portafolio de algebra

Módulo Algebra Página 1

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL

CARCHI

FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y

CIENCIAS AMBIENTALES

Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario

Módulo

“ALGEBRA”

DIANA VILLOTA

PRIMER NIVEL

PARALELO: “ B ”

Ing. Oscar René Lomas Reyes


Contenido INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 3

OBJETIVOS ................................................................................................................................. 4

SILABO ........................................................................................................................................... 5

CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES ................................................................................... 20

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES ............................................................................... 21

EXPONENTES Y RADICALES ...................................................................................................... 22

EXPRESIONES ALGEBRAICAS ................................................................................................... 24

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN? ....................................................................................................... 26

Partes de una ecuación ........................................................................................................... 26

¡Exponente! ............................................................................................................................. 27

PRODUCTOS NOTABLES .......................................................................................................... 28

FACTORIZACIÓN ...................................................................................................................... 30

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO. ................................................................................. 31

ECUACIONES LINEALES ............................................................................................................ 31

Dominio y recorrido .................................................................................................................. 52

Funciones crecientes, decrecientes y constantes ............................................................... 53

Función identidad ..................................................................................................................... 56

Función lineal ............................................................................................................................ 56

..................................................................................................................................................... 63


INTRODUCCIÓN

El álgebra es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las

propiedades generales de las operaciones aritméticas y lo números para

generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos

análogos. Esta rama se caracteriza por hacer implícitas las incógnitas dentro

de la misma operación; ecuación algebraica.

El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos

usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el

Teorema de Pitágoras.

El Álgebra es el área de las matemáticas donde las letras (como x o y) u otros

símbolos son usados para representar números desconocidos.

Por ejemplo: en x - 5 = 2, x es desconocido, pero puede resolverse sumando 5

a ambos lados del signo igual (=), así:

x - 5 = 2

x - 5 + 5 = 2 + 5

x + 0 = 7

x = 7 (la respuesta)

Se realizara el estudio tanto de números reales, números enteros positivos,

negativos , fraccionarios , productos notables, factorización , sistemas de

ecuaciones lineales aplicadas a nuestra carrera.


OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Recopilar toda la información de cada tema ya visto en el módulo de

algebra, para que sirva de guía base para nuestro estudio.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Elaborar el portafolio estudiantil

Analizar la información recolectada que servirá de base de estudio para

la evaluación.

Trabajar en forma grupal en la recolección de la información


SILABO

I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO

UPEC – MISIÓN MISIÓN - ESCUELA

Formar profesionales humanistas,

emprendedores y competentes,

poseedores de conocimientos

científicos y tecnológicos;

comprometida con la investigación y la

solución de problemas del entorno

para contribuir con el desarrollo y la

integración fronteriza

La Escuela de Desarrollo Integral

Agropecuario contribuye al desarrollo

Provincial, Regional y Nacional,

entregando profesionales que

participan en la producción,

transformación, investigación y

dinamización del sector agropecuario

y agroindustrial, vinculados con la

comunidad, todo esto con criterios de

eficiencia y calidad

UPEC - VISIÓN VISIÓN – ESCUELA

Ser una Universidad Politécnica

acreditada por su calidad y

posicionamiento regional

Liderar a nivel regional el proceso de formación y lograr la excelencia académica generando profesionales competentes en Desarrollo Integral Agropecuario, con un sólido apoyo basado en el profesionalismo y actualización de los docentes, en la investigación, criticidad y creatividad de los estudiantes, con una moderna infraestructura que incorpore los últimos adelantos tecnológicos, pedagógicos y que implique un ejercicio profesional caracterizado por la explotación racional de los recursos naturales, producción limpia, principios de equidad, participación, ancestralidad, que den seguridad y consigan la soberanía alimentaria.

ÁREA CONOCIMIENTO ESCUELA CINE-

UNESCO

SUB-ÁREA CONOCIMIENTO CINE-

UNESCO

Agricultura. Agricultura, Silvicultura y Pesca.

II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:

CÓDIGO NIVEL PRIMERO

DOCENTE: Oscar René Lomas Reyes Ing.

TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: [email protected]

mailto:[email protected]


CRÉDITOS T 1 CRÉDITOS P 2 TOTAL CRÉDITOS 3

HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS 48

PRE-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo) CÓDIGOS

1. Nivelación Aprobada

CO-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo) CÓDIGOS

1. Física Aplicada 1

EJE DE FORMACIÓN:(En la malla ubicado en un eje con un nombre) PROFESIONAL

ÁREA DE FORMACIÓN:(En la malla agrupado con un color y un nombre) Agrícola

[email protected]

LIBRO(S)BASE DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio )

Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México

LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC

para estudio)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid

España.

Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia

Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.

Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

mailto:[email protected]


III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL

Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).

Escaso razonamiento lógico matemático

Competencia GENÉRICA - UPEC:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)

Desarrollar el pensamiento lógico

Competencia GLOBAL - ESCUELA:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA)

Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural

Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL)

Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas

para plantear y resolver problemas del entorno.

NIVELES DE LOGRO

PROCESO

COGNITIVO

LOGROS DE APRENDIZAJE

(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB -

COMPETENCIAS)

Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías

DIMENSIÓN

(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro)

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera,

Ecuador.

http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.

Sectormatematica.cl, Programas Gratis.

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012

Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO:(Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de

aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas

El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del

entorno a través del conocimiento matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos,

análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía, al campo empresarial de manera

preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje

académico pedagógico de los educandos.

http://www.sectormatematica.cl/

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado


El estudiante es capaz de:

1. TEÓRICO BÁSICO

RECORDAR MLP

Identificar los términos básicos utilizados

durante el desarrollo del pensamiento lógico

matemático.

FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el

VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE

DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o

resolver problemas en ella.

2. TEÓRICO AVANZADO

ENTENDER

Diferenciar los conceptos básicos utilizados

para el desarrollo de pensamiento lógico

matemático.

CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a

INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o

ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER

dentro de una ESTRUCTURA más grande que les

permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.

PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER,

métodos de investigación, y los criterios para el uso de

habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

3. PRÁCTICO BÁSICO

APLICAR

Demostrar la utilidad de las matemáticas para

el desarrollo del razonamiento lógico

matemático.




4. PRÁCTICO AVANZADO ANALIZAR

Plantear alternativas mediante la aplicación de

la matemática que permitan dar solución a los

problemas planteados




5. TEÓRICO PRÁCTICO BÁSICO EVALUAR

Argumentar el planteamiento que dará

solución a los problemas planteados.

CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a








6. TEÓRICO PRÁCTICO AVANZADO

CREAR

Construir expresiones algebraicas que

contribuyan a la solución de problemas del

entorno.

1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el

VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE

DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o

resolver problemas en ella.

2. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a





3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO

HACER, métodos de investigación, y los criterios para el

uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir

EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN GENERAL,

así como la sensibilización y el conocimiento del propio

conocimiento.


Trabajo interdisciplinar:(Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA).

Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas

discretas.


IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:


(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE

COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

El estudiante será capaz de

CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS

LOGROS ESPERADOS

ESTRATEGIAS

DIDÁCTICAS

Estrategias, métodos y

técnicas

HORAS

CLASE

COGNITIVOS

¿Qué TIENEque saber?

PROCEDIMENTALES

¿Saber cómo TIENE

queaplicar el conocimiento?

AFECTIVO MOTIVACIONALES

¿Saber qué y cómo TIENEactuar

axiológicamente?

T

P

Identificar los términos

básicos utilizados durante el

desarrollo del pensamiento

lógico matemático.

Sistema de Números

Reales

Recta de números Reales

Operaciones Binarias

Potenciación y

Radicación

Propiedades

fundamentales

Aplicaciones

Utilizar organizadores gráficos

para identificar las clases de

números reales que existe

Utilizar organizadores gráficos

para ubicar los elementos

Relacionar en la uve heurística

Identificar los diferentes

propiedades en potenciación y

radicación

Hacer síntesis gráfica

Repasar los conocimientos

adquiridos y aplicarlos a la vida

del profesional Turístico

Demostrar comprensión sobre los tipos

de números reales

Disposición para trabajar en equipo

Utilizar una actitud reflexiva y critica

sobre la importancia de la matemática

básica

Aceptar opiniones diferentes

Potenciar el clima positivo

Aceptar errores y elevar el autoestima

para que pueda actuar de manera

autónoma y eficiente

DEMOSTRAR.

1. Caracterizar los números reales para la demostración

2. Seleccionar los argumentos y hechos que corroboraron los números reales.

CONVERSACIÓN

HEURISTICA

1. Determinación del problema.

2. Dialogo mediante preguntas.

3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución.

2 4


Diferenciar los conceptos

básicos utilizados para el

desarrollo de pensamiento


Expresiones algebraicas:

nomenclatura y clasificación.

Polinomios clasificación.

Operaciones con

Polinomios: adición, resta,

multiplicación y división.

Productos notables.

Descomposición Factorial

Aplicar operaciones mentales

Identificar los diferentes tipos

polinomios

Aplicar operaciones mentales en

la resolución de un sistema de

ecuaciones.

Identificar los diferentes tipos de

productos notables

Resolver ejercicios

Aceptar opiniones divergentes

Destacar la solidaridad en los

ambientes de trabajo

Potenciar la resolución de problemas

Valorar las participaciones de los

demás

Demostrar grado por lo que hacemos

INDUCTIVO-DEDUCTIVO

INDUCTIVO

1.Observación

2. Experimentación.

3. Información (oral,

escrita, gráfica, etc.)

4. Dramatización.

5. Resolución de

problemas.

6. comprobación.

7. Asociación (especial

temporal y casual)

8. Abstracción.

9. Generalización.

10. Resúmenes.

11. Ejercicios de fijación.

CONVERSACIÓN

HEURISTICA

1. Determinación del problema.

2. Dialogo mediante preguntas.

3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución,

2 4


socializar la solución.

Demostrar la utilidad de las

matemáticas para el

desarrollo del razonamiento


Máximo común divisor de

polinomios.

Mínimo común múltiplos

de polinomios.

Operaciones con

fracciones.

Aplicaciones

Resolver ejercicios con

polinomios sencillos y complejos

Aplicar procesos de resolución

adecuados para resolver

problemas.

Resolver ejercicios aplicando en

forma conjunta los máximos y los

mínimos

Distinguir los componentes de las

expresiones racionales

Utilizar una actitud crítica y reflexiva

sobre el tema.

Cooperar en el desarrollo del

conocimiento.

Demostrar confianza en el desarrollo

del proceso.

Cooperar con el grupo en la resolución

de funciones.

RAZONAR

1. Determinar las premisas.

2. Encontrar la relación de inferencia entre las premisas a través del término medio.

3. Elaborar las conclusiones.

RELACIONAR.

1. Analizar de manera independiente los objetos a relacionar.

2. Determinar los criterios de relación entre los objetos

3 6

Plantear alternativas mediante

la aplicación de la matemática

que permitan dar solución a

los problemas planteados

Ecuaciones lineales,

resolución

Sistemas lineales y

clasificación.

Resolución de ecuaciones

lineales.

Aplicaciones

Plantear ecuaciones lineales.

Identificar los sistemas líneas y su

clasificación

Elaborar modelos matemáticos en

la solución de problemas de la

carrera

Implementar procesos de

resolución adecuados en

problemas reales.

Trabajar con eficiencia y eficacia

respetando los criterios en la resolución

de problemas.

Demostrar interés en el trabajo

individual y de equipo

Respetar las opiniones del grupo y

fuera de él.

Expresar coherencia en las soluciones

propuestas valorando las iniciativas de

cada participante.

EXPOSICION

PROBLEMICA.

