preguntas de repaso y problemas del cap3.docx
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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZASARMADAS ESPE
FACULTAD DE ELECTRICA Y ELECTRONICA
INGENIERÍA ELECTRONICA E INSTRUMENACION
SISTEMAS DE CONTROL
Preguntas de Repaso Capitulo 3
NIVEL: Sexto “A”
Ing. Franklin Silva
Latacunga - cuador
REALIZADO POR:
Guevara Daniel Granda Pal!
O"!ri! Cri"#ian
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ContenidoTEMA..............................................................................................................................3
O$%ETVOS...................................................................................................................... !
General:..................................................................................................................... !
E"&e'()'!":................................................................................................................!
RESUMEN...................................................................................................................... !
A$STRACT:.................................................................................................................... !
Resoluci"n de e#ercicios..................................................................................................$
Re"!lu'i!n d e*er'i'i!"+...........................................................................................%
AN,LISIS DE RESULTADOS........................................................................................&!
CONCLUSIONES..........................................................................................................&$
RECOMENDACIONES..................................................................................................&$
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TEMA
Soluci"n de los pro'le(as propuestos en el cap)tulo 3 para re*or+ar losconoci(ientos ad,uiridos en clases.
O$%ETVOS
General:
Resolver los pro'le(as propuestos en el cap)tulo 3 para re*or+arlos conoci(ientos ad,uiridos en clases.
E"&e'()'!":
• Investigar acerca del espacio de estados trans*or(aciones de*unciones de trans*erencia a espacio de estados viceversa.
• Contestar las preguntas resolver los pro'le(as del cap)tulo 3aplicando lo investigado lo aprendido en clases.
• Anali+ar los resultados o'tenidos dar una explicaci"n t/cnica del(is(o para un (e#or entendi(iento acerca de los siste(as decontrol.
RESUMEN
l (/todo en el espacio de estados 0ta('i/n conocido co(o (/todo(oderno o en el do(inio del tie(po1 es un (/todo uni2cado para(odelar anali+ar disear una a(plia variedad de siste(as. 04ise
566!17n siste(a (oderno co(ple#o posee (uc8as entradas (uc8as salidas,ue se relacionan entre s) de una *or(a co(plicada. Para anali+ar un
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siste(a de este tipo es esencial reducir la co(ple#idad de lasexpresiones (ate(9ticas ade(9s de recurrir a co(putadoras ,uerealicen una gran parte de los tediosos c9lculos ,ue son necesarios. len*o,ue en el espacio de estados para el an9lisis de siste(as es el (9sconveniente desde este punto de vista. 0:gata 56&61
A$STRACT:
;8e (et8od in t8e state space 0 also kno<n as (odern (et8od or in t8e ti(edo(ain 1 is a uni2ed (odel anal+e and design a <ide variet o* sste(s approac8.0 4ise 566!1A (odern co(plex sste( 8as (an inputs and (an outputs t8at are interrelated in aco(plicated <a . ;o anal+e a sste( o* t8is tpe it is essential to reduce t8eco(plexit o* t8e (at8e(atical expressions in addition to use co(puters to per*or((uc8 o* t8e tedious calculations necessar . ;8e *ocus on t8e state space *or t8eanalsis o* sste(s is (ost suita'le *ro( t8is point o* vie<. 0 :gata 56&61
MARCO TE-RICO
REPRESENTACION EN ESPACIO DE ESTADOS
Varian#e de "i"#e.a: Cual,uier variante ,ue responda a una entrada ocondiciones iniciales de un siste(a.
Varian#e" de e"#ad!: l con#unto (9s pe,ueo de variantes de unsiste(a lineal(ente independiente ;ales ,ue los valores de los(ie('ros del con#unto en el tie(po t6 #unto con *unciones deexcitaci"n deter(inan por co(pleto el valor de todas las variantes delsiste(a para todas t= t6.
E"&a'i! de e"#ad!": 7n espacio n di(ensional cuos e#es son lasvariantes de estado.
Ve'#!r de e"#ad!: 7n vector cuos ele(entos son las variantes deestado.
