primera secuencia cuaderno de trabajo

UNIVERSIDAD AUTONOMA

DEL CARMEN

ESCUELA PREPARATORIA CAMPUS II

TRINIDAD DEL CARMEN

RODRIGUEZ CAMARA

CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL


INTRODUCCION

El estudio del clculo integral como rama de las matemticas, debe favorecer el

desarrollo de las capacidades racionales del estudiante, as como el aprovechamiento de sus

conocimientos previos, con la finalidad de propiciar el logro de aprendizajes significativos

que le permitan comprender la importancia y utilidad para explicar y resolver situaciones

de la vida real, comprendiendo la utilidad como una herramienta futura en niveles

superiores de enseanza.

El clculo integral junto con el clculo diferencial, representan las dos ramas

importantes de la disciplina matemtica llamada anlisis. Mientras que el clculo

diferencial se ocupa de la teora y las aplicaciones de los cambios de una magnitud con

respecto a otra con la cual est en una relacin funcional, el clculo integral se dedica al

estudio de los resultados de estos cambios.

En particular, este cuaderno de trabajo est dirigido a los estudiantes de sexto semestre de

bachillerato como parte de curso de optativa llamada calculo integral, quienes en un futuro

ingresaran a carreras relacionadas con la ingeniera; de lo anterior tenemos que valorar el

enfoque de las aplicaciones, buscando aquellos ejemplos ms ilustrativos a los temas que se

desarrollan en el programa de Calculo integral.

As, el material se desarrolla partiendo de una breve explicacin que podr servir de repaso

para lo ya visto en clase de clculo diferencial, cada unidad contiene una serie de ejercicios

que le permitirn al alumno conocer los diferentes mtodos y procedimientos para su

solucin. Se propone una cantidad de ejercicios independientes por parte de los estudiantes

A su vez cada ejercicio de ejemplo incluye, dependiendo de la complejidad del tema, varios

subejercicios. Al final de la serie de ejercicios se encuentras los resultados correctos de

cada uno de ellos. Es prudente mencionar que todos los ejercicios fueron extrados de las

fuentes bibliogrficas que aparecen al final del documento.

Al estudiar el clculo integral, vamos a aprender un proceso llamado integracin

que significa hacer entero o completo o ms bien, calcular resultados acumulados. Al

principio se va a usar simple aritmtica para llevar a cabo estos clculos, en cierto modo

vamos a contar algo.

Al proponer un currculo matemtico se plantea a veces la pregunta de cul debe

ser el orden en la enseanza del clculo integral o del clculo diferencial. Hay personas que

defienden la opinin de que el clculo diferencial debe ir primero en un plan de estudios y

otras que opinan lo contrario. Podemos citar al respecto al matemtico ingles Greenhill

(1982) que dijo que al contemplar un bosque, uno no observa primero el crecimiento sino

lo que ha crecido. Esta cita relaciona muy bien la idea fundamental del clculo diferencial

con la del clculo integral, ya que primero se estudia el proceso de crecer y el segundo

determinamos que y cuanto creci.


El clculo Integral se introduce normalmente como el mtodo inverso del clculo

diferencial, lo cual se puede justificar y comprobar desde el punto de vista matemtico. Sin

embargo, para muchos alumnos permanece el concepto abstracto de un clculo diferencial

inverso sin significado ya que no pueden relacionarse fcilmente la derivacin y la

integracin como tales procesos inversos.

Al igual que en el caso del clculo diferencial, en el clculo integral esta su

concepto fundamental presente en las experiencias diarias de muchas personas aunque

quizs en forma inconsciente. De cualquier forma ha actividades sencillas que ayudan a

objetivar este concepto. Si consideramos los resultados acumulados como la idea central

del clculo integral se observa que intervienen en ella tres aspectos bsicos: la razn de

cambio, el resultado de los cambios y el efecto acumulado de las razones de cambio.

Ilustremos una estrategia que conjunte los tres aspectos bsicos con el ejemplo de una

central de agua potable, que por un lado reparte agua y por otro, recibe agua para luego

repartirla.

Los programas actuales de Clculo integral actualmente se basan en una cantidad

importante de mtodos y formulas, en el presente cuaderno de trabajo se podrn encontrar

actividades que contribuyan al desarrollo de las competencias del campo disciplinar de

matemticas, se busca cumplir con un proceso de evolucin diagnstico, formativo y

sumativo.


2. Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques. 4. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin. 5. Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

8. Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y

cientficos.

