fiabilidad (i): conceptos bÁsicos

Conceptos básicos de Fiabilidad

Proyecto e-Math 1 Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

FIABILIDAD (I): CONCEPTOS BÁSICOS

Autores: Ángel A. Juan ([email protected]), Rafael García Martín ([email protected]).

RELACIÓN CON OTROS MATH-BLOCS__________________________________

Este math-block forma parte de una serie de 8 documentos relacionados todos ellos con la Fiabilidad de componentes desde un punto de vista estadístico:

• Conceptos Básicos (I). • Identificación y descripción gráfica de los datos (II). • Análisis paramétrico de los tiempos de fallo (III). • Análisis no paramétrico de los tiempos de fallo (IV). • Comparación no paramétrica de muestras (V). • Tests de vida acelerada (VI). • Modelos de regresión para observaciones censuradas (VII). • Análisis Probit (Éxito / fracaso) (VIII).

MAPA CONCEPTUAL_________________________________________________

Distribuciones

habituales en fiabilidad

Fiabilidad (I):

Conceptos Básicos

Función de Supervivencia y Tasa de Fallos

Tabla de Superv.

Exponencial

Weibull

Lognormal



INTRODUCCIÓN_____________________________________________________

Muchas de las técnicas que se presentan a lo largo de este trabajo, en especial las no paramétricas, fueron inicialmente desarrolladas para su uso en estudios médicos y biológicos bajo el nombre genérico de análisis de supervivencia (comparación de diferentes tratamientos médicos, determinación de los factores que intervienen en la supervivencia de los peces de un río, etc.).

En la actualidad, sin embargo, la aplicación de dichas técnicas, en especial las paramétricas, se ha extendido a otras áreas como la económica o la industrial bajo el nombre de análisis de tiempos de fallo (establecimiento de períodos de garantía de un producto, diseño de planes de mantenimiento preventivo, etc.).

La fiabilidad de un dispositivo (componente o sistema), sometido a unas condiciones de trabajo concretas, es la probabilidad de que éste funcione correctamente (“sobreviva” sin fallar) durante un determinado período de tiempo. Así pues, la fiabilidad constituye un aspecto fundamental de la calidad de todo dispositivo. Por tal motivo, resulta especialmente interesante la cuantificación de dicha fiabilidad, de forma que sea posible hacer estimaciones sobre la vida útil del producto.

Así, por ejemplo, en el caso de una avioneta monomotor, será de gran conveniencia conocer la probabilidad de éste falle en diferentes etapas de su vida (tras 500 horas de funcionamiento, 800 horas de funcionamiento, etc.). El obtener una buena estimación de la fiabilidad del motor, posibilitará la toma de decisiones racionales acerca de cuándo conviene revisarlo o cambiarlo por otro nuevo.

Hay una característica común a los datos que aparecen en la mayoría de los estudios sobre la fiabilidad de un dispositivo, y es el hecho de que contengan observaciones censuradas: supongamos que se lleva a cabo una investigación, de duración predeterminada, para analizar la efectividad de un nuevo método de producción de bombillas. La variable de interés en este caso sería el número de días que cada una de las bombillas “sobrevive” (funciona correctamente, sin fallos).

A primera vista, parecería sensato utilizar los métodos estadísticos tradicionales (tanto paramétricos como no paramétricos) con objeto de describir el tiempo medio de supervivencia y comparar el nuevo método de producción con los métodos anteriores. Sin embargo, al final de la investigación, es probable que siga habiendo bombillas que funcionen correctamente, y el investigador no será capaz de estimar con precisión cuánto tiempo más permanecerán sin fallar.

Para trabajar con este tipo de datos con información parcial no servirán pues los métodos tradicionales, sino que serán necesarias técnicas específicas como las que presentamos en este trabajo.

El math-block comienza con la definición de tres conceptos estadísticos básicos: función de fiabilidad, vida media de un dispositivo, y tasa de fallo. Se clasifican después los distintos tipos de observaciones censuradas, y se comenta el uso de los tests Chi-cuadrado para realizar contrastes de hipótesis.

El documento concluye con la presentación de las tablas de supervivencia (un método clásico, no paramétrico, que permite realizar estimaciones sobre los tiempos de fallo), y de algunas de las distribuciones teóricas que más se utilizan en el análisis de la fiabilidad como son la exponencial, la Weibull, y la lognormal.