E'ua'i!ne" de e"#ad!: 7n con#unto de n ecuaciones di*erencialessi(ultaneas de pri(er orden con n variantes donde las n variantes a serdespe#adas son variantes de estado.
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E'ua'i/n de "alida: La ecuaci"n alge'raica ,ue expresa las variantesde salida de un siste(a co(o co('inaciones lineales de las variantes deestado las entradas.
Fi0ura 1+ Representaci"n gr92ca de un espacio de estados un vectorde estado. ;o(ada de 04ise 566!1
7n siste(a est9 representado en el espacio de estados por lassiguientes ecuaciones>
´ x= Ax+Bu
y=Cx+ Du
Para t ≥ t 0 las condiciones iniciales x (t 0) donde>
x Ve'#!r de e"#ad!
´ x ?erivada del vector de estado con
respecto al tie(po y @ector de salida
u @ector de entrada o de control
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A atri+ del siste(a
B atri+ de la entrada
C atri+ de la salida
D atri+ de la reali(entaci"n
l vector x se lla(a vector de estado contiene variantes lla(adasvariantes de estado. Las variantes de estado se pueden co('inaralge'raica(ente con la entada para *or(ar la ecuaci"n de salida.
Las variantes de estado ,ue pueden representar cantidades *)sicasco(o volta#e o corriente se seleccionan para ser lineal(enteindependientes. La selecci"n de variantes de estado no es Bnica a*ectala *or(a en ,ue las (atrices A C D ? se ven. 04ise 566!1
RESOLUCI-N DE E%ERCICIOS
PREGUNTAS DE REPASO
12 De d!" ra3!ne" &ara .!delar "i"#e.a" en e"&a'i! dee"#ad!"+
• Puede (odelar siste(as ,ue no son lineales.
• Se utili+a para si(ulaci"n digital
42 E5&re"e una ven#a*a del .6#!d! de la 7un'i/n de#ran"7eren'ia "!re el .6#!d! en el e"&a'i! de e"#ad!"+
rinda una visi"n cualitativa.
82 De)na variale" de e"#ad!+
l con#unto (9s pe,ueo de variantes de un siste(a lineal(enteindependiente.
92 De)na e"#ad!+
l valor de las varia'les de estado.
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2 De)na ve'#!r de e"#ad!+
7n vector cuos ele(entos son las variantes de estado.
;2 De)na e"&a'i! de e"#ad!"+
7n espacio n di(ensional cuos e#es son las variantes de estado.
<2 =>u6 e" ne'e"ari! &ara re&re"en#ar un "i"#e.a en ele"&a'i! de e"#ad!"?
cuaciones de estado una ecuaci"n de salida un vector deestado inicial 0condiciones iniciales1.
@2 =C!n 'uan#a" e'ua'i!ne" de e"#ad! "eria re&re"en#ad! enel e"&a'i! de e"#ad!" un "i"#e.a de !'#av! !rden?
:c8o
2 Si la" e'ua'i!ne" de e"#ad! "!n un "i"#e.a de e'ua'i!ne"di7eren'iale" de &ri.er !rden 'uBa "!lu'i/n da la"variale" de e"#ad! =Cul e" en#!n'e" la 7un'i/n uereali3a la e'ua'i/n de "alida?
For(a co('inaciones lineales de las varia'les de estado entradapara *or(ar la salida deseada.
12 =>u6 "i0ni)'a inde&enden'ia lineal?
Se dice ,ue un con#unto de variantes es lineal(enteindependiente si no se puede escri'ir ninguna de las variantesco(o una co('inaci"n lineal de las otras.
112 =>u6 7a'#!re" inuBen en la "ele''i/n de la" variale"de e"#ad! en 'ualuier "i"#e.a?
• ?e'en ser lineal(ente independientes.
• l nB(ero de varia'les de estado de'e estar de acuerdo conel orden de la ecuaci"n di*erencial ,ue descri'e al siste(a.
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• l grado de di2cultad en la o'tenci"n de las ecuaciones deestado para un con#unto dado de varia'les de estado.
142 =Cul e" la "ele''i/n '!nvenien#e de variale" dee"#ad! &ara rede" el6'#ri'a"?
Las varia'les ,ue se est9n di*erenciando en cada uno de losele(entos ,ue al(acenan energ)a.
