Prácticas de Prácticas de Fundamentos Físicos deFundamentos Físicos dela Arquitectura Técnicala Arquitectura Técnica

Prácticas de Prácticas de Fundamentos Físicos deFundamentos Físicos dela Arquitectura Técnicala Arquitectura Técnica

Profesor Ignacio Negueruela DíezProfesor Ignacio Negueruela Díez

Curso 2008-2009Curso 2008-2009

Teoría de errores

Medidas experimentales

En el laboratorio, tomamos medidas

¿Para qué?

¿Qué nos dicen?

¿Nos podemos fiar de ellas?

Medidas experimentales

En el laboratorio, tomamos medidas

¿Para qué?

¿Qué nos dicen?

¿Nos podemos fiar de ellas?

Determinar magnitudes físicas

Hallar relaciones entre ellas

Tipos de errores

• Errores sistemáticos Aparato de medida / Observador

SE PUEDEN ELIMINAR

• Errores accidentales o aleatoriosCondiciones experimentales / Objeto medido

SE PUEDEN REDUCIR

PERO NUNCA ELIMINAR

Error absoluto (Ea):

estimación del error de la medida “V”

(V: valor “verdadero” de la magnitud física)

Error relativo (Er):

VE

100(%)E ar

Características de las medidas

Exactitud

Cercanía al valor “exacto”

SensibilidadDepende del

dispositivo de medidaPrecisión

Depende del

método experimental

Error sistemático

Error absoluto

Error relativo

2% 3

2% V 8% 6V

8% V 15% 15

V 15% 50

5. Si

4. Calcular desviación relativa:

3. Calcular valor medio:

1. Tomar 3 medidas: M1, M2, M3

2. Calcular dispersión absoluta: D = Mmax – Mmin

¿ Cómo reducir los errores?

¿ Cuántas medidas?

3321 MMM

V

100VD

V

ni

i 1

ni

i 1

a

MEDIA ARITMÉTICA

VV

n

DESVIACIÓN MEDIA

V V

n

ERROR ABSOLUTO

E máx S,

Resultado final = magnitud error unidades

aV V E - uni

0 1 2 3cm

Entre 2.5 y 2.6: L =2.5 0.1 cm

L = ?S = 0.1 cm

¿V “verdadera”?

_VV-Ea V+Ea

_ _

UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL

Siempre utilizar la notación científica y los prefijos oportunos

Medidas directas y medidas indirectas

• Medida directa:

Directamente del aparato experimental

(metro, balanza, cronómetro, osciloscópio,

amperímetro, voltímetro, teslámetro, etc.)

• Medida indirecta:

Ejemplo: Volumen cilindro

V = ; Ev=?2r h

rH

aE máx S,

Errores en medidas indirectas

Reglas para las 4 operaciones aritméticas:

A B

A B A B

A B A B

A BA / B 2

A E ;B E

E E E

E B E A E

B E A EE

B

Errores en medidas indirectas

Regla general:

v r h

V VE E E

r h

Ejemplo: V = 2r h

,...)c,b,a(fz

....dcc

fdbb

fdaa

fdz

....Ec

fEb

fEa

fE cbaz

....z

E

c

f

z

E

b

f

z

E

a

f

z

E cbaz

Errores de medidas indirectas

hlaV

El error absoluto se aproxima al diferencial de la función

hlav EhV

ElV

EaV

E

dhh

Vdll

Vda

a

VdV

Error relativo %100 VE

E V)v(r

V = valor Ev (u) V = valor Er(v) (u)

Resultado

Errores en medidas indirectas

Regla práctica:

2

2V r H

V r H

V r H

E 2 HrE r E

E E E2

V r H

....c

Ep

b

En

a

Em

G

E cbaG

Error relativo

pnm

cba

cbaG

Ec;Eb;Ea

Error absoluto

Cómo expresar los resultados

Ej. Estudio de la variación de la densidad de un líquido con la temperatura. Se realizan dos medidas diferentes A y B

Resultado:La disminuye cuando aumenta T

La no depende de la T

Experiencia A Experiencia BT (ºC) (g/cm3) T (ºC) (g/cm3)

40 0.8015 40 0.8030 0.8017 30 0.8020 0.8019 20 0.8010 0.8021 10 0.80

Tabla: Variación de la densidad con la temperatura

Importancia del número de cifras de la medida, número de cifras significativas

Es necesario un valor asociado a la medida que garantice la fiabilidad

Cómo expresar los resultados: CIFRAS SIGNIFICATIVAS

• Cifra MAS significativa:

la mas a la IZQUIERDA que NO SEA “0”