1. Determinar el problema.

2. Realizar el encuadre del problema.

3. Comunicar el conocimiento.

4. Formulación de la hipótesis.

5. Determinar los procedimientos para resolver problemas.

6. Encontrar solución (fuentes, argumentos, búsqueda, contradicciones)

3 6

Argumentar el planteamiento

que dará solución a los

problemas planteados.

Definición y clasificación.

Ecuaciones reducibles a

cuadráticas

Resolución de ecuaciones

Nombrar la definición de

ecuaciones cuadráticas

Reducir a expresiones sencillas

las expresiones cuadráticas

Resolver ejercicios sobre

Utilizar creatividad y capacidad de

análisis y síntesis respetando los

criterios del grupo.

Demostrar razonamiento crítico y

reflexivo cooperando en la obtención

de resultados

EXPOSICIÓN

PROBLEMICA

1. Determinar el

problema

2. Realizar el encuadre

del problema

3. Comunicar el

3 6


cuadráticas por factoreo.

Resolución por

completación de un

trinomio cuadrado.

expresiones cuadráticas

Ejercitar las operaciones con

polinomios incompletos.

conocimiento

(conferencia ,video )

4. Formulación de la

hipótesis ( interacción

de las partes)

Construir expresiones

algebraicas que contribuyan a

la solución de problemas del

entorno.

Fórmula general para

resolver ecuaciones

cuadráticas.

Aplicaciones de la

ecuación cuadrática.

Aplicar la fórmula general para la

resolución de ecuaciones

cuadráticas

Distinguir los componentes de las

expresiones racionales

Valorar la creatividad de los demás

Respetar el criterio del grupo.

1. Determinar los

procedimientos para

resolver problemas.

2. Encontrar la solución

( fuentes ,argumentos,

búsqueda

,contradicciones)

3 6


V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO



COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE

indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados

DIMENSIÓN

(Elija el grado de

complejidad que UD.

EXIGIRÁ para alcanzar el

logro)

INDICADORES DE LOGRO

DE INGENIERIA

descripción

TÉCNICAS e INSTRUMENTOS de

EVALUACIÓN

1°

PARCIA

L

2°

PARCIA

L

3°

PARCIA

L

SUPLETORI

O

Identificar los términos básicos

utilizados durante el desarrollo del

pensamiento lógico matemático.

FACTUAL. Interpretar información. Deberes

Trabajos

Consultas

Participación virtual

Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%

Diferenciar los conceptos básicos

utilizados para el desarrollo de


CONCEPTUAL. Interpretar la información. Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%


matemáticas para el desarrollo del

razonamiento lógico matemático.

CONCEPTUAL. Modelar, simular sistemas

complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

10%

10%

10%

10%


Pruebas

Portafolio

Reactivos

Documento

50%

10%

100%

Plantear alternativas mediante la

aplicación de la matemática que

permitan dar solución a los problemas

planteados

PROCESAL Analizar problemas y sistemas

complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%

100%

Argumentar el planteamiento que dará

solución a los problemas planteados.

CONCEPTUAL Desarrollar una estrategia

para el diseño.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

5%

5%

5%

5%

25%

5%

Construir expresiones algebraicas que

contribuyan a la solución de problemas

del entorno.

FACTUAL.

CONCEPTUAL.

PROCESAL

METACOGNITIVO

Interpretar información.

Modelar, simular sistemas

complejos.

Analizar problemas y sistemas

complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

5%

5%

5%

5%

25%

5%

100%

ESCALA DE VALORACIÓN 9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio 7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable


Nivel ponderado de aspiración y

alcance

8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio 4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable


VI. GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS



COMPETENCIA, SUB -

COMPETENCIAS)

APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE

HORAS

AUTÓNO

MAS

INSTRUCCIONES

RECURSOS

PRODUCTO

T P

Identificar los términos básicos

utilizados durante el desarrollo del


Consulte información en el

internet y textos

especializados los

conceptos de números

reales, presentar en

organizadores gráficos.

Prueba

Libros.

Copias

Documentos en pdf.

Descarga de documentos de

la web.

Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números

reales.

2 4

Diferenciar los conceptos básicos

utilizados para el desarrollo de


Consulta sobre la definición

de un monomio y

polinomio.

Grado de un polinomio y su

ordenamiento

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


la web.

Identifica los tipos de polinomios 2 4


matemáticas para el desarrollo del

razonamiento lógico matemático.

Distinguir plenamente

entre expresiones

racionales e irracionales

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


la web.

Distinguir plenamente entre expresiones racionales

e irracionales

3 6

Plantear alternativas mediante la

aplicación de la matemática que

permitan dar solución a los

problemas planteados

Dar solución a ecuaciones

de primer grado

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


la web.

Dar solución a ecuaciones de primer grado 3 6


Argumentar el planteamiento que

dará solución a los problemas

planteados.

Identificar los tipos de

soluciones que pueden

presentarse en la solución

de expresiones

cuadráticas.

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


la web.

Identificar los tipos de soluciones que pueden

presentarse en la solución de expresiones cuadráticas

3 6

Construir expresiones algebraicas

que contribuyan a la solución de

problemas del entorno.

3 6

PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel )

TOTAL

16 32

CRÉDITOS

1 2

3


VII. Bibliografía.

BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA)

Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda

edición: México

COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición:

Madrid España.

Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia

Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.

Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición

Primera, Ecuador.

http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.

Sectormatematica.cl, Programas Gratis.

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012

Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

http://www.sectormatematica.cl/

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado


CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES

Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3 y

así sucesivamente , forman el conjunto de los números enteros positivos o

números naturales.

Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…)

Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3……

forman el conjunto de los enteros.

Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…)

El conjunto de los números racionales consiste en números como y , que

pueden escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un

numero racional es aquél que puede escribirse como donde p y q son enteros

y q ≠ 0. El entero 2 es racional puesto que 2 = . De hecho todo entero es

racional.

Los números que se representan mediante decimales no periódicos que

terminan se conocen como números irracionales. Los números y son

ejemplos de números irracionales. Junto, los números racionales y los números

irracionales forman el conjunto de los números reales.

Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros

se selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a la

derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas


PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número

son iguales entre sí.

Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números

pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número real.

Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números

pueden sumarse y multiplicarse en cualquier orden.

Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la

multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden.

Propiedad de la identidad.- existen números reales denotados 0 y 1 tales que

para todo número real a.

Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número

real denotado poa –a

Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un número

da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y

después sumar todos los productos.


EXPONENTES Y RADICALES

Exponentes

Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va a

multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a la

derecha del valor base. Por ejemplo:

b es el valor base y -5 es el exponente

-2 es el valor base y 7 es el exponente

Leyes de los exponentes

RADICALES

La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima

de un número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado “x”.

n = índice

x = radicando

y = raíz


=signo radical

Leyes radicales


EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las

operaciones aritméticas.

Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo

término.

Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:

Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.

Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:

Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.

Ejemplo:

Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se

llaman Polinomios.

Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más

expresiones algebraicas en una sola expresión algebraica.


Resta o sustracción.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a

continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos

semejantes.

Multiplicación.- se multiplica el monomio por cada uno de los términos del

polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se

separan los productos parciales con sus propios signos.

División.- se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio

separando los cocientes parciales con sus propios signos.


¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?

Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=",

por ejemplo:

x + 2 = 6

Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo

que está en la derecha (6)

Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"

Partes de una ecuación

Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las

diferentes partes (¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!)

Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:

Una variable es un símbolo para un

número que todavía no conocemos.

Normalmente es una letra como x o

y.

Un número solo se llama una

constante.

Un coeficiente es un número que

está multiplicando a una variable (4x

significa 4 por x, así que 4 es un

coeficiente)

Un operador es un símbolo (como

+, ×, etc) que representa una

operación (es decir, algo que

quieres hacer con los valores).


Un término es o bien un número o

variable solo, o números y variables

multiplicados juntos.

Una expresión es un grupo de

términos (los términos están

separados por signos + o -)

Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el

segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente

es 4?"

¡Exponente!

Elexponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces

usar el valor en una multiplicación.

Ejemplos:

82 = 8 × 8 = 64

y3 = y × y × y

y2z = y × y × z

Los exponentes hacen más fácil escribir y usar muchas multiplicaciones

Ejemplo: y4z2 es más fácil que y × y × y × y × z × z, o incluso yyyyzz


PRODUCTOS NOTABLES

Binomio al cuadrado

Binomio de suma al cuadrado

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer

término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado

segundo.

(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2

(X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer

término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado

segundo.

(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2

(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9

Suma por diferencia

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

(a + b) · (a − b) = a2 − b2

(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25

Binomio al cubo

Binomio de suma al cubo

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del

cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado

del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3

(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =

= x 3 + 9x2 + 27x + 27


Binomio de resta al cubo

Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del

cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado

del segundo, menos el cubo del segundo.

(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3

(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 =

= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

Trinomio al cuadrado

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado

del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el

segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por

el tercero.

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

(x2 − x + 1)2 =

= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 =

= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =

= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1

Suma de cubos

a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)

8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)

Diferencia de cubos

a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)

8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x2 + 5x + 6


FACTORIZACIÓN

Con frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el

producto de dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama

factorización y nos permite transformar polinomios complejos en el producto de

polinomios simples.

Factorización por factor común.

Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se

dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e

inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes

que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor

común.

Factorización de una diferencia de cuadros.

Se sabe que: ; por lo tanto una diferencia de

cuadrados, es igual al producto de dos binomios conjugados.

Factorización de un cuadrado perfecto

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado

como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al

primero y tercer término del trinomio separándose estas raíces por medio del

signo del segundo término y elevando este binomio al cuadrado:

Factorización de una suma o diferencia de cubos

Se sabe que:

Factorización de cubos perfectos de binomios.


FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.

Algunas veces en un polinomio los términos no contienen ningún factor común,

pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común.

Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar

cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización

total de la expresión.

FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA

ECUACIONES LINEALES

Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra

solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia

(elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales porque se pueden

representar como rectas en el sistema cartesiano.

Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:

a) Ecuaciones lineales propiamente tales

En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas

es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede

serlo).

Para proceder a la resolución se debe:

Eliminar paréntesis.

Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en

el otro.

Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.

Ejemplo:

4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)

4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192

4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10


–35x = 182

b) Ecuaciones Fraccionarias

En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las

expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).

Para proceder a la resolución se debe:

Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el

mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)

Ejemplo:

C . ECUACIONES LITERALES

Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal,

pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para

despejarla.

FRACION ALGEBRAICA

Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios.

Son fracciones algebraicas:

Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.


El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.

Por ejemplo:

Si se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:

Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.

Operaciones con fracciones algebraicas

Simplificar fracciones algebraicas

La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador.

Por ejemplo, simplificar:

Otro ejemplo, simplificar la fracción

Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar

Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel).

Suma y resta de fracciones algebraicas

Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números enteros, reduciendo primero acomún denominador.

Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador.

Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador

Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:


Como el denominador es común (x + 1), este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos.

Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda

Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.

Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador

Veamos el siguiente ejemplo:

Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador común.

Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que llamaremos mínimo común denominador (m.c.d.).

Para calcular el m.c.m. factorizamos

5ab a2 15b2 a

5b a 15b2 a

5b 1 15b2 b

5 1 15b b

5 1 15 5

1 1 3 3

1 1 1

Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a2 • b2 • 15 que es lo mismo que 15a2b2 y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas.

Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:

Previamente, dividimos el denominador común (15a2b2) por cada uno de los denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo hacemos así:


Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como la siguiente:

Encontrado el m.c.d. (15a2b2) se multiplica cada fracción (tanto numerador como denominador) por los términos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:

Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior.

