primera edición ebook 2014 - editorialpatria.com.mx · en el trabajo a realizar por el alumno,...

Francisco José Ortiz CamposFrancisco Javier Ortiz CerecedoFernando José Ortiz Cerecedo

primera edición ebook 2014

Grupo Editorial Patria®División Bachillerato, Universitario y Profesional

.3 sacitámetaM

Serie integral por competencias

Derechos reservados:

©2014, Francisco José Ortiz CamposFrancisco Javier Ortiz CerecedoFernando José Ortiz Cerecedo

©2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.

ISBN ebook: 978-607-438-949-4

Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca,Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro núm. 43

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en

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Impreso en México / Printed in Mexico

Primera edición ebook: 2014

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Dirección editorial: Javier Enrique CallejasCoordinación editorial: Alma Sámano CastilloDiseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado SolísSupervisión de preprensa: Miguel Ángel Morales VerdugoDiagramación: Juan Castro SalgadoIlustraciones: Gustavo Vargas Martínez y Jorge Antonio Martínez JiménezFotografías: Thinkstock

III

Grupo Editorial Patria®

Contenido

Introducción a la asignatura y a tu libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VCompetencias genéricas del Bachillerato General . . . . . . . . . . . . VIIICompetencias disciplinares básicas del campode las matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IXLas secciones de tu libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X

BLO

QU

E

1 1 .1 Geometría analítica introductoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 .2 Sistema de coordenadas rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 .3 Parejas ordenadas: igualdad de parejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 .4 Lugares geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Reconoces lugares geométricos

BLO

QU

E

22 .1 Segmentos rectilíneos: dirigidos y no dirigidos . . . . . . . . . . 282 .2 Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 .3 Perímetro y área de polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 .4 Punto de división de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 .5 Punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos

BLO

QU

E

3 3 .1 Línea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 .2 Pendiente y ángulo de inclinación de una recta . . . . . . . . . . 483 .3 Ángulo formado por dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 .4 Condiciones de paralelismo y perpendicularidad . . . . . . . 52

Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

BLO

QU

E

44 .1 Ecuaciones de la recta pendiente y ordenada al originen 634 .2 Punto-pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644 .3 Dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664 .4 Simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694 .5 Ecuación general y normal de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714 .6 Distancia de una recta a un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784 .7 Distancia entre dos rectas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

IV

ContenidoB

LOQ

UE

66.1 La parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.2 Elementos asociados con la parábola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.3 Ecuación ordinaria de parábolas verticales y

horizontales con vértice en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.4 Ecuación ordinaria de parábolas verticales y

horizontales con vértice fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.5 Ecuación general de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola

BLO

QU

E

77.1 Elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.2 Elementos asociados la elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.3 Ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales

con centro en el origen y ejes, coordenados . . . . . . . . . . . . . 1327.4 Ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales

con centro fuera del origen y ejes paralelos a los ejes coordenados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.5 Ecuación general de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse

Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Vínculos en Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

BLO

QU

E

55.1 Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.2 Rectas y segmentos: radio, diámetro, cuerda,

secante y tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3 Ecuaciones de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.4 Ecuación canónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.5 Ecuación ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.6 Ecuación de la circunferencia conocidos tres puntos. . . . 1015.7 Ecuación general de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

V


Introducción a la asignatura y a tu libro

Presentación

El contenido temático de esta segunda edición de Matemáticas 3 para bachillerato general se ha modificado para adecuarlo al programa vigente de la asignatura .

Esta obra se desarrolla en siete bloques que son:

Bloque 1 Reconoces lugares geométricos

En este bloque se parte de la identificación de las características de un sistema coordenado rectangular . A con-tinuación se trata lo relacionado con los dos problemas fundamentales de la geometría analítica respecto de un lugar geométrico .

Bloque 2 Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos

En relación con un segmento rectilíneo, se le representa a partir de las coordenadas de sus extremos o bien se traza para determinar las coordenadas de sus extremos . Se obtiene la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos del plano y se aplica para determinar perímetros y áreas de polígonos . Se interpreta la noción de razón en la división de un segmento rectilíneo .

Bloque 3 Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

Se establece la relación entre el ángulo de inclinación de una recta y su pendiente . Se aplica el concepto de pen-diente para establecer las condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas . Se identifica la ecua-ción de la recta en su forma pendiente ordenada al origen con sus respectivos elementos . También se identifica la ecuación de la recta que pasa por dos puntos .

Bloque 4 Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

Para continuar con el estudio de la recta se identifican sus ecuaciones en las formas simétrica, general y normal .

Francisco Javier Ortiz CerecedoFernando José Ortiz Cerecedo

Francisco José Ortiz Campos

VI

Introducción a la asignatura y a tu libro

Bloque 5 Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

Inicia con las secciones que se obtienen por la intersección de un plano con un cono . La sección que da lugar a la circunferencia se asocia con su ecuación que considera su centro en el origen del sistema coordenado . También se trata lo referente a la ecuación de la circunferencia con su centro fuera del origen . La ecuación se expresa en su forma ordinaria y en su forma general . En ambos casos se hace referencia a sus respectivos elementos .

Bloque 6 Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola

A partir de la definición de la parábola como lugar geométrico se identifican sus elementos . Se estudian sus res-pectivas ecuaciones para parábolas en posición vertical u horizontal . Se estudia la parábola con vértice fuera del origen y se identifican las ecuaciones, para parábolas en posición vertical y horizontal . Asimismo se presentan parábolas con vértice fuera del origen y sus ecuaciones .

Bloque 7 Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse

Esta sección cónica se define como lugar geométrico y se identifican sus elementos . Asimismo, se identifican sus respectivas ecuaciones de elipses horizontales o verticales cuando su centro está en el origen . Se identifican sus res-pectivas ecuaciones ordinaria y general, tanto horizontal como vertical, con sus elementos correspondientes .

Aún cuando no se incluye en el programa, se trata lo relacionado con la cónica llamada hipérbola, con centro en el origen y fuera del origen, con sus elementos y ecuaciones correspondientes . Su estudio queda a consideración del y la docente en función del tiempo disponible y los acuerdos de academia .

Cada bloque inicia con su nombre e incluye: la o las competencias, una introducción, una propuesta de trabajo, un conjunto de ejercicios y problemas como propuestas para el diseño de situaciones didácticas y conocimientos .

Además de lo anterior cada bloque tiene las secciones:

¿Qué sabes hacer ahora?

Para tu reflexión

Actividad de aprendizaje

Instrumentos de evaluación

La evaluación diagnóstica de ¿Qué sabes hacer ahora? nos permitirá saber el nivel de conocimientos con los que cuenta el estudiante . La Actividad de Aprendizaje nos permite conocer el grado de avance en el proceso de ense-ñanza – aprendizaje para hacer los ajustes necesarios . La sección Instrumentos de evaluación nos permite establecer una comparación entre el inicio y el final del estudio de cada bloque .

Adicionalmente se han incluido rúbricas para la evaluación de bloques y situaciones didácticas. También se utilizan listas de cotejo.

En esta obra se dan a conocer algunos lineamientos de carácter general sobre la metodología de trabajo de acuer-do con el enfoque por competencias . Para ello se parte de ejemplos concretos en los que se explica cada una de las partes que integran la propuesta . A continuación se presentan problemas que se pueden considerar como situa-ciones didácticas para efectos del diseño de propuestas de trabajo con los alumnos . El enfoque por competencias considera la aplicación del conocimiento para resolver situaciones específicas . En ese proceso entran en juego las habilidades, capacidades, valores, etc . de los sujetos en quienes se desea desarrollar una competencia específica .

La experiencia adquirida en la práctica educativa nos ha enseñado que debemos partir de lo que el alumno sabe para consolidar y aplicar su conocimiento . La propuesta de trabajo en esta obra consiste en presentar problemas concretos a resolver por el alumno . En el caso de que el estudiante no pueda resolver el problema planteado se le

VII


apoyará con teoría y ejemplos resueltos . Hecho lo anterior podrá regresar a resolver el problema planteado .

Persiste el propósito de apoyar a docentes y estudiantes en sus respectivas actividades .

Para el y la docente ofrece una metodología de trabajo acorde con el enfoque por competencias . Al inicio de cada bloque se presentan propuestas de actividades que incluyen los siguientes puntos:

CompetenciaEs la competencia a desarrollar de acuerdo al programa .

Situación didácticaConstituye la dificultad a resolver por el alumno, de manera que éste ponga en juego sus aptitudes, capacidades, habilidades, destrezas, valores, etcétera .

SecuenciaSe refiere a las acciones a realizar por el alumno tanto en forma individual como por equipo .

Las preguntas que se incluyen para realizar la investigación pueden orientar al alumno sobre las acciones a desa-rrollar para resolver la situación didáctica .

En el trabajo a realizar por el alumno, individual y por equipo, se describen las acciones a realizar . Estas acciones tendrán un peso en la evaluación .

Evaluación por productoAunque se pueden utilizar diferentes formas de evaluación, la evaluación por producto evidencia el grado de avance del alumno en el desarrollo de una competencia .

Rúbrica de evaluaciónIncluye los elementos considerados para la evaluación . Se trata de hacer transparente los criterios de evaluación de manera que el alumno sepa cómo se le asignó una calificación .

Los grupos de ejercicios y problemas que se proponen como situaciones didácticas son de dificultad creciente, debidamente seleccionados y jerarquizados para favorecer el avance en el proceso de aprendizaje y facilitar en el y la estudiante la autoevaluación .

Esta obra proporciona la información teórica en un lenguaje accesible que induce al autoaprendizaje a través de la comprensión de los conceptos y su respectiva aplicación en la resolución de situaciones problemáticas concretas . Con ello se pretende que el o la estudiante adquiera la seguridad y confianza necesarias para enfrentar con éxito los retos que representan las situaciones didácticas propuestas, las cuales tienen cierta analogía con los ejemplos resueltos . Una vez que el o la estudiante puedan establecer relaciones entre el conocimiento que poseen y el nuevo que se les plantea, por ejemplo en un problema, estarán en condiciones de proponer el modelo matemático cuya solución resuelva el problema y, además, podrán analizar la estructura básica de los problemas que se les formulen, así como transitar el camino que conduce de una situación conocida a una nueva .

A través de la obra se revisan y afirman conceptos del nivel medio básico que son antecedentes necesarios para introducir y desarrollar los conceptos que corresponden al nivel medio superior .

Esperamos que esta obra sea un apoyo y una herramienta para el proceso de enseñanza-aprendizaje, por lo mismo recibiremos con agrado todas las sugerencias que permitan mejorarla y enriquecerla .

Francisco José Ortiz Campos

Francisco Javier Ortiz Cerecedo

Fernando José Ortiz Cerecedo

VIII

Competencias genéricas del Bachillerato General

Competencias genéricas del Bachillerato General

Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en capacidad de desempeñar, y les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una con-

vivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc . por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresa-do del Sistema Nacional de Bachillerato .

