práctica de la unidad i - discreta - utn-frt

Asignatura

1º año

1) ¿Cuáles de las siguientes expresiones

son proposiciones?

a) ¿2 es un número positivo?

b) Juan es estudiante.

c) a + b + 10 = 20

d) a + b + 10 = 20; donde a = 4, b= 7

No es proposición ya que una interrogación no tiene valor de verdad

Es una proposición porque es una oración afirmativa de la cual puede decirse V o F , pero no ambas

Esta afirmación no tiene valor de verdad ya que depende de los valores de a y b entonces , no es una proposición

Es una proposición porque , asignados los valores de a y b, la afirmación tiene valor de verdad, en este caso, F

2)Dadas las proposiciones, p: Fernando viajó en sus

vacaciones , y q: Fernando estudió en sus

vacaciones. .3

Exprese verbalmente las siguientes expresiones lógicas

p

p q

(p q)

Responda: ¿Tienen la misma interpretación (p q) y

p q ? Analice los valores de verdad de ambas

proposiciones compuestas en el caso en que p = V y

q = F

: “Fernando no viajó en sus vacaciones”

: “Fernando viajó y estudió en sus vacaciones”

: “No es cierto que, Fernando viajó y estudió

en sus vacaciones”

No tienen la misma interpretación, la 1º es “No es cierto que, Fernando

viajó y estudió en sus vacaciones” , la cual es Verdadera y la 2º es

“Fernando no estudió ni viajo en sus vacaciones” la cual es Falsa

2)Dadas las proposiciones, p: Fernando viajó en sus

vacaciones , y q: Fernando estudió en sus

vacaciones. .4

p q

p q

Responda: ¿Tienen la misma interpretación p q y

p q ? Analice los valores de verdad de ambas

proposiciones compuestas en el caso en que p =

V y q = V

: “Fernando viajó o estudió en sus vacaciones”

: “Fernando viajó o estudió en sus vacaciones,

pero no ambas”

No tienen la misma interpretación, la 1º brinda la posibilidad de haber

hecho las dos cosas y en este caso es Verdadero y la 2º excluye la

posibilidad de haber hecho ambas, y por lo tanto es Falsa

3)Escriba una oración que corresponda a cada una de las siguientes proposiciones:

p: llueve, q: hace frío, r: voy al cine

a)¬r Λ q

b) ¬ (r Λ q)

c) ¬p ¬ q

d) ¬(p q)

e) ( r Λ q) ν p

f) r Λ (q ν p)

No voy al cine pero hace frío

No es cierto que, voy al cine y hace frío

No voy al cine o no hace frío

No es cierto que, voy al cine o hace frío

Voy al cine y hace frio, o llueve

Voy al cine y, hace frio o llueve

4) Construya las tablas de verdad de las siguientes

expresiones, diga cuál de ellas es tautología o

contradicción6

Entonces ¬p Λ q Λ p es una contradicción

Entonces ¬ (p Λ q) p es una tautología

a) ¬p Λ q Λ p

b) ¬ (p Λ q) p

p q ~p ~p Λ q ¬p Λ q Λ p

p q p Λ q ~(p Λ q) ¬ (p Λ q) p

p q ~p ~p Λ q ¬p Λ q Λ p

V V F F F

V F F F F

F V V V F

F F V F F

p q p Λ q ~(p Λ q) ¬ (p Λ q) p

V V V F V

V F F V V

F V F V V

F F F V V

5) a)Escriba las siguientes proposiciones en forma

simbólica, luego escriba la recíproca y contrarecíproca

Si veo un marciano con mis propios ojos, entonces hay vida extraterrestre

p q

q p

~q ~p

7

Sean

p: “Veo un marciano con mis propios ojos”

q: “creo que hay vida extraterrestre”

La recíproca es :

La Contrarecíproca es

Si hay vida extraterrestre, veré un marciano

con mis propios ojos

Si no hay vida extraterrestre, no veré un

marciano con mis propios ojos

u v

Es suficiente un disco rígido de 80 GB para que pueda navegar en Internet.

