practica2de fiabilidad

Prcticas de Fiabilidad

Prctica 2: Objetivo: El objetivo de esta prctica es conocer y aprender a manejar las herramientas que nos van a permitir decidir si nuestros datos de supervivencia se comportan de acuerdo a algn modelo estadstico conocido. El hecho de tener un modelo para los datos ofrece ventajas frente a la estimacin emprica en que se bas la prctica 1. Podremos conocer de forma ms precisa cul es la tasa de fallos y la funcin de supervivencia en cualquier momento, ya que dispondremos de funciones NO escalonadas, al contrario de lo que suceda en los anlisis de la prctica 1. Una vez obtenidos los modelos ms adecuados para nuestros datos, se realizarn simulaciones para continuar con el problema de fiabilidad de sistemas que se propuso en la primera prctica. Conceptos bsicos: Como en la prctica anterior se parte de una muestra de tiempos de vida de un determinado componente: x1, x2, ..., xn. sta es una muestra aleatoria procedente de un determinado modelo de probabilidad, es decir, posee una funcin de distribucin F(x) y, por consiguiente, una funcin de densidad f(x). Existen numerosos modelos probabilsticos que se emplean para modelizar tiempos de duracin de componentes. Entre ellos se podran destacar los siguientes:

1. Modelo Exponencial: Depende de un solo parmetro: . Se caracteriza por tener una tasa de fallo constante (igual a ). En la figura 1 se encuentran las funciones de densidad de modelos exponenciales para distintos valores del parmetro (que est representado por la media 1/) y en la figura 2 sus respectivas tasas de fallo.

2. Modelo Weibull: Depende de dos parmetros: (escala o scale) y (forma o shape). Dependiendo del valor del parmetro de forma el modelo puede tener tasa de fallo decreciente (1). En la figura 3 se encuentra la funcin de densidad Weibull para distintos valores de los parmetros y en la figura 4 sus respectivas tasas de fallo.

3. Modelo Gamma: Depende de dos parmetros: (escala o scale) y (forma o shape). Puede modelizar variables con tasas de fallo cambiantes (crecientes y decrecientes). En la figura 5 se encuentra la funcin de densidad Gamma para distintos valores de los parmetros y en la figura 6 sus respectivas tasas de fallo.

4. Modelo Lognormal: Depende de dos parmetros: (media o mean) y (desviacin tpica o standard deviation). Puede modelizar variables con tasas de fallo cambiantes (crecientes y decrecientes). El ejemplo para distintos

1

valores de los parmetros aparece en la figura 7 y en la figura 8 sus respectivas tasas de fallo.

Mean10152025

Exponential Distribution

x

dens

ity

0 30 60 90 120 1500

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

Figura 1. Funcin de densidad exponencial.

Mean10152025

Exponential Distribution

x

haza

rd

0 30 60 90 120 1500

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

Figura 2. Tasa de fallos de la funcin de densidad exponencial.

Shape,Scale1,10,8,22,15,3

Weibull Distribution

x

dens

ity

0 3 6 9 12 15 180

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Figura 3. Funcin de densidad Weibull.

2

Shape,Scale1,10,8,22,15,3

Weibull Distribution

x

haza

rd

0 1 2 3 4 50

5

10

15

Figura 4. Tasa de fallos de la funcin de densidad Weibull.

Shape,Scale1,12,10,5,14,0,5

Gamma Distribution

x

dens

ity

0 5 10 15 20 25 300

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

Figura 5. Funcin de densidad Gamma.

Shape,Scale1,12,10,5,14,0,5

Gamma Distribution

x

haza

rd

0 5 10 15 20 25 300

0,4

0,8

1,2

1,6

2

2,4

Figura 6. Tasa de fallos de la funcin de densidad Gamma.

3

Mean,Std. dev1,12,25,110,2

Lognormal Distribution

x

dens

ity

0 4 8 12 16 200

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Figura 7. Funcin de densidad Lognormal.

