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ANMT

ALA0

3005

V2

Clase

Potencias y raiacuteces

POTENCIAS Y RAIacuteCES

Matemaacutetica 2ordm medio Profesor Luis Concha

Colegio Alonso de Ercilla de Valdivia

Aprendizajes esperados

bull Reconocer la definicioacuten de potencia de base entera y de exponente entero

bull Resolver potencias de base racional y exponente entero

bull Reconocer la definicioacuten de raiacutez como una potencia de base entera y exponente fraccionario

bull Aplicar las propiedades de la potenciacioacuten y radicacioacuten en la resolucioacuten de ejercicios

bull Componer y descomponer raiacuteces y potencias

bull Aprender teacutecnicas de racionalizacioacuten de denominadores que contengan raiacuteces

1 Potencias

2 Raiacuteces

Corresponde a una multiplicacioacuten reiterada de teacuterminos o nuacutemeros iguales El teacutermino o nuacutemero que se va multiplicando se llama base la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama exponente y el resultado se denomina potencia

Ejemplos

an = a middot a middot a middot a middot hellip a middot middot a

n veces

73 = 7 middot 7 middot 7 =

(ndash 6)2 = (ndash 6) middot (ndash 6) = 36

343

1 Potencias

1 Potencias

Por ejemplo ndash 32 ne (ndash 3)2 ya que

ndash 32 = ndash 3 middot 3 = ndash 9 y (ndash 3)2 = (ndash 3) middot (ndash 3) = 9

ndash xn NO siempre es igual a (ndash x)n

xy

n xn

y NO siempre es igual a

Por ejemplo ya que

y = 23

3= 2middot2middot2

3 83

23

3 = = 827

23

23

23

middot middot

= 23

3 23

3

Es fundamental identificar la base para resolver correctamente una potencia Los pareacutentesis nos ayudan a identificarla

11 Signos de una potencia

bull Potencias con exponente par

1 Potencias

Las potencias que tienen exponente par son siempre positivas sin importar el signo de la base

Ejemplos

(ndash 11) middot (ndash 11) = 1211) (ndash 11)2 =

2) ndash 3

5

4

=(ndash 3)

5bull

(ndash 3)

5bull(ndash 3)

5bull

(ndash 3)

5=

81

625

11 Signos de una potencia

bull Potencias con exponente impar

Las potencias que tienen exponente impar son positivas si su base es positiva y negativas si su base es negativa

Ejemplos

1 Potencias

1) (ndash 12)3 = (ndash 12) middot (ndash 12) middot (ndash 12) = ndash 1728

2) ndash 2

3

5

=(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3=

ndash 32

243

12 Operaciones entre potencias

bull Multiplicacioacuten de potencias

De igual base Se conserva la base y se suman los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

an + man middot am =

5x + 3x5x middot 53x = = 54x

bull Multiplicacioacuten de potencias

De igual exponente Se multiplican las bases y se conserva el exponente

Ejemplo

1 Potencias

(a middot b)nan middot bn =

85 middot 42 middot 22 = 85 middot (4 middot 2)2 = 85 middot 82 = 87

12 Operaciones entre potencias

bull Divisioacuten de potencias

De igual base Se conserva la base y se restan los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

an ndash man am =

923

96= = 917923 ndash 6

Esto se cumple para todo a distinto de 0

12 Operaciones entre potencias

bull Divisioacuten de potencias

De igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente

Ejemplo

1 Potencias

Esto se cumple para todo b distinto de 0

(a b)nan bn =

75

42

282 = 75 (28 4)2 = 75 72 = 73

12 Operaciones entre potencias

bull Potencia de potencia

Se multiplican los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

(an )m = am middot n

(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40

12 Operaciones entre potencias

12 Operaciones entre potencias

bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias

No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada

Ejemplo

1 Potencias

42 + 42 = 2 bull (22)2 =

Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias

2 bull 42 = 2 bull 24 = 25

13 Propiedades

bull Potencias de exponente cero

Ejemplo

1 Potencias

a0 = 1

Esto se cumple para todo a distinto de 0

1

00 indeterminado

=x

3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)

x

3 ndash 4y0

=

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base entera

1 andash n = a

n Esto se cumple para todo a distinto de 0

5ndash 2 middot 15

3

2

= middot (5)2 5

2 1 = 25

1 middot 25 = 1

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria

Esto se cumple para todo a y b distintos de 0

a

b

ndash n=

b

a

n

33=43 3

4

ndash 3

=3

4

3= 64

27

bull Potencias de base 10

1 Potencias

13 Propiedades

Con exponente positivo

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

104 = 10000

Ejemplos

54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106

4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =

Con exponente negativo

01

0010001

10 ndash 1 =

00001

10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =

Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado

Ejemplos

2 Raiacuteces

cxb = ya que cb = x

Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical

b ax =c

= 2 ya que 23 = 8 3 8

= 3 ya que 34 = 81 4 81

Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario

Ejemplos

2 Raiacuteces

x ba

= b ax

Esto se cumple para todo b distinto de 0

8 52

= 5 28 5 64=

= 3 24=3

2

41 minus

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

2

4 3 16=

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Multiplicacioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

nmiddot bn

= amiddotba n

Ejemplo

9middot3 =393 33 =middot 3=3 27

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias

Esto se cumple para todo n distinto de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Divisioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

n bn

= aba n

Ejemplo

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias

51224 =45124 2 = 256 = 44

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Raiacutez de una raiacutez

Ejemplo

a =m a n mmiddotn

Se multiplican los iacutendices

2 =5 4 25middot4 = 220

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

Aprendizajes esperados

bull Reconocer la definicioacuten de potencia de base entera y de exponente entero

bull Resolver potencias de base racional y exponente entero

bull Reconocer la definicioacuten de raiacutez como una potencia de base entera y exponente fraccionario

bull Aplicar las propiedades de la potenciacioacuten y radicacioacuten en la resolucioacuten de ejercicios

bull Componer y descomponer raiacuteces y potencias

bull Aprender teacutecnicas de racionalizacioacuten de denominadores que contengan raiacuteces

1 Potencias

2 Raiacuteces

Corresponde a una multiplicacioacuten reiterada de teacuterminos o nuacutemeros iguales El teacutermino o nuacutemero que se va multiplicando se llama base la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama exponente y el resultado se denomina potencia

Ejemplos

an = a middot a middot a middot a middot hellip a middot middot a

n veces

73 = 7 middot 7 middot 7 =

(ndash 6)2 = (ndash 6) middot (ndash 6) = 36

343

1 Potencias

1 Potencias

Por ejemplo ndash 32 ne (ndash 3)2 ya que

ndash 32 = ndash 3 middot 3 = ndash 9 y (ndash 3)2 = (ndash 3) middot (ndash 3) = 9

ndash xn NO siempre es igual a (ndash x)n

xy

n xn

y NO siempre es igual a

Por ejemplo ya que

y = 23

3= 2middot2middot2

3 83

23

3 = = 827

23

23

23

middot middot

= 23

3 23

3

Es fundamental identificar la base para resolver correctamente una potencia Los pareacutentesis nos ayudan a identificarla

