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FRT – UTN MATEMATICA - Ecuaciones

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Ecuaciones

• ¿Sabías qué …?

• Esquema del Tema

• Introducción, objetivos,

conceptos previos

• Contenidos Teóricos

• Mapa Conceptual

• Trabajo Práctico

• Apéndice


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¿Sabías que …

DIOFANTO ALEJANDRIA, nació alrededor del año 200

y murió alrededor del año 284.

Muy poco se sabe de la vida de Diofanto. La obra más

conocida de Diofanto es Aritmética, una colección de 130

problemas, distribuidos en 13 libros, de los que sólo se

conservan 6. La mayoría de los problemas son de

ecuaciones lineales y cuadráticas, pero siempre con

solución positiva y racional, pues en aquella época no

tenían sentido los números negativos y mucho menos los irracionales.

Diofanto consideró tres tipos de ecuaciones de segundo grado:

ax2 + bx = c , ax2 = bx + c , ax2 + c = bx

El motivo de no considerar estas ecuaciones como una sola es que en aquella época no

existía el cero ni los números negativos.

Aritmética también trata sobre teoría de números. Diofanto introdujo símbolos para

representar las cantidades desconocidas y una abreviatura para la palabra igual. Esto

fue un paso muy importante hacia el álgebra simbólica actual.

Se puede considerar a Diofanto como

el fundador del Álgebra.

Escribió su propio epitafio que fue

conservado en la antología griega:

"Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él

quien con esta sorprendente distribución te dice el

número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta

parte de su vida; después, durante la doceava parte su

mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una

séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco

años después, tuvo un precioso niño que, una vez

alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de

una muerte desgraciada. Su padre tuvo que

sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo

esto se deduce su edad."


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Cuando hablamos de Ecuaciones hablamos de igualdades en las que aparecen

operaciones entre números y letras, consideradas incógnitas. Resolver una ecuación es

encontrar el o los valores de la/s incógnita/s para los cuales se satisface la igualdad.

Sólo podemos decir que manejamos el tema Ecuaciones si somos capaces de manejar

eficientemente los siguientes aspectos:

- Clasificar a las ecuaciones según su naturaleza, para así poder afirmar

con certeza que tipo de soluciones tiene y cuantas esperamos

encontrar

- Resolver las ecuaciones mediante procedimientos analíticos o

numéricos e investigar si los valores encontrados son o no soluciones

válidas de la ecuación de partida

- Modelar situaciones problemáticas mediante ecuaciones y contrastar

las soluciones encontradas

ESQUEMA DEL TEMAESQUEMA DEL TEMAESQUEMA DEL TEMAESQUEMA DEL TEMA

Si X – 2 = 0 , entonces X – 2 = 0

X - 2

Por lo tanto X = 2 es

solución de la ecuación.

…….será así ..?????


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En casi todas las ramas de la Matemática las ecuaciones aparecen como protagonistas

centrales pues ellas permiten describir en forma exacta y sencilla la situación

problemática o el fenómeno del que se esté hablando.

En esta Unidad nos limitaremos a rever todos los tipos de ecuaciones y los métodos de

resolución vistos en la escuela secundaria, preparándolos para poder enfrentar los

temas de mayor complejidad en los que aparecerán otros tipos de ecuaciones definidos

en nuevos conjuntos. Un ejemplo de ello son las ecuaciones matriciales, las que no se

podrían resolver sino se manejan las ecuaciones sencillas y los métodos más simple de

cálculo.

OBJETIVOS

� Identificar la naturaleza de las ecuaciones y sus correspondientes soluciones

� Resolver de manera eficiente y eficaz una ecuación que corresponda a las incluidas

en este texto

� Adquirir habilidad para plantear ecuaciones que permitan resolver un problema

� Determinar si los valores encontrados son soluciones válidas para el problema

� Interpretar correctamente las soluciones encontradas.

CONCEPTOS PREVIOS

� Conjuntos Numéricos, operaciones y propiedades

� Expresiones algebraicas: Operaciones y Factoreo

� Elementos de Geometría y Trigonometría

INTRODUCCION INTRODUCCION INTRODUCCION INTRODUCCION


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IGUALDADES ALGEBRAICAS

Si dos expresiones están relacionados mediante un signo “ = “ se dice que forman, o constituyen, una IGUALDAD.

Así nos encontramos con:

- igualdades numéricas (3+2=5)

- igualdades algebraicas o literales ó

A continuación vemos un cuadro de clasificación de las Igualdades Algebraicas:

CONTENIDOS TEORICOSCONTENIDOS TEORICOSCONTENIDOS TEORICOSCONTENIDOS TEORICOS


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ECUACIONES ALGEBRAICAS

Una ecuación algebraica es una igualdad entre expresiones algebraicas en la que intervienen

una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica para

determinados valores.

Las incógnitas se representan por letras del alfabeto, generalmente: x , y , z.

Ejemplo: 83y6-5y +=

MIEMBROS Y TÉRMINOS DE UNA ECUACIÓN ó IDENTIDAD

Los miembros de una ecuación son las expresiones que están a ambos lados del signo igual.

Así, se llama primer miembro el de la izquierda, y segundo miembro el de la derecha.

Ejemplo: 83y 6-5y +=

Primer Miembro Segundo Miembro

No deben confundirse los miembros de una ecuación con

los términos de la misma.

83y 6-5y +=

RAÍCES O SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN

Se denomina solución de una ecuación a los valores de la variable para los cuales se verifica la

igualdad.

Esto quiere decir que si se sustituyen las raíces en lugar de las incógnitas, convierten a la

ecuación en identidad.

2º término del 1º miembro





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Ejemplos:

1) La raíz de 95x32x −=+ es x = 4 pues 111195.(4)32.(4) =−=+ ,

2) x2 – 4 = 0 tiene dos raíces x = - 2 y x = 2 pues ambas verifican a la ecuación. Esto es

(-2)2 – 4 = 4 – 4 = 0 y 22 – 4 = 4 – 4 = 0

3) x2 + 1 = 0 tiene como raíces a la unidad imaginaria y a su conjugada x = j y x = - j

pues ambas verifican a la ecuación. Esto es j2 +1 = -1 +1 = 0 y (-j)2 +1 = -1 +1 = 0

RESOLUCION DE UNA ECUACIÓN

Se llama así al proceso de hallar la/las solución/es de una ecuación.

Para resolverla se transforma la ecuación dada, aplicando propiedades, en una

ecuación equivalente de la forma x = K, cuya solución es inmediata.

La ecuación equivalente tiene las mismas soluciones que la ecuación original.

Las propiedades a aplicar son las siguientes:

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD

1) Si a = b entonces b = a (Propiedad simétrica)

Se aplica esta propiedad para que la incógnita aparezca en el 1º miembro de la

ecuación.

Ejemplo: 4 = 2 x – 8 entonces 2 x – 8 = 4

2) Propiedad Cancelativa

Se aplica cuando:

- Dos Términos iguales están en distintos miembros de una ecuación:

Ejemplo:

43x3x

4a23xa2-3x

42a3x2a3x

+−=→+//−−=//+−−=−


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- Dos Términos opuestos están en un mismo miembro de una ecuación

Ejemplo:

b63x

3b3a23xa2

3b32a3x2a

+−=→−+−=//−+//−+−=−+

3) Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o

negativa, se mantiene la igualdad.(Propiedad uniforme para la suma)

Se aplica cuando se quiera eliminar un término de un miembro de la ecuación

4) Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva

o negativa, se mantiene la igualdad. (Propiedad uniforme para el producto)

Se aplica cuando se quiera eliminar un factor de un miembro de la ecuación

Ejemplo:

64x2 = ⇒ 4644x2 +=+

10x2 = ⇒ 10.21

x2.21

=

Entonces 5x =

5) Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o se les extrae

una misma raíz, la igualdad subsiste.