Mean,Std. dev1,12,25,110,2

Lognormal Distribution

x

haza

rd

0 4 8 12 16 200

0,4

0,8

1,2

1,6

2

Figura 8. Tasa de fallos de la funcin de densidad Lognormal.

Estos son slo algunos ejemplos de funciones de densidad conocidas. Pero, qu herramientas estadsticas hay para saber qu modelos pueden ser adecuados para mi variable? Qu herramientas estadsticas ayudan a decidir si un modelo es o no adecuado? Para hacer un primer anlisis de la variable se debe hacer uso de tcnicas descriptivas, es decir, se emplea el histograma para ver cmo se distribuye la muestra por intervalos y se realizan estimaciones de la funcin de densidad para obtener algo semejante al histograma pero de forma suave y continua (no por intervalos). En cuanto a las herramientas para determinar si un modelo es adecuado a una muestra se pueden clasificar en procedimientos grficos y numricos. Grficamente se puede comprobar si la funcin de densidad del modelo propuesto es aproximadamente igual que el histograma de los datos. Aunque es mucho ms fiable el grfico cuantil-cuantil o quantil-quantil plot (QQ-plot) que consiste en hacer un grfico de dispersin entre los valores de la muestra ordenados y los cuantiles del modelo propuesto. El modelo podr ser adecuado si los puntos del grfico estn alineados.

4

NOTA: Se dice que es el cuantil de probabilidad p si pX pXF p =)( . Ejemplo: Supongamos que tenemos la siguiente muestra de tiempos: 6.2, 1.5, 2.1, 3.5 y 0.7. Que tenemos un modelo representado por la funcin de distribucin F(x) y cuya inversa es F-1(p), con p entre cero y uno. Lo que hace el QQ-plot es hacer el diagrama de dispersin de las columnas 2 y 3 de la siguiente tabla. La primera columna representa la funcin de distribucin emprica de la muestra. La segunda los datos de la muestra ordenada y la tercera la inversa de la funcin de distribucin del modelo evaluada en los puntos de la columna 1. En la tabla se disponen los datos de forma ordenada.

Fn (xi) xi F-1(Fn (xi))1/5 0.7 F-1(1/5) 2/5 1.5 F-1(2/5) 3/5 2.1 F-1(3/5) 4/5 3.5 F-1(4/5) 1 6.2 F-1(1)

As pues, si los datos se distribuyen segn F(x) se tiene que F-1(1/5) ser prximo a 0.7, F-1(2/5) ser prximo a 1.5 y as sucesivamente, es decir, en el grfico los puntos aparecen alineados segn la recta y=x. Los procedimientos numricos consisten en realizar contrastes de hiptesis sobre los datos. Por tanto atenderemos al p-valor de los mismos para determinar si existe la posibilidad de que la muestra se comporte segn un determinado modelo o no. Las hiptesis de este tipo de contrastes son: ( )

( )

,...,, de densidad la es no :,...,, de densidad laser puede :

211

210

n

n

xxxxfHxxxxfH

Como en todo contraste de hiptesis si se obtienen p-valores bajos existe evidencia en los datos a favor de la hiptesis alternativa (en este en particular, evidencias que indican que los datos no tienen esa funcin de densidad). Dos ejemplos clsicos de contrastes que trabajan estas hiptesis son el de Chi-cuadrado (Chi-square) y Kolmogorov-Smirnof. NOTA MUY IMPORTANTE: Si se rechaza la hiptesis nula (los datos ofrecen evidencia a favor de la alternativa) significa que se tiene una confianza importante en que los datos no siguen el modelo propuesto. Pero si no se rechaza la hiptesis nula, no quiere decir que el modelo propuesto sea el que siguen los datos. Es decir, si no se rechaza la nula quiere decir que el modelo propuesto resulta compatible con los datos, pero no se puede afirmar con rotundidad que sea se. En STATGRAPHICS, el resultado del test Chi-cuadrado puede ser diferente segn la versin instalada del programa. Por tanto, utilizaremos el test de Kolmogorov para realizar estos contrastes. Datos: Los datos que se van a analizar se encuentran en el fichero practica 1 fiabilidad.sf.

