OBJETIVOS:El alumno determinara la incertidumbre en el resultado de una medicin indirecta empleando la propagacin de las incertidumbres.

INTRODUCCION TEORICA:El fsico alemn Werner K. Heisenberg es conocido sobre todo por formular el principio de incertidumbre, una contribucin fundamental al desarrollo de la teora cuntica. Este principio afirma que es imposible medir simultneamente de forma precisa la posicin y el momento lineal de una partcula. El principio de incertidumbre ejerci una profunda influencia en la fsica y en la filosofa del siglo XX.

Tipos de Mediciones a) Mediciones directasSe dice que una medicin es directa cuando se obtiene el valor de una magnitud de inters directamente de la lectura de un instrumento, sin necesidad de involucrar ninguna operacin matemtica. Por ejemplo si queremos medir la longitud de una mesa y utilizamos para ello un flexmetro. En este caso la incertidumbre asociada a dicha medicin depende solamente del tipo y de la resolucin del instrumento, segn las reglas explicadas anteriormente.

b) Mediciones indirectasSe dice que una medicin es indirecta cuando no es posible obtener el valor de la magnitud de inters directamente de la lectura de un instrumento, y es necesario hacer clculos matemticos para obtenerlo. Por ejemplo si queremos conocer el rea de una superficie cuadrada, tendremos que medir la longitud del lado con un instrumento adecuado, digamos que un flexmetro, pero luego tendremos que elevar el resultado de esa medicin al cuadrado para obtener el rea. En este caso la medicin del rea es indirecta. Para obtener las incertidumbres asociadas con mediciones indirectas es necesario realizar un procedimiento matemtico conocido como propagacin de incertidumbres. En ocasiones una dimensin mide directa o indirectamente, aunque en otras solo puede medirse de manera indirecta, puesto que nos se cuenta con los instrumentos necesarios para hacerlo directamente o porque al hacerlo se obtienen errores mayores a los deseados Debe reportarse un error al resultado de la operacin matemtica, de lo contrario estaremos suponiendo que las mediciones derivadas de operaciones matemticas son exactas, lo cual no es posible. Puesto que es mejor ser pesimistas en la estimacin de errores, se debe de adoptar el criterio de considerar que la incertidumbre del resultado es igual a la suma de las incertidumbres de todas las dimensiones medidas directamente. En principio, la estimacin de errores debe ser la misma sin importar si se trata de suma, resta, multiplicacin o divisin. En todos los casos se deben sumar las incertidumbres. En algunas ocasiones conviene sumar las incertidumbres relativas y en otras las absolutas. Considerando que el error puede ser mayor cuando se mide una sola vez, aplicamos un criterio menos pesimista cuando todas o casi todas las dimensiones directas se miden varias veces. En este caso las incertidumbres se pueden elevar al cuadrado antes de sumarlas y obtener la raz cuadrada del resultado de la suma. Con esto, el resultado es ligeramente menor. As, 20

podramos asumir como criterio general: la incertidumbre asociada a una medicin indirecta debe ser igual a la suma de las incertidumbres de todas las mediciones directas involucradas. El resultado se interpreta de la siguiente manera: si se hubiera medido directamente la dimensin, en vez de calcularla a partir de otras mediciones, el error experimental estimado no rebasara el valor combinado de las incertidumbres de las mediciones utilizadas en la operacin matemtica. Clculo de incertidumbres y expresin de los resultados de las prcticas. Ningn experimento en el que se mide una cierta magnitud es absolutamente preciso, es decir, el resultado de la medida no coincide exactamente con el valor real de la magnitud. Si queremos utilizar el experimento para comprobar una teora (o tambin para caracterizar un producto que va a ser comercializado) es necesario estimar la desviacin del valor medido con respecto al valor real. La teora de errores estudia cmo estimar esta desviacin. En estas notas se explica qu es la incertidumbre de una medida, cmo se calcula y cmo deben expresarse los resultados de las medidas

1. Error e incertidumbreEn un procedimiento experimental que nos proporciona el valor de una magnitud X, el resultado no coincide exactamente con el valor real de dicha magnitud. La diferencia entre el valor real y el valor medido se llama error de la medida.

El error es siempre desconocido, pero puede estimarse una cota superior para su valor. absoluto. Esta cota se denomina incertidumbre de la medida y se denota por X. De la definicin de error y de incertidumbre deducimos que el valor real de la medida se encuentra en el intervalo:

A veces es til comparar el error de una medida con el valor de la misma. Se define para ello la incertidumbre relativa de una medida como el cociente:

Clculo de incertidumbresLa incertidumbre se calcula de forma diferente dependiendo de si el valor de la magnitud se observa directamente en un instrumento de medida (medida directa) o si se obtiene manipulando matemticamente una o varias medidas directas (medida indirecta).

