INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Culhuacán

Laboratorio De Acústica.

Practica 2.” Cuerdas”. 6EM3

Profesor. Santibáñez López Armando.

Equipo. La Rosa

Campos González José Carlos.

Estrella España Yazmin. Hidalgo Villalobos Jair Roberto.

Pérez Rivas Laura. Suarez Casas José Guadalupe.

Marzo 2011.

Objetivo Encontrar la frecuencia de resonancia a una tensión constante en una cuerda.

Introducción Teórica

El estudio de las cuerdas vibrantes tiene una larga historia. Naturalmente, la razón consiste en el empleo musical, desde tiempo inmemorial, de cuerdas tensas. Nos interesan aquí, sin embargo, no los efectos musicales sino el hecho mecánico básico de que una cuerda, con ambos extremos fijos, tienen un numero de estados de vibración natural bien definidos, Dichos estados se denominan vibraciones estacionarias, en el sentido de que cada punto de la cuerda vibra transversalmente con un movimiento

armónico simple de amplitud constante, cuya frecuencia de vibración es la misma para todas las partes de la cuerda. Dichas vibraciones estacionarias representan lo que se denominan modos normales de la cuerda. En todos ellos, excepto en el inferior, existen puntos en que los desplazamientos permanecen nulos en todo instante. Estos son los nodos; las posiciones de amplitud máxima se denominan antinodos Uno puede pensar así que estos estados básicos de vibración son estacionarios en el sentido adicional de que los nodos permanecen en puntos fijos sobre la cuerda. Esto se ve de modo especialmente claro en la figura 1 debido a que las fotografías se han tomado con exposición.

Los instrumentos musicales son, en esencia sistemas en los que se producen ondas elásticas estacionarias por métodos mecánicos o aerodinámicos. Estas ondas estacionarias, a su vez, actúan como fuente de ondas acústicas en que intervienen las mismas frecuencias, esencialmente con la misma proporción (espectro). Vibraciones de Una cuerda en diversos modosSimples (n=1, 2, 3, 5).

Ondas estacionarias:

Si se sostiene una cuerda en una mano, y se le da el movimiento indicado en la figura (1), a lo largo de la cuerda se propaga una onda. En este caso, como el extremo no está fijo, puede oscilar libremente.

En cambio, si se excita una cuerda que esté fija en sus dos extremos, se propaga por ella una onda que se refleja al llegar al extremo, volviendo sobre la cuerda en sentido opuesto al anterior. Se produce una interferencia y la cuerda toma la posición de la onda resultante.

De la interferencia de la onda reflejada con las ondas que van hacia el extremo, hay puntos de la cuerda que quedan sin vibrar, a ellos se los llama nodos y a los que vibran con máxima longitud se los llama vientres.

Para que la onda sea estacionaria, tiene que cumplir una condición muy importante: cuando la onda llegue al otro extremo, debe presentar un nodo, dado que la onda reflejada por segunda vez se suma a la primera resultante, reforzándola y manteniéndose los nodos y los vientres. En cambio, si la primera resultante no presenta nodo y como la onda reflejada tiende a producir un nodo, de esta manera se destruyen todos los nodos y vientres: es por eso que no se producen ondas estacionarias.

Ondas estacionarias en una cuerda sujeta por los extremos

Vamos a deducir la fórmula que da las frecuencias de los modos de vibración (el sonido) de una cuerda de longitud L fija por sus extremos.

Una onda estacionaria se puede considerar como la interferencia de dos ondas de la misma amplitud y longitud de onda: un incidente que se propaga de izquierda a derecha y la otra que resulta de reflejarse esta en el extremo y se propaga de derecha a izquierda.

y1=A sen (kx -w t) de izquierda a derecha

y2=A sen (kx +w t) de derecha a izquierda

La onda estacionaria resultante es la suma de las dos:

yresultante=y 1+ y2 =2 A sen(wt).

El extremo por el que está sujeta la cuerda no vibra nunca y la función suma en ese punto valdrá cero (durante todo el tiempo). Para que la función anterior sume cero la única justificación es que las amplitudes se inviertan en el punto de rebote de la onda (el punto fijo) y que una valga +A y la otra - A. Sumando las funciones y sabiendo que:

sen a - sen b=2 sen(a-b) /2 ·cos (a+b)/ 2

Hazlo para obtener:

yresultante=y 1+ y2=2A sen(kx) cos(w t).

Como vemos esta no es una onda de propagación, no tiene el término (kx-w t), sino que cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia angular w y con una amplitud 2A sen(kx).

La amplitud puede alcanzar distintos valores según la posición, x, del punto. Algunos puntos tendrán amplitud cero y no vibrarán nunca (estacionarios ): son los llamados nodos.

Los puntos que pueden alcanzar un máximo de amplitud igual a "2A" sólo pueden hacerlo de tiempo en tiempo cuando cos(w t) sea igual a 1.