Ejemplo: 2x3 = es equivalente a ( ) 333 2x = . Por lo tanto 8x =

En la escuela seguramente aplicabas un método abreviado

para resolver ecuaciones. En esa oportunidad decías "pasar al otro

miembro". En realidad ese es un modo simplificado de aplicar las

propiedades antes enunciadas.


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Ejemplo:

Resolver la ecuación por los dos métodos y comparar

Método Abreviado Aplicando Propiedades

Si se quiere eliminar el número 3

Se pasa el número 3 al 2º miembro:

ERROR

Se multiplican ambos miembros por 3.

Para despejar la incógnita

Pasando “5” al 2º miembro:

RESULTADO INCORRECTO

Restando “15” en ambos miembros:

Cancelando:

RESULTADO CORRECTO

TIPOS DE ECUACIONES

El siguiente cuadro representa la clasificación de las ecuaciones, correspondiéndose

exactamente con la clasificación de las expresiones.

A su vez se dan ejemplos de las que se verá en este curso.

Nuestra experiencia nos permite asegurar que si se resuelven

ecuaciones aplicando propiedades, se cometen menos errores

que con ese "mecanismo" de "pasar de un miembro a otro".


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ECUACIONES

ENTERA (POLINOMICA)

0622 =++ xx

FRACCIONARIA

xx

x=++

3

22

TRASCENDENTES

Exponencial:

82 1X =+

Logarítmica:

5)1x(Log 2 =+

Trigonométricas

1xcossenx =+

IRRACIONAL

xx += 52

RACIONAL

ALGEBRAICAS


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ECUACIÓN POLINOMICA DE PRIMER GRADO

(ECUACIÓN LINEAL)

Una ecuación lineal de una variable es una ecuación equivalente a una de la forma:

a.x + b = 0

donde a y b son números reales y x es la variable

Ejemplo: 3 x + 2 = 0 ; - 2 x + 4 = 10 , etc

RAÍCES

Toda ecuación de 1º grado tiene exactamente una raíz.

ECUACIONES LINEALES EN UNA Y DOS INCÓGINATAS

A una ecuación lineal en una variable 0bax =+ le podemos asociar una

ecuación lineal en dos variables baxy += . Dicha ecuación representa

geométricamente a una recta en el plano.

Si hacemos 0y = en esa ecuación se obtiene la ecuación en 1º grado en una variable

0bax =+ . Enrtonces las raíces de esta ecuación viene a representar geométricamente a las

abscisas de los puntos donde la recta interfecta al eje X

Ejemplo:

La ecuación 012x3 = tiene por raíz 4x =

La función: 12x3y = interfecta el eje X en ( 4 , 0 )

4


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RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES Ó DE PRIMER GRADO

EJEMPLOS

Ejemplo 1

3x)8(6)(5x4)5x(6)x(30x +−++−=+−++−−

1) Se separan los términos, en ambos miembros, y se efectúan las operaciones indicadas,

productos ó potencias.

3x86-5x45x6-x30x +−−=+−+

2) Si corresponde, aplicamos la propiedad cancelativa

3x-84x30x

3x86-x54x56-x30x+=++

→+−///−=+//−/+

3)

Aplicando propiedades, se agrupan en un miembro todos los términos que contengan

la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas

4--83x-x30x =+

4) En cada miembro, se agrupan los términos semejantes 12 -28x =

5) Si la incógnita está afectada por un coeficiente se aplica la propiedad,multiplicar o

dividir ambos miembros por el coeficiente de x, y se despeja la incógnita.

77773333xxxx

2 82 82 82 81 21 21 21 2xxxx

2 82 82 82 81 21 21 21 2

2 82 82 82 82 8 x2 8 x2 8 x2 8 x

−=→

−=→

−=

Ejemplo 2 5

4-x

4

3-x-

3

2-x=

7

53 x537x :incógnita ladespejar

4855x12x :semejantes términosreducir

55x4812x :términosagrupar

4812x55x :srespectivo productos losrealizar

4)12.(x1)5.(x :esproporcion las de propiedadaplicar

54x

12

1x semejantes términosreducir y soperacione lasrealizar

54x

12

3)-3.(x -2)-4(x :rdenominado comúnsacar

=→=

+=−

+=−

−=+

−=+

−=+

−=


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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES DE PRIMER GRADO*

“Plantear una ecuación significa expresar en símbolos matemáticos una condición formulada con palabras; es una traducción de un lenguaje corriente al lenguaje de las fórmulas matemáticas. Las

dificultades que podamos tener al plantear ecuaciones son dificultades de traducción ... En primer lugar, hemos de comprender totalmente la condición. En segundo lugar, hemos de estar familiarizados con las

formas de expresión matemática.”

George Polya

¿Cómo expresar matemáticamente (Lenguaje Matemático), consignas

dadas en forma de frases (Lenguaje Coloquial) ?

LENGUAJE COLOQUIAL LENGUAJE ALGEBRAICO

Un número x

Dos números x , y

Números consecutivos x ; x+1 ; x+2 ……………………

El duplo (doble) de un número 2.x

El triplo de un número 3.x

La mitad de un número

2

x

La cuarta parte de un número

4

x

Un número par 2x

Pares consecutivos 2x ; 2x+2 ; 2x+4 ……………….……….

Un número impar 2x+1

Impares consecutivos 2x+1 ; 2x+3 ; 2x+5 ……………………..

El opuesto de un número x - x

El inverso de un número

x

1

Un número de dos cifras xy x y = 10 x + y

decenas unidades

Un número de tres cifras xyz x y z = 100 x +10 y + z

centenas decenas unidades


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EJEMPLO

Si x es la edad en años de María hoy,

entonces:

“la edad de María hace 2 años”

se expresa: x - 2

“la edad de María dentro de 5 años”

se expresa: x + 5

“el doble de la edad de María hoy”

se expresa: 2x

“el triple de la edad que María tendrá dentro de 4 años”

se expresa 3 (x + 4)

“la mitad de la edad que tenía María hace 6

años” se expresa:

Una vez traducidas en lenguaje matemático las consignas dadas en el problema, se

resuelve la ecuación correspondiente.


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EJEMPLOS

1) Trabajando con edades

La suma de las edades de Tomás y Andrés es 40 años. Si Andrés tiene 4 años más

que Tomás. ¿Qué edad tiene cada uno de ellos?

DESARROLLO

años 22 tiene s y Andréaños 18 tiene Tomás

18x2 : 36 x

362x4 - 40 2x

40 4 x x :es ecuación la

4 x: Andrésde edad ; x : Tomásde edad

=→=

=→=

=++

+

2) Trabajando con números

La suma de tres números enteros consecutivos es 156. Hallar los números.

DESARROLLO

De acuerdo a las pautas dadas en el cuadro, tres números consecutivos se expresan:

x x+1 x+2

la consigna del problema establece que la suma entre ellos es 156, por lo tanto la

ecuación correspondiente es:

156 2)(x 1)(x x =++++

Resolviendo:

51

3

153x3-156 3x15633x

1562x1xx156 2)(x 1)(x x

==→=→=+

=++++→=++++

Los números son: 53,52,51


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SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

DEFINICIÓN

Se denomina así a la consideración simultánea de dos ecuaciones de primer grado con dos

incógnitas.

=++=++

02cy2bx2a

01cy1bx1a donde a, b y c son constantes reales

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de Ecuaciones Lineales puede tener:

- Solución única : el sistema de llama Compatible Determinado

- Infinitas soluciones : el sistema se llama Compatible Indeterminado

- Carecer de solución : el sistema se llama Incompatible

INTERPRETACION GEOMÉTRICA

Dijimos que una ecuación lineal en dos variables representaba geométricamente a una

recta. Entonces tener dos ecuaciones lineales significa tener dos rectas de las cuales

solo nos interesa el o los puntos en común que ellas tengan.

