portafolio de algebra
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Universidad politécnica estatal del Carchi
Alumna: Gabriela malquin
Escuela de desarrollo integral agropecuario
Ing. Óscar lomas
Primero “b”
Portafolio de algebra
Algebra
Es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de
estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos
podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en
cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética.
Primer ejercicio
1._en una finca existen 2 palmeras que enlista la una de la otra en 50 m la
palmera Atiene 30 m de altura y la palmera B tiene 20m , en la copa de las
palmeras existen 2 pajaros en cada una de estas ; entre las palmeras hay un
lago los pajaros ven que hay un pes y se lanzan y llegan al mismo instante ,
esto implica que si llegan al mismo instante .
A que distancia se encuetra el pes de la primera palmera y a que distancia
se encuentra la 2da palmera del pez .
Resolución.
C2=a2+b2 c2=a2+b2
C2=202+x2 c2=302+x2
C2=400+(50-x)2
H2=302+X2 a2-2ab+b2
H2=202+(50-X)2 502-2.(50)(x)+(x)2
302+X2=202+(50-X)2 2500-100x+x2//
900+X2=400+2500-100X+X2
100X=2500+400-900
100X=2000
X=20//
2._ en la UPEC existe un edificio de 40 m a las 10 am este proyecta una de
1/3 adicional de lo que mide el edificio ¿Cuánto mide desde el edificio asta el
final de la sombra
Resolución
40+(1/3x40)
40+13,33=53.33m
C2=a2+b2
53.332=402+x2
X2=28.43-1600
X2=1243
3._marco y Paola son estudiantes universitarios y el día de hoy martes se
encontraron en clases de inglés , marco decide estudiar cada 3 días clase de
inglés Paola cada 4
¿A los cuantos días se volverán a encontrar que dia es ese ?
martes miercoles jueves Viernes Sábado domingo lunes martes Miércoles
marco
paola
Respuesta se vuelven a encontrar después de 12 días el día domingo
Conjunto de Números Reales
Introducción
Un conjunto es una colección de objetos. Por ejemplo, se puede hablar del
conjunto de números pares entre 5 y 11, a saber 6, 8 y 10. Cada objetivo de un
conjunto se denomina elemento de ese conjunto. No se preocupe si esto sueno
un poco circular. Las palabras conjunto y elemento son semejantes a línea y
punto en geometría plana. No puede pedirse definirlos en términos más
primitivos, es sólo con la práctica que es posible entender su significado. La
situación es también parecida en la forma en la que el niño aprende su primer
idioma. Sin conocer ninguna palabra, un niño infiere el significado de unas
cuantas palabras muy simples y termina usándolas para construir un
vocabulario funcional.
Nadie necesita entender el mecanismo de este proceso para aprender hablar.
De la misma forma, es posible aprender matemáticas prácticas sin involucrarse
con términos básico no definidos.
Los números reales son los números que se puede escribir con anotación
decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El
conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y
negativos; todos los fracciones; y todos los números irracionales; aquellos
cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten. Ejemplos de números
irracionales son:
√ 2 = 1.4142135623730951 . . . π = 3.141592653589793 . .
. e = 2.718281828459045 . . .
Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como mostrado aquí.
Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el punto corresponde a b estará a la derecha del punto que corresponde a
Conjunto de los números naturales
El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z
corrientemente se presenta así:
N = {1, 2, 3, 4, 5,...}.
La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.
Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los
sistemas numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales.
En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen
solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x
= –2. Puede notarse que N ⊂ Z.
Conjunto de los números racionales
El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente
manera
𝑄 = {𝑚
𝑛, 𝑐𝑜𝑛 𝑚, 𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑦 𝑛 ≠ 0}
La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la
ecuación ax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0.
Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b.
Propiedades de los Números Reales
Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales. Conocer
sus propiedades te ayudará a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos en
cualquier disciplina, ya sea en matemática pura, ciencias experimentales, ciencias
sociales, etc.
Sean , entonces se verifican las siguientes propiedades:
Propiedad de la cerradura
La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más números
reales, y el resultado será siempre un número real. Por ejemplo:
Importante: La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO
para la división, no se puede