prÁctica n°3 tii - estado transitorio (con formato)

5/14/2018 PRÁCTICA N°3 TII - ESTADO TRANSITORIO (con formato) - slidepdf.com

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LABORATORIO DE TRANSFERENCIA DE CALOR

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

CARRERA DE INGENIERÍA MECÁNICA

LABORATORIO DE TRANSFERENCIA DE CALOR II

PRÁCTICA N° 3

TÍTULO: Conducción de calor en estado no estacionario.

GRUPO N° X

INTEGRANTES: Diego RoseroSebastián Silva

FECHA DE REALIZACIÓN: 22 de Octubre del 2009

FECHA DE ENTREGA: 29 de Octubre del 2009

ENTREGADO POR: ..................................................

RECIBIDO POR: .......................................................

CALIFICACIÓN: ........................................................

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CONDUCCIÓN DE CALOR EN ESTADO NO ESTACIONARIO.

1. Objetivo.-Determinar el coeficiente de convección y el número de Biot para procesos decalentamiento y enfriamiento de diferentes probetas utilizando agua, aceite y airecomo medios.

2. Resumen de teoría (máximo 3 hojas).-

Una condición fundamental de la conducción del calor en régimen estacionario es laexistencia de un equilibrio termodinámico que conserve las temperaturas establesen cada punto del cerramiento. El comportamiento térmico de los cerramientos ensituaciones reales se caracteriza por la variación de las condiciones del entorno,

siendo frecuente la modificación de las características del ambiente interior al variar la carga térmica interna o la puesta en funcionamiento de sistemas declimatización. Aún más frecuente es la variación de las condiciones ambientalesexteriores, con ciclos diarios de modificación de las temperaturas exteriores y elsoleamiento, o con alteraciones rápidas y aleatorias de las condiciones de viento ynubosidad.La consecuencia de la variación de las condiciones del ambiente provoca que el cerramiento casinunca esté en equilibrio, sino que esté sometido a procesos variables de aumento odisminución de temperatura, con acumulación o disipación de calor en su seno

debido a la propiedad física de su masa denominada calor específico Cp . El

resultado es que, al proceso de transmisión de calor a través del cerramiento seañade un proceso de acumulación, ambos variables en el tiempo, que se denominaconducción en régimen transitorio y una de sus consecuencias es el fenómeno dela inercia térmica.Para determinar la distribución de temperaturas en régimen transitorio y, finalmente,la transferencia de calor por unidad de tiempo, necesitamos resolver la ecuacióngeneral de la conducción, en la cual se considera la transmisión y acumulación decalor. La resolución de la anterior ecuación diferencial en derivadas parciales de2do orden y averiguar una solución general exige unas técnicas matemáticas muyavanzadas, y ello siempre que se pueda acotar las condiciones espaciales y

temporales.Se disponen de numerosas referencias que aportan soluciones específicas a laecuación general de la conductividad, basándose en condiciones muy concretas.En otras ocasiones se proponen hipótesis simplificadoras, algunas de las cualespueden provocar errores que se acotan. Por último, existen fórmulas basadas enseries de ecuaciones, que se pueden resolver por cálculo iterativo, o con solucionestabuladas.En general, algunas de estas ecuaciones pueden ser de aplicación para la soluciónde casos muy específicos en la transmisión de calor en sólidos, aunque no son losuficiente generales para resolver los casos reales de la mayoría de loscerramientos de edificios.

Método de la resistencia interna despreciable.-

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Figura N° 01.- Transferencia de calor por convección del sólido al aire

Un procedimiento para simplificar la solución es considerar que el sólido puedavariar su temperatura, pero que todo su interior se encuentre a la mismatemperatura, debido a que su resistencia interna sea nula o despreciable. Por ser sustancias muy conductoras, como los metales, o el caso de recipientes

conteniendo líquidos con convección que homogenice su temperatura. Se suponeque el flujo de calor transmitido por su superficie es aportado por el calor acumulado, y que dicho flujo está limitado por una resistencia superficial 1/ h ,generalmente proporcionada por la convección de un fluido que lo rodea a

temperatura constante T ∞ .

Para comprobar que la resistencia interior es despreciable se recurre a uncoeficiente adimensional denominado número de Biot Bi , que relaciona laresistencia superficial con la resistencia interna, y cuyo valor debe ser muy inferior a

la unidad. En este caso se conoce que si 0,1 Bi < el valor error será del 5%, aunque

es deseable que Bi sea lo menor posible.

h Lc Bik ⋅=

Donde h es el coeficiente de transferencia de calor por convección ( )2/W m K , Lc

se define como la razón entre el volumen del sólido y al área superficial y k es la

conductividad térmica del sólido en ( )/W mK .

El flujo total de calor W que cede el cuerpo en un instante ( )t será función de su

velocidad de enfriamiento e igual al calor cedido a través de su superficie debido a

la diferencia de temperatura ( )T t ∆ entre la temperatura ( )T t del sólido en dicho

instante y el fluidoT

∞ , de manera que: ( )( ) s

dT t W V Cp h A T t

dt ρ = − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ∆

Donde , ,V Cp ρ son características del sólido, es decir del elemento donde está

sucediendo el almacenamiento de energía.Integrando esta ecuación, con la condición de la diferencia de temperatura inicial:

( ) ( )0 0T T T ∞∆ = −

Obtendremos por tanto el salto térmico ( ) ( )T t T T t ∞∆ = − para el instante t :

( )

( )

exp

0

sT t h A t

T V Cp ρ

∆ ⋅ ⋅= −

∆ ⋅ ⋅

- 3 -




Esta ecuación se escribe en forma adimensional, de manera que el exponente del2do término también lo será , y coincide con el productos de dos númerosadimensionales, el número de Biot y el número de Fourier Fo o tiempo

adimensional, por lo que tiene la siguiente expresión:

2 2; sh A t h Lc t h L t

Bi Fo Bi Fok Lc V Cp k L

α α

ρ

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = → = = × ⋅ ⋅ Por consiguiente:

( )

( )[ ]exp

0

T t Bi Fo

T

∆= − ×

∆

Esta ecuación representa la historia de la temperatura del sólido en el instante ( )t

en función de su temperatura inicial y la del fluido que lo rodea, de manera quecuando el intervalo tiende al infinito el sólido se equilibra con el entorno.

Cuando el gradiente de temperatura dentro del sólido ya no se puede despreciar,es decir, cuando el número de Biot es mayor a la unidad, el método de laresistencia interna despreciable ya no es válido y es entonces necesario recurrir aotro tipo de cálculos para determinar el flujo de calor.Si se define la diferencia de temperatura adimensional como la diferencia de

temperaturas dividida para la diferencia máxima de temperatura posible Ti T ∞− ,

una forma de calcular esta cantidad adimensional está dad por la serie infinita:

( ) ( )* 2 *

1

exp cosn n n

n

C Fo xθ ζ ζ ∞

=

= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅∑

Donde 2

t Fo

L

α ⋅= y el coeficiente nC es:

( )

( )

4sin

2 sin 2

n

n

n n

C ζ

ζ ζ =

+

Y los valores característicos (o eigenvalores) de nζ son las raíces positivas de la

ecuación trascendente.

( )tann n Biζ ζ =Existen valores tabulados de las constantes utilizadas en esta ecuación, quepermiten obtener el valor exacto de la diferencia de temperaturas.

Sin embargo, si el número de Fourier es menor a 0.2, la serie infinita se puedeaproximar sin mucho error al valor del primer término de la serie.Existen otros métodos numéricos para resolver problemas de transferencia de calor en estado transitorio, uno de los más conocidos y difundidos es el método de lasdiferencias finitas.En este método se divide al sólido en varias partes o nodos y a través de lasecuaciones apropiadas se resuelve el problema de la conducción de calor.Existen valores tabulados de las constantes utilizadas en esta ecuación, quepermiten obtener el valor exacto de la diferencia de temperaturas.Sin embargo, si el número de Fourier es menor a 0.2, la serie infinita se puedeaproximar sin mucho error al valor del primer término de la serie.

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Existen otros métodos numéricos para resolver problemas de transferencia de calor en estado transitorio, uno de los más conocidos y difundidos es el método de lasdiferencias finitas.

En este método se divide al sólido en varias partes o nodos y a través de lasecuaciones apropiadas se resuelve el problema de la conducción de calor.