Se denominan nodos a los puntos, x, que tienen una amplitud mínima, 2A sen(kx)=0, por lo que kx=np con n =1, 2, 3, ....(recuerda que k=2p/l), o bien, x = l/2, l, 3 /2, ... La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda, l/2.

Supongamos ahora una cuerda de longitud L fija en los extremos. La cuerda tiene un conjunto de modos normales de vibración, cada uno con una frecuencia característica. Las frecuencias se pueden calcular fácilmente.

En primer lugar, los extremos de la cuerda deben de ser nodos ya que estos puntos se encuentran fijos. El primer modo de vibración será aquél en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda L=l/2.

Para el segundo modo de vibración -un nodo en el centro-, la longitud de la cuerda será igual a una longitud de onda, L=l.

Para el tercer modo, L = 3l/2, y así sucesivamente.

Podemos proceder al revés y variar las longitudes de onda, manteniendo la longitud de la cuerda fija, para obtener diferentes modos de vibración.

Se producirán nodos para una cuerda de longitud "L" cuando la l de la onda tenga los valores dados por la fórmula:

l = 2L/n

Como la frecuencia y la longitud de onda están relacionadas con la velocidad de propagación, para hallar las frecuencias que puede tener la onda empleamos la relación l =vT , o bien l =v/u.

V = nn/2L

En una cuerda de longitud "L" obtenemos un sonido de frecuencia fundamental dada por la fórmula al sustituir "n" por 1. También se pueden obtener los armónicos de las frecuencias dadas por la fórmula anterior para n =1,2,3

La velocidad de propagación v de la onda está relacionada con la tensión que se aplique a la cuerda y con el tipo de cuerda. Ver velocidad de propagación de odas transversales

V = n. l

Una vez encontrada la frecuencia del primer modo de vibración (frecuencia fundamental o primer armónico), se pueden encontrar rápidamente los restantes armónicos: la frecuencia del segundo modo es el doble que la del modo fundamental, la frecuencia del tercer modo es triple, y así sucesivamente...

U 1 Modo fundamental.

U n =nu 1 Armónicos n=2, 3, 4....

4n

ncf

l

Desarrollo

Primera Sesión.

Material y Equipo. 1 Base con dos cuerdas (una gruesa y una delgada) 1 Tabla de diapasones 1 Estroboscopio 1 Fluxómetro

Desarrollo.

I. Tensar la cuerda con el dinamómetro máximo a 15 y 20 Nw.

II. Ajustar el tono del diapasón con la cuerda en el punto móvil (escuchándolo).

III. Corroborar el fenómeno con el estroboscopio.

IV. Calcular la frecuencia de resonancia de la cuerda mediante su ecuación.

V. Realizar una tabla de resultados.

Encontrar el número mayor de diapasón que coincida su fr con la cuerda.

Cuerda delgada

F=20 Nw M=0.857

ε=3.80310x

Frecuencia diapasón

Frecuencia de la cuerda

% del Error (<10%)

389 Hz 364.88 Hz 6.20 %

406.4 Hz 357.77 Hz 11.96 %

Para l=22 cm=.22m

3

1 20364.88

2 2(.22) 3.8 10r

n Ff Hz

l x

Para l=24cm=.24m

3

1 20364.88

2 2(.24) 3.487 10r

n Ff Hz

l x

Cuerda gruesa F=20 Nw

M=6.44 310x

Frecuencia diapasón

Frecuencia de la cuerda

Porcentaje del Error (<10%)

256 Hz 217.5 Hz 15.03 %

271.2 255 Hz 5.97 %

Para l=23cm=.23m

3

1 20217.5

2 2(.23) .028 10r

n Ff Hz

l x

Para l=17cm=.17m y F=18N

3

1 18255

2 2(.17) 3.78 10r

n Ff Hz

l x

Equipo montado

Realizando pruebas para corroborar frecuencia

Experimento Dos (demostrativo).

Material y equipo. 2 Transductores de reluctancia variable. 1 Amplificador. 1 GAF. 1 Estroboscopio. 1 Milivoltimetro. 1 Flexometro.

Desarrollo.

I. Se arma el siguiente diagrama con el equipo.

II. Compruebe los modos normales de vibración en la cuerda con los puntos de

análisis según la tabla que se muestra enseguida con la longitud “l”.

½ λ EXISTE 1/3 λ EXISTE ¼ λ EXISTE

Teórica Práctica Teórica Práctica Teórica Práctica

Frecuencia fundamental

12 Hz 12 Hz. X 26 Hz 26 Hz. X 24 Hz 25Hz. X

Segunda armónica

22 Hz - 57 Hz 52 Hz. X 48 Hz 50 Hz. X

Tercera armónica

36 Hz 32 Hz. X 78 Hz - 75 Hz - X

Cuarta armónica

48 Hz - 104 Hz - X 100 Hz -

Segundo experimento Para el segundo experimento se monto el equipo como se muestra en la siguiente figura Lo que se hizo en este experimento fue vibrar una cuerda con los dedos, la uña, un arco y un martillo, observando cuantas armónicas generaba en el osciloscopio. Los resultados a los que se logro llegar son los siguientes:

Con el dedo Con la uña Con el arco

Descripción

Con el dedo se nota una cantidad baja de armónicos,

podemos notar un fundamental bien definido y

unos armónicos muchos menores.

