Alfredo Olvera GAlfredo Olvera Góómezmez

Flujo MultifFlujo Multifáásico y Transportesico y Transporte

1.1. Ecuaciones que Gobernantes Ecuaciones que Gobernantes 2.2. EcuaciEcuacióón de Balance de Masan de Balance de Masa3.3. Ley de Darcy para Flujo Ley de Darcy para Flujo

MultifMultifáásicosico4.4. PresiPresióón Capilar y Ecuaciones n Capilar y Ecuaciones

GobernantesGobernantes

ObjetivosObjetivos: determinar las ecuaciones que : determinar las ecuaciones que gobiernan el flujo de fluidos en medios porosos y gobiernan el flujo de fluidos en medios porosos y determinar los factores que influyen en dichas determinar los factores que influyen en dichas ecuaciones.ecuaciones.

Ecuaciones que GobernantesEcuaciones que Gobernantes

Usualmente tomamos una aproximación matemática para analizar los sistemas de interés. Nosotros escribiremos solamente ecuaciones generales, después las simplificaremos así que podemos derivar algunos resultados prácticos que proporcionan ideas dentro del comportamiento del problema bajo consideración y provee cuantitativas herramientas para la respuesta del sistema estudiado.

Comenzaremos por escribir el balance de masa para describir las partes relevantes del sistema, sin embargo el aumento de las ecuaciones de balance con material-dependiente constitutivo.

EcuaciEcuacióón de Balance de Masan de Balance de MasaConsideremos en general un sistema de dos fluidos en un medio poroso el cual se representa esquemáticamente en la figura 11.1. La figura muestra dos fluidos en la tierra. Para un sistema que contiene un par de fluidos y el sólido, uno de los fluidos tiende a ser más fuerte que otro que se atrae a la superficie sólida. A tal fluido se le conoce como mojable y consecuentemente al otro se le conoce como no mojable

Definición: se define como mojabilidad a la capacidad que tiene el líquido a esparcirse o adherirse sobre una superficie sólida en presencia de otro fluido.

Si denotamos a los dos fluidos w (para la fase mojante) y nw(para la fase no mojante), entonces podemos escribir una afirmación de balance de masa para cada fluido, basados en un balance como el caso de una fase simple. Para el sistema descrito en la figura 11.1, podemos escribir la siguiente afirmación de balance de masa definida por el cubo elemental.

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

.

//

//

//

//

zyxtQ

yxtqq

zxtqqzytqqzyxSS

2zz2zz

2yy2yy

2xx2xx

zz

yy

xx

2tt2tt

ΔΔΔΔρ

ΔΔΔρρ

ΔΔΔρρΔΔΔρρΔΔΔερερ

αα

αααα

αααα

αααα

Δαα

Δαα

ΔΔ

ΔΔ

ΔΔ

+

−+

−+

−=−

−+

−+

−+

−+

(11.1)

En la ecuación (11.1), α denota un fluido en particular (α=w o nw), ρw es la densidad del fluido en la fase α, ε es la porosidad, Sα es la saturación en la fase α, qα el flujo volumétrico o la velocidad del fluido, Qα denota la fuente de la masa. El balance de masa del fluido está escrito alrededor del punto (X,t)=(x,y,z,t) y todos los términos en la ecuación son interpretados han sido promediados con la representación elemental de volumen. El resultado de la ecuación de balance de masa para un fluido α.