u: Tengo un disco rígido de 80 GB

v: Puedo navegar en Internet

v u

5) b)Escriba las siguientes proposiciones en forma


Su recíproca es:

~v ~ u

Su contrarecíproca es:

Es suficiente navegar por internet para tener

un disco rígido de 80 GB

Si no puedo navegar por internet, entonces

no tengo un disco rígido de 80 GB

8

5) c)Escriba las siguientes proposiciones en forma


Si encuentro petróleo, soy rico

p q

q p

~q ~p

9

Sean

p: “Encuentro petróleo”

q: “Soy rico”

La recíproca es :


Si soy rico, encuentro petróleo

Si no soy rico, entonces no encontré petróleo

5) c)Escriba las siguientes proposiciones en forma


Si llueve, voy al cine.

p q

q p

~q ~p

10

Sean

p: “llueve”

q: “voy al cine”

La recíproca es :


Si voy al cine, llueve

Si no voy al cine, no llovió

5) e)Escriba las siguientes proposiciones en forma


Voy a la facultad, cuando es lunes

q p

q p

~q ~p

11

Sean

p: “Voy a la facultad”

q: “Es lunes”

La recíproca es :


Si voy a la facultad, es lunes

Si no voy a la facultad, no es lunes

6) Al inicio de un programa de Pascal, las variables enteras “m” y “n” reciben los valores de 3 y 8 respectivamente. Durante la ejecución del programa, se encuentran los siguientes enunciados sucesivos. [Aquí, los valores de m y n después de la ejecución del enunciado de la parte a) se convierten en los valores de “m” y “n” para el enunciado de la parte b), etc, hasta el enunciado de la parte g)]

n m

Valores iniciales 8 3

If n-m=5 then n := n -2

If ( ( 2*m=n) and (n Div 4 = 1 ) then n: = 4*m-3)

If (( n<8) or ((m Div 2 = 2 )) then n : = 2*m else m:=2*n

If ((m<20) and (n Div 6 = 1 ) then m : = m – n – 5

If ((n = 2*m) or ( ( n Div 2 = 5 )) then m : = m +2

If ((n Div 3 = 3) and ( m Div 3 ) < > 1) ) then m : = n

If m*n <> 35 then n: = 3*m +7

12

n m

Valores iniciales 8 3

If n-m=5 then n := n -2 6 3

If ( ( 2*m=n) and (n Div 4 = 1 ) then n: = 4*m-3) 9 3

If (( n<8) or ((m Div 2 = 2 )) then n : = 2*m else m:=2*n 9 18

If ((m<20) and (n Div 6 = 1 ) then m : = m – n – 5 9 4

If ((n = 2*m) or ( ( n Div 2 = 5 )) then m : = m +2 9 4

If ((n Div 3 = 3) and ( m Div 3 ) < > 1) ) then m : = n 9 4

If m*n <> 35 then n: = 3*m +7 19 4

7 a) Demuestre las siguientes implicaciones lógicas

i) (p Λ (p→ q)) q ( Modus Ponens)

p q p→ q p Λ (p→ q) (p Λ (p→ q)) → p

13

(p Λ (p→ q)) implica lógicamente a p dado que (p Λ (p→ q)) → q

es una tautología

p q p→ q p Λ (p→ q) (p Λ (p→ q)) → q

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V


ii) ( q Λ (p→ q)) p ( Modus Tollens)

14

( q Λ (p→ q)) implica lógicamente a p dado que ( q Λ (p→q)) → p es una tautología

p q pq

p→ q q Λ (p→ q) ( q Λ (p→ q)) → p

V V

V F

F V

F F

p q pq

p→ q q Λ (p→ q) ( q Λ (p→ q)) → p

V V F F V F V

V F F V F F V

F V V F V F V

F F V V V V V


iii) ( q Λ (p q)) p (Silogismo Disyuntivo)

15

q Λ (p q) implica lógicamente a p dado que ( q Λ (p q)) →p

es una tautología

p q

q

p q q Λ (p q) ( q Λ (p q)) →p

V V F F

V F V V

F V F V

F F V F F

p q

q

p q q Λ (p q) ( q Λ (p q)) →p

V V F V F V

V F V V V V

F V F V F V

F F V F F V


iv) ((p→ q) Λ (q→ r)) (p→ r) (Silogismo

Hipotético)

