UNIVERSIDAD FERMIN TORO

ESCUELAS DE INGENIERIAS

CATEDRA ESTRUCTURA DISCRETA I

REALIZADO POR

ARENAS WILLENNYS

Definición

un conjunto es una colección de objetos considerada como un

objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosas:

personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los

objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto

Conjunto

Universal

El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se

hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este

conjunto depende del problema que se estudia, se denota con

la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).

Diagrama de Venn

Los diagramas de Venn que de deben al filósofo inglés John Venn

(1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de

manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.

Formas de determinar un

Conjunto

Extensión

Cuando todos los

elementos son

enumerados uno a

uno

Comprensión

Cuando están dados

como dominio

proposicional, es decir,

los elementos de un

conjunto que cumplen

una condición dada

Definición

Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }

En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es

subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera,

decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de

A también.

Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B Ì A. Si B no es

subconjunto de A se indicará con una diagonal Ë .

Note que Î se utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì solo para

conjuntos.Relación de Inclusión

Es una relación conjunto - conjunto. Se dice que un conjunto A está

incluido en otro B, si todos los elementos del conjunto A pertenecen

al conjunto B.

Propiedades

REFLEXIVA

Todo conjunto

es

subconjunto

de si mismo.

ANTISIMETRICA

Si dados dos

conjuntos A y B se

verifica A B,

entonces se

deduce que B A.

TRANSITIVA.

Dados tres conjuntos

A, B y C, si se verifica

Conjuntos Vacios

Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto

nulo lo que denotamos por el símbolo Æ .

Por ejemplo:

Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A Ç B.

A Ç B= { }

El resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este

es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:

A Ç B=Æ

Unión

La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el

conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de

ellos ó a los dos. Lo que se denota por:

A È B = { x/x Î A ó x Î B }

Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }

A È B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }

Intersección

Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }

Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este

conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ç B,

algebraicamente se escribe así:

A Ç B = { x/x Î A y x Î B }

Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.

Intersección

En el siguiente ejemplo se muestra un gráfico de dos conjuntos

que tienen elementos en común:

Todos los elementos de A

están contenidos en B

Complemento

El complemento de un conjunto respecto al universo U es el

conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota

como A' y que se representa por comprehensión como:

A'={ x Î U/x y x Ï A }

Diferencia

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B

y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se

representa por comprehensión como:

A - B={ x/x Î A ; X Ï B }

Diferencia

Mediante el diagrama de Vann

Leyes de Idempotencia

A U A = A I A = A

A

Leyes Asociativas

A U (BUC) = (AUB) U C

A I (BIC) = (AIB) I C

Leyes Conmutativas

A U B = B U A

A I B = B I A

Leyes Distributivas

A U (B I C) = (A U B) I (A U C) I (B U C) = (A I B) U

(A I C)

A

Leyes de Identidad

A U f = A I f = f

A

Leyes de Dominación

A U U = U U: conjunto

universal

A I U = A

Leyes de Complementación

A U C(A) = U

A I C(A) = f f f) = U

C (C(A)) = A

C (U) =

C (

Leyes de De Morgan

C(A U B) = C(A) I C (B) I B) =

C(A) U C (B)

C(A

Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o producto

cartesiano de A y B como el conjunto Ax B = { (a,b) / aÎ B Ù bÎ B}

Ejemplo: Si A = {a,b} y B = {1,5,8}

entonces Ax B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)}

mientras que BxA = {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)}

Nótese que Ax B ¹ Bx A

Teorema. Si A,B,C son tres conjuntos entonces:

A x B = F Û A = F Ú B = F

A x (BUC) = (Ax B) U (Ax C)

Ax (B I C) = (Ax B) I (Ax C)

Ax(B -C) = (AxB) - (Ax C)