Resolución de ProblemasResolución de Problemas

Una situaciónsignificativa decontenido matemáticoque implica unadificultad, cuyasolución requiere deun proceso dereflexión, búsquedade estrategias y tomade decisiones.

Una situaciónsignificativa decontenido matemáticoque implica unadificultad, cuyasolución requiere deun proceso dereflexión, búsquedade estrategias y tomade decisiones.

Encontrar el camino allídonde no se conocíapreviamente caminoalguno.

Encontrar la forma desalir de una dificultad.

Hallar la forma desuperar un obstáculo.

Lograr lo que uno sepropone, utilizando losmedios adecuados.

Encontrar el camino allídonde no se conocíapreviamente caminoalguno.

Encontrar la forma desalir de una dificultad.

Hallar la forma desuperar un obstáculo.

Lograr lo que uno sepropone, utilizando losmedios adecuados.

Etapas en la Resolución deProblemas según Polya

Etapas en la Resolución deProblemas según Polya

Ver claramente lo que se pide¿Cuál es la incógnita?¿Cuáles son los datos?¿Cuál es la condición? ¿essuficiente para determinar laincógnita? ¿Es insuficiente?¿Redundante? ¿Contradictoria?

Ver claramente lo que se pide¿Cuál es la incógnita?¿Cuáles son los datos?¿Cuál es la condición? ¿essuficiente para determinar laincógnita? ¿Es insuficiente?¿Redundante? ¿Contradictoria?

Por ejemplo:Usar objetos para representar lasituación problemática.Dibujar esquemas para visualizarel problema.Buscar la solución poraproximación.Construir una tabla de datos.

Por ejemplo:Usar objetos para representar lasituación problemática.Dibujar esquemas para visualizarel problema.Buscar la solución poraproximación.Construir una tabla de datos.

Encontrar las relaciones que existen entre losdiversos elementos.Ver que liga la incógnita con los datos.Encontrar la idea de la solución y trazar unplan.

Tenemos un plan cuando sabemos, al menos a“grosso modo” , qué cálculos, querazonamientos o construcciones se debenefectuar para determinar la incógnita.

Encontrar las relaciones que existen entre losdiversos elementos.Ver que liga la incógnita con los datos.Encontrar la idea de la solución y trazar unplan.

Tenemos un plan cuando sabemos, al menos a“grosso modo” , qué cálculos, querazonamientos o construcciones se debenefectuar para determinar la incógnita.

Encontrar problemas relacionados(incógnita o enunciados similares)Utilizar la solución o método desolución de un problemaanteriormente resuelto.Enunciar el problema de otraformaImaginar un problema análogo,más general o más específico.Resolver una parte del problema.

Encontrar problemas relacionados(incógnita o enunciados similares)Utilizar la solución o método desolución de un problemaanteriormente resuelto.Enunciar el problema de otraformaImaginar un problema análogo,más general o más específico.Resolver una parte del problema.

Considerar una parte de la condición;descartar el resto ¿varía la incógnita?Deducir algún elemento de los datos.Buscar datos apropiados para laincógnita.Cambiar la incógnita, o los datos, oambos.Revisar si se ha empleado todos losdatos, condiciones. Considerar quénociones son necesarias pararesolver el problema.

Considerar una parte de la condición;descartar el resto ¿varía la incógnita?Deducir algún elemento de los datos.Buscar datos apropiados para laincógnita.Cambiar la incógnita, o los datos, oambos.Revisar si se ha empleado todos losdatos, condiciones. Considerar quénociones son necesarias pararesolver el problema.

Al ejecutar su plan de lasolución, compruebe cada uno delos pasos y asegúrese que loscálculos estén correctos.

Al ejecutar su plan de lasolución, compruebe cada uno delos pasos y asegúrese que loscálculos estén correctos.

Verificar cada paso Tener cuidado que cada paso sea

el correcto Demostrar o contrastar

constantemente

Verificar cada paso Tener cuidado que cada paso sea

el correcto Demostrar o contrastar

constantemente

Es volver atrás una vezencontrada la solución,revisarla y discutirla.

Es volver atrás una vezencontrada la solución,revisarla y discutirla.

Verificar el resultado Verificar el razonamiento Buscar otras formas para obtener el

resultado Observar la solución de manera general. Emplear el resultado o el método en algún

otro problema.

