presentacion_simulacion

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓNFacultad Politécnica

CIENCIAS INFORMÁTICAS

Prof. Heriberto F. González

2015

Simulación

Introducción de la Simulación

Simulación

ProyectoNegocioIndustriaEstado

ProgramarPlanear

EstudioPreliminar

Factibilidad

TécnicaPiloto

Costo bajoRes. ráp Simulación

El objetivo del cursoSimulación

El objetivo del curso es proporcionar un tratado detallado de los métodos y procedimientos requeridos para planear y diseñar experimentos de simulación en computadoras y de exponer la teoría en la cual se han basado estos métodos. Aunque gran parte de los que vamos a ver en el curso, están relacionadas con la administración de empresas, la economía y la investigación de operaciones, las técnicas descritas y la teoría que las sustenta son de naturaleza general y es posible aplicarlas a experimentos de simulación en campos muy diversos.


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COMO SE DEFINE UN SISTEMA EN SIMULACIÓN. Colección de entradas que pasan a través de las fases de cierto proceso, produciendo respuestas. Por ejemplo:

Sistema de manufactura Sistema de servicio


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DEFINICIÓN DE SIMULACIÓN: Simulación es una técnica numérica para conducir experimentos en una

computadora digital. Estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemáticas y lógicas, las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a través de largos periodos de tiempo.

Simulación es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo de un sistema o proceso real y conducir experimentos con el propósito de entender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias (dentro de límites impuestos por un criterio o conjunto de criterios) para la operación del sistema.


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Fundamentos Racionales de la simulación en computadoras:

Puede ser imposible o extremadamente costoso observar ciertos procesos en el mundo real.

El sistema observado puede ser tan complejo que es imposible describirlo en un sistema de ecuaciones matemáticas, del cual puedan tener soluciones analíticas para ser usadas con propósitos predictivos.

Aun cuando un modelo matemático logre formularse para describir algún sistema de interés puede no obtenerse una solución del modelo por medio de técnicas analíticas directas y, consecuentemente, tampoco se podrán realizar predicciones acerca del comportamiento futuro del sistema.


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Propiedades de los Modelos para Simulación: Modelo: Es una abstracción y simplificación de la realidad, es decir, es la

representación simplificada de un sistema. Variables exógenas: son las variables independientes o de entradas al modelo y que

han sido predeterminadas y proporcionadas independientemente del sistema que se modela y puede ser:

Variables exógenas controlables: son las susceptibles de manipulación o control por quienes toman decisiones o crean políticas para el sistema

Ejemplos: la cantidad de materia prima en una industria, el número de empleados de una industria, el intervalo de tiempo entre una llegada y la siguiente, el tiempo de servicio de un, etc.


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Propiedades de los Modelos para Simulación: Variables exógenas no controlables: es el medio ambiente en el cual el sistema

modelado existe. Variables de estado: describen el estado de un sistema o uno de sus componentes

ya sea al comienzo, al final o durante un período. Ejemplos: El inventario de un productos, las ventas en algún precedentes por región, etc. Variables endógenas: son las variables dependientes o de salidas del sistema y son

generadas por la interacción de las variables exógenas con las variables de estado de acuerdo con las características de la operación.

Ejemplos: ventas totales, producción total de una industria, los precios, la mano de obra total en una industria, etc.


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Propiedades de los Modelos para Simulación:Ejemplo:

Para ilustrar el sistema de clasificación de elementos de los modelos matemáticos mencionados anteriormente, considere el ejemplo siguiente:

Un modelo simple de un fenómeno de espera, de un solo canal y con estaciones múltiples, para una empresa. El propósito del modelo es relacionar el tiempo total que requiere una orden para pasar a través de n procesos, con la forma en que llegan las órdenes y el tiempo que consume cada uno de tales procesos.