5

Nota: Recordar que las cuatro primeras columnas del fichero recogen la duracin de los cuatro componentes para los que se estudi varios sistemas. Qu hay que hacer: No se va a realizar ningn anlisis descriptivo previo ya que con el anlisis de ajuste de distribucin (distribution fitting) de Statgraphics se obtiene directamente el histograma y existe la posibilidad de obtener la estimacin de la densidad. Nota: Antes de realizar el anlisis de ajuste de distribucin conviene mencionar que por defecto el programa Statgraphics compara con la distribucin normal, para la que estima los parmetros correspondientes. Se abre el fichero practica 1 fiabilidad.sf. Se va a:

DESCRIBE Distributions Distribution Fitting (Uncensored data) (Ajuste de distribucin, datos sin censura)

En Data ponemos el nombre de la variable que queremos analizar. En la prctica se

empezar con V1 y se continuar hasta V4 (el resto se dejan como tarea para la prctica del alumno).

Por defecto, el programa proporciona un resumen numrico (Analysis Summary) y el grfico de la estimacin de la funcin de densidad (Density Trace).

Se va a obtener tambin el resto de herramientas comentadas anteriormente. Para obtener los tests o contrastes de bondad de ajuste, se presiona el botn de opciones de tabla (tabular options) y se selecciona la opcin de test de bondad de ajuste (Goodness-of-fit tests). Tambin se van a obtener dos grficos ms. Se presiona el botn de opciones grficas (graphical options) y se seleccionan el histograma y el QQ-plot.

A continuacin se estudian todos los anlisis para determinar el (los) modelo(s) ms adecuados para esta variable. La figura 9 recoge el resumen del anlisis (Analysis Summary). ste nos indica que la variable V1 es una muestra de 100 observaciones, con un mnimo de 3.68535 y un mximo de 3215.24. Nos informa que se le ha ajustado una distribucin normal y que los valores estimados de los parmetros son de 801.838 para la media y de 742.109 para la desviacin tpica.

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Analysis Summary

Data variable: V1

100 values ranging from 3,68535 to 3215,24

Fitted normal distribution: mean = 801,838 standard deviation = 742,109

Figura 9. Resumen del anlisis.

El histograma de los datos se encuentra en la figura 10. Se observa una curva superpuesta a ste. Esa curva es la funcin de densidad correspondiente a una distribucin normal con los parmetros que aparecen en la figura 9.

Histogram for V1

-200 800 1800 2800 3800

V1

0

10

20

30

40

freq

uenc

y

Figura 10. Histograma de V1 con densidad normal.

Tambin se puede observar una incongruencia con la naturaleza de los datos. El lmite inferior del primer intervalo es 200!! Dado que se dispone de datos de tiempos de vida, hay que corregir esto en el grfico, hay que cambiar el lmite inferior del grfico. Esto se hace con el cursor sobre el grfico, presionando el botn derecho y seleccionando opciones de panel (pane options). Aparece la ventana de la figura 11. La primera casilla nos muestra el nmero de clases o intervalos del histograma (debe variarse su valor para ver cmo va cambiando el histograma). La segunda y tercera casilla nos indica el lmite inferior y superior del grfico. En el lmite inferior ponemos un cero, para conseguir un grfico ms consistente con los datos.

Figura 11. Opciones de panel del histograma.

7

El nuevo grfico es el correspondiente a la figura 12. Se observa claramente que la funcin de densidad normal no es adecuada para estos datos que, aparentemente, poseen una distribucin exponencial.

Histogram for V1

V1

freq

uenc

y

0 1 2 3 4(X 1000)

0

10

20

30

40

50

Figura 12. Histograma de V1 corregido.

