I E S CARDENAL CISNEROS -- DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS

PROGRAMACIN LINEAL

3.1) Dada la regin del plano definida por las inecuaciones: +

x y 10 x 30 y 2

a) Para qu valores (x, y) de dicha regin es mxima la funcin z = 5x + 2y? b) Para cuales mnima?

3.2) Minimizar la funcin F(x, y) = 3x + 4y sujeta a las restricciones: + + +

2x 3y 362x 2y 288x 2y 32

3.3) Dibujar la regin dada por:

x 0y 0x y 102y 3x

+

Maximizar la funcin F (x, y) = 4x + 3y 3.4) Minimizar la funcin objetivo F(x, y) = 4x + 5y, cuya regin factible es la interseccin del primer

cuadrante con las inecuaciones:

x y1

10 8x y

15 8x y

110 4

+ + +

3.5) Resolver grficamente el siguiente problema de programacin lineal: Funcin objetivo: 0,75 x + y.

Restricciones:

+ + +

x 3y 155x y 203x 4y 24x 0y 0

Es nica la solucin? 3.6) Representar grficamente el conjunto de puntos que satisfacen las siguientes inecuaciones:

+ +

x 2y 10x y 2x 8x 0y 0

Hallar el mximo y mnimo de F(x, y) = x 3y, sujeto a las restricciones representadas por las inecuaciones anteriores.

3.7) Un artesano fabrica collares y pulseras. Hacer un collar le lleva dos horas y hacer una pulsera una hora. El material de que dispone no le permite hacer ms de 50 piezas. Como mucho, el artesano puede dedicar al trabajo 80 horas. Por cada collar gana 10 euros y por cada pulsera 8 euros. Calcular el nmero de collares y pulseras que debe fabricar para obtener el beneficio mximo 3.8) Un centro dedicado a la enseanza de idiomas tiene dos cursos, uno bsico y otro avanzado, para los que dedica distintos recursos. Esta planificacin hace que se pueda atender entre 20 y 65 estudiantes del curso bsico y entre 20 y 40 estudiantes del curso avanzado. El nmero mximo de estudiantes que en total se puede atender es de 100. Los beneficios que se obtiene por cada estudiante en el curso bsico es de 145 euros y de 150 euros por cada estudiante del curso avanzado. Hallar que nmero de estudiantes de cada curso proporciona el benfico mximo. Cul es dicho beneficio? 3.9) Una fbrica de coches va a lanzar al mercado dos nuevos modelos (uno bsico y otro de lujo). El coste de fabricacin del modelo bsico es de 10 000 euros y el de lujo 15 000 euros, disponiendo para esta operacin de lanzamiento 600 000 euros. Para evitar riesgos se cree conveniente lanzar al menos tantos coches del modelo bsico como del modelo de lujo y, en todo caso, no fabricar ms de 45 coches del bsico. Cuntos coches de cada modelo hay que hacer si se quiere maximizar el nmero total de coches fabricados? 3.10) Una compaa area tiene dos aviones A y B para cubrir determinado trayecto. El avin A debe de hacer ms vuelos que el avin B, pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben de hacer ms de 60 vuelos, pero no ms de 200. En cada vuelo A consume 900 litros de combustible y B 700 litros. En cada viaje del avin A la empresa gana 30 000 euros y 20 000 euros por cada viaje de B. Cuntos viajes debe de hacer cada avin para obtener el mximo de ganancias? Cuntos vuelos debe de hacer cada avin para que el consumo de combustible sea mnimo? 3.11) En una empresa que se dedica a llevar pizzas a domicilio sus empleados tienen dos tipos de contrato: de media jornada (20 horas de trabajo semanales) y jornada completa (40 horas a la semana). A cada empleado con jornada completa le pagan 9 euros por hora, siendo de 6 euros el precio de la hora de un trabajador a media jornada. Por otra parte, la empresa necesita como mximo 1200 horas de trabajo semanal y, al menos, 25 empleados para poder satisfacer la demanda. Cuntos empleados de cada tipo deber contratar semanalmente con el fin de minimizar los salarios? 3.12) En un depsito se almacenan bidones de petrleo y de gasolina. Para poder atender a la demanda se han de tener almacenados un mnimo de 10 bidones de petrleo y 20 de gasolina. Siempre debe haber ms bidones de gasolina que de petrleo, siendo la capacidad del depsito de 200 bidones. Por cuestiones comerciales deben mantenerse en inventario al menos 60 bidones. El gasto de almacenaje de un bidn de petrleo es de 2 euros y el de uno de gasolina 3 euros. Se desea saber cuantos bidones de cada clase han de almacenarse para que el gasto de almacenamiento sea mnimo. Cul es dicho gasto? 3.13) Un ganadero quiere invertir un mximo de 48 000 euros en la compra de reses. La compra la realiza a una granja que tiene dos razas diferentes A y B y que le impone las condiciones de adquirir al menos 12 reses y, al menos, 4 reses ms de la B que de la A. Las reses de la raza A cuestan 3 000 euros, mientras que las de la raza B cuestan 2 000 euros. Si las de raza A producen el doble de leche que las de B, cuntas reses de cada raza debe adquirir para maximizar la produccin de leche? 3.14) Un tren de mercancas puede arrastrar, como mximo, 27 vagones. En un viaje debe de transportar coches y motocicletas. Para los coches debe dedicar un mnimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la mitad de los vagones dedicados a coches. Si los ingresos de la compaa ferroviaria son de 900 euros por cada vagn de coches y 600 euros por cada vagn de motos, cmo se deben de distribuir los vagones para obtener el mximo ingreso? 3.15) Disponemos de 21 millones para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las de tipo A que rinden al 10% y las de tipo B que rinden al 8%. Decidimos invertir un mximo de 13 millones del tipo A y un mnimo de 6 millones en las del tipo B. Adems queremos que la inversin en las de tipo A sea menor o igual que el doble de la inversin en B. Cul tiene que ser la distribucin de la inversin para obtener el mximo anual? 3.16) Una industria vincola produce vino y vinagre. El doble de la produccin de vino es siempre menor o igual que la produccin de vinagre ms cuatro unidades. Adems el triple de la produccin de vinagre ms cuatro veces la produccin de vino es siempre menor o igual a 18 unidades. Hallar el nmero de unidades de cada producto que se debe de producir para alcanzar un beneficio mximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio de 16 euros y cada unidad de vinagre 4 euros.