3. Elabore un cuadro de datos con los resultados obtenidos.

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PROBETA DE COBRE.-

CalentamientoEnfriamiento

AGUA ACEITE AIRE

t (min)

T (°C)

t (s)

T (°C)

t (min

)

T (°C)

t (min

)

T (°C)

0 23,5 0 89 0 89 0 89

1 86 10 68 10 82,6 5 72,1

2 86,9 20 49,7 20 76,5 10 62,3

3 88 30 38,2 30 71,4

4 88,1 40 31,6 40 66,4

5 88,4 50 27,2 50 61,6

6 88,8 60 24,6 60 57,5

7 89 70 22,9 70 54,3

8 89,0 80 21,7 80 51,8

90 20,9 90 49,5

100 20,3 100 47,3

110 19,8 110 45,2

120 19,3 120 43,3

130 18,9 130 41,4140 18,5 140 39,8

150 18,2 150 38,6

160 17,9 160 37,5

170 17,8 170 36,2

180 17,6 180 35,1

190 17,5 190 34,3

200 17,4 200 33,7

210 17,5 210 32,9

220 17,5 220 32,2

230 31,7

240 31,4

250 31,1260 30,7

270 30,3

280 29,9

290 29,6

300 29,1

310 28,8

320 28,5

330 28,2

340 27,9

350 27,7

360 27,5

370 27,3

380 27,2

390 27




Tabla N° 01.- Datos obtenidos de la probeta de cobre

Tabla N° 02.- Datos obtenidos de la probeta de aluminio (nota: datos prestados del grupo VI)

Tabla N° 03.- Datos obtenidos concernientes a las temperaturas de los fluidos

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PROBETA DE ALUMINIO.-

Calentamiento Enfriamiento AGUA ACEITE

t (s)

T (°C)

t (s)

T (°C)

t (s)

T (°C)

0 24.2 0 89.4 0 89.4

30 86 10 55 30 74.2

60 88 20 44 60 67.8

90 88.6 30 45.3 90 63

120 88.8 40 30.3 120 56.8

150 88.9 50 27.7 150 52.8

180 88.9 60 26.8 180 47

210 88.9 70 26.7 210 41.5

240 89.1 80 26.7 240 39.8

270 89.2 90 26.7 270 36.8

300 89.3 100 26.7 300 34.8

330 89.4 330 33.8

360 89.4 360 32.8

390 89.4 390 32.4

420 89.4 420 32.3

450 89.4

480 89.4

510 89.4

540 89.4

570 89.4

600 89.4

Cobre Aluminio(grupo VI)

T∞ del agua hervida 90°C 90° C

T∞ del agua de enfriamiento 15°C 23 °C

T∞ del aceite de enfriamiento 27°C 28 °C

T∞ del aire 27°C --




Figura N° 02.- Esquemas de las probetas utilizadas

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4. Grafique la temperatura en función del tiempo para cada proceso decalentamiento y enfriamiento.

Probeta de Cobre.-

Figura N° 03.- Gráfico T(t) para la probeta de cobre – calentamiento con agua

Figura N° 04.- Gráfico T(t) para la probeta de cobre – enfriamiento con agua

Figura N° 05.- Gráfico T(t) para la probeta de cobre – enfriamiento con aceite

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Figura N° 06.- Gráfico T(t) para la probeta de cobre – enfriamiento con aire

Probeta de Aluminio.-

Figura N° 07.- Gráfico T(t) para la probeta de aluminio – calentamiento con agua

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Figura N° 08.- Gráfico T(t) para la probeta de aluminio – enfriamiento con agua

Figura N° 09.- Gráfico T(t) para la probeta de aluminio – enfriamiento con aceite

5. Calcule el coeficiente de convección y número de Biot para cadaproceso (realizamos primero esta pregunta por lo que vemos que esnecesario conocer h antes de desarrollar la pregunta 5).

Cálculo del coeficiente de convección h para cada caso planteado.-

Probeta de Cobre.-Para la determinación de h, nos basaremos en el método de los parámetrosadimensionales considerando a la probeta de cobre como un pequeño cilindrovertical, por lo cual, se recordará que la probeta de cobre no era del todo uncilindro, de hecho sus dimensiones son de la siguiente manera:

Figura N° 10.- Dimensiones de la probeta de cobre

Por motivos prácticos, y debido a que no existe una gran variación en los datosvamos a considerar a esta probeta de cobre como un cilindro pequeño vertical de

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altura h = 17 mm y diámetro d igual al promedio de los diámetros máximo y mínimode la probeta.

46 30382d mm

+= =

Esto se hace para cuando se tenga que reemplazar valores en el cálculo de losparámetros adimensionales, donde más nos importa valores referenciales queexactos.

Pequeño cilindro vertical:23,8 10 D m−= ×

21,7 10h m−= ×

• Calentamiento en agua .-

Propiedades del agua a la temperatura de película.-Sea sT la temperatura superficial del sólido antes de que se de inicio al proceso

convectivo, sT constituye para el calentamiento del sólido al tiempo cero, es decir,

justo antes de meterlo al agua hirviendo.

Entonces 23,5 sT C = °

Ahora bien, T ∞ es la temperatura del agua hirviendo. 90T C ∞ = °

Por lo tanto las propiedades del agua se analizan a una temperatura de película f T

donde:

2 s

f T T T ∞+=

Por tanto:23,5 90

56,752

f T C C +

= ° = °

Primordialmente como propiedades del aire estamos interesados en el

conocimiento de k (conductividad térmica), 2

g β

γ

⋅

(el producto del coeficiente de

dilatación térmica por la gravedad y dividido para la viscosidad cinemática alcuadrado), el número de Prandtl (Pr).

De tablas.-Propiedades del agua.-

T C ° ( )/k W m K ⋅ ( )1

3

2

g K m

β

γ

− ⋅⋅

Pr

47 0,6396 1,265x1010 3,77

56,75 x y z

67 0,6605 3,005x1010 2,68

Tabla N° 04.- Propiedades del agua

Cálculo por medio de interpolación:• ( )/k W m K ⋅ :

- 11 -




( ) ( )

( ) ( )

67 47 0,6605 0,6396

67 56,75 0,6605 x

− → −

− → −20,6605 1,071 10 x −− = ×

( )0,65 / x k W m K = = ⋅

•( )

13

2

g K m

β

γ

− ⋅⋅

:

( ) ( )

( ) ( )

10 10

10

67 47 3, 005 10 1, 265 10

67 56,75 3,005 10 y

− → × − ×

− → × −

10 93, 005 10 8, 918 10 y

× − = ×( )

110 3

22,113 10

g y K m

β

γ

− ⋅= = × ⋅

• Pr

( ) ( )

( ) ( )

67 47 2, 68 3, 77

67 56, 75 2, 68 z

− → −

− → −

2,68 0,559 z − = −

Pr 3,239 z = =

Cálculo del número de Grashoff.-3

2 D

g Gr D T

β

γ

⋅= ⋅ ⋅ ∆

( ) ( )3

2 10 73, 8 10 2,113 10 90 23, 5 7, 710 10 DGr −= × ⋅ × ⋅ − = ×

Producto Grashoff por Prandtl.-7 8Pr 7,710 10 3,239 2,497 10 DGr × = × × = ×

Cálculo de Nusselt.-Para superficies verticales (placas y cilindros) según Eckbert εt Jackson:

Si ( )1/ 48 910 Pr 10 0,555 Pr ULGr N Gr < ⋅ < → = ⋅

Entonces ( )1/ 4

80, 555 2, 497 10 69, 769

UL N = × =

Cálculo de h.-

ULUD

N k h D N h

k D

⋅⋅= → =

( )2

2

69,769 0,65/

3,8 10h W m K −

⋅=

×

( )21193,420 /h W m K =

- 12 -




• Enfriamiento en agua.-

Para el caso de enfriamiento sT constituye la temperatura superficial del sólido (quepor posteriores consideraciones del método de la resistencia interna despreciablevendrá a ser la temperatura de todo el sólido), al tiempo 0 del proceso deenfriamiento, es decir antes de sumergir el sólido calentado en el agua hirviendo

dentro del fluido de enfriamiento. T ∞ mientras tanto es la temperatura del fluido

conve

ctivo donde se realiza el enfriamiento en este caso, la temperatura del aguafría. Por tanto:

89 sT C = °

15T C ∞ = °

La temperatura de película:23,5 90

522

f T C C +

= ° = °

Evalúo las propiedades del agua en la temperatura de película:

De tablas.-

Propiedades del agua.-

T C ° ( )/k W m K ⋅ ( )1

3

2

g K m

β

γ

− ⋅⋅

Pr

47 0,6396 1,265x1010 3,77

52 x y z67 0,6605 3,005x1010 2,68


Cálculo por medio de interpolación:

• ( )/k W m K ⋅ :

( ) ( )

( ) ( )

67 47 0,6605 0,6396

67 52 0, 6605 x

− → −

− → −2

0,6605 1,568 10 x−

− = ×( )0, 645 / x k W m K = = ⋅

•( )

13

2

g K m

β

γ

− ⋅⋅

:

( ) ( )

( ) ( )

10 10

10

67 47 3, 005 10 1, 265 10

67 52 3, 005 10 y

− → × − ×

− → × −

10 103, 005 10 1, 305 10 y× − = ×

- 13 -




( )1

10 3

21,7 10

g y K m

β

γ

− ⋅= = × ⋅

• Pr

( ) ( )

( ) ( )

67 47 2, 68 3, 77

67 52 2,68 z

− → −

− → −

2,68 0,818 z − = −

Pr 3,498 z = =

Cálculo del número de Grashoff.-

3

2 D

g Gr D T

β

γ

⋅= ⋅ ⋅ ∆

( ) ( )3

2 10 73,8 10 1, 7 10 89 15 6, 903 10

DGr

−= × ⋅ × ⋅ − = ×


Cálculo de Nusselt.-

Para superficies verticales (placas y cilindros) según Eckbert εt Jackson:

Si ( )1/ 48 910 Pr 10 0,555 Pr ULGr N Gr < ⋅ < → = ⋅

Entonces ( )1/ 4

80,555 2,415 10 69,182UL N = × =

Cálculo de h.-

ULUD

N k h D N h

k D

⋅⋅= → =

( )2

2

69,182 0,645/

3,8 10h W m K −

⋅=

×

( )21174,3523 /h W m K =

• Enfriamiento en aceite.-

89 sT C = °

27T C ∞ = °

La temperatura de película:

89 2758

2 f T C C

+= ° = °

Evalúo las propiedades del aceite en la temperatura de película, considero que setrata de un aceite de motor sin usar, y me baso en la siguiente tabla encontrada enIncropera:

De tablas.-

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Propiedades del aceite.-

T C ° ( )/k W m K ⋅ ( )1

32 g K mβ

γ − ⋅ ⋅

Pr

57 141x10-3 3,205x106 1205

58 x y z

67 139x10-3 7,625x106 793

Tabla N° 06.- Propiedades del aceite


• ( )/k W m K ⋅ :

( ) ( )( ) ( )

3 3

3

67 57 139 10 141 10

67 58 139 10 x

− −− → × − ×− → × −

3 3139 10 1,8 10 x− −× − = − ×

( )11, 408 10 / x k W m K −= = × ⋅

•( )

13

2

g K m

β

γ

− ⋅⋅

:

( ) ( )

( ) ( )

6 6

6

67 57 7, 625 10 3, 205 10

67 58 7, 625 10 y

− → × − ×

− → × −

6 67, 625 10 3, 978 10 y× − = ×

( )1

6 3

23,647 10

g y K m

β

γ

− ⋅= = × ⋅

• Pr

( ) ( )

( ) ( )

67 57 793 1205

67 58 793 z

− → −

− → −

793 370,8 z − = −3Pr 1,164 10 z = = ×


3

2 D

g Gr D T

β

γ

⋅= ⋅ ⋅ ∆

( ) ( )3

2 6 43,8 10 3,647 10 89 27 1,241 10 DGr −= × ⋅ × ⋅ − = ×

Producto Grashoff por Prandtl.-4 3 7Pr 1,241 10 1,164 10 1,444 10 DGr × = × × × = ×

- 15 -




Cálculo de Nusselt.-Para superficies verticales (placas y cilindros) según McAdams:

Si ( )1/ 48

Pr 10 0,560 Pr ULGr N Gr ⋅ ≤ → = ⋅

Entonces ( )1/ 4

70, 560 1, 444 10 34, 52

UL N = × =

Cálculo de h.-

UDUD

N k h D N h

k D

⋅⋅= → =

( )1

2

2

34,52 1,408 10/

3,8 10h W m K

−

−

⋅ ×=

×

( )

2127,91 /h W m K =

• Enfriamiento en aire.-

89 sT C = °

27T C ∞ = °


89 2758

2 f T C C

+= ° = °

Evalúo las propiedades del aire en la temperatura de película:

De tablas.-

Propiedades del aire.-

T C ° ( )/k W m K ⋅ ( )1

3

2

g K m

β

γ

− ⋅⋅

Pr

57 0,02821 8,73x107 0,708

58 x y z

67 0,02888 7,626x107 0,707

Tabla N° 07.- Propiedades del aire


• ( )/k W m K ⋅ :

( ) ( )

( ) ( )

67 57 0,02888 0,02821

67 58 0, 02888 x

− → −

− → −40,02888 6,030 10 x −− = ×

( )0,028277 / x k W m K = = ⋅

- 16 -




•( )

13

2

g K m

β

γ

− ⋅⋅

:

( ) ( )

( ) ( )

7 7

7

67 57 7, 626 10 8, 73 10

67 58 7, 626 10 y

− → × − ×

− → × −

7 67,626 10 9,936 10 y× − = − ×

( )1

7 3

28,62 10

g y K m

β

γ

− ⋅= = × ⋅

• Pr

( ) ( )

( ) ( )

67 57 0, 707 0, 708

67 58 0, 707 z

− → −

− → −40,707 9 10 z −− = − ×

Pr 0,7079 z = =


3

2 D

g Gr D T

β

γ

⋅= ⋅ ⋅ ∆

( ) ( )

32 7 5

3,8 10 8, 62 10 89 27 2, 933 10 DGr

−

= × ⋅ × ⋅ − = ×Producto Grashoff por Prandtl.-

5 5Pr 2,933 10 0,7079 2,076 10 DGr × = × × = ×

Cálculo de h.-

Para el aire: ( )/n

h c T L= ∆

Donde para pequeños cilindros verticales, si 3 910 Pr 10Gr < ⋅ < :

0,27

0,25

c

L diámetro en ft

n

==

=

2 13,8 10 0,125

0,3048

ft L m ft

m

−= × × =

Diferencia de temperaturas:

( )

273,15

9 / 5 459, 67

K C

F K

= +

= −

89 362,15 192, 2

27 300,15 80, 6

C K F

C K F

° ≡ ≡ °° ≡ ≡ °

192,2 80,6 111,6T F ∆ = − = °

- 17 -




0,252

2 2

2

1111,6

0,27 1,476 8,38

0,125 0,17612

W

Btu W m K h

hr ft F m K Btuhr ft F

→ = ⋅ = × =

− − ° − − ° Probeta de Aluminio.-

La probeta de aluminio se la puede analizar de igual manera como un cilindrovertical pequeño, en este caso la probeta de aluminio correspondía en realidad a uncilindro correspondiente a las siguientes dimensiones:

Figura N° 11.- Dimensiones de la probeta de aluminio

Por lo que:25,5 10 D m−= ×

21,7 10h m−= ×

• Calentamiento en agua

24,2 sT C = °

90T C ∞ = °


89 2757,1

2 f T C C

+= ° = °


De tablas.-

- 18 -





T C ° ( )/k W m K ⋅ ( )13

2 g K mβ

γ − ⋅ ⋅

Pr

47 0,6396 1,265x1010 3,77

57,1 x y z

67 0,6605 3,005x1010 2,68



• ( )/k W m K ⋅ :

( ) ( )( ) ( )

67 47 0,6605 0,6396

67 57,1 0,6605 x

− → −− → −

20,6605 1,035 10 x −− = ×

( )0,6501 / x k W m K = = ⋅

•( )

13

2

g K m

β

γ

− ⋅⋅

:

( ) ( )

( ) ( )

10 10

10

67 47 3, 005 10 1, 265 10

67 57,1 3,005 10 y

− → × − ×

− → × −10 93, 005 10 8, 613 10 y× − = ×

( )1

10 3

22,144 10

g y K m

β

γ

− ⋅= = × ⋅

• Pr

( ) ( )

( ) ( )

67 47 2, 68 3, 77

67 57,1 2, 68 z

− → −

− → −

12,68 5,396 10 z −− = − ×Pr 3,22 z = =


3

2 D

g Gr D T

β

γ

⋅= ⋅ ⋅ ∆

( ) ( )3

2 10 85, 5 10 2,144 10 90 24, 2 2, 347 10 DGr −= × ⋅ × ⋅ − = ×


- 19 -




Cálculo de Nusselt.-Para superficies verticales (placas y cilindros) según Eckbert εt Jackson:

Si ( )1/ 48 9

10 Pr 10 0,555 Pr ULGr N Gr < ⋅ < → = ⋅

Entonces ( )1/ 4

80, 555 7, 558 10 92, 023

UL N = × =

Cálculo de h.-

ULUD

N k h D N h

k D

⋅⋅= → =

( )2

2

92,023 0,6501/

5,5 10h W m K −

⋅=

×

( )21087,7077 /h W m K =

• Enfriamiento en agua.-

89,4 sT C = °

23T C ∞ = °


89,4 2356,2

2 f T C C

+= ° = °


De tablas.-


T C ° ( )/k W m K ⋅ ( )1

3

2

g K m

β

γ

− ⋅⋅

Pr

47 0,6396 1,265x1010 3,77

56,2 x y z

67 0,6605 3,005x1010 2,68



• ( )/k W m K ⋅ :

( ) ( )

( ) ( )

67 47 0,6605 0,6396

67 56, 2 0, 6605 x

− → −

− → −20,6605 1,129 10 x −− = ×

( )0,6492 / x k W m K = = ⋅

• ( )

13

2

g

K mβ

γ

− ⋅⋅

:

- 20 -




( ) ( )

( ) ( )

10 10

10

67 47 3, 005 10 1, 265 10

67 56, 2 3, 005 10 y

− → × − ×

− → × −

10 93, 005 10 9, 396 10 y× − = ×

( )1

10 3

22,065 10

g y K m

β

γ

− ⋅= = × ⋅

• Pr

( ) ( )

( ) ( )

67 47 2, 68 3, 77

67 56, 2 2, 68 z

− → −

− → −12,68 5,886 10 z −− = − ×

Pr 3,269 z = =


3

2 D

g Gr D T

β

γ

⋅= ⋅ ⋅ ∆

( ) ( )3

2 10 85, 5 10 2, 065 10 89, 4 23 2, 281 10

DGr

−= × ⋅ × ⋅ − = ×

Producto Grashoff por Prandtl.-8 8

Pr 2,281 10 3,269 7,457 10 DGr × = × × = ×Cálculo de Nusselt.-Para superficies verticales (placas y cilindros) según Eckbert εt Jackson:

Si ( )1/ 48 910 Pr 10 0,555 Pr ULGr N Gr < ⋅ < → = ⋅

Entonces ( )1/ 4

80,555 7,457 10 91,7137UL N = × =

Cálculo de h.-

ULUD

N k h D N h

k D

⋅⋅= → =

( )2

2

91,7137 0,6492/

5,5 10h W m K −

⋅=×

( )21082,5547 /h W m K =

• Enfriamiento en aceite.-

89,4 sT C = °

28T C ∞ = °


89,4 2858,72

f T C C +

= ° = °

- 21 -




Evalúo las propiedades del aceite en la temperatura de película:

De tablas.-

Propiedades del aceite.-

T C ° ( )/k W m K ⋅ ( )1

3

2

g K m

β

γ

− ⋅⋅

Pr

57 141x10-3 3,205x106 1205

58,7 x y z

67 139x10-3 7,625x106 793

Tabla N° 10.- Propiedades del aceite


• ( )/k W m K ⋅ :

( ) ( )( ) ( )

3 3

3

67 57 139 10 141 10

67 58, 7 139 10 x

− −

−

− → × − ×− → × −

3 3139 10 1,66 10 x− −× − = − ×

( )11, 407 10 / x k W m K −= = × ⋅

•( )

13

2

g K m

β

γ

− ⋅⋅

:

( ) ( )

( ) ( )

6 6

6

67 57 7, 625 10 3, 205 10

67 58, 7 7, 625 10 y

− → × − ×

− → × −

6 67, 625 10 3, 669 10 y× − = ×

( )1

6 3

23,956 10

g y K m

β

γ

− ⋅= = × ⋅

• Pr

( ) ( )

( ) ( )

67 57 793 1205

67 58, 7 793 z

− → −

− → −2793 3, 420 10 z − = − ×

3Pr 1,135 10 z = = ×


3

2 D

g Gr D T

β

γ

⋅= ⋅ ⋅ ∆

( ) ( )3

2 6 45,5 10 3,956 10 89,4 28 4,041 10 DGr −= × ⋅ × ⋅ − = ×

Producto Grashoff por Prandtl.-4 3 7Pr 4,041 10 1,135 10 4,587 10 DGr × = × × × = ×

- 22 -




Cálculo de Nusselt.-Para superficies verticales (placas y cilindros) según McAdams:

Si ( )1/ 48

Pr 10 0,560 Pr ULGr N Gr ⋅ ≤ → = ⋅

Entonces ( )1/ 4

70, 560 4, 587 10 46, 086

UL N = × =

Cálculo de h.-

UDUD

N k h D N h

k D

⋅⋅= → =

( )1

2

2

46,086 1,407 10/

5,5 10h W m K

−

−

⋅ ×=

×

( )

2117,8953 /h W m K =

Cálculo del Número de Biot para cada caso planteado.-

El número de Biot se define de la siguiente manera:

s

h Lc Bi

k

⋅=

Donde Lc es igual al volumen del sólido divido para el área superficial detransferencia de calor, es decir:

s

V Lc

A=

Y sk corresponde a la conductividad térmica del sólido, es decir del material. Por lo

tanto para las probetas que se tienen, los valores de k son:

Para la probeta de cobre ( )401 /cobrek W mK =

Para la probeta de aluminio ( )aluminio 237 /k W mK =

Datos obtenidos de Incropera, página 828, tabla 4.1.

Probeta de Cobre.-

- 23 -




(Figura N° 10 repetida)

Como se puede observar en el gráfico, la probeta de cobre puede ser tratada comoun cilindro de altura 9 mm y diámetro 46 mm, más un tronco de cono cilíndrico de

diámetro mayor de 46 mm y diámetro menor de 30 mm con una altura de 8 mm(17– 9).

Volúmenes y áreas.-

Figura N° 12

Cilindro circular recto

22 2 s A rh r π π = +

2V r hπ =

Figura N° 13

Cono circular recto

2

s A rg r π π = +

21

3V r hπ =

Figura N° 14

Tronco de conocircular recto

( ) ( )2 2

1 2 1 2 s A g r r r r π π = + + +

( )2 2

1 2 1 2

1

3V h r r r r π = + + ⋅

Tabla N° 11.- Volúmenes y áreas de importancia para los cálculos

La probeta de cobre se conforma de un cilindro circular recto y un cono circular recto, por tanto:

Para la parte del cilindro circular recto.-2/ 2 46 / 2 2, 3 10r d m−= = = ×

39 9 10h mm m−= = ×Entonces:

2

1 2 s A rh r π π = + , debido a que la otra cara de área2

r π está unida a la parte deltronco de cono circular recto y no interfiere por tanto como área superficial de calor.

- 24 -




( ) ( ) ( )2

2 3 2 3 2

12 2, 3 10 9 10 2, 3 10 2, 693 10

s A mπ π − − − −

= × × + × = ×

( ) ( )2

2 2 3 5 3

1 2,3 10 9 10 1, 496 10V r h mπ π − − −= = × × = ×

Para la parte del tronco de cono circular recto.-2

1 46/ 2 2,3 10r mm m−= = ×2

2 30 / 2 1,5 10r mm m−= = ×211,31 1,131 10 g mm m−= = ×

( ) 317 9 8 8 10h mm mm m−= − = = ×

Entonces:

( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 s A g r r r r g r r r r π π π π π = + + + = + + +

Donde2

1r π no se elimina en esta expresión debido a que esta área del tronco es la

que va unida al cilindro y no constituye un área de transferencia de calor, por lotanto:

( ) 2

2 1 2 2 s A g r r r π π = + +

( ) ( ) ( )2

2 2 2 2 3 2

21,131 10 2, 3 10 1, 5 10 1, 5 10 2, 057 10

s A mπ π − − − − −

= × × + × + × = ×

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

3 2 2 2 2 6 3

2

18 10 2,3 10 1,5 10 2,3 10 1,5 10 9,207 10

3V mπ − − − − − − = × × + × + × × = × Cálculo de Lc.-

5 631 2

3 3

1 2

1,496 10 9,207 105,088 10

2,693 10 2,057 10 s s s

V V V Lc m m

A A A

− −−

− −

+ × + ×= = = = ×

+ × + ×

Cálculo de Biot (Bi).-

• Calentamiento en agua .- ( )21193,420 /h W m K =

( )31193,420 5,088 10

adimensional401 s

h Lc Bi

k

−⋅ × ×= =

0,01514 0,1cobre

h Lc Bi

k

⋅= = <

• Enfriamiento en agua.- ( )21174,3523 /h W m K =

( )31174,3523 5,088 10

adimensional401 s

h Lc Bi

k

−⋅ × ×= =

0,0149 0,1cobre

h Lc Bik ⋅= = <

- 25 -




• Enfriamiento en aceite.- ( )2127,91 /h W m K =

( )

3127,91 5,088 10

adimensional401 s

h Lc

Bi k

−⋅ × ×

= =

0,001623 0,1cobre

h Lc Bi

k

⋅= = <

• Enfriamiento en aire.- ( )28, 38 /h W m K =

( )38,38 5,088 10

adimensional401 s

h Lc Bi

k

−⋅ × ×= =

41,063 10 0,1

cobre

h Lc Bi

k

−⋅= = × <

Probeta de Aluminio.-

(Figura N° 11 repetida)

La probeta de aluminio, solo tiene la forma de un cilindro circular recto, por lo que ladeterminación de Lc en este caso resulta más sencillo. Al ser un cilindro circular recto entonces:

255 / 2 27, 5 2, 75 10r mm mm m−= = = ×217 1,7 10h mm m−= = ×

( ) ( ) ( )2

2 2 2 2 2 3 22 2 2 2,75 10 1,7 10 2,75 10 7,689 10 s A rh r m mπ π π π − − − − = + = × × + × = ×

( ) ( )2

2 2 2 5 32, 75 10 1, 7 10 4, 039 10V r h mπ π − − −= = × × = ×

- 26 -




Cálculo de Lc.-5

3

3

4,039 105,253 10

7,689 10 s

V Lc m m

A

−−

−

×= = = ×

×Cálculo de Biot (Bi).-


( )31087,7077 5,253 10

adimensional237 s

h Lc Bi

k

−⋅ × ×= =

aluminio

0,024109 0,1h Lc

Bik

⋅= = <


( )31082,5547 5,253 10

adimensional237 s

h Lc Bi

k

−⋅ × ×= =

0,02399 0,1cobre

h Lc Bi

k

⋅= = <


( )3117,8953 5,253 10

adimensional237 s

h Lc Bi

k

−⋅ × ×= =

0,002613097 0,1cobre

h Lc Bi

k

⋅= = <

6. Encuentre para cada caso una relación entre la temperatura y el tiempo.Ejemplo de cálculo.

El análisis que se maneja en esta práctica se puede resumir como el de un sólido

que caracterizado por sus valores de densidad ρ , volumen V y calor específico Cp

, que se encuentra inicialmente a una temperatura Ti . Dicho sólido se sumerge o

entra en contacto con un fluido que se encuentra a una temperatura T ∞ y se genera

por tanto dentro del sólido un proceso de calentamiento o enfriamiento,dependiendo de la temperatura a la que se encuentre este fluido. Por lo que:

Para T Ti∞ > se da el proceso de calentamiento del sólido y,

Para T Ti∞ < se da el proceso de enfriamiento del sólido.

De manera esquemática:

- 27 -




Figura N° 15.- Esquema del sólido

Figura N° 16.- Fluido

Por lo tanto dentro de este análisis podemos tener dos casos a consideración:

- Caso primero.- Enfriamiento o calentamiento en un medio o fluido que

mantiene su temperatura constante, es decir suponemos que de ser el casodonde el fluido se encuentra dentro de un recipiente, dicho recipiente seencuentra perfectamente aislado para que no ocurra un cambio en latemperatura del fluido que contiene.