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Variable Exógena:

y j

Variables de estado:

y j

y j


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Variable Endógena:

Parámetros:

()

() Características de operación:


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Identidades:


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VENTAJAS DE SIMULACIÓN No es necesario interrumpir las operaciones de la compañía. Proporciona muchos tipos de alternativas posibles de explorar. La simulación proporciona un método más simple de solución

cuando los procedimientos matemáticos son complejos y difíciles. Auxilia el proceso de innovación ya que permite al experimentador

observar y jugar con el sistema. Una vez construido el modelo se puede modificar de una manera

rápida con el fin de analizar diferentes políticas o escenario. Generalmente es más barato mejorar el sistema vía simulación que

hacerlo en el sistema real.


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VENTAJAS DE SIMULACIÓN Es mucho más sencillo visualizar y comprender los métodos de simulación que los

métodos puramente analíticos. En algunos casos, la simulación es el único medio para lograr una solución. Da soluciones a problemas "sin" solución analítica


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DESVENTAJAS DE SIMULACIÓN La simulación es imprecisa, y no se puede medir el grado de su imprecisión. Los resultados de simulación son numéricos; por tanto, surge el peligro de atribuir

a los números un grado mayor de validez y precisión. Se requiere gran cantidad de corridas computacionales para encontrar soluciones,

lo cual representa altos costos. Es difícil aceptar los modelos de simulación y difícil de vender Los modelos de simulación no dan soluciones óptimas.


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CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS PARA SIMULACIÓN.

Modelos determinísticos: Modelos estocásticos: Modelos estáticos: Modelos dinámicos:


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PELIGROS Y PROBLEMAS EN SIMULACIÓN Definir los límites y nivel de detalles del sistema. Subestimar el tiempo y costos involucrados en el proceso de modelación. Fallar en la selección del más simple y económico de los modelos para el

fin establecido. Ausencia o pérdida de metodología estadística. Considerar como aproximados algunos atributos de un sistema que no

existe. Entendimiento superficial del sistema a ser modelado. Poca destreza para comunicarse con administradores que financiarán el

proyecto.


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ÁREAS DE APLICACIÓN DE SIMULACIÓN Sistema de colas. Sistema de inventarios Proyecto de inversión. Sistemas económicos Estados financieros. Problemas industriales. Problemas económicos Problemas conductuales y sociales Sistemas biomédicos


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CONCLUSIONES SOBRE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE SIMULACIÓN LA SIMULACIÓN ES UN PROCESO ITERATIVO LA SIMULACIÓN NO SE USA NORMALMENTE PARA ENCONTRAR SOLUCIÓN

ÓPTIMA DEL PROBLEMA.


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POR OTRA PARTE NO SIMULE CUANDO SE TENGA LAS SIGUIENTES CONDICIONES:

El problema puede resolverse usando “análisis de sentido común”. El problema puede resolverse analíticamente. Es más fácil cambiar o ejecutar experimentos directamente en el sistema real. El costo de la simulación excede el posible ahorro. No hay información o ni siquiera datos estimados. El modelo no puede ser verificado o validado


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Ejemplo: Se sabe que un jugador de basquetbol encesta 40% de sus tiros. Si en un partido

hace 20 tiros, ¿cuál es la probabilidad de que enceste exactamente 9 veces? (en Excel da como resultado 0.15973848). Hay, sin embargo, otro método que, aunque en este caso no es necesario, a veces es el único método de abordar un problema.

En el caso planteado supondría pedir al jugador que jugara 10000 partidos de 20 tiros para obtener una aproximación del porcentaje de veces en las que encesta exactamente 9 veces. Como la propuesta anterior es imposible para un ser humano, se podría simular la situación y obtener una estimación del resultado. Para ello se considera que un tiro del jugador puede simularse, por ejemplo, generando aleatoriamente un número comprendido entre 1 y 10; esto puede llevarse a cabo mediante la instrucción en Excel: =ALEATORIO.ENTRE(1,10) o con la instrucción =ENTERO(ALEATORIO()*10)+1


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PLANEACIÓN DE LOS EXPERIMENTOS DE SIMULACIÓN CON MODELOS DE SISTEMAS ECONÓMICOS