COMPETENCIAS DISCIPLINARES

GUIA DE OBSERVACION

Alumno:

Grupo:

Profesor:

Fecha de aplicacin:

Entrega a tu profesor la evaluacin junto con la siguiente gua de observacin

Reactivo Indicador Cumplimiento observaciones

SI NO

R1 Encuentra el valor del limite

R2 Realizo la derivada algebraica

R3 Realizo la derivada logartmica

R4 Realizo la derivada exponencial

R5 Realizo la derivada trigonomtrica

R6 Realizo la derivada inversa

R7 Determino el modelo matemtico del

problema

R8 El estudiante identifico en la grfica

los mximos y mnimos de la

funcin

R9 El estudiante encontr los valores

mximos y mnimos de la funcin

R10 El estudiante obtiene el volumen de

la caja expresada en forma

desarrollada de la funcin.

Evalu

Nombre y firma


R1. Encuentra el valor del lmite

R2. Encuentra la primera derivada

( )


( ) ( )


( )


( )


( ) ( )

R7. Un trabajador gana $100 diarios por

una jornada de 8 horas diarias. Determina el

modelo matemtico que representa el

salario del trabajador durante n das.

R8. Marca las coordenadas del mximo y

mnimo

R9. Obtenga los puntos mximos y mnimos de la funcin

( )

R10.Una caja tiene las siguientes

dimensiones como se muestra en la figura,

determina el volumen

x

x+2

x+5


AUTOEVALUACION

Como complemento a la evaluacin diagnostica realizada es importante analizar

cules son la causa que impidieron responder alguno de los reactivos. Llena el siguiente

cuadro que te servir como gua para conocer lo temas que necitas reforzar.

REACTIVO Por qu no lo pude resolver? Acciones a realizar.

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10


DIFERENCIALES

El clculo nos proporciona una regla general de derivacin conocida como regla de

los cuatro pasos para obtener la derivada de una funcin sencilla. Con ella se obtuvieron las

frmulas para derivar todo tipo de funciones.

En el clculo integral no hay regla general que pueda aplicarse para integrar las

diferenciales. En la prctica cada caso necesita un trato especial. La integracin es un

proceso esencialmente de ensayo, por ello, se darn varias frmulas y mtodos para

facilitar su estudio.

Objetivo temtico: Aplicar el concepto de diferencial y sus definiciones en la resolucin

de problemas de aproximacin de incremento y de errores pequeos, utilizando las reglas

de diferenciacin y relacionndolo con ciencias naturales, econmico administrativas y

sociales.

Lectura

1.1 DEFINICION

Un concepto importante en el clculo integral es la diferencial de una funcin:

La diferencial de una funcin es el producto de la derivada de la funcin por el

incremento de la variable independiente.

Existen muchas situaciones, en las cuales necesitamos estimar una diferencia, algunos

ejemplos de esto son:

a) Aproximar valores de funciones.

b) Clculo de errores al efectuar mediciones (Valor Real menos Valor Aproximado).

c) Clculo de Variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente vara

un poco.

Consideremos que la funcin ( ) es derivable sobre un intervalo. En un punto x de dicho intervalo, la derivada de y con respecto a x se define por la expresin:

( )

Hasta ahora hemos utilizado la expresin

como un smbolo para denotar la derivada de y

con respecto a x. Ahora definiremos el concepto de diferencial de manera que dx y dy

tengan significados por separado. Esto nos permite considerar la expresin

como la

razn de dy y dx, donde dx es la diferencial de la variable independiente x y dy es del

diferencial de la variable dependiente y.

Definicin del diferencial de dx


Si ( ) es una funcin derivable en x, la diferencial de la variable independiente coincide con su incremento de x, o sea:

Definicin del diferencial dy

Si ( ) es una funcin derivable en x y dx es el diferencial de x, del diferencial dy que corresponde a la variable dependiente y se define como:

( )

De acuerdo con la expresin anterior, el valor del diferencial dy depende del valor de x y

del de dx; o sea que dx es otra variable independiente de dy.

Si en la expresin ( ) , dx es diferente de cero y dividimos ambos miembros de la igualdad por dx obtenemos:

( )

( )

por lo tanto podemos decir que la diferencial de una funcin es igual al producto de la

derivada por la diferencial de la variable independiente.

Ejemplos:

1. Calcula la diferencial de la funcin 236 xxy Solucin:

dxxxdy

xxdx

dy

xxy

218

218

218

2

2

2

2. Calcula la diferencial de la funcin Solucin:

xdxdy

xdx

dy

xy

cos

cos

cos


Ejercicio Tipo No 1

Encuentra la diferencial de las siguientes funciones y aplica la operacin de

integracin a cada una.

