UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLOFACULTAD DE INGENIERAESCUELA ACADMICA PROFESIONAL DE INGENIERA MECATRNICA

DISEO MECATRNICO IIInforme:CINEMATICA Y DINAMICA DEL ROBOT

Profesor:Ing. GutirrezAlumnos: HOYOS BAUTISTA, LuisLINARES ANTICONA, Daniel

Ciclo:IX

TRUJILLO PER2014Universidad Nacional de Trujillo Diseo Mecatrnico II

Esc. Prof. De Ing. Mecatrnica

CINEMTICA Y DINMICA DEL ROBOT IntroduccinLos robots clsicos presentan una arquitectura antropomrfica serial, semejante al brazo humano. Consisten de una serie de barras rgidas unidas entre s a travs de articulaciones de un grado de libertad del tipo rotacional o prismtica. En general cada articulacin logra su movimiento a travs de un accionamiento de potencia e incluye otros dispositivos como reductores de velocidad, frenos y sensores de posicin o velocidad.

Aunque al definir las relaciones cinemticas de un robot no se suelen consideran los aspectos dinmicos, nada ms alejado de la realidad cuando se quiere disear un robot ya que existe una inevitable relacin causa-efecto entre la cinemtica y la dinmica. Nada ms claro resulta que al pensar en las dimensiones de un robot, la longitud de un brazo afecta al cuadrado la inercia de los eslabones y por lo tanto el peso del robot y la potencia requerida en los actuadores.

Las arquitecturas de los robots clsicos presentan una serie de propiedades dinmicas y estructurales caracterizadas por una gran rigidez estructural, repetibilidad y levado peso propio. El elevado peso propio de los robots clsicos limita la capacidad carga til y las velocidades de trabajo

Al calcular la cinemtica de los robots clsicos debe considerarse que dependiendo de las dimensiones de sus primeras articulaciones, el peso de los robots de tipo industrial oscila en torno a valores que tienen una relacin en el mejor de los casos de 0.150 (Carga til/peso). Por lo cual, por ejemplo un robot industrial con un alcance de 3.0 metros con capacidad para mover cargas de 75 kg puede tener un peso de 1450 kg (ABB IRB 6400).

Las siguientes son algunas recomendaciones que deben tenerse en cuenta al definir la cinemtica de un robot, la cual debe hacerse en consideracin de la dinmica que imponen las dimensiones de las barras que lo forman:

El espacio de trabajo del robot debe ser cuidadosamente estudiado para definir el volumen justo de trabajo del robot

En un robot de seis grados de libertad rotacional, las primeras tres barras son las que aportan la mayor dinmica debido a su peso. A menudo es posible localizar los primeros tres accionamientos de potencia en la base del robot, pero para lograr esto se debe ser cuidadoso en el uso de mecanismos de cuatro barras que mueven el brazo mas alejado (robot ABB IRB2400).

En un robot de seis grados de libertad, las tres primeras articulaciones del robot deben dar las condiciones de posicin y las tres ltimas articulaciones del extremo del robot deben concentrar en un punto de la mano, los tres grados de libertad de orientacinCINEMATICA DEL ROBOT

La cinemtica del robot estudia el movimiento del mismo con respecto a un sistema de referencia. As la cinemtica se interesa por la descripcin analtica del movimiento espacial del robot como una funcin del tiempo, y en particular por las relaciones entre la posicin y la orientacin del extremo final del robot con los valores que toman sus coordenadas articulares.Consiste en determinar cul es la posicin y orientacin del extremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas que se toma como referencia, conocidos los valores de las articulaciones y los parmetros geomtricos de los elementos del robot.Existen dos problemas fundamentales a resolver en la cinemtica del robot, el primero de ellos se conoce como el problema cinemtico directo, y consiste en determinar cul es la posicin y orientacin del extremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas que se toma como referencia, conocidos los valores de las articulaciones y los parmetros geomtricos de los elementos del robot; el segundo denominado problema cinemtico inverso, resuelve la configuracin que debe adoptar el robot para una posicin y orientacin del extremo conocidas.Denavit y Hartenberg propusieron un mtodo sistemtico para describir y representar la geometra espacial de os elementos de una cadena cinemtica, y en particular de un robot, con respecto a un sistema de referencia fijo. Este mtodo utiliza una matriz de transformacin homognea para describir la relacin espacial entre dos elementos rigidos adyacentes, reducindose el problema cinemtico directo a encontrar una matriz de transformacin homognea 4x4 que relacione la localizacin espacial del extremo del robot con respecto al sistema de coordenadas de su base.Por otra parte, la cinemtica del robot trata tambin de encontrar las relaciones entre las velocidades del movimiento de las articulaciones y las del extremo. Esta relacin viene dada por el modelo diferencial expresado mediante la matriz Jacobiana.