1. Formulación del problema: Preguntas que deben responderse:¿Qué efecto tendrá una regla de planeación de la producción en los costos de una compañía dada?¿Qué efecto tendrá un cambio en la tasas de descuentos hechos en los precios?¿Cuántos empleados deben contratar una empresa en un periodo dado?¿Cuántas pistas se requieren en un aeropuerto, durante los picos de servicios? Hipótesis que deben probarse:¿Qué efectos tienen los programas de control de la población en el desarrollo económico de un país?¿Hay diferencia importante en los efectos de la publicidad sobre las ventas de una ¿Los costos de producción se verán afectados significativamente por un incremento en el tiempo calculado de rendimiento?


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Efectos por estimarse:Por último, el objetivo de una simulación puede ser estimular los efectos de ciertos cambios en las variables controlables de una toma de decisión de unos sistemas económicos sobre las variables dependientes que describe el comportamiento del sistema. Por ejemplo: El experimentos con valores diferentes de esperanza matemática de los tiempos de llegada a una estación de servicio y estimar la esperanza del tiempo de espera y la del tiempo de ocio para cada uno de dicho valores. Por consiguiente, deben tomarse dos decisiones importantes antes de comenzar a trabajar con cualquier experimento de simulación

Fijar los objetivos de la investigaciónFijar el conjunto de criterios para evaluar el grado de satisfacción al que deba sujetarse el experimento.


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2. Recolección y Procesamiento de datos tomados de la realidad.Existen, por lo menos, cinco razones por las cuales es necesario disponer de un sistema eficiente para el procesamiento de datos, que permita alcanzar el éxito al realizar los experimentos de simulación. En primera instancia, la información descriptiva y cuantitativa (datos) referente al sistema que se va a

investigar, constituye un requisito previo a la formulación del problema. En segundo lugar, los datos que hayan sido reducidos a una forma significativa pueden sugerir hipótesis de

cierta validez, las cuáles se usarán en la formulación de los modelos matemáticos que describen el comportamiento de un sistema dado.

Como tercer punto, los datos también pueden sugerir mejoras o refinamiento en los modelos matemáticos que existen en el sistema por simularse.

En cuarto lugar, es necesario que los datos, reducidos a una forma final, se utilicen para estimar los parámetros de las características de operación relativas a las variables endógenas, exógenas y de estado del sistema.

Finalmente, cabe considerar que sin tales datos, sería imposible probar la validez de un modelo para la simulación.


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2. Recolección y Procesamiento de datos tomados de la realidad.Es posible identificar seis funciones importantes del procesamiento de datos que forman una parte integral del procedimiento para implantar los experimentos de simulación en computadoras: recolección, almacenamiento, conversión, transmisión, manipulación y salida.


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3. Formulación de un modelo matemático. Una de las primeras consideraciones que se presentan en la formulación del modelo

matemático de un sistema económico, es la selección de las variables que se deben incluir en él.

Otra consideración en la formulación de los modelos matemáticos es su complejidad. El tiempo de programación de la computadora es otro aspecto que se debe tener en cuenta

en la formulación del modelo matemático.


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4. Estimación de los parámetros de las características operacionales a partir de los datos reales.

Un programa comprensivo de entrenamiento en econometría implica el estudio de la teoría económica, matemáticas, estadística matemática, contabilidad social y métodos de reconocimiento y análisis empírico. Obviamente, tratar la econometría está fuera del alcance del material.


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5. Evaluación del modelo y de los parámetros estimados. Entre las preguntas que nos interesaría formular durante esta etapa de nuestro

procedimiento, se encuentra las siguientes: ¿Incluimos algunas variables que no sean pertinentes, en el sentido de que contribuyen muy

poco a nuestra capacidad para predecir el comportamiento de las variables endógenas de nuestro sistema?

¿Omitimos la inclusión de una o más variables exógenas que pudieran afectar el comportamiento de las variables endógenas en nuestro sistema?

¿Formulamos incorrectamente una o más relaciones funcionales entre las variables endógenas y exógenas de nuestro sistema?