FUNCIÓN DE FIABILIDAD, VIDA MEDIA Y TASA DE FALLO_________________

Notación: en lo que sigue, se denotará por T a la variable aleatoria continua que describe los tiempos de fallo de un determinado dispositivo, i.e.: T = “tiempo transcurrido hasta que se produce el fallo".

Denotando por f(t) a la función de densidad de probabilidad (f.d.p.) de T, y por F(t) a su función de distribución (f.d.), se cumplirá:

Dado 0 < p < 1, por tp se denotará al cuantil p de F(t), i.e., tp será el menor instante temporal t tal que F(t) = P( T ≤ t ) ≥ p .

• La función de fiabilidad R(t) o función de supervivencia S(t), es la complementaria de la f.d. de T, i.e., nos determina la probabilidad de que el dispositivo “sobreviva” al instante t (esta función determina la proporción de dispositivos iniciales que seguirán funcionando correctamente en el instante t):

)()(1)()( tTPtFtRtS >=−=≡

• Se llama vida media o tiempo medio hasta el fallo (Mean Time To Failure) de un dispositivo a la esperanza de la v.a. T, i.e., la vida media determina el tiempo de duración esperada de un dispositivo:

[ ] ∫∞

==0

)( dttftTEMTTF

Cuando se consideren dispositivos reparables (que puedan seguir funcionando tras un fallo), se hablará de tiempo medio entre fallos (MTBF).

• Se define la tasa de fallo media en el intervalo (t1 , t2 ) como:

)()()()(),(112

2121 tRtt

tRtRtth−

−=

Observar que R(t1) – R(t2) representa la proporción de dispositivos totales que, habiendo sobrevivido al instante t1 , han fallado en el intervalo (t1,t2). Al dividir esta diferencia por R(t1) se obtiene la proporción de dispositivos supervivientes a t1 que han fallado en (t1,t2), i.e.:

)()()(

1

21

tRtRtR −

es la probabilidad condicional de que un dispositivo que haya sobrevivido al instante t1 falle en el intervalo (t1,t2). Finalmente, al dividir por la longitud del intervalo, obtenemos la proporción anterior (su media) por unidad de tiempo.

• Haciendo tender t2 a t1, obtenemos la llamada tasa de fallo o tasa de riesgo:

)()(

)()(

)()(

)()()()(lim)(

1

1

1

1

1

1

112

21

121 tRtf

tRtF

tRtR

tRtttRtRth

tt=

′=

′−=−

−=→

La tasa de fallo puede pues interpretarse como la “velocidad” a la cual se producen los fallos, i.e.: es una medida de lo propenso que resulta el dispositivo a fallar en función de su edad.

∫=≤≤b

adttfbTaP )()( ∫=≤=

tduuftTPtF

0)()()( dt

tdFtf )()( =



En la mayoría de los dispositivos electromecánicos, la función tasa de fallo tiene forma de bañera: cuando se inicia la vida de un aparato, la tasa de fallo instantánea resulta ser relativamente alta (es lo que se denomina "mortalidad infantil"); una vez que los componentes y partes electromecánicas se han acoplado, la tasa de fallo es relativamente constante y baja (etapa de “vida útil”); más adelante, tras un tiempo de funcionamiento, la tasa de fallo vuelve a incrementarse hasta que, finalmente, todos los dispositivos habrán fallado (“efecto envejecimiento”).

Así, por ejemplo, muchos automóviles nuevos suelen presentar pequeños defectos de funcionamiento al poco de comprarse (elevada tasa de fallos inicial). Una vez solventados tales defectos, es de esperar que el vehículo proporcione un largo y complaciente período de funcionamiento (baja tasa de fallos intermedia). Mas tarde, conforme pasan los años, el automóvil se vuelve más propenso a sufrir averías hasta que, finalmente, después de 15 o 20 años, prácticamente todos los vehículos están inservibles (elevada tasa de fallos final).

Observar que, a partir de la última ecuación, es posible expresar R(t) como función de h(t):

)()(-)()(

)(1-

)(

)(

)()()(

tRtdRdtth

dttdR

tRtRdt

tdF

tRtfth =⇒⋅=

==

si ahora tomamos integrales a ambas partes:

[ ] )(log-)(log-)()()( 0

00

tRuRduuRudRduuh t

tt

=== ∫∫

de donde:

∫

=

t

0

h(u)du-

)( etR

Tiempo

Tasa

de

fallo

h(t)

PERÍODO DE DESGASTE T suele seguir una distribución Weibull

PERÍODOINFANTIL

T suele seguiraprox. una

distrib. Weibull

ETAPA VIDA ÚTIL

T suele seguir una distrib.