Verificar el resultado Verificar el razonamiento Buscar otras formas para obtener el

resultado Observar la solución de manera general. Emplear el resultado o el método en algún

otro problema.

Cada una de estas fases es importante. Puede suceder que a uno se le ocurra por

casualidad una idea excepcionalmentebrillante y vaya directamente a la solución.Puede llegarse a un resultado no deseado,desafortunado, si el alumno descuidacualquiera de las cuatro fases. Además, estono sucede todo el tiempo.

Cada una de estas fases es importante. Puede suceder que a uno se le ocurra por

casualidad una idea excepcionalmentebrillante y vaya directamente a la solución.Puede llegarse a un resultado no deseado,desafortunado, si el alumno descuidacualquiera de las cuatro fases. Además, estono sucede todo el tiempo.

Hay alumnos que se lanzan a hacercálculos o construcciones sin habercomprendido el problema.Es inútil ocuparse de los detallessin haber trazado un plan previo.Se puede evitar muchos errores siel alumno verifica cada paso alllevar al cabo el plan.Los mejores resultados puedenperderse si el alumno noreconsidera la solución obtenida.

Hay alumnos que se lanzan a hacercálculos o construcciones sin habercomprendido el problema.Es inútil ocuparse de los detallessin haber trazado un plan previo.Se puede evitar muchos errores siel alumno verifica cada paso alllevar al cabo el plan.Los mejores resultados puedenperderse si el alumno noreconsidera la solución obtenida.

A través del siguiente ejemplo se estableceun posible diálogo entre un maestro y susalumnos:Problema:Rosa ha comprado un diccionario por S/.42,7 ; un cuento por S/. 12,8 ; una camisapor S/. 35 y un atlas por S/. 54 ¿ Cuántogastó Rosa en libros?

A través del siguiente ejemplo se estableceun posible diálogo entre un maestro y susalumnos:Problema:Rosa ha comprado un diccionario por S/.42,7 ; un cuento por S/. 12,8 ; una camisapor S/. 35 y un atlas por S/. 54 ¿ Cuántogastó Rosa en libros?

a) ¿Cuál es la incógnita?b) ¿Cuáles son los datos?c) ¿Cuál es la condición?d) ¿Es suficiente la condición

para determinar la incógnita?¿insuficiente?

e) ¿Hay algún dato innecesario?

a) ¿Cuál es la incógnita?b) ¿Cuáles son los datos?c) ¿Cuál es la condición?d) ¿Es suficiente la condición

para determinar la incógnita?¿insuficiente?

e) ¿Hay algún dato innecesario?

a) Cuánto gastó Rosa en libros.b) Diccionario: S/. 42,7 ; cuento: S/.

12,8 ; camisa: S/. 35 y atlas: S/.54

c) Rosa ha realizado una compra yqueremos encontrar el total degasto en libros

d) La condición es suficientee) El precio de la camisa.

a) Cuánto gastó Rosa en libros.b) Diccionario: S/. 42,7 ; cuento: S/.

12,8 ; camisa: S/. 35 y atlas: S/.54

c) Rosa ha realizado una compra yqueremos encontrar el total degasto en libros

d) La condición es suficientee) El precio de la camisa.

a) ¿Conocen un problema que relacione a este?b) Consideren la incógnita ¿Conocen algún

problema que tuviese la misma incógnita?c) ¿Conocen algún problema que tuviese una

incógnita similar?d) ¿Pueden utilizarlo?e) Recuerde que si aun no puede concebir el

plan, puede enunciar el problema de otraforma o plantear otro similar más accesible.

a) ¿Conocen un problema que relacione a este?b) Consideren la incógnita ¿Conocen algún

problema que tuviese la misma incógnita?c) ¿Conocen algún problema que tuviese una

incógnita similar?d) ¿Pueden utilizarlo?e) Recuerde que si aun no puede concebir el

plan, puede enunciar el problema de otraforma o plantear otro similar más accesible.

El profesor debe insistir en que el alumnoverifique cada paso.

¿Pueden ver claramente que el paso escorrecto?

¿Pueden demostrarlo?

El profesor debe insistir en que el alumnoverifique cada paso.