11 Signos de una potencia

bull Potencias con exponente par

1 Potencias

Las potencias que tienen exponente par son siempre positivas sin importar el signo de la base

Ejemplos

(ndash 11) middot (ndash 11) = 1211) (ndash 11)2 =

2) ndash 3

5

4

=(ndash 3)

5bull

(ndash 3)

5bull(ndash 3)

5bull

(ndash 3)

5=

81

625

11 Signos de una potencia

bull Potencias con exponente impar

Las potencias que tienen exponente impar son positivas si su base es positiva y negativas si su base es negativa

Ejemplos

1 Potencias

1) (ndash 12)3 = (ndash 12) middot (ndash 12) middot (ndash 12) = ndash 1728

2) ndash 2

3

5

=(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3=

ndash 32

243

12 Operaciones entre potencias

bull Multiplicacioacuten de potencias

De igual base Se conserva la base y se suman los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

an + man middot am =

5x + 3x5x middot 53x = = 54x

bull Multiplicacioacuten de potencias

De igual exponente Se multiplican las bases y se conserva el exponente

Ejemplo

1 Potencias

(a middot b)nan middot bn =

85 middot 42 middot 22 = 85 middot (4 middot 2)2 = 85 middot 82 = 87

12 Operaciones entre potencias

bull Divisioacuten de potencias

De igual base Se conserva la base y se restan los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

an ndash man am =

923

96= = 917923 ndash 6

Esto se cumple para todo a distinto de 0

12 Operaciones entre potencias

bull Divisioacuten de potencias

De igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente

Ejemplo

1 Potencias

Esto se cumple para todo b distinto de 0

(a b)nan bn =

75

42

282 = 75 (28 4)2 = 75 72 = 73

12 Operaciones entre potencias

bull Potencia de potencia

Se multiplican los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

(an )m = am middot n

(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40

12 Operaciones entre potencias

12 Operaciones entre potencias

bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias

No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada

Ejemplo

1 Potencias

42 + 42 = 2 bull (22)2 =

Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias

2 bull 42 = 2 bull 24 = 25

13 Propiedades

bull Potencias de exponente cero

Ejemplo

1 Potencias

a0 = 1

Esto se cumple para todo a distinto de 0

1

00 indeterminado

=x

3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)

x

3 ndash 4y0

=

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base entera

1 andash n = a

n Esto se cumple para todo a distinto de 0

5ndash 2 middot 15

3

2

= middot (5)2 5

2 1 = 25

1 middot 25 = 1

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria

Esto se cumple para todo a y b distintos de 0

a

b

ndash n=

b

a

n

33=43 3

4

ndash 3

=3

4

3= 64

27

bull Potencias de base 10

1 Potencias

13 Propiedades

Con exponente positivo

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

104 = 10000

Ejemplos

54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106

4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =

Con exponente negativo

01

0010001

10 ndash 1 =

00001

10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =

Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado

Ejemplos

2 Raiacuteces

cxb = ya que cb = x

Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical

b ax =c

= 2 ya que 23 = 8 3 8

= 3 ya que 34 = 81 4 81

Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario

Ejemplos

2 Raiacuteces

x ba

= b ax

Esto se cumple para todo b distinto de 0

8 52

= 5 28 5 64=

= 3 24=3

2

41 minus

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

2

4 3 16=

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Multiplicacioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

nmiddot bn

= amiddotba n

Ejemplo

9middot3 =393 33 =middot 3=3 27

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias

Esto se cumple para todo n distinto de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Divisioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

n bn

= aba n

Ejemplo

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias

51224 =45124 2 = 256 = 44

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Raiacutez de una raiacutez

Ejemplo

a =m a n mmiddotn

Se multiplican los iacutendices

2 =5 4 25middot4 = 220

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

1 Potencias

2 Raiacuteces

Corresponde a una multiplicacioacuten reiterada de teacuterminos o nuacutemeros iguales El teacutermino o nuacutemero que se va multiplicando se llama base la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama exponente y el resultado se denomina potencia

Ejemplos

an = a middot a middot a middot a middot hellip a middot middot a

n veces

73 = 7 middot 7 middot 7 =

(ndash 6)2 = (ndash 6) middot (ndash 6) = 36

343

1 Potencias

1 Potencias

Por ejemplo ndash 32 ne (ndash 3)2 ya que

ndash 32 = ndash 3 middot 3 = ndash 9 y (ndash 3)2 = (ndash 3) middot (ndash 3) = 9

ndash xn NO siempre es igual a (ndash x)n

xy

n xn

y NO siempre es igual a

Por ejemplo ya que

y = 23

3= 2middot2middot2

3 83

23

3 = = 827

23

23

23

middot middot

= 23

3 23

3

Es fundamental identificar la base para resolver correctamente una potencia Los pareacutentesis nos ayudan a identificarla

11 Signos de una potencia

bull Potencias con exponente par

1 Potencias

Las potencias que tienen exponente par son siempre positivas sin importar el signo de la base

Ejemplos

(ndash 11) middot (ndash 11) = 1211) (ndash 11)2 =

2) ndash 3

5

4

=(ndash 3)

5bull

(ndash 3)

5bull(ndash 3)

5bull

(ndash 3)

5=

81

625

11 Signos de una potencia

bull Potencias con exponente impar

Las potencias que tienen exponente impar son positivas si su base es positiva y negativas si su base es negativa

Ejemplos

1 Potencias

1) (ndash 12)3 = (ndash 12) middot (ndash 12) middot (ndash 12) = ndash 1728

2) ndash 2

3

5

=(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3=

ndash 32

243

12 Operaciones entre potencias

bull Multiplicacioacuten de potencias

De igual base Se conserva la base y se suman los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

an + man middot am =

5x + 3x5x middot 53x = = 54x

bull Multiplicacioacuten de potencias

De igual exponente Se multiplican las bases y se conserva el exponente

Ejemplo

1 Potencias

(a middot b)nan middot bn =

85 middot 42 middot 22 = 85 middot (4 middot 2)2 = 85 middot 82 = 87

12 Operaciones entre potencias

bull Divisioacuten de potencias

De igual base Se conserva la base y se restan los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

an ndash man am =

923

96= = 917923 ndash 6

Esto se cumple para todo a distinto de 0

12 Operaciones entre potencias

bull Divisioacuten de potencias

De igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente

Ejemplo

1 Potencias

Esto se cumple para todo b distinto de 0

(a b)nan bn =

75

42

282 = 75 (28 4)2 = 75 72 = 73

12 Operaciones entre potencias

bull Potencia de potencia

Se multiplican los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

(an )m = am middot n

(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40

12 Operaciones entre potencias

12 Operaciones entre potencias

bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias

No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada

Ejemplo

1 Potencias

42 + 42 = 2 bull (22)2 =

Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias

2 bull 42 = 2 bull 24 = 25

13 Propiedades

bull Potencias de exponente cero

Ejemplo

1 Potencias

a0 = 1

Esto se cumple para todo a distinto de 0

1

00 indeterminado

=x

3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)