( ) ( ) ( ) ( ) αααααααααα ρρρρερ Qq

tq

tq

tS

t zyx =∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

( ) ( ) αααααα ρρερ QqS

t=⋅∇+

∂∂

Usando la notación de divergencia obtenemos

(11.3)

(11.2)

Ley de Darcy para Flujo MultifLey de Darcy para Flujo Multifáásicosico

Recordamos el experimento de Darcy de 1856 proviene la formulación de la ecuación para el análisis de flujo de agua subterránea. Darcy llevo a cabo experimentos usando la columna saturada de tierra homogénea y buscaba que el volumen volumétrico es proporcional al gradiente de carga hidráulica. El coeficiente de proporcionalidad es llamado conductividad hidráulica. La forma de la ecuación de Darcy queda de la siguiente forma.

hKq ∇−= (11.4)

La conductividad hidráulica está compuesta de la permeabilidad intrínseca k, la densidad del fluido ρ y la viscosidad μ y la constante de gravedad g con K=kρg/μ.Como pudimos observar anteriormente la permeabilidad intrínseca puede tener diferentes valores para el flujo en diferentes direcciones, por eso requiere de un tensor (matriz) para tomar el caso anisotrópico.

La expresión más general de la ley de Darcy trata las componentes de la carga hidráulica, llamada presión de elevación por separado.

( )gpkq ρμ

−∇−=

donde g es el vector de aceleración de la gravedad; además, g es su magnitud; μ es la viscosidad dinámica del fluido; k es el 'tensor de permeabilidad intrínseca'; p es la presión del fluido; ρ se le llama simplemente permeabilidad.

(11.5)

Esas consideraciones llevan a la forma más general de la ecuación de Darcy la cual se toma directamente de (11.4) y se obtiene:

Si consideramos a z como la altura respecto a un nivel de referencia dado y la coordenada x3=z, entonces el vector aceleración de la gravedad se puede expresar como:

zgg ∇= ˆˆ

Consideremos la ley de Darcy para el caso de dos fluidos en un medio poroso, para tal caso hay que tomar en cuenta:

•El impacto que existe en la fórmula de Darcy con más de un fluido.

•El coeficiente de permeabilidad es un factor que afecta de manera particular a un fluido determinado.

•La permeabilidad depende del tamaño del poro. Esto significa que dado el gradiente de potencial produce un flujo bajo o inversamente, un largo potencial produce un flujo alto.

•La reducción de la permeabilidad por cambios de la saturación.

Suponemos tener dos sistemas:

•El primero totalmente saturado, con fluido no mojante

•Y el segundo con solamente la mitad de los poros llenos y con fluido no mojante.

Si el mismo gradiente potencial del gradiente es aplicado a ambos sistemas y las muestras son de manera idénticas, el flujo de fluido no mojante, en el caso parcialmente saturado será menor que el flujo en el caso saturado.

La razón de esos dos fluidos la tasa es una medida de la reducción del flujo debido a la variable de la saturación.

Nos referimos a la razón como a la permeabilidad relativa, krnw, donde el subíndice r denota la relatividad y nw denota la fase no mojante.

La función de la permeabilidad relativa puede ser definida por la razón de flujo como una función de la saturación.

( ) satra qSqSkα

ααα =

donde α de nota el fluido, qαsat denota el fluido totalmente saturado, que es Sα=1.

Antes de escribir la ecuación de Darcy para flujo multifásico, necesitamos introducir conceptos adicionales para el cual regresar en breve con más detalles. En un sistema multifásico, cada fluido tiene su propia presión, relacionadas. Con estos conceptos de permeabilidad relativa y la presión de cada fluido podemos regresar a la definición de la velocidad de Darcy para flujo multifásico.

Regresando a la ecuación de Darcy escrita en la ecuación (11.5) puede ser rescrita del lado derecho tomando en cuenta la permeabilidad relativa, de tal forma que la velocidad de Darcy para flujo multifásico queda de la siguiente forma:

( )gpkkq rαα

α

αα ρ

μ−∇−= (11.6)

donde g es el vector de aceleración de la gravedad; μ es la viscosidad dinámica del fluido; k es el 'tensor de permeabilidad intrínseca'; p es la presión del fluido; r es la fase; krα es la permeabilidad relativa de cada fase; ρα la densidad del fluido.

Este simple argumento heurístico acerca de la dependencia de la saturación sobre la permeabilidad, nace por muchas observaciones experimentales. La figura 11.2 muestra la forma típica del funcionamiento para la función de la permeabilidad relativa, para un sistema de dos fluidos.