Por ello es que cada sistema tiene una interpretación geométrica

Compatible

Determinado

Las rectas se intersectan en un punto

Compatible

Indeterminado

Las rectas son coincidentes y tienen infinitos

puntos en común

Incompatible Las rectas son paralelas. No tienen puntos

comunes


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Ejemplos

Sistema Compatible Determinado.

Posee solución única

Sistema Compatible

indeterminado

Posee infinitas

soluciones

Sistema Incompatible

No posee solución

-2 2 4 6 8x

-15

-10

-5

5

10

y

-2 2 4 6 8x

5

10

15

y

-2 2 4 6 8x

-15

-10

-5

5

y

+=

=

32

123

xy

xy

=

+=

0242

12

xy

xy

+=

+=

32

12

xy

xy


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MÉTODOS ANALÍTICOS DE RESOLUCIÓN:

Existen los siguientes métodos para resolver, analíticamente, sistemas de ecuaciones:

- método de sustitución - método de igualación

- método de reducción - método de determinantes

Método de Sustitución

Consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su expresión en

la otra, la cual se transformará en una ecuación con una sola incógnita y que ya se puede

resolver. Una vez determinado el valor de dicha incógnita se obtiene, de inmediato, el valor de

la otra al reemplazarlo en la expresión donde se encuentra ella despejada.

EJEMPLO

Dado el siguiente sistema

=+=+−

(2) 86y4x

124y10x (1)

• Despejar una incógnita en una de las ecuaciones (cualquiera)

=+

+=⇒+=⇒=+−

86y4x 4

1210x y 10x12 4y 124y10x (3)

• reemplazar en (2) 84

1210x6.4x =

++

• aplicar propiedades y resolver las operaciones indicadas:

84

=++

=+

+7260x16x

; 84

7260x4x

• aplicando propiedad de las proporciones y reduciendo términos semejantes:

32 72 76x ; 4 8. 7260x16x =+=++

• agrupando los términos con x en el primer miembro y resolviendo:

40 - x 76 72-32 76x =⇒=

• despejando la incógnita x: 76

40- x ⇒=

19

10- x =

• reemplazando en (3):

⇒⇒76

128 y

4

1219

100-

4

1219

10-10.

y 4

1210xy =⇒

+=

+

=+

=19

32y =


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Método de Igualación

El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar

sus expresiones, obteniendo así una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta se obtiene

fácilmente el valor de la otra incógnita.

EJEMPLO


=+=−

(2) 10y4x

(1) 165y2x

Despejar la misma incógnita de las dos ecuaciones

=⇒=+

=⇒=⇒=⇒=−

(4) 4x -10 y 10y4x

(3) 5

16-2xy 16-2x5y 2x-16 5y- 165y2x

como los primeros miembros de (3) y (4) igualamos sus segundos miembros:

4x-105

16-2x=

aplicando propiedad de las proporciones y resolviendo las operaciones indicadas:

20x - 50 16-2x 4x).5-(1016-2x =⇒=

agrupando los términos con x en el primer miembro y resolviendo:

66 22x 165020x2x =⇒+=+

despejando la incógnita x: 3 x 22

66 x =⇒=

reemplazando en (3) ó (4): 2- y; 21210 y 4.(3)10y =−=−=⇒−=

El conjunto solución es ( ){ }2- ;Csol 3=


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Método de Reducción

Consiste en lograr que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones

para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha incógnita, dando lugar a una

ecuación con sólo la otra incógnita. Se resuelve dicha ecuación y el valor de la incógnita se

sustituye en una de las ecuaciones primitivas, y con ello se puede obtener el valor de la otra

incógnita.

EJEMPLO


=−=+

(2) 193y-8x

(1) 245y2x

Se deben observar a ambas ecuaciones y decidir de que manera, multiplicando cualquiera o

ambas ecuaciones por constantes en ambos miembros logramos que alguna de las ecuaciones

tenga el mismo coeficiente u opuesto. Luego sumando o restando miembro a miembro

obtenemos una ecuación equivalente en una variable, lista para resolver.

En este caso, observe que multiplicando la primera ecuación por 4 logramos el objetivo

=

=

=+

115y23

(2) 193y-8x

(1)x4 9620y8x

entonces 523

115y ==

Reemplazado en cualquiera de las ecuaciones, despejamos x

( ) 1953x8 = 8

1519x =⇒ ⇒

21

x =

Entonces la solución es 5y,21

x ==


Pagina 150

Método de Determinantes

El sistema debe estar expresado de la forma:

=+=+

2cy2bx2a1c y1bx1a

se trabaja solamente con los coeficientes de las incógnitas y se forman los siguientes

determinantes:

- determinante del sistema 2b2a1b1a∆ =

-determinante de x : 2b2c1b1c

x∆ =

-determinante de y : 2c2a1c1a

y∆ =

PARA DETERMINAR LOS VALORES DE x e y:

∆x∆

2b2a1b1a

2b1b

x == 2c1c

; ∆

∆==

y

2b2a1b1a

2a1a

y 2c1c

ANÁLISIS DEL DETERMINANTE DEL SISTEMA Si el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO - SOLUCIÓN ÚNICA

• RESOLUCIÓN DEL DETERMINANTE Para resolver los determinantes se aplica la Regla de Sarrus:

1.b2a2.b1a

secundaria diagonalprincipal diagonal2b2a1b1a

−=

−=


Pagina 151

EJEMPLO


=++−=+−

(2) 47 -5y7)(3y-4x

(1) 9y)(2x5yy)(9x3x

- Realizar las operaciones indicadas y expresar el sistema de la forma

=+=+

2cy2bx2a1c y1bx1a

+=−⇒=−=++−⇒−=−

7 -475y3y-4x 47 -5y73y-4x

09y2x5y-y-9x3x 9y-2x5yy-9x3x

20∆12323.48)4).((8-4

34-∆ =⇒−=−−−==

120x∆120040)3.(8)( 0.8-40-

30x∆ =⇒+=−−−==

160y∆01604 0.40-4

04-y∆ =⇒−=−−−== )40).(4(

- determinar x e y:

6 x ; 20

120x

∆x∆

2b2a1b1a2b2c1b1c

x ==⇒== ;

8 y; 20

160y

∆

y∆

2b2a1b1a2c2a1c1a

y ==⇒==

==+

40- 8y- 4x

03y4x-


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EJEMPLO

En una juguetería hay 30 unidades en exposición, entre autitos y bicicletas Se cuentan

104 ruedas. ¿Cuántos vehículos de cada clase hay?

Respueta

Designamos con “x” a la cantidad de bicicletas y con “y” a la cantidad de autitos.

La primera ecuación que surge es:

cantidad de bicicletas + cantidad de autitos = 30

matemáticamente: x + y = 30 (1)

Otro dato que tenemos es la cantidad de ruedas, por ello la ecuación que las considera es:

cantidad total de ruedas de bicicletas.+ cantidad total de ruedas de autitos= total de

ruedas

2 . x + 4 . y = 104 (2)

formamos el sistema y resolvemos, por ejemplo, por sustitución:

=+−=⇒=+

1044y2x

x30y30yx

reemplazando en la 2º ecuación:

autitos 22 y 8 - 30 y :doreemplazan

sbiclicleta 8x162x entonces , -16-2x120 - 104 2x-

1044x-1202x104x)4.(302x

=⇒=

=⇒==⇒=

=+⇒=−+

La respuesta es

nº de ruedas 1 bicicleta . cantidad de bicic. + nº de ruedas de 1 autito . cantidad autitos = total ruedas

autitos22y

bicicletas8x

=

=


Pagina 153

Trabajando con geometría

Calcule la base y la altura de un rectángulo si se sabe que la primera supera a la segunda en 2

m, y que si a la primera se le aumentan 3m y se mantiene constante la altura, la superficie

aumenta 15m2.

