ( R2A) ( Rc x2xc = (1.134a) donde R x t x tx( ) ( ) ( ) =< + > es la funcin de autocorrelacin de x(t) y) f ( S ) ( Rx x . Mediante el Teorema de Wiener-Kintchine, la transformada de Fourier deRxc( ) es | | S fAS f f S f fxc x c x c( ) ( ) ( ) = + + 24(1.134b) resultado ya obtenido anteriormente, expresin (1.112), y que es el Teorema de la Modulacin para Seales de Potencia. I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 681.11.5.Intercorrelacin La intercorrelacin, llamada tambin correlacin cruzada o correlacin mutua, permite lacomparacinentredossealesdiferentesperocoherentes.Lafuncindeintercorrelacin contiene informacin respecto a las frecuencias comunes a ambas seales y a la diferencia de fase entre ellas. La intercorrelacin entre dos sealesx(t) e y(t) se define en la forma R limTx t y t dt x t y txyT TT( ) ( ) ( ) ( ) ( )// = + =< + > 122(1.135) Puedeobservarsequesientrelassealesx(t)ey(t)existealgngradodesemejanza, entonceslafuncindeintercorrelacinexistirenunciertorangode,proporcionandoasuna medidacuantitativadelgradodesimilitudocoherenciaentreellas.Cuandolassealessontan dismilesqueanpara = 0laintercorrelacinescero,sediceentoncesquelassealesson ortogonales, es decir, si R limTx t y t dtxyT TT( ) ( ) ( )// = + = 10 para22todo(1.136a) entoncesx(t)ey(t)sonortogonalesynohabrningunacorrelacinentreellas.Engeneral,la condicin de ortogonalidad total entre dos seales x(t) e y(t) se expresa mediante la integral x t y t dt ( ) ( ) = 0(1.136b)Si x(t) e y(t) son peridicas de perodo T, la funcin de intercorrelacin serRTx t y t dtxyTT( ) ( ) ( )// = +122(1.137) Sepuededemostrarquelafuncindeintercorrelacinresultanteestambinperidicade perodoT. En cuanto al dominio de la frecuencia, la densidad interespectral de potencia o densidad espectral mutua o densidad espectral cruzada de dos seales, se define como la transformada de Fourier de su funcin de intercorrelacin, es decir, S f Rxy xy( ) ( ) (1.138) La densidad interespectral de potencia suministra, en el dominio de la frecuencia, la misma informacin acerca de las seales que la que suministra la funcin de intercorrelacin. PropiedadesdelaFuncindeIntercorrelacin Acontinuacindamos,sindemostrarlas,algunaspropiedadesdelafuncinde intercorrelacin. 1. La funcin de intercorrelacin no es conmutativa, es decir, R Rxy yx( ) ( ) = (1.139) 2.(a) R R Rx y xy( ( | ( )| 0) 0) (1.140) (b)| |120 0 R R Rx y xy( ) ( ) | ( )| + (1.141) I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 693. Si dos sealesx(t) e y(t) no estn correlacionadas y sus valores promedio son distintos de cero, se cumple que su funcin de intercorrelacin es igual al producto de sus valores promedio, es decir, Si < > x t ( ) 0 y< y(t) > 0,entoncesR x t y t x t y txy( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =< + >=< > < > (1.142) pero si > y(t) < oambos son cero,entonces Rxy( ) = 0. Asimismo,si x(t)ey(t) son ortogonales, entonces Rxy( ) = 0si x(t)yy(t)son ortogonales (1.143)Ntese que si x(t) o y(t) no poseen una componente continua, entonces la ortogonalidad implicanocorrelacin.Sinembargo,engeneral,ortogonalidadimplicanocorrelacin, peronocorrelacinnonecesariamenteimplicaortogonalidad.Laortogonalidadesuna condicinmuchomsestrictaquelanocorrelacin,comopuedeapreciarseenla expresin (1.136b). 