182 Si una red el6'#ri'a #iene #re" ele.en#!" ueal.a'enan ener0(a =e" &!"ile #ener una re&re"en#a'i/nen el e"&a'i! de e"#ad!" '!n ." de #re" variale" dee"#ad!? E5&liue
Si dependiendo de la elecci"n de varia'les del circuito la t/cnicausada para escri'ir las ecuaciones del siste(a. Por e#e(plo
una de tres la+os en *or(a de pro'le(a con ele(entos deal(acena(iento de energ)a de tres podr)a producir tresecuaciones di*erenciales si(ult9neas de segundo orden ,ue luegose descri'en por seis ecuaciones di*erenciales de pri(er orden.
sta situaci"n exacta surgi" cuando escri'i(os las ecuacionesdi*erenciales para siste(as (ec9nicos despu/s procede(os aencontrar las ecuaciones de estado.
192 =>u6 "i0ni)'a la 7!r.a de la" variale" de 7a"e de la"e'ua'i!ne" de e"#ad!?
Las varia'les de estado son derivadas sucesivas.
PRO$LEMAS
12 Re&re"en#e la red el6'#ri'a ilu"#rada en la )0ura P8+1 en el
e"&a'i! de e"#ad!" d!nde v0(t ) e" la "alida+
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Fi0ura 8+1
V!l#a*e" C!rrien#e" Variale" dee"#ad!
v i
v1
v2
v3
v5
i1
i2
i3
i5
v4
v6
i4
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v5 (t )= L
d i L(t )dt
, i2 (t )=C
1
d vC 1(t )dt
, i5 (t )=C
2
d vC 2( t )dt
Las de(9s varia'les se expresan co(o co('inaci"n lineal de lasvaria'les de estado>
i1=v
1
1=v
1=vi−v
4
i2=v
2=i
4
2+v
4
2−v
6
2
i3=i
4+i
5=i
4+ v
5−v
6=i4
2− v 6
2+ v4
2
i5=
v5−v
6
1=v
5−v
6=
−i4
2+
v4
2−
v6
2
v1=v i−v
4
v2=
i4
2 +
v4
2 −
v6
2
v3=v
5−v
6=
v4
2−
v6
2−
i4
2
v5=
v4+v
6−i
4
2
?erivada de las varia'les de estado>
i4=
v5
L=
−2
3i
4−
1
3v
4+
1
3v
6+
2
3v i
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v4=
i2
C 1=
−1
3i
4−
2
3v
4−
2
3v
6+
1
3v i
v6=
i5
C 2=
−1
3i
4−
2
3v
4−
1
3v
6+
1
3v i
Representaci"n en espacio de estados>
[
i4
v4
v6
]=
[
−2
3
−1
3
1
3
−1
3
−2
3
−2
3
−1
3−2
3−1
3
] [i
4
v 4
v 6
]+
[
2
3
1
3
1
3
]v i
y=[ 0 0 1 ] [i
4
v4
v6
]9) Encuentre la representación en el espacio de estados en forma de las variables de fase
para cada uno de los sistemas que se muestran.
R0s1 C0s1
C s
R s
= 100
s4+20 S
3+10 s2+7 s +100
C s ( s4
+20 S3
+10 s2
+7 s+ 100 )=100 R s
c…. (t )+20c
…(t )+10c..( t )+7c
.(t )+100 c(t )=16r (t )
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x1
. (t )= x2(t )
x2
. (t )= x3(t )
x3
.
(t )= x4(t )
x4
. (t )=16r (t )−100 x1(t )−2 x2
(t )−10 x3(t )−20 x4
(t )
[ x1
. (t )
x2
. (t )
x3
. (t )]=[0 1 0
0 0 1
0 0 0
0
0
1] [
x 1(t ) x
2(t )
x3(t )]+[
0
0
0
]r (t )
[ x4
. (t )] [−100−2−10−20 ] [ x4(t )] [16]
c (t )= [1 0 01 ][ x
1(t )
x2(t )
x3(t )]
x4 (t )
R0s1 C0s1
C s
R s
= 30
s5+8 s
4+ 9 s3 +6 s
2+ s+30
C s ( s5+ 8 s
4+9 s3+6 s
2+s +30)=30 Rs
c….. (t )+8 c
….(t )+9c…(t )+6c
..( t )+c .(t )+30c(t )=30 r (t )
x1
. (t )= x2(t )
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x2
. (t )= x3(t )
x3
. (t )= x4(t )
x4
.