Figura N° 17.- Recipiente que contiene al fluido, perfectamente aislado

Vamos a considerar para el planteamiento matemático que, se trata de un

enfriamiento, es decir T Ti∞ < .

Para el sólido que se sumerge:

0;t T Ti< =

( )0;t T T t ≥ =

Esta segunda condición establece que la temperatura del sólido es única y dependeúnicamente del tiempo, por lo tanto se está despreciando los cambios detemperatura que puedan existir dentro del sólido, es decir se está considerando quela temperatura del sólido es espacialmente uniforme a través del procesotransitorio, por lo tanto estamos considerando el método de la resistencia internadespreciable, donde se establece el criterio que:

0,1 Bi <

Para el fluido de enfriamiento:

0 y 0;t t T T ∞< ≥ =

- 28 -




Cuando se sumerge el sólido dentro del fluido, este sólido experimenta el procesode enfriamiento, lo cual se puede ejemplificar en el siguiente balance de energías:

Figura N° 18.- Volumen de control

en gen sal alm E E E E • • • •

+ = +

Y como: 0 gen en E E • •

= =

sal alm E E

• •

− = 1)

La energía que sale del sólido lo hace por convección:

( )( ) sal s E h A T t T •

∞= ⋅ ⋅ − 2)

Donde s A representa el área superficial del sólido y h representa el coeficiente de

transferencia de calor por convección del fluido.

Mientras que:( )

alm

dT t E V Cp

dt ρ

•= ⋅ ⋅ ⋅ 3)

Reemplazando las ecuaciones 2 y 3 en 1:

( )

( )( )( ) 0 s

dT t h AT t T

dt V Cp ρ ∞

⋅+ ⋅ − =

⋅ ⋅4)

Ahora bien de manera que e pueda expresar ( )T t se debe de hallar la solución

analítica de la ecuación 4:

( ) ( ) ( )( ) sdT t h A T t T dt V Cp ρ

∞⋅= − ⋅ −⋅ ⋅

Establecemos una diferencia de temperaturas ( ) ( )t T t T θ ∞= −

Por tanto:

( ) ( )( ) ( )d T t T d t dT t dT

dt dt dt dt

θ ∞ ∞−

= = −( )dT t

dt =

( ) ( )d t dT t

dt dt

θ =

Ahora bien:

- 29 -




( )( ) s

d t h At

dt V Cp

θ θ

ρ

− ⋅= ⋅

⋅ ⋅

( ) sd t h A dt V Cp

θ θ ρ

− ⋅= ⋅⋅ ⋅

Integrando:

( )( ) ( )ln ln sh At t c

V Cpθ

ρ

− ⋅= ⋅ +

⋅ ⋅

( )exp s

t h At

c V Cp

θ

ρ

⋅= − ⋅ ⋅ ⋅

5)

Estableciendo la condición inicial que:

( ) ( )0;t T t Ti t Ti T iθ θ ∞= = → = − =Con esta condición inicial por tanto: c iθ =

Y luego la ecuación 5 nos queda:

( )exp s

t h At

i V Cp

θ

θ ρ

− ⋅= ⋅ ⋅ ⋅

Sustituyendo las relaciones establecidas para la diferencia de temperaturas:

( )exp s

T t T h At

Ti T V Cp ρ

∞

∞

− − ⋅= ⋅ − ⋅ ⋅

De esta manera, despejando ( )T t :

( ) ( ) exp sh AT t Ti T t T

V Cp ρ ∞ ∞

− ⋅= − ⋅ + ⋅ ⋅

6)

- Caso segundo.- En este caso se considera que el tanto el fluido como elsólido tienen cambios de temperatura con respecto al tiempo durante elproceso transitorio.

Así mismo, vamos a considerar para el planteamiento matemático que, se trata de

un enfriamiento del sólido, es decir T Ti∞

< . Pero en esta ocasión cabe señalar que

si hablamos de un enfriamiento para el sólido, el fluido está sometido a uncalentamiento.

Por tanto, para el sólido que se sumerge:

0;t T Ti< =

( )10;t T T t ≥ =

Para el fluido de enfriamiento:

0;t T T ∞< =

( )20;t T T t ≥ =

Con respecto al sólido:

- 30 -




Balance de energías:

Figura N° 19.- Volumen de control del sólido


+ = +

Y como: 0 gen en E E • •

= =

sal alm E E

• •

− =

Ahora bien para este caso:

( ) ( )( )1 2 sal s E h A T t T t •

= ⋅ ⋅ −

( )( )1

alm s

dT t E V Cp

dt ρ

•= ⋅ ⋅ ⋅

Donde el subíndice s en ( ) s

V Cp ρ ⋅ ⋅ indica que la energía almacenada y dichas

propiedades se analizan para el sólido.

Sustituyendo estas relaciones en la ecuación obtenida del balance de energías setiene que:

( )

( )( ) ( )( )1

1 2 0 s

s

dT t h AT t T t

dt V Cp ρ

⋅+ ⋅ − =

⋅ ⋅

Definiendo( )

1 s

s

h A M

V Cp ρ

⋅=

⋅ ⋅

( )( ) ( )( )1

1 1 2 0dT t

M T t T t dt

+ ⋅ − = 7)

Con respecto al fluido.-Se establece de manera similar que para el sólido con unas pequeñas diferenciasdebido a que en el fluido se encuentra en un proceso de calentamiento.

Primero en el balance de energías consideramos un volumen de control del fluido,para el cual se establece:

Figura N° 20.- Volumen de control del fluido

- 31 -





+ = +

Pero en este caso: Y como: 0 gen sal E E

• •

= =

en alm E E

• •

=

( ) ( )( )1 2en s E h A T t T t •

= ⋅ ⋅ −

( )( )2

alm f

dT t E V Cp

dt ρ

•

= ⋅ ⋅ ⋅

Donde la energía almacenada está planteada para el fluido, es por eso que el

subíndice f en ( ) f

V Cp ρ ⋅ ⋅ establece que estas propiedades se evalúan para el

fluido, de igual manera el diferencial de la temperatura es para el expresar elcambio de la temperatura del fluido a través del tiempo en el proceso transitorio.

Cabe señalar que s A es el mismo que el utilizado para el planteamiento del

enfriamiento del sólido, es decir el área superficial de transferencia de calor delsólido donde sale calor por convección es lógicamente la misma área superficial detransferencia de calor por donde entra calor por convección al fluido. De igualmanera h es el mismo.

De esta manera sustituyendo estas expresiones en el balance de energías seobtiene:

( )

( ) ( ) ( )( )2

2 1 0 s

f

dT t h AT t T t dt V Cp ρ

⋅+ ⋅ − =⋅ ⋅

Definiendo ( )2

s

f

h A M

V Cp ρ

⋅=

⋅ ⋅

( )( ) ( )( )2

2 2 1 0dT t

M T t T t dt

+ ⋅ − = 8)

Condiciones iniciales:

( )( )

1 1

2 2

0;t

T t T iT t T i

=

==

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

0;t

T t T t

T t T t

≥

=

=

Ahora bien con el planteamiento de las ecuaciones 7 y 8 se procede a determinar lasolución exacta o analítica de este caso segundo:

( ) ( ) ( )( )1

1 1 2 0dT t M T t T t dt

+ ⋅ − = 7)

- 32 -




( )( ) ( )( )2

2 2 1 0dT t

M T t T t dt

+ ⋅ − = 8)

Definimos al operador matemático:d

Dt

=

De manera que las expresiones 7 y 8 quedan de la siguiente manera:

( ) ( ) ( )( )1 1 1 2 0 DT t M T t T t + ⋅ − = 9)

( ) ( ) ( )( )2 2 2 1 0 DT t M T t T t + ⋅ − = 10)

Sustituyendo ( )2T t en las expresión 10 se tiene:

( )( )

( )2 1

2

2

M T t T t D M

⋅= + 11)

Reemplazando 11 en 9, se tiene:

( ) ( )( )

( )2 1

1 1 1

2

0 M T t

DT T M T t D M

⋅+ ⋅ − = +

( ) ( )( )

( )2 1

1 1 1 1

2

M T t DT T M T t M

D M

⋅+ ⋅ = ⋅

+

Multiplicando ambos lados por ( )2 D M + :

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 2 1 1 1 1 2 1 D DT t M DT t M DT t M M T t ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ( )1 2 1 M M T t = ⋅ ⋅

La primera D que se tiene al inicio de la expresión reemplazamos por d

Dt

= como

se había planteado en un inicio y el otro término llevamos al otro lado de laecuación y nos queda:

( ) ( ) ( )( )1 1 2 1

d DT t M M DT t

dt = − + ⋅

( )( )

( )( )

1

1 2

1

d D T t M M dt

DT t = − + ⋅

Integrando la expresión anterior

( )( ) ( ) ( )1 1 2 1ln ln DT t M M t c= − + +

Donde la constante de integración ( )1ln c se expresa de esta manera, como un

artificio matemático, de manera que:

( )( )1

1 2

1

exp DT t

M M t c

= − +

Ahora sustituyendo el valor ded

D t = y mandando a multiplicar 1c al otro lado de la

expresión, se tiene:

- 33 -




( )( )1

1 1 2expdT t

c M M t

dt

= ⋅ − + 12)

Ahora integrando esta expresión se obtiene que:

( )( )

( )

1 1 2

1 2

1 2

expc M M t T t c

M M

− ⋅ − + = ++

13)

Obtención de 1c y 2c :

En 7:( )

( ) ( )( )1

1 1 2 0dT t

M T t T t dt

+ ⋅ − = aplico las condiciones iniciales.