Exponencial o Weibull



OBSERVACIONES CENSURADAS______________________________________

Normalmente, los estudios de fiabilidad tienen una duración predeterminada, por lo que no todos los dispositivos analizados habrán fallado a su conclusión. Por tanto, el investigador sabrá que un cierto número de dispositivos han “sobrevivido” durante el período de tiempo que ha durado el test, pero desconocerá el momento exacto en que hubieran fallado si el estudio se hubiese prolongado de forma indefinida. Este tipo de datos se llaman observaciones censuradas.

Las observaciones de censura por tiempo o de tipo I aparecen al finalizar un test de duración predeterminada: de los dispositivos “supervivientes” sólo se sabe que no han fallado hasta ese momento. En este caso, el tiempo de duración del test es fijo, mientras que el número de productos que fallan es una v.a.

Por contra, las observaciones de censura por fallos o de tipo II aparecen cuando el test continúa hasta que una proporción predeterminada de dispositivos hayan fallado. Ahora, el número de productos que fallan es fijo, siendo el tiempo de duración del test una v.a.

En los gráficos anteriores muestran los dos tipos de censura: en el primero, el experimento termina cuando se llega al instante t0 ; en el segundo, el experimento termina cuando falla un determinado porcentaje de dispositivos, en este caso 5.

Por otra parte, cuando la censura ocurre para un t > 0 (siendo t = 0 el instante en que se inicia el test de fiabilidad) estaremos ante lo que se conoce como censura a la derecha. Podría ocurrir también que la censura tuviera lugar para t < 0 (censura a la izquierda): por ejemplo, en una investigación médica sobre el cáncer, se puede saber que el paciente ingresó en el hospital en una fecha determinada (fecha de inicio del test), y que sobrevivió durante un intervalo temporal

1 T1

t0

T3

t0

T5

T6

t0

234567

....

t0

CENSURA TIPO I

El Dispositivo falla Tiempo

1 T1

T3

T5

T6

234567

....CENSURA TIPO II

T2

Tiempo

1234567

....CENSURA A DERECHA

Tiempo

Fallo observadoFallo NO observado

1234567

....CENSURA A IZQUIERDA

Tiempo



definido; sin embargo, probablemente no se conocerá cuándo aparecieron por primera vez los síntomas de la enfermedad.

Se suele hablar de censura por intervalos o arbitraria para referirse a observaciones que han sido censuradas tanto a derecha como a izquierda (es decir, de ellas sólo sabemos que entran en la investigación cuando ésta ya estaba inicializada y salen de la misma, sin haber fallado, antes de que finalice).

Finalmente, se puede tener censura simple (si el experimento finaliza en el mismo instante para todos los dispositivos observados), o censura múltiple. Un ejemplo de esta última sería cuando los pacientes abandonan el hospital en instantes diferentes (bien por estar recuperados, bien por irse a otro centro, etc.).

INTERPRETACIÓN DE LOS TESTS CHI-CUADRADO χχχχ2 ____________________

En los próximos math-blocks se usará un test χ2 para contrastar la bondad del ajuste propuesto o para contrastar diferencias entre grupos. Dado que las hipótesis del test serán diferentes según el contexto en que estemos, también lo serán las conclusiones que se extraigan a partir del p-valor.

Un p-valor es estadísticamente significativo cuando sea menor o igual a una constante prefijada α. Si así ocurre, se rechazará la hipótesis nula H0 en favor de la hipótesis alternativa H1. La constante α representa la probabilidad condicional de rechazar la hipótesis nula, a partir de las observaciones, en el supuesto de que esta hipótesis sea cierta (esto se conoce como error de tipo I). Por tal motivo, interesa elegir un valor muy pequeño para α.