¿Son estadísticamente significativas las estimaciones de los parámetros en nuestro modelo?


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6. Formulación de un programa para la computadora.La formulación de un programa para computadora, cuyo propósito sea dirigir los experimentos de simulación con nuestros modelos del sistema bajo estudio, requiere que se consideren especialmente las siguientes actividades: Diagrama de flujo Lenguaje de la computadora Búsqueda de errores Datos de entrada y condiciones iniciales Generación de datos Reportes de salida


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7. Validación. El problema de validar un problema, es responder a la siguiente pregunta: ¿Qué criterios se deben emplear para establecer la validez de una hipótesis? Si existe una buena comparación en los valores simulados de las variables endógenas y los

datos históricos conocían si es que se tienen? Si qué exactitud tienen las predicciones del modelo de simulación respecto al

comportamiento del sistema real en período posteriores.


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8. Diseño de los experimentos de simulación.

Una vez satisfechos con la validez del modelo ya se encuentran en condiciones de considerar su uso para dirigir, los experimentos de simulación.

En esta etapa existen dos términos importante: Factor y respuesta, que depende del papel que desempeña la variable en el experimento.

Como ejemplo:

La ganancia de una Cñía o la utilidad puede ser variable de respuesta, y las inversiones de capital, la mano de obra, gastos de publicidad, ingreso percapita, etc, se puede manejar como factores.

Algunas preguntas que se formula en esta fase son las siguientes:

¿Está controlado o no el factor en cuestión? Un factor se califica de controlado si el experimentador selecciona a propósito sus niveles.


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9. Análisis de los datos simulados.La etapa final en el procedimiento requiere un análisis de los datos generados por la computadora, a partir del modelo que se simula:Existen dos métodos más utilizados: Análisis de la varianza Análisis de regresión.


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3. Formulación de un modelo matemático.


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NÚMEROS ALEATORIOS Y GENERACIÓN DE NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS

Información determinística: entra directamente al modelo con su valor correspondiente en el sistema real.

- Información probabilística: es necesario crear modelos de simulación que imiten el comportamiento de esas variables. La metodología consiste en la creación matemática de expresiones sencillas partiendo de lo que se conoce como generación de números aleatorios uniformes entre 0 y 1


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Métodos de Generación de Números Pseudoaleatorios U (0, 1)Existen varios métodos para generar números aleatorios, pero todos los

números generados deben cumplir con las siguientes características: Uniformemente distribuidos Estadísticamente independientes Su media debe ser estadísticamente igual a ½ Su varianza debe ser estadísticamente igual a 1/12


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1. MÉTODOS CONGRUENCIALES

Donde r0 = semilla del generador

= constantes Ejemplo:Generar 5 números con el generador congruencial multiplicativo siguiente con la semilla r0=47


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2. MÉTODO DE CUADRADOS MEDIOS El procedimiento de obtención de números con este tipo de generadores es el siguiente:- Generar una semilla- Elevarla al cuadrado- Tomar de la parte central un conjunto de k dígitos que formarán el número aleatorio- Los k dígitos pasarán a ser la nueva semilla con el fin de repetir el proceso en n ocasiones Ejemplo:Generar 3 números de 4 dígitos a partir de un generador de cuadrados medios utilizando la semilla 445


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PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA LOS NÚMEROS PSEUDO ALEATORIOS PRUEBAS ESTADÍSTICAS PRUEBA DE MEDIAS PRUEBA DE VARIANZA Para la uniformidad Bondad de ajuste o Ji-cuadrada: Para la aleatoriedad o independencia Corridas


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Prueba de Medias:


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VARIABLES ALEATORIAS Y SUS DISTRIBUCIONES

1. VARIABLES ALEATORIAS : Discreta Contínua

Ejemplos


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2. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Distribución de probabilidad discreta Distribución de probabilidad continúa

Ejemplos


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3. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN CASO DISCRETO CASO CONTINUO:

Ejemplos


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Algunas DISTRIBUCIONES Continuas