16

((p→ q) Λ (q→ r)) implica lógicamente a p→ r dado que

((p→ q) Λ (q→ r)) (p→ r) es una tautología

p q r

A

p q

B

q r A B

C

pr A B C

V V V V V V V V

V V F V F F

V F V V

V F F V

F V V V

F V F V V

F F V V V

F F F v V v v

p q r

A

p q

B

q r A B

C

pr A B C

V V V V V V V V

V V F V F F F V

V F V F V F V V

V F F F V F F V

F V V V V V V V

F V F V F F V V

F F V V V V V V

F F F v V v v V

7)b) Demuestre las siguientes implicaciones lógicas

usando las leyes ya probadas17

r qpr))(q(p i)

qp)r))(q((p derecha a izquierda de asociando

qr)(q : Ponens Moduspor

r : nuevamente Ponens ModusPor

r pr)(q q)(p ii)

pr))(q q)(p( derecha a izquierda de asociando

pr)(p : Hip Silogismopor

r : Ponens ModusPor

8) Escriba las proposiciones dadas en forma simbólica.

Analice su valor de verdad

18

a) 113 es primo si y solo si 113 es impar

b) Es necesario y suficiente que nieve para que el día esté frio

p:”113 es primo”

q: “113 es impar” p q

p = V y q = V , entonces (p q) = V

r:”Nieva”

s: “Hace frio”

r s

r s será V si ambos, r y s tienen el mismo

valor de verdad, caso contrario r s será

F

9) a) Demuestre las siguientes equivalencias

lógicas

19

i) (p q) r (p r) (q r) (una de las leyes distributiva)

p q r (p q) r p r q r (p r) (q r)

V V V V V V V V

V V F F F V

V F V V V V

V F F F F V

F V V V V

F V F F F

F F V F F

F F F F F F F V

p q r (p q) r p r q r (p r) (q r)

V V V V V V V V

V V F F F F F V

V F V V V F V V

V F F F F F F V

F V V V F V V V

F V F F F F F V

F F V F F F F V

F F F F F F F V

1 2

1 2

p q p q (p q)

p

V V V

V F V

F V V

F F F

9) a) Demuestre que las siguientes equivalencias

lógicas

20

ii) (p q) p p (una de las leyes de

absorción)

p q p q (p q)

p

V V V V V

V F V V V

F V V F V

F F F F V

1 2

12


lógicas

21

iii) ~(p q) ~p ~ q (una de las leyes de De

Morgan)

p q ~p ~q p q ~(p q) ~p ~ q

V V F F V F V

V F F V F V

F V V F F

F F V V V V

p q ~p ~q p q ~(p q) ~p ~ q

V V F F V F F V

V F F V F V F V

F V V F F V F V

F F V V F V V V

1 21 2


lógicas

22iv) ~(p→ q) p ~ q (una de las leyes de la

condicional)

p q ~q p→ q ~(p→ q) p ~ q

V V F V

V F V

F V F

F F V V

p q ~q p→ q ~(p→ q) p ~ q

V V F V F F V

V F V F V V V

F V F V F F V

F F V V F F V

1 2

1 2


lógicas

23

v) ~(p↔ q) (p ~ q) (q ~ p) (ley de la bicondicional)

p q p q ~(p

q)

p ~ q q ~ p ˅

V V V

V F

F V

F F V

p q p q ~(p

q)

p ~ q q ~ p ˅

V V V F F F V

V F F V V F V

F V F V V V V

F F V F V F V

1 2 3

1 2 3

b) Demuestre las siguientes equivalencias lógicas

usando las Leyes Lógicas ya probadas

24

q q qp i)

qqp q qp Cond la deLey Por

q qqp Absorcion deLey por y

q rp qr qp ii)

qr qp qr qp cond la deley Por

q rp qr qp distribley Por

F rqpr)qp( iii)

rqpr)qp(

rqprqpMorgan DePor

F Opuestos los deLey Por

10) Encuentre la negación de las siguientes

proposiciones usando las equivalencias lógicas

convenientes. Exprese el resultado en lenguaje

simbólico y coloquial.25

a)Hoy llueve o hace frio

p:Hoy llueve

q: Hoy hace frioLa frase dada es: p v q

Su Negación:¬ (p v q) ¬p Λ ¬q)