x

3 ndash 4y0

=

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base entera

1 andash n = a

n Esto se cumple para todo a distinto de 0

5ndash 2 middot 15

3

2

= middot (5)2 5

2 1 = 25

1 middot 25 = 1

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria

Esto se cumple para todo a y b distintos de 0

a

b

ndash n=

b

a

n

33=43 3

4

ndash 3

=3

4

3= 64

27

bull Potencias de base 10

1 Potencias

13 Propiedades

Con exponente positivo

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

104 = 10000

Ejemplos

54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106

4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =

Con exponente negativo

01

0010001

10 ndash 1 =

00001

10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =

Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado

Ejemplos

2 Raiacuteces

cxb = ya que cb = x

Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical

b ax =c

= 2 ya que 23 = 8 3 8

= 3 ya que 34 = 81 4 81

Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario

Ejemplos

2 Raiacuteces

x ba

= b ax

Esto se cumple para todo b distinto de 0

8 52

= 5 28 5 64=

= 3 24=3

2

41 minus

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

2

4 3 16=

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Multiplicacioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

nmiddot bn

= amiddotba n

Ejemplo

9middot3 =393 33 =middot 3=3 27

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias

Esto se cumple para todo n distinto de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Divisioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

n bn

= aba n

Ejemplo

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias

51224 =45124 2 = 256 = 44

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Raiacutez de una raiacutez

Ejemplo

a =m a n mmiddotn

Se multiplican los iacutendices

2 =5 4 25middot4 = 220

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

Corresponde a una multiplicacioacuten reiterada de teacuterminos o nuacutemeros iguales El teacutermino o nuacutemero que se va multiplicando se llama base la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama exponente y el resultado se denomina potencia

Ejemplos

an = a middot a middot a middot a middot hellip a middot middot a

n veces

73 = 7 middot 7 middot 7 =

(ndash 6)2 = (ndash 6) middot (ndash 6) = 36

343

1 Potencias

1 Potencias

Por ejemplo ndash 32 ne (ndash 3)2 ya que

ndash 32 = ndash 3 middot 3 = ndash 9 y (ndash 3)2 = (ndash 3) middot (ndash 3) = 9

ndash xn NO siempre es igual a (ndash x)n

xy

n xn

y NO siempre es igual a

Por ejemplo ya que

y = 23

3= 2middot2middot2

3 83

23

3 = = 827

23

23

23

middot middot

= 23

3 23

3

Es fundamental identificar la base para resolver correctamente una potencia Los pareacutentesis nos ayudan a identificarla

11 Signos de una potencia

bull Potencias con exponente par

1 Potencias

Las potencias que tienen exponente par son siempre positivas sin importar el signo de la base

Ejemplos

(ndash 11) middot (ndash 11) = 1211) (ndash 11)2 =

2) ndash 3

5

4

=(ndash 3)

5bull

(ndash 3)

5bull(ndash 3)

5bull

(ndash 3)

5=

81

625

11 Signos de una potencia

bull Potencias con exponente impar

Las potencias que tienen exponente impar son positivas si su base es positiva y negativas si su base es negativa

Ejemplos

1 Potencias

1) (ndash 12)3 = (ndash 12) middot (ndash 12) middot (ndash 12) = ndash 1728

2) ndash 2

3

5

=(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3=

ndash 32

243

12 Operaciones entre potencias

bull Multiplicacioacuten de potencias

De igual base Se conserva la base y se suman los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

an + man middot am =

5x + 3x5x middot 53x = = 54x

bull Multiplicacioacuten de potencias

De igual exponente Se multiplican las bases y se conserva el exponente

Ejemplo

1 Potencias

(a middot b)nan middot bn =

85 middot 42 middot 22 = 85 middot (4 middot 2)2 = 85 middot 82 = 87

12 Operaciones entre potencias

bull Divisioacuten de potencias

De igual base Se conserva la base y se restan los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

an ndash man am =

923

96= = 917923 ndash 6

Esto se cumple para todo a distinto de 0

12 Operaciones entre potencias

bull Divisioacuten de potencias

De igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente

Ejemplo

1 Potencias

Esto se cumple para todo b distinto de 0

(a b)nan bn =

75

42

282 = 75 (28 4)2 = 75 72 = 73

12 Operaciones entre potencias

bull Potencia de potencia

Se multiplican los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

(an )m = am middot n

(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40

12 Operaciones entre potencias

12 Operaciones entre potencias

bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias

No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada

Ejemplo

1 Potencias

42 + 42 = 2 bull (22)2 =

Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias

2 bull 42 = 2 bull 24 = 25

13 Propiedades

bull Potencias de exponente cero

Ejemplo

1 Potencias

a0 = 1

Esto se cumple para todo a distinto de 0

1

00 indeterminado

=x

3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)

x

3 ndash 4y0

=

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base entera

1 andash n = a

n Esto se cumple para todo a distinto de 0

5ndash 2 middot 15

3

2

= middot (5)2 5

2 1 = 25

1 middot 25 = 1

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria

Esto se cumple para todo a y b distintos de 0

a

b

ndash n=

b

a

n

33=43 3

4

ndash 3

=3

4

3= 64

27

bull Potencias de base 10

1 Potencias

13 Propiedades

Con exponente positivo

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

104 = 10000

Ejemplos

54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106

4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =

Con exponente negativo

01

0010001

10 ndash 1 =

00001

10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =

Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado

Ejemplos

2 Raiacuteces

cxb = ya que cb = x

Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical

b ax =c

= 2 ya que 23 = 8 3 8

= 3 ya que 34 = 81 4 81

Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario

Ejemplos

2 Raiacuteces

x ba

= b ax

Esto se cumple para todo b distinto de 0

8 52

= 5 28 5 64=

= 3 24=3

2

41 minus

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

2

4 3 16=

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Multiplicacioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

nmiddot bn

= amiddotba n

Ejemplo

9middot3 =393 33 =middot 3=3 27

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias

Esto se cumple para todo n distinto de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Divisioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

n bn

= aba n

Ejemplo

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias

51224 =45124 2 = 256 = 44

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Raiacutez de una raiacutez

Ejemplo

a =m a n mmiddotn

Se multiplican los iacutendices

2 =5 4 25middot4 = 220

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

1 Potencias

Por ejemplo ndash 32 ne (ndash 3)2 ya que

ndash 32 = ndash 3 middot 3 = ndash 9 y (ndash 3)2 = (ndash 3) middot (ndash 3) = 9

ndash xn NO siempre es igual a (ndash x)n

xy

n xn

y NO siempre es igual a

Por ejemplo ya que

y = 23

3= 2middot2middot2

3 83

23

3 = = 827

23

23

23

middot middot

= 23

3 23

3

Es fundamental identificar la base para resolver correctamente una potencia Los pareacutentesis nos ayudan a identificarla