DESARROLLO

A1= x.y A2= (x+3).y , entonces

2 y x

15x.y3).y(x 151A2

+=

+=+⇒+=A

reemplazando la 2º ecuación en la 1º:

[ ]

153y 152y5y

152y2y5y2y

152).y(y.y32)(y

⇒⇒ ==

++=+

++=++

7 x ; 5 y ==

y y

x x + 3


Pagina 154

ECUACIÓN POLINOMICA DE SEGUNDO GRADO

(ECUACIÓN CUADRÁTICA)

Las ecuaciones cuadráticas o polinomicas de 2º grado presentan la forma:

0cbx2ax =++ donde a,b y c son números reales y a ≠ 0

Ejemplo: 102x-23x =

RAÍCES

Toda ecuación de 2º grado tiene exactamente dos raíces, designadas con: x1 y x2

ECUACIONES CUADRATICAS EN UNA Y DOS VARIABLES

A toda ecuación de 2º grado en una variable a x2 + bx + c = 0

le podemos asociar una ecuación de 2º grado en dos variables

y = a x2 + bx + c dicha ecuación representa una parábola en el plano.

Las raíces de la ecuación a x2 + bx + c = 0 representan los valores de x para los cuales

y = 0. Esto es, las raíces son las abscisas de los puntos donde la parábola intersecta al

eje x

Ejemplo:

La ecuación 04x2 = tiene por raíces a

2x1 = y 2x2 = . Entonces

la parábola 4xy 2= intersecta al eje x en

los puntos )0,2( y )0,2(

Término Término constante

Cuadrático

Término Lineal

2x 1x


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MÉTODOS PARA DETERMINAR LAS RAÍCES

Caso 1: Ecuaciones incompletas

Llamamos ecuación incompleta de 2º grado a aquella donde b = 0 o c = 0

Ejemplos: En los casos donde b = 0 se llega al valor de x con solo despejar

a) 012x3 2 = b) 06x2 2 =+

Respuestas:

a) 012x3 2 = ⇒ 12x3 2 = ⇒ 4x2 = ⇒ 2xo2x 21 ==

b) 06x2 2 =+ ⇒ 6x2 2 = ⇒ 3x2 = ⇒ 3x ±= ⇒ j3xoj3x 21 ==

Ejemplos: en los casos donde c = 0 se llega al valor de x factoreando

a) 0x5x2 2 =+ b) 0x8x4 2 =

Respuestas

a) 0x5x2 2 =+ ⇒ 0)5x2(x = ⇒ 05x2o0x == ⇒ 25

xo0x 21 ==

b) 0x8x4 2 = ⇒ 0)8x4(x = ⇒ 08x4o0x == ⇒

22

48

xo0x 21 ===


Pagina 156

Caso 2: Ecuaciones completas

Para resolver la ecuación de 2º grado de la forma: 0cbx2ax =++ pueden usarse cualquiera

de los siguientes métodos:

- completar cuadrados,

- por fórmula general.

- por propiedades de las raíces,

COMPLETAR CUADRADOS

Para poder aplicar este método la ecuación de 2º grado debe tener la forma 0cbx2x =++

Lo explicamos con un ejemplo:

Sea la ecuación 0304x22x =−−

Expresar la ecuación dada en la forma 0cbx2x =++ , para ello dividir ambos miembros por el

coeficiente del término cuadrático, en este caso 2

0152x2x 02

30

2

4x

2

22x =−−⇒=−−

En el primer miembro sumar y restar un nuevo término →

015112x2x 0152

2

22

2

22x2x =−−+−⇒=−−+−

Queda así formado un trinomio cuadrado perfecto y reordenando se tendrá:

( ) 01621-x =−

A esta ecuación la podemos resolver de dos formas distintas:


Pagina 157

( ) 01621-x =−

( ) [ ][ ]

0 3)(x . 5)-(x

041)(x.4-1)-(x 0162

1-x

=+⇒

=+−⇒=−

)(

º1

cuadradosdediferecia

miembroeloFactoreand

las opciones son:

05)(x ⇒= 5 1x =

⇒ 03)(x =+ 3- 2x =

( )

⇒

⇒ ⇒

⇒

142x y1 4 1x

41x16 1)-(x

1621)-(x 0162

1-x

+=+=

±=±=

==

xDespejando

3== 2xy51x

POR FÓRMULA de BHASKARA

Usando el método de completar cuadrados en la ecuación 0cbx2ax =++ , se llega a la

fórmula de Bhaskara:

2a

4ac2bb1,2x

−±−=

que se emplea para determinar las raíces de la ecuación de la siguiente forma:

NATURALEZA DE LAS RAÍCES:

En la ecuación cuadrática: 0cbx2ax =++ , la cantidad: 4.a.c2b − simbolizada con

∆ se llama discriminante de la ecuación. El signo ∆ determina la característica o

naturaleza de las raíces.

Si 04.a.c2b >− , las raíces son reales y diferentes.

Si 04.a.c2b =− , las raíces son reales e iguales.

Si 04.a.c2b <− , las raíces son complejas conjugadas.


Pagina 158

Interpretación geométrica

030x4x2 2 = está asociada a la ecuación

30x4x2y 2= que representa a la

parábola que figura en la gráfica a la

derecha

La parábola corta al eje x en x = -3 y x = 5

Las raíces son reales y distintas, el

discriminante es 0∆ >

06x2 2 =+ está asociada a la parábola

6x2y 2 += quien no interfecta al eje

x. Las raíces son complejas conjugadas

En este caso 0∆ <

La ecuación 01x2x2 =+ está asociada a

la parábola 1x2xy 2 += quien interfecta

al eje x en un único punto. Las raíces son

reales e iguales, en este caso 0∆ =

-10 -5 5 10x

-30

-20

-10

y

-4 -2 2 4x

-10

-5

5

10

15

20

25

30

y

-2 -1 1 2 3 4x

-2

-1

1

2

3

4

5

y


Pagina 159

Ejemplos

1) Determinar el carácter de las raíces de :

096x23x b) , 0414x26x a) =+−=+−

Respuestas:

distintas yreales raíces son 2x y1x

01004.6.4-2(-14)∆ 4 c ; 14- b ; 6 a 0414x26x a)

⇒

>==⇒====+−

conjugadas complejas raíces son 2x y1x

0-784.3.9-2(-6)∆ 9 c ; 6- b ; 3 a 06x23x b)

⇒

<==⇒====+− 9

2) Resolver empleando la fórmula general las siguientes ecuaciones:

a) 0304x22x =−− b) 01xx 2 =++

Respuestas:

a) En este caso: a = 2 , b = -4 , c = -30

sustituyendo los valores en la ecuación general y operando:

4

164

4

25641,2

x4

240164

2.2

4.2.(-30)2(-4)4)(1,2x

±=

±=⇒

+±=

−±−−=

las raíces son:

32

x 34

1642

x

51

x 54

1641

x

−=⇒−=−

=

=⇒=+

=

b) En este caso: a = 1 , b = 1 , c = 1

j2

3

2

1j111

±=

±

=

±

=

±

=2.

3

2.

3

2.

