practica matemática 6 usb

Prctica 11Singularidades

y Residuos

1

Problema 1.

Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea el tipo de singularidadaislada (removible, polo o esencial) el residuo es igual a .

16.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1Clasificar las singularidades aisladas para :

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin

(a) es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito no existe

finito. Por lo tanto, no es polo simple.

Veamos si es polo doble: y es polo doble de .

(b)

Por lo tanto, aqu es singularidad aislada de y es obvio que no es acotada

en . Adems, no existe por lo que es una singualridad esencial para .

(c) es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).

Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recurdese del ejemplo que sigue al Teorema , la funcin

aparenta tener polo de orden en y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).

Estudiamos que no es finito.

Estudiemos que no es finito.

Observamos que con exponente en no vamos a conseguir lmite finito. Pasamos entonces a:

es polo de orden para .

(d)

Es evidente que y son singularidades aisladas de , pero tambin es obvio que no son polos simples

(demustrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:

195

2




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195

3




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195

4




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195

5




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195

6




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195

7




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195

8




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195 9




(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Solucin




(b)










(d)



195

Ejercicios

10

Problema 2.

por continuidad de la funcin racional.

Por lo tanto, es polo doble de .

Demuestre que tambin es polo doble de .

(e) son singularidades aisladas de .

es polo simple de .

es polo simple de .

(f)

no es acotada en y no existe

Luego, , que es una singularidad aislada de , es una singularidad esencial de .

Problema 2

Demostrar que tiene en un polo simple.

Solucin

es singularidad aislada de

es polo simple de

Problema 3

Calcular los residuos respectivos para las funciones de los ejercicios y .

Solucin

Del ejercicio .

(a) se demostr que es polo doble de . Luego, por las frmulas del clculo de residuos,

frmula (b):

(b) se demostr que es singularidad esencial para , luego, para calcular el residuo de ennecesitamos desarrollar en serie de Laurent:

con que ser el coeficiente de

196





es polo simple de .

es polo simple de .

(f)



Problema 2


Solucin


es polo simple de

Problema 3


Solucin

Del ejercicio .


frmula (b):



196

11

Problema 3.

Calcular los residuos respectivos para las funciones de los problemas 1 y 2





es polo simple de .

es polo simple de .

(f)



Problema 2


Solucin


es polo simple de

Problema 3


Solucin

Del ejercicio .


frmula (b):



196





es polo simple de .

es polo simple de .

(f)



Problema 2


Solucin


es polo simple de

Problema 3


Solucin

Del ejercicio .


frmula (b):



196

12





es polo simple de .

es polo simple de .

(f)



Problema 2


Solucin


es polo simple de

Problema 3


Solucin

Del ejercicio .


frmula (b):



196





es polo simple de .

es polo simple de .

(f)



Problema 2


Solucin


es polo simple de

Problema 3


Solucin

Del ejercicio .


frmula (b):



196

Por lo tanto,

(c) aqu demostramos que es un polo de orden para .

Por lo tanto, por la frmula (b) del Clculo de Residuos:

Ahora,

Por lo tanto,

(d) y son polos dobles de . Por lo tanto,

Demuestre que

(e) Ya se demostr que y son polos simples de y que

utilizando la frmula del Clculo de Residuos.

(f) Demostramos que es singularidad esencial de y que

Luego, (frmula (d) del Clculo de Residuos).

Del ejercicio . se demostr que tiene polo simple en y que

Problema 4

Utilizar explcitamente la definicin : con curva de Jordan y para el clculo

de los residuos de los ejercicios (a) y (c).

Solucin

(a) Sabemos que es singularidad aislada de . Sea una curva de Jordan en orientada

197

13

Por lo tanto,



Ahora,

Por lo tanto,


Demuestre que






Problema 4



Solucin


197

Por lo tanto,



Ahora,

Por lo tanto,


Demuestre que






Problema 4



Solucin


197

Por lo tanto,



Ahora,

Por lo tanto,


Demuestre que






Problema 4



Solucin


197

14

Por lo tanto,



Ahora,

Por lo tanto,


Demuestre que






Problema 4



Solucin


197

Que ocurre en -i?