11 Signos de una potencia

bull Potencias con exponente par

1 Potencias

Las potencias que tienen exponente par son siempre positivas sin importar el signo de la base

Ejemplos

(ndash 11) middot (ndash 11) = 1211) (ndash 11)2 =

2) ndash 3

5

4

=(ndash 3)

5bull

(ndash 3)

5bull(ndash 3)

5bull

(ndash 3)

5=

81

625

11 Signos de una potencia

bull Potencias con exponente impar

Las potencias que tienen exponente impar son positivas si su base es positiva y negativas si su base es negativa

Ejemplos

1 Potencias

1) (ndash 12)3 = (ndash 12) middot (ndash 12) middot (ndash 12) = ndash 1728

2) ndash 2

3

5

=(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3=

ndash 32

243

12 Operaciones entre potencias

bull Multiplicacioacuten de potencias

De igual base Se conserva la base y se suman los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

an + man middot am =

5x + 3x5x middot 53x = = 54x

bull Multiplicacioacuten de potencias

De igual exponente Se multiplican las bases y se conserva el exponente

Ejemplo

1 Potencias

(a middot b)nan middot bn =

85 middot 42 middot 22 = 85 middot (4 middot 2)2 = 85 middot 82 = 87

12 Operaciones entre potencias

bull Divisioacuten de potencias

De igual base Se conserva la base y se restan los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

an ndash man am =

923

96= = 917923 ndash 6

Esto se cumple para todo a distinto de 0

12 Operaciones entre potencias

bull Divisioacuten de potencias

De igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente

Ejemplo

1 Potencias

Esto se cumple para todo b distinto de 0

(a b)nan bn =

75

42

282 = 75 (28 4)2 = 75 72 = 73

12 Operaciones entre potencias

bull Potencia de potencia

Se multiplican los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

(an )m = am middot n

(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40

12 Operaciones entre potencias

12 Operaciones entre potencias

bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias

No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada

Ejemplo

1 Potencias

42 + 42 = 2 bull (22)2 =

Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias

2 bull 42 = 2 bull 24 = 25

13 Propiedades

bull Potencias de exponente cero

Ejemplo

1 Potencias

a0 = 1

Esto se cumple para todo a distinto de 0

1

00 indeterminado

=x

3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)

x

3 ndash 4y0

=

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base entera

1 andash n = a

n Esto se cumple para todo a distinto de 0

5ndash 2 middot 15

3

2

= middot (5)2 5

2 1 = 25

1 middot 25 = 1

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria

Esto se cumple para todo a y b distintos de 0

a

b

ndash n=

b

a

n

33=43 3

4

ndash 3

=3

4

3= 64

27

bull Potencias de base 10

1 Potencias

13 Propiedades

Con exponente positivo

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

104 = 10000

Ejemplos

54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106

4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =

Con exponente negativo

01

0010001

10 ndash 1 =

00001

10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =

Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado

Ejemplos

2 Raiacuteces

cxb = ya que cb = x

Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical

b ax =c

= 2 ya que 23 = 8 3 8

= 3 ya que 34 = 81 4 81

Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario

Ejemplos

2 Raiacuteces

x ba

= b ax

Esto se cumple para todo b distinto de 0

8 52

= 5 28 5 64=

= 3 24=3

2

41 minus

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

2

4 3 16=

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Multiplicacioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

nmiddot bn

= amiddotba n

Ejemplo

9middot3 =393 33 =middot 3=3 27

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias

Esto se cumple para todo n distinto de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Divisioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

n bn

= aba n

Ejemplo

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias

51224 =45124 2 = 256 = 44

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Raiacutez de una raiacutez

Ejemplo

a =m a n mmiddotn

Se multiplican los iacutendices

2 =5 4 25middot4 = 220

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

11 Signos de una potencia

bull Potencias con exponente par

1 Potencias

Las potencias que tienen exponente par son siempre positivas sin importar el signo de la base

Ejemplos

(ndash 11) middot (ndash 11) = 1211) (ndash 11)2 =

2) ndash 3

5

4

=(ndash 3)

5bull

(ndash 3)

5bull(ndash 3)

5bull

(ndash 3)

5=

81

625

11 Signos de una potencia

bull Potencias con exponente impar

Las potencias que tienen exponente impar son positivas si su base es positiva y negativas si su base es negativa

Ejemplos

1 Potencias

1) (ndash 12)3 = (ndash 12) middot (ndash 12) middot (ndash 12) = ndash 1728

2) ndash 2

3

5

=(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3=

ndash 32

243

12 Operaciones entre potencias

bull Multiplicacioacuten de potencias

De igual base Se conserva la base y se suman los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

an + man middot am =

5x + 3x5x middot 53x = = 54x

bull Multiplicacioacuten de potencias

De igual exponente Se multiplican las bases y se conserva el exponente

Ejemplo

1 Potencias

(a middot b)nan middot bn =

85 middot 42 middot 22 = 85 middot (4 middot 2)2 = 85 middot 82 = 87

12 Operaciones entre potencias

bull Divisioacuten de potencias

De igual base Se conserva la base y se restan los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

an ndash man am =

923

96= = 917923 ndash 6

Esto se cumple para todo a distinto de 0

12 Operaciones entre potencias

bull Divisioacuten de potencias

De igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente

Ejemplo

1 Potencias

Esto se cumple para todo b distinto de 0

(a b)nan bn =

75

42

282 = 75 (28 4)2 = 75 72 = 73

12 Operaciones entre potencias

bull Potencia de potencia

Se multiplican los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

(an )m = am middot n

(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40

12 Operaciones entre potencias

12 Operaciones entre potencias

bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias

No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada

Ejemplo

1 Potencias

42 + 42 = 2 bull (22)2 =

Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias

2 bull 42 = 2 bull 24 = 25

13 Propiedades

bull Potencias de exponente cero

Ejemplo

1 Potencias

a0 = 1

Esto se cumple para todo a distinto de 0

1

00 indeterminado

=x

3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)

x

3 ndash 4y0

=

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base entera

1 andash n = a

n Esto se cumple para todo a distinto de 0

5ndash 2 middot 15

3

2

= middot (5)2 5

2 1 = 25

1 middot 25 = 1

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria

Esto se cumple para todo a y b distintos de 0

a

b

ndash n=

b

a

n

33=43 3

4

ndash 3

=3

4

3= 64

27

bull Potencias de base 10

1 Potencias

13 Propiedades

Con exponente positivo

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

104 = 10000

Ejemplos

54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106

4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =

Con exponente negativo

01

0010001

10 ndash 1 =

00001

10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =

Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado

Ejemplos

2 Raiacuteces

cxb = ya que cb = x

Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical

b ax =c

= 2 ya que 23 = 8 3 8

= 3 ya que 34 = 81 4 81

Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario

Ejemplos

2 Raiacuteces

x ba

= b ax

Esto se cumple para todo b distinto de 0

8 52

= 5 28 5 64=

= 3 24=3

2

41 minus

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

2

4 3 16=

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Multiplicacioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

nmiddot bn

= amiddotba n

Ejemplo

9middot3 =393 33 =middot 3=3 27

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias

Esto se cumple para todo n distinto de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Divisioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

n bn

= aba n

Ejemplo

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias

51224 =45124 2 = 256 = 44

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Raiacutez de una raiacutez

Ejemplo

a =m a n mmiddotn

Se multiplican los iacutendices

2 =5 4 25middot4 = 220

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

11 Signos de una potencia

bull Potencias con exponente impar

Las potencias que tienen exponente impar son positivas si su base es positiva y negativas si su base es negativa