A continuación se enlistan las competencias genéricas:

1 . Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue . 2 . Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros . 3 . Elige y practica estilos de vida saludable . 4 . Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de modelos, códigos y herramientas apro-

piados . 5 . Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos . 6 . Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva . 7 . Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida . 8 . Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos . 9 . Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo .10 . Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales .11 . Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica con acciones responsables .

IX


Competencias disciplinares básicas del campo de las matemáticas

Competencias disciplinares básicasBloques de aprendizaje

1 2 3 4 5 6 7

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

X X X X X X X

2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. X X X X X X X

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

X X X X X X X

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

X X X X X X X

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

X

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

X X X X X X

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia.

X

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

X X X X X X X

X

Conoce tu libro

Se trata de una conjunción de competencias disciplinares a lograr en cada bloque, que te permiten demostrar la capacidad que tienes para aplicar tus conocimientos en situaciones de la vida personal o social, ya que al mismo tiempo pondrás en práctica tus destrezas, habilidades y actitudes.

Objetos de aprendizaje

En los objetos de aprendizaje encontrarás los contenidos estructurados, integrados y contextualizados con una secuencia lógica y disciplinar, y que son de gran relevancia y pertinencia para el nivel educativo en el que te encuentras.

¿Cómo lo resolverías?

En cada bloque iniciamos con una situación didáctica que bien puede ser resolver un problema, realizar un experimento, un proyecto, una investigación o una presentación, o bien elaborar un ensayo, un video, un producto, una campaña o alguna otra actividad que permita que adquieras un conocimiento y competencias personales o grupales, a través de un reto.

¿Qué tienes que hacer?

La secuencia didáctica es una guía para que puedas adquirir los conocimientos y desarrollar habilidades a través de una metodología que facilite y dirija tus pasos. Son además descriptores de procesos que por el análisis detallado facilitan tu actividad y tus resultados.

¿Cómo sabes quelo hiciste bien?

Las rúbricas son métodos prácticos y concretos que te permiten autoevaluarte y así poder emprender un mejor desempeño. Puedes encontrar tanto actitudinales como de conocimientos.

SeccionesdeLasInicio de bloque

Tu libro

RúbricaSituación didáctica

Secuencia didáctica

Competencias por desarrollar

Ejemplos

Es importante mencionar que a lo largo de los bloques encontrarás diferentes ejemplos y ejercicios que tienen la finalidad de propiciar y facilitar tu aprendizaje.

Taller y actividad experimental

La experiencia que logres a través de los talleres, actividades experimentales y de laboratorio te ofrece la posibilidad de desarro-llar tus competencias y habilidades en la solución de problemas en situaciones cotidianas, además de estimular y fomentar tu aprendi-zaje cooperativo durante el trabajo en equipo.

Ejercicios

Los ejercicios propuestos en este libro te ayudarán a movilizar y consolidar los conocimientos adquiridos en situaciones reales o hipotéticas, mismas que te llevarán a un proceso de interacción, seguridad y soltura durante tu aprendizaje.

Aplica lo que sabes

Está diseñada para que puedas aplicar tus conocimientos a situaciones de tu vida diaria así como al análisis de problemáticas en tu comunidad y en el mundo en general, que te servirán para hacer propuestas de mejoras en todos los ámbitos.

Para tu reflexión

Tiene el propósito de enriquecer el conocimiento que estás adquiriendo con lecturas adicionales, notas informativas e información relevante para el tema que estás considerando. Esta información además de ser útil, te permite contextualizar diferentes perspectivas para la misma información.


A lo largo del libro encontrarás diferentes actividades de aprendiza-je, que de forma breve te permitirán reforzar los conocimientos y competencias adquiridas a través de preguntas puntuales al desarrollo del bloque.

En el libro encontrarás diferentes sugerencias y actividades que, una vez realizadas, te permitirán construir un gran número de evidencias, algunas escritas otras a través de la exposición de temas o presentación de productos. Es importante que recuerdes que además de presentar la informa-ción, la manera en que lo hagas determinará el nivel de calidad con la que se perciba tu trabajo. Por ello se te invita siempre a realizar tu mejor esfuerzo.

Éstas te ayudan a verificar el desempeño logrado al realizar algún trabajo, producto o evidencia solicitados en cada bloque del libro. En general, es un listado de criterios o aspectos que te permiten valorar el nivel de aprendizaje, los conocimientos, habilidades, actitudes y/o desempeños alcanzados sobre un trabajo en particular. Puedes realizarlas de manera personal o como coevaluación.

Es una poderosa herramienta de análisis que te posibilitará verificar si has logrado algún desempe-ño, asimilar contenidos o si eres capaz de aplicar tus conocimientos, si has conseguido realizar un procedimiento de manera adecuada o si has obtenido soluciones correctas a un problema planteado.

Al haber elegido este libro tienes acceso a nuestro sitio web, donde encontrarás material extra como videos, animaciones, audios y documentos que tienen el objetivo de ampliar tus conocimientos, dejar más claros algunos procesos complejos y actualizar de forma rápida y dinámica la información de todos los temas del plan de estudios de la DGB.

Son un conjunto de acciones y propuestas que te permitirán hacer una recolección, siste-matización y un análisis de los desempeños y logros obtenidos a través del trabajo que realizaste durante cada bloque, éstos junto con el portafolio de evidencias, te ayudarán a obtener mejores resultados en las prácticas de evaluación que realice tu profesor(a).


Portafolio de evidencias Rúbrica

Lista de cotejo

www.recursosacademicosenlinea-gep.com.mx

100

BLOQUE 5 Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

1. Expresa la ecuación x 2 1 y 2 2 8x 1 9y 2 74 5 0 en la forma ordinaria. Si representa una circunferencia halla su centro y su radio.

Solución:

Trasponiendo el término independiente y ordenando los demás tér-minos, se obtiene:

x 2 2 8x 1 y 2 1 9y 5 74

Sumando a los dos miembros de la igualdad el cuadrado de la mi-tad de los coeficientes de los términos de primer grado, nos queda así:

x x y y2 2 22

22

8 4 992

492

2 1 2 1 1 1 5 2 1( ) ( )

1174

O bien:

( )x x y y2 28 16 9814

16814

742 1 1 1 1 5 1 1

Factorizando en el primer miembro y sumando en el segundo:

( )x y2 1 1 51 1

492

64 81 2964

22

Por tanto, la ecuación representa una circunferencia de centro

492

,2

y radio r5 5

4414

212

.

Ejemplo

Radio y coordenadas del centro de una circunferencia con centro fuera del origen a partir de su ecuación

A partir de la ecuación general de una circunferencia, ¿cómo se en-cuentran las coordenadas de su centro y la longitud de su radio?


David Hilbert (1862-1943)Se dedicó al estudio de las matemá-ticas y sentó las bases de la ciencia axiomática, similar a la de Euclides, pero presentada con todo el rigor de la lógica.

Reunió, con todo rigor, una serie de axiomas de geometría que dio a cono-cer en 1899 en el libro Fundamentos de geometría. Incluyó en él conceptos que hasta entonces estaban sin definir y delimitó las propiedades de algunos conceptos.

Estableció que los axiomas no deben considerarse como verdades que no requieren demostración, sino como puntos de referencia consisten-tes que permiten establecer una estructura matemática. Esta estructu-ra es totalmente independiente de la realidad, pero debe tener alguna analogía con ella.

Entre sus contribuciones se pueden citar: teoría de números, ecuacio-nes integrales y espacios.

Para tu re�exión

Influencia de los parámetros h, k y r de la ecuación de la circunferencia en el comportamiento gráfico de la misma

Si en la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria r 5 0, su representación geométrica corresponde a un punto del plano.

Si h 5 k 5 0 entonces se trata de una circunferencia con centro en el origen.

También puede ocurrir que h 5 0, en cuyo caso la circunferencia tendrá su centro sobre el eje y. Si k 5 0 entonces el centro de la circunferencia estará sobre el eje x.

1. Halla la ecuación de la circunferencia con centro C (24, 21) y que sea tangente a la recta de ecuación 3x 1 2y 2 12 5 0.

Solución:

Por geometría se sabe que la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Esto significa que la longitud del radio es igual a la distancia del punto C a la recta.

Entonces:

d r5 52 1 2 2

1

3 4 2 1 12

3 22 2

( ) ( )

Ejemplos

43


Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías?

Un aparato electrodoméstico tiene un precio de $600.00 si se compra de contado, pero si se compra en abonos se cobra un interés mensual �jo de $25.00. ¿Cuánto se debe pagar en 1, 2, 3, 4, 5 o 6 meses?

Secuencia didáctica ¿Qué tienes que hacer?

Formen equipos para resolver el problema.

Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del ploblema.

Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resol-ver el problema.

Cada equipo debe investigar: 1. ¿Cuánto se paga si la compra se hace de contado?

2. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en un mes?

3. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en dos meses?

4. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en tres meses?

5. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en cuatro meses?

6. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en cinco meses?

7. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en seis meses?

8. ¿Cómo se representa grá�camente el precio del electrodo-méstico con sus intereses?

Trabajo individualCada participante debe hacer un registro de lo investigado y reali-zar los cálculos necesarios.

Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, re-gistrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de conceptos teóricos utilizados en la resolución del pro-blema. También es preciso realizar una confrontación de los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las recti�caciones que procedan.

Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?

Para determinar la longitud del puente que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se cali�ca con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La descripción del

procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presen-tación en clase 2 puntos de tu cali�cación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.

Esta actividad se integrará al portafolios de evidencias para la eva-luación del mes.

50

BLOQUE 3 Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

Se llega a la siguiente expresión que coincide con la anterior:

m 5 tan θ 5 y yx x

y yx x

1 2

2 1

2 1

2 1

2

25

2

2

Recuerda que por trigonometría y para un ángulo obtuso positivo en posición normal, la tangente es negativa.

Observación: Cuando se determina la pendiente entre dos pun-tos no es importante el orden en que éstos se toman. Pero sí es importante que tanto las abscisas como las ordenadas se tomen en el mismo orden, pues de no hacerlo así se cambia el signo de la pendiente.

1. Demuestra que los puntos A (26, 23), B (22, 21) y C (4, 2) son colineales. Ver el ejemplo de la figura 3.5.

x

y

C (4, 2)

0

A (–6, –3)

B (–2, –1)

Figura 3.5

Solución:

Los puntos A, B y C serán colineales si se cumple que las pendien-tes de AB (mAB ) y de BC (mBC ) sean iguales.

m

m

AB

BC

52 2 2

2 2 25

2 1

2 15 5

52 2

1 32 6

1 32 6

24

12

2 1

( )( )

( )44 2

2 14 2

36

122 2

51

15 5

( )

mAB 5 mBC, por eso los puntos A, B y C son colineales.