Por lo que para 0t = ;( )

( )1

1 1 2

dT t M T i T i

dt = − − 14)

Y 14 reemplazo en 12 para t = 0:

( ) ( )1 1 2 1 1 2exp 0 M T i T i c M M − − = ⋅ − + ⋅

( )1 1 2 1 1 M T i T i c− − = ⋅

( )1 1 1 2c M T i T i= − − 15)

Y finalmente para t = 0, reemplazo 15 en 13:

( ) ( )

( )

1 1 2 1 2

1 2

1 2

exp 0 M T i T i M M T i c

M M

− ⋅ − + ⋅ = +

+( )

( )1 1 2

1 2

1 2

1 M T i T iT i c

M M

− ⋅= +

+

Siendo ( )12 1 1 2

1 2

M c T i T i T i

M M = − −

+ 16)

Finalmente reemplazo 15 y 16 en 13 obteniendo así la expresión para ( )1T t , para el

caso en que el fluido de enfriamiento también sufre cambios en su ambientetérmico dentro del proceso transitorio.

Por tanto:

( )( )

( )

1 1 2

1 2

1 2

expc M M t T t c

M M

− ⋅ − + = ++

( )( ) ( )

( )( )

1 1 2 1 2 11 1 1 2

1 2 1 2

exp M T i T i M M t M T t T i T i T i

M M M M

− ⋅ − + = + − −+ +

Haciendo factor común ( )11 2

1 2

M T i T i

M M −

+

( ) ( ) ( )( )1

1 1 2 1 2 11 2

exp 1 M

T t T i T i M M t T i M M = − ⋅ − + − + +

- 34 -




( ) ( ) ( )( )11 1 1 2 1 2

1 2

exp 1 M

T t Ti Ti T i M M t M M

= + − ⋅ − + − +

De manera análoga, realizando el mismo análisis para determinar la temperatura enfunción del tiempo en el aceite se obtiene la siguiente expresión:

( ) ( ) ( )( )22 2 2 1 1 2

1 2

exp 1 M

T t T i T i Ti M M t M M

= + − ⋅ − + − +

Ahora bien, las expresiones obtenidas en ambos casos se analizaron para el caso

de un enfriamiento del sólido dentro del fluido es decir para cuando: T Ti∞ < .

Es de nuestro interés ahora plantear las ecuaciones de variación de la temperatura

del sólido con respecto al tiempo para cuando se trata de un calentamiento esdecir, para cuando T Ti∞ > .

Para esto no es necesario repetir todo este análisis matemático expuestoanteriormente, ya que tan solo hay que darse cuenta que en cuando se realiza elbalance de energías, en el volumen de control del sólido ya no va a haber unaenergía que sale, sino más bien una energía que entra y va a ser de igual manerapor convección por lo que la diferencia de temperaturas establecida para laconvección para ser de manera inversa, es decir:

Para el primer caso (temperatura del fluido constante):

( )( )conv sq h A T T t ∞= ⋅ ⋅ −

Y en el balance de energías:


+ = +

0 sal gen E E • •

= =

en alm E E

• •

=

Por tanto realizando el mismo análisis, observamos que llegamos a la misma

expresión obtenida de:( )

( )( )( ) 0 s

dT t h AT t T

dt V Cp ρ ∞

⋅+ ⋅ − =

⋅ ⋅

Por tanto se obtiene, realizando el análisis planteado para el caso 1 se obtiene lamisma expresión anotada anteriormente:


V Cp ρ ∞ ∞

− ⋅= − ⋅ + ⋅ ⋅

Para el segundo caso (temperatura del fluido variable con el tiempo):

- 35 -




De igual manera en con la realización del balance de energías, teniendo en cuentalo que se explicó para el caso 1, en la parte de arriba se llegan a las mismasexpresiones planteadas anteriormente:

( ) ( ) ( )( )11 1 1 2 1 2

1 2

exp 1 M

T t Ti Ti T i M M t M M

= + − ⋅ − + − +

( ) ( ) ( )( )22 2 2 1 1 2

1 2

exp 1 M

T t T i T i Ti M M t M M

= + − ⋅ − + − +

Cálculos para los datos obtenidos.-

Obviamente se puede observar que el caso 1 y 2 son aplicables tanto para elcalentamiento de las probetas en el agua como para su posterior enfriamiento en elaire, mientras que el enfriamiento en aire es solo analizado dentro del caso 1 yaque resulta ilógico estar analizando la variación de la temperatura del aire en elproceso de enfriamiento, además cabe preguntar ¿qué volumen de fluido de aire esel que actúa en el enfriamiento?, es por estas razones que se excluye el análisis delcaso 2 para el enfriamiento en aire.

Ahora bien, debido a que en la práctica no se determinó el volumen de agua taceite que había en cada recipiente donde se realizó el enfriamiento de las

probetas, nos es imposible determinar el factor 2 M presente en la determinación de

( )1T t ya que como se recordará:

( ) 2

s

f

h A M

V Cp ρ

⋅

=⋅ ⋅

Donde cualquier propiedad indicada es posible determinar excepto V .

Por tanto para los posteriores cálculos se considerará la aplicación del caso 1, esdecir, se considera que el fluido de calentamiento o enfriamiento no sufre cambiosen su ambiente térmico. Además cabe resaltar que estamos interesados endeterminar los cambios de temperatura que experimenta cada probeta. Y es máscabe señalar que por las experiencias observadas en la práctica se observó que latemperatura de estable a la que llegó la probeta de cobre en el caso delenfriamiento en agua y en aceite fue a la temperatura inicial de estos fluidos, por locual creemos estar en lo correcto en considerar la aplicación del caso 1.

Generalmente en este tipo de problemas donde se considera el cambio detemperatura del fluido convectivo, no se suele dar directamente el volumen delfluido, sino su densidad y la masa del mismo y por medio de estos datosdeterminamos el volumen.

Para la probeta de Cobre.-

( ) ( ) exp sh AT t Ti T t

T V Cp ρ

∞ ∞

− ⋅= − ⋅ + ⋅ ⋅

, ,V Cp ρ del cobre.-

- 36 -




Tabla 4.1, página 828 del libro de Incropera, para el cobre puro:

( )38933 /kg m ρ =

( )385 /Cp J Kg K = ⋅

En la pregunta N° 4, para el cálculo del Biot se determinó V , el volumen de la

probeta de cobre y s A , el área superficial de transferencia de calor, dando como

resultado los siguientes valores:5 6 5 3

1 2 1,496 10 9,207 10 2,417 10V V V m− − −= + = × + × = ×3 3 3 2

1 2 2,693 10 2,057 10 4,750 10 s s s A A A m− − −= + = × + × = ×


Se determinan los siguientes valores:

( ) ( )( ) ( ) ( )

3

2

5

1193,420 4,750 10 1 16,819 10

8933 2,417 10 385

sh A

V Cp s s ρ

−−

−

− ⋅ ×− ⋅ = = − × ⋅ ⋅ ⋅ × ⋅

23,5Ti C = °

90T C ∞ = °


V Cp ρ ∞ ∞

− ⋅→ = − ⋅ + ⋅ ⋅

( ) ( ) 223,5 90 exp 6,819 10 90 °CT t t − = − − × ⋅ +

( ) 266,5 exp 6,819 10 90 °CT t t − = − ⋅ − × ⋅ +


( ) ( )( ) ( ) ( )

3

2

5

1174,3523 4,750 10 1 16,711 10

8933 2,417 10 385

sh A

V Cp s s ρ

−−

−

− ⋅ ×− ⋅ = = − × ⋅ ⋅ ⋅ × ⋅

89Ti C = °15T C ∞ = °


V Cp ρ ∞ ∞

− ⋅→ = − ⋅ + ⋅ ⋅

( ) ( ) 289 15 exp 6, 711 10 15 °CT t t − = − − × ⋅ +

( ) 274 exp 6, 711 10 15 °CT t t − = ⋅ − × ⋅ +

• Enfriamiento en aceite.- ( )2

127,91 /h W m K =

- 37 -




( ) ( )( ) ( ) ( )

3

3

5

127,91 4,750 10 1 17,309 10

8933 2,417 10 385

sh A

V Cp s s ρ

−−

−

− ⋅ ×− ⋅ = = − × ⋅ ⋅ ⋅ × ⋅

89Ti C = °

27T C ∞ = °


V Cp ρ ∞ ∞

− ⋅→ = − ⋅ + ⋅ ⋅

( ) ( ) 389 27 exp 7, 309 10 27 °CT t t − = − − × ⋅ +

( ) 362 exp 7, 309 10 27 °CT t t − = ⋅ − × ⋅ +


( ) ( )( ) ( ) ( )