15

Por lo tanto,



Ahora,

Por lo tanto,


Demuestre que






Problema 4



Solucin


197

Por lo tanto,



Ahora,

Por lo tanto,


Demuestre que






Problema 4



Solucin


197

Por lo tanto,



Ahora,

Por lo tanto,


Demuestre que






Problema 4



Solucin


197

Ejercicios 2.

Clculos restantes p1. f y p2.

16

Problema 4.

positivamente y con

Por definicin :

Pero, aplicando la frmula integral de Cauchy para las derivadas: es entera, es curva de Jordan y

resultado qu ecoincide con el obtenido

en el ejercicio (a).

(c)

Aplicar de nuevo frmula de integral de Cauchy para las derivadas con (Verifique las condiciones

correspondientes).

Por lo tanto,

y

Problema 5

Sea

(a) Clasificar las singularidades de .

(b) Hallar los residuos de en sus singularidades respectivas.

(c) Calcular ,

Solucin

(a) Las singularidades aisladas de son claramente y (puntos donde no es analtica).

Ahora bien, pareciera que es doble para , pero no podemos descartar la posibilidad de que sea simple. A

tal efecto estudiamos que no es finito (por lo tanto decimos que no existe) no es

polo simple.

Estudiemos por lo tanto es polo doble de .

Ahora con , es un polo simple de .

(b)

(c) . Dom y es analtica en A que es un conjunto abierto conexo. es una curva de

Jordan en , el y , singularidades de estn en . Luego, aplicando el Teorema de los

residuos se tiene:

198

positivamente y con

Por definicin :




(c)


correspondientes).

Por lo tanto,

y

Problema 5

Sea



(c) Calcular ,

Solucin




polo simple.



(b)



residuos se tiene:

198

17

positivamente y con

Por definicin :




(c)


correspondientes).

Por lo tanto,

y

Problema 5

Sea



(c) Calcular ,

Solucin




polo simple.



(b)



residuos se tiene:

198

positivamente y con

Por definicin :




(c)


correspondientes).

Por lo tanto,

y

Problema 5

Sea



(c) Calcular ,

Solucin




polo simple.



(b)



residuos se tiene:

198

con y . As la integral vale .

Figura 16.3:

Problema 6

(a) Clasificar las siguientes singularidades y hallar residuos de en ellas, para

(b) Calcular , C descrita por

Solucin

(a) Las singularidades aisladas de son los puntos en donde no es analtica, estos son los ceros de (por ser

un cociente de funciones analticas)

Ahora

pero para y .

Por lo tanto, para cada . son polos simples de y

(b) es una circunferencia de centro 0 y radio 4, recorrida en sentido antiorario. Adems entre los , los nicos

que estn en son para

As

y por Teorema de los residuos:

Problema 7

Sea

(a) Calcular las singularidades de .

199


Figura 16.3:

Problema 6



Solucin



Ahora

pero para y .




As


Problema 7

Sea


199

18

positivamente y con

Por definicin :




(c)


correspondientes).

Por lo tanto,

y

Problema 5

Sea



(c) Calcular ,

Solucin




polo simple.



(b)



residuos se tiene:

198

positivamente y con

Por definicin :




(c)


correspondientes).

Por lo tanto,

y

Problema 5

Sea



(c) Calcular ,

Solucin




polo simple.



(b)



residuos se tiene:

198


Figura 16.3:

Problema 6



Solucin



Ahora

pero para y .




As


Problema 7

Sea


199


Figura 16.3:

Problema 6



Solucin



Ahora

pero para y .




As


Problema 7

Sea


199

19

Problema 5.


Figura 16.3:

Problema 6



Solucin



Ahora

pero para y .




As


Problema 7

Sea


199


Figura 16.3:

Problema 6



Solucin



Ahora

pero para y .




As


Problema 7

Sea


199


Figura 16.3:

Problema 6



Solucin



Ahora

pero para y .




As


Problema 7

Sea


199


Figura 16.3:

Problema 6



Solucin



Ahora

pero para y .




As


Problema 7

Sea


199

20


Figura 16.3:

Problema 6



Solucin



Ahora

pero para y .




As


Problema 7

Sea


199

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