2. Demuestra que A (5, 6), B (4, 1), C (23, 22) y D (22, 3) son los vértices de un paralelogramo.

Ejemplos

A (5, 6)

B (4, 1)

C (–3, –2)

D (–2, 3)

Figura 3.6

Solución:

Como el paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos, si las pendientes de los lados opuestos del cuadri-látero ABCD son iguales significa que son paralelos, así se habrá demostrado que ABCD es un paralelogramo.

mAB 5

2

25

2

25

1 64 5

51

5 mBC 52 2

2 25

1 24 3

37

( )( )

mCD 5

2 2

2 2 25 5

3 22 3

51

5( )

( ) mDA 5

2

2 25

6 35 2

37( )

Como mAB 5 mCD y mBC

5 mDA, entonces A, B, C y D son los vérti-ces de un paralelogramo.

La demostración también se puede efectuar estableciendo que las longitudes de los lados opuestos son iguales, lo cual se deja como ejercicio al lector.

Ponte de acuerdo con tus compañeras y compa-ñeros de grupo para realizar lo siguiente:

Investiga cuáles son los gases de invernadero y de qué manera la concentración de éstos contri-buye a elevar la temperatura de la Tierra.

En un sistema coordenado rectangular traza una gráfica lineal que ilustre la variación de tempe-ratura global a nivel de superficie del año 1800 al 2000.

Investiga cuál es el efecto del calentamiento glo-bal en los polos y el nivel del mar.

Investiga y elabora propuestas concretas sobre lo que podemos hacer para cuidar nuestro medio.

Aplica lo que sabes

19


Propósito del portafolio de evidencias Semestre

Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pen-samiento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente que te permita el uso óptimo de la información recopilada.

Número de bloques del libro.

Asignatura Nombre del alumno:

Criterios de reflexión sobre las evidencias Comentarios del estudiante:

¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas?

¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este portafolio?

¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas?

¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el curso?

¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas?

Monitoreo de evidenciasComentarios del profesor(a):

# Título Fecha de elaboración

1

2

3

4

5

Etapas para realizar tu portafolio de evidencias

1. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su re-lación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarro-llar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre, semestre).

2. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccio-nar tus evidencias de aprendizaje.

3. Comentar con tu profesor(a) todas las dudas que tengas.

Instrucciones para seleccionar las evidencias

1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras.

2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, compe-tencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexio-nar sobre ello.

3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósi-to del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación.

El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en:

Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparativos, cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de aprendizaje en este curso.

No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son los más signi�cativos en el proceso de aprendizaje.

Te permiten re�exionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas.

Portafolio de evidencias

16

BLOQUE 1 Reconoces lugares geométricos

1. Si un punto está sobre el eje x, ¿cuál es su ordenada?

2. Si un punto está sobre el eje y, ¿cuál es su abscisa?

3. Si un punto tiene positivas su abscisa y su ordenada, ¿en qué cuadrante se ubica?

4. Si un punto tiene negativas su abscisa y su ordenada, ¿en qué cuadrante se ubica?

5. Si un punto tiene negativa su abscisa y positiva su ordenada, ¿en qué cuadrante se ubica?

6. Si un punto tiene positiva su abscisa y negativa su ordenada, ¿en qué cuadrante se ubica?

7. ¿Dónde se ubica el punto que tiene abscisa y ordenada igual a cero?

8. Encuentra todos los puntos donde:

a) La abscisa y la ordenada son iguales.

b) La abscisa y la ordenada tienen signos contrarios e igual valor absoluto.

9. Bosqueja la gráfica de la ecuación: 3x 1 4y 2 12 5 0

10. Bosqueja la gráfica de la ecuación 9x2 1 4y2 5 36

Apellido paterno Apellido materno Nombre Grupo

Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 1. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.


152

BLOQUE 7 Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse

Lista de cotejo para el reporte sobre el techo elipsoidal de un edi�cio que se encuentra en “Aplica lo que sabes” de la página 146.

Lista de cotejo

Criteriocumple

Observacionessí no

Pre

sent

ació

n

1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.

2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.

3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.

4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.

5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema.

Des

arro

llo

6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.

7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.

8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito.

9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.

10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente.

Dom

inio

de

l tem

a 11. Conoce la elipse y sus elementos.

12. Conoce el sólido de revolución llamado elipsoide.

13. Conoce las propiedades de la elipse y sus aplicaciones en la elipsoide.

Con

clus

ione

s 14. Representa gráficamente a la elipse y sus elementos.

15. Conoce las propiedades de la elipse, en particular, de sus focos.

16. Conoce y explica el fenómeno que consiste en que una persona habla en un foco de un recinto de forma elipsoidal y solamente puede ser escuchada por la persona que se encuentra colocada en el otro foco.

Nombre del alumno:

153


CriteriosExcelente

(4)Bueno

(3)Satisfactorio

(2)Deficiente

(1)

As

pect

o a

eval

uar

Ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados

Identifica los elementos asociados a una elipse. Obtiene la ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. Obtiene los elementos de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, a partir de su ecuación.

Identifica los elementos asociados a una elipse. En la mayoría de los casos, obtiene la ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. En la mayoría de los casos, obtiene los elementos de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, a partir de su ecuación.

Identifica los elementos asociados a una elipse. En algunos casos, obtiene la ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. En algunos casos, obtiene los elementos de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, a partir de su ecuación.

No identifica los elementos asociados a una elipse. No obtiene la ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. No obtiene los elementos de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, a partir de su ecuación.

Ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados

Obtiene la ecuación ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. Obtiene los elementos de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados.

En la mayoría de los casos, obtiene la ecuación ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. En la mayoría de los casos, obtiene los elementos de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados.

En algunos casos, obtiene la ecuación ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. En algunos casos, obtiene los elementos de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados.

No obtiene la ecuación ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. No obtiene los elementos de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados.

Ecuaciones general y ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados

Convierte una ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, de su forma ordinaria a la forma general y viceversa.

En la mayoría de los casos, convierte una ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, de su forma ordinaria a la forma general y viceversa.

En algunos casos, convierte una ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, de su forma ordinaria a la forma general y viceversa.

No convierte una ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, de su forma ordinaria a la forma general ni viceversa.

Instrucciones para el llenado de la rúbrica.Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido

Indicaciones:Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes tanto en forma individual como por equipo; asimismo, se pretende evaluar la participación de cada uno de los integrantes del grupo en el desarrollo de la secuencia didáctica y en la evaluación del producto: 4 Excelente, 3 Bueno, 2 Satisfactorio y 1 Deficiente. En cada aspecto aparecen los niveles de desempeño, según el tipo de evidencia generada.

Rúbrica

Nombre del estudiante::

50



m 5 tan θ 5 y yx x

y yx x

1 2

2 1

2 1

2 1

2

25

2

2




x

y

C (4, 2)

0

A (–6, –3)

B (–2, –1)

Figura 3.5

Solución:


m

m

AB

BC

52 2 2

2 2 25

2 1

2 15 5

52 2

1 32 6

1 32 6

24

12

2 1

( )( )

( )44 2

2 14 2

36

122 2

51

15 5

( )



Ejemplos

A (5, 6)

B (4, 1)

C (–3, –2)

D (–2, 3)

Figura 3.6

Solución:


mAB 5

2

25

2

25

1 64 5

51

5 mBC 52 2

2 25

1 24 3

37

( )( )

mCD 5

2 2

2 2 25 5

3 22 3

51

5( )

( ) mDA 5

2

2 25

6 35 2

37( )









Aplica lo que sabes

Tu libro cuenta también con glosario, bibliografía, vínculos en Internet, líneas de tiempo, diagramas, mapas conceptuales, además de atractivas imágenes y otras muchas secciones y herramientas que te resultarán muy útiles y complementarán tu aprendizaje.

Otras herramientas

154

BLOQUE 1 Glosario

Abscisa. Distancia de un punto P al eje vertical en un sistema coordenado rectangular.

Abscisa al origen. Abscisa del punto en que una recta corta al eje x.

Baricentro. Punto de intersección de las medianas de un triángu-lo. También se le conoce como gravicentro o centroide.

Coordenadas. Distancias de un punto P a los ejes vertical y hori-zontal en un sistema coordenado rectangular.

Diagonal. Segmento de recta que une dos vértices no consecuti-vos de un polígono.

Ecuación de una elipse con centro en el origen y eje mayor coincidente con el eje x.

xa

yb

2

2

2

2 1+ =

Ecuación de una elipse con centro en el origen y eje mayor coincidente con el eje y.

xb

ya

2

2

2

2 1+ =

Ecuación de una recta. Expresión algebraica de la recta según el tipo de ésta.

Ecuación simétrica de la recta. También llamada forma de las intersecciones. Aparece en los denominadores y corresponde a los segmentos que determina sobre los ejes, es decir, sus coordenadas al origen.

Ejes coordenados. Dos rectas perpendiculares entre sí que divi-den al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes.

Elipse. Lugar geométrico de un punto del plano que se mueve de manera que la suma de sus distancias a dos puntos �jos es una constante. Los puntos �jos se llaman focos.

Extensión. Conjunto de números reales en el que está de�nida una variable.

Forma general de la ecuación de la circunferencia:

x y Dx Ey F2 2 0+ + + + =Forma general de la ecuación de la parábola:

y2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0

donde:

D a=−4 E k=−2 y F k ah= +2 4

Forma general de la ecuación de una recta. La ecuación Ax 1 By 1 C 5 0 corresponde a la forma general de la recta. En esta ecuación los coe�cientes A, B y C pueden tomar el valor cero, pero A y B no pueden ser cero simultáneamente.

Forma normal de la ecuación de una recta. x cos a 1 y sen a 2 p 5 0 es la expresión que corresponde a la ecuación de una recta en la forma normal.

Forma ordinaria de la ecuación de una circunferencia:

( ) ( )x h y k r− + − =2 2 2

Intersecciones con los ejes. Son los puntos (x, 0) y (0, y) en que una grá�ca corta a los ejes coordenados.

Lado recto. Cuerda focal que es perpendicular al eje de la pará-bola.

Lugar geométrico. Conjunto de puntos que satisfacen una con-dición o condiciones dadas. También se le considera como la tra-yectoria descrita por un punto que se mueve de acuerdo con una o más condiciones establecidas.

Mediana. Segmento de recta que une el punto medio de un lado de un triángulo con el vértice opuesto.

Mediatriz. Recta perpendicular a un segmento de recta en su pun-to medio.

Ordenada. Distancia de un punto P al eje horizontal en un sistema coordenado rectangular.

Ordenada al origen. La ordenada del punto en que una recta cor-ta al eje y se llama ordenada al origen de la recta.

Glosario

156

Bibliografía

Bibliografía

Fuller, Gordon, Analytic Geometry, Addison Wesley Publishing Company, 1993.

Kindle, Joseph H., Geometría analítica plana y del espacio, McGraw-Hill, México, 1984.

Lehmann, Charles H., Geometría analítica, Limusa, México, 2005.

Leithold, Louis, El cálculo con geometría analítica, Harper & Row, 1986.

Middlemiss, Ross R., Marks, James R. John L. Smart, Geometría analítica, McGraw-Hill, México, 1990.

Rees, Paul, Geometría Analítica, Reverté, España, 2008.