La figura 13 contiene el grfico de la funcin de densidad estimada (density trace). Este grfico se interpreta como un histograma pero tiene la ventaja de tener un comportamiento suave y continuo.

Density Trace for V1

0 1 2 3 4(X 1000)V1

0

1

2

3

4

5

6(X 0,0001)

dens

ity

Figura 13. Funcin de densidad estimada de V1

La curva obtenida sale por defecto muy suavizada. Para que se vea mejor la distribucin de los datos hay que cambiar el parmetro Interval width (por defecto del 60%) que se encuentra en Pane options. Si modificamos este valor a 10% obtenemos la densidad de la figura 14. Ambas densidades nos muestran de nuevo la falta de ajuste de V1 con la distribucin normal ya que los datos presentan una clara asimetra (hacia la derecha positiva) y la distribucin normal es simtrica.

8

Density Trace for V1

V1

dens

ity

0 1 2 3 4(X 1000)

0

2

4

6

8

10(X 0,0001)

Figura 14. Funcin de densidad estimada de V2 con ancho de banda del 10%.

Por ltimo el grfico QQ-plot (figura 15) muestra una vez ms que la distribucin normal no es adecuada. Los puntos no estn alineados sobre la recta y=x, por lo tanto debemos cambiar a otra distribucin.

Quantile-Quantile Plot

0 1 2 3 4(X 1000)Normal distribution

0

1

2

3

4(X 1000)

V1

Figura 15. QQ-plot de V1 frente a distribucin normal.

Por ltimo debemos confirmar mediante los contrastes de hiptesis lo que se ha venido concluyendo con los anlisis grficos: que la normal no es un buen modelo para estos datos. Antes de pasar a analizar la tabla de dichos contrastes hay que mencionar que cuando el nmero de observaciones es pequeo (menos de 30 datos) no es conveniente hacer uso de los contrastes. Los contrastes son tiles para conjuntos de datos de tamao mayor que 30. En caso contrario la decisin de si nuestros datos pueden seguir un modelo determinado hay que tomarla de forma grfica empleando en mayor medida el ltimo grfico mencionado, el QQ-plot. La siguiente figura (figura 16) muestra la tabla correspondiente al apartado Goodness-of-fit tests o tests de bondad de ajuste. Como se dijo en la parte de conceptos bsicos hay que analizar los p-valores de los contrastes (valores sombreados en la figura 16).

9

Para el test de Chi-cuadrado se tiene un valor de 9.84e-10a, para Kolmogorov 0.0149 y para los otros dos contrastes p-valores menores que 0.01. Por lo tanto, dados estos valores existen evidencias suficientes para decir con una elevada confianza que la variable V1 no sigue una distribucin normal. Goodness-of-Fit Tests for V1

Chi-Square Test---------------------------------------------------------------------------- Lower Upper Observed Expected Limit Limit Frequency Frequency Chi-Square ---------------------------------------------------------------------------- at or below -256,468 0 7,69 7,69 -256,468 44,829 5 7,69 0,94 44,829 255,41 19 7,69 16,62 255,41 429,0 16 7,69 8,97 429,0 584,116 11 7,69 1,42 584,116 730,18 9 7,69 0,22 730,18 873,496 6 7,69 0,37 873,496 1019,56 8 7,69 0,01 1019,56 1174,68 2 7,69 4,21 1174,68 1348,27 3 7,69 2,86 1348,27 1558,85 4 7,69 1,77 1558,85 1860,14 6 7,69 0,37 above 1860,14 11 7,69 1,42 ---------------------------------------------------------------------------- Chi-Square = 46,9006 with 10 d.f. P-Value = 9,84404E-7

Estimated Kolmogorov statistic DPLUS = 0,156492Estimated Kolmogorov statistic DMINUS = 0,14107Estimated overall statistic DN = 0,156492Approximate P-Value = 0,0149233

EDF Statistic Value Modified Form P-Value---------------------------------------------------------------------Kolmogorov-Smirnov D 0,156492 1,57666

QQ-plot para V1 y estas tres distribuciones (exponencial: figura 18, Weibull: figura 19 y Gamma: figura 20) as como el p-valor para el contraste de Kolmogorov (tabla de la figura 21).