Un ejemplo más:

Sumar

El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x − 3)

Hacemos


¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:

Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas

Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

Veamos qué significa esto:

Sea una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra ,

entonces:

Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones algebraicas

Multiplicar

Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:

Simplificamos antes de efectuar el producto:

Ahora, podemos multiplicar los factores finales:

Ejemplos desarrollados

a)

b)

c)

Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es preciso dominar la factorización de productos notables.

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/AlgebraProductosnotables.htm


Cociente o división de fracciones algebraicas

Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

Veamos, ahora qué significa esto:

Sea una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra , entonces:

Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas

Dividir

Anotamos haciendo el producto cruzado:

Simplificamos y finalmente multiplicamos:

Ejemplos desarrollados

a)

b)

c)

Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de las fracciones participantes. Si el ejercicio está bien expresado, la línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).


ECUACION LINEAL

Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más

variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables,

o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una

variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas.

Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la

pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la

recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado

rectangular) no son consideradas lineales

Es aquella ecuación cuya representación gráfica es una recta. También se les

llama "de primer grado", ya que la variable independiente representada por "x",

se encuentra elevado a la 1.

Ejemplo:

EJEMPLO 1: Ecuaciones lineales.

a.

b.

c.

a, b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2, 3 y 4 incógnitas respectivamente


EJEMPLO 2: Ecuaciones que no son lineales.

a.

b.

c.

d.

GRAFICO DE UNA ECUACION LINEAL

Aplicaciones de Ecuaciones Y Desigualdades

Aplicaciones de Ecuaciones

Pasos para la solución de problemas:

1. Leer el problema hasta entenderlo para ser capaz de explicarlo con otras palabras. 2. Identificar la información disponible y qué es lo que se pregunta. 3. Representar la incógnita con un símbolo algebraico, como x. 4. Expresar las demás cantidades en términos de x. 5. Traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicas que contengan x.


6. Resolver las expresiones algebraicas siguiendo los métodos adecuados. 7. Analizar la respuesta algebraica para ver si es posible. 8. Traducir la respuesta algebraica al lenguaje común.

Ejemplo

El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte.

¿Cuántos estudiantes practican deporte?

Solución:

Como

, entonces para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por

0,2, es decir: 240 · 0,2 = 48.

Ejemplo

Entonces 48 alumnos (de los 240) practican deporte.

En un curso con 200 alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombres

aprobaron. Si en el curso el 30% son mujeres, ¿qué porcentaje de alumnos aprobaron

el examen?

Solución:

Cantidad de mujeres: 0,3.200 = 60

Cantidad de mujeres que aprobaron: 0,55.60 = 33

Cantidad de varones: 0,7.200 = 140 (se podría haber hecho 200 – 60 = 140)

Cantidad de varones que aprobaron: 0,65.140 = 91

Total de alumnos que aprobaron: 33 + 91 = 124

Si x representa al porcentaje de alumnos que aprobaron, entonces

Ejemplo

La tía Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo el

doble que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces más que Laura ¿a cuánto le toco cada

uno?


Solución

Laurita=x

Pedro=2x (dos veces más que Laura)

Juanita=5x (cinco veces más que Laurita)

X+2x+5x=160

8x=160

x=160/8

x=20

con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a

pedro 40 y a juanita 100 millones.

Ejemplos

Los miembros de una fundación desean invertir $18,000 en dos tipos de seguros que

pagan dividendos anuales del 9 y 6%, respectivamente. ¿Cuánto deberán invertir a

cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% de la inversión

total?

Solución: Sea P la cantidad a invertir al 9%, por lo tanto ($18,000 − P) será la cantidad a invertir al 6%. Establecemos: (Ingreso devengado al 9%) + (Ingreso devengado al 6%) = Ingreso Total

Sustituimos los valores (9%) P + (6%)($18,000 − P) = (8%)*($18,000)

Resolvemos para P: .09P + .06 (18,000 − P) = .08*(18,000) .09P + 1,080 − .06P = 1,440 .09P − .06P = 1,440 − 1,080 .15P = 360 P = (360) / (.15) P = 2,400 Los miembros de la fundación deben invertir $2,400 al 9% y $18,000 − $2,400 = $15,600 al 6%.


Desigualdades Lineales

Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son

iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo

de igual hay unos símbolos:<,>,≤,≥. En una definición decimos que:

Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones

siguientes:

X es mayor que Y

X es menor que Y

Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita La

expresión ,

Quiere decir que "a" no es igual a "b". Según particulares de "a" y de "b", puede

tenerse , que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia es positiva

y , que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia es negativa.

Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor

que la otra".

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la

izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los

términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad,

lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas

consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero

Ejemplo:

porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

Porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor

Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20

Ejemplo 1:


Casos Especiales

Cuando el lado de la incógnita queda con signo negativo (–), se debe realizar un arreglo para eliminar ese signo negativo, ya que la incógnita nunca debe quedar con valor negativo.

Veamos el siguiente ejemplo:

2x –[x –(x –50)] < x – (800 –3x)

Primero quitamos los paréntesis:

2x –[x –x +50] < x –800 +3x

Reducimos términos semejantes.

2x –[50] < 4x –800

Ahora quitamos los corchetes

2x –50 < 4x –800

Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.

2x –4x < –800 +50

Nuevamente reducimos términos semejantes y llegamos a

–2x < –750

Pero sabemos que no puede quedar signo negativo en la parte de la incógnita,

entonces cambiamos de signo a todo (–2x queda 2x y –750 queda 750), y

además cambiamos el sentido de la desigualdad (< lo cambiamos por >).

2x > 750

Despejamos x pasando al 2 a dividir, luego simplificamos.


Aplicación de Desigualdades

Una compañía produce un determinado número de microscopios; Si duplica su

producción y vende 60 le quedan más de 26 pero si bajara su producción a la tercera

parte y vendiera 5, entonces tendría menos de 10 microscopios. ¿Cuántos

microscopios se fabricaron?