Ejemplos

1 Potencias

1) (ndash 12)3 = (ndash 12) middot (ndash 12) middot (ndash 12) = ndash 1728

2) ndash 2

3

5

=(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3bull

(ndash 2)

3=

ndash 32

243

12 Operaciones entre potencias

bull Multiplicacioacuten de potencias

De igual base Se conserva la base y se suman los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

an + man middot am =

5x + 3x5x middot 53x = = 54x

bull Multiplicacioacuten de potencias

De igual exponente Se multiplican las bases y se conserva el exponente

Ejemplo

1 Potencias

(a middot b)nan middot bn =

85 middot 42 middot 22 = 85 middot (4 middot 2)2 = 85 middot 82 = 87

12 Operaciones entre potencias

bull Divisioacuten de potencias

De igual base Se conserva la base y se restan los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

an ndash man am =

923

96= = 917923 ndash 6

Esto se cumple para todo a distinto de 0

12 Operaciones entre potencias

bull Divisioacuten de potencias

De igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente

Ejemplo

1 Potencias

Esto se cumple para todo b distinto de 0

(a b)nan bn =

75

42

282 = 75 (28 4)2 = 75 72 = 73

12 Operaciones entre potencias

bull Potencia de potencia

Se multiplican los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

(an )m = am middot n

(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40

12 Operaciones entre potencias

12 Operaciones entre potencias

bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias

No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada

Ejemplo

1 Potencias

42 + 42 = 2 bull (22)2 =

Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias

2 bull 42 = 2 bull 24 = 25

13 Propiedades

bull Potencias de exponente cero

Ejemplo

1 Potencias

a0 = 1

Esto se cumple para todo a distinto de 0

1

00 indeterminado

=x

3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)

x

3 ndash 4y0

=

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base entera

1 andash n = a

n Esto se cumple para todo a distinto de 0

5ndash 2 middot 15

3

2

= middot (5)2 5

2 1 = 25

1 middot 25 = 1

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria

Esto se cumple para todo a y b distintos de 0

a

b

ndash n=

b

a

n

33=43 3

4

ndash 3

=3

4

3= 64

27

bull Potencias de base 10

1 Potencias

13 Propiedades

Con exponente positivo

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

104 = 10000

Ejemplos

54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106

4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =

Con exponente negativo

01

0010001

10 ndash 1 =

00001

10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =

Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado

Ejemplos

2 Raiacuteces

cxb = ya que cb = x

Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical

b ax =c

= 2 ya que 23 = 8 3 8

= 3 ya que 34 = 81 4 81

Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario

Ejemplos

2 Raiacuteces

x ba

= b ax

Esto se cumple para todo b distinto de 0

8 52

= 5 28 5 64=

= 3 24=3

2

41 minus

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

2

4 3 16=

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Multiplicacioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

nmiddot bn

= amiddotba n

Ejemplo

9middot3 =393 33 =middot 3=3 27

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias

Esto se cumple para todo n distinto de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Divisioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

n bn

= aba n

Ejemplo

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias

51224 =45124 2 = 256 = 44

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Raiacutez de una raiacutez

Ejemplo

a =m a n mmiddotn

Se multiplican los iacutendices

2 =5 4 25middot4 = 220

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

12 Operaciones entre potencias

bull Multiplicacioacuten de potencias

De igual base Se conserva la base y se suman los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

an + man middot am =

5x + 3x5x middot 53x = = 54x

bull Multiplicacioacuten de potencias

De igual exponente Se multiplican las bases y se conserva el exponente

Ejemplo

1 Potencias

(a middot b)nan middot bn =

85 middot 42 middot 22 = 85 middot (4 middot 2)2 = 85 middot 82 = 87

12 Operaciones entre potencias

bull Divisioacuten de potencias

De igual base Se conserva la base y se restan los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

an ndash man am =

923

96= = 917923 ndash 6

Esto se cumple para todo a distinto de 0

12 Operaciones entre potencias

bull Divisioacuten de potencias

De igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente

Ejemplo

1 Potencias

Esto se cumple para todo b distinto de 0

(a b)nan bn =

75

42

282 = 75 (28 4)2 = 75 72 = 73

12 Operaciones entre potencias

bull Potencia de potencia

Se multiplican los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

(an )m = am middot n

(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40

12 Operaciones entre potencias

12 Operaciones entre potencias

bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias

No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada

Ejemplo

1 Potencias

42 + 42 = 2 bull (22)2 =

Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias

2 bull 42 = 2 bull 24 = 25

13 Propiedades

bull Potencias de exponente cero

Ejemplo

1 Potencias

a0 = 1

Esto se cumple para todo a distinto de 0

1

00 indeterminado

=x

3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)

x

3 ndash 4y0

=

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base entera

1 andash n = a

n Esto se cumple para todo a distinto de 0

5ndash 2 middot 15

3

2

= middot (5)2 5

2 1 = 25

1 middot 25 = 1

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria

Esto se cumple para todo a y b distintos de 0

a

b

ndash n=

b

a

n

33=43 3

4

ndash 3

=3

4

3= 64

27

bull Potencias de base 10

1 Potencias

13 Propiedades

Con exponente positivo

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

104 = 10000

Ejemplos

54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106

4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =

Con exponente negativo

01

0010001

10 ndash 1 =

00001

10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =

Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado

Ejemplos

2 Raiacuteces

cxb = ya que cb = x

Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical

b ax =c

= 2 ya que 23 = 8 3 8

= 3 ya que 34 = 81 4 81

Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario

Ejemplos

2 Raiacuteces

x ba

= b ax

Esto se cumple para todo b distinto de 0

8 52

= 5 28 5 64=

= 3 24=3

2

41 minus

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

2

4 3 16=

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Multiplicacioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

nmiddot bn

= amiddotba n

Ejemplo

9middot3 =393 33 =middot 3=3 27

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias

Esto se cumple para todo n distinto de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Divisioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