(t )= x5( t )
x5
. (t )=30 r (t )−30 x1 (t )− x2
( t )−6 x3(t )−9 x4
(t )− x5( t )
x1
. ( t ) 6 & 6 6 6 x 1( t ) 6
x2
. ( t ) 6 6 & 6 6 x 2( t ) 6
x3
. ( t ) E 6 6 6 & 6 x3( t ) E 6 r (t )
x4
. (t ) 6 6 6 6 & x 4(t ) 6
x5
. ( t ) -36 -& -% - -& x5( t ) 36
c (t ) E & 6 6 6 6 x1( t )
x2( t )
x3( t )
x4(t )
x5( t )
12 Re&i#a l!" &r!le.a" an#eri!re" u#ili3and! Ma#la
R ( s )→
100
s4+20 s
3+10 s2+7 s +100
C (s )→
R ( s )→
30
s5+8 s
4+ 9 s3+6 s
2+ s+30
C ( s )→
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112 Para 'ada "i"#e.a ue "e ilu"#ra en la )0ura e"'ria la"e'ua'i!ne" de e"#ad! B la e'ua'i/n de "alida &ara lare&re"en#a'i/n de la" variale" de 7a"e+
R ( s )→
5 s+10
s4+2 s
3+ s2+5 s +10
C ( s )→
C (s)( s4+2 s3+s2+5 s+10)
C 1 IV +2 C 1
° ° °+C 1° ° +5C 1
° +10 C 1
C IV =−10 C 1−5 C 1
°−C 1° °−2C 1
° ° °
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x1=C
1
x2=C 1°
x3=C 1° °
x4=C 1° ° °
x1
°= x2
x2
°= x3
x3°= x4
x4
°=−10 C 1−5C 1°−C 1
° °−2 C 1° ° °
[ x
1
°
x2
°
x3
°
x4
° ]=[
0 1
0 0
0 0
1 0
0 0
−10 −5
0 1
−1 −2]∗[ x1
x2
x3
x4 ]+[
0
0
0
1]r
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C (s)(5 s+10)
5C 1°+10C 1
y=[1 0 5 0 0 0]∗[ x
1
x2
x3
x4
]142 Re&i#a l!" &r!le.a" an#eri!re" u#ili3and! Ma#la
R ( s )→
5 s+10
s4+2 s
3+ s2+5 s +10
C ( s )→
R (s )→
s4+2 s
3+12 s2+7 s+3
s5+9 s
4+10 s3+8 s
2 C ( s)
→
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192 En'uen#re la 7un'i/n de #ran"7eren'ia G ( s )=Y ( s) R ( s) &ara
'ada un! de l!" "i0uien#e" "i"#e.a" re&re"en#ad!" en ele"&a'i! de e"#ad!"+
SOLUCION
G( s)=C ( sI − A )−1 B
A=
[ 0 1 0
0 0 1
−3 −2 −5
];B=
[ 0
0
10
];C =[ 1 0 0 ]
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(sI − A )−1
= 1
s 3+ 5 s2+2 s+3
[
s2+5 s+ 2 s s +5 1
−3 s ( s+5) s
−3
−2
s−3
s
2
]
G( s)= 10
s3+ 5 s
2+2 s+3
+
G( s)=C ( sI − A )−1 B
A=[ 2 3 −8
0 5 3
−3 −5 −5]; B=[
1
4
6];C = [1 3 6 ]
s2−s−5
(sI − A )−1= 1
s 3−3 s2−27 s+157 [
s+ 5 −8 s+ 49 −9s
2+2 s−32 ¿ ¿ 3 s−6
−3 s+15 −5 s+1 s2−7 s+ 10]
G(s)= 49 s
2−349 s+452
s3−3 s
2−27 s+157
'+
G( s)=C ( sI − A )−1 B
A=[ 3 −5 2
1 −8 7
−3 −6 2]; B=[
5
−3
2 ]; C =[ 1 −4 3 ]
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s2+ 6 s−26
(sI − A )−1= 1
s 3+ 3 s2+19 s−133 [
−(5 s+ 2) 2 s−19 s−23
s2−5 s+12 ¿ ¿7 s−19
−(3 s+ 30) −(6 s−33) s2+ 5 s−19
]
G(s)= 23 s
2−48 s−7
s3+3 s
2+19 s−133
SOLUCION MATLA$
HLi#eral aH
AJ 1 K 1 K8 4 K
$JKK1K
CJ1 K
DK
"#a#e"&a'e""A$CD2
Jnu.den""4#7A$CD2K
G#7nu.den2
HLi#eral H
AJ4 4K 8K8 ; 4K
$J1K9K;K
CJ1 9 8K
DK
"#a#e"&a'e""A$CD2
Jnu.den""4#7A$CD2K
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G#7nu.den2
HLi#eral 'H