EL PROBLEMA CINEMATICO DIRECTO

El problema cinemtico directo se plantea en trminos de encontrar una matriz de transformacin que relaciona el sistema de coordenadas ligado al cuerpo en movimiento respecto a un sistema de coordenadas que se toma como referencia es decir que relacione la posicin y orientacin del extremo del robot respecto a su sistema de referencia fijo (base del robot).Para lograr esta representacin se usan las matrices de transformacin homognea 4x4, la cual incluye las operaciones de traslacin y la orientacin. La matriz de transformacin homognea es una matriz de 4x4 que transforma un vector expresado en coordenadas homogneas desde un sistema de coordenadas hasta otro sistema de coordenadas. La matriz est en funcin de los parmetros de las articulaciones del robot. Para un robot de n grados de libertad tenemos:

Donde:

Para articulaciones revolutas las variables son ngulos. Para articulaciones prismticas las variables son distancias. . .

RESOLUCION DEL PROBLEMA CINEMATICO DIRECTO MEDIANTE METODO GEOMETRICO

Las funciones mencionadas pueden ser encontradas mediante mtodos geomtricos para el caso de robots de 2 grados de libertad (cada relacin articulacion-eslabon constituye un grado de libertad:

RESOLUCION DEL PROBLEMA CINEMATICO DIRECTO MEDIANTE MATRICES DE TRANSFORMACION HOMOGENEA

Para robots de ms de 2 grados de libertad es difcil aplicar mtodos geomtricos para la solucin de su cinemtica directa.

En general, un robot de n grados de libertad est formado por n enlaces unidos por n articulaciones, de forma que cada par articulacin-enlace constituye un grado de libertad. A cada enlace se le puede asociar un sistema de referencia solidario a l y, utilizando las transformaciones homogneas, es posible representar las rotaciones y traslaciones relativas entre los distintos enlaces que componen el robot. A cada eslabn se le asocia un sistema coordenado y utilizando transformaciones homogneas es posible representar las rotaciones y traslaciones relativas entre los diferentes eslabones que componen el robot.Siendo la matriz:

La matriz de transformacin homognea que representa la posicin y orientacin relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot.

Normalmente, la matriz de transformacin homognea que representa la posicin y orientacin relativa entre sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot se suele denominar matriz: Asi pues describe la posicin y orientacin del sistema de referencia solidario al primer eslabn con respecto al sistema de referencia solidario a la base, describe la posicin y orientacin del segundo eslabn respecto del primero, etc. Del mismo modo, denominado a las matrices resultantes del producto de las matrices con i desde 1 hasta k, se puede representar de forma total o parcial la cadena cinemtica que forma el robot. As por ejemplo, la posicin y orientacin del sistema solidario con el segundo eslabn del robot con respecto al sistema de coordenadas de la base se puede expresar mediante

= *

De manera anloga la matriz representa la localizacin del sistema del tercer eslabn:

=

Cuando se consideran todos los grados de libertad, a la matriz se le suele denominar T. as, dado un robot de seis grados de libertad, se tiene que la posicin y orientacin del eslabn final vendr dada por la matriz T

= * * * * *

Aunque para describir la relacin que existe entre dos elementos contiguos se puede hacer uso de cualquier sistema de referencia ligado a la forma habitual que se suele utilizar en robtica es la representacin de DENAVIT- HARTEMBERG (D-H)segn la representacin D-H, escogiendo adecuadamente los sistemas de coordenadas asociados para cada enlace, ser posible pasar de uno al siguiente mediante 4 transformaciones bsicas que dependen exclusivamente de las caractersticas geomtricas del enlace. Estas transformaciones bsicas consisten en una sucesin de rotaciones y traslaciones que permitan relacionar el sistema de referencia del elemento i con el sistema del elemento i-1.