Con la uña notamos unos armónicos bastante

definidos que en amplitud son bastante parecidos a la

fundamental.

Con el arco la cantidad de armónicos es inmensa,

además de una amplitud mucho muy grande, por

momentos parecería caos, en este caso el tipo de onda pareciera un tipo sierra, clásico de frotar

una cuerda con un arco.

Grafico

Con el martillo

Lado de goma Lado de madera

Descripción Con el lado de goma. Se nota una cantidad baja, en realidad muy baja de armónicos. Además de una amplitud

minúscula.

Golpeando con madera, la amplitud es muy pequeña, pero la cantidad de

armónicos es bastante y su grafica es similar a un diente de sierra.

Grafico

Cuestionario

I. Diga cuales son las causas de error en una cuerda real.

El principal error es el error humano. Ya que se ajusta la cuerda solamente al

escucharla, el oído al no estar educado obtiene un tono que está muy alejado al

requerido, también se observa la cuerda con un estroboscopio, la apreciación al

ser visual no es exacta.

II. De acuerdo a las notas musicales que se mencionan enseguida, investigar a que

frecuencia pertenece.

Nota Do Do# Re Re# Mi Fa Fa# Sol Sol# La La# Si

Frecuencia

Hz

261 277 294 311 330 349 370 392 415 440 466 494

III. En que depende la impedancia mecánica de una cuerda.

Para señales armónicas con las que se puede trabajar fasorialmente, la impedancia mecánica es el cociente entre los fasores fuerza y velocidad:

Depende de la amplitud de la fuerza que se ejerza sobre la cuerda y su velocidad.

IV. ¿Qué diferencia existe en la forma de vibración de la cuerda cuando se aplica una

tensión mayor?

La velocidad de la cuerda es mayor a comparación de la velocidad de una cuerda

con menor tensión.

Conclusiones

Se comprobó experimentalmente q la forma de vibración de las cuerdas no solo depende de que grosor sean. Hay muchas cosas que determinan como se escucha, o que frecuencia tengan. Estas variables dependen de la fuerza de tensión que se aplique a la cuerda, el peso de cada cuerda, y que fracción de la cuerda total estemos haciendo vibrar. Existen diversas formas de saber la frecuencia de resonancia que está emitiendo cada cuerda. Una forma fue tensando las cuerdas entre 20N y 23N (constantes para cada experimento), elegir un diapasón, golpearlo en forma transversal con un pequeño martillito, escuchar el sonidito emitido por el diapasón y haciendo vibrar la cuerda a diferentes distancias o secciones de la cuerda encontrar un sonido que se asemejara al del diapasón y a si encontraríamos la frecuencia de resonancia. Por supuesto que esto es muy difícil, ya que no tenemos un oído tan educado o desarrollado para escuchar y compara de manera muy exacta, a si que se recurrió a la utilización de un estroboscopio, con el cual se hacía más fácil el experimento, se tenía que hacer todo tal cual lo habíamos hecho, con la única diferencia de que esta vez la comparación era visual, ya que se golpeaba al diapasón, la cuerda se hacía vibrar y al mismo tiempo se ponía el estroboscopio en frente. Este ultimo aparato no intervenía en lo absoluto a modificaciones en lo que se estaba buscando, solo era un instrumento de apoyo visual, ya que se observaba cuando la cuerda y el diapasón iban casi iguales en cuanto a las variaciones de amplitudes, esto gracias a un efecto físico y visual. En la segunda parte de experimento se comprobó que se puede hacer vibrar una cuerda sin necesidad de tocarla físicamente. Esta parte del experimento fue muy interesante, ya que gracias a un aparato que se pone muy cerca de ella que genera a través de una pequeña bobina u campo magnético, y variando la frecuencia atreves de un generador de frecuencias, se van a ir encontrando las frecuencias donde la cuerda puede vibrar y las frecuencias donde la cuerda no vibra o disminuye en forma radical su vibración. Como se noto en esta práctica hay diferentes formas de encontrar las frecuencias de vibraciones de una cuerda, para el caso de nuestro equipo creemos que la forma más adecuada de encontrar estas, es como lo demostró el ultimo experimento.

Bibliografía http://www.fceia.unr.edu.ar/acustica/audio/electroac.pdf

“Vibraciones y ondas “de A.P. French (Editorial Paraninfo. Madrid.

España.1982).370.

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/estacionarias/estacionarias.html