Lenguaje coloquial

“Hoy , ni llueve ni hace frio”

b) Salgo de paseo y estudio.

p: Salgo de paseo

q: Estudio

La frase dada es :p q

Lenguaje coloquial

“No salgo de paseo o no estudio”

Esta frase es la negación de

~(p q) ≡ ~ p v qSu Negación:

c) Si se caen los precios de las acciones, perderé dinero

p: Caen los precios de las acciones.

q: Perderé dinero.p→ q

Lenguaje coloquial

“Caen los precios de las acciones y no perderé

dinero.”

¬(p→ q) ≡ p Λ ¬ q

27

Negación:

d) Sólo si vamos de paseo, pondré la correa

a mi perro

p: Vamos de paseo.

q: Pongo la correa a mi perro.q→ p

Lenguaje coloquial

“Le puse la correa a mi perro y no fuimos de paseo”

¬(q→ p) ≡ q Λ ¬ p

28

Negación:

e) El mineral es metal si y sólo si es buen

conductor de la electricidad

p: el mineral es metal.q: el mineral es buen conductor de la

electricidad

p q

Lenguaje coloquial

“El mineral es metal y no es buen conductor de electricidad o , es buen conductor de electricidad y no es metal”

¬(p q) ≡(p Λ ¬ q)˅(q Λ ¬ p)

29

Negación:

11a) Escriba una subrutina que genere la tabla de

verdad de (~p ν q) Λ r

b) Escriba una subrutina que demuestre la

implicación lógica p Λ q p

c) Escriba una subrutina que demuestre la

equivalencia lógica ~(p→ q) p ~ q

30

12) a)Establezca si el argumento dado es válido

o no. Justifique su respuesta.

31

Seré famoso o seré escritor

No seré escritor

∴ Seré famoso

p v q¬q

El razonamiento es válido por el Silogismo Disyuntivo

En forma simbólica, sean:

p: Seré famoso q: Seré escritor

p

12) b)Establezca si el argumento dado es válido

o no. Justifique su respuesta.

32

Hay escasez de nafta

Si las empresas petroleras están en crisis , hay escasez de nafta

∴ Las empresas petroleras están en crisis

p

q → pEl razonamiento no es válido (lo

demostramos con la tabla de verdad)

En forma simbólica, sean:p: Hay escasez de naftaq: las empresas petroleras están en crisis

q

pΛ(q → p) q

p q q → p pΛ(q → p) pΛ(q → p) →q

V V V V V

V F V V F

F V F F V

F F V F V

Contingencia, por lo tanto el razonamiento no es válido

13) Establezca la validez de los siguientes

razonamientos. Realice una derivación formal de la

conclusión, usando cualquier método de

demostración34

a) p Λ q →r , ¬r ν t , ¬t ⇒ ¬p ν ¬q

Por demostración directaPasos Justificación

1. p Λ q →r Premisa2. ¬r ν t Premisa3. ¬t Premisa4. ¬r 2 y 3 ,Silogismo disyuntivo 5. ¬( p Λ q) 1 y 4 ,Modus Tollens6. ¬p ν ¬q 5, Leyes de De Morgan

Se mostro que si las premisas son verdaderas, la conclusión también lo es. Por lo tanto el razonamiento es válido




demostración35

b) p ν q , p→r , q→r ⇒ r

Por demostración indirecta (por contradicción)Pasos Justificación

1. p ν q Premisa2. p→r Premisa3. q→ r Premisa4. ¬r Niego la conclusion5. ¬p 2 y 4, Modus Tollens6. ¬q 3 y 4, Modus Tollens7. ¬ p Λ ¬ q 5 y 6 ,Ley de Combinacion8. ¬(p ν q) 7, Ley de De Morgan9. F 1 y 8 , Contradiccion

