previo_2_1_2012_sol
DESCRIPTION
Examenes CuanticaTRANSCRIPT
-
Universidad Industrial de Santander Escuela de Fsica I Previo de Mecnica Cuntica II
Nombre Cdigo
Profesor Ilia Mikhailov Fecha 25.06.2012
0
2 20
2
,0 1 2 1 2 /0 , , 1,0,0 3 20 0
00
2 2 22
0 02 2
2 2 ; ; min; min
1 !; ; ; ; ;
1; ; ; 4
22
n m r an xn n n n n n n n n n
m n n m
n n n
e
H p m V m V p i E H H E
Vx e dx n H H V E E E E E V E V e
aE E
RyE n E n E a
m L n me
r r
2 4
2 2 20 0 0
0,0529 ; 13.68 2 4
e menm Ry eV
a
1. Utilizando la funcin de prueba si 0 y 0 si 0x x exp x x x x con el parmetro variacional , encuntrese la energa del estado base de un electrn en un campo 1D, cuyo potencial de confinamiento se define como
2 2
2 si 0 y si 0V x m x x V x x (10ptos). Explquese porque el valor exacto para la energa del estado base es
3
2 ? Compare con la estimacin por el mtodo variacional e interprete los resultados obtenidos (5ptos).
Solucin:
2. Utilizando funcin de pruebaae , encuntrese la energa del estado base para de un anlogo de tomo hidrogeno bidimensional
tomando como el potencial de atraccin entre ncleo y el electrn en coordenadas polares como 2 0/ 4V e (15ptos)
.Solucin:
22
0
2
2 2
0 0
22 2 2 2 2 22
2
0 0 0
2 22 2
0 00 0
14
2
22
22
2
2 42
24 2
x
a x
a
d d dH T V ; T ; V e / ; e ; e ;
m d d d
e d xe dx ;
dT d e d xe dx ;
m d m mm
e eV e d e d
2
0
2 2 2 2 2
0 0
2 2 2 4 4 4
2 2 2 22 2 20 0 0 0 0
4
4 4 2 2
0 42 2 2 2 2 2 2
e;
He eH T V ; E
m m
dE e me me me me; ; E Ry
d m
3. El Hamiltoniano de tomo de hidrogeno en presencia de un campo magntico externo B parra estados S tiene la forma 0 H H V ,
donde 2 2
0
02 4
eH
m r es el Hamiltoniano del tomo sin perturbacin y 2 2 2 2 8V e B r sin m es la energa diamagntica dadas en
coordenadas esfricas. Considerando V como una perturbacin encuntrese la energa del tomo de hidrogeno para el estado base en la
primera orden de la teora de perturbaciones (10ptos) y condicin de la aplicabilidad de este resultado (5ptos) Solucin:
0
2 2 4
1 0 0 0 0 0 2 23 2 20 00 0
11 4 0 0529 13 6
8 2 4
r / a
, ,
e mea Estado base : e ; E Ry;a , nm; Ry . eV
amea
;
2 2
2 2
3 30 0
2 22 2 2 22
0 0 0
22 2
exp ; exp 2 ; 1 exp
2 1 1exp 2 ;
2 42
21 exp 2 1 ;
22 2 4 2 8
2
y
y
x
x x x x x x x x x
x yx x dx y e dy
x y
x yd yT dx x x dx e dy
x ym dx m m m
V m x xe dx
2 22 4 2 4
5 50 0 0
2 2 2 2 2
5 2
1 22 2 2 2
2
3 2
22
2 32 ;
2 82 2
3 3;
8 28 2
3 30; 3;
33 3
3 1.73 ; 1.52 2
2 3
x y
exact
x y m mm x e dx y e dy
x y
Hm mH T V E
m m
dE m m m
d m
m
mE E
mm
-
0
0 0
22 2 2 2 2
2
0 0 1 0 0 1 0 0 3 20 0 0 0
02 2 2 2 2 22 23 4 2 4
3 3 3
0 0 00 0 0
1
8
41
34 4 4
r / a
, , , , ,
r / a r / a
e B r sinb )Elemento matricial de la perturbacion : V V d sin d e r drm a
e B e B e Bsin d e r dr cos d cos e r dr
ma ma ma
5 2 2 2
0 0552 4
a e B a!
m
2 2 2
1 0
0 0 0 0
2 2 22
0
3
0 0 0
51
4
5
8 4
,
e B ac Energia del estado base en la primera orden de la teoria de perturbaciones : E E V Ry
m
e B ae
a ma
2 2 2 2
0
0 0 1 0
0 0
22
3
0 0
53 3
4 4 4 8
3
40
,
e B a ed Condicion de aplicabilidad : V E E Ry
m a
meB
a
4. Para un pozo bidimensional de forma cuadrada con la barrera infinita cuyo potencial:
0xU dentro del cuadrado 0 x a , 0 y a y xU fuera del cuadrado.. a) Demustrese: que el primer nivel excitado es doblemente degenerado y encuntrese su energa y
dos funciones de onda correspondientes (5ptos). b) Utilizando la teora de perturbaciones
demustrese que la perturbacin 2
0/ 4 2 / 3V a V x a y a desacopla estos dos estados y
encuntrese las nuevas energas (10ptos).
Solucin:
a)
2 22
2 2
, ,, , ;
2
0 , ; 0, , ,0 , 0
x y x yV x y E x y
m x y
x y a y a y x x a
2 2
2 2, . 2
2, sin sin ; ; , 1,2,3,
2n l n l n m
nx lyx y X x Y y E n l n l
a a a ma
Estado base 2 2 2 2
2 21,1 1,1 2 2
2, sin sin ; 1 1
2
x yx y E
a a a ma ma
Primer estado excitado es doblemente degenerado
2 2 2 2
01,2 2,1 1 1,2 2 2,1 1,2 2,12 2
3 2 2 2 2 3; , , sin sin ; , , sin sin ;
2 2
x y x yE E x y x y x y x y E E E
a a a a a ama ma
b) Para la perturbacin 2
0/ 4 2 / 3V a V x a y a elementos matriciales son:
2 2 2 2 2 21,1 1 1 1 0 0 020 0 0 0
4 2 4, , sin sin / 4 2 / 3 4 sin sin 3
4 3
L L L Lx y
V V dx x y V x y dy dx a V x a y a dy V Va aa
2 2 2 2 2 22,2 2 2 2 0 0 020 0 0 0
4 2 2, , sin sin / 4 2 / 3 4 sin sin 6
2 3
L L L Lx y
V V dx x y V x y dy dx a V x a y a dy V Va aa
21,2 1 2 1 2 020 0 0 0
0 0 2,1 1,2 0
4 2 2, , , sin sin sin sin / 4 2 / 3
4 24 sin sin sin sin 3 2 ; 3 2
4 3 2 3
L L L Lx y x y
V V dx x y x y V x y dy dx a V x a y a dya a a aa
V V V V V
Ecuacin secular para calcular el desdoblamiento de los estados doblemente degenerados:
0 02 21,1 1,2 00 0
0 00 02,1 2,2 0 0
01,2 0 0
3 3 20 0 3 3 2 0
3 2 6
3 3 2
E E V V E E V VE E V V
V E E V V E E V
E E V V