Funcin Diferencial

1. 25xy

2. 145334 xxxy

3. xxy 33

4. x

a

a

xy

5. baxy

6. 22 xaxy


7. btaes

8. xy 53

9. 3 24 xy

10. xseny

3

11. xy 2tan

12. xy

3cos


13.

x

xxf

1

3

14. xxy 2tan

15. a

xarcseny

16. 2cot xarcy

17. 3cos

xarcy


18. senQ

19. senxy ln

20. ( )


1.2 INTEPRETACION GEOMETRICA DE dy

Sea la grfica de la funcin ( ) y su diferencial (derivada) ( ), que se identifica como el valor de la derivada en A; si el incremento de la variable independiente , con base en la definicin de diferencia resulta que:

( ) ( )

Recordando que el valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la

pendiente de la tangente a la curva en dicho punto, tenemos:

( ) ( )

Con base en la grafica tenemos que:

Sustituyendo, se obtiene

( ) donde que representa el incremento de la

ordenada de la tangente correspondiente a . Decimos entonces que si representa un incremento cualquiera de la variable independiente x para un punto ( ) de la curva ( ), tiene por derivada:

( )

()


1.3 LA DIFERENCIAL COMO APROXIMACION DE INCREMENTO

DEFINICION

Si el incremento de la variable independiente es muy pequeo, entonces y son aproximadamente iguales, es decir:

Si es muy pequeo,

Existen muchas situaciones, en las cuales necesitamos estimar una diferencia, algunos

ejemplos de esto son:

a) Aproximar valores de funciones.

b) Clculo de errores al efectuar mediciones (Valor Real menos Valor Aproximado).

c) Clculo de Variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente vara

un poco.

Ejemplos

1. Calcular el incremento aproximado del rea de un cuadrado de lado de 5m. Si este recibe

un aumento de 0.002m.

Formula del rea de un cuadrado

2

2

2

020.0

020.0002.052

2

002.0

5

moincerement

mdA

ldldA

mdl

ml

lA

2. Obtener el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo de lado de 2 m al

aumentar el lado 0.003 m.

Formula del volumen de un cubo

( ) ( )

3. El volumen de un cascaron esfrico se considera como un incremento del volumen de

una esfera. Analiza la siguiente figura:

dr

r

r


calcula el volumen aproximado de un cascaron esfrico que tiene un radio interior de 8 cm

y cuyo espesor es de 0.12 cm.

Si y , obtenemos ( ) ( )

4. Calcular un valor aproximado de tan 46, empleando diferenciales, tan 45 = 1,

245sec 1 = 0.01745 radianes. Sea xy tan

0350.0

0175.045sec

sec

2

2

dy

dy

dxxdy

como 145tan tenemos 1+0.0350= 1.0350 que es un valor aproximado a tan46

5. si 636 , calcular el valor aproximado de 38

si expresamos la funcin como xy

166.06

1

362

2

2

23638

636

x

dxdy

xy

dx

como 166.6166.0638

6. Calcular un valor aproximado de

si expresamos la funcin como 3 xy

04.025

1

)125(3

3

3

3125122

5125

23 2

3

3

x

dxdy

xy

dx

como 96.404.051253


7. Calcula ( ) Expresamos la funcin como Un numero prximo a es 4, con lo cual calculamos el diferencial en el punto de la abscisa y por otro lado . Si ( )( ) Entonces tenemos que a

8. Utilizando diferenciales encuentra una aproximacin de Como vimos anteriormente dy nos representa una muy buena aproximacion a la funcin

( ) alrededor del punto de tangencia x0. Podemos encontrar una funcin que nos

permita aproximar para esto tomamos la funcin de igual forma podemos escoger un punto donde conozcamos con exactitud el valor de la funcin, para este caso es

conveniente tomar x0 = 25, entonces sabemos que:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

si expresamos la funcin como entonces ( )

si x= 25.4 y x0=25

dx= x x0 dx= 25.4 - 25

dx=0.4

( )

( )

Por lo tanto


Ejercicio 2 (Tipo)

Calcula usando diferenciales cada uno de los siguientes valores.

1. 2.

3.

4.

5. 6.


7.

8.

9. 10.


Ejercicio 3 (Aplicacin)

Si el lado de un cuadrado mide 15 cm, calcula el incremento aproximado del area si su

lado se incrementa 0.02 cm.

0.6 cm2

Si el lado de un cubo mide 4 cm, calcula el incremento aproximado del volumen si su lado

aumenta 0.02 cm.