1. UNIFORME U(a, b)

Una variable aleatoria X se dice que sigue una distribución uniforme en donde son números reales, , si tiene la siguiente función de densidad

Esta distribución se puede emplear en problemas en los que la probabilidad se reparte por igual en todo el intervalo.Propiedades: Media: . Varianza:


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2. EXPONENCIAL ()

Se dice que X tiene distribución exponencial de parámetro , que se denotará por X Exp() y su función de densidad viene dada por:

Esta distribución se puede emplear en problemas en los que la probabilidad se reparte por igual en todo el intervalo.Propiedades: Media: . Varianza:


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2. EXPONENCIAL () Ejemplo: Tiempo que tarda una cierta cantidad de una substancia radiactiva en reducir su masa a la mitad. Tiempo transcurrido entre la llegada de dos clientes consecutivos a una tienda.


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Algunas DISTRIBUCIONES Discretas

1. BERNOULLIUn experimento aleatorio se dice que es de Bernoulli cuando únicamente puede tener

dos resultados mutuamente excluyentes; uno de ellos se denomina “éxito” y el otro “fracaso”.

Ejemplos: Los resultados “cara” o “cruz” en el lanzamiento de una moneda. Las piezas “defectuosa” o “no defectuosa” en el control de calidad de un producto. Resultado “exitoso” o “fallido” de la petición a un servidor.

Sea X una v. a. asociada a un experimento de Bernoulli entonces:

Distribución de probabilidad:


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1. BERNOULLIPropiedades: Media: . Varianza:


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2. POISSON

La distribución de Poisson suele emplearse para representar experimentos en los que se analiza el número de veces que ocurre cierto suceso en un intervalo (en general de tiempo).

Sea la variable X = número de veces que ocurre el suceso, se dice que sigue una distribución de Poisson de parámetro , X P(). Los valores de la variable son {0, 1, 2, . . . k . . .} con probabilidades:

Distribución de probabilidad:

Propiedades Media: . Varianza:


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2. POISSON

Ejemplos: El número de partículas emitidas por una substancia radiactiva en una hora. El número de mensajes que llegan a un servidor de correo durante una hora.


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GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS

Existen varios métodos para generar variables aleatorias: Método de la transformada inversa Método de transformación directa Método de aceptación-rechazo Método de convolución.


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Método de la transformada inversa para distribuciones continuas El método de la transformada inversa puede utilizarse para simular variables aleatorias continuas, lo cual se logra mediante la función acumulada F(x) y la generación de números pseudoaleatorios ri ~U (0,1). El método consiste en: Definir la función de densidad f(x) que representa la variable a modelar. Calcular la función acumulada F(x) de la distribución f(x). Despejar la variable aleatoria x y obtener la función acumulada inversa F-1 (x) Generar las variables aleatorias x, sustituyendo los valores con números pseudoaleatorios

ri ~U(0,1) en la función acumulada inversa.


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Distribución Uniforme general U(a, b).

Distribución Exponencial E(λ)


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Método de la transformada inversa para distribuciones discretas.

Metodología Paso 1: Calcular todos los valores de p(x) para la distribución propuesta. Paso 2: Calcular la acumulada F(x) para cada valor de x. Paso 3: Generar un valor ri. Verificar en F(x) a qué intervalo de x pertenece y ese será el

número aleatorio generado por la distribución propuesta.


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Método de la transformada inversa para distribuciones discretas.

Distribución de Bernoulli B(p):


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Ejemplo:

A partir de un generador de números aleatorios uniformes entre 0 y 1 se obtuvieron los valores 0.7814 y 0.5643. A partir de ellos simular:

Una variable aleatoria con distribución uniforme entre 15 y 19. Una variable aleatoria con distribución exponencial con media . Una variable aleatoria con distribución Bernoulli con


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MODELOS DE FLUJOS DE SISTEMAS ECONÓMICOS Y MODELOS DE LAS CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

Los diagramas de flujo son una serie de pasos secuenciales que representan de una manera tradicional los detalles algorítmicos de los procesos. Se utilizan principalmente en programación, economía y procesos industriales; dichos diagramas usan una nomenclatura simbólica con significados especiales, utilizaremos los Modelos de flujos (Diagrama de Flujos o Flujo gramas) para realizar simulaciones.