n bn

= aba n

Ejemplo

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias

51224 =45124 2 = 256 = 44

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Raiacutez de una raiacutez

Ejemplo

a =m a n mmiddotn

Se multiplican los iacutendices

2 =5 4 25middot4 = 220

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

bull Multiplicacioacuten de potencias

De igual exponente Se multiplican las bases y se conserva el exponente

Ejemplo

1 Potencias

(a middot b)nan middot bn =

85 middot 42 middot 22 = 85 middot (4 middot 2)2 = 85 middot 82 = 87

12 Operaciones entre potencias

bull Divisioacuten de potencias

De igual base Se conserva la base y se restan los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

an ndash man am =

923

96= = 917923 ndash 6

Esto se cumple para todo a distinto de 0

12 Operaciones entre potencias

bull Divisioacuten de potencias

De igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente

Ejemplo

1 Potencias

Esto se cumple para todo b distinto de 0

(a b)nan bn =

75

42

282 = 75 (28 4)2 = 75 72 = 73

12 Operaciones entre potencias

bull Potencia de potencia

Se multiplican los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

(an )m = am middot n

(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40

12 Operaciones entre potencias

12 Operaciones entre potencias

bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias

No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada

Ejemplo

1 Potencias

42 + 42 = 2 bull (22)2 =

Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias

2 bull 42 = 2 bull 24 = 25

13 Propiedades

bull Potencias de exponente cero

Ejemplo

1 Potencias

a0 = 1

Esto se cumple para todo a distinto de 0

1

00 indeterminado

=x

3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)

x

3 ndash 4y0

=

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base entera

1 andash n = a

n Esto se cumple para todo a distinto de 0

5ndash 2 middot 15

3

2

= middot (5)2 5

2 1 = 25

1 middot 25 = 1

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria

Esto se cumple para todo a y b distintos de 0

a

b

ndash n=

b

a

n

33=43 3

4

ndash 3

=3

4

3= 64

27

bull Potencias de base 10

1 Potencias

13 Propiedades

Con exponente positivo

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

104 = 10000

Ejemplos

54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106

4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =

Con exponente negativo

01

0010001

10 ndash 1 =

00001

10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =

Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado

Ejemplos

2 Raiacuteces

cxb = ya que cb = x

Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical

b ax =c

= 2 ya que 23 = 8 3 8

= 3 ya que 34 = 81 4 81

Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario

Ejemplos

2 Raiacuteces

x ba

= b ax

Esto se cumple para todo b distinto de 0

8 52

= 5 28 5 64=

= 3 24=3

2

41 minus

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

2

4 3 16=

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Multiplicacioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

nmiddot bn

= amiddotba n

Ejemplo

9middot3 =393 33 =middot 3=3 27

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias

Esto se cumple para todo n distinto de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Divisioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

n bn

= aba n

Ejemplo

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias

51224 =45124 2 = 256 = 44

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Raiacutez de una raiacutez

Ejemplo

a =m a n mmiddotn

Se multiplican los iacutendices

2 =5 4 25middot4 = 220

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

bull Divisioacuten de potencias

De igual base Se conserva la base y se restan los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

an ndash man am =

923

96= = 917923 ndash 6

Esto se cumple para todo a distinto de 0

12 Operaciones entre potencias

bull Divisioacuten de potencias

De igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente

Ejemplo

1 Potencias

Esto se cumple para todo b distinto de 0

(a b)nan bn =

75

42

282 = 75 (28 4)2 = 75 72 = 73

12 Operaciones entre potencias

bull Potencia de potencia

Se multiplican los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

(an )m = am middot n

(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40

12 Operaciones entre potencias

12 Operaciones entre potencias

bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias

No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada

Ejemplo

1 Potencias

42 + 42 = 2 bull (22)2 =

Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias

2 bull 42 = 2 bull 24 = 25

13 Propiedades

bull Potencias de exponente cero

Ejemplo

1 Potencias

a0 = 1

Esto se cumple para todo a distinto de 0

1

00 indeterminado

=x

3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)

x

3 ndash 4y0

=

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base entera

1 andash n = a

n Esto se cumple para todo a distinto de 0

5ndash 2 middot 15

3

2

= middot (5)2 5

2 1 = 25

1 middot 25 = 1

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria

Esto se cumple para todo a y b distintos de 0

a

b

ndash n=

b

a

n

33=43 3

4

ndash 3

=3

4

3= 64

27

bull Potencias de base 10

1 Potencias

13 Propiedades

Con exponente positivo

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

104 = 10000

Ejemplos

54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106

4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =

Con exponente negativo

01

0010001

10 ndash 1 =

00001

10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =

Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado

Ejemplos

2 Raiacuteces

cxb = ya que cb = x

Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical

b ax =c

= 2 ya que 23 = 8 3 8

= 3 ya que 34 = 81 4 81

Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario

Ejemplos

2 Raiacuteces

x ba

= b ax

Esto se cumple para todo b distinto de 0

8 52

= 5 28 5 64=

= 3 24=3

2

41 minus

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

2

4 3 16=

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Multiplicacioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

nmiddot bn

= amiddotba n

Ejemplo

9middot3 =393 33 =middot 3=3 27

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias

Esto se cumple para todo n distinto de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Divisioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

n bn

= aba n

Ejemplo

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias

51224 =45124 2 = 256 = 44

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Raiacutez de una raiacutez

Ejemplo

a =m a n mmiddotn

Se multiplican los iacutendices

2 =5 4 25middot4 = 220

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

bull Divisioacuten de potencias

De igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente

Ejemplo

1 Potencias

Esto se cumple para todo b distinto de 0

(a b)nan bn =

75

42

282 = 75 (28 4)2 = 75 72 = 73

12 Operaciones entre potencias

bull Potencia de potencia

Se multiplican los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

(an )m = am middot n

(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40

12 Operaciones entre potencias

12 Operaciones entre potencias

bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias

No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada

Ejemplo

1 Potencias

42 + 42 = 2 bull (22)2 =

Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias

2 bull 42 = 2 bull 24 = 25

13 Propiedades

bull Potencias de exponente cero

Ejemplo

1 Potencias

a0 = 1

Esto se cumple para todo a distinto de 0

1

00 indeterminado

=x

3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)

x

3 ndash 4y0

=

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base entera

1 andash n = a

n Esto se cumple para todo a distinto de 0

5ndash 2 middot 15

3

2

= middot (5)2 5

2 1 = 25

1 middot 25 = 1

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria

Esto se cumple para todo a y b distintos de 0

a

b

ndash n=

b

a

n

33=43 3

4

ndash 3

=3

4

3= 64

27

bull Potencias de base 10

1 Potencias

13 Propiedades

Con exponente positivo

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

104 = 10000

Ejemplos

54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106

4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =

Con exponente negativo

01

0010001

10 ndash 1 =

00001

10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =

Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado

Ejemplos

2 Raiacuteces

cxb = ya que cb = x

Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical

b ax =c

= 2 ya que 23 = 8 3 8

= 3 ya que 34 = 81 4 81

Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario

Ejemplos

2 Raiacuteces

x ba

= b ax

Esto se cumple para todo b distinto de 0

8 52

= 5 28 5 64=

= 3 24=3

2

41 minus

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

2

4 3 16=

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Multiplicacioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