3

4

5

8,38 4,750 10 1 14,789 10

8933 2,417 10 385

sh A

V Cp s s ρ

−−

−

− ⋅ ×− ⋅ = = − × ⋅ ⋅ ⋅ × ⋅

89Ti C = °

27T C ∞ = °


V Cp ρ ∞ ∞

− ⋅→ = − ⋅ + ⋅ ⋅

( ) ( ) 489 27 exp 4, 789 10 27 °CT t t − = − − × ⋅ +

( ) 462 exp 4, 789 10 27 °CT t t − = ⋅ − × ⋅ + Para la probeta de Aluminio.-

( ) ( ) exp sh AT t Ti T t

T V Cp ρ

∞ ∞

− ⋅= − ⋅ + ⋅ ⋅

, ,V Cp ρ del aluminio.-

Tabla 4.1, página 828 del libro de Incropera, para el cobre puro:

( )32702 /kg m ρ =

( )903 /Cp J Kg K = ⋅

De los resultados de la pregunta N° 4:3 27,689 10 s A m−= ×

2 5 34,039 10V r h mπ −= = ×


- 38 -




( ) ( )( ) ( ) ( )

3

2

5

1087,7077 7,689 10 1 18,487 10

2702 4,039 10 903

sh A

V Cp s s ρ

−−

−

− ⋅ ×− ⋅ = = − × ⋅ ⋅ ⋅ × ⋅

24,02Ti C = °

90T C ∞ = °


V Cp ρ ∞ ∞

− ⋅→ = − ⋅ + ⋅ ⋅

( ) ( ) 224,02 90 exp 8,487 10 90 °CT t t − = − − × ⋅ +

( ) 265,98 exp 8,487 10 90 °CT t t − = − ⋅ − × ⋅ +


( ) ( )( ) ( ) ( )

3

2

5

1082,5547 7,689 10 1 18,446 10

2702 4,039 10 903

sh A

V Cp s s ρ

−−

−

− ⋅ ×− ⋅ = = − × ⋅ ⋅ ⋅ × ⋅

89,4Ti C = °

23T C ∞ = °


V Cp ρ ∞ ∞

− ⋅→ = − ⋅ + ⋅ ⋅

( ) ( ) 289, 4 23 exp 8, 446 10 23 °CT t t − = − − × ⋅ +

( ) 266, 4 exp 8, 446 10 23 °CT t t − = ⋅ − × ⋅ +


( ) ( )( ) ( ) ( )

3

3

5

117,8953 7,689 10 1 19,199 10

2702 4,039 10 903

sh A

V Cp s s ρ

−−

−

− ⋅ ×− ⋅ = = − × ⋅ ⋅ ⋅ × ⋅

89,4Ti C = °28T C ∞ = °


V Cp ρ ∞ ∞

− ⋅→ = − ⋅ + ⋅ ⋅

( ) ( ) 389,4 28 exp 9,199 10 28 °CT t t − = − − × ⋅ +

( ) 361,4 exp 9,199 10 28 °CT t t − = ⋅ − × ⋅ +

A partir de esas ecuaciones hemos determinado la temperatura en función deltiempo ( )T t , con lo que a manera de comprobar los resultados obtenidos de

- 39 -




manera experimental de las temperaturas cada cierto intervalo de tiempo hasta elestado estable para el calentamiento y enfriamiento de las probetas, nos valemosdel programa Microsoft Office Excel para realizar una tabla de datos calculados con

las ecuaciones postuladas y con los mismos intervalos de tiempo tomados en lapráctica. En esta tabla coloco también los valores de temperatura tomados en lapráctica con el fin de comparar con los valores de temperatura calculados de lasecuaciones.

Para la probeta de Cobre.-


( ) 266,5 exp 6,819 10 90 °CT t t − = − ⋅ − × ⋅ +

t (min) t (s) T °C (obtenido) T °C (calculado)0 0 23,5 23,5000

1 60 86 88,8884

2 120 86,9 89,9814

3 180 88 89,9997

4 240 88,1 90,0000

5 300 88,4 90,0000

6 360 88,8 90,0000

7 420 89 90,0000

8 480 89 90,0000

Tabla N° 12.- T en °C obtenida y calculada para la probeta de cobre – calentada en agua


( ) 274 exp 6, 711 10 15 °CT t t − = ⋅ − × ⋅ + t (s) T °C (obtenido) T °C (calculado)

0 89 89,0000

10 68 52,8248

20 49,7 34,3340

30 38,2 24,8825

40 31,6 20,0514

50 27,2 17,5820

60 24,6 16,319870 22,9 15,6746

80 21,7 15,3448

90 20,9 15,1763

100 20,3 15,0901

110 19,8 15,0460

120 19,3 15,0235

130 18,9 15,0120

140 18,5 15,0061

150 18,2 15,0031

160 17,9 15,0016

170 17,8 15,0008

180 17,6 15,0004

190 17,5 15,0002

- 40 -




200 17,4 15,0001

210 17,5 15,0001

220 17,5 15,0000

Tabla N° 13.- T en °C obtenida y calculada para la probeta de cobre – enfriada en agua


( ) 362 exp 7, 309 10 27 °CT t t − = ⋅ − × ⋅ + t (s) T °C (obtenido) T °C (calculado)

0 89 89,0000

10 82,6 84,6301

20 76,5 80,5681

30 71,4 76,7925

40 66,4 73,283050 61,6 70,0208

60 57,5 66,9886

70 54,3 64,1701

80 51,8 61,5502

90 49,5 59,1150

100 47,3 56,8515

110 45,2 54,7475

120 43,3 52,7917

130 41,4 50,9739

140 39,8 49,2841

150 38,6 47,7135

160 37,5 46,2535

170 36,2 44,8965

180 35,1 43,6351

190 34,3 42,4626

200 33,7 41,3728

210 32,9 40,3597

220 32,2 39,4181

230 31,7 38,5428

240 31,4 37,7293

250 31,1 36,9730

260 30,7 36,2701

270 30,3 35,6167280 29,9 35,0094

290 29,6 34,4449

300 29,1 33,9201

310 28,8 33,4324

320 28,5 32,9790

330 28,2 32,5576

340 27,9 32,1659

350 27,7 31,8018

360 27,5 31,4633

370 27,3 31,1487

380 27,2 30,8563

390 27 30,5845

Tabla N° 14.- T en °C obtenida y calculada para la probeta de cobre – enfriada en aceite

- 41 -





( ) 462 exp 4, 789 10 27 °CT t t − = ⋅ − × ⋅ + t (min) t (s) T °C (obtenido) T °C (calculado)

0 0 89 89,0000

5 300 72,1 80,7028

10 600 62,3 73,5159

Tabla N° 15.- T en °C obtenida y calculada para la probeta de cobre – enfriada en aire

Para la probeta de Aluminio.-


( ) 265,98 exp 8,487 10 90 °CT t t − = ⋅ − × ⋅ + t (s) T °C (obtenido) T °C (calculado)

0 24.2 24,0200

30 86 84,8280

60 88 89,5946

90 88.6 89,9682

120 88.8 89,9975

150 88.9 89,9998

180 88.9 90,0000

210 88.9 90,0000

240 89.1 90,0000270 89.2 90,0000

300 89.3 90,0000

330 89.4 90,0000

360 89.4 90,0000

390 89.4 90,0000

420 89.4 90,0000

450 89.4 90,0000

480 89.4 90,0000

510 89.4 90,0000

540 89.4 90,0000

570 89.4 90,0000

600 89.4 90,0000

Tabla N° 16.- T en °C obtenida y calculada para la probeta de aluminio – calentamiento


( ) 266, 4 exp 8, 446 10 23 °CT t t − = ⋅ − × ⋅ + t (s) T °C (obtenido) T °C (calculado)

0 89.4 89,4000

10 55 51,5340

20 44 35,2619

30 45.3 28,2693

40 30.3 25,2644

- 42 -




50 27.7 23,9731

60 26.8 23,4182

70 26.7 23,1797

80 26.7 23,077290 26.7 23,0332

100 26.7 23,0143

Tabla N° 17.- T en °C obtenida y calculada para la probeta de aluminio – enfriada en agua


( ) 361,4 exp 9,199 10 28 °CT t t − = ⋅ − × ⋅ + t (s) T °C (obtenido) T °C (calculado)

0 89.4 89,4000

30 74.2 74,592560 67.8 63,3561

90 63 54,8294

120 56.8 48,3591

150 52.8 43,4492

180 47 39,7234

210 41.5 36,8962

240 39.8 34,7507

270 36.8 33,1227

300 34.8 31,8873

330 33.8 30,9498

360 32.8 30,2384

390 32.4 29,6986

420 32.3 29,2890

Tabla N° 18.- T en °C obtenida y calculada para la probeta de aluminio – enfriada en aceite

7. Analice los resultados obtenidos.

La obtención de la temperatura calculada a través de la fórmula que la relacionacon el tiempo del proceso transitorio, nos permite tener argumentos válidos con loscuales vamos a comentar en este análisis de resultados.

Para la obtención de estas fórmulas, que partieron a partir de dos consideraciones,la validez del método de la resistencia interna despreciable (cosa que se cumplióporque todos los valores del Biot resultaron menores a 0,1) y la obtención delcoeficiente h de convección el cuál salió del análisis por medio de los parámetrosadimensionales (donde se usó las convenciones de algunos autores en cuanto arelaciones entre el producto de Grashoff – Prandtl y el número de Nusselt).