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Un diagrama de flujo es una representación pictórica de un algoritmo o de una parte del mismo, ayudan en la comprensión de la operación de las estructuras de control (Si, Mientras).Útil para determinar cómo funciona realmente el proceso para producir un resultado. El resultado puede ser un producto, un servicio, información o una combinación de las tres.


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Ejemplo:

Una empresa paga a sus 100 operarios semanalmente, de acuerdo con el número de horas trabajadas, a razón de P pesetas por hora y de 1,5. P pesetas por cada hora extra. Las horas extras son las que exceden de 40h. Simular por medio de un flujo grama el número de horas trabajadas y el valor de P calcule el salario que le corresponde.


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Generación de variables aleatorias Sub-Rutina: UNIFORME≪ ≫


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Generación de variables aleatorias Sub-Rutina: EXPO≪ ≫


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Formulación de las cadenas de Markov de primer orden

El conjunto de sucesos posibles es finito. La probabilidad del siguiente suceso depende de solamente del suceso inmediatamente

anterior. Estas probabilidades permanecen constantes con el tiempo.


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Funcionamiento del Proceso de Markov.𝑀𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎 𝑐𝑎 𝑀𝑜𝑛𝑒𝑟𝑎 𝑐𝑟

0.8 ca 0.2 cr

0.3 ca 0.7 cr


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Funcionamiento del Proceso de Markov.Ensayos Moneda ca Moneda cr 1 cr 2 ca 3 ca 4 ca 5 ca 6 ca 7 ca 8 cr 9 cr 10 ca 11 ca 12 ca 13 ca 14 cr 15 cr 16 cr 17 cr 18 cr 19 cr 20 cr


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Funcionamiento del Proceso de Markov.

Tiradas ca cr

1 0.5 0.5

2 0.55 0.45

3 0.575 0.425

4 0.5875 0.4125


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Procesos EstocásticosUn proceso estocástico se define como una colección indexada de variables aleatorias , donde el índice toma valores de un conjunto dado, es llamado el conjunto de los índices o parámetro de tiempo del proceso .Ejemplos: puede representar los niveles de inventario al final de la semana . En el tiempo 0, tengo $2. En los tiempos 1, 2,…, participo en un juego en el que

apuesto $1, con la probabilidad , gano el juego y con la probabilidad , pierdo el juego. El objetivo es incrementar el capital a $ 4, y cuando se logre se termina el juego; el juego también se termina si el capital se reduce a $ 0. ¿Cómo se define el proceso estocástico ?

La condición de una máquina en el momento del mantenimiento preventivo mensual es mala, regular o buena. ¿Cómo se define el proceso estocástico ?


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Procesos EstocásticosEspacio de estadoEjemplos: Si se considera un sistema de atención al público. Se puede definir el proceso

estocástico tomando número de clientes esperando en el instante Si en cambio se considera el proceso estocástico tal que tiempo de espera del n-

ésimo cliente,.


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Cadena de Markov Definición: Un proceso estocástico discreto en el tiempo es una cadena de

Markov, si para y los estados Las probabilidades condicionales de una cadena de Markov se llaman

probabilidades de transición (de un paso). Si para cada , para toda Entonces se dice que las probabilidades de transición (de un paso) son estacionarias. Así, tener probabilidades de transición estacionarias implica que las probabilidades de transición no cambian con el tiempo.