• Cifra MENOS significativa:

• la mas a la DERECHA que NO SEA “0”

(si NO HAY COMA decimal)

• la mas a la DERECHA (aunque sea “0”)

(si HAY COMA decimal)

Ejemplos: 3215 3215.4 3200 0.032 3200.0 18.00 0.180 + - + - +- + -+- + - + -

¿ Cuántas cifras significativas?En los errores:

Convenio para la expresión de los errores

– General una única cifra

– Particular dos cifras si:

• la primera de ellas es un “1”

• la primera es un “2” y la

siguiente es < 5

Redondeos

• Si la fracción truncada es > 0.5 : +1

• Si la fracción truncada es < 0.5 : =

• Si la fracción truncada es = 0.5 : +1

¿ Cuántas cifras significativas?En los resultados:

Hasta la 1ª cifra afectada por el error

Valores incorrectos:

2.183 0.221

5.412 0.076

46.348 1.142

248.163 0.29

1543 31

572.35 0.045

8

32

00

Valores correctos:

2.18 0.22

5.41 0.08

46.3 1.1

248.2 0.3

1540 30

572.35 0.05

5

Cifras significativas y operaciones aritméticas, cuando solo se dispone de los resultados (no se dispone de los errores absolutos):Multiplicación o división:

# cifras significativas nunca mayor que las de cualquier factor

Suma o resta:

No hay cifras significativas más allá de la última cifra decimal en que

los sumandos tienen cifras significativas

1234.234 x 0.3 = 370.2702

382.61 : 1.9845 = 192.8134346

23.15 + 0.0168 = 23.1668

0.034 – 0.01 = 0.0247

24x10

TEORÍA DE ERRORES• Medidas experimentales• Tipos de errores• Expresión de los errores• Presentación de resultados (Tablas – Gráficas)• Interpolación • Método de mínimos cuadrados

Presentación de los resultados

• Los resultados se agrupan en TABLAS

• Magnitud física + Error absoluto (UNIDADES)_

I+0.2 (mA) V+0.1 (V)_ _

1.8 3.4 5.6 6.8

7.0 15.1 18.7 27.3

Comentario (si necesario)

Variable independiente (Unidades)

Vari

ab

le d

ep

en

die

nte

(U

nid

ad

es)

0 1 2 3 4 5 6 7

30

20

10

0

Representación GRÁFICA

I+0.2 (mA) V+0.1 (V)_ _

1.8 3.4 5.6 6.8

7.0 15.1 18.7 27.3

¡ NO !

¡ NO !

¡ NO !

¡ NO !

V (V)

I (mA)

Barras, o rectángulos de error

Variable independiente (Unidades)

Vari

ab

le d

ep

en

die

nte

(U

nid

ad

es)

0 1 2 3 4 5 6 7

30

20

10

0

Representación GRÁFICA

V (V)

I (mA)

Resumiendo..., en las gráficas:

• Papel milimetrado

• Magnitud física independiente + unidades:

eje abscisas

• Magnitud física dependiente + unidades :

eje ordenadas

• Elegir la escala adecuada/valores de referencia

• Datos experimentales + barras/rectángulos de error

• NO se marcan valores de datos en los ejes

• NO se unen puntos en la gráfica

• NO se hacen gráficas por ordenador

Interpolación lineal

bmxz

bmxz

bmxz

22

11

12

12

xxzz

m

)( 112

121 xx

xxzz

zz ' 2 1

z z x2 1

z zE max E , E

x x

Estimación del valor de un magnitud física “z” dependiente de “x”, a partir de datos experimentales

x1 x x2 X (Ux)

Z (Uz)

z2

z = ?

z1

X

x1

x

x2

Z

z1

z

z2

PROBLEMAS TÍPICOS REALES

Ej. A partir de las siguientes medidas calcular la a los 14ºC

T 5 ( ºC) 0.0001(g/cm3)20 0.801910 0.8021

Método de mínimos cuadrados

Y

X

? ? ?

¿ Qué relación hay entre las magnitudes físicas “x” e “y” ?

Ajuste de rectas a los datos experimentales

y=mx+n

Y

X

y mx n

m=?; n=?

