PAUL DIRAC

Javier García

¿Qué haré hoy?

PARTE II ¿Cómo llegó Dirac a su ecuación?

PARTE I ¿Quién fue Dirac?

PARTE I ¿Quién fue Dirac?

“En ciencia uno intenta decir a la gente, en una manera en que todos lo puedan entender, algo que nunca nadie supo antes. La poesía es exactamente lo contrario.”

PARTE I: ¿Quién fue Dirac?

Paul Dirac

Paul Adrien Maurice Dirac 8 de agosto de 1902 – 20 octubre de 1984. Físico teórico y matemático británico. Premio Nobel (1933) ‘Por el descubrimiento de nuevas formas productivas de la teoría atómica.’ Contribuciones más importantes: Formulación matemática de la mecánica cuántica, Ecuación de Dirac que describe a un electrón (fermión) relativista, predijo la antimateria.

PARTE I: ¿Quién fue Dirac?

PAUL DIRAC

PARTE I: ¿Quién fue Dirac?

PAUL DIRAC

Familia: Padre suizo y madre británica. Una hermana (Beatrice) y un Hermano (Felix) que se suicidó en 1924 a la edad de 26 años. Padre estricto. Infeliz de pequeño. Anécdota: Le obligaron a hablar en inglés con su madre y francés con su padre.

PARTE I: ¿Quién fue Dirac?

PAUL DIRAC

Educación: Bishop Primary School. Fue un excelente alumno. Los profesores solo notaban su presencia cuando cometían algún error en la pizarra. Aquí desarrolló su visión geométrica (dibujo técnico).

PARTE I: ¿Quién fue Dirac?

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Educación: Merchant Venturers Technical College (Bristol). Los profesores tuvieron serias dificultades para proporcionar problemas que supusieran un reto para Dirac. Estudió para ser ingeniero.

PARTE I: ¿Quién fue Dirac?

PAUL DIRAC

Epifanía: Pocos meses después de esta selfie de 1919, Einstein se convirtió en una celebridad a nivel mundial: Arthur Eddington y su expedición corroboraron experimentalmente la Teoría General de la Relatividad. Dirac deseó ser físico teórico a partir de este acontecimiento.

PARTE I: ¿Quién fue Dirac?

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Licenciado en matemáticas (Bristol University, 1923): Según sus propias palabras, tuvo el mejor profesor de matemáticas: Peter Fraser.

PARTE I: ¿Quién fue Dirac?

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Cambridge University: Aquí desarrolló casi toda su carrera. Quiso hacer el doctorado en Relatividad pero no le aceptaron. Finalmente su tutor fue Ralph H. Fowler, que estaba inmerso en las nueva teoría de la Mecánica Cuántica.

PARTE I: ¿Quién fue Dirac?

PAUL DIRAC

PhD: En su trabajo de tesis demostró que las teorías de Heisenberg y Schrödinger eran matemáticamente equivalentes. Además introdujo la notación bra-ket, que es usada hoy en día por la comunidad de físicos.

PARTE I: ¿Quién fue Dirac?

PAUL DIRAC

Ecuación de Dirac (1928): En este artículo postula su famosa ecuación y abre el camino a la antimateria y la electrodinámica cuántica.

Belleza: ‘Una teoría que pretenda describir la Naturaleza ha de poseer belleza matemática en sus ecuaciones.’ Características: visión geométrica, extremadamente reservado (1 Dirac), desinterés por las mujeres, extremadamente antifilosófico, Antireligioso,

PARTE I: ¿Quién fue Dirac?

PAUL DIRAC

PARTE II ¿Cómo llegó Dirac a su ecuación?

Problema matemático Encontrar a y b para que se cumpla:

x2 y2 ax by

9 3 3 3 9

Definición de raiz:

Debemos pedir:

ax byax by x2 y2

a2 b2 1 y ab 0

Pero es imposible porque:

ax byax by a2x2 b2y2 2abxy

Solución brillante de Dirac Impuso una condición:

ab ba

ax byax by a2x2 b2y2 ba abxy

Ahora tendremos:

¿Existen a y b que cumple estas nuevas ecuaciones?

a2 1 b2 1 ab ba 0

SÍ Pero solo sin a y b son MATRICES!

¿Cuáles son?

Solución brillante de Dirac Dirac probó con matrices 2x2:

a a11 a12

a21 a22

b b11 b12

b21 b22

No existe solución!

Probó con matrices 3x3:

a

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a32

b

b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b32

Tampoco hay solución!