Figura 17. Posibles modelos para ajustar.


exponential distribution

V1

0 1 2 3 4(X 1000)

0

1

2

3

4(X 1000)


Weibull distribution

V1

0 1 2 3 4(X 1000)

0

1

2

3

4(X 1000)

Figura 18. Exponencial-V1. Figura 19. Weibull-V1.


gamma distribution

V1

0 1 2 3 4(X 1000)

0

1

2

3

4(X 1000)

Figura 21. Gamma-V1.

Distribucin Parmetros Estimados p-valor Kolmogorov Exponencial Mean: 801.838 0.91884

Weibull Shape: 1.045 Scale: 815.878

0.98327

Gamma Shape: 1.058 Scale: 0.0013

0.98560

Figura 22. Tabla con los parmetros y p-valores de los tests para V1. Grficamente se observan pocas diferencias entre los tres grficos. A pesar de eso si se observa un mejor comportamiento en el correspondiente a la distribucin exponencial,

11

ya que en los otros dos el punto de ms valor est sensiblemente ms alejado que en ste. El comportamiento para el resto de puntos es prcticamente igual. En cuanto a la tabla que contiene las estimaciones de los parmetros y los p-valores se observa que los tres modelos se ajustan muy bien. Para la variable V2 tenemos los siguientes resultados para el ajuste a las densidades exponencial, Weibull, Gamma y lognormal (figuras 23 a 26 respectivamente).


exponential distribution

V2

0 2 4 6 8 10 12(X 1000)

0

2

4

6

8

10

12(X 1000)


Weibull distributionV

2

0 2 4 6 8 10 12(X 1000)

0

2

4

6

8

10

12(X 1000)

Figura 23. Exponencial-V2. Figura 24. Weibull-V2.


gamma distribution

V2

0 2 4 6 8 10 12(X 1000)

0

2

4

6

8

10

12(X 1000)


lognormal distribution

V2

0 2 4 6 8 10 12(X 1000)

0

2

4

6

8

10

12(X 1000)

Figura 25. Gamma-V2. Figura 26. Lognormal-V2.

Distribucin Parmetros Estimados p-valor Kolmogorov Exponencial Mean: 1315.63 0.00544


0.4486


0.1234

Lognormal Mean: 3157.64 Std. Dev.: 23882.6

0.1446

Figura 27. Tabla con los parmetros y p-valores de los tests para V2.

Grficamente se tienen dos opciones por encima del resto, que son el modelo Weibull y el modelo Gamma. De entre los dos el mejor es el del modelo Weibull, ya que en el modelo Gamma el punto de mayor valor est ms alejado y el comportamiento del resto de los puntos es prcticamente idntico. En cuanto a los p-valores recogidos en la figura 27 el modelo que ofrece mayor p-valor es el Weibull, por lo tanto si debemos decir qu modelo es ms parecido a estos datos elegiramos sin duda a ste.

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Para la variable V3 se tienen dos posibles modelos de nuevo: el Weibull y el Gamma. Las figuras 28 y 29 respectivamente contienen sus QQ-plot. Y la tabla de la figura 30 contiene los p-valores y los parmetros estimados para estos modelos.



V3

0 1 2 3 4 5(X 10000)

0

1

2

3

4

5(X 10000)


gamma distribution

V3

0 1 2 3 4 5(X 10000)

0

1

2

3

4

5(X 10000)

Figura 28. Weibull-V3. Figura 29. Gamma-V3.

Distribucin Parmetros Estimados p-valor Kolmogorov Weibull Shape: 0.62

Scale: 1756.52 0.95


0.83

Figura 30. Tabla con los parmetros y p-valores de los tests para V3. Para V4 se tienen esencialmente dos posibilidades: Erlang y Weibull. A continuacin se muestran los grficos y la tabla que confirman dicha posibilidad.