N* 2

i ii 1

(y y )

ha de ser mínima:

N

2

i ii 1

dy mx n 0

dm

ix

*i iy mx n

iy

Ajuste de rectas por mínimos cuadrados

N

ii 1

A x

N

ii 1

B y

N

i ii 1

D x y

N2i

i 1

C x

X

x1 , Ex1

...

xi , Exi

...

xN , ExN

Y

y1 , Ey1

...

Yi , Eyi

...

yN, , EyN

y mx n

2

ND ABm

NC A

N

2

i ii 1

dy mx n 0

dm

n y mx (x, y) y mx n

N

ii 1

xx

N

N

ii 1

yy

N

N medidas:

Cálculo de errores sobre “m” y “n”:

i i

N Ni

m i i x yi 1 i 1

x1E y 2mx E E

C C

i i

N N

x yi 1 i 1

n m

E EE m x E

N N

N

ii 1

xx

N

N

ii 1

yy

N

N2i

i 1

C x

Si n~0:

Errores iguales: x yx yE E ;E E

myxn ExEEmE

yxm EEmCA

E Dm

C

i

N

xi 1

x

EE

N i

N

yi 1

y

EE

N

N

ii 1

A x

N

i ii 1

D x y

2r R

Y

X

Y

X

¿ Como valorar la bondad de un ajuste lineal?

N2i

i 1

F y

N

ii 1

A x

N

ii 1

B y

N2i

i 1

C x

2

2

NC Ar m

NF B

1 r 1

N* 2

ii2 i 1

N2

iii 1

(y y )R

(y y )

20 R 1

Coeficiente de correlación

Coeficiente de determinación

Resumiendo..., en las gráficas:

• Papel milimetrado

• Magnitud física independiente + unidades:

eje abscisas

• Magnitud física dependiente + unidades :

eje ordenadas

• Elegir la escala adecuada/valores de referencia

• Datos experimentales + barras/rectángulos de error

• NO valores datos en ejes

• NO se unen puntos en la gráfica

• NO gráficas por ordenador

• Recta “y=mx+n” (+cortes con los ejes)

Variable independiente (Unidades)

Vari

ab

le d

ep

en

die

nte

(U

nid

ad

es)

0 1 2 3 4 5 6 7

30

20

10

0

Representación GRÁFICA

I (mA)

V (V)

CD

x

xym N

ii

N

iii

1

2

1

yxm EEmCA

E

N=5

N

iixA

1

N

iiyB

1

N

iiyF

1

2

N

iixC

1

2

N

iii yxD

1

xi=Ii yi=Vi xi2=Ii

2 yi2=Vi

2 xi yi =IiVi 1,7 5,0 2,89 25 8,5 3,5 10,0 12,25 100 35 5,2 15,0 27,04 225 78 6,9 20,0 47,61 400 138 8,6 25,0 73,96 625 215

A=25,9 B=75 C=163,8 F=1375 D=474,5

N

ii 1

xx

N

N

ii 1

yy

N

I 0,1(mA) V0,1(V) 1,7 5,0 3,5 10,0 5,2 15,0 6,9 20,0 8,6 25,0

V=RI (y=mx; n~0)

V=2.9I

r=0.99993

m=R=(2.9 ± 0.2) k

Buen ajuste

2

2

NC Ar m

NF B

INTERPOLACIÓN ANALÍTICA (Ejemplo)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

30

V (

V)

I (mA)

Experimental Ajuste por MC

r=0.99993R=(2.9 ± 0.2) k

Memorias de las prácticas

1. Encabezamiento: Apellidos y nombre, Nombre de la práctica, Fecha, Grupo (día y hora)

2. Objetivo: Qué se desea verificar con la práctica3. Instrumentación: Descripción4. Montaje experimental: Descripción5. Procedimiento: Comentarios sobre como se hizo la

práctica, problemas encontrados, recomendaciones, etc.6. Datos: En tablas, con las unidades y errores7. Gráficos: Según las instrucciones dadas8. Cálculos: Traza de las operaciones realizadas9. Resultados y respuestas: Teóricos – experimentales10. Conclusiones (y sugerencias)

IDEA BÁSICA:

UN EXPERIMENTO SIEMPRE DEBE PODER REPRODUCIRSE A PARTIR DE LA DESCRIPCIÓN QUE SE HAGA DEL MISMO

Los aparatos de Los aparatos de laboratoriolaboratorio

Los aparatos de Los aparatos de laboratoriolaboratorio

(Elementos de circuito, instrumentos (Elementos de circuito, instrumentos de medición, etc.)de medición, etc.)