nmiddot bn

= amiddotba n

Ejemplo

9middot3 =393 33 =middot 3=3 27

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias

Esto se cumple para todo n distinto de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Divisioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

n bn

= aba n

Ejemplo

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias

51224 =45124 2 = 256 = 44

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Raiacutez de una raiacutez

Ejemplo

a =m a n mmiddotn

Se multiplican los iacutendices

2 =5 4 25middot4 = 220

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

bull Potencia de potencia

Se multiplican los exponentes

Ejemplo

1 Potencias

(an )m = am middot n

(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40

12 Operaciones entre potencias

12 Operaciones entre potencias

bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias

No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada

Ejemplo

1 Potencias

42 + 42 = 2 bull (22)2 =

Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias

2 bull 42 = 2 bull 24 = 25

13 Propiedades

bull Potencias de exponente cero

Ejemplo

1 Potencias

a0 = 1

Esto se cumple para todo a distinto de 0

1

00 indeterminado

=x

3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)

x

3 ndash 4y0

=

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base entera

1 andash n = a

n Esto se cumple para todo a distinto de 0

5ndash 2 middot 15

3

2

= middot (5)2 5

2 1 = 25

1 middot 25 = 1

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria

Esto se cumple para todo a y b distintos de 0

a

b

ndash n=

b

a

n

33=43 3

4

ndash 3

=3

4

3= 64

27

bull Potencias de base 10

1 Potencias

13 Propiedades

Con exponente positivo

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

104 = 10000

Ejemplos

54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106

4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =

Con exponente negativo

01

0010001

10 ndash 1 =

00001

10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =

Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado

Ejemplos

2 Raiacuteces

cxb = ya que cb = x

Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical

b ax =c

= 2 ya que 23 = 8 3 8

= 3 ya que 34 = 81 4 81

Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario

Ejemplos

2 Raiacuteces

x ba

= b ax

Esto se cumple para todo b distinto de 0

8 52

= 5 28 5 64=

= 3 24=3

2

41 minus

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

2

4 3 16=

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Multiplicacioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

nmiddot bn

= amiddotba n

Ejemplo

9middot3 =393 33 =middot 3=3 27

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias

Esto se cumple para todo n distinto de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Divisioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

n bn

= aba n

Ejemplo

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias

51224 =45124 2 = 256 = 44

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Raiacutez de una raiacutez

Ejemplo

a =m a n mmiddotn

Se multiplican los iacutendices

2 =5 4 25middot4 = 220

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

12 Operaciones entre potencias

bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias

No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada

Ejemplo

1 Potencias

42 + 42 = 2 bull (22)2 =

Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias

2 bull 42 = 2 bull 24 = 25

13 Propiedades

bull Potencias de exponente cero

Ejemplo

1 Potencias

a0 = 1

Esto se cumple para todo a distinto de 0

1

00 indeterminado

=x

3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)

x

3 ndash 4y0

=

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base entera

1 andash n = a

n Esto se cumple para todo a distinto de 0

5ndash 2 middot 15

3

2

= middot (5)2 5

2 1 = 25

1 middot 25 = 1

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria

Esto se cumple para todo a y b distintos de 0

a

b

ndash n=

b

a

n

33=43 3

4

ndash 3

=3

4

3= 64

27

bull Potencias de base 10

1 Potencias

13 Propiedades

Con exponente positivo

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

104 = 10000

Ejemplos

54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106

4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =

Con exponente negativo

01

0010001

10 ndash 1 =

00001

10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =

Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado

Ejemplos

2 Raiacuteces

cxb = ya que cb = x

Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical

b ax =c

= 2 ya que 23 = 8 3 8

= 3 ya que 34 = 81 4 81

Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario

Ejemplos

2 Raiacuteces

x ba

= b ax

Esto se cumple para todo b distinto de 0

8 52

= 5 28 5 64=

= 3 24=3

2

41 minus

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

2

4 3 16=

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Multiplicacioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

nmiddot bn

= amiddotba n

Ejemplo

9middot3 =393 33 =middot 3=3 27

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias

Esto se cumple para todo n distinto de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Divisioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

n bn

= aba n

Ejemplo

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias

51224 =45124 2 = 256 = 44

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Raiacutez de una raiacutez

Ejemplo

a =m a n mmiddotn

Se multiplican los iacutendices

2 =5 4 25middot4 = 220

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

13 Propiedades

bull Potencias de exponente cero

Ejemplo

1 Potencias

a0 = 1

Esto se cumple para todo a distinto de 0

1

00 indeterminado

=x

3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)

x

3 ndash 4y0

=

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base entera

1 andash n = a

n Esto se cumple para todo a distinto de 0

5ndash 2 middot 15

3

2

= middot (5)2 5

2 1 = 25

1 middot 25 = 1

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria

Esto se cumple para todo a y b distintos de 0

a

b

ndash n=

b

a

n

33=43 3

4

ndash 3

=3

4

3= 64

27

bull Potencias de base 10

1 Potencias

13 Propiedades

Con exponente positivo

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

104 = 10000

Ejemplos

54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106

4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =

Con exponente negativo

01

0010001

10 ndash 1 =

00001

10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =

Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado

Ejemplos

2 Raiacuteces

cxb = ya que cb = x

Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical

b ax =c

= 2 ya que 23 = 8 3 8

= 3 ya que 34 = 81 4 81

Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario

Ejemplos

2 Raiacuteces

x ba

= b ax

Esto se cumple para todo b distinto de 0

8 52

= 5 28 5 64=

= 3 24=3

2

41 minus

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

2

4 3 16=

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Multiplicacioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

nmiddot bn

= amiddotba n

Ejemplo

9middot3 =393 33 =middot 3=3 27

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias

Esto se cumple para todo n distinto de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Divisioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

n bn

= aba n

Ejemplo

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias

51224 =45124 2 = 256 = 44

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Raiacutez de una raiacutez

Ejemplo

a =m a n mmiddotn

Se multiplican los iacutendices

2 =5 4 25middot4 = 220

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base entera

1 andash n = a

n Esto se cumple para todo a distinto de 0

5ndash 2 middot 15

3

2

= middot (5)2 5

2 1 = 25

1 middot 25 = 1

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria

Esto se cumple para todo a y b distintos de 0

a

b

ndash n=

b

a

n

33=43 3

4

ndash 3

=3

4

3= 64

27

bull Potencias de base 10

1 Potencias

13 Propiedades

Con exponente positivo

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

104 = 10000

Ejemplos

54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106

4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =

Con exponente negativo

01

0010001

10 ndash 1 =

00001

10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =

Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado

Ejemplos

2 Raiacuteces

cxb = ya que cb = x

Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical

b ax =c

= 2 ya que 23 = 8 3 8

= 3 ya que 34 = 81 4 81

Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario

Ejemplos

2 Raiacuteces

x ba

= b ax

Esto se cumple para todo b distinto de 0

8 52

= 5 28 5 64=

= 3 24=3

2

41 minus

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

2

4 3 16=

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Multiplicacioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

nmiddot bn

= amiddotba n

Ejemplo

9middot3 =393 33 =middot 3=3 27

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias

Esto se cumple para todo n distinto de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Divisioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

n bn

= aba n

Ejemplo

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias

51224 =45124 2 = 256 = 44

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Raiacutez de una raiacutez

Ejemplo

a =m a n mmiddotn

Se multiplican los iacutendices

2 =5 4 25middot4 = 220

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

bull Potencias de exponente negativo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo

Ejemplo

1 Potencias

13 Propiedades

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria

Esto se cumple para todo a y b distintos de 0

a

b

ndash n=

b

a

n

33=43 3

4

ndash 3

=3

4

3= 64

27

bull Potencias de base 10

1 Potencias

13 Propiedades

Con exponente positivo

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

104 = 10000

Ejemplos

54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106

4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =

Con exponente negativo

01

0010001

10 ndash 1 =

00001

10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =

Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado

Ejemplos

2 Raiacuteces

cxb = ya que cb = x

Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical

b ax =c

= 2 ya que 23 = 8 3 8

= 3 ya que 34 = 81 4 81

Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario

Ejemplos

2 Raiacuteces

x ba

= b ax

Esto se cumple para todo b distinto de 0

8 52

= 5 28 5 64=

= 3 24=3

2

41 minus

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

2

4 3 16=

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Multiplicacioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

nmiddot bn

= amiddotba n

Ejemplo

9middot3 =393 33 =middot 3=3 27

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias

Esto se cumple para todo n distinto de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Divisioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

n bn

= aba n

Ejemplo

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias

51224 =45124 2 = 256 = 44

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Raiacutez de una raiacutez

Ejemplo

a =m a n mmiddotn

Se multiplican los iacutendices

2 =5 4 25middot4 = 220

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

bull Potencias de base 10

1 Potencias

13 Propiedades

Con exponente positivo

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

104 = 10000

Ejemplos

54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106

4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =

Con exponente negativo

01

0010001

10 ndash 1 =

00001

10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =

Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado

Ejemplos

2 Raiacuteces

cxb = ya que cb = x

Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical

b ax =c

= 2 ya que 23 = 8 3 8

= 3 ya que 34 = 81 4 81

Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario

Ejemplos

2 Raiacuteces

x ba

= b ax

Esto se cumple para todo b distinto de 0

8 52

= 5 28 5 64=

= 3 24=3

2

41 minus

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

2

4 3 16=

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Multiplicacioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

nmiddot bn

= amiddotba n

Ejemplo

9middot3 =393 33 =middot 3=3 27

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias

Esto se cumple para todo n distinto de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Divisioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

n bn

= aba n

Ejemplo

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias

51224 =45124 2 = 256 = 44

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Raiacutez de una raiacutez

Ejemplo

a =m a n mmiddotn

Se multiplican los iacutendices

2 =5 4 25middot4 = 220

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado

Ejemplos

2 Raiacuteces

cxb = ya que cb = x

Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical

b ax =c

= 2 ya que 23 = 8 3 8

= 3 ya que 34 = 81 4 81

Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario

Ejemplos

2 Raiacuteces

x ba

= b ax

Esto se cumple para todo b distinto de 0

8 52

= 5 28 5 64=

= 3 24=3

2

41 minus

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

2

4 3 16=

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Multiplicacioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

nmiddot bn

= amiddotba n

Ejemplo

9middot3 =393 33 =middot 3=3 27

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias

Esto se cumple para todo n distinto de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Divisioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

n bn

= aba n

Ejemplo

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias

51224 =45124 2 = 256 = 44

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Raiacutez de una raiacutez

Ejemplo

a =m a n mmiddotn

Se multiplican los iacutendices

2 =5 4 25middot4 = 220

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario

Ejemplos

2 Raiacuteces

x ba

= b ax

Esto se cumple para todo b distinto de 0

8 52

= 5 28 5 64=

= 3 24=3

2

41 minus

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

2

4 3 16=

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Multiplicacioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

nmiddot bn

= amiddotba n

Ejemplo

9middot3 =393 33 =middot 3=3 27

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias

Esto se cumple para todo n distinto de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Divisioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

n bn

= aba n

Ejemplo

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias

51224 =45124 2 = 256 = 44

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Raiacutez de una raiacutez

Ejemplo

a =m a n mmiddotn

Se multiplican los iacutendices

2 =5 4 25middot4 = 220

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Multiplicacioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

nmiddot bn

= amiddotba n

Ejemplo

9middot3 =393 33 =middot 3=3 27

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias

Esto se cumple para todo n distinto de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Divisioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

n bn

= aba n

Ejemplo

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias

51224 =45124 2 = 256 = 44

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Raiacutez de una raiacutez

Ejemplo

a =m a n mmiddotn

Se multiplican los iacutendices

2 =5 4 25middot4 = 220

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Divisioacuten de raiacuteces

De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten

n bn

= aba n

Ejemplo

De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias

51224 =45124 2 = 256 = 44

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Raiacutez de una raiacutez

Ejemplo

a =m a n mmiddotn

Se multiplican los iacutendices

2 =5 4 25middot4 = 220

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

2 Raiacuteces

21 Operaciones entre raiacuteces

bull Raiacutez de una raiacutez

Ejemplo

a =m a n mmiddotn

Se multiplican los iacutendices

2 =5 4 25middot4 = 220

Esto se cumple para todo n y b distintos de 0

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Composicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez

a b = a bnnn

4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

2 Raiacuteces

22 Propiedades

bull Descomposicioacuten de una raiacutez

Ejemplo

Esto se cumple para todo n distinto de 0

Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta

= a bnanmiddotbn

162 = 81 2 middot = 2981 2 =

Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Raiacutez cuadrada

Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos

34 = 4

3=middot 3

3 ( )2

4 3

3=

433

Raiacutez eneacutesima

45 32

= 5

=5 5

334

32

middot33

334 =5

35 5

4

3

275

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

2 Raiacuteces

23 Racionalizacioacuten

Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces

34 =

+ 2=

3 ndash 234+ 2

middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )

3 ndash 2

= 4( ndash 23 )

1

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =

Siacutentesis de la clase

Potencias b ab

a

xx =

Raiacuteces

Operaciones Propiedades

Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =

n xn

n xn

n x a

a

a minus

minus

middot1

baba

ba

middot1plusmn

nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =

Signos Propiedades

Operaciones011

ne=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=minus aaa

a n

nn

0 ne⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

baab

ba nn

010 ne= aa

( ) Znaa nn isinminusneminus 22

( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212

nnn baba )middot(middot =

mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=

nnn baba )( =

( ) mnmn aa =