Solución brillante de Dirac Y con matrices 4x4?

a

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a32 a34

a41 a42 a43 a44

b

b11 b12 b13 b14

b21 b22 b23 b24

b31 b32 b32 b34

b41 b42 b43 b44

SÍ QUE HAY SOLUCIÓN!

Solución brillante de Dirac Esta es la más sencilla:

a

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

b

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

a2 b2

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I ab ba

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Efectivamente estas matrices cumplen:

Solución brillante de Dirac Así que:

ax by

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

x

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

y

ax by

y 0 0 x

0 y x 0

0 x y 0

x 0 0 y

O bien:

Solución brillante de Dirac Precio a pagar: reformulación del problema a 4 dimensiones:

x2 y2 ax by

x2 y2 0 0 0

0 x2 y2 0 0

0 0 x2 y2 0

0 0 0 x2 y2

y 0 0 x

0 y x 0

0 x y 0

x 0 0 y

y 0 0 x

0 y x 0

0 x y 0

x 0 0 y

2

x2 y2 0 0 0

0 x2 y2 0 0

0 0 x2 y2 0

0 0 0 x2 y2

Ya que:

De Schrödinger a Dirac En aquella época había un método para “cuantizar” teorías: Si se sabe la expresión de la energía de un sistema, podemos postular la ecuación del movimiento de la función de onda.

E p2

2m i

t 1

2mi

x

2

Hamilton Schrödinger

una función escalar (no vectorial)

Y resultó que era una función: ψ

De Schrödinger a Dirac En relatividad la energía resulta ser un poco más “complicada”:

Einstein Dirac

Qué será en esta ocasión? ψ

E pc2 mc2 2

E pc2 mc2 2 ?

De Schrödinger a Dirac En relatividad la energía resulta ser un poco más “complicada”:

Einstein/Dirac Dirac

Qué será en esta ocasión? UN VECTOR!! ψ

E pc2 mc2 2

E apc bmc2 i t a ic

x bmc2

u

u1

u2

u3

u4

Eu apc bmc2 u

Espacio de momentos

Solución brillante de Dirac

Y esto no es más que un problema de valores propios de Bachillerato

Substituyendo el vector u y el resultado de la raiz con el truco de antes:

E

u1

u2

u3

u4

mc2 0 0 pc

0 mc2 pc 0

0 pc mc2 0

pc 0 0 mc2

u1

u2

u3

u4

Recordatorio: Un problema de valor propio consiste en encontrar vectores que al ser multiplicados por la matriz den proporcionales a ellos mismos.

E

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

pc

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

mc2

Solución brillante de Dirac

1

Emc22p2c2

0

pc2 m2c4 mc2

pc

0

1

Emc22p2c2

pc2 m2c4 mc2

0

0

pc

1

Emc22p2c2

0

pc2 m2c4 mc2

pc

0

1

Emc22p2c2

pc2 m2c4 mc2

0

0

pc

E1 pc2 m2c4

E2 pc2 m2c4

Solución:

Solución brillante de Dirac

1

Emc22p2c2

0

pc2 m2c4 mc2

pc

0

1

Emc22p2c2

pc2 m2c4 mc2

0

0

pc

1

Emc22p2c2

0

pc2 m2c4 mc2

pc

0

1

Emc22p2c2

pc2 m2c4 mc2

0

0

pc

E1 pc2 m2c4

E2 pc2 m2c4

Dos componentes

SPIN!!!

Solución:

Antimateria

0

E

Dirac sea (Principio de exclusión de Pauli)

EL VACÍO ESTÁ LLENO

Antimateria

0

E

Dirac sea

0

E

Dirac sea

E>0

E>0

Absencia de partícula de energía negativa produce “partícula” de energía positiva. Absencia de carga negativa produce carga Postiva.

Partícula de energía positiva con carga negativa.

“Hole”

Antimateria

0

E

Dirac sea

0

E

Dirac sea

E>0

E>0

Absencia de partícula de energía negativa produce “partícula” de energía positiva. Absencia de carga negativa produce carga Postiva.

Partícula de energía positiva con carga negativa.

“Hole”

Predicción del POSITRÓN

(1928) Descubrimiento (1932)

Conclusiones

- Dirac co-inventó la Mecánica Cuántica. - Fue el comienzo de la Teoría Cuántica de Campos.

(creación y destrucción de partículas) Electrodinámica Cuántica.

- Spin es una consecuencia de la Relatividad. Además predijo la interacción con el campo magnético.

- Inspiró la formulación PATH INTEGRAL de Feynman.

Gracias!