Esta contradicción vino de haber supuesto que mientras las premisas son verdaderas la conclusión no lo era. Por lo tanto r es verdadero y el razonamiento es válido




demostración36

c) p→q , p→ ¬q ⇒ ¬p

Por demostración indirecta (por contradicción)Pasos Justificación

1. p→q Premisa2. p→ ¬q Premisa3. ¬ ¬ p Niego la conclusion4. p 3, ley de la negacion5. q 1 y 4, Modus Ponens6. ¬q 2 y 4, Modus Ponens6. F 5 y 6 , Contradicción

Esta contradicción vino de haber supuesto que mientras las premisas son verdaderas la conclusión no lo era. Por lo tanto ¬p es verdadero y el razonamiento es válido




demostración37

d) p → q ν r , p→ ¬q , p ⇒ ¬r

Por demostración directa Pasos Justificación

1. p → q ν r Premisa2. p→ ¬q Premisa3. p Premisa4. ¬q 2 y3, Modus Ponens5. q ν r 1 y 3, Modus Ponens6. r 4 y 5, Silog disyuntivo

El razonamiento no es válido ya que , si las premisas son verdaderas, la conclusion a la que se llega es r.

14) Complete los siguientes esquemas lógicos agregando

una conclusión de tal modo que resulten razonamientos validos

a) p →q r

~q ~r

… …

Reglas Justificación

1. p →q r Premisa

2. ~q ~r Premisa

3. ~(q r) 2,Ley de De Morgan

4. ~p 1y 3,Modus Tollens

p →q r~q ~r

~p

SE obtuvo por Demostración directa



b) p q r

p → ~t

… …


1. p q r Premisa

2. p → ~t Premisa

3. p 1,Ley de Simplificación

4. ~t 2y 3, Modus Ponens

p q r. p → ~t .

~t

Se obtuvo por demostración directa

15) Lea las siguientes frases, a) extraiga los

predicados

Considerando el conjunto de los estudiantes entonces:

i) Todos los estudiantes mayores de 25 años trabajan

P(x) : ‘ x es mayor de 25 años’

Q(x) : ‘x trabaja’

ii) Ningún estudiante aprobó el examen

A(x) : ‘ x aprobó el examen’

iii) Existen dos compañeros que viven en la misma pensión

P(x,y): ‘x vive en la misma pensión que y’

iv) Algún estudiante presta sus apuntes a todos sus compañeros.

Q(x,y): ‘x presta sus apuntes a y’

40

15) Lea las siguientes frases, b) exprese las

frases en lenguaje simbólico


P(x) : ‘ x es mayor de 25 años’ y Q(x) : ‘x trabaja’

x, [P(x) Q(x) ]



~ x,A(x)



xy , P(x,y)



x y , Q(x,y)

41

15) Lea las siguientes frases, c) Niegue en

forma simbólica y coloquial


P(x) : ‘ x es mayor de 25 años’ y Q(x) : ‘x trabaja’

~ x, [P(x) Q(x) ] ˅x, ~ [P(x) Q(x) ] ˅

˅x, [P(x) ~Q(x) ]

Algun estudiante es mayor de 25 años y no trabaja



~ [~ x,A(x)] ˅x,A(x)

Algun estudiante aprobó el examen

42

15) Lea las siguientes frases, c) Niegue en

forma simbólica y coloquial



~[x y , P(x,y)] ˅xy, ~P(x,y)

Todos los compañeros no comparten pensión con ningún compañero



~[x y , Q(x,y)] ˅˅x y, ~Q(x,y)

Todos los estudiantes no prestan los apuntes a algún compañero

43

16)Suponga que x, y son números naturales. Sean P(x): x >3, Q(x): x < 0, R(x, y): x =y

Niegue las siguientes expresiones en forma simbólica y coloquial

a) ∃x Q(x)

¬ ∃x Q(x) ˅x , ~Q(x)

“Todos los números naturales no son menores que cero” o “Ningún numero natural es menor que cero”

b) x P(x)

¬ x P(x) ˅∃ x , ~P(x)

“Existe un numero natural que no es mayor que 3”