Rider, Paul R., Geometría analítica, Montaner y Simon, Barcelona, 1966.

Swokowski, Earl W., Algebra and Trigonometry with Analytic Geometry, 11th edition, Brooks Cole, 2007.

Wexler, Charles, Geometría analítica un enfoque vectorial, Montaner y Simon, Barcelona, 1968.

Woods, Federico S. y Bailey, Federico H. Geometría analítica y cálculo in�nitesimal, Unión tipográ�ca Editorial Hispano Americana (UTEHA), México, 1972.

Vínculos en Internet

http://www.mathworks.com

http://www.wolframresearch.com

http://www.geoan.com

Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas:

1.Encuentra la pendiente de una recta que pasa por el origen con una inclinación de 45°.

2. Determina la inclinación de una recta cuya pendiente es 3 .

3. Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos (24, 2), (8, 7).

4.Aplica la pendiente para determinar si los puntos (23, 5), (1, 2), (9, 24) son colineales.

5. Traza la recta que pasa por el punto (5, 3) con una pendiente m 5 3

4.

6.Obtén la ecuación de la recta que pasa por el punto P (3, 1), con pendiente m 5 2.

7.Obtén la ecuación de la recta con pendiente m 5 2 que pasa por el punto P(3, 1).

8.Aplica la pendiente para demostrar que es rectángulo el triángulo cuyos vértices son (25, 21), (21, 4), (9, 24).

9.La recta r1 pasa por A y B, y la recta r2 pasa por M y N. Determina si r1 y r2 son para-lelas, perpendiculares u oblicuas (rectas que no se cortan perpendicularmente). A (24, 2), B (1, 4); M (24, 25), N (1, 23)

10.Encuentra la ecuación de la mediatriz al segmento de recta que une los puntos P (3, 2) y Q (7, 4).



Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o grá�cas.

Sigue instrucciones y procedimientos de manera re�exiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.

Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito especí�co y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y con�abilidad.

De�ne metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.

Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, de�niendo un curso de acción con pasos especí�cos.

Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera re�exiva.

Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

3.1 Línea recta

3.2 Pendiente y ángulo de inclinación de una recta

3.3 Ángulo formado por dos rectas

3.4 Condiciones de paralelismo y perpendicularidad

3.5 Ecuaciones de la recta pendiente y ordenada al origen

3.6 Punto-pendiente

3.7 Dos puntos

3B LO Q U E

Competencias a desarrollar


Desempeños por alcanzar

Reconoce la recta como lugar geométrico.

Reconoce la relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta.

Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución de problemas y/o ejercicios.







4.

















3.1 Línea recta





3.6 Punto-pendiente

3.7 Dos puntos

3B LO Q U E









Estos desempeños son los que se espera que logres al �nalizar cada bloque, te posibilitan poner en práctica tus conocimientos, habilidades y actitudes al realizar cada una de las actividades propuestas en este libro.

Esta sección constituye una propuesta de evaluación diagnóstica que te permitirá establecer las competencias y conocimientos con los que cuentas, para así iniciar la obtención de conocimientos y capacidades nuevas.

XI


Se trata de una conjunción de competencias disciplinares a lograr en cada bloque, que te permiten demostrar la capacidad que tienes para aplicar tus conocimientos en situaciones de la vida personal o social, ya que al mismo tiempo pondrás en práctica tus destrezas, habilidades y actitudes.


En los objetos de aprendizaje encontrarás los contenidos estructurados, integrados y contextualizados con una secuencia lógica y disciplinar, y que son de gran relevancia y pertinencia para el nivel educativo en el que te encuentras.

¿Cómo lo resolverías?

En cada bloque iniciamos con una situación didáctica que bien puede ser resolver un problema, realizar un experimento, un proyecto, una investigación o una presentación, o bien elaborar un ensayo, un video, un producto, una campaña o alguna otra actividad que permita que adquieras un conocimiento y competencias personales o grupales, a través de un reto.

¿Qué tienes que hacer?

La secuencia didáctica es una guía para que puedas adquirir los conocimientos y desarrollar habilidades a través de una metodología que facilite y dirija tus pasos. Son además descriptores de procesos que por el análisis detallado facilitan tu actividad y tus resultados.

¿Cómo sabes quelo hiciste bien?

Las rúbricas son métodos prácticos y concretos que te permiten autoevaluarte y así poder emprender un mejor desempeño. Puedes encontrar tanto actitudinales como de conocimientos.

SeccionesdeLasInicio de bloque

Tu libro

RúbricaSituación didáctica

Secuencia didáctica

Competencias por desarrollar

Ejemplos

Es importante mencionar que a lo largo de los bloques encontrarás diferentes ejemplos y ejercicios que tienen la finalidad de propiciar y facilitar tu aprendizaje.

Taller y actividad experimental

La experiencia que logres a través de los talleres, actividades experimentales y de laboratorio te ofrece la posibilidad de desarro-llar tus competencias y habilidades en la solución de problemas en situaciones cotidianas, además de estimular y fomentar tu aprendi-zaje cooperativo durante el trabajo en equipo.

Ejercicios

Los ejercicios propuestos en este libro te ayudarán a movilizar y consolidar los conocimientos adquiridos en situaciones reales o hipotéticas, mismas que te llevarán a un proceso de interacción, seguridad y soltura durante tu aprendizaje.

Aplica lo que sabes

Está diseñada para que puedas aplicar tus conocimientos a situaciones de tu vida diaria así como al análisis de problemáticas en tu comunidad y en el mundo en general, que te servirán para hacer propuestas de mejoras en todos los ámbitos.

Para tu reflexión

Tiene el propósito de enriquecer el conocimiento que estás adquiriendo con lecturas adicionales, notas informativas e información relevante para el tema que estás considerando. Esta información además de ser útil, te permite contextualizar diferentes perspectivas para la misma información.


A lo largo del libro encontrarás diferentes actividades de aprendiza-je, que de forma breve te permitirán reforzar los conocimientos y competencias adquiridas a través de preguntas puntuales al desarrollo del bloque.

En el libro encontrarás diferentes sugerencias y actividades que, una vez realizadas, te permitirán construir un gran número de evidencias, algunas escritas otras a través de la exposición de temas o presentación de productos. Es importante que recuerdes que además de presentar la informa-ción, la manera en que lo hagas determinará el nivel de calidad con la que se perciba tu trabajo. Por ello se te invita siempre a realizar tu mejor esfuerzo.

Éstas te ayudan a verificar el desempeño logrado al realizar algún trabajo, producto o evidencia solicitados en cada bloque del libro. En general, es un listado de criterios o aspectos que te permiten valorar el nivel de aprendizaje, los conocimientos, habilidades, actitudes y/o desempeños alcanzados sobre un trabajo en particular. Puedes realizarlas de manera personal o como coevaluación.

Es una poderosa herramienta de análisis que te posibilitará verificar si has logrado algún desempe-ño, asimilar contenidos o si eres capaz de aplicar tus conocimientos, si has conseguido realizar un procedimiento de manera adecuada o si has obtenido soluciones correctas a un problema planteado.

Al haber elegido este libro tienes acceso a nuestro sitio web, donde encontrarás material extra como videos, animaciones, audios y documentos que tienen el objetivo de ampliar tus conocimientos, dejar más claros algunos procesos complejos y actualizar de forma rápida y dinámica la información de todos los temas del plan de estudios de la DGB.

Son un conjunto de acciones y propuestas que te permitirán hacer una recolección, siste-matización y un análisis de los desempeños y logros obtenidos a través del trabajo que realizaste durante cada bloque, éstos junto con el portafolio de evidencias, te ayudarán a obtener mejores resultados en las prácticas de evaluación que realice tu profesor(a).


Portafolio de evidencias Rúbrica

Lista de cotejo

www.recursosacademicosenlinea-gep.com.mx

100

BLOQUE 5 Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

1. Expresa la ecuación x 2 1 y 2 2 8x 1 9y 2 74 5 0 en la forma ordinaria. Si representa una circunferencia halla su centro y su radio.

Solución:

Trasponiendo el término independiente y ordenando los demás tér-minos, se obtiene:

x 2 2 8x 1 y 2 1 9y 5 74

Sumando a los dos miembros de la igualdad el cuadrado de la mi-tad de los coeficientes de los términos de primer grado, nos queda así:

x x y y2 2 22

22

8 4 992

492

2 1 2 1 1 1 5 2 1( ) ( )

1174

O bien:

( )x x y y2 28 16 9814

16814

742 1 1 1 1 5 1 1

Factorizando en el primer miembro y sumando en el segundo:

( )x y2 1 1 51 1

492

64 81 2964

22

Por tanto, la ecuación representa una circunferencia de centro

492

,2

y radio r5 5

4414

212

.

Ejemplo

Radio y coordenadas del centro de una circunferencia con centro fuera del origen a partir de su ecuación

A partir de la ecuación general de una circunferencia, ¿cómo se en-cuentran las coordenadas de su centro y la longitud de su radio?


David Hilbert (1862-1943)Se dedicó al estudio de las matemá-ticas y sentó las bases de la ciencia axiomática, similar a la de Euclides, pero presentada con todo el rigor de la lógica.

Reunió, con todo rigor, una serie de axiomas de geometría que dio a cono-cer en 1899 en el libro Fundamentos de geometría. Incluyó en él conceptos que hasta entonces estaban sin definir y delimitó las propiedades de algunos conceptos.

Estableció que los axiomas no deben considerarse como verdades que no requieren demostración, sino como puntos de referencia consisten-tes que permiten establecer una estructura matemática. Esta estructu-ra es totalmente independiente de la realidad, pero debe tener alguna analogía con ella.

Entre sus contribuciones se pueden citar: teoría de números, ecuacio-nes integrales y espacios.

Para tu re�exión

Influencia de los parámetros h, k y r de la ecuación de la circunferencia en el comportamiento gráfico de la misma

Si en la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria r 5 0, su representación geométrica corresponde a un punto del plano.

Si h 5 k 5 0 entonces se trata de una circunferencia con centro en el origen.

También puede ocurrir que h 5 0, en cuyo caso la circunferencia tendrá su centro sobre el eje y. Si k 5 0 entonces el centro de la circunferencia estará sobre el eje x.

1. Halla la ecuación de la circunferencia con centro C (24, 21) y que sea tangente a la recta de ecuación 3x 1 2y 2 12 5 0.

Solución:

Por geometría se sabe que la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Esto significa que la longitud del radio es igual a la distancia del punto C a la recta.

Entonces:

d r5 52 1 2 2

1

3 4 2 1 12

3 22 2

( ) ( )

Ejemplos

43



Un aparato electrodoméstico tiene un precio de $600.00 si se compra de contado, pero si se compra en abonos se cobra un interés mensual �jo de $25.00. ¿Cuánto se debe pagar en 1, 2, 3, 4, 5 o 6 meses?


Formen equipos para resolver el problema.

Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del ploblema.