4.121

1,2x

las raíces son: j2

3

2

1+=

1x

y j

2

3

2

1=

2x


Pagina 160

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

1 ) Sea la ecuación 0cbxax 2 =++

y sean sus raíces x1 y x2. Entonces se cumple que

=++ cbxax 2 ( )( )21 xxxxa

Esto nos permite factorear todos los trinomios, los que sean cuadrados perfectos y los

que no

Ejemplo:

Factorear 30x4x2 2 +

Respuesta: Se deben encontrar las raíces. Ellas son:

( )2.2

302.4164x 2,1

±=

4

164

4

2564 ±=

±= ⇒ 3x1 = y 5x2 =

Por lo tanto ( )( )5x3x230x4x2 2 +=+

2 ) Si a = 1 , se tiene que =++ cbxx 2 ( )( )21 xxxx

De aquí se deduce que

bxx 21 =+

cx.x 21 =

Esta propiedad se aplica para la resolución de las ecuaciones de manera mental,

buscando dos números que sumen –b y que multiplicados arrojen el resultado c

Ejemplo:

Resolver las siguientes ecuaciones, usando las propiedades de las raíces

a) 06xx 2 =+ b) 04x5x 2 =++

Respuesta:

a) Para 06xx 2 =+ , se deben buscar dos números que sumen -1 y que multiplicados

den -6

bxx 21 =+ ⇒ 1xx 21 =+

cx.x 21 = ⇒ 6x.x 21 = ⇒ Ellos son 2x1 = y 3x2 =


Pagina 161

b) Se deben buscar dos números que sumen -5 y que multiplicados den 4

5xx 21 =+

4x.x 21 = ⇒ Ellos son 4x1 = y 1x2 =

No siempre todas las soluciones de la ecuación, son

soluciones del problema planteado. Esto quiere decir que hay que

verificar si las soluciones pertenecen al dominio de la ecuación

correspondiente o si la solución corresponde a una solución real

planteada.

EJEMPLO

Se proyecta la construcción del salón de cómputos de la facultad.

De acuerdo a las necesidades, el mismo debe ser de forma

cuadrada y tener una superficie de 169 m2. Determine sus

dimensiones.

DESARROLLO

Matemáticamente ambos resultados son correctos, pero si tenemos en cuenta que la

medida de una dimensión no puede ser negativa, adoptamos que las medidas del salón

son:

13 m de largo y 13m de ancho.


Pagina 162

ECUACIONES BICUADRADAS

Se llaman así a las ecuaciones polinómicas de 4º que presentan la siguiente

forma:

0cbxax 24 =++

Este tipo de ecuaciones, como cualquier ecuación polinómica de 4º grado, tiene

exactamente cuatro raíces, que pueden ser todas reales, dos reales y dos

complejas, o todas complejas

Ejemplos:

Las siguientes ecuaciones son bicuadradas. Resolverlas

a) 012xx 24 = b) 04x6x2 24 =++

En las ecuaciones de este tipo es conveniente hacer el siguiente cambio de

variable: 2xz = , de ese modo la ecuación se convierte en cuadrática y se la

puede resolver por cualquiera de los métodos antes mencionados

a)En 012xx 24 = , al hacer el cambio 2xz = logramos : 012zz2 = .

Sus soluciones son: 2

712

12.411z 2,1

±=

+±=

=

=⇒

3z

4z

2

1

Si reemplazamos en 2xz = , se tendrá que zx ±= , por lo tanto

4x 2,1 ±= ⇒ 2x1 = y 2x2 =

3x 4,3 ±= ⇒ j3x3 = y j3x4 =

b) 04x6x2 24 =++

Siguiendo el mismo procedimiento se tendrá:

04z6z2 2 =++ ⇒ 4

26

2.2

4.2.4366z 2,1

±=

±=

=

=

1z

2z

2

1⇒

Entonces 2x 2,1 ±= ⇒ j2x1 = y j2x2 =

1x 4,3 ±= ⇒ jx3 = y jx4 =


Pagina 163

ECUACIÓN ALGEBRAICA RACIONAL FRACCIONARIA

Llamamos ecuación racional o fraccionaria a toda ecuación de la forma:

0Q(x)

P(x)= donde P y Q son polinomios en la variable x.

Ejemplos:

a) 012x

3x=

+ es una ecuación racional fraccionaria donde x puede tomar

cualquier valor excepto x = 21

Para resolverla hay que considerar que una fracción es cero si y solo si su

numerador es cero. Por lo tanto

012x

3x=

+ ⇒ 0x3 = ⇒ 0x = .

b) 01x

x2

1x

12

= es una ecuación racional fraccionaria donde x 1±

Para resolverla se la lleva a la forma 0Q(x)

P(x)= . Entonces

01x

x2

1x

12

= ⇒ 01x

x21x2

=+

⇒ 01x

x12

= ⇒ 0x1 = ⇒ 1x =

Pero es aceptada como solución? La respuesta es NO, ya que si reemplazamos x

por 1 se anula el denominador y por lo tanto para ese valor no está definida la

expresión.

Entonces en este caso el conjunto solución es el conjunto vacío: { }=sC


Pagina 164

c) x-5

2

2x

1

44x2x

x-6 =

+−

++

x-5

2

2x

1

44x2x

x-6=

+++

Para llevarla a la forma )x(S)x(R

)x(Q)x(P

= se debe

sacar común denominador en el 1º miembro

x-5

2

22)(x

2)(x -x-6=

+

+ ⇒

x-5

2

22)(x

2x-4=

+

22)2.(x x)-(5 2x).-(4 += ⇒

4)4x22.(x22x14x-20 ++=+ ⇒ 88x22x2014x22x ++=+

22

12 x 12 22x ⇒⇒ ==

11

6 x =

En estas ecuaciones, con valores de x prohibidos, siempre hay que

verificar que los valores de x verifiquen la ecuación original.

Entonces se puede concluir el conjunto solución

Sugerencia

)x(S)x(R

)x(Q)x(P

= es equivalente a

)x(Q).x(R)x(S).x(P =

Cálculo auxiliar

4x4x2 ++ ( )22x += ⇒

Atención


Pagina 165

ECUACIONES IRRACIONALES

Son todas las ecuaciones donde la incógnita aparecen al menos una vez bajo el

signo de radicación.

La resolución se basa en la aplicación de las propiedades de la radicación y/o

potenciación.

Ejemplos:

Resolver

a) 53x2 = b) 02x213x4 =

Respuesta:

a) 53x2 = ⇒

elevando al cuadrado miembro a miembro 253x2 = ⇒

despejando x 14x =

Verificación: 5314.2 =

Entonces 14x = es la solución

b) 02x213x4 = ⇒

Dejando una raíz en cada miembro 2x213x4 =

Debido a que no siempre

están definidas las raíces en

los reales se deben verificar

los valores obtenidos para

concluir la solución correcta

Atención


Pagina 166

Elevando al cuadrado miembro a miembro = 22 )2x2()13x4(

Desarrollando los cuadrados 2x213x4.23x4 =+

Dejando la raíz sola en un miembro ⇒ =++ 3x4212x23x4

Simplificando ⇒ 3x42x2 = ⇒

Elevando al cuadrado ( )3x44x4 2 =

Simplificando 012x16x4 2 =+

Resolviendo al ecuación cuadrática ⇒ 03x4x2 =+

=±

=±

=2

242

3.4164x 2,1 1x

3x

2

1

=

=

Verificando:

041923.2133.4 ==

=21.2131.4

0011 = .