¿Pueden ver claramente que el paso escorrecto?

¿Pueden demostrarlo?

S/. 42,7+

S/. 12,8S/. 54,0

S/. 109,5S/. 109,5

¿Pueden verificar el resultado?, ¿Puedenverificar el razonamiento?

¿Pueden obtener el resultado con otroprocedimiento?

¿Pueden emplear el resultado en otrasituación o problema?

¿Pueden verificar el resultado?, ¿Puedenverificar el razonamiento?

¿Pueden obtener el resultado con otroprocedimiento?

¿Pueden emplear el resultado en otrasituación o problema?

S/. 42,7 + S/. 12,8 + S/.54

S/. 55,5 + S/. 54S/. 55,5 + S/. 54

S/. 109,5

¿Qué podemos hacer sidetectamos que nuestros

alumnos tienen dificultadesen algunas de las etapas?

¿Qué podemos hacer sidetectamos que nuestros

alumnos tienen dificultadesen algunas de las etapas?

Identificar datos que faltan oque sobran.Buscar datos en textos, tablas ygráficos.Inventar datos, preguntas yenunciados.Seleccionar preguntas.

Identificar datos que faltan oque sobran.Buscar datos en textos, tablas ygráficos.Inventar datos, preguntas yenunciados.Seleccionar preguntas.

Elegir las operaciones.Hacer esquemas.Representar la situaciónutilizando objetosconcretos.

Elegir las operaciones.Hacer esquemas.Representar la situaciónutilizando objetosconcretos.

Resolver las operacionesseleccionadas.Empezar por el final.Resolver con ayuda de ungráfico.Encontrar el error.

Resolver las operacionesseleccionadas.Empezar por el final.Resolver con ayuda de ungráfico.Encontrar el error.

Verificar si la respuesta halladaes lógica y pertinente.Elegir la respuesta correcta.Buscar otra forma de resolverel problema.Cambiar los datos y verificarque la respuesta también seacoherente.

Verificar si la respuesta halladaes lógica y pertinente.Elegir la respuesta correcta.Buscar otra forma de resolverel problema.Cambiar los datos y verificarque la respuesta también seacoherente.

Problemas de combinación Problemas de cambio Problemas de comparación Problemas de igualación Problemas de composición Problemas de transformación Problemas de transformación sobre estados

relativos.

Problemas de combinación Problemas de cambio Problemas de comparación Problemas de igualación Problemas de composición Problemas de transformación Problemas de transformación sobre estados

relativos.

Son aquellos en cuyos enunciadosse describe una relación entreconjuntos que responden a laestructura parte-parte-todo. Lapregunta del problema puedeversar acerca del todo o acerca deuna de las partes.

Son aquellos en cuyos enunciadosse describe una relación entreconjuntos que responden a laestructura parte-parte-todo. Lapregunta del problema puedeversar acerca del todo o acerca deuna de las partes.

N° PROBLEMAS DE COMBINACIÓNN° PROBLEMAS DE COMBINACIÓN

1 Hay 15 varones. Hay 25 mujeres. ¿Cuántas personas hay?

2 Hay 15 varones. Hay 40 personas. ¿Cuántas mujeres hay?

Son aquellos problemas en cuyosenunciados están establecidasrelaciones lógicas aditivas en unasecuencia temporal de sucesos.Las tres cantidades que aparecenen los enunciados de esta clase deproblemas reciben los nombres decantidad inicial, final y de cambio.

Son aquellos problemas en cuyosenunciados están establecidasrelaciones lógicas aditivas en unasecuencia temporal de sucesos.Las tres cantidades que aparecenen los enunciados de esta clase deproblemas reciben los nombres decantidad inicial, final y de cambio.

N ° PROBLEMAS DE CAMBIO1 Samuel tenía a. Le dan b. ¿Cuánto tiene ahora?2 Sara tiene a. Da b. ¿Cuántos le quedan?3 Rosa tenía a. Samiq le dio algunos. Ahora tiene c.

¿Cuántos le dio Samiq?Rosa tenía a. Samiq le dio algunos. Ahora tiene c.¿Cuántos le dio Samiq?