44


Niegue las siguientes expresiones en forma simbólica y coloquial

c) x y R(x,y)

~ x y R(x,y)˅∃ x ∃y , ~R(x,y)

“Algún par de números naturales no son iguales”

d) ∃ x [~Q(x) ~P(x)]

~ ∃ x [~Q(x) ~P(x)] ˅ x , [Q(x) ˅ P(x)]

“Todos los números naturales son, menores que cero o mayores que tres”

45


Niegue las siguientes expresiones en forma

simbólica y coloquial

e) ∃ x y R(x,y)

~ ∃ x y R(x,y)˅ x ∃y , ~R(x,y)

“Cualquier número natural es distinto a algún numero natural”

f) ∃ x ∃ y R(x,y)

~ ∃ x ∃ y R(x,y)˅ x y , ~R(x,y)

“Todo número natural es distinto a cualquier numero natural”

46

5) b) Suponga que x, y son números naturales. Sean P(x): x es par, Q(x): x <0, R(x, y): x + y =2.

c) ∀x ∀ y R(x, y) : “La suma de todo número natural con cualquier otro natural da como resultado dos”

Su valor de verdad es F, ya que si x=2 e y=2, resulta x+y= 2+2=4.

d) ∃x[ ¬Q(x) Λ ¬P(x) ]

¬ Q(x): ‘x ≥0’

¬ P(x): x no es par

“Existe algún número natural que es no negativo y no es un número par”

Su valor de verdad es V, ya que por ejemplo el númeronatural 9 no es negativo y tampoco es un número par

48

5) b) Suponga que x, y son números naturales. Sean P(x): x es par, Q(x): x <0, R(x, y): x + y =2.

e) ∃x ∀y R(x, y) se puede leer

“Existe algún número natural que sumado a cualquier otronúmero da como resultado dos”

Su valor de verdad es F, ya que solo se cumple para unvalor determinado de x e y.

f) ∃x ∃ y R(x, y)

“Existe algún número natural que sumado a algún otronúmero da como resultado dos”

Su valor de verdad es V, ya que para x=1 e y=1 secumple se cumple R(x,y)

6) a) Escriba las siguientes proposiciones en termino de predicados y cuantificadores. Encuentre el valor de verdad en cada apartado

Sean los siguientes predicados:

P(x): x es número par, Q(x): x es número primo

S(x): x es positivo

i) Todo entero es un número par

x Z, P(x)

Su valor de verdad es F ,por ejemplo 3 es entero impar

ii) Ningún entero positivo primo es par.

¬ ∃ x Z [S(x) Q(x) P(x)]

Su valor de verdad es F porque 2 es primo y par

50



E(x): x es raíz de la ecuación x3 = x2

D(x): x es divisor de 6

S(x): x es positivo

iii)Algún número real positivo es raíz de la ecuación x3 = x2

∃ x R [S(x) E(x)]

Verdadero, para x=1

51



P(x): x < 1

S(x): x es positivo

iv) 1 es mayor que algún entero positivo

∃ x Z, [ S(x) P(x)]

Falso

6) -b)Exprese verbalmente y encuentre el valor de verdad de las siguientes afirmaciones.

i) x ℝ, x2 +1 >0

“Todo número real satisface la inecuación x2 +1 >0”

Su valor de verdad es V puesto que x2 0 y por lo tantox2 +1 > 1 > 0

ii) ∃n ℕ, [n es impar y 3n es par]

“Existe un número natural impar cuyo triplo es par”

Su valor de verdad es F, puesto que el triple de todo número impar es otro impar. Para ver esto, examinemos que 3 (2n+1)=6n+3 ; par + impar =impar

53

6) -b)Exprese verbalmente y encuentre el valor de verdad

de las siguientes afirmaciones.

iii) ∃n ℕ, [n es impar y 3+n es par]

“Existe un número natural impar que sumado a 3 da unnúmero par”

Su valor de verdad es V, puesto que existe x = 1 que cumplela condición que sumado a 3 es par.

iv) n ℕ, [n >0 y n < 1]

“Todo número natural es mayor que cero y menor que 1”

Su valor de verdad es F, puesto que 1 es el primer elemento del conjunto de números naturales.