Entonces 1x

3x

2

1

=

= son las soluciones


Pagina 167

ECUACIONES EXPONENCIALES

Las ecuaciones exponenciales más sencillas son de la forma

bxa = con a > 0

Para resolver ecuaciones exponenciales, en algunas oportunidades se

puede aplicar propiedades de la potenciación, pero en todos los casos se puede

aplicar las propiedades de los logaritmos. Ambas se detallan a continuación

yxaa yx ==

ylogxlogyx aa ==

Ejemplos:

Resolver las siguientes ecuaciones

a) 112

=

23x3 b) 32)

21

(14x2

=

c) 531x

= d) 2e2xx =+

Respuesta:

En los apartados a) y b) se pueden aplicar cualquiera de las dos propiedades,

pero los apartados c) y d) solo se pueden resolver aplicando logaritmos ya que no

es posible convertir las bases para llegar a una base común.

a) 112

=

23x3 ⇒ 03

12=

23x3 ⇒ 012x3 2 = ⇒ 12x3 2 = ⇒

4x2 =

⇒ 2xo2x ==


Pagina 168

b) 32)21

(14x2

= ⇒ 514x22

2

=+

⇒ 514x2 =+ ⇒ 9x2 = ⇒

⇒ 3xo3x ==

c) 531x

= ⇒ 5log3log1x

= ⇒ ( ) 5log3log1x = ⇒

3log5log

1x = ⇒ 3log5log

1x += ⇒ 46,2x

d) 2e2xx =+ ⇒ 2lneln

2xx =+ ⇒ 02lnxx2 =+ ⇒ 2lnxx 2 =+ ⇒

2

2ln411x

+±=

2

94,11 ±= ⇒ 47,1xo47,0x 21 ==

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Las ecuaciones logarítmicas más sencillas presentan la forma:

bxalog = con a > 0 y a ≠1

Atención Para resolverlas recordar:

ba axbxlog ==

yxylogxlog aa ==

( ) ylogxlogy.xlog aaa +=

ylogxlogyx

log aaa =

xlognxlog an

a =

Debido a que no siempre están

definidos los logaritmos hay

que verificar los valores

encontrados en la ecuación

original para luego concluir

cuales son las soluciones

válidas


Pagina 169

Ejemplos:

Resolver las siguientes ecuaciones

a) 04-2x 3log = b) ( ) 1xlog1xlog 33 =++ c) 211)-(22x 2)(xlog =+

Respuestas:

a) 04-2x 3log =

Para encontrar la solución, aplicamos la definición

04-2x 3log = ⇒ 42x 3log = ⇒ 43x2 = ⇒ 5.40281

x ==

Verificación 0=== 4-44-81 3log4-2

812. 3log

b) ( ) 1xlog1xlog 33 =++

Para resolverla aplicamos propiedades

⇒ ( )[ ] 1x1xlog3 =+ ⇒ ( ) 3x1x =+ ⇒

03xx2 =+

30,2x

30,1x

2

131

2

3.411x

2

1

=

=⇒

±=

+±=

Como para 30,2x2 = no está definido el segundo logaritmo, entonces la única

solución es 30,1x1 =

c) 211)-(22x 2)(xlog =+

Aplicando la definición tenemos: ( )22x11x22 +=

4x4x11x22 2 ++= ⇒ 015x18x2 =+ ⇒

06.1x

94,16x

225218

2

18.432418x

2

1

=

=±=

±= ⇒ Para ambos está definido el

logaritmo por lo tanto ambas son soluciones 06.1x

94,16x

2

1

=

=

Recuerde:

Para que el logaritmo

esté definido el

número logaritmado

debe ser positivo y la

base positiva y

distinta de 1


Pagina 170

SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Un sistema de ecuaciones exponenciales (o logarítmicas) es un conjunto de

ecuaciones exponenciales (o logarítmicas) cuyas soluciones comunes se pretende

hallar.

También pueden presentarse sistemas de ecuaciones mixtos, o sea sistemas

integrados por ecuaciones exponenciales, logarítmicas y/o algebraicas.

Ejemplos

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

=

=+

=−=++

=−=+

2

1logy-logx

2

3logylogx

c) ; 1x3y2

38y32x3 2. b) ; 1y2x4

322yx2 a)

Respuestas:

=−=+

1y2x

4

322yx

2 a) aplicando propiedades se tiene que

==+

02

52

44

22yx

yx

Por lo tanto el sistema se transforma en

==+

02

52

yx

yx

=−

=⇒=+

0y2x2

x-5 y52yx Sustituyendo se tiene 0

2

x

2

5-2x ; 0

2

x52x =+=

−−

y operando ⇒⇒5

2.

2

5 x ;

2

5x

2

5

2

5

2

x2x ===+ 1x =

Atención Para resolverlas se transforma el

sistema dado en un sistema de

ecuaciones algebraicas, y luego se

aplican los métodos estudiados


Pagina 171

reemplazando para obtener el valor de y: 2

15

y ⇒= 2y =

1x3y2

38y32x3 2. b)

=−=++

Para resolverlo debemos previamente aplicar propiedades de potencia:

y8.2y.232 y32 ==+ y el sistema queda expresado: 1x3y2

38y8.2x3 2.

=−=+

haciendo cambio de variables: 3x = a y 2y = b el sistema será:

1ab

38b 8.a 2.

=−=+

el cuál se puede resolver con los métodos estudiados:

3 a 3010a 88a2a-38 ; 1a8

2a-38

1 a b 1ab

8

2a-38b 38b 8.a 2.

=⇒=⇒+=+=⇒

+=⇒=−

=⇒=+

reemplazando en la segunda ecuación: b = 4

como a = 3x y a = 3 entonces 3x = 3 ; 3x = 31 como las bases son iguales 1x =

como b = 2y y b = 4 entonces 2y = 22 ; como las bases son iguales 2y =

=

=+

2

1logy-logx

2

3logylogx

c) El dominio de estas ecuaciones es ( 0 , ∞ )

=⇒=⇒==

=⇒==⇒==+

10

xy

y

x2

1

10 2

1y

x log ;

2

1logy-logx

x

1010. y

x

2 310 y; x.y2

3

10 2

3 (x.y) log ; 2

3logylogx


Pagina 172

igualando ambos miembros:

10y1010.

1010. y:andoracionaliz

10

10. y

10x toma se existencia de condición por

10x1002x ; x.x10.1010. 10

x

x

1010.

=⇒==⇒

=

±=⇒==⇒=

Entonces 10y;10x ==

ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

Llamamos ecuaciones trigonométricas a aquellas ecuaciones en las que las variables

están afectadas por razones trigonométricas.

Ejemplo: 0cosx-senx =

Resolución de ecuaciones trigonométricas: Para resolver estas ecuaciones debemos

recordar conceptos como:

- Relaciones trigonométricas

- Valores de funciones trigonométricas para ángulos notables

- Signos de funciones trigonométricas en [0, 2π]

RELACIONES TRIGONOMETRICAS

x2sen-1 x cos x 2sen1x2cos

x2cos-1 x sen x 2cos1x2sen

x2cotg 1 x 2cosec

x2 tg 1x2sec

1x2cos x 2sen

±==

±==

+=

+=

=+

xcos1

xsec

xsen1

xcosec

xtg1

xsen xcos

xcotg

xcotg1

cosxsenx

xtg

=

=

==

==

x2sen -x 2cos (2x) cos

xcos x.sen 2. (2x) sen

=

=


Pagina 173

RESOLUCION DE UNA ECUACION TRIGONOMETRICA

Resolver una ecuación trigonométrica es determinar para qué valor del ángulo (x) una

función dada tiene un determinado valor

Ejemplo:

Dada la ecuación 1x cos = el objetivo es determinar los valores de x para los que el

coseno vale 1

¿Qué nuevo concepto importante surge en éste planteo?

En la determinación del ángulo x surge el concepto de seno inverso, coseno inverso,

tangente inversa, etc. En la calculadora, se debe marcar la techa Shift antes de la

correspondiente trigonométrica

Ejemplos

a) Determine el valor del ángulo para el cuál se verifica: 1x cos =

x = arcos 1

x = 0º

b) Determinar el ángulo que verifica que sen x = 0.8

Entonces x = arcsen 0.8 = 53,13º

(Observación: Se debe estar atento al modo con el que se trabaja con ángulos en la

calculadora)

x es (=) el ángulo (arco) cuyo coseno vale 1


Pagina 174

EJEMPLOS

1) Resolver la siguiente ecuación trigonométrica en [0, 2π] :

3.tgx2cosx =

Respuesta:

( )

(1/2) arcsen x 1/2 x sen

:solución segunda la con trabajamos entonces

, 1 son seno del extremos valoreslos quepor posible es no encontradoor primer val el

1/2 2

x)(sen ; 2 1

x)(sen

4-53

4-4.(-2).2-93

1,2senx :grado 2º de ecuación la oresolviend

023.senx-x22sen03senxx2sen 2-2 :indicadas soperacione oresolviend

03.senxx)2sen-2.(1 :ricastrigonomét iasequivalencpor

03.senxx22.cos 0cosx

3.senxx22.cos :indicadas soperacione las oresolviend

0cosxsenx

3.-2.cosx cosxsenx

3.2.cosx :ricastrigonomét iasequivalencpor

=⇒=

±

=−=

⇒±=

±=

=+−⇒=−

⇒=−

=−⇒=−

=⇒=

Las soluciones son rad65 150º x y rad

630º x

ππ ====


Pagina 175

2) Encontrar el valor de las restantes razones trigonométricas del ángulo α

sabiendo que pertenece al 2º cuadrante y que 2αsec = . ¿Cuál es el valor de α?

