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donde R es la region cotada por la elipse, Sea donde Rbes la regin acotada por

Este anlisis es de hecho, un esbozo de una demostracin del siguiente teorema general de cambio de variables. Supongamos que T transforma la regin acotada S, en el plano uv, en la regin acotada R en el plano xy y que T es uno a uno del interior S al interior R. Suponga que la funcin F(x,y) y las derivadas parciales de primer orden de las funciones componentes de T son funciones continuas. Finalmente, para garantizar la existencia de las integrales dobles indicadas, supongamos que las fronteras de ambas regiones R y S estn formadas por un numero finito de curvas suaves por partes.TEOREMA 1 Cambio de variablesSi la transformacin T con funciones componentes satisface las condiciones del prrafo anterior , entonces

Si escibimos G(u,v)=F(f(u,v),g(u,v)), entonces la formula de cambio de variable, la ecuacin(5) se convierte en .

CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES TRIPLESLa frmula para el cambio de variable en integrales triples es similar a la ecuacin (5). Seas S yR regiones correspondientes bajo la transformacin T uno a uno del espacio uvw al espacio xyz, donde las funciones coordenadas que lo componen son:

Donde y z en trminos de