PRÁCTICA 6

MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO RIGIDO

Fecha de realización: 29-octubre-2012

Fecha de entrega: 5-noviembre-2012

Laboratorio de Cinemática y Dinámica

Facultad de Ingeniería

Universidad Nacional Autónoma De México

o Fernando Sánchez

o Yahvé Ledezma

o Emma Carolina Alfaro

Realizado por:

o Aranzazu

o Karina

o Priscila

o Isabel

RESUMENSe realizaron una serie de ejercicios con ayuda del material proporcionado por el laboratorio como fue marco metálico con accesorios, una barra de metal, una fotocompuerta, un flexómetro, Con dichos materiales se pudieron cuantificar el numero de oscilaciones que produjo la barra, así como las medidas de la barra para poder calcular el momento de inercia de la misma

Primero, se puso en movimiento la barra contando asi 10 de oscilaciones que debía de realizar la barra para poder obtener el periodo promedio de la oscilación, cabe resaltar que el material proporcionado contaba medias oscilaciones por lo que estas consideraciones se tuvieron que tener en cuenta a la hora de capturar los datos y llevar acabo los cálculos.

Después de esta actividad, se llevo acabo la medición de la barra midiendo así su altura, su ancho y su largo.

OBJETIVOSCalcular el momento de inercia de una barra de metal, utilizando dos métodos diferentes.

INTRODUCCION Con el número de oscilaciones, y el promedio del periodo de las antes descritas, así como las medidas de la barra proporcionada por el laboratorio, se pretende conocer el momento de inercia por dos caminos o métodos diferentes.

MARCO TEÓRICO

MOMENTO DE INERCIA

El momento de inercia es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos.

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro, sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

Ecuaciones del momento de inercia

El momento de inercia de un cuerpo

indica su resistencia a adquirir una

aceleración angular.

Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

(1)

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

(2)

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelve a través de una integral triple.

Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton:   tiene como equivalente para la rotación:

(3)

donde:

 es el momento aplicado al cuerpo.

 es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y

 es la aceleración angular.

Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento con

velocidad v es  , mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular

ω es  , donde   es elmomento de inercia con respecto al eje de rotación.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular  :

(4)

El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular  . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.

Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos

Establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

(5)

donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)

eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M (Masa Total)

y h (Distancia entre los dos ejes paralelos considerados).

La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de coordenadas relativa al centro de masas C   inmediata:

(6)

(7)

(8)

donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.

El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo.

Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas

1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples

2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por  .

3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas

partes   con respecto a los ejes X e Y. Y calcular el

cdm   de toda la figura formada por todas las áreas parciales anteriores.

4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura.

5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que serán paralelos a x e y).

Designar como:  e  , para el área i-ésima.

6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner:y 

(9)

(10)

7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos anteriores:  e 

(11)

(12)

DESARROLLO EXPERIMENTAL

EQUIPOS Y MATERIALES NECESARIOS

Marco metálico con accesoriosBarra de metal

Interfaz Science Workshop 750 con accesorios FlexómetroComputadoraVernierFotocompuerta

PROCEDIMIENTO

1.-Se verifico que todo el material se encontrara en buen estado para poder trabajar con él.

2.- Se instalo el arreglo para poder contabilizar las oscilaciones, se conecto el equipo a la computadora y se verifico que la barra oscilara en la línea de acción del sensor.

ANÁLISIS Y RESULTADOS

Primeramente se midio el tiempo con ayuda del programa y el tiempo promedio de oscilación fue de 1.3931 [s].

Con el análisis de nuestro sistema mecánico:

an

at

mg

T

Con un sistema de referencia er , eθ

a=0.33 [cm]

b= 1.85 [cm]

c= 50 [cm]

m= 0.076 [kg]

Tabla 1. Tiempo de oscilaciones con la interfaz:

Tiempo ( s )1.39312.60643.81685.02436.22897.43118.63149.7992

Para el cálculo del momento de inercia:

…(12)

θ

θ

C/2

eθ

er

Donde:

m: masa de la barra.

c: longitud de la barra.

g: 9.78 m/s^2

T: periodo de oscilación.

Para nuestro periodo de oscilación dado por la interfaz el momento de inercia es:

IG= -2.4663 x 10 -3 [kg m 2 ]

Tambien probamos el periodo de oscilación con la ayuda de un cronometro de mano, los tiempos se muestran en la siguiente tabla:

Tabla 2. Tiempo con cronometro.

Tiempo [s]1.242.363.785.066.257.46

8.79.97

Con este nuevo periodo de oscilación de 1.24 [s] se calcula el momento de inercia:

IG= -2.9407 x 10 -3 [kg m 2 ]

El momento de inercia teorico esta dado por la siguiente expresión:

… (13)

IG= 1.5855x 10 -3 [kg m 2 ]

Comparando cada valor obtenido con este ultimo valor teorico.

IG[kg m2] IG teorica [kg m2] Error [1] Error %-2.94E-03 1.59E-03 8.55E-01 85.5-2.47E-03 1.59E-03 5.56E-01 55.6

CONCLUSIONES Al realizar esta práctica, observamos el comportamiento de la barra de metal a la hora de dejarla caer y ver la oscilación que se provocaba.

Con los cálculos que procedieron, nos dimos cuenta de que el tiempo promedio de oscilación fue de 1.3931 [s], dato importante para saber el momento de inercia con los datos dados por la interfaz igual a -2.4663x10-3, por otro lado, se hicieron mediciones manuales con un

cronometro de donde salió un promedio de oscilación de 1.24 [s] y un momento de inercia de -2.9407x10-3.A la hora de comparar dichos valores con el momento de inercia teórico se dio un error grande, esto pudo ocurrir debido a algún error cometido durante la práctica.

Con dicha práctica podemos decir que el momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en

rotación, solo depende de la geometría del cuerpo y la posición del eje de giro y no de las fuerzas que pueden intervenir en el movimiento.

APÉNDICE

Las ecuaciones de movimiento:

…(1)

…(2)

…(3)

Si θ es muy pequeño θ≈sin(θ)

…(4)

…(5)

…(6)

…(7)

…(8)

…(9)

…(10)

…(11)

…(12)

Donde:

m: masa de la barra.

c: longitud de la barra.

g: 9.78 m/s^2

T: periodo de oscilación.

Para el calculo de IG teórica se situó en un solo eje con la formula:

… (13)

Referencias de consulta

Paul E. Tippens, FISICA, CONCEPTOS Y APLICACIONES, 3ra edición en español, McGraw-hill.

BEER, Ferdinand. Mecanica vectorial para ingenieros 8a

edicion. McGrawHill. 2010. Pág. 1322-1332.