3.17) Una pea de aficionados al ftbol encarga a una empresa un viaje para sus 1200 socios para ver la final. La empresa dispone de autobuses de 50 plazas y microbuses de 30 plazas. El precio de cada autobs es de 252 euros y de cada microbs de 180 euros. Sabiendo que la empresa slo dispone de 28 conductores. Calcular qu numero de autobuses y microbuses deben contratarse para conseguir el mnimo coste posible. 3.18) Un fabricante de aviones produce en dos fbricas tres tipos de aparatos: el A, el B y el C. Se ha comprometido a entregar semanalmente a un emirato rabe 12 aviones del tipo A, 8 del tipo B y 24 del tipo C. Al fabricante le cuesta 20 000 euros diarios el funcionamiento de la primera fbrica y 16 000 el de la segunda. La primera fbrica produce, en un da, 6 aviones tipo A, 2 tipo B y 4 tipo C; mientras que la segunda produce, respectivamente 2, 2 y 12. Cuntos das por semana debe de trabajar para, cumpliendo el contrato con el emir, conseguir reducir al mximo los costos de funcionamiento de las fbricas? 3.19) En una fbrica se utilizan tres ingredientes: A, B y C para la elaboracin de alimento para ganado. Se dispone de 90 toneladas de A, 90 de B y 70 de C. Se desean fabricar dos tipos de pienso: M y N. Una tonelada del pienso M requiere 2 toneladas de A, 1 de B y 1 de C, mientras que una tonelada de N requiere 1 tonelada de A, 2 de B y 1 de C. Sabiendo que cada tonelada de M se vende a 12 euros y cada una de N a 10 euros, cuntas toneladas de cada pienso (M y N) deben de facturarse para obtener un beneficio mximo? 3.20) Un laboratorio utiliza las sustancias A y B en la elaboracin de dos vacunas. La primera se prepara con 2 unidades de A y 1 de B, siendo su precio 30 euros, y la segunda se elabora con 2 unidades de A y 3 de B, siendo su precio 40 euros. Sabiendo que dicho laboratorio dispone de un total de 400 unidades de A y 300 de B, cuntas vacunas de cada tipo deber preparar para obtener el mximo beneficio? 3.21) El veterinario ha recomendado que durante un mes mi perro tome diariamente, como mnimo, 4 unidades de hidrato de carbono, 23 de protenas y 6 de grasas. En el mercado hay dos productos M y N, ajustados a la siguiente tabla para cada envase:

Marca Hidratos de Carbono Protenas Grasas Precio M 4 6 1 10 N 1 10 6 16

Qu nmero de envases debo de comprar de cada producto para obtener la dieta necesaria por el mnimo precio? 3.22) Disponemos de 80 kilos de un producto A y 120 kilos de un producto B. Con ellos se preparan dos compuestos: el primero lleva una parta de A y tres de B, en el segundo la proporcin est al 50%. Los compuestos se venden en paquetes de 4 kilos al precio de 10 euros el paquete del primer compuesto y 12 euros el del segundo. Cuntos paquetes de cada compuesto se deben preparar para obtener el mayor valor de venta? 3.23) Una empresa qumica produce dos tipos de insecticida, A y B, siendo el coste de produccin 20 euros el bote A y 5 el bote B y se venden a 25 y 8 euros el bote respectivamente. Sabiendo que por razones tcnicas el nmero de botes producidos de A ha de ser como mnimo el cudruple de botes diarios de B y que la empresa dispone un total de 1.700 euros diarios de produccin, determinar el nmero de botes diarios de cada insecticida que se deber producir para obtener el beneficio mximo. 3.24) Una tienda especializada en artculos deportivos solicita dos tipos de prendas ligeras G y H. El fabricante dispone de 1,5 km de tejido natural y 1 km de tejido sinttico. Ambos tejidos se confeccionan con 4 m de tejido, pero cada G precisa un 50% de tejido natural, mientras que cada H utiliza un 75% de tejido natural. Si el precio de venta de G es de 100 euros y el de H es de 80 euros, qu nmero de prendas de cada tipo debe suministrar el fabricante a la tienda para conseguir que el importe de la venta sea mximo? 3.25) Un agricultor, para abonar una finca, necesita al menos 9 kg de nitrgeno y 15 kg de fsforo. En el mercado se vende un producto A que contiene un 20% de nitrgeno y un 40% de fsforo, y otro producto B que contiene un 30% de nitrgeno y un 30% de fsforo. El precio del producto A es de 4 /kg y el de B de 5 /kg. Qu cantidad ha de comprar el agricultor de cada producto para abonar la finca con el menor coste posible?