Las transformaciones en cuestin son las siguientes:

Rotacin alrededor del eje Zi-1, con un ngulo i. Traslacin a lo largo de Zi-1 a una distancia di; vector di (0,0,di). Traslacin a lo largo de Xi a una distancia ai; vector ai (ai,0,0). Rotacin alrededor del eje Xi, con un ngulo i

De este modo se tiene que: i-1Ai = T(z,i)T(0,0,di)T(ai-1,0,0)T(x,i-1)

Y realizando el producto de matrices:

donde i, ai, di, i, son los parmetros D-H del enlace i, asociados con el enlace i y la articulacin i.

ALORITMO DE DENAVIT HATEMBERG

DH1. Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabn mvil de la cadena) y acabando con n (ltimo eslabn mvil). Se numerara como eslabn 0 a la base fija del robot.

DH2. Numerar cada articulacin comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad y acabando en n).

DH3. Localizar el eje de cada articulacin. Si es rotativa, el eje ser su propio eje de giro. Si es prismtica, ser el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento.

DH4. Para i de 0 a n-1, situar el eje Zi, sobre el eje de la articulacin i+1.

DH5. Situar el origen del sistema de la base (S0) en cualquier punto del eje Z0. Los ejes X0 e Y0 se situarn de modo que formen un sistema dextrgiro con Z0

DH6. Para i de 1 a n-1, situar el sistema (Si) (solidario al eslabn i) en la interseccin del eje Zi con la lnea normal comn a Zi -1 y Zi. Si ambos ejes se cortasen se situara (Si) en el punto de corte. Si fuesen paralelos (Si) se situara en la articulacin i+1.

DH7. Situar Xi en la lnea normal comn a Zi-1 y Zi

DH8. Situar Yi de modo que forme un sistema dextrgiro con Xi y Zi.

DH9. Situar el sistema (Sn) en el extremo del robot de modo que Zn coincida con la direccin de Zn-1 y Xn sea normal a Zn-1 y Zn.

DH10. Obtener i como el ngulo que hay que girar en torno a Zi-1 para que Xi-1 y Xi queden paralelos.

DH11. Obtener di como la distancia, medida a lo largo de Zi-1, que habra que desplazar (Si-1) para que Xi y Xi-1 quedasen alineados.

DH12. Obtener ai como la distancia medida a lo largo de Xi (que ahora coincidira con Xi-1) que habra que desplazar el nuevo (Si-1) para que su origen coincidiese con (Si).

DH13. Obtener i como el ngulo que habra que girar entorno a Xi (que ahora coincidira con Xi-1), para que el nuevo (Si-1) coincidiese totalmente con (Si).

DH14. Obtener las matrices de transformacin i-1Ai.

DH15. Obtener la matriz de transformacin que relaciona el sistema de la base con el del extremo del robot T = 0A1, 1A2, ..., n-1An.

DH16. La matriz T define la orientacin (submatriz de rotacin) y posicin (submatriz de traslacin) del extremo referido a la base en funcin de las n coordenadas articulares.

Los cuatro parmetros de DH (i, di, ai, i) dependen nicamente de las caractersticas geomtricas de cada enlace y de las articulaciones que le unen con el anterior y siguiente.

Una vez obtenidos los parmetros DH, el clculo de las relaciones entre los enlaces consecutivos del robot es inmediato, ya que vienen dadas por las matrices A, que se calcula segn la expresin general. Las relaciones entre enlaces no consecutivos vienen dadas por las matrices T que se obtienen como producto de un conjunto de matrices AObtenida la matriz T, esta expresar la orientacin (submatriz (3x3) de rotacin) y posicin (submatriz (3x1) de traslacin) del extremo del robot en funcin de sus coordenadas articulares, con lo que quedara resuelto el problema cinemtico directo. .