0.96 cm3

Calcula la disminucin aproximada del rea de una quemadura de forma circular cuando el

radio disminuye de 2 a 1.98 cm.

-0.08 cm2

Una persona tiene un tumor de forma esfrica. Calcula el incremento aproximado del

volumen del tumor cuando el radio aumenta de 2 a 2.1 cm. Recuerda que

es la

formula para obtener el volumen de una esfera.

1.6cm3


El volumen de un cascaron esfrico se considera como el incremento del volumen de una

esfera. Calcula el volumen de un cascaron esfrico si su radio interior mide 6 cm y cuyo

espesor es de 0.02 cm.

2.88cm3


Trabajo en equipo

Detalla por escrito el proceso de solucin analtica tpica de problemas de

aproximacin al incremento, utilizando la diferencial y compara el proceso de

solucin con tus compaeros.

1. Los balones de futbol puede sufren pequeas variaciones dependiendo de las

condiciones del lugar donde se efecta el partido o por las caractersticas de

construccin del baln. El dimetro de un baln es de 28 cm y con el calor puede

aumentar hasta 28.7 cm, Cunto varia el rea del baln?

2. Al calentar una placa cuadrada de 15 cm de longitud, su lado aumenta 0.04 cm Cunto aumento aproximadamente su rea?

3. Al calcular la altura de un cerro se encuentra que desde un punto situado a100m de la proyeccin en el suelo de la parte ms alta del cerro, esta ltima se ve con un

ngulo de elevacin de 30. Encuentre aproximadamente el mayor error que se

comete al calcular la altura, sabiendo que la medicin del ngulo se hace con un

posible error de 0.3.

4. Al enfriar una placa cuadrada metlica de 20 cm. de longitud, su lado disminuye un 0.03%. Cunto disminuir porcentualmente su rea?

5. Debido al uso, un baln de hierro que tiene 10 cm de radio, sufre un desgaste hasta que su radio disminuye a 9.2 cm. Determina la disminucin en el volumen y en el

rea del baln.

6. Al calcular la altura de un cerro se encuentra que desde un punto situado a 100m de la proyeccin en el suelo de la parte ms alta del cerro, esta ltima se ve con un

ngulo de elevacin de 30. Encuentre aproximadamente el mayor error que se

comete al calcular la altura, sabiendo que la medicin del ngulo se hace con un

posible error de 0.3.

7. La resistencia elctrica R de un conductor (cable) es directamente proporcional a su longitud e inversamente proporcional al cuadrado de su dimetro. Suponiendo que

la longitud es constante, con qu precisin debe medirse el dimetro (en trminos

del error porcentual) para mantener el error porcentual de R entre -3% y 3%?


EVALUACION FORMATIVA

DIFERENCIALES

La siguiente prctica contiene una serie de reactivos que aunados a la gua de observacin

te permitirn conocer cules son los avances que se estarn presentando en tu desempeo,

te permitir conocer tus debilidades y fortalezas en los temas estudiados.

Caso practico

1. Calcula la diferencial de las siguientes funciones

a)

b) c) ( )( )

d)

2. Calcula mediante diferenciales los siguientes valores, compralo con el valor obtenido en la calculadora.

a)

b)

c)

3. El lado de un cuadrado mide 20 cm. Calcula el incremento aproximado del rea si su lado aumenta 0.025 cm.

4. Determina el incremento del volumen de un cubo de lado 3.5 m si su lado aumenta 0.002m.


GUIA DE OBSERVACION DIFERENCIALES

Nombre: ___________________________ Fecha: ________________________

Entrega a tu profesor la evaluacin formativa junto la presente gua de observacin.

Indicador Escala Observaciones

R1

Identifica correctamente el tipo de

derivacin que necesita

R1

Establece correctamente la

notacin de la diferencial

R1

Calcula correctamente la

diferencial solicitada

R2

Identifica correctamente la funcin a la

que hace referencia cada ejercicio

R2

Identifica correctamente el

incremento necesario para el

calculo de la diferencial

R2

Calcula correctamente el valor

aproximado solicitado.

R3

La solucin al problema es planteada con

el uso de diferenciales.

R3

El proceso de solucin es claro y

entendible

R3

La solucin al problema es correcta.

R4 La solucin al problema es planteada con

el uso de diferenciales.

R4


entendible

R4

La solucin al problema es correcta.

Calificacin final

Escala

Cumpli 1

No cumpli 0

Recomendaciones generales:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________


AUTOEVALUACION

En los siguientes ejercicios, determina la diferencial de la funcin que se indica:

1. ( )

a) (

)

b) (

)

c) (

)

d) (

)

2. ( ) ( )

a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( )

3. ( ) ( )

a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( )

4. ( )

a) b) c) d)

5. ( )

a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( )

6.

a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( )

7. ( )

a)

b)

c) d)

8. ( ) ( )

a)

b)

c)

( )

d)

9. Mediante diferenciales, determina el

valor aproximado de a) 7.01229 b) 7.01514 c) 7.01428 d) 7.01386

10. Mediante diferenciales, determina el

valor aproximado de

a) 2.0154 b) 2.0172 c) 2.0161 d) 2.01666


11. Una persona tiene un tumor de forma esfrica. Calcula el incremento aproximado del volumen del tumor cuando el radio aumenta de 3 3.1 cm.

a) 11.30976 cm3 b) 11.2586 cm3 c) 11.3642 cm3 d) 11.2917 cm3

12. El volumen de un cascaron esfrico se considera como el incremento del volumen de una esfera. Calcula el volumen aproximado de un cascaron esfrico cuyo radio

interior y exterior mide 8 y 8.12 cm respectivamente.

a) 96.6385 cm3 b) 96.4702 cm3 c) 96.5099 cm3 d) 96.5310 cm3

ESCALA DE MEDICION DEL APRENDIZAJE

Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicacin.

Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es necesario que nuevamente repases los temas.

Si contestaste correctamente 7 menos reactivos, tu aprendizaje es insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesora a tu profesor.


RETROALIMENTACION

Como complemento a la autoevaluacin realizada te encuentras en punto donde es

importante analizar cules son tus dudas. Llena el siguiente cuadro que te servir como gua

al momento de exponer tus ideas al profesor.

Tema Qu aprend? Qu me falta?


LA TECNOLOGA COMO

HERRAMIENTA DE APOYO.

Te sugerimos los siguientes sitios Web donde podrs reforzar tu aprendizaje del contenido

de la unidad:

Diferenciales

http://es.wikipedia.org/wiki/operador_diferencial

http://www.vitutor.com/fun/4/b_12.html

Los siguiente programas resuelven derivadas e integrales en lnea.

http://integrals.wolfram.com

http://www.portalplanetasedna.com.ar/calculo_matematico.htm


Anti derivadas.

Integracin indefinida

Objetivo: Aplicar las tcnicas de la integral indefinida.

Lectura

2.1 Anti derivada

Definicin:

A una funcin F se le llama anti derivada de una funcin f, en el intervalo I,si F(x)=f(x)

para todo valor de x en el intervalo.

Por comodidad este concepto se expresa con la fase F(x) es una anti derivada de

f(x). Las expresiones integral indefinida y funcin primitiva son sinnimos de la palabra anti derivada.

Ejemplos:

1. 3x2 dx es la diferencial de x3 x

3 es la antidiferencial de 3x

2 dx

2. sen x dx es la diferencial de cosh cos x es la antidiferencial de sen x dx

2.2 Integral indefinida

A la operacin de calcular la antiderivada (primitiva) de una funcin se le llama integracin

y se denota por el smbolo que es la inicial de la palabra suma.

Si F(x) es una funcin primitiva de f(x) se expresa:

CxFdxxfy )()( si y solo si F(x) + C = f(x)

La expresin dxxf )( es la antiderivada de F(x).

es el signo de integracin, se lee integral de

f(x) integrando

dx Diferencial de la variable

x Variable de integracin

F(x) funcin primitiva

C Constante de integracin

Si en la expresin CxFdxxfy )()(


Y como en la definicin de la anti derivada sealamos que F(x)=f(x), sustituimos en la

expresin anterior

CxFdxxF )()( queda

CxFdx

ddxxf

dx

d )()(

)()( xFxf

como la derivacin y la integracin son operaciones inversas, ello nos permite obtener las

formulas de integracin directamente de las formulas de derivacin.

Ejemplos:

1. Si la funcin primitiva de es entonces podemos escribir su integral:

2. Si la funcin primitiva es es entonces podemos escribir su integral:

Sabemos que la operacin inversa de la diferenciacin es la integracin, apliquemos

ahora este concepto para representar las diferenciales obtenidas:

Ejemplos:

1. Si la diferencial de 236 xxy es dxxxdy 2182 Cmo se expresa su

integral?

Solucin

( )

2. Si la diferencial de 32 xy es dxx

dy

32

1Cmo se expresa su

integral?

Solucin

dxx

32

1


3. Si la diferencial de es xdxdy cos Cmo se expresa su integral?

Solucin

Si observas la integral de la diferencial es igual a la funcin ms una constante,

posteriormente exploraremos por qu adicionarle una constante a la funcin.


Ejercicio 4 (Tipo)

Completa la siguiente tabla.

FUNCION DERIVADA DIFERENCIAL INTEGRAL

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. dxx

48 = 35

8 5 x

8.

9.

10.


2.2.1 La constante de integracin.

Notaras que al mostrarte la integral indefinida colocamos la letra C, a la cual llamaremos

constante de integracin. Observemos la siguiente tabla para saber porque se debe anexar la

constante de integracin:

FUNCION DERIVADA DIFERENCIAL INTEGRAL

Si observas al encontrar los valores de las derivadas el resultado es el mismo, aun cuando

no hemos presentado las formas de integracin, por simple intuicin podemos saber cual

ser el resultado de la integral y anexamos el valor de la constante. En los casos donde no

conocemos cual es el valor de la constante optamos por agregar C, por ejemplo si se te

presenta la siguiente integral por intuicin sabemos que su resultado ser y podramos expresarlo de la siguiente forma . A partir de ahora la constante de integracin la representaremos con una letra mayscula

C. Y dado que C puede dar diversas cantidades de valore por pertenecer a una familia de funciones, se dice que la integral de una expresin diferencial dad, tiene una indinidad

de integrales que solo difieren en la constante, por lo tanto:

( ) ( )

A lo cual llamaremos integral indefinida.

2.2.2 Determinacin dela constante de integracin mediante condiciones iniciales.

El valor de la constante de integracin se puede obtener a partir de la expresin diferencial

que se va a integrar, y de un punto determinado que se presente en las condiciones iniciales.

Ejemplo:

Encuentra el valor de la constate de integracin y la funcin f(x) de la expresin diferencial

( ) en el punto (2,3).

Si la derivada de ( ) es

su diferencial es ( ) , si la

integramos:


Sustituyendo los valores del punto obtenemos:

( ) ( )

Ahora podemos sustituir en la funcin

Encuentra el valor de la constate de integracin y la funcin f(x) de la expresin diferencial

( ) para ( )

Si la derivada de ( ) es

su diferencial es ( ) , si la integramos:

Sustituyendo los valores del punto obtenemos:

( )

( )

( )

( )

Ahora podemos sustituir en la funcin


2.2.1 Significado geomtrico de la constante de integracin.

La constante de integracin nos indica que se puede sumar cualquier constante y obtener

una anti derivada distinta. Observa la siguiente grafica

Cada una de las grficas pertenece al mismo conjunto de familias donde solo se deslizan

variando el parmetro C

2.2.1 Significado fsico de la constante de integracin.

La constante de integracin tiene una connotacin importante en la fsica, qumica,

matemticas, economa entre otras reas. Donde a veces se requiere determinar una anti

derivada particular que satisfaga ciertas condiciones iniciales; se requiere determinar un

valor particular de la constante de integracin para obtener la anti derivada particular.

Analicemos los siguientes ejemplos donde se requiere determinar la constante de

integracin.

1. La funcin del costo marginal cuando una compaa produce x unidades mensuales est dada por ( ) . Determina:

La funcin del costo total si sus costos fijos son de $6 000 mensuales.

Solucin:

Sabemos que el costo marginal es la derivada del costo total.

( ) ( )

( ) ( )

( )


( )

( ) Los costos fijos representan el costo total cuando no hay produccin, es decir:

Costos fijo = C(0). Por lo tanto:

( ) ( ) ( ) ( )

De acuerdo con lo anterior

( )

2. Se lanza verticalmente una pelota con una velocidad inicial de 78.4 m/s desde lo alto de un edificio de 20 m de altura. Calcula la altura a la que se encuentra la pelota

despus de 3 segundos de haber sido lanzada.

Solucin:

Si S(t) representa la altura de la pelota a los t segundos, lo que debemos determinar es

S(3); es decir, necesitamos encontrar la funcin de posicin de la pelota.

El valor con que se desplaza la pelota es de -9.8 m/s2, 0sea, la aceleracin de la gravedad.

Si consideramos como la direccin positiva el movimiento hacia arriba, entonces el valor

de la aceleracin de la gravedad es -9.8 m/s2

( ) ( )

( )

( ) Como la velocidad inicial de la pelota es de 78.4 m/s, V(0)=78.4 m/s, luego:

( )

Despejando Por lo tanto ( ) Como ( ) ( ) entonces ( ) ( ) , sustituyendo

( ) ( )

( )

( ) Como S (0)=20, entonces:

( ) ( ) ( ) Despejando obtenemos C=20

Por lo tanto nuestra funcin es: ( ) Si calculamos la altura transcurridos 3 segundos obtenemos:

( ) ( ) ( ) ( )

Transcurridos los 3 segundos, la pelota se encuentra a 211.2 m sobre la base del edificio.


Ejercicio 5 (Tipo)

En los ejercicios siguientes determina el valor de la constante de integracin y la funcin

f(x) de la expresin diferencial dada y el punto dado.

1. ( ) para ( )

2. ( ) para (1, 2)

3. ( ) para ( )

4. ( ) para ( )

5. ( ) para ( )

6. ( ) para ( )

7. ( ) para (-2, 5)

8. ( ) para (-2, 5)

9. ( ) para (2, -1) 10. ( ) para ( )


Ejercicio 6 (Aplicacin)

1. El costo marginal de una compaa est dado por la expresin ( ) dlares por unida al producir x unidades mensuales. Si los costos fijos son de 900 dolares, determina:

a) La ecuacin del costo total b) El costo de producir 500 unidades

2000 dolares

2. El ingreso marginal de una empresa cuando produce x artculos es ( ) dlares por unidad. Determina

a) La ecuacin del ingreso b) El ingreso si se venden 400 artculos.

32 800 dolares


3. La ecuacin de la aceleracin de una partcula en movimiento sobre un eje

coordenado es en donde a se mide en

y en t segundos. Si ( )

y ( ) determina: a) La ecuacin de la funcin velocidad. b) La velocidad de la partcula a los 3 segundos c) La ecuacin de la funcin de posicin de la partcula.

( )

( )

4. Se lanza un proyectil verticalmente desde lo alto de un edificio de 60 pies de altura ( ( ) )con una velocidad inicial de 96 m/s. si la aceleracin del proyectil en cualquier instante t es de -32 pies/s

2, determina:

a) La ecuacin de la funcin velocidad

b) La velocidad a los 2 segundos

c) La ecuacin de la funcin de posicin S(t) de la partcula

d) La altura a la que se encuentra el proyectil sobre la superficie terrestre a los 5

segundos.

140 pies ( ) ( )

( )


INTEGRALES INMMEDIATAS 2.3 Conceptos Bsicos de Integracin

Durante los captulos anteriores descubrimos que la derivacin y la integracin son

procesos inversos lo cual nos permiti obtener integrales por simple inspeccin. Ahora

trabajaremos con un conjunto de frmulas que nos ayudaran a realizar el proceso de

formas distintas. Iniciemos presentando la siguiente tabla que contiene las formulas

de integracin inmediata:

INTEGRALES INMEDIATAS

1.

2.

3.

4.

5.

( )

6.

7.

8.

9.

( )

10.

11. ( )

12.

13.

14.

15.

16. ( )

17.

18. ( )

Integral usando la formula

Ejemplo:

Solucin

La integral de la diferencial de una funcin dividida entre la

funcin es igual al logaritmo natural de la funcin.


( )

Ejemplo:

cxxdx

||ln33

Aplicando la propiedad de logaritmos obtenemos

cxxdx 3ln

3

La integral de la suma de un numero finito de funciones es igual a la suma algebraica

de las integrales de las funciones.

dxxhdxxgdxxfdxxhxgxf )()()()()()( Ejemplos:

1. dxdxxdxxdxxx 27527522

cxxx 22

7

3

5 23

2.

x

dxdx

x

xdx

x

xxd

x

xx43

43 2224

xdx

xdxdxx 433

cxxx ||ln42

3

4

1 24

A cada integral habra que sumarle una constante C, pero solamente se escribe la del final

porque la suma de varias constantes es otra constante

La integral del producto de una constante por una funcin es igual a la constante por

la integral de la funcin.

)()( xfkxkf

Ejemplos:

1. 14

88814

44

x

dxxdxx

cx 5

5

8


2. dxxdxx33

5

2

5

2

cx

135

2 13

= cx 4

10

1

Por ningn motivo se puede sacar la variable de integracin del signo de

integracin

Ejemplo:

xdxxdxx2

este desarrollo no es correcto

En algunos casos la integracin se facilita si se efectan previamente las operaciones

indicadas (productos o cocientes de polinomios)

Ejemplos:

1. dxxxxdxxx )362(3122

dxxx 3522

dxxdxdxx 3522

Cxxx 32

5

3

2 23

2.

dxx

x

2

13

12 3 xx 23 2xx

12 2 x

xx 42 2

14 x

84 x 7

dx

xxxdx

x

x

2

742

2

1 23

422 xx


27422

x

dxdxdxdxx

Cxxx

x 2ln742

2

3

1 23

3. dx

x

x

1

3

dividiendo el numerador por el denominador resulta:

1

11

1

23

xxx

x

x

sustituyendo en el integrando

dxx

dxxdxdxxdxx

x

1

1

1

23

Cxxxx

1ln23

23

Otras integrales se pueden resolver al sumar y restar al integrando una misma

cantidad.

Ejemplo:

25x

xdx

Para su solucin se procede en la forma siguiente: del denominador, en la expresin

(x+5)2 tomamos el 5, mismo que se suma y se resta al numerador; la integral obtenida se

descompone en dos integrales.

dxx

x

x

xdx22

5

55

5

225

5

5

)5(

x

dx

x

x

25

55 x

dx

x

dx

u (x)= x + 5

du (x)= dx

duux 255ln

Cu

x

1

55ln

12

Cx

xx

xdu

5

55ln

42


Ejercicio tipo 5

Resuelve las siguientes integrales

1.

2.

3.

4.

5. ( )


6. ( )( )

7. ( )

8.

dx

x

x2

4

9.

10. ( )


11.

12. (

)

13. ( )( )

14.

( )

15. ( )


16. dxxx

xx

23

24 11

17. dxx3

155

18.

dx

xx 3 23

52

19.

3

3

x

dxx


20. dxxxx

352 3

2

2

3

21.

dx

x

xx 24 2

22. dxxx 23

23.

dx

x

x2

2 2

2


24.

dxxx

x

4

3

25. x

dxx2

EVALUACION FORMATIVA

INTEGRAL INDEFINIDA

La siguiente prctica contiene una serie de reactivos que aunados a la gua de observacin

te permitirn conocer cules son los avances que se estarn presentados en tu desempeo, te

permitir conocer tus debilidades y fortalezas en los temas estudiados.

Caso practico

1. Calcula la integral de las siguientes funciones

a) (2x3 + 3x - 5) dx b)

4

6 7( 9)5 3 3

dxx

c)( )( )

d) 975

4 3 5( )

2 89x dx

xx

e) 3 74(7 3 8)x x dx

2. Determina el valor de la constante de integracin y la funcin de f(x) de la expresin diferencial dada y el punto dado.

3 2 2 6 3 (2, 1)y x x para

3. El ingreso marginal de una empresa cuando produce x artculos es ( )

dlares por unidad. Determina

c) La ecuacin del ingreso d) El ingreso si se venden 3000 artculos.


GUIA DE OBSERVACION DIFERENCIALES

Nombre: ___________________________ Fecha: ________________________

Entrega a tu profesor la evaluacin formativa junto la presente gua de observacin.

Indicador R1 R2 R3 R4 Observaciones

Anota la formula a emplear en cada

integral

Realiza las simplificaciones

algebraicas que facilitan la solucin

Encuentra el valor correcto de la

integral

Indicador R5 Observaciones

En la solucin al problema emplea

integrales y anti derivadas


entendible

Realiza de forma correcta los

procedimientos algebraicos

La solucin al problema es correcta

Indicador R6 Observaciones

En la solucin al problema emplea

integrales y anti derivadas


entendible

Realiza de forma correcta los

procedimientos algebraicos

La solucin al problema es correcta

Escala

Cumpli 1

No cumpli 0

Recomendaciones generales:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________


AUTOEVALUACION

En los siguientes ejercicios, determina la integral que se indica:

1. 1 3

42

x xdx

x

2. 2

1 82

3dx

x x x

3. dxx

x

2

3

2 1

4.

442

dxx

xx

5. 22x dx

x

6. dxxx )12(2/3


7. 4 ( 4)x x dx

8. dyyy2

9. 3 2

2

2 5 3x x xdx

x

10. 2(1 4 )t dt

11. 3 2 12 (2, 3)y x x para

ESCALA DE MEDICION DEL APRENDIZAJE

Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicacin.

Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es necesario que nuevamente repases los temas.

Si contestaste correctamente 7 menos reactivos, tu aprendizaje es insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesora a tu profesor.


RETROALIMENTACION

Como complemento a la autoevaluacin realizada te encuentras en punto donde es

importante analizar cules son tus dudas. Llena el siguiente cuadro que te servir como gua

al momento de exponer tus ideas al profesor.

Tema Qu aprend? Qu me falta?

primera secuencia cuaderno de trabajo

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