Observando las tablas 12 a la 15 que resumen todos los cálculos realizados, sepuede observar que ciertamente si existe una correspondencia entre los datos detemperatura tomados en la práctica y los datos de temperatura calculados, sobretodo obsérvese la tabla 12 del calentamiento del agua, donde existe una granconjetura entre ambas temperaturas.

Se debe decir que al principio se tenía un poco de dudas acerca de los valores que

resultarían para el caso del enfriamiento en aceite, debido a que las propiedadesobtenidas del mismo con las que se evaluó y calculó el h de convección en estos

- 43 -




casos se tomaron de referencia a un aceite de motor (sin usar), cuyas propiedadesestaban tabuladas en el apéndice A del libro de Incropera. Sin embargo se puedeobservar que ciertamente existe una desviación entre los valores de temperaturas,

pero no es lo suficientemente grande como para deducir que el h de conveccióncalculado fue totalmente erróneo, por lo que el valor de dicho dato lo hemosconsiderado como válido. En las tablas 14 y 18 se pueden observar lastemperaturas obtenidas para el enfriamiento en aceite de la probeta de cobre yaluminio respectivamente, y se puede corroborar por tanto nuestro análisis.

En cuanto a los números de Biot determinados, tanto para el cobre como para el

aluminio, estos valores se encuentran en un rango de 41 10−× a 0,02 , y como

sabemos que el método de la resistencia interna despreciable es válido con el

criterio de que 0,1 Bi < ,entonces queda totalmente constatado de que este método

fue totalmente aplicable para el desarrollo de esta práctica.

Los h de convección obtenidos guardan la relación que desde un inicio sabíamos

que teníamos que llegar a tener y es que: agua aceite aireh h h> > , ya que según incropera

para procesos de convección libre ( )22 25 / gasesh W m K = − y

( )250 1000 /liquidosh W m K = − .

8. ¿Qué representa el número de Biot en el análisis del estado transitorio?El número de Biot es una cantidad adimensional que cuantifica la caída detemperatura en el sólido con relación a la diferencia de temperatura entre la

superficie del sólido y el fluido contiguo.El número de biot es una relación de resistencias térmicas, es la relación entre laresistencia interna de conducción del sólido y la resistencia externa de conveccióncon el fluido.Si el número de Biot es mucho menor a la unidad, quiere decir que la resistencia deconducción es mucho menor en relación a la resistencia de convección, lo queindica que el gradiente de temperatura dentro del sólido es despreciable y puedeutilizarse el método de la resistencia interna despreciable.

- 44 -




9. Conclusiones y recomendaciones (personales).Diego Rosero

-En el análisis de la transferencia de calor a menudo se desprecian las

variaciones de las condiciones de los problemas con el tiempo. El análisis enestado transitorio toma en cuenta estas variaciones y permite determinar losflujos de calor cuando las condiciones de frontera están variando con eltiempo.

- Los parámetros adimensionales como el número de Biot y de Fourier son degran ayuda para el análisis de la conducción en estado transitorio.Dependiendo de sus valores podemos aplicar el método de la resistenciainterna despreciable o el método de solución aproximada, que facilitanmucho los cálculos en comparación con otros métodos como el de

diferencias finitas.- Es necesario tomar en cuenta que para el número de Biot, la longitud que

aparece en su fórmula es la longitud efectiva, que es igual al volumendividido para el área superficial.

- La transferencia de calor desde las probetas hacia el fluido donde se estas seenfriaban dependen de las características propias de los materiales de lasprobetas así como también de las propiedades de los fluidos.

- La probeta de cobre, por tener una mayor conductividad térmica, se enfríamás rápidamente que la probeta de aluminio. Este fenómeno se evidenciatanto en el agua como en el aceite, donde la probeta de cobre necesitamenos tiempo para llegar al estado estable con el fluido.

-Las probetas se enfrían más rápido en agua que en aceite y que al aire

ambiente. El agua tiene menor viscosidad que el aceite, por lo que elcoeficiente de transferencia de calor por convección para el agua serámayor.

- A pesar de que en el aire las probetas y en general cualquier enfriamiento esmás lento que en otros fluidos como el agua o el aceite, el aire se utiliza amenudo en diferentes maquinarias para el enfriamiento de componentes ypartes.

- Al realizar la práctica es recomendable utilizar el selector de termocuplas, deesta manera se pueden realizar los ensayos en las dos probetas a la vez yasí optimizar el tiempo de trabajo.

-Se debe cuidar que las probetas no toquen el fondo de los recipientes, deben

estar en contacto únicamente con los fluidos.- Para realizar el calentamiento de las probetas, se debe evitar que el vapor del

agua hirviendo esté en contacto con las mismas, para que los materialesempiecen el proceso de calentamiento a temperatura ambiente.

- Para el enfriamiento en agua y en aceite se recomienda tomar lecturas detemperatura cada 10 segundos, ya que el proceso es bastante rápido.

César Silva

- El análisis de problemas de transferencia de calor dentro del estado transitorio

es factible por medio de tres caminos: usando el método de la resistenciainterna despreciable cuando los gradientes de temperatura en la superficie

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del sólido son despreciables 0,1 Bi < , el planteamiento de los parámetros

adimensionales para el desarrollo analítico (donde se puede resolver problemas en los cuales los gradientes de temperatura superficiales ya nopueden ser despreciables) y por medio de la discretización de lasecuaciones por medio del método de diferencias finitas, usando el métodoexplícito e implícito.

- Del estudio en el libro se pudo aprender que el método de diferencias finitasme es útil cuando las condiciones geométricas del problema imponen ciertogrado de dificultad en su resolución y cuando no se tienen las condiciones deborde planteadas para la solución analítica.

- De la anterior conclusión, también se expone que en cambio el métodoanalítico se encuentra limitado a geometrías simples y a condiciones deborde únicas.

-Con estas tres conclusiones expuestas anteriormente se ve la gran ventaja del

método de la resistencia interna despreciable, ya que como se observómuestra una gran facilidad para la resolución de problemas de estado

transitorio siempre y cuando 0,1 Bi < , de lo contrario estamos aplicando mal

el criterio ya que según este método cuando esta condición se cumple latemperatura del sólido depende solo de la temperatura, mientras que si

0,1 Bi > decimos que la temperatura del sólido ya no está espacialmente

distribuida, es decir, a parte del tiempo, depende también de la coordenadade posición.

- Al observar la comparación entre los valores de temperatura obtenidos en la

práctica y los calculados mediante el método de la resistencia internadespreciable, se puede concluir que las desviaciones obtenidas sonaceptables, ya que no se observó un gran desfase entre ambos valores paracada probeta. Por tanto se puede concluir que con gran éxito hemosaplicado el uso de los parámetros adimensionales para el cálculo del h deconvección. Además llegamos a la conclusión de que se cumplió que

agua aceite aireh h h> > , lo cual verifica aún más la validez de nuestros resultados.

- En especial consideración se puede comentar que los valores de temperaturacalculados para la probeta de cobre cuando es enfriada por el aire ambientefueron mayores de lo que se obtuvo en la práctica. En este caso se puede

considerar que la temperatura y el flujo de aire que intervinieron en esteproceso de enfriamiento no fueron constantes ya que de vez en cuando seabría la puerta del laboratorio y entraba una ventisca o se sentía más frío elaire, lo cual puede haber ocasionado que se promueva un enfriamiento másrápido.

- De los resultados se obtuvo que agua aceiteh h> . Se recuerda que la constante

térmica de tiempo es t

s

V Cp

h A

ρ τ

⋅ ⋅=

⋅ . Si sabe que de estas propiedades todas

excepto h se refieren al sólido, se dice entonces que ( ) ( )t t aceite aguaτ τ > , y

como se recordará el hecho de que se tenga un mayor valor de la constantetérmica de tiempo nos dice que el sólido responde más lentamente a

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cambios en su ambiente térmico o que demora más en alcanzar latemperatura de estabilización. Esto también es visible a través de otrocamino: el aceite es más viscoso que el agua, y el número de grashoff es

inversamente proporcional a la viscosidad al cuadrado. Por tanto se obtieneun mayor número de Grashoff en la convección con agua que con el aceite.Y como se observó el número de Grashoff es directamente proporcional alnúmero de Nusselt, y el Nusselt por definición es también proporcional alcoeficiente de convección h, entonces el h del agua es mayor que el delaceite y su concluye lo que se dijo anteriormente.

- Esta fue una práctica muy productiva y de gran ayuda para el entendimientode la teoría del estado transitorio, se recomienda al estudiante procurar hacer esta práctica que como digo resulta muy provechosa para afianzar elconocimiento que se obtuvo acerca de este tema en transferencia de calor I.

-Se recomienda para los próximos estudiantes que hagan la práctica, que

procuren usar el selector de termocuplas debido a que con este elemento, latoma de datos es más fácil y se puede legar a completar todas lasmediciones requeridas.

10.Bibliografía.- Apuntes de Transferencia de Calor II con el ing. Roberto Bahamonde.- Fundamentos de Transferencia de Calor; Frank P. Incropera, David P.DeWitt; Pearson Education; Cuarta edición.

Basada en una consulta de tipo WEB:- http://books.google.com.ec/books?id=QqfJw4tpIjcC&printsec=frontcover&dq=incropera#v=onepage&q=&f=false- http://editorial.cda.ulpgc.es/ftp/ambiente/antesol/TESIS/cap3.pdf

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prÁctica n°3 tii - estado transitorio (con formato)

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