Fallo observadoFallo NO observado

1234567

....CENSURA ARBITRARIA O POR INTERVALOS

Tiempo

1234567

....CENSURA SIMPLE

Tiempo

1234567

....CENSURA MÚLTIPLE

Tiempo



H0 : Todos los grupos son (aprox.) iguales H1 : Todos los grupos NO son iguales

H0 : El modelo propuesto NO es mejor que el modelo nulo (i.e.: todos los coeficientes son cero) H1 : El modelo propuesto es significativamente mejor que el nulo (i.e.: no todos los coeficientes

Habitualmente se toma α = 0,05, con lo cual sólo en 5 de cada 100 casos en los que H0 sea cierta será rechazada. Si se pretende ser aún más exigentes en cuanto a las “evidencias” que se han de presentar para rechazar la hipótesis nula, se tomará α = 0,01 o bien α = 0,005. Observar, sin embargo que, si bien escogiendo un α diminuto resulta más improbable un error de tipo I, también resultará más probable cometer un error de tipo II, i.e.: que la hipótesis nula sea aceptada en las ocasiones en que ésta sea falsa.

Así, cuando se use un test χ2 para contrastar si las observaciones se pueden ajustar mediante una distribución exponencial (i.e., para contrastar si los datos obtenidos podrían corresponder “aproximadamente” a una v.a. que siguiese dicha distribución), el test será:

.

Obtener aquí un p-valor significativo implicará que la distribución utilizada no es buena para ajustar los datos.

Si se recurre a un test χ2 para contrastar posibles diferencias entre grupos muestrales, las hipótesis serán:

Un p-valor significativo implicará aceptar la existencia de diferencias entre grupos.

Finalmente, un test χ2 para determinar la validez de un modelo de regresión será de la forma:

Si el test resulta significativo, se tendrá que al menos una de las variables explicativas del modelo afecta al valor de la variable dependiente.

α = Pr(rechazar H0 cuando H0 cierta)

p-valor <= α? Rechazar H0 NO rechazar H0

Fijar α= 0,05 ó 0,01 ó 0,005 según nivel de exigencia

H0 : Las observaciones corresponden (aproximadamente) a una distrib. Exponencial H1 : Las observaciones NO corresponden a una distrib. Exponencial



TABLA DE SUPERVIVENCIA o ACTUARIAL_______________________________

Uno de los métodos no paramétricos más clásicos y directos para describir la fiabilidad de una muestra es la tabla de supervivencia, la cual no es más que una tabla de frecuencias mejorada y ampliada. A partir de ella es posible hacer una primera estimación sobre el comportamiento de la función de supervivencia S(t), de la función de distribución F(t), de la función de densidad f(t), y de la tasa de fallo h(t). El análisis del siguiente ejemplo, construido con ayuda de la hoja de cálculo Excel (ver archivo TablaSup.xls ), permitirá entender su funcionamiento:

Inputs: Intervalos, dispositivos entranes, disp. censurados, y disp. fallados.

Nota: A fin de obtener estimaciones razonables, el número de dispositivos observados habrá de ser mayor de 30.

Intervalo Inicio Int. Entrantes Censurados En Riesgo Fallados Prob. Fallo Prob. Superv. R(t) f(t) h(t)1 0,00 65 14 58,0 19 0,3276 0,6724 1,0000 0,0020 0,00242 161,36 32 4 30,0 4 0,1333 0,8667 0,6724 0,0006 0,00093 322,73 24 4 22,0 0 0,0227 0,9773 0,5828 0,0001 0,00014 484,09 20 4 18,0 1 0,0556 0,9444 0,5695 0,0002 0,00045 645,45 15 1 14,5 1 0,0690 0,9310 0,5379 0,0002 0,00046 806,82 13 3 11,5 1 0,0870 0,9130 0,5008 0,0003 0,00067 968,18 9 1 8,5 2 0,2353 0,7647 0,4572 0,0007 0,00178 1129,55 6 1 5,5 0 0,0909 0,9091 0,3496 0,0002 0,00069 1290,91 5 1 4,5 1 0,2222 0,7778 0,3179 0,0004 0,0015

10 1452,27 3 2 2,0 0 0,2500 0,7500 0,2472 0,0004 0,001511 1613,64 1 0 1,0 0 0,5000 0,5000 0,1854 0,0006 0,003112 1775,00 1 1 0,5 0 1,0000 0,0000 0,0927 --- ---

Dispositivos Estimaciones

TABLA DE SUPERVIVENCIA (Life Table)

Función de Supervivencia R(t)