Respuesta:

21

αsec1

αcos ==

( )2212 1αcos1αsen == =

23

43

= y por lo tanto 3

2α cosec =

33

3

1

23

21

α tg === y por lo tanto 33

α cotg =

Observe que en el cálculo del α sen se optó por el signo + ya que α pertenece al

2º cuadrante.

Para encontrar el valor de α, observe que en el primer cuadrante el ángulo de

3πrad posee coseno

21.

Construyendo un triángulo equivalente en el 2º cuadrante se tiene que el ángulo

buscado es rad3π2

3π

πα ==

3π3

π2

21

21


Pagina 176

RESOLVIENDO ECUACIONES

1) En cada una de las fórmulas siguientes despeje la letra indicada

entre paréntesis:

a) T = t + 273 ( t ) b) p . V = R . T (T)

c) E= I (R + Ro) (Ro) d) V = (4/3). π. r3 ( r )

e)SV

VFp

−=

. (S) f) 2

o t.a).2/1(t.ve += (a)

2) Clasifique las siguientes ecuaciones:

1(x))) (log (log log l) ; 72x2x4 k) ; 8x24x124x j); 31x

2 i)

x421

2)-(x h) ; 52)4).(x-(x g) ; 1sen(2x) f) ; x23x e)

cb3ax d) ; 612x23x c) ; 41)(3x2log b) ; 54

2x-3 a)

==++=+=+

+==+==−+

=+=−−=−=

3) Cómo clasifica a las siguientes ecuaciones? ¿Cuántas soluciones espera

encontrar?. Resuélvalas

ab

2b2a

a

bx

b

a-x j) 8b4x 3a-2x i)

53

4-3x h)

4

316x4x

6

110x-4 g)

x3

1 5

6

x f) 5)-4).(2x-(6x 3)-4).(4x-(3x e)

3x86x1)-14x-5.(7 d) 3)4.(2x-61)-3.(xx c)

25

2-3x b) 164-2x a)

+=

-+=

=+

=+

=+=

++=++=+

==

-

-

TRABAJO PRÁCTICOTRABAJO PRÁCTICOTRABAJO PRÁCTICOTRABAJO PRÁCTICO

A trabajar…..!A trabajar…..!A trabajar…..!A trabajar…..!


Pagina 177

4) Plantee las siguientes situaciones problemáticas y encuentre, si existe, la

solución.

a) Determine dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194

b) La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y

al menor en 65. Halle los números.

c) La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20

años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar

las edades respectivas.

d)

e) Repartir el número 400 en dos partes tales que al dividir la primera

parte por 10 y la segunda por 20, la diferencia de los cocientes sea 10.

f) Ramiro dice: si al doble de mi edad le quito 15 años, tendría la edad que

me hace falta para tener 18 años. ¿Qué edad tiene Ramiro?

g) El maratonista tucumano Juan Pablo Juárez, caminó cierta distancia,

trotó 5/2 veces la distancia que caminó y corrió 7/3

veces la distancia que trotó. Si en total recorrió 2352

metros. ¿Cuánto caminó?

Susanita y yo nacimos en el mismo año. Felipe nació dos años después. Entre los tres sumamos dos tercios de la edad de mi padre que hoy cumple 42 años.¿Cuántos años tiene Felipe?


Pagina 178

h) El siguiente patio triangular tiene un perímetro de 27m. Determine las

dimensiones de cada uno de sus lados.

I) El triángulo ABC tiene una superficie de 31,5 cm2.

¿cuánto mide su base?

k) Un estudiante de álgebra obtiene las siguientes notas 7.5 ; 8.2; 7.1 y

8.4. ¿qué calificación debe obtener en la siguiente prueba para que su

promedio sea 8?

m) Un trabajador recibe $2392 de sueldo neto después de restar

deducciones, las cuales corresponden al 20% del sueldo bruto. ¿cuál es su

sueldo bruto?

n) Hace diez años, al edad de Mauricio era 3/5 de la edad que tendrá

dentro de 20 años. ¿cuál es la edad actual?

5) Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales se pide: a) clasifíquelos ,

justificando su respuesta ; b) resuélvalos analíticamente por alguno de los

métodos estudiados.

a) 37y5x

13y2x

=+=+

b)

=+=

24y2x-

12y-x

3z 1z +

5z2

A

1x2

C

B

cm7


Pagina 179

c)

=+=

12yx

3y-2x d)

19y-3x

56y-2x

==

e)

=++=+084yx

010-12y3x- f)

−=+=+

104y-6x

5-3y-2xyx

g) ( )

==

y42y-3x4-

-52y-3x h)

=+

=+

xyx

2

1

2

4

3y-x2y)2(-x

6) Determinar si el siguiente sistema es reducible a un sistema lineal y en caso

afirmativo, resolverlo:

a)

−−=

−

−+

−−=

−

−−

3

3y7330

x18

3yy

2

2x5920

x23

x2yx

b)

=+

+

=+

++

14

7x

3

5y-2x

27

6y

5

2x3y

7) Haciendo un cambio de variables apropiado, exprese los siguientes sistemas

como sistemas de ecuaciones lineales y resuélvalos.

−=+

=−

9

7

y

5

x

3y

1

x

2

a)

=−

=+

2

11

y

6

x

7

2y

9

x

10

b)


Pagina 180

c)

+=+

+=+

xxyy

xyx5241

2412

d)

=+

=

24

x

2-

1y

2-

x

1

y

8) Plantear los siguientes problemas y encontrar, si existe, la solución

a) Hallar dos números cuya suma es cuatro y que verifican que el

primero es al segundo como 5 es a 11.

b) En la veterinaria del barrio se alimentan

por día con 224 galletas a 20 animales entre

gatos y perros.

Cada perro recibe 12 galletas y cada gato 10.

¿Cuántos perros y gatos hay?

c) En un cine, 10 entradas de adulto y 9 de niño

cuestan $132.- y 8 entradas de adulto y el doble de entradas de niño

cuestan $176.- ¿Cuánto cuestan las entradas de niño?

d) Los valores de dos resistencias están en la relación 2:5 y, además,

se sabe que su suma es igual a 140 ohm. ¿Cuál es el valor de cada una de

las resistencias?

e) Un terreno rectangular tiene tres metros menos de ancho que de

largo y su perímetro es 102 metros. Determine sus dimensiones.

f) En un corral hay gallinas y cerdos. Si se cuentan 59

cabezas y 150 patas. ¿Cuántos animales de cada clase hay?

g) Encuentra el número de dos cifras tal que la suma de sus

cifras sea 8 y si se cambia el orden de sus cifras se obtiene otro número

que vale 17 unidades menos que el doble del número de partida.


Pagina 181

h) si a un triángulo equilatero le sumo 2 cm a su base se obtiene un

triángulo isósceles de 33,5 cm de perímetro. ¿Cuánto mide el lado del

triángulo equilátero de partida?