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Cadena de MarkovLa existencia de probabilidades de transición (de un paso) estacionarias también implica que, para cada , para toda Estas probabilidades condicionales se llaman probabilidades de transición de n pasos. Para simplificar la notación de las probabilidades de transición estacionarias, sea


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Cadena de MarkovCuando observe que . Como las son probabilidades condicionales, deben ser no negativas y, como el proceso debe hacer una transición a algún estado, deben satisfacer las propiedades , para toda y ; para toda ;


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Cadena de Markov


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Cadena de MarkovREPRESENTACIÓN GRAFICA DE UNA MATRIZ DE TRANSICIÓN:


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Cadena de MarkovEjemplo: El clima en el departamento de Caaguazú puede cambiar con rapidez de un día a otro. Sin

embargo, las posibilidades de tener clima seco (sin lluvia) mañana es de alguna forma mayor si hoy está seco, es decir, si no llueve. En particular, la probabilidad de que mañana esté seco es de 0.8 si hoy está seco, pero es de solo 0.6 si hoy llueve. Estas probabilidades no cambian si se considera la información acerca del clima en los días anteriores a hoy. Formular la matriz de transición.

Considere el siguiente modelo del valor de una acción. Al final de un día dado se registra

el precio. Si la acción subió, la probabilidad de que suba mañana es de 0.7. Si la acción bajó, la probabilidad de que suba mañana es de sólo 0.5. (Para simplificar, cuando la acción permanezca con el mismo precio se considerará un aumento). Formular la matriz de transición.


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Cadena de MarkovEjemplo: Suponga que el modelo de mercado de acciones se cambia de manera que el hecho

de que una acción suba mañana depende de que haya subido hoy y ayer. En particular, si la acción subió los dos días, ayer y hoy, la probabilidad de que suba mañana es de 0.9. Si la acción subió hoy pero ayer bajó, la probabilidad de que mañana suba es de 0.6. Si la acción bajó hoy pero ayer subió, la probabilidad de que mañana suba es de 0.5. Por último, si bajó durante estos dos días, la probabilidad de que mañana suba es de 0.3

Suponga que un jugador tiene 1 dólar y que cada jugada gana 1 dólar con probabilidad o pierde 1 dólar con probabilidad El juego termina cuando el jugador acumula 3 dólares o cuando quiebra. Elaborar la matriz de transición.


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Cadena de MarkovEjemplo: Un profesor de ingeniería adquiere una computadora nueva cada dos años. El profesor puede elegir de

entre tres modelos ,. Si el modelo actual es , la siguiente computadora puede ser con probabilidad 0.2, o con probabilidad 0.15. Si el modelo actual es , la probabilidad de cambiar a y son 0.6 y 0.25, respectivamente. Pero si el modelo actual es , entonces las probabilidades de comprar los modelos y son 0.5 y 0.1, respectivamente. Represente la situación como una cadena de Markov.

Suponga que la ocupación de cada persona puede clasificarse como de profesional,Calificado o no calificado. Suponga, además, que siempre es cierto que de los hijosde profesionales 70% son profesionales, 20% calificados y 10% no calificados, de los hijos de personas calificadas, 60% son calificados, 20% son profesionales y 20% son no calificados y de los hijos de personas no calificadas, 20% son profesionales, 30% son calificados y 50% no calificados. Suponga que el número total de personas con una ocupación es el mismo en cada generación y que en la generación actual, 35% son profesionales, 35% calificados y 30% no calificados. Encuentre la matriz de transición. Halle la distribución de trabajos después de una generación y después de dos generaciones.


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Cadena de Markov Ecuaciones de Chapman - KolmogorovDada la matriz de transición de una cadena de Markov y el vector de probabilidades iniciales las probabilidades absolutas después de transiciones se calculan como sigue:

La matriz se conoce como la matriz de transición de n pasos. A partir de estos cálculos, podemos ver que:

Y

Estas se conocen como ecuaciones de Chapman – Kolmogorov.


Simulación

Cadena de MarkovEjemplo: El clima en el departamento de Caaguazú puede cambiar con

rapidez de un día a otro. Sin embargo, las posibilidades de tener clima seco (sin lluvia) mañana es de alguna forma mayor si hoy está seco, es decir, si no llueve. En particular, la probabilidad de que mañana esté seco es de 0.8 si hoy está seco, pero es de solo 0.6 si hoy llueve. Estas probabilidades no cambian si se considera la información acerca del clima en los días anteriores a hoy.