15) Establezca la validez de los siguientes razonamientos. Realice una derivación formal de la conclusión, usando cualquier método de demostración

a)p Λ q →r, ¬r ν t, ¬t ⇒ ¬p ν ¬qPor demostración directaPasos 1. p Λ q →r2. ¬r ν t3. ¬t4. ¬r5. ¬( p Λ q)6. ¬p ν ¬q

El razonamiento es válido

JustificaciónPremisaPremisaPremisa 2 y 3 ,Silogismo disyuntivo 1 y 4 ,Modus Tollens5, Leyes de De Morgan

55

b) p q, p →r, q →r ⇒rlo demostramos por contradicción

Pasos1.p q2.p →r3.q →r4.¬r5. ¬p6. ¬q7. q8. q ¬q9. F

Justificación

Premisa

Premisa

Premisa

Negacion de la conclusion

2 y 4 , Modus Tollens

3 y 4 , Modus Tollens

1 y 5 . Silogismo Disyuntivo

6 y 7, Ley de Combinacion

8, Ley de los inversosEsta contradicción vino de haber supuesto ¬r. Por lo tanto vale r,con lo que esta demostrado que el razonamiento es válido

56

c)p →q, p →¬q ⇒ ¬p lo demostramos por contradicción

1.p →q2.p →¬q3. p 4. q5. ¬q

6. q ¬q

7. F

PremisaPremisaNiego la conclusion1 y 3, Modus Ponens2 y 3, Modus Ponens4 y 5, Ley de combinación6, Ley de los inversos

Esta contradiccion que vino de haber supuesto que no se cumplía la conclusiónPor lo tanto el razonamiento es válido

57

d) p →q r , p →~q , p ⇒ ~r

Reglas

1. p →q r

2. p →~q

3. p

4. q r

5. ~ q

6. ~r

Justificación

Premisa

Premisa

Premisa

1 y 3 ,Modus Ponens

2 , 3 ,Modus Ponens

4y5, Silogismo disyuntivo

Demostración directa



a) p →q r

~q ~r

… …


1. p →q r Premisa

2. ~q ~r Premisa

3. ~(q r) 2,Ley de De Morgan

4. ~p 1y 3,Modus Tollens

p →q r~q ~r

~p

SE obtuvo por Demostración directa

Paso Inductivo : Suponer que P(k) es verdadero, esto es

12 =1

31 2.1 + 1 2.1 − 1 =

1

3. 1.3.1

a) 12 + 32 + 52 + ⋯ + 2n − 1 2 =1

3n 2n + 1 2n − 1

12 + 32 + 52 + ⋯ + 2k − 1 2 =1

3k 2k + 1 2k − 1

12 + 32 + 52 + ⋯ + 2k + 1 2 =1

3 k + 1 2k + 1 2k + 3

Se debe probar que P(k+1) es verdadero, esto es

17) Usando el Principio de Inducción demuestre que para

toda n ∈ ℕ se cumple que:

Entonces P(1) es verdadero

60

Paso base

Entonces queda probado que

12 + 32 + 52 + ⋯ + 2n − 1 2 =1

3n 2n + 1 2n − 1 ∀n ∈ ℕ

61

Partiendo del 1º miembro de la igualdad que se quiere probar

Paso Inductivo: Supongo que P(k) es verdadero

1 = 12

1 + 3 + 5 + ⋯ + (2k − 1) = k2

1 + 3 + 5 + ⋯ + (2k + 1) = k + 1 2

b) 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2n − 1) = n2

1 + 3 + 5 + ⋯ + 2k − 1 + 2k + 1 = k2 + 2k + 1

62

Paso base: Entonces P(1) es verdadero

Se debe probar que P(k+1) es verdadero

Partiendo del 1º miembro y usando la hipótesis se tiene que

= k2 + 2k + 1 = k + 1 2

Por lo tanto P(k+1)es verdadero

1 + 3 + 5 + ⋯ + 2n − 1 = n2 ∀n ∈ ℕ Queda probado que:

práctica de la unidad i - discreta - utn-frt

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