Observaciones:

•Las curvas no son lineales, algunas curvas no lineales se pueden adecuar con polinomios, frecuentemente de grado 3.

•La curva de la permeabilidad relativa para un fluido dado parece irse a cero en los valores grandes de la saturación.

PresiPresióón Capilar y Ecuaciones Gobernantesn Capilar y Ecuaciones Gobernantes

( ) ( ) αααα

α

αααα ρρμ

ρερ QgpkkSt

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∇⋅∇−

∂∂

(11.7)

Si remplazamos el fluido volumétrico en la ecuación (11.3) y la sustituimos en la ecuación para flujo multifásico (11.6), entonces tenemos la siguiente ecuación para cada fase α.

Las incógnitas primarias en la ecuación (11.7) son las dos presiones de los fluidos y las saturaciones. Suponemos que se conoce la densidad del fluido, la porosidad, la fuente, por lo tanto obtenemos dos ecuaciones y cuatro incógnitas para los dos fluidos.

Una tercera ecuación surge del simple argumento de volumen, por definición de todo el espacio vació debe estar lleno con fluido. Esto conduce al volumen constante.

1Sfluid

=∑α

α

Esto proporciona una tercera ecuación. Por lo tanto sólo necesitamos una ecuación más para cerrar el sistema.

Al final la ecuación es casi siempre tiende a ser una relación entre la saturación del fluido Sα y la diferencia en la presión entre los fluidos no mojantes y mojantes, el cual se define como presión capilar Pc.

Definición. La presión capilar es la diferencia de presión que existe a lo largo de la interfase que separa a dos fluidos. Si se tiene conocimiento de la mojabilidad, la presión capilar será definida como la diferencia de presión entre las fases no-mojante y mojante (la presión capilar siempre serápositiva).

wnwc p-p=pPara poder entender la física básica de está relación, necesitamos examinar un sistema multifásico en la escala porosa. Para poder entender como el sistema se comporta, considere un tubo delgado con fluido mojable en un extremo se sumerge en un fluido mojable y en el otro extremo en un fluido no mojable con respecto al material sólido que estáconstruido el tubo.

Suponemos que los dos fluidos comienzan con la misma presión. Ahora incrementamos un poco la presión en el fluido no mojante. Este giro que responde la interfase para las diferencias de presiones por deformación, tal que logra una curva diferente de cero y si se sigue incrementa la presión del fluido no mojante está curvatura se incrementa.

Consideremos el sistema mostrado en la figura 11.3, donde el fluido no mojante empuja nuevamente la interfase con presión pnw, el fluido mojante presiona de regreso y la interfase tiene una fuerza de atracción con respecto alrededor del sólido.

Entonces tenemos un sistema donde actúan dos presiones en el área, mientras una fuerza relacionada a la actúa a lo largo de la línea de contacto entre los dos fluidos y el sólido, el cual llamamos línea de contacto. Si ahora llevamos acabo una fuerza de balance en dirección al eje del tubo, y suponeos que tiene radio R, entonces tenemos

( ) wnws

wnw2 R2R .,wnw cosp-p θσππ = (11.9)

donde σnw,w denotan fuerza por unidad de longitud (alrededor de la circunferencia de contacto) debido a las interfaces.

( )R

2pwnw

swnw

c

.,

wnwcosp-p θσ

== (11.10)

Este término, σαβ, el cual es una medida de la “fuerza” de la interfaz, es llamada tensión interfacial. La ecuación (11.9) puede ser cambiada para dar una expresión relación presión capilar para las propiedades de la interfase.

Para sistemas de forma más compleja la ecuación (11.10) cambia debido por diferentes expresiones geométricas, pero la forma general de la relación permanece la misma, con presión capilar directamente proporcional a la tensión interfacial y al ángulo de contacto e inversamente proporcional a la medida “efectiva del radio” del poro abierto.