EL PROBLEMA CINEMTICA INVERSOEl objetivo del problema cinemtico inverso consiste en encontrar los valores que deben tomar las variables articulares del robot para que su extremo se posicione y oriente segun una determinada localizacin espacial. La ecuacin matemtica que representa lo anterior es:

Donde Para articulaciones revolutas las variables son ngulos Para articulaciones prismticas las variables son distancias

A diferencia del problema cinemtico directo donde de una manera sistemtica e independiente de la configuracin del robot se llega a una solucin, en el problema cinemtico inverso el mecanismo de solucin es fuertemente dependiente de la configuracin y con frecuencia la solucin no es nica.Normalmente los mtodos geomtricos nos permiten obtener normalmente los valores de las primeras variables, que son las que consiguen posicionar el extremo del robot en un punto determinadoTambin es posible recurrir a manipular directamente a las ecuaciones obtenidas del problema cinemtico directoEn muchos robots de 6 grados de libertad es posible aplicar acoplamiento cinemtico, para que los ejes dedicados al posicionamiento y los ejes dedicados a la orientacin, sean tratados como dos problemas independientes.METODO GEOMETRICOSe basa en encontrar un nmero suficiente de relaciones geomtricas en las que intervendrn las coordenadas del extremo del robot, las variables de las articulaciones y las dimensiones fsicas del robot. El dato de partida son las coordenadas Se suele utilizar para obtener los valores de las primeras variables articulare, que son las que posicionan el robot (prescindiendo de las orientacin de su extremo)Utilizan relaciones geomtricas y trigonomtricas sobre los elementos del robot

MTODO DE MATRICES HOMOGNEAS Aqu se despejan la n variables en funcin de las componentes de los vectores n, o, a y p MTODO DE DESACOPLO CINEMTICO Para determinados robots con 6 grados de libertad Resolucin independiente de los grados de libertad que posicionan y de los que orientan.

DINMICA DEL ROBOTLa dinmica del robot relaciona el movimiento del robot y las fuerzas implicadas en el mismo. El modelo dinmico establece relaciones matemticas entre las coordenadas articulares (o las coordenadas del extremo del robot), sus derivadas (velocidad y aceleracin), las fuerzas y pares aplicados en las articulaciones (o en el extremo) y los parmetros del robot (masas de los eslabones, inercias, etc). La dinmica se ocupa de la relacin entre las fuerzas que actan sobre un cuerpo y el movimiento en el que se origina.El modelo dinmico de un robot tiene por objeto conocer la relacin entre el movimiento del robot y las fuerzas implicadas en el mismoEsta relacin se obtiene mediante el denominado modelo dinmico, que relaciona matemticamente: La localizacin del robot definida por sus variables articulares o por las coordenadas de localizacin de su extremo, y sus derivadas: velocidad y aceleracin. Las fuerzas pares aplicadas en las articulaciones (o en el extremo del robot). Los parmetros dimensionales del robot, como longitud, masa e inercias de sus elementos. La obtencin de este modelo para mecanismos de uno o dos grados de libertad no es compleja, pero a medida que el nmero de grados de libertad aumenta, el planteamiento y obtencin del modelo se complica enormemente. Por este motivo no siempre es posible obtener un modelo dinmico expresado de una forma cerrada.El modelo dinmico debe ser resuelto entonces de manera iterativa mediante la utilizacin de un procedimiento numrico.El problema de la obtencin del modelo dinmico de un robot es uno de los aspectos ms complejos de la robtica, lo que ha llevado a ser obviado en numerosas ocasiones.Sin embargo, el modelo dinmico es imprescindible para conseguir los siguientes fines: Simulacin del movimiento del robot. Diseo y evaluacin de la estructura mecnica del robot. Dimensionamiento de los actuadores. Diseo y evaluacin del control dinmico del robot.

El modelo dinmico completo de un robot debe incluir no solo la dinmica de sus elementos (barras o eslabones), sino la dinmica de sus sistemas de transmisin, de los actuadores y sus equipos electrnicos de mando.Estos elementos incorporan al modelo dinmico nuevas inercias, rozamientos, saturaciones de los circuitos electrnicos, etc. aumentando aun ms su complejidad.

MODELO DINMICO DE LA ESTRUCTURA DE UN ROBOT RGIDO

La obtencin del modelo dinmico se basa fundamentalmente en el planteamiento del equilibrio de fuerzas establecido en la segunda ley de Newton, o su equivalente para movimientos de rotacin, la denominada ley de Euler:

As, en el caso simple de un robot mono-articular, el equilibrio de fuerzas-pares dara como resultado la ecuacin:

En el planteamiento del equilibrio de fuerzas y pares que intervienen sobre el robot se obtienen los denominados modelos dinmicos:

Modelo dinmico directo. Expresa la evolucin temporal de las coordenadas articulares del robot en funcin de las fuerzas y pares que intervienen.