V4

0 300 600 900 1200 1500 18000

300

600

900

1200

1500

1800


Erlang distribution

V4

0 300 600 900 1200 1500 18000

300

600

900

1200

1500

1800

Figura 31. Weibull-V4. Figura 32. Erlang-V4.

Distribucin Parmetros Estimados p-valor Kolmogorov


0.94

Erlang Shape: 2 Scale: 0.0031

0.86

Figura 32. Tabla con los parmetros y p-valores de los tests para V4. Supongamos el modelo exponencial para la variable V1:

DESCRIBE Distributions Distribution Fitting (Uncensored data) (En data poner V1)

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Presionar el botn derecho y seleccionar Analysis Options. Elegir la distribucin exponencial. Cmo se puede saber cual es la supervivencia segn este modelo estimado para la variable V1? Cmo se puede obtener un valor crtico? (La definicin de valor crtico es la misma que la de cuantil). Para obtener estos valores hay que presionar el botn de opciones de tabla y seleccionar las opciones tail areas y critical values (figura 33).

Figura 33. Opciones de tabla.

La opcin de tail areas da como resultado el valor de la funcin de distribucin en un determinado punto. As pues si se desea conocer la supervivencia de la variable V1 segn un modelo exponencial (ajustado a esos datos) para el instante 100, es decir, S(100), debemos obtener la funcin de distribucin en dicho valor, ya que S(100)=1-F(100). Para hacer esto hay que situar el cursor encima del panel de tail areas, presionar el boton derecho y elegir la opcin pane options. Aparecer una ventana con cinco casillas. En cada casilla se puede introducir un tiempo de inters. En este caso se pondr 100 en una de ellas (figura 34) y se presionar el boton OK.

Figura 34. Pane options de tail areas.

El programa proporciona: area below 100.0 =0.11725, es decir, probabilidad de que el tiempo de vida del componente V1 sea menor que 100 (esto es P(T

obtenidos por medio de tail areas se pueden rehacer los clculos de fiabilidad de los sistemas de la prctica 1. En cuanto a los valores crticos, la forma de obtenerlos es anloga. Cul es el valor de la variable para el que la supervivencia vale 0.45? Se pide el tiempo de fallo para el que S(x)=0.45, es decir, para que 1-F(x)=0.45, o lo que es lo mismo, para que F(x)=0.55. Para el panel de critical values se obtienen sus pane options y se introduce 0.55 en una de las casillas (figura 35). Obtenindose que F-1(0.55)=640.274.

Figura 35. Pane options de critical values.

Simulacin de variables aleatorias: En esta seccin se va a aprender a simular muestras de variables aleatorias con el objetivo de realizar simulaciones de sistemas de componentes. Supongamos que se tienen cuatro componentes cuyas duraciones se distribuyen de la siguiente manera:

C1: Weibull(2,750) C2: Weibull(0.7, 1500) C3: Exponencial(1000) C4: Exponencial(1300)

Se van a generar para cada componente una muestra de 5000 observaciones que ser empleada para simular los tiempos de fallo del primer sistema de la prctica anterior (figura 36).

Figura 36. Sistema descompuesto en subsistemas.

Se comenzar generando las muestras de los componentes C1 y C2:

15

DESCRIBE Distributions Probability Distributions

Aparece una ventana de seleccin de modelo (figura 37). En sta seleccionamos la opcin Weibull.

Figura 37. Seleccin de distribucin.

Por defecto el anlisis muestra informacin para una Weibull(1,1). As pues, lo primero que se debe hacer es poner los parmetros de las distribuciones de los componentes C1 y C2. Lo hacemos presionando el botn derecho y seleccionando las opciones de anlisis (Analysis Options). Se pueden introducir hasta cinco pares de parmetros distintos. Se rellena la tabla como muestra la figura 38.

Figura 38. Parmetros componentes C1 y C2.