Solución

Número de microscopios fabricados: x

La compañía duplica su producción: 2x

Vende 60 : 2x-60

Le quedan más de 26 : 2x-60 > 26……… (I)

Baja su producción a la tercera parte: x/3

Vende 5 microscopios : x/3 – 5

Tendría menos de 10 : x/3 – 5 < 10…..... (II)

Resolviendo las inecuaciones I y II, tenemos:

mcm:3

Es decir, el numero de microscopios fabricados debe ser “mayor que 43” pero “menor

que 45”, resultando x=44.

Rpta. Se fabricaron 44 microscopios.

No es muy común encontrar problemas con inecuaciones, pero de todas formas, si

nos encontramos frente a este caso, debemos plantearlo en lenguaje matemático y

luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el

dato que deseamos conocer).

Veamos un problema sencillo como ejemplo:

Dentro de cinco años, Ximena tendrá no menos de 18 años. ¿Qué edad tiene

actualmente Ximena?

Tenemos entonces:

x edad de Ximena

x + 5 edad de Ximena en 5 años

Sabemos que la edad de Ximena en cinco años será mayor que 18 años (Dentro de cinco años, Ximena tendrá no menos de 18 años).


x + 5 > 18

Resolvemos la inecuación:

x + 5 > 18

x > 18 -5

x > 13

Entonces podemos afirmar que Ximena actualmente tiene más de 13 años, pero no podemos determinar exactamente su edad.

Dos ejemplos de inecuaciones representando la solución en la recta numérica e indicando el intervalo en el cual se ubica ésta:

a)

X pertenece al intervalo que va entre el menos infinito y el menos un sexto incluido.

b)

X pertenece al intervalo que va entre la fracción incluida y el infinito hacia la derecha.

Valor Absoluto

Si el grado de la inecuación es uno (de primer grado), se dice que la inecuación

es lineal.

Esto porque al escribir las desigualdades usamos números y por esto mismo es que

podemos usar la recta numérica para visualizar o graficar dichas desigualdades.


Observa que en la recta de arriba:

4 > –1, porque 4 está a la derecha de –1 en la recta numérica.

–2 < 3, porque –2 está a la izquierda de 3 en la recta numérica

–3 < –1, porque -3 está a la izquierda de –1 en la recta numérica

0 > –4, porque 0 está a la derecha de –4 en la recta numérica

Una inecuación lineal, entonces, es una expresión matemática que describe cómo

se relacionan entre sí dos expresiones lineales.

Por ejemplo: 3 + 5x ≥ 18; y otro, –2(x + 3) < –9.

Como resolver una inecuación

Resolver una inecuación es encontrar el valor de la incógnita para los cuales se

cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o

una unión de intervalos de números reales, por ello es que se puede representar

haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinitos números

reales.

Las reglas para la resolución de una inecuación son prácticamente las mismas que se

emplean para la resolución de ecuaciones, pero deben tenerse presentes las

propiedades de las desigualdades.

Como ya dijimos, se puede ilustrar la solución de una inecuación con una utilizando la

recta numérica y marcando el intervalo entre los números que dan solución a la

desigualdad. Si la solución incluye algún extremo definido del intervalo, en la gráfica

representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no

incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo en blanco.

Ejemplo: x > 7 (equis es mayor que 7)

Los valores mayores a 7 se representan a la derecha de la recta numérica y no incluyen al 7. En intervalo desde el punto blanco hacia el infinito a la derecha se

escribe:

Ejemplo: x ≥ 7 (equis es mayor o igual a 7)

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Intervalos_Inecuaciones.html

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Intervalos_Inecuaciones.html


Los valores mayores e iguales a 7 se representan a la derecha de la recta numérica e

incluyen al 7. El intervalo desde el punto negro hacia el infinito a la derecha se

escribe:

Nótese la postura del corchete cuando incluye y cuando no incluye una cifra

determinada dentro del intervalo.

Resolución de inecuaciones lineales (de primer grado) con una incógnita

Veamos algunos ejemplos:

Resolver la inecuación 4x - 3 > 53 (Se lee: cuatro equis menos tres es mayor que 53)

Debemos colocar las letras a un lado y los números al otro lado de la desigualdad (en

este caso, mayor que >), entonces para llevar el –3 al otro lado de la desigualdad, le

aplicamos el operador inverso (el inverso de –3 es +3, porque la operación inversa de

la resta es la suma).

Tendremos: 4x − 3 + 3 > 53 + 3

4x > 53 +3

4x > 56

Ahora tenemos el número 4 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la desigualdad dividiendo (la operación inversa de la multiplicación es la división).

Tendremos ahora: x > 56 ÷ 4

x> 14

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" serán todos los números mayores que 14, no incluyendo al 14.

Gráficamente, esta solución la representamos así:

Esto significa que en la recta numérica, desde el número 14 (sin incluirlo) hacia la derecha todos los valores (hasta el infinito + ∞) resuelven la inecuación.

Veamos el siguiente ejemplo: –11x -5x +1 < –65x +36

Llevamos los términos semejantes a un lado de la desigualdad y los términos independientes al otro lado de la desigualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario).

–11x –5x +65x < 36 –1


Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente

49x < 35

Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.

Funciones y Gráficas

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X

(Llamado dominio).

Y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de

Forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del

Codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen

al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el

costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una

encomienda que depende de su peso.

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con

los de la izquierda en la siguiente lista?:

1 --------> 1

2 --------> 4

3 --------> 9

4 --------> 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":

1 --------> 1

2 --------> 4

3 --------> 9

4 --------> 16

x --------> x2.

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la

letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

x --------> x2 o f(x) = x2 .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.

Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc.

Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Relaciones_y_funciones.html


Ejemplo 1

Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente.

Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos.

Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

Ejemplo 2

Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".

x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3

Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento enX sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.

Ahora podemos enunciar una definición más formal:

Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio).


Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X.

Usualmente X e Y son conjuntos de números.

Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B,

se anota

f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B f : X -----> Y) o f(x) = x

Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada.

f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la preimagen de f(x).

En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del número 5.

El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.

Ejemplo 3

Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo".

Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio y recorrido.

Veamos:

A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).