0,000,200,400,600,801,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Intervalo

Prob

abili

dad

f.d.p. f(t)

0,00000,00050,00100,00150,00200,0025

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Intervalo

Prob

abili

dad

Tasa de Riesgo h(t)

0,0000

0,0010

0,0020

0,0030

0,0040

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Intervalo

Tasa

de

Rie

sgo

f.d. F(t)

0,000,200,400,600,801,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Intervalo

Prob

abili

dad



La distribución de los tiempos de supervivencia (o tiempos de fallo) se divide en un determinado número de intervalos. Se denotará por (ti-1, ti] al i-ésimo intervalo. Para cada intervalo se registra el número de observaciones o dispositivos que han entrado en buen estado ni (entrantes), el número de los que han fallado en él di (fallados), y el número de observaciones perdidas o censuradas en él ri (censurados).

A partir de estos datos, es posible calcular otros estadísticos adicionales que se describen a continuación:

• Número de observaciones en riesgo n’i : es el nº de observaciones que entró en el intervalo respectivo en buen estado, menos la mitad del nº de observaciones perdidas o censuradas en dicho intervalo:

2i

iir

nn −=′

• Probabilidad de fallo: para cada intervalo, es la proporción de observaciones en riesgo que fallan. En el caso de que un intervalo no registre ningún fallo, se acostumbra a tomar 0,5 en lugar de 0 a la hora de contabilizar el número de fallos (a fin de “suavizar” las funciones estimadas):

i

ii nd

p'

ˆ =

• Probabilidad de supervivencia: es la proporción de observaciones en riesgo que sobreviven (1 – probabilidad de fallo):

ii pq ˆ1ˆ −=

• Función de supervivencia: para cada intervalo, es la proporción de observaciones que han logrado llegar hasta él en buen estado. Se calcula multiplicando la proporción de supervivientes de todos los intervalos anteriores (se supone que los fallos en un intervalo son independientes de los anteriores):

( )∏−

=− −==

1

11 ˆ1)(ˆˆ

i

jjii ptSS

• Función de densidad de probabilidad (f.d.p.): para cada intervalo, es una estimación de la probabilidad de fallo por unidad de tiempo. Para calcularla, primero se halla la diferencia entre la proporción de dispositivos supervivientes al inicio del intervalo y la proporción de supervivientes al final del intervalo. El valor que obtenido se dividirá por la longitud del intervalo:

1

1ˆˆ

ˆ−

+−−

=ii

iii tt

SSf

• Tasa de fallo o de riesgo: es la probabilidad, por unidad de tiempo, de que un dispositivo que haya sobrevivido hasta el inicio del intervalo falle en él. Para hallarla, primero se calculará el cociente entre el nº de fallos (usando 0,5 cuando éste sea 0) y la longitud del intervalo. El resultado obtenido se dividirá por la media entre el número de dispositivos entrantes en dicho intervalo y el número de dispositivos entrantes en el intervalo siguiente:

2/)()(ˆ

1

1

++=

ii

iii

i nntt

d

h

• A fin de obtener estimaciones razonables de la función de supervivencia, de la función de densidad de probabilidad, y de la función tasa de fallo, será necesario disponer de, como mínimo, 30 observaciones completas (no censuradas).



DISTRIBUCIONES HABITUALES EN FIABILIDAD__________________________

La tabla de supervivencia proporciona una visión descriptiva de cómo se distribuyen los tiempos de fallo. Sin embargo, para poder realizar predicciones probabilísticas será necesario conocer cual es (aproximadamente) la distribución de la población que subyace tras las observaciones.

Sea T la variable que representa los tiempos de fallo de un determinado dispositivo ( T > 0 ). El objetivo será conocer (si ello es posible) la función de distribución asociada a T, la cual será de la forma F( t ; θ) = P( T ≤ t ) , siendo θ un vector de parámetros.

En general, la mayoría de distribuciones usadas en fiabilidad tienen, a lo sumo, tres parámetros:

• Parámetro de escala α: este es el parámetro que caracteriza a las distribuciones unipararamétricas. El parámetro de escala define cuán dispersa se encuentra la distribución (en el caso de la distribución normal, el parámetro de escala es la desviación típica).

• Parámetro de forma β: este parámetro define la forma de la distribución. Algunas distribuciones (como la exponencial o la normal) carecen de este parámetro pues tienen una forma predeterminada que nunca varía (en el caso de la normal, ésta tiene siempre forma de campana).