Si el clima está en el estado seco en un día particular, ¿cuál es la probabilidad de que el clima este seco dos días después?

Determinar las probabilidades del estado del clima tres, cuatro o cinco días a futuro?


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Cadena de MarkovEjemplo:

Suponga que toda la industria de bebidas de cola produce sólo dos. Dado que una persona la última vez compró cola 1, hay 90% de probabilidades de que su siguiente compra sea cola 1. Dado que la última compra de una persona fue cola, hay 80% de probabilidades de que su siguiente compra sea cola 2. Si una persona en la actualidad es comprador de cola 2, ¿cuál es la

probabilidad de que compre cola 1 dos veces a partir de ahora? Si una persona en la actualidad es comprador de cola 1, ¿cuál es la

probabilidad de que compre cola 1 tres ocasiones a partir de ahora?


Simulación

Cadena de Markov Aplicación de la cadena de Markov. Participación en los mercados.

Marca

A la marca

1 2 3 4 5

1 largo 0.60 0.03 0.15 0.20 0.02

2 Fuertes 0.02 0.40 0.30 0.20 0.08

3 Suaves 0.15 0.25 0.30 0.25 0.05

4 Vaqueros 0.15 0.02 0.10 0.70 0.03

5 Sabrosos 0.15 0.30 0.05 0.05 0.45

Marca Participación inicial en el mercado

1 0.10

2 0.25

3 0.05

4 0.35

5 0.25


Simulación

Cadena de Markov Aplicación de la cadena de Markov. Participación en los mercados.

(𝑆1)𝑖+1 = 0.6(𝑆1)𝑖 + 0.02(𝑆2)𝑖 + 0.15(𝑆3)𝑖 + 0.15(𝑆4)𝑖 + 0.15(𝑆5)𝑖 (𝑆2)𝑖+1 = 0.03(𝑆1)𝑖 + 0.40(𝑆2)𝑖 + 0.25(𝑆3)𝑖 + 0.02(𝑆4)𝑖 + 0.30(𝑆5)𝑖 (𝑆3)𝑖+1 = 0.15(𝑆1)𝑖 + 0.30(𝑆2)𝑖 + 0.30(𝑆3)𝑖 + 0.10(𝑆4)𝑖 + 0.05(𝑆5)𝑖 (𝑆4)𝑖+1 = 0.20(𝑆1)𝑖 + 0.20(𝑆2)𝑖 + 0.25(𝑆3)𝑖 + 0.70(𝑆4)𝑖 + 0.05(𝑆5)𝑖 (𝑆5)𝑖+1 = 0.02(𝑆1)𝑖 + 0.08(𝑆2)𝑖 + 0.05(𝑆3)𝑖 + 0.03(𝑆4)𝑖 + 0.45(𝑆5)𝑖


Simulación

Cadena de MarkovProbabilidades de Estado estable

Las probabilidades de estado estable se definen como

Estas probabilidades, las cuáles son independientes de , se pueden determinar de las ecuaciones

Una de las ecuaciones en es redundante. Lo que dice es que las probabilidades permanecen sin cambiar después de una transición adicional, y por esta razón representa la distribución de estado estable.


Simulación


Un subproducto directo de las probabilidades de estado estable es la determinación del número esperado de transiciones antes de que el sistema regrese a un estado j por primera vez. Esto se conoce como tiempo medio del primer retorno o tiempo medio de recurrencia, y se calcula en una cadena de Markov de n estados como


Simulación


Cada año, durante la temporada de siembra de marzo a setiembre, un jardinero realiza una prueba química para verificar la condición de la tierra. Según el resultado de la prueba, la productividad en la nueva temporada puede ser uno de tres estados: (1) buena, (2) regular y (3) mala. A lo largo de los años, el jardinero ha observado que la condición de la tierra del año anterior afecta la productividad del año actual y que la situación se describe mediante la siguiente cadena de Markov:


Simulación


El jardinero modifica las probabilidades de transición P utilizando un fertilizante orgánico. En este caso, la matriz de transición se vuelve:

Gracias por su atención.

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