Dominio = {1, 2, 3} Recorrido = {4, 8, 12}

Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}

Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones

son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes:

Si tenemos los conjuntos

A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}

Podemos establecer las relaciones

f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }

g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }

h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }:

Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).

Ejemplo 4


Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9}, Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada".

Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y.

Veamos:

A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y (

), pero a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es funciónde X en Y.

Dominio y rango de una función

Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable

independiente (la x).

Por ejemplo la función f(x) = 3x2 – 5x está definida para todo número real (x puede ser

cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.

En cambio, la función tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor

real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.

Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene sentido.

En el caso de la función , el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero

para que exista la raíz cuadrada.

Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente:

Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.

Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+

anxn (donde a0, a1, a2,..., an son constantes y un entero no negativo), el dominio está

conformado por el conjunto de todos los números reales.

Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero.

El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir,

es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función.

Ejemplo

Identificar dominio y rango de la función

Veamos:


Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son

mayores o iguales a 2.

El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo la función f.

Funciones Especiales

Dominio y recorrido

El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de

la gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el

eje y. Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el

eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y).

Ejemplo para discusión:

Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es:

Ejercicio de práctica: Determina el dominio y el recorrido de la siguiente gráfica:


Funciones crecientes, decrecientes y constantes

Definición: Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces:

1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.

2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b<a en I.

3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I.

Ejemplos:

La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.

La función g(x) = -x3 es una función decreciente en los números reales.

La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales.


Gráfica de una Función

Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le

corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x

debe pertenecer al dominio de definición de la función.

Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en

una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la función.

Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la gráfica.

Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica de la

función.

Las gráficas de x ≥ -2 y y < 3, mostradas arriba no tienen nada de especial. Pudimos haber representado las dos relaciones en una recta numérica, y dependiendo del problema que tratamos de resolver, habría sido más fácil hacerlo. Las cosas se vuelven más interesantes cuando graficamos desigualdades lineales con dos variables. Empecemos con una desigualdad básica de dos variables: x > y.


Graficar otras desigualdades en la forma estándar y = mx + b es bastante simple también. Una vez que graficamos la línea límite, podemos encontrar cuál es la región a sombrear si probamos algunos pares ordenados dentro de la región o, en muchos casos, sólo observando la desigualdad. La gráfica de la desigualdad y > 4x − 5.5 se muestra abajo. La línea límite es la recta y = 4x − 5.5, y está punteada porque nuestro término y es “mayor que,” no “mayor o igual que.”

Gráficas en Coordenadas Rectangulares

Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas graduadas,

perpendiculares, que se cortan en un punto O(0,0), llamado origen de coordenadas. A

la recta horizontal se llama eje de abscisas, y a su perpendicular por O, eje de

ordenadas.

Se puede representar una función en el plano haciendo corresponder a cada par del

grafo un punto determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su variable y

en el de ordenadas, su correspondiente imagen.


Función identidad

La función identidad es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el

conjunto de los números reales.

Función lineal

Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de

cero, m y b son números reales. La restricción m diferente de cero implica que la

gráfica no es una recta horizontal. Tampoco su gráfica es una recta vertical. El

dominio y el recorrido (rango) de una función lineal es el conjunto de los números

reales.

Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números

reales y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales. El

intercepto en y es (0,b).


Rectas, Parábolas y Sistemas de Ecuaciones

Rectas

Pendiente de una recta

Muchas relaciones entre cantidades pueden ser representadas de manera adecuada

por rectas. Una característica de una recta es su "inclinaci6n". Por ejemplo, en la figura

4.1 la recta Ll crece más rápido que la recta L2 cuando va de izquierda a derecha. En

este sentido Ll está más inclinada respecto a la horizontal.

Para medir la inclinaci6n de una recta usamos la noci6n de pendiente. En la figura 4.2,

conforme nos movemos a 10 largo de la recta L de (1, 3) a (3, 7), la coordenada x

aumenta desde 1 hasta 3.

Definición

Sean (Xl' Y l) Y (X2' Y2) das puntas diferentes sobre una recta no vertical. La

pendiente de la recta es el numero m dado por

Una recta vertical no tiene pendiente, porque cualesquiera dos puntos sobre ella

deben tener Xl = X2 que da un denominador de cero en la ecuación (1). Para una

recta horizontal, cualesquiera dos puntos deben tener Yl = Y2 Esto da un numerador

de cero en la ecuaci6n (1) y, por tanto, la pendiente de 1a recta es cero.


Ejemplo 1 Relación precio/cantidad

La recta de La figura 4.4 muestra La relación entre el precio p de un artículo (en

dólares) Y La cantidad q de artículos (en miles) que Los consumidores comprarán a

ese precio. Determinar e interpretar la pendiente.

Solución: En la fórmula de la pendiente (1) reemplazamos x por q y y por p. En la

figura 4.4, cualquier punto puede ser seleccionado como (q" P'). Haciendo (2, 4) (qIpI)

Y (8, 1) = (q2' p2)' tenemos:

La pendiente es negativa, -t. Esto significa que por cada unidad que aumente la

cantidad (un millar de artículos), habrá una disminución de t (d6lar por artículo) en el

precio. Debido a esta disminuci6n, la recta desciende de izquierda a derecha.

• En resumen, podemos caracterizar la orientación de una recta por su pendiente:

Pendiente cero: recta horizontal

Pendiente indefinida: recta vertical

Pendiente positiva: recta que sube de izquierda a derecha

Pendiente negativa:recta que desciende de izquierda a derecha

Observe que entre más cercana a cero es la pendiente, está más cerca de ser

horizontal. Entre mayor valor absoluto tenga la pendiente, la recta estará más cercana

a ser vertical.

Notamos que dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente o son

verticales.