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Clculo de la incertidumbre en medidas directasLa forma de calcular la incertidumbre absoluta X depende del nmero n de medidas efectuadas:

Una sola medida (n=1)En este caso tomaremos la incertidumbre debida a la precisin del instrumento de medida. Normalmente se toma igual a la divisin mnima de su escala y la denotamos por p. X = p Hay casos en donde el procedimiento de medida aumenta la incertidumbre p y sta no puede tomarse igual a la graduacin de la escala. Por ejemplo, si se utiliza un cronmetro capaz de medir centsimas de segundo pero es el experimentador quien tiene que accionarlo, la precisin p de la medida ser el tiempo de reaccin del experimentador, que es del orden de dos dcimas de segundo.

Ms de una medida (n2)

Veamos ahora cmo se puede estimar la incertidumbre debida a factores ambientales aleatorios. Para esta estimacin es necesario repetir la medida varias veces en las mismas condiciones. En cada una de estas repeticiones de la medida los factores aleatorios afectan de forma diferente, lo que permite obtener informacin acerca de su magnitud. Si repetimos n veces la medida de una magnitud X y denotamos por X1,X2,X3,...,Xn los resultados de las n medidas, entonces el mejor valor es la media aritmtica, es decir:

Tomaremos como incertidumbre absoluta X la mayor entre la incertidumbre debida a la precisin del aparato p y la debida a factores aleatorios, que depender del nmero de medidas:

Donde Dm es la desviacin mxima y viene definida como:

y m es la desviacin tpica de la media (o error cuadrtico de la media) y viene dada por la expresin:

Por tanto m es una medida del grado de dispersin de la distribucin de los valores alrededor de la media. Cuando m es grande, los valores individuales estn muy dispersos.

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Finalmente, la medida directa debe expresarse en la forma (con los redondeos que se explican en la seccin siguiente):

Clculo de la incertidumbre de una medida indirectaSupongamos que se desea medir la magnitud R=f(X,Y,Z), que es funcin de otras magnitudes X,Y,Z, que se han medido directamente, junto con sus incertidumbres directas, obtenindose los valores:

La incertidumbre de la magnitud R viene dada por:

Incertidumbre absoluta:En general se representa con una letra delta mayscula () inmediatamente antes del smbolo que represente a la variable de inters. No es ms que el valor absoluto de la diferencia entre el valor real y el valor medido. Sin embargo como el valor real es por definicin desconocido, se utilizan las reglas prcticas explicadas anteriormente para asociar una incertidumbre a cada medicin. La incertidumbre absoluta tiene las mismas unidades que la variable a la que est asociada y no depende de la magnitud de esta sino solamente de la resolucin del instrumento utilizado. As por ejemplo si utilizamos un flexmetro (instrumento continuo, de resolucin=1mm) para medir tanto la longitud de un lpiz como la altura de una puerta, las incertidumbres absolutas de ambas mediciones sern idnticas. Por ejemplo: Largo del lpiz: l lC l = (8.000.05) cm Alto de la puerta: a aC a = (210.400.05) cm

Incertidumbre relativa:Representa que proporcin del valor reportado es dudosa. En estas notas utilizaremos el smbolo R inmediatamente antes del smbolo que represente a la variable de inters para representar la incertidumbre relativa. Para ilustrar ms claramente este concepto utilizaremos de nuevo los ejemplos del largo del lpiz y el alto de la puerta.

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MATERIAL REQUERIDO: 1 Probeta. 1 calibrador vernier. 1 regla de 30 cm. 1 cilindro de aluminio. 1 hoja de papel milimtrico. 1 flexmetro. 1 regla de madera de 1m 1 transportador. 1 disco de madera.

DESARROLLO EXPERIMENTAL:

1. INCERTIDUMBRE ABSOLUTA Y PRECISION. Actividades: 1. Medimos el ancho y largo de la mesa del laboratorio con el flexmetro y una regla de madera despus registramos los datos en una tabla. 2. Calculamos la incertidumbre absoluta para cada una de las medidas y calculamos la precisin. Instrumento Longitud de la mesa Largo 240 242 Ancho 100 99 Rango mnimo (cm) 0.1 1 el largo de la mesa

Flexmetro Regla de madera Tabla 1

0.05 0.5

Incertidumbre Flexmetro Regla de madera

()tomando como

Tabla 2 Incertidumbre Flexmetro Regla de madera ()tomando como el ancho de la mesa

Calculo de precisin de la tabla 1 ( ) ( ) ( )

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Calculo de precisin de la tabla 2 ( ) ( ) ( ) Deduccin: Estos datos nos revelan que al efectuar o realizar una medicin con diferentes instrumentos de medicin obtenemos una mejor o peor precisin y comparando los datos obtenidos nos indica que si (1%