4 Elena tenía a. Dio algunos a Rosa. Ahora tiene c.¿Cuántos dio a Rosa

5 Sarai tenía algunos. Sara le dio b. Ahora tiene c.¿Cuántos tenía?

6 Rosa tenía algunos. Dio b a Tito. Ahora tiene c.¿Cuántos tenía?

Son aquellos problemas en cuyos enunciadosse presentan relaciones de comparación entredos cantidades. Estas cantidades sedenominan cantidades de referencia,cantidad comparada y de diferencia. Lacantidad comparada aparece a la izquierda dela expresión “más que” y “menos que” y lacantidad de referencia a su derecha.

Son aquellos problemas en cuyos enunciadosse presentan relaciones de comparación entredos cantidades. Estas cantidades sedenominan cantidades de referencia,cantidad comparada y de diferencia. Lacantidad comparada aparece a la izquierda dela expresión “más que” y “menos que” y lacantidad de referencia a su derecha.

N° PROBLEMAS DE COMPARACIÓN1 Samuel tiene a. Kusi tiene b. ¿Cuántos más tiene Kusi que

Samuel? (b>a)2 Samuel tiene a. Kusi tiene b. ¿Cuántos menos tiene Kusi

que Samuel? (a>b)3 Samuel tiene a. Kusi tiene c más que Samuel. ¿Cuántos

tiene Kusi?3 Samuel tiene a. Kusi tiene c más que Samuel. ¿Cuántos

tiene Kusi?

4 Samuel tiene a. Kusi tiene c menos que Samuel. ¿Cuántostiene Kusi?

5 Kusi tiene b. Kusi tiene c más que Samuel. ¿Cuántos tieneSamuel?

6 Kusi tiene b. Kusi tiene c menos que Samuel. ¿Cuántostiene Samuel?

Son aquellos en cuyos enunciados seestablecen relaciones comparativas entrecantidades, a través del comparativo deigualdad “tanto como”. Es similar a losproblemas de comparación, están presenteslos tres tipos de cantidades: de referencia,comparada y diferencia y la incógnita puedeser cualquiera de ellas.

Son aquellos en cuyos enunciados seestablecen relaciones comparativas entrecantidades, a través del comparativo deigualdad “tanto como”. Es similar a losproblemas de comparación, están presenteslos tres tipos de cantidades: de referencia,comparada y diferencia y la incógnita puedeser cualquiera de ellas.

N° PROBLEMAS DE IGUALACIÓN

1 Samiq tenía a. Wayta tiene b. ¿Cuánto tiene que ganar Waytapara tener tantos como Samiq?

2 Samiq tiene a. Wayta tiene b. ¿Cuántos tiene que perderWayta para tener tantos como Samiq?

3 Samiq tiene a. Wayta gana c, tendrá tantos como Samiq.¿Cuántos tiene Wayta?

3 Samiq tiene a. Wayta gana c, tendrá tantos como Samiq.¿Cuántos tiene Wayta?

4 Samiq tiene a. Si Wayta pierde c, tendrá tantos como Samiq.¿Cuántos tiene Wayta?

5 Wayta tiene b. Wayta gana c, tendrá tantos como Samiq.¿Cuántos tiene Samiq?

6 Wayta tiene b. Wayta pierde c, tendrá tantos como Samiq.¿cuántos tiene Samiq?

Problemas de Composición, en que dos cantidades deelementos de una colección se combinan para hallar unatercera.

En una bolsa hay 13 chapas de Coca Cola y 17chapas de Inca Kola. ¿Cuántas chapastenemos?

De las 25 flores en nuestro jarrón 14 sonmoradas. ¿Cuántas flores son blancas?

En una bolsa hay 13 chapas de Coca Cola y 17chapas de Inca Kola. ¿Cuántas chapastenemos?

De las 25 flores en nuestro jarrón 14 sonmoradas. ¿Cuántas flores son blancas?

Problemas de Transformación, en la que se produce unamodificación en el tiempo, se establece relaciones lógicas aditivasen una secuencia temporal de sucesos.

El paquete de velas tiene 5 velas, prendemos 2.¿Cuántas velas quedan sin prender?

Carlos tiene 25 chapas, se ha encontrado unabolsa de chapas y ahora tiene 48 chapas¿Cuántas chapas había en la bolsa?

El paquete de velas tiene 5 velas, prendemos 2.¿Cuántas velas quedan sin prender?