Ecuaciones de rectas

Si conocemos un punto y la pendiente de una recta, podemos encontrar una ecuación

cuya gráfica es esa recta. Suponga que la recta L tiene pendiente m y pasa a travésdel

punto (xl' YI)' Si (x, y) es cualquier otro punto sobre L (podemos encontrar una relación

algebraica entre x y y. Utilizando la fórmula de la pendiente con los puntos (XI' y I) y (x,

y), se obtiene


Ejemplo 2 Forma punto-pendiente

Determinar una ecuaci6n de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el punto (I, -3).

Seleccionando (4, - 2) como (x" Y,) darla un resultado equivalente.

Solución: Utilizando una forma punto-pendiente con m = 2 Y (x" Y,) = (I, -3), se obtiene

Ejemplo 4 Forma pendiente-ordenada al origen

Encontrar una ecuación de La recta con pendiente 3 e intercepci6n y - 4.

Solución: Utilizando la forma pendiente-ordenada al origen y = mx + b con 111 ::: 3 y

b= - 4, se obtiene:

Rectas paralelas y perpendiculares

Como se estableció previamente, existe una regia para rectas paralelas:

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si y s610 si tienen la misma pendiente 0 son verticales.

También existe una regia para rectas perpendiculares. y observe que la recta con

pendiente -+ es perpendicular a la recta con pendiente 2.

EI hecho de que la pendiente de cada una de estas rectas sea el recíproco negativo

de la pendiente de la otra recta, no es coincidencia, como lo establece la siguiente

regla.

Ejemplo 5 Rectas paralelas y perpendiculares

Lafigura muestra dos rectas que pasan por (3, - 2). Una es paralela a la recta y = 3x +

1, y la otra es perpendicular a ella. Determinar las ecuaciones de estas rectas


Aplicaciones y Funciones Lineales

Suponga que un fabricante utiliza 100 \libras de material para hacer los productos A y

B, que requieren de 4 y 2 libras de material por unidad, respectivamente. Si x y y

denotan el número de unidades producidas de A y B, respectivamente, entonces todos

los niveles de producción están dados por las combinaciones de x y y que satisfacen

la ecuación.

Resolviendo para y se obtiene:

de modo que la pendiente es -2. La pendiente refleja la tasa de cambio del nivel de

producci6n B con respecto al de A. Por ejemplo, si se produce una unidad adicional de

A, se requerirán 4libras mas de material, resultando t = 2 unidades menos de B. Por

tanto cuando x aumenta en una unidad, el valor correspondiente de y disminuye en 2

unidades. Para bosquejar la gráfica de y = -2x + 50, podemos utilizar la intercepción y

(0,50) y el hecho de que cuando x = 10, Y = 30

Curvas de demanda y de oferta Para cada nivel de precio de un producto existe una cantidad correspondiente de

eseproducto que los consumidores demandaran (esto es, compraran) durante algún

periodo.

Por 10 común, a mayor precio, la cantidad demandada es menor; cuando el precio

baja, la cantidad demandada aumenta. Si el precio por unidad del producto está dado

por p y una cantidad (en unidades) está dada por q. Entonces una ecuación que

relaciona p y q es llamada ecuación de demanda. Su gráfica es la curva de demanda.

La Figura 4.14(a) muestra una curva de demanda.

De acuerdo con la práctica de la mayoría de los economistas, el eje horizontal es el eje

q y el eje vertical es el p. Supondremos que el precio por unidad esta dado en dólares

y el periodo es una semana.

Así el punto (a, b) en la Figura 4.14(a) indica que, a un precio de b dólares por unidad,

los consumidores demandaran a unidades por semana. Como precios 0 cantidades


negativos no tienen sentido, a y b deben ser no negativos. Para la mayoría de los

productos, un incremento en la cantidad demandada que corresponde una disminución

en el precio. Por tanto, una curva de demanda en general desciende de izquierda a

derecha, como en la Figura 4. 14(a).

Como respuesta a diferentes precios, existe una cantidad correspondiente de

productos que los productores están dispuestos a proveer al mercado durante algún

periodo.

Usualmente, a mayor precio por unidad es mayor la cantidad que los productores

están dispuestos a proveer; cuando el precio disminuye también 10 hace la cantidad

suministrada.

Si p denota el precio por unidad y q la cantidad correspondiente, entonces una

ecuaci6n que relacionap y q es llamadaecuación de oferta y su gráfica es una curva de

oferta.

La figura 4.14(b) muestra una curva de oferta. Si p está en dólares y el periodo esuna

semana, entonces el punto (c, d) indica que a un precio de d d61ares cada una, los

productores proveerán c unidades por semana. Como antes, c y d son no negativos.

Unacurva de oferta por 10 regular asciende de izquierda a derecha, como en la figura

4. 14(b).

Esto indica que un fabricante suministrara más de un producto a precios mayores.

Centraremos la atención ahora en las curvas de oferta y de demanda que son líneas

rectas (figura 4. IS). Son llamadas curvas de oferta linealy de demanda lineal.

Tales curvas tienen ecuaciones en las quep y q están linealmente relacionadas.

Puesto que una curva de demanda por 10 regular desciende de izquierda a derecha,

unacurva de demanda lineal tiene pendiente negativa.

Sin embargo, la pendiente de una curva de oferta lineal es positiva ya que la curva

asciende de izquierda a derecha.

Ejemplo 2 Determinación de una ecuación de demanda

Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando el

precio es de $S8 por unidad, y de 200 unidades si son a $SI cada una. Determinar

laecuación de demanda, suponiendo que es lineal.


Solución:

Estrategia:Ya que la ecuación de demanda es lineal, la curva de demanda debe ser

una línea recta. Tenemos que la cantidad q y el precio p están

relacionadoslinealmente de tal modo que p = 58 cuando q = 100, Y P = 51 cuando q

=200. Estos datos pueden .ser representados en un plano de coordenadas q. ppor los

puntos (100,58) y (200, 51). Con estos puntos podemos encontrar una ecuación de la

recta, esto es, la ecuación de demanda.

PROGRAMACION LINEAL

La programación lineal da respuesta a situaciones en las que se

exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas

a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.

Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la

economía, la estrategia militar, etc.

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