9) Clasificar a las siguientes ecuaciones y, sin resolver, determinar la naturaleza

de las raíces

-3810)-2).(x(x c)

03x32.2x b)

125x22x a)

=+

=+−

+=

10) Encontrar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

2

1-x

2

2

1x f) ; -1,5x3)-1).(x(x e) ; 1)-2.(8x2-2)8x.(x d)

24x2x23x c) ; 024x23x b) ; 608213x a)

=+=+=+

−==−=+

11) Completando cuadrados resolver las siguientes ecuaciones:

16

3x

2

12x d) ; 52x2x c)

0128x24x b) ; 023x2x a)

=−−=+

=−−=++

12) Factorear los siguientes trinomios:

7

34x-27x c) ;

2

1

2

x2x b) ; 3212x2x a) +−++−

d) 01x =+6x2 ; e) 02x22 =+x2 ; ( ) 02x21x2 =+

13) Resolver los siguientes sistemas:

43x2xy

53x22xy c) ;

-3xy

6x2x7-y b) ; x142y

2-xy a)

−+=

+−=

=++=

−=

=


Pagina 182

14) Plantear los siguientes problemas y determinar, si existen, soluciones reales:

a) Halle dos números naturales impares consecutivos tales que su producto

sea 255

b) El cuadrado de la edad que tiene Tommy es igual a 5 veces la edad que

tendrá dentro de 10 años. ¿Que edad tiene Tommy?

c) Determine la longitud de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que

el valor de los mismos son tres números naturales consecutivos.

d) Para embaldosar una habitación se necesitan 225 mosaicos cuadrados. Si

cada lado del mosaico tuviera 5 cm más solo se necesitarían 144. Calcular

el lado de cada mosaico.

e) Determinar el perímetro y la superficie del triángulo rectángulo cuyas

medidas de lados se indican en el dibujo.

f) Los alumnos de arquitectura compran una hoja de cartón de forma

rectangular de 72cm de largo y 48 cm de ancho, para hacer una maqueta.

Como en realidad necesitan una lámina cuya superficie sea 5/8 de la

superficie de la hoja que compraron, deciden cortar un margen, de ancho

constante, alrededor de la misma. ¿Qué ancho debe tener el margen?.

x+2 4x+1

4x


Pagina 183

g) Se quiere construir una piscina

rectangular de 1,5 m de

profundidad de tal modo que su

capacidad sea de 39840 litros y tal

que su largo sea 2m más que su

ancho.

¿Cuáles son las dimensiones de la piscina?

15) Clasificar a las siguientes ecuaciones y encontrar, si existe, el conjunto

solución:

22x

x

2x

25x

4-2x

1-6x d) ;

2x

4x5

x

1

2x

x-2 c)

134x

143x

24x

7-3x b) ;

12x

3

1x

2

1-x

7 a)

−+

−−

=−+

=−

−

−=

+−=

++

41

e) 4t

20

2t

3t

2t

3t2

=+

+ ; f) ( )1xx

1x2xx1

1x

12

2

2 +

++=+

+

g) 2x

23

102x

x4=

+ ; h)

( )2

2

x49

3x2

x231

x23

x35

x23x2

=+

++

16) Plantear las siguientes situaciones problemáticas y encontrar, si existe, la

solución

a) Una de las piletas del club se llena por una bomba A

en 4 horas y por otra B en 5hs. ¿En cuánto tiempo

se llenará la misma pileta si trabajan juntas las

dos bombas?

Cuales serán las medidas?

A B


Pagina 184

b) Una pileta puede llenarse por un grifo A en 2 horas y

por otro B en 1h 20’. Estando llena puede

desagotarse por un orificio de desagüe en 72

minutos. Si se mantienen abiertos los grifos y el

orificio de salida, ¿en cuánto tiempo se llenará la

pileta?

c) La suma de los recíprocos de dos números enteros pares consecutivos es

9/49. ¿Cuáles son esos enteros?

17) Clasificar a las siguientes ecuaciones y resolverlas.

a) 4x6x2 = b) 21x223x =+

c) 21xx =+ d) 2x1x1x2 +++=

18) Clasificar a las siguientes ecuaciones y resolver

3x 1x32-x 3-x3 i) ; 108x91x3 h) ; 3x332x3 g)

32x4 f) ; 1x25x5 e) ; 3x2

4x4 d)

3x

27

13x-9 c) ; 123x2x5 b) ; 91-x3 a)

+ +==++−=−

=+=−

=

+==++=

j) 0162.174 xx =+ ; k) 06255525 1xx3x =+ ++

l) ( ) x33x2255 =

+ ; m) 23222 x3x1x =++

; n) 108

1.2

3x

x =


Pagina 185

19) Clasificar a las siguientes ecuaciones y resolver

log21/2

1-x

6xlog h) ; 0logx)logx).(2-(3 g)

13)(x8log1)(x8log f) ; 11)(5x5log10)21x2(x5log e)

log3x log3)(x log d) ; log43).log(2x2

1-6)(x log c)

315x)2(x log b) ; 21-2x

1 log a)

=+

=+

=+++=−−−+

+=+=−+

=−−=

i) log3(2x+7) – log3 (x2 +4x+4) = 0 ; j) log(x-2)+log(x-3)= log x

20) Resolver las siguientes situaciones problemáticas

a) Una sustancia radiactiva se desintegra de acuerdo a la ecuación:

Q = Qo . 10 -0.024 t

donde: Qo es la masa inicial de la sustancia y Q es la masa final

Determine el tiempo t (en h) necesario para reducir una masa de 200g a 50g.

b) Un cierto cultivo de bacterias crece a razón de 48

t

.10oNN = donde:

No = cantidad inicial de bacterias

N= número de bacterias después de transcurrido un cierto

tiempo t (en horas)

¿Cuánto tiempo habrá transcurrido para que el número de

bacterias crezca de 2000 a 2250?


Pagina 186

c) La Escala Ritcher es utilizada para medir

la intensidad de los terremotos, la escala de

Ritcher es una escala logarítmica de base

10. La magnitud de un terremoto en esa

escala está dada por la fórmula:

M = log p

donde M es el grado en la escala de Ritcher y p es la potencia, que indica cuántas

veces mayor fue la amplitud de la onda sísmica del terremoto en comparación

con una onda de referencia correspondiente a la situación normal.

Si un terremoto fue de magnitud 2 en la escala Ritcher

significa que la amplitud de la onda sísmica fue 100

veces mayor que la amplitud de la onda en

situaciones normales

Completa la siguiente tabla de valores

21 ) Usando relaciones trigonométricas demostrar las siguientes identidades

a) αsen11αcos2αsenαcos 2222 ==

b) αcosαsen.αsecαsec 2 =

c) αsec.αsenαctgαsen 2=

d) αsen.αcos

1αctgαtg =+

e) αααα 2222 cos.seccossec ecec =+

M P

2

4.5

12500

6.2

130000


Pagina 187

22) Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas


Pagina 188

SISTEMA DE INGRESO A LA UNIVERSIDAD – FRT – UTN - 2007

MATEMATICA 1 – 2 – 3 – Editorial Santillana Secundaria

MATEMATICA 7 – 8 – 9 – Editorial Santillana

MATEMÁTICAS EN CONTEXTO - Grupo Editorial Iberoamérica

MATEMÁTICA – BACHILLERATO 2 – Miguel de Guzmán

MATEMÁTICA 7 – 8 – 9 EGB (3º ciclo) Editorial A – Z

EL LIBRO DE LA MATEMÁTICA 7 – EGB – Editorial Estrada

ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA . Earl Swokowsky

TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA CON APLICACIONES- Barnett- Raymond

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – Baldor

MATEMÁTICA APLICADA PARA ESTUDIANTES DE ARQUITECTURA E INGENIERÍA-

González- Juárez.

HISTORIA Y DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA- Lic. Luis Flores Gil- Sevilla

MATEMÁTICA PREUNIVERSITARIA- Stewart

www.virtual.unal.edu.co - Trigonometría – J.M. Fernández, Barragán, Molina.

BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA

frt – utn matematica - ecuaciones ecuaciones€¦ · • esquema del tema ... en esta unidad nos...

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