Modelo dinmico inverso. Expresa las fuerzas y pares que intervienen en funcin de la evolucin de las coordenadas articulares y sus derivadas.

LA FORMULACIN DE LAGRANGE-EULERUicker en 1965, utilizo la representacin de D-H basada en las matrices de transformacin homognea para formular el modelo dinmico de un robot mediante la ecuacin de Lagrange.Este planteamiento utiliza, por tanto, las matrices i-1Ai que relacionan el sistema de coordenadas de referencia del elemento i con el elemento i-1. Se realizan en este caso operaciones de producto y suma innecesarias. Se trata de un procedimiento ineficiente desde el punto de vista computacional. El algoritmo es de orden de complejidad computacional O(n4). Sin embargo, conduce a unas ecuaciones finales bien estructuradas donde aparecen de manera clara los diversos pares y fuerzas que intervienen en el movimiento.

ALGORITMO LAGRANGE-EULER Se presenta a continuacin al algoritmo a seguir para obtener el modelo dinmico del robot por el procedimiento de Lagrange-Euler (L-E). Asignar a cada eslabon un sistema de referencia de acuerdo a las normas de D-H Obtener las matrices de transformacion para cada elemento Obtener las matrices definidas por :

Obtener las matrices

Obtener las matrices de pseudoinercias para cada elemento, que vienen definidad por :

Donde las integrales estn extendidas al elemento i considerado, y son las coordenadas del diferencial de masa dm respecto al sistema de coordenadas del elemento Obtener la matriz de inercias cuyos elementos vienen definidos por:

n=nmero de grados de libertad Obtener los trminos Con i,k,m = 1,2 , n.

Obtener la matriz columna de fuerzas de coriolis y cntripeta cuyos elementos vienen definidos por Obtener la matriz columna de fuerzas de gravedad cuyos elementos estn definidos por :

La ecuacin dinmica ser :

Donde

EL MODELO NEWTON- EULEREl mtodo de Newton-Euler permite obtener un conjunto de ecuaciones recursivas hacia delante de velocidad y aceleracin lineal y angular las cuales estn referidas a cada sistema de referencia articular. Las velocidades y aceleraciones de cada elemento se propagan hacia adelante desde el sistema de referencia de la base hasta el efector final. Las ecuaciones recursivas hacia atrs calculan los pares y fuerzas necesarios para cada articulacin desde la mano (incluyendo en ella efectos de fuerzas externas), hasta el sistema de referencia de la base. La formulacin de Newton-Euler parte del equilibrio de fuerzas y pares: Un adecuado desarrollo de estas ecuaciones conduce a una formulacin recursiva en la que se obtienen la posicin, velocidad y aceleracin del eslabn i referidos a la base del robot a partir de los correspondientes del eslabn i-1 y del movimiento relativo de la articulacin i.

De este modo, partiendo del eslabn 1 se llega al eslabn n.

El algoritmo se basa en operaciones vectoriales (con productos escalares y vectoriales entre magnitudes vectoriales, y productos de matrices con vectores) siendo ms eficiente en Comparacin con las operaciones matriciales asociadas a la formulacin Lagrangiana.

De hecho, el orden de complejidad computacional de la formulacin recursiva de Newton-Euler es O(n), lo que indica que depende directamente del nmero de grados de libertad.

ALGORITMO DEL MODELAMIENTO NEWTON EULER

Asignar a cada eslabon un sistema de referencia de acuerdo con las normas de D-H. Obtener las matrices de rotacin y sus inversas siendo :

Establecer las condiciones iniciales. Obtener la velocidad angular del sistema(si)

Obtener la aceleracin angular del sistema

Obtener la aceleracin lineal del sistema i

Obtener la aceleracin lineal del centro de gravedad del eslabon i

Obtener la fuerza ejercida sobre el eslabon i

Obtener el par ejercido sobre el eslabon i

Obtener la fuerza o par aplicado a la articulacin i