Cada equipo debe investigar: 1. ¿Cuánto se paga si la compra se hace de contado?

2. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en un mes?

3. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en dos meses?

4. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en tres meses?

5. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en cuatro meses?

6. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en cinco meses?

7. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en seis meses?

8. ¿Cómo se representa grá�camente el precio del electrodo-méstico con sus intereses?

Trabajo individualCada participante debe hacer un registro de lo investigado y reali-zar los cálculos necesarios.

Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, re-gistrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de conceptos teóricos utilizados en la resolución del pro-blema. También es preciso realizar una confrontación de los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las recti�caciones que procedan.



Para determinar la longitud del puente que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se cali�ca con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La descripción del

procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presen-tación en clase 2 puntos de tu cali�cación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.

Esta actividad se integrará al portafolios de evidencias para la eva-luación del mes.

50



m 5 tan θ 5 y yx x

y yx x

1 2

2 1

2 1

2 1

2

25

2

2




x

y

C (4, 2)

0

A (–6, –3)

B (–2, –1)

Figura 3.5

Solución:


m

m

AB

BC

52 2 2

2 2 25

2 1

2 15 5

52 2

1 32 6

1 32 6

24

12

2 1

( )( )

( )44 2

2 14 2

36

122 2

51

15 5

( )



Ejemplos

A (5, 6)

B (4, 1)

C (–3, –2)

D (–2, 3)

Figura 3.6

Solución:


mAB 5

2

25

2

25

1 64 5

51

5 mBC 52 2

2 25

1 24 3

37

( )( )

mCD 5

2 2

2 2 25 5

3 22 3

51

5( )

( ) mDA 5

2

2 25

6 35 2

37( )









Aplica lo que sabes

19


Propósito del portafolio de evidencias Semestre

Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pen-samiento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente que te permita el uso óptimo de la información recopilada.

Número de bloques del libro.

Asignatura Nombre del alumno:

Criterios de reflexión sobre las evidencias Comentarios del estudiante:

¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas?

¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este portafolio?

¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas?

¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el curso?

¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas?

Monitoreo de evidenciasComentarios del profesor(a):

# Título Fecha de elaboración

1

2

3

4

5

Etapas para realizar tu portafolio de evidencias

1. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su re-lación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarro-llar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre, semestre).

2. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccio-nar tus evidencias de aprendizaje.

3. Comentar con tu profesor(a) todas las dudas que tengas.

Instrucciones para seleccionar las evidencias

1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras.

2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, compe-tencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexio-nar sobre ello.

3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósi-to del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación.

El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en:

Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparativos, cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de aprendizaje en este curso.

No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son los más signi�cativos en el proceso de aprendizaje.

Te permiten re�exionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas.

Portafolio de evidencias

16

















152

BLOQUE 7 Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse

Lista de cotejo para el reporte sobre el techo elipsoidal de un edi�cio que se encuentra en “Aplica lo que sabes” de la página 146.

Lista de cotejo

Criteriocumple

Observacionessí no

Pre

sent

ació

n






Des

arro

llo






Dom

inio

de

l tem

a 11. Conoce la elipse y sus elementos.

12. Conoce el sólido de revolución llamado elipsoide.

13. Conoce las propiedades de la elipse y sus aplicaciones en la elipsoide.

Con

clus

ione

s 14. Representa gráficamente a la elipse y sus elementos.

15. Conoce las propiedades de la elipse, en particular, de sus focos.

16. Conoce y explica el fenómeno que consiste en que una persona habla en un foco de un recinto de forma elipsoidal y solamente puede ser escuchada por la persona que se encuentra colocada en el otro foco.

Nombre del alumno:

153


CriteriosExcelente

(4)Bueno

(3)Satisfactorio

(2)Deficiente

(1)

As

pect

o a

eval

uar

Ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados

Identifica los elementos asociados a una elipse. Obtiene la ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. Obtiene los elementos de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, a partir de su ecuación.

Identifica los elementos asociados a una elipse. En la mayoría de los casos, obtiene la ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. En la mayoría de los casos, obtiene los elementos de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, a partir de su ecuación.

Identifica los elementos asociados a una elipse. En algunos casos, obtiene la ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. En algunos casos, obtiene los elementos de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, a partir de su ecuación.

No identifica los elementos asociados a una elipse. No obtiene la ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. No obtiene los elementos de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, a partir de su ecuación.

Ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados

Obtiene la ecuación ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. Obtiene los elementos de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados.

En la mayoría de los casos, obtiene la ecuación ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. En la mayoría de los casos, obtiene los elementos de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados.

En algunos casos, obtiene la ecuación ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. En algunos casos, obtiene los elementos de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados.

No obtiene la ecuación ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. No obtiene los elementos de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados.

Ecuaciones general y ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados

Convierte una ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, de su forma ordinaria a la forma general y viceversa.

En la mayoría de los casos, convierte una ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, de su forma ordinaria a la forma general y viceversa.

En algunos casos, convierte una ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, de su forma ordinaria a la forma general y viceversa.

No convierte una ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, de su forma ordinaria a la forma general ni viceversa.

Instrucciones para el llenado de la rúbrica.Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido

Indicaciones:Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes tanto en forma individual como por equipo; asimismo, se pretende evaluar la participación de cada uno de los integrantes del grupo en el desarrollo de la secuencia didáctica y en la evaluación del producto: 4 Excelente, 3 Bueno, 2 Satisfactorio y 1 Deficiente. En cada aspecto aparecen los niveles de desempeño, según el tipo de evidencia generada.

Rúbrica

Nombre del estudiante::

50



m 5 tan θ 5 y yx x

y yx x

1 2

2 1

2 1

2 1

2

25

2

2




x

y

C (4, 2)

0

A (–6, –3)

B (–2, –1)

Figura 3.5

Solución:


m

m

AB

BC

52 2 2

2 2 25

2 1

2 15 5

52 2

1 32 6

1 32 6

24

12

2 1

( )( )

( )44 2

2 14 2

36

122 2

51

15 5

( )



Ejemplos

A (5, 6)

B (4, 1)

C (–3, –2)

D (–2, 3)

Figura 3.6

Solución:


mAB 5

2

25

2

25

1 64 5

51

5 mBC 52 2

2 25

1 24 3

37

( )( )

mCD 5

2 2

2 2 25 5

3 22 3

51

5( )

( ) mDA 5

2

2 25

6 35 2

37( )









Aplica lo que sabes

Tu libro cuenta también con glosario, bibliografía, vínculos en Internet, líneas de tiempo, diagramas, mapas conceptuales, además de atractivas imágenes y otras muchas secciones y herramientas que te resultarán muy útiles y complementarán tu aprendizaje.

Otras herramientas

154

BLOQUE 1 Glosario

Abscisa. Distancia de un punto P al eje vertical en un sistema coordenado rectangular.

Abscisa al origen. Abscisa del punto en que una recta corta al eje x.

Baricentro. Punto de intersección de las medianas de un triángu-lo. También se le conoce como gravicentro o centroide.

Coordenadas. Distancias de un punto P a los ejes vertical y hori-zontal en un sistema coordenado rectangular.

Diagonal. Segmento de recta que une dos vértices no consecuti-vos de un polígono.

Ecuación de una elipse con centro en el origen y eje mayor coincidente con el eje x.

xa

yb

2

2

2

2 1+ =

Ecuación de una elipse con centro en el origen y eje mayor coincidente con el eje y.

xb

ya

2

2

2

2 1+ =

Ecuación de una recta. Expresión algebraica de la recta según el tipo de ésta.

Ecuación simétrica de la recta. También llamada forma de las intersecciones. Aparece en los denominadores y corresponde a los segmentos que determina sobre los ejes, es decir, sus coordenadas al origen.

Ejes coordenados. Dos rectas perpendiculares entre sí que divi-den al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes.

Elipse. Lugar geométrico de un punto del plano que se mueve de manera que la suma de sus distancias a dos puntos �jos es una constante. Los puntos �jos se llaman focos.

Extensión. Conjunto de números reales en el que está de�nida una variable.

Forma general de la ecuación de la circunferencia:

x y Dx Ey F2 2 0+ + + + =Forma general de la ecuación de la parábola:

y2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0

donde:

D a=−4 E k=−2 y F k ah= +2 4

Forma general de la ecuación de una recta. La ecuación Ax 1 By 1 C 5 0 corresponde a la forma general de la recta. En esta ecuación los coe�cientes A, B y C pueden tomar el valor cero, pero A y B no pueden ser cero simultáneamente.

Forma normal de la ecuación de una recta. x cos a 1 y sen a 2 p 5 0 es la expresión que corresponde a la ecuación de una recta en la forma normal.

Forma ordinaria de la ecuación de una circunferencia:

( ) ( )x h y k r− + − =2 2 2

Intersecciones con los ejes. Son los puntos (x, 0) y (0, y) en que una grá�ca corta a los ejes coordenados.

Lado recto. Cuerda focal que es perpendicular al eje de la pará-bola.

Lugar geométrico. Conjunto de puntos que satisfacen una con-dición o condiciones dadas. También se le considera como la tra-yectoria descrita por un punto que se mueve de acuerdo con una o más condiciones establecidas.

Mediana. Segmento de recta que une el punto medio de un lado de un triángulo con el vértice opuesto.

Mediatriz. Recta perpendicular a un segmento de recta en su pun-to medio.

Ordenada. Distancia de un punto P al eje horizontal en un sistema coordenado rectangular.

Ordenada al origen. La ordenada del punto en que una recta cor-ta al eje y se llama ordenada al origen de la recta.

Glosario

156

Bibliografía

Bibliografía

Fuller, Gordon, Analytic Geometry, Addison Wesley Publishing Company, 1993.

Kindle, Joseph H., Geometría analítica plana y del espacio, McGraw-Hill, México, 1984.

Lehmann, Charles H., Geometría analítica, Limusa, México, 2005.

Leithold, Louis, El cálculo con geometría analítica, Harper & Row, 1986.

Middlemiss, Ross R., Marks, James R. John L. Smart, Geometría analítica, McGraw-Hill, México, 1990.

Rees, Paul, Geometría Analítica, Reverté, España, 2008.

Rider, Paul R., Geometría analítica, Montaner y Simon, Barcelona, 1966.

Swokowski, Earl W., Algebra and Trigonometry with Analytic Geometry, 11th edition, Brooks Cole, 2007.

Wexler, Charles, Geometría analítica un enfoque vectorial, Montaner y Simon, Barcelona, 1968.

Woods, Federico S. y Bailey, Federico H. Geometría analítica y cálculo in�nitesimal, Unión tipográ�ca Editorial Hispano Americana (UTEHA), México, 1972.

Vínculos en Internet

http://www.mathworks.com

http://www.wolframresearch.com

http://www.geoan.com







4.

















3.1 Línea recta





3.6 Punto-pendiente

3.7 Dos puntos

3B LO Q U E













4.

