4.Six(t)ey(t)sonperidicasdeperodoT=1/fo,ysusfuncionesgeneratricesson x t X f t Y fg g g( ) ( ) ( ) ( ) eyg, se verifica que R S f fxy xy o( ) ( ) =2Xg=-( ) ( ) ( ) nf Y nf f nfo g o on (1.144) La intercorrelacin es muy til en la descripcin del grado de conformidad entre dos seales diferentesenfuncindesudesplazamientomutuo.Suhabilidadparamedircuantitativamenteel gradodesemejanzaocoherenciaentredosseales,permitevisualizarconmsprofundidadlos fenmenos investigados que si se analizara cada seal por separado.1.11.6.Deteccin de una Seal Peridica en presencia de Ruido Enmuchasocasionesesnecesariodetectarperiodicidadesescondidasdentrodeotras seales,enespecialsealescontaminadasconruido,como,porejemplo,enlatransmisinde sealesdigitales,enladeteccindesealesderadarodeperiodicidadesenencefalogramas,enel estudiodevibracionesyenmuchasotrasaplicacionesdelAnlisisEspectraldeSeales.Enestos casos las tcnicas de correlacin tienen una gran importancia, pero aqu slo trataremos la deteccin de una componente peridica en presencia de ruido. Seaunasealx(t)quecontieneunacomponenteperidicadeperodoTmsunaseal aleatoria(ruido)queenmascaracompletamentelacomponenteperidica.Lasealx(t)sepuede expresar en la forma x t p t n t ( ) ( ) ( ) = +dondep(t)esunacomponenteperidicadeperodoTyn(t)esunasealaleatoria.Nohay correlacinentrep(t)yn(t),ysuponemosquesusvalorespromediosoncero,esdecir,< >=< >= p t n t ( ) ( ) 0. Entonces, R x t x t p t n t p t n tx( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )][ ( ) ( )] =< + >=< + + + + > R R R R Rx p n pn np( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + +Pero de la Propiedad 3 de la funcin de intercorrelacin, I.REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 70R Rpn np( ) ( ) = = 0puesto que < p(t) >=< n(t) >= 0.Entonces, R R Rx p n( ) ( ) ( ) = +Tomemos el lmite| | de esta expresin: lim R lim R lim Rx p n| | | | | |( ) ( ) ( ) = +Puestoquep(t)esperidicadeperodoT,sufuncindeautocorrelacintambinser peridica de perodo T para todo, por lo tanto lim R R kT lim Rx p n| | | |( ) ( ) ( ) = + +pero de (1.128), como< >= =n t Rn( ) , ( )| |0 0entonces lim . Finalmente, lim R R kTx p| |( ) ( ) = +(1.145) Laimportanciadeestaexpresinesqueparavaloresaltosdelafuncinde autocorrelacin de la seal x(t) exhibe un comportamiento peridico del mismo perodo de p(t).En general,silafuncindeautocorrelacindeunasealx(t)cualquieramuestrauncomportamiento peridicodeperodoT,esporquelasealx(t)contieneunacomponenteperidicaconelmismo perodo. Enunaformaalterna,sepuedecorrelacionarmutuamentex(t)conunprocesoperidico q(t),generadolocalmente,delmismoperodoquep(t),lacomponenteperidicadex(t).Setiene entonces, R x t q t p t n t q t p t q t n t q txq( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =< + >=< + + >=< + > + < + > Comon(t)yq(t)noestncorrelacionadosyadems< >= n t ( ) 0,entonces < + >= n t q t ( ) ( ) 0 ,de donde ) ( R ) t ( q ) t ( p ) ( Rpq xq >= + =< Puestoquelosprocesosp(t)yq(t)tienencomponentesdeigualperodo,Rpq( ) tendr tambinunacomponentedelmismoperodo.Porconsiguiente,Rxq( ) exhibirun comportamiento peridico del mismo perodo que q(t). Si q(t) tiene la forma de un tren de impulsos unitariosde perodoT,sepuededemostrar[Lathi,1968]queRxq( ) reproduceq( ) .Estoquiere decir que este mtodo no slo detecta la presencia de una componente peridica, sino que tambin revelalaformaoperfildedichacomponente.EnelCaptuloIIaplicamosestosconceptosalos sistemas