AJ8 4K1 @ <K8 ; 4K
$JK8K4K
CJ1 9 8K
DK
"#a#e"&a'e""A$CD2
Jnu.den""4#7A$CD2K
G#7nu.den2
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12 U#ili'e .a#la &ara allar la 7un'i!n de
#ran"7eren'ia G ( s )=Y ( s) R ( s) &ara 'ada un! de l!"
"i0uien#e" "i"#e.a" re&re"en#ad!" en el e"&a'i! de
e"#ad!":
SOLUCI-N EN MATLA$
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AN,LISIS DE RESULTADOS
&. ;o(ando en cuenta el resultado o'tenido en los todos los
e#ercicios ,ue se resolvieron se puede decir ,ue es (uc8o (9s
*9cil tra'a#ar con (atrices a ,ue de'ido a esto es *9cilencontrar las ecuaciones de espacio de estados.
5. A;LA se constitue co(o un so*t<are ,ue proporciona la
resoluci"n de ecuaciones di*erenciales a trav/s de di*erentes
co(andos ,ue per(iten desarrollar de una (anera vers9til
deter(inados pro'le(as. La siste(ati+aci"n de in*or(aci"n
per(iti" ad,uirir nuevos conoci(ientos relacionados al
*unciona(iento a la aplica'ilidad de los diversos co(andos
,ue dispone A;LA.
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CONCLUSIONES
s posi'le o'tener una *unci"n de trans*erencia partiendo de larepresentaci"n en espacios de estado.
Con la aplicaci"n de la *unci"n de trans*erencia para espacio deestados siste(as (ec9nicos rotacionales con la aplicaci"nde cual,uier (/todo de resoluci"n de (atrices para darsoluci"n a los e#ercicios se lleg" a la soluci"n de (anera (9sr9pida se dis(inu" la co(ple#idad.
Las *unciones de trans*erencia depender9n sie(pre de laentrada la salida de un siste(a de control.
La representaci"n en espacios de estado per(ite representar
los siste(as *)sicos en una ecuaci"n de estado.
l so*t<are atla' per(ite trans*or(ar de (anera (u sencillauna *unci"n de trans*erencia a su e,uivalente en espacios deestado.
RECOMENDACIONES
Conocer los conceptos ,ue se utili+an en espacio de estados
en los siste(as (ec9nicos rotacionales para evitar con*usiones.
Conocer las *"r(ulas para resolver e#ercicios de estos siste(as. ;ener en cuenta a ,ue es igual cada ele(ento sea en un
siste(a el/ctrico o (ec9nico cuando se tra'a#a en el do(inio
del tie(po. 7'icar de (anera correcta las varia'les de las ecuaciones en
las (atrices para o'tener la respuesta correcta. Se de'e anali+ar cuidadosa(ente los di*erentes co(ponentes
del siste(a (ec9nico para no errar al (o(ento de deter(inar
sus ecuaciones. n caso de error revisar los co(andos de atla' a ,ue tienen
una designaci"n si(ilar lo ,ue puede conllevar a un error.$I$LIOGRAFIA:
G&H 4or(an 4. 0566%1. “Siste(as de control para ingenier)a”
Capitulo III /xico> Co(pa)a ditorial Continental.