3.1 Línea recta





3.6 Punto-pendiente

3.7 Dos puntos

3B LO Q U E









Estos desempeños son los que se espera que logres al �nalizar cada bloque, te posibilitan poner en práctica tus conocimientos, habilidades y actitudes al realizar cada una de las actividades propuestas en este libro.

Esta sección constituye una propuesta de evaluación diagnóstica que te permitirá establecer las competencias y conocimientos con los que cuentas, para así iniciar la obtención de conocimientos y capacidades nuevas.

1.1 Geometría analítica introductoria

1.2 Sistema de coordenadas rectangulares

1.3 Parejas ordenadas:igualdad de parejas

1.4 Lugares geométricos

Reconoces lugares geométricos

1B LO Q U E

n Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas y gráficas, asimismo, interpreta tablas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

n Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

n Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez.

n Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

n Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.

n Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.




1. En un sistema coordenado rectangular, ¿dónde se ubica un punto de coordenadas (0, 0)?

2. En un sistema coordenado rectangular, ¿dónde se ubica un punto de coordenadas (x, 0)?

3. En un sistema coordenado rectangular, ¿dónde se ubica un punto de coordenadas (0, y)?

4. En un sistema coordenado rectangular, ¿dónde se localiza un punto que tiene abscisa negativa y ordenada positiva?

5. En un sistema coordenado rectangular, ¿dónde se localiza un punto que tiene abscisa positiva y ordenada negativa?

6.En un sistema coordenado rectangular, ¿dónde se localizan todos los puntos cuya abscisa es positiva y ordenada negativa y tienen el mismo valor absoluto?

7. ¿Qué es un lugar geométrico?

8. ¿Cuáles son los dos problemas fundamentales de la geometría analítica?

9. ¿Qué criterios se aplican para representar gráficamente una ecuación?

10. ¿Qué procedimiento se sigue para obtener la ecuación de un lugar geométrico?


n Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.

n Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

n Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.


Identifica las características de un sistema de coordenadas rectangulares.

Interpreta la información a partir de la noción de parejas ordenadas.

Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas ordenadas para determinar un lugar geométrico.


4



En un plano cartesiano se encuentran ubicados los puntos: O (0, 0), A(6, 0), B(3, 4), C(3, 4), D(3, 4), E(3, 4) y F(6, 0). Traza segmentos de recta que unan los puntos A con B, E y F; F con A, D y C; B con A, C, D y E; C con F, D, E y B; D con E, B, C y F; E con A, B, C y D. El punto O se localiza en la intersección de los segmentos AF, BD y CE.

Trata de trazar la figura que determinan los puntos anteriores con las siguientes condiciones: se debe partir de un punto y regresar a él, después de pasar por todos los demás puntos, sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por el mismo segmento.


Formen equipos para resolver el problema. Que cada equipo utilice hojas de papel cuadriculado para localizar los puntos y trazar los segmentos que determinan la figura.

Que cada equipo elabore la figura partiendo de un punto diferente a los demás.

Presentar los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver lo que se plantea.

Cada equipo debe investigar:1. ¿Cómo se localizan los puntos en el plano cartesiano?2. ¿Cómo se trazan los segmentos para hacer la figura?3. ¿Cuál punto conviene elegir para reproducir el trazo de la figura

con las condiciones establecidas?4. ¿Por qué se puede elegir cualquier punto para reproducir la fi-

gura con las condiciones establecidas?5. ¿Cuál es la razón por la que se puede partir de cualquiera de los

puntos dados, cumplir las condiciones y trazar la figura?

Trabajo individualCada participante deberá hacer un registro de lo investigado y pre-sentar argumentos.

Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, re-gistrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de conceptos teóricos utilizados en la resolución del pro-blema. También es preciso realizar una confrontación de los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las ac-tividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.

Evaluación por productoA fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Producto a elaborarPresentar la figura resaltando, en cada caso, con diferente color el punto de partida y el recorrido realizado.

Si la figura fuera un cuadrado con sus diagonales, y las condiciones fueran las mismas de la figura anterior, explicar lo que sucede y por qué.

5



Para cada recorrido se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la creatividad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, los libros consultados, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de

3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello da un total de 10 puntos.

Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.


¿En qué lugares de nuestro país están instaladas plantas de genera-ción de energía eléctrica de la Comisión Federal de Electricidad?, ¿de qué tipo son?

En un mapa a escala de nuestro país, con división política, utiliza un sistema coordenado rectangular que tenga como origen el cen-tro geográfico y como unidad de medida en los ejes, segmentos que representen 100 kilómetros.


Formen equipos para resolver el problemaQue cada equipo utilice papel periódico para trazar triángulos de diferentes formas y dimensiones que representen la placa metálica.

Que cada equipo elabore un cuadro en el que se especifiquen para cada triángulo: la forma, dimensiones y coordenadas del punto que representa el centro de gravedad.


Cada equipo debe investigar:1. ¿Dónde se ubica el centro geográfico de nuestro país en el

mapa?2. De acuerdo con la escala del mapa, ¿cómo se representan seg-

mentos de 100 kilómetros?3. ¿En qué lugares del país están instaladas plantas de generación

de energía y de qué tipo son?

4. ¿Cómo se localizan en el plano coordenado los puntos que re-presentan las plantas?

Trabajo individualCada participante deberá hacer un registro de lo investigado y rea-lizar los cálculos necesarios.

Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, regis-trado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preci-so realizar una confrontación de los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.


6


Rúbrica

Evaluación por productoA fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Producto a elaborarMapa de la República Mexicana con la localización de las plantas de generación de energía eléctrica en un sistema coordenado rec-tangular.


Para determinar la localización de los puntos que se piden se de-ben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, és-tos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La des-

cripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.

Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la eva-luación del mes.

Criterios Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo 4 Equipo 5

Intercambian ideas antes de hacer las pruebas

Colaboran en la elaboración de las pruebas

Atienden y respetan las opiniones de los demás

Utilizan los materiales con precaución

Proponen explicaciones de lo que observan

Aplican términos científicos en sus explicaciones

Registran y sistematizan sus observaciones

Claves: D (Deficiente), S (Satisfactorio), B (Bueno), E (Excelente)

Te presentamos una propuesta de hoja de observación que te posibilitará evaluar el trabajo por equipos.

Hoja de observación para el trabajo por equipos.

Nombre del profesor:

Fecha:

7


Propuestas de diseño para situaciones didácticas

Ejercicio I1. Localiza en el plano coordenado los siguientes pares ordena-

dos:A (4, 3) B (3, 4) C (0, 5)D (25, 2) E (24, 5) F (26, 0)G (22, 25) H (24, 23) I (23, 22)J (5, 26) K (5, 0) L (1, 2) M (22, 3) N (24, 1) O (23, 22)P (0, 24) Q (1, 25) R (2, 21)S (5, 22) T (4, 24)

2. Determina las coordenadas de los puntos que se indican en la figura:

y

J

A

K

B

L

DM

N

EO

G I xU

S H

TF

P

R

Q

•• ••

••••••

••

••

••

•• ••

C

Figura 1.A

3. Si un punto está sobre el eje x, ¿cuál es su ordenada? 4. Si un punto está sobre el eje y, ¿cuál es su abscisa? 5. Con base en un cuadrado que tiene 10 unidades de longitud

por lado determina las coordenadas de sus vértices si: a) Un vértice está en el origen y dos de sus lados se encuentran

sobre los ejes coordenados y además el cuarto vértice está en el tercer cuadrante.

b) Su centro está en el origen y sus lados son paralelos a los ejes coordenados.

6. Encuentra todos los puntos en donde: a) La abscisa es 5.

b) La ordenada es 23.c) La abscisa y la ordenada son iguales.d) La abscisa y la ordenada tienen signos contrarios e igual valor

absoluto.

7. Si en una circunferencia, que tiene su centro en un punto P, se traza un diámetro de extremos A y B, entonces P es el punto me-dio entre A y B. Cuando esto ocurre se dice que los puntos A y B son simétricos respecto del punto P, ya que los puntos P, A y B están sobre una misma recta y las distancias de P a A y de P a B son iguales.

Con base en la siguiente figura determina todos los pares de puntos que son simétricos respecto de un punto.

D

O

P

R

Q

B A

S r1

C

r3

r2

r4

Figura 1.B

8. Dos puntos son simétricos respecto de una recta r cuando per-tenecen a una perpendicular a ella y están a igual distancia de r. En la figura anterior son perpendiculares las rectas r1 y r2, r3 y r4. Si se dobla la hoja de manera que el doblez contenga la recta r1 entonces los puntos P y R van a coincidir y por tanto son simé-tricos respecto de la recta r1. Considerando la figura anterior determina todos los pares de puntos que son simétricos respec-to de las rectas r1, r2, r3 y r4.

Ejercicio IIEcuaciones y lugares geométricos

1. Bosqueja las gráficas de las ecuaciones siguientes:

a) 3x 1 4y 2 12 5 0b) 5x 2 2y 5 0c) 5x 1 3y 5 15d) y 5 x²e) x 5 y²

8


f ) y 5 x ² 2 2 2 1g) x² 1 y² 5 16h) x² 1 y² 2 25 5 0i) x² 2 y² 5 0

j) 3x² 2 4y² 5 0

k) 3x² 1 4y² 5 0 l ) 4x² 1 3y² 5 0m) 4x² 2 9y² 5 36n) 25x² 2 y 5 0o) 25y² 2 x 5 0p) xy 5 4q) xy 5 24

2. Halla la ecuación del lugar geométrico de P(x, y) que satisface las condiciones dadas si: a) P está sobre la recta que pasa por (2, 24) y tiene pendiente

igual a 2.

b) P está sobre la recta de pendiente 223

y pasa por el punto (24, 3).

c) P se mueve a lo largo de la recta que pasa por el origen y (23, 24)

d) Cada punto de la trayectoria descrita por P está a 6 unidades del origen.

e) Cada punto de la trayectoria descrita por P está a 5 unidades de (3, 4).

f ) P es equidistante de los puntos (2, 24) y (21, 5).g) La suma de los cuadrados de las distancias de P a los puntos

(4, 2) y (23, 1) es de 50 unidades.h) La suma de las distancias de P a (0, 23) y (0, 3) es de 10

unidades.i) La diferencia de las distancias de P a (25, 0) y (5, 0) es igual

a 8. j) P se mueve de tal manera que siempre está 5 unidades arriba

del eje x.k) La distancia de P a (2, 3) siempre es igual a 5.l ) La distancia de P al eje x siempre es igual a su distancia, el

punto (0, 4). m) La distancia de P al punto (21, 2) siempre es el doble de su

distancia al eje x. n) La suma de las distancias de P a los puntos (3, 0) y (23, 0)

siempre es igual a 8. o) La distancia del punto P al punto (22, 3) es igual a 4.

La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles.

René Descartes

IntroducciónEn este bloque se parte de la identificación de las características de un sistema coordenado rectangular. A continuación se trata lo re-lacionado con los dos problemas fundamentales de la geometría analítica respecto de un lugar geométrico.