• Parámetro de localización γ: se usa para desplazar una distribución hacia un lado u otro. Esto significa que, dada una distribución cuyo dominio habitual sea [0 , +∞), la inclusión de un parámetro de localización γ cambiará el dominio a [γ , +∞). En el caso de la normal, el parámetro de localización es la media.

Se dice que una v.a. Y pertenece a la familia localización-escala (location-scale) si su f.d. se puede expresar de la forma:

σµ=≤=σµ Φ -y

yYPyF )(),;(

donde Φ no depende de ningún parámetro desconocido. En tal caso, µ ∈ (-∞ , +∞) es el parámetro de localización, y σ > 0 es el parámetro de escala.

Observar que Φ es la f.d. de la v.a. Z = (Y - µ)/σ . Muchas de las distribuciones más habituales, o bien pertenecen a esta familia o bien están íntimamente relacionadas. Ejemplos de distribuciones que pertenecen a esta familia son la normal, la logística, y la de valores extremos:

Normal =σ

µΦσµ

y),;y(F nor donde Φnor es la f.d. de una N(0,1)

Logística =σ

µΦσµ

y),;y(F islog donde Φlogis (z) = exp(z) / (1 + exp(z))

Se dice que una v.a. T pertenece a la familia log-localización-escala si Y = log(T) es un miembro de la familia localización-escala. Ejemplos de distribuciones que pertenecen a esta familia son la exponencial, la Weibull, la log-normal, y la log-logística:

σµΦ=σµ→ )log(

),;(t

tFLogNormal nor


),;(log logt

tFísticaLog is


),;(t

tFWeibull ve donde Φve (z) = 1 – exp{-exp(z)}



Las distribuciones que más se emplean a la hora de modelar tiempos de fallo, algunas de las cuales serán comentadas a continuación, son la Weibull, la exponencial, la normal, la log-normal, la logística, la log-logística, y la de valores extremos.

Distribución Exponencial: se utiliza para modelar el tiempo transcurrido entre dos sucesos aleatorios no muy frecuentes cuando la tasa de ocurrencia, λ , se supone constante.

En fiabilidad se usa para describir los tiempos de fallo de un dispositivo durante su etapa de vida útil, en la cual la tasa de fallo es (aproximadamente) constante, i.e.: h(t) = λ . Una tasa de fallo constante significa que, para un dispositivo que no haya fallado con anterioridad, la probabilidad de fallar en el siguiente intervalo infinitesimal es independiente de la edad del dispositivo.

La tasa de fallo λ es el parámetro que caracteriza a esta distribución. Este valor es la inversa del tiempo medio que transcurre hasta el fallo (o entre dos fallos consecutivos, MTBF, si el dispositivo sigue funcionando), i.e.: α = MTTF = 1/λ . Observar que aquí α es el parámetro de escala, también llamado vida característica. La f.d.p. de una distribución exponencial es de la forma:

{ } 0 , t0 >λ∞<<⋅λ−⋅λ= ttf exp)(

0 50 100

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

t

f(t)

f.d.p. de una Exponencial

lamda = 0,250

lamda = 0,125

0 50 100

0,0

0,5

1,0

t

F(t)

f.d. de una Exponencial

lamda = 0,250

lamda = 0,125

0 50 100

0,0

0,5

1,0

t

S(t)

Función de Supervivencia de una Exponencial

lamda = 0,125

lamda = 0,250

0 50 100

0,15

0,20

0,25

t

h(t)

Tasa de Riesgo de una Exponencial

lamda = 0,125

lamda = 0,250



Una generalización de la distribución anterior sería la distribución exponencial bi-paramétrica, cuya f.d.p. es de la forma:

αγ

α=γα t

tf exp1

),;( ,

donde α = 1/λ > 0 es el parámetro de escala, y γ es el parámetro de localización. Notar que cuando γ = 0 se obtiene la distribución exponencial de un único parámetro.

Distribución de Weibull: Se ha comentado antes que la distribución exponencial es utilizada a menudo para modelar los tiempos de fallo cuando la tasa de riesgo es constante. Si, por el contrario, la probabilidad de fallo varía con el tiempo resulta más apropiada una Weibull (de hecho la exponencial puede verse como un caso particular de la Weibull).