En el grfico de la funcin de densidad aparecen ahora dos curvas, una para cada componente. En este anlisis podemos obtener la tasa de fallos, la funcin de supervivencia y la de distribucin (en la parte grfica). Si se hace ha de obtenerse una curva creciente para la tasa de fallos del componente C1 y otra decreciente para el componente C2 (ver los valores del parmetro de forma).

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Para generar nmeros aleatorios se trabaja con las opciones numricas, , seleccionando random numbers o nmeros aleatorios. Las otras opciones son tail areas y critical values para esta distribucin con estos parmetros (figura 39).

Figura 39. Opciones de tabla de probability distributions.

En el nuevo panel del anlisis se informa que se han generado 100 nmeros aleatorios de las distribuciones que se estn analizando. Pero hay que cambiar el tamao de la muestra. Eso se hace en pane options (botn derecho). Se introduce 5000 en la nueva ventana (figura 40).

Figura 40. Tamao muestral nmeros aleatorios.

Tan slo falta guardar estas muestras en nuevas variables, cuyos nombres sern C1 y C2. Esto se hace presionando el botn . Se rellena la nueva ventana como se indica en la figura 41.

Figura 41. Guardar aleatorios con nombre.

El proceso se repite para los componentes C3 y C4. Los aleatorios los guardamos con esos mismos nombres. NOTA IMPORTANTE: Se estn generando nmeros aleatorios. Cada vez que se repita el proceso los nmeros cambian y, por lo tanto, los clculos de fiabilidad

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tambin lo harn. Pero, al trabajar con muestras de un tamao tan grande, si los clculos son correctos, las variaciones sern muy pequeas. Igual ocurre con los siguientes grficos, de forma aproximada han de ser as, pero habr detalles que varen un poco. Una vez que se tienen la cuatro nuevas variables (de C1 a C4). Podemos obtener como se hizo en la prctica 1 los tiempos de fallo de esta muestra de 5000 sistemas que se ha obtenido. Entonces se puede obtener la tasa de fallos acumulada y saber si el sistema tiene tasa de fallos creciente, decreciente o constante. Nota: Recordar que haba que generar nuevas columnas, de nombres: S12, S123 y S1234; con los siguientes textos:

Para S12: C1*(C1

otras simulaciones se obtendrn otros resultados pero cercanos a este). Debido a que esta probabilidad es menor que la que se obtuvo en la prctica 1, que fue de 0.92 (con el primer mtodo, el que se ha usado aqu) y 0.905 (con el segundo mtodo) se concluira que para montar este sistema, los componentes usados en la prctica anterior se comportan prcticamente de la misma manera que los simulados aqu. Autoevaluacin de la prctica: Se puede dar por superada esta prctica cuando tras su realizacin el alumno sea capaz de: Encontrar el/los modelo/s ms adecuado/s a un conjunto de observaciones Identificar cuando un modelo no es adecuado para un conjunto de observaciones Calcular supervivencias en cualquier instante para un modelo ajustado a unos datos

y lo mismo para los valores crticos (probability distributions) Calcular supervivencias en cualquier instante para un modelo ajustado a unos datos

y lo mismo para los valores crticos (distribution fitting) Generar nmeros aleatorios y combinarlos para obtener simulaciones de sistemas de

varios componentes

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F-1(Fn (xi)) Por ltimo debemos confirmar mediante los contrastes de hiptesis lo que se ha venido concluyendo con los anlisis grficos: que la normal no es un buen modelo para estos datos. Antes de pasar a analizar la tabla de dichos contrastes hay que mencionar que cuando el nmero de observaciones es pequeo (menos de 30 datos) no es conveniente hacer uso de los contrastes. Los contrastes son tiles para conjuntos de datos de tamao mayor que 30. En caso contrario la decisin de si nuestros datos pueden seguir un modelo determinado hay que tomarla de forma grfica empleando en mayor medida el ltimo grfico mencionado, el QQ-plot.

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