1.1 Geometría analítica introductoriaDesde la antigüedad, el álgebra y la geometría, ramas de la matemáti-ca, se desarrollaron en forma independiente. En 1637 el matemático y filósofo René Descartes publicó su obra La Geometríé, en la cual unificaba ambas ramas por medio de un sistema coordenado con el que se establecía una correspondencia biunívoca entre puntos del plano y parejas de números reales. Lo anterior introdujo la aplica-ción de los métodos del análisis en la geometría, es por ello que sur-gió la geometría analítica, también llamada geometría de coordena-das o geometría cartesiana, que permite el empleo de métodos algebraicos para resolver problemas geométricos, así como la repre-sentación geométrica de ecuaciones, relaciones y funciones.

La aplicación de la geometría analítica en la resolución de proble-mas geométricos implica la utilización de un sistema coordenado al que se traslada la condición o condiciones geométricas que de-ben satisfacerse.A continuación se describe el sistema rectangular conocido por el estudiante en sus cursos de álgebra y trigonometría.

9


1.2 Sistema de coordenadas rectangularesSe traza una recta como la de la figura 1.1 y se elige un punto cual-quiera de la misma al cual se le asocia el número cero y se le llama origen O. Se conviene en que los puntos a la derecha del origen estén asociados a números positivos y los ubicados a la izquierda, a números negativos.

(–) O

0

(+)

Figura 1.1

En la figura 1.2 se ilustra lo que se conoce como recta real.

0–6 –1–2–3–4–5 54321 61–2

–!—5 p!

—2

Figura 1.2

Como puedes observar, en la recta vertical los puntos que corres-ponden a los números positivos ahora quedan del origen hacia arriba y los negativos, del origen hacia abajo.

Estas rectas, perpendiculares entre sí, reciben el nombre de ejes. El eje horizontal se denota como xx9 y se denomina eje x o eje de las abscisas; el eje vertical se denota por yy9 y se le llama eje y o eje de las ordenadas; el punto de intersección O de ambos ejes es el ori-gen del sistema. Los ejes pertenecen a un plano, al cual dividen en cuatro regiones llamadas cuadrantes y que se numeran en el or-den indicado en la figura 1.4.

x´

II I

III

0

y

IV

x

y´

Figura 1.4

1.3 Parejas ordenadas: igualdad de parejas Cada punto P del plano tiene asociado un par de números, e inver-samente a cada par (ordenado) de números le corresponde un punto.

x´

yP(x, y)

0

y

x x

y´

Figura 1.5

En un sistema coordenado rectangular, ¿con qué otro nombre se de-signa al eje xx 9?, ¿y al eje yy 9?


Ejercicios coordenadosSi la recta real se hace girar 90° alrededor del origen y en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj se obtienen dos rectas perpendiculares entre sí (figura 1.3).

(–)

0

(+)(–)

(+)

Figura 1.3

10


La distancia del punto P al eje vertical es su abscisa y se acostumbra representarla con la letra x. La distancia del punto P al eje horizon-tal es su ordenada y se representa con la letra y. La abscisa y la orde-nada del punto P son las coordenadas cartesianas del punto que se denota P(x, y) y se lee: punto P de coordenadas x, y. A la abscisa y la ordenada del punto P también se les llama primera componente y segunda componente, respectivamente.

Dos pares ordenados representan un mismo punto, es decir, son iguales, cuando su primera y segunda componentes son respecti-vamente iguales.

Puntos en un plano

0

y

C (–3, –2)

x

D (5, –3)

A (3, 4)

B (–2, 5)•

•

••

Figura 1.6

Notamos que el punto A tiene positivas su abscisa y su ordenada; para representarlo en el plano haremos lo siguiente:

a) Localizamos el número 3 en el rayo positivo del eje xx9. b) Localizamos el número 4 en el rayo positivo del eje yy9. c) Trazamos perpendiculares a los ejes en los puntos locali-

zados 3 y 4. d) La intersección de las perpendiculares anteriores determi-

na el punto A de coordenadas (3, 4).

Otra forma de determinar el punto A consiste en:

a) Localizar el número 3 en el rayo positivo del eje xx9.

b) Trazar la perpendicular a xx9 por el punto 3 y tomar sobre ésta cuatro unidades a partir del eje xx9. Al considerar que trabajamos con rectas perpendiculares, podemos decir que el punto A respecto del origen está tres unidades hacia la derecha y a partir de éste cuatro unidades hacia arriba. En igual forma podemos decir que B está dos unidades a la izquierda y cinco hacia arriba; C, tres unidades a la izquier-da y dos hacia abajo; D, cinco unidades a la derecha y tres hacia abajo.

La localización de puntos en el plano se facilita utilizando papel coor-denado rectangular como el ilustrado en la figura 1.6. Para una mejor aproximación puede usarse papel milimétrico que permite estimar la posición de un punto que no está sobre las esquinas de un cuadra-do, sino dentro de él o sobre alguno de sus lados; esto ocurre cuando una coordenada es un número irracional y se ha de hacer necesaria-mente una aproximación decimal para ubicar el punto.

En este sistema se establece una relación 1 a 1 entre cualquier par ordenado de números reales y el punto definido del plano coor-denado al cual corresponde, e inversamente a cada punto del pla-no le corresponde un par definido de coordenadas.

En un plano coordenado rectangular, ¿cómo se llama la distancia de un punto al eje vertical? y, ¿cómo se llama la distancia del punto al eje?


¿En qué cuadrante del plano coordenado se encuentran los siguientes puntos?

a ) El que tiene sus dos coordenadas positivas.

b ) El que tiene sus dos coordenadas negativas.

c ) El que tiene su abscisa positiva y su ordenada negativa.

d ) El que tiene su abscisa negativa y su ordenada positiva.


Si se elige una unidad de medida conveniente y se utiliza la misma en los dos ejes, podemos representar un punto en el plano. Localice-mos los puntos A (3, 4); B (22, 5); C (23, 22); D (5, 23).

11


Como ya se ha dicho, el álgebra y la geometría están correlaciona-das por medio de sistemas coordenados. En geometría analítica plana se establece la correspondencia entre una ecuación en x y y y una figura geométrica.De acuerdo con lo anterior los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:

1. Dada una ecuación construir la gráfica correspondiente, es decir, hallar el lugar geométrico que representa.

2. Obtener la ecuación del lugar geométrico de un punto que satisface una condición dada.Para resolver estos dos problemas recíprocos se usará el princi-pio fundamental de geometría analítica:Si las coordenadas de un punto satisfacen una ecuación, el punto está en el lugar geométrico de la misma.Si un punto está en el lugar geométrico de una ecuación, las coordenadas del mismo la satisfacen.

Soluciones y gráficas. Investigación de gráficasPara proceder a la representación gráfica de una ecuación, general-mente se recurre a la aplicación de ciertos criterios, que posibilitan el trazo de un bosquejo de la gráfica que representa a la ecuación. Entre otros criterios se aplican los siguientes: Intersecciones con los ejes, simetrías respecto del origen y los ejes y la determinación de la extensión que incluye una tabulación de valores.

Intersecciones con los ejesEl punto de intersección de la gráfica del lugar geométrico con el eje x tiene como coordenadas (x, 0), de manera que para obtener las intersecciones del lugar geométrico con el eje x se hace y 5 0 en la ecuación y se despeja la variable x. El punto de intersección de la gráfica del lugar geométrico con el eje y tiene como coorde-nadas (0, y), por tanto, al hacer x 5 0 en la ecuación y despejar y se obtienen las intersecciones del lugar geométrico con el eje y.

Apolonio

Llamado El Gran Geómetra, en su libro Secciones cónicas introdujo los términos: parábola, elipse e hi-pérbola.

La obra Secciones cónicas se com-pone de ocho libros. En los libros 1 a 4 trata sobre las propiedades bá-sicas de las cónicas. En los libros 5 a 7 hace la discusión de las cónicas y muestra cómo pueden ser dibujadas desde un punto. El libro ocho está perdido.

Apolonio obtiene las cónicas mediante la variación de la posición del plano que corta al cono.

Para tu reflexión

1.4 Lugares geométricosConcepto de lugar geométricoLugar geométrico es el conjunto de puntos que satisfacen una condición o condiciones dadas. También se le considera como la trayectoria des-crita por un punto que se mueve de acuerdo con una o más condiciones establecidas. En geometría plana el lugar geométrico generalmente es una línea recta o curva, que puede estar formada por varias o bien ser un punto o varios puntos aislados. Así, el lugar geométrico de los puntos del plano localizados a 5 unidades del origen es una circun-ferencia con centro en el origen y de radio igual a 5; el lugar geomé-trico de los puntos equidistante de los vértices de un triángulo es el circuncentro, es decir, el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

¿Cuáles son los dos problemas fundamentales de la geometría ana-lítica?

¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento de recta dado?


Sea la ecuación x² 2 4y 2 8 5 0. Calcula las intersecciones de la gráfica de dicha ecuación con los ejes.

Solución:

Para y 5 0, la ecuación se reduce a x² 2 8 5 0.

De donde:

x² 5 8

x 5 6 8

Ejemplo

12


Simetrías respecto del origen y los ejesDos puntos son simétricos respecto de una recta cuando ésta es perpendicular al segmento que une dichos puntos en el punto me-dio de éste. Dos puntos son simétricos respecto de otro punto cuando éste es el punto medio del segmento que determinan.

x 5 62 2

Para x 5 0, la ecuación se reduce en:

24y 2 8 5 0 24y 5 8 y 5 22

Por tanto, las abscisas de los puntos de intersección con el eje x son x 5 62 2 y la ordenada del punto de intersección con el eje y es 22.

¿Por qué se dice que cuando se sustituye x por 2x en una ecuación y ésta no se altera, su representación geométrica es simétrica respecto del eje y ?

¿Por qué se dice que cuando se sustituye y por 2y en una ecuación y ésta no se altera, su representación geométrica es simétrica respecto del eje x ?


Extensión. Tabulación de valoresLos valores de las variables tendrán como campo de variación al conjunto de los números reales, en consecuencia no serán toma-dos en cuenta los valores de una variable para los cuales la otra toma valores imaginarios.

Sea y² 2 4x 1 8 5 0, que también se puede expresar en la forma y² 5 4x 2 8, o bien y 5 6 24 8x . Si x toma un valor menor que 2, 4x 2 8, será negativo y y será imaginario. Por tanto, la gráfica del lugar geométrico estará situada a la derecha de la recta x 5 2.

En la ecuación x y5 114

82( ), x es real para todos los valores de y.

En ambos casos es conveniente elaborar una tabla de valores para la variable independiente, dentro de su dominio, con el propósito de obtener las coordenadas de un número suficiente de puntos para el trazo de la gráfica.

pecto del eje x. En este caso, para cada valor de x en la ecuación le corresponden dos valores de y iguales en valor absoluto pero de signos contrarios.

y² 2 3x 1 5 5 0, es decir, y 5 6 23 5x

3. Si al sustituir x por 2x y y por 2y en una ecuación ésta no se altera, entonces su representación geométrica o lugar geométrico es simétrico respecto del origen.