La Weibull es tan flexible que, eligiendo adecuadamente sus parámetros, permite describir las tres etapas de la función tasa de fallos (curva de la bañera). Esta distribución viene caracterizada por dos parámetros: α (escala) y β (forma). Su f.d.p. es:

0 , 0 , t0 texpt)t(f1

>β>α∞<<

α−⋅

α⋅

αβ=

β−β

Observar que cuando β =1, basta con tomar α = 1/λ para obtener la f.d.p. de la distribución exponencial.

20100

0,15

0,10

0,05

0,00

t

f(t)

f.d.p. f(t) Weibull para escala = 10

forma = 4

forma = 2

forma = 1

0 10 20

0,0

0,5

1,0

t

F(t)

f.d. F(t) Weibull para escala = 10

forma = 1

forma = 4

forma = 2

0 10 20

0,0

0,5

1,0

t

R(t)

Función Supervivencia Weibull para escala = 10

forma = 4

forma = 1forma = 2

0 5 10

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

t

h(t)

Tasa Riesgo h(t) Weibull para escala = 10

forma = 1

forma = 4

forma = 2



Distribución Lognormal: La f.d.p. de una distribución normal es no nula en todo el eje real (y no sólo en el semieje positivo). Por este motivo, el uso de la normal implicaría que el fallo puede producirse antes del instante t = 0. Para evitar esta inconveniencia que presenta la distribución normal, se puede utilizar en su lugar la distribución Log-normal.

Se dice que una variable aleatoria T sigue una distribución Lognormal (base e), de parámetros γ (localización) y α (escala), cuando su logaritmo neperiano Y = Log(T) se distribuye de forma normal con media γ y desviación típica α.

Inversamente, dada una v.a. Y≈N(π,σ), la variable aleatoria T = eY seguirá una distribución Lognormal (base e) de parámetros γ = µ (localización) y α = σ (escala), cuya f.d.p. será:

( ) 0t >

µ−σ

−⋅π⋅σ

= 22

)ln(2

1exp

2

1)( t

ttf

0 1 2 3 4 5

0,0

0,5

1,0

1,5

t

f(t)

f.d.p. f(t) Lognormal para mu = 0

sigma = 0,3

sigma = 0,5

sigma = 1

0 1 2 3 4 5

0,0

0,5

1,0

t

F(t)

f.d. F(t) Lognormal para mu = 0

sigma = 0,3

sigma = 0,1

sigma = 1

0 1 2 3 4 5

0,0

0,5

1,0

t

R(t)

Función Supervivencia Lognormal para mu = 0

sigma = 0,3

sigma = 0,1

sigma = 1

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

t

h(t)

Tasa Riesgo h(t) Lognormal para mu = 0

sigma = 0,3 sigma = 0,1

sigma = 1



BIBLIOGRAFÍA______________________________________________________ [1] Arsenault, J.E.; Roberts, J.A.(1980): Reliability and maintainnability of electronic systems.

Computer Science Press. [2] Ascher, H.; Feingold, H. (1984), Repairable systems reliability. Dekker. [3] Barlow & Proshan (1981). Statistical theory of reliability and life testing. To begin with. [4] Breuer, M.A.; Friedman, A.D (1976), Diagnosis and reliable design of digital systems.

Computer Science Press. [5] García Muñoz R., Quiles Flor F (1992), Fiabilidad y Test de Sistemas. Depto Informática

Albacete, UCLM. [6] Sundararajan, C.R. (1991), Guide to reliability engineering. VNR. [7] Trivedi (1982). Probability and statistics with reliability, queueing and computer science

applications. Ed. Prentice Hall. [8] Warleta, J. (1973), "Fiabilidad. Bases teóricas y prácticas". INTA. [9] Zacks (1992). Introduction to reliability analysis. Ed. Springer Verlag.

ENLACES___________________________________________________________ [W1] Desde la página de la empresa española ISDEFE podemos bajarnos dos libros de la serie

azul de las monografias. El primero de ellos es Fiabilidad de Joel A. Nachlas.

así como también el libro Mantenibilidad de Jezdimir Knezzevic.



ambos son excelentes introduciones al tema. [W2] Antonio Ángel Blesa de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria ha elaborado un

excelente Tutorial sobre fiabilidad.

fiabilidad (i): conceptos bÁsicos

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