Carlos tiene 25 chapas, se ha encontrado unabolsa de chapas y ahora tiene 48 chapas¿Cuántas chapas había en la bolsa?

Problemas de Transformación sobre EstadosRelativos, en los que una transformación actúa sobre unestado relativo, para dar lugar a otro estado relativo.

Jean le debe a Esteban 9 flores. Si le devolvió 4flores ¿Cuántas flores le debe Jean a esteban?

Rosa le debe 12 velas a Marla. Si le devuelve 5velas ¿Cuántas velas le debe Rosa a Marla?

Jean le debe a Esteban 9 flores. Si le devolvió 4flores ¿Cuántas flores le debe Jean a esteban?

Rosa le debe 12 velas a Marla. Si le devuelve 5velas ¿Cuántas velas le debe Rosa a Marla?

Los problemas en cuyo enunciado no se sugiereimplícitamente el procedimiento a aplicar,iniciándose más en la búsqueda de unaestrategia para encontrar la solución.

Ejemplo:Apolonia debe pagar S/. 25 por una chompa.¿De cuántas maneras puede pagar si sólo tienemonedas de 1 y 5 nuevos soles y un billete de 10Nuevos Soles?

Los problemas en cuyo enunciado no se sugiereimplícitamente el procedimiento a aplicar,iniciándose más en la búsqueda de unaestrategia para encontrar la solución.

Ejemplo:Apolonia debe pagar S/. 25 por una chompa.¿De cuántas maneras puede pagar si sólo tienemonedas de 1 y 5 nuevos soles y un billete de 10Nuevos Soles?

Son aquellos problemas que tratan de un tipoparticular de sucesiones aritméticas simples,cuyo término general es de la forma f (n) =an + b, con a y b números enteros tales quea = 0, b = 0, a > 0 y a + b > 0(b puede ser un número entero negativo).

Son aquellos problemas que tratan de un tipoparticular de sucesiones aritméticas simples,cuyo término general es de la forma f (n) =an + b, con a y b números enteros tales quea = 0, b = 0, a > 0 y a + b > 0(b puede ser un número entero negativo).

EJEMPLO:Usando palitos, podemosconstruir escaleras dediferentes tamaños: en laconstrucción de la escaleracon 2 peldaños usamos………… palitos y en laconstrucción de la escaleracon 3 peldaños usamos………… palitos.

EJEMPLO:Usando palitos, podemosconstruir escaleras dediferentes tamaños: en laconstrucción de la escaleracon 2 peldaños usamos………… palitos y en laconstrucción de la escaleracon 3 peldaños usamos………… palitos.

1

2

Alicia compra un libro derecetas en 190 soles y se lovende a una amiga en 196soles. Al día siguiente Alicia lecompra el mismo libro a suamiga en 200 soles y lo vendea su vecina en 206 soles.¿Ganó o perdió? ¿Cuánto?

Alicia compra un libro derecetas en 190 soles y se lovende a una amiga en 196soles. Al día siguiente Alicia lecompra el mismo libro a suamiga en 200 soles y lo vendea su vecina en 206 soles.¿Ganó o perdió? ¿Cuánto?

Cuatro amigos van a comprar 11, 11,10 y 4 panes respectivamente.Aprovechando una oferta, van a unapanadería que, por la compra de 12panes obsequia dos panes. Si losamigos consiguen que se lesobsequie el mayor número de panesy todo lo obsequiado se le da al quecompra menos. ¿Cuántos panesllevará en total este último?

Cuatro amigos van a comprar 11, 11,10 y 4 panes respectivamente.Aprovechando una oferta, van a unapanadería que, por la compra de 12panes obsequia dos panes. Si losamigos consiguen que se lesobsequie el mayor número de panesy todo lo obsequiado se le da al quecompra menos. ¿Cuántos panesllevará en total este último?

El siguiente cuadromuestra laasistencia a unaasamblea depadres de familia.¿Qué porcentajerepresenta elnúmero de varonesrespecto delnúmero demujeres?

010203040

50607080

Mujeres Varones

El siguiente cuadromuestra laasistencia a unaasamblea depadres de familia.¿Qué porcentajerepresenta elnúmero de varonesrespecto delnúmero demujeres?

010203040

50607080

Mujeres Varones