4 x² 1 9 y² 5 144

Propiedades1. Si al sustituir x por 2x en una ecuación ésta no se altera, entonces

su representación geométrica o lugar geométrico es simétrico res-pecto del eje y. En este caso, para cada valor de y en la ecuación le corresponden dos valores de x iguales en valor absoluto, pero de signos contrarios.

x² 2 12 y 1 36 5 0, es decir, x 5 6 212 36y

2. Si al sustituir y por 2y en una ecuación ésta no se altera, entonces su representación geométrica o lugar geométrico es simétrico res-

Ejemplos

1. Representa la recta cuya ecuación es 2x 1 3y 5 6.

Intersecciones con los ejesPara x 5 0, y 5 2. Para y 5 0, x 5 3; por tanto, la recta corta a los ejes en los puntos (0, 2) y (3, 0).

Simetrías respecto del origen y los ejesAl sustituir x por 2x la ecuación se altera. Por tanto, el lugar geométrico no es simétrico respecto del eje y. Al sustituir y por 2y la ecuación se altera. Por tanto, el lugar geométrico no es simétrico respecto del eje x.Al sustituir x por 2x y y por 2y la ecuación se altera. Por tanto, el lugar geométrico no es simétrico respecto del origen.

Extensión. Tabulación de valores

Al despejar x y y, x y5 212

6 3( ), y x5 213

6 2( ). Por tanto, x es

real para todos los valores de y y y es real para todos los valores de x.

Ejemplos

13


x y

23 4

0 2

3 0

y

x(3, 0)

(0, 2)••0

Figura 1.7

2. Representa la parábola de ecuación y 5 x 2 2 4.

Intersecciones con los ejesPara x 5 0, y 524. Para y 5 0, x 5 62. Por tanto, la parábola corta al eje x en los puntos (22, 0) y (2, 0) y al eje y en (0, 24).

Simetrías respecto del origen y los ejesAl sustituir x por 2x la ecuación no se altera. Por tanto, el lugar geométrico es simétrico respecto del eje y.

Al sustituir y por 2y la ecuación se altera. Por tanto, el lugar geométrico no es simétrico respecto del eje x.

Al sustituir x por 2x y y por 2y la ecuación se altera. Por tanto, el lugar geométrico no es simétrico respecto del origen.

Extensión. Tabulación de valoresy 5 x 2 2 4, por tanto, y es real para todos los valores de x.

Al despejar x, x 5 6 y14 , por lo que x es real para todos los valores de y $ 24.

x y

23 5

22 0

21 23

0 24

1 23

2 0

3 5

0

y

x

Figura 1.8

3. Representa la elipse de ecuación 9x 2 1 4y 2 5 36.

Intersecciones con los ejesPara x 5 0, y 5 63. Para y 5 0, x 5 62. Por tanto, la elipse corta al eje x en los puntos (22, 0) y (2, 0) y al eje y en los puntos (0, 3) y (0, 23).

Simetrías respecto del origen y los ejesAl sustituir x por 2x la ecuación no se altera. Por tanto, el lugar geométrico es simétrico respecto del eje y.

Al sustituir y por 2y la ecuación no se altera. Por tanto, el lugar geométrico es simétrico respecto del eje x.

Al sustituir x por 2x y y por 2y la ecuación no se altera. Por tanto, el lugar geométrico es simétrico respecto del origen.

Extensión. Tabulación de valoresAl despejar x y y.

9x 2 1 4y ² 5 36 9x² 1 4y 2 5 36

9x 2 5 36 2 4y 2 4y 2 5 36 2 9x 2

xy

x y

22

2 2

36 49

13

36 4

52

56 2

y

x

y x

22

2

36 94

12

36 9

52

56 2

xy

x y

22

2 2

36 49

13

36 4

52

56 2

yx

y x

22

2

36 94

12

36 9

52

56 2

Si el valor absoluto de x es mayor que 22, 36 2 9x 2 es negativo y y es imaginario. Por tanto, x no puede tomar valores menores que 22 ni mayores que 2, es decir, 22 # x # 2.

De manera semejante y no puede tomar valores menores que 23 ni mayores que 3, o sea, 23 # y # 3.

x y

22 3

21 632

3

0 3

1 632

3

2 0

0

y

x

Figura 1.9

14


Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente:

En un sistema coordenado rectangular se localiza el punto (24, 4). ¿Cuáles son las coordenadas del punto simétrico respecto del eje x ? ¿Cuáles son las coordenadas del punto simétrico respecto del origen?

Aplica lo que sabes

Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo si-guiente:

En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Noso-tros formamos parte del ambiente donde vivimos. Cuidémoslo.

La quema de combustibles fósiles, deriva-dos del carbón y del petróleo, así como la quema de bosques y selvas han provoca-do un gran aumento en la concentración de los gases de invernadero durante el último siglo, con el consecuente deterioro del planeta.

Investiga cómo han ido aumentando en la atmósfera los compuestos CO2, NH4 y NO2 en miles de millones de toneladas del año 1000 al 2000 en PgC.

1 PgC 5 1 Peta 2 gramo Carbono 5 1 000 millones de toneladas.

Utiliza un sistema coordenado rectangular para representar la produc-ción de gases de efecto invernadero (GEI) entre los años 1000 y 2000.

Observa cómo se ha incrementado la producción de GEI entre los años 1800 y 2000.

Investiga y elabora propuestas concre-tas sobre lo que podemos hacer para cuidar nuestro medio.

Aplica lo que sabes

Aplicaciones prácticasEn el análisis de un problema, la representación geométrica en un sistema coordenado de la ecuación que corresponde a su modelo matemático, hace posible una mayor comprensión de la relación que guardan entre sí las variables que intervienen en él. El uso de un sistema coordenado y la aplicación de los criterios ya mencio-nados para el trazo de un lugar geométrico son herramientas que el estudiante debe utilizar con habilidad para tener éxito en la resolu-ción del primer problema fundamental de la geometría analítica.

La ecuación de un lugar geométricoEl segundo problema fundamental de la geometría analítica con-siste en determinar la ecuación de un lugar geométrico cuyos puntos cumplen con las condiciones geométricas dadas.

El procedimiento para encontrar la ecuación de un lugar geomé-trico es directo. Consiste en suponer que un punto cualquiera P de coordenadas (x, y) satisface las condiciones especificadas y, por tanto, es un punto del lugar geométrico.

En seguida se expresa con ecuaciones en x y y la condición o condi-ciones geométricas que debe cumplir el punto. Finalmente se sim-plifica la ecuación.

1. Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve

sobre la recta de pendiente igual a 23

y que pasa por el punto de coordenadas (21, 5).

Solución:

Se aplica la fórmula para la pendiente de una recta que pasa por dos puntos, en este caso:

P (x, y ) y (21, 5):

my

xyx

52

2 25

2

1

51

51( )

Se sustituye m por la pendiente 23

23

51

: 52

1

yx

Simplificando:2 1 3 52 2 3 152 3 17 0

( ) ( )x yx yx y

1 5 2

1 5 2

2 1 5

2 1 3 52 2 3 152 3 17 0

( ) ( )x yx yx y

1 5 2

1 5 2

2 1 5

2 1 3 52 2 3 152 3 17 0

( ) ( )x yx yx y

1 5 2

1 5 2

2 1 5

0

y

x

2x – 3y + 17 = 0

•(–1, 5)

Figura 1.10

Ejemplos

15


2. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje y es igual a su distancia del punto (4, 0). Halla la ecuación del lugar geométrico.

Solución:

Sea P (x, y ) un punto cualquiera del lugar geométrico. La distancia de P al eje y es la abscisa x de dicho punto.

La distancia de P al punto (4, 0) se expresa mediante:

( ) ( )x y x x y2 1 2 5 2 1 14 0 8 162 2 2 2

Al igualar las dos distancias:

x x y x2 28 162 1 1 5

Al elevar al cuadrado los dos miembros tenemos:

x ² 2 8x 1 16 1 y ² 5 x ²

De donde:

y ² 2 8x 1 16 5 0

P(x, y)

0

y

x(4, 0)

(0, y)

Figura 1.11

3. Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve, de tal manera que la diferencia de las distancias a los puntos A (3, 0) y B (23, 0) siempre es igual a 4.

Solución:

Sea P (x, y) un punto cualquiera del lugar geométrico PA 2 PB 5 4,

es decir:

( ) ( ) ( ) ( )x y x y2 1 2 2 1 1 2 53 0 3 0 42 2 2 2

4. Al trasponer el segundo radical al segundo miembro:

( ) ( ) ( ) ( )x y x y2 1 2 5 1 1 1 23 0 4 3 02 2 2 2

Al elevar al cuadrado ambos miembros:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (x y x y x y2 1 2 5 1 1 1 2 1 1 1 23 0 16 8 3 0 3 02 2 2 2 2 ))2

x ² 2 6x 1 9 1 y ² 5 16 18 ( ) ( )x y1 1 23 02 2 1 x ² 1 6x 1 9 1 y ²

Simplificando:

212x 2 16 5 8 ( ) ( )x y1 1 23 02 2

Al elevar al cuadrado ambos miembros y simplificando:

144x 2 1 384x 1 256 5 64(x 2 1 6x 1 9 1 y 2)

144x 2 1 384x 1 256 5 64x 2 1 384x 1 576 1 64y 2

80x 2 2 64y 2 5 320

5x 2 2 4y 2 5 20

0

y

x

Figura 1.12

Aplicaciones prácticasEl uso de un sistema coordenado rectangular permite resolver problemas que tienen que ver con la localización de puntos en el plano. Cuando en el plano de una ciudad ubicamos el punto en el que nos encontramos, podemos planear un itinerario a partir de él para visitar sitios que nos interesa conocer; también pode-mos elegir distintas rutas utilizando el transporte disponible.

El sistema coordenado rectangular también lo podemos usar para trazar figuras simétricas, para construir figuras a escala, etcétera.

16

















17


Lista de cotejo para el reporte sobre los dos problemas fundamentales de la geometría analítica señaladas en la actividad de aprendizaje de la página 11.

Lista de cotejo

Criteriocumple

Observacionessí no

Pre

sent

ació

n






Des

arro

llo






Dom

inio

del

te

ma

11. Conoce los dos problemas fundamentales de la geometría analítica.

12. A partir de una ecuación construye la gráfica del lugar geométrico correspondiente.

13. A partir de las condiciones dadas obtiene la ecuación de un lugar geométrico.

Con

clus

ione

s 14. Comprende los dos problemas fundamentales de la geometría analítica.

15. Con base en una ecuación, determina sus simetrías, su extensión e intersecciones con los ejes y construye la gráfica del lugar geométrico.

16. Con base en las condiciones dadas, establece las relaciones para obtener la ecuación de un lugar geométrico.

Nombre del alumno:

primera edición ebook 2014 - editorialpatria.com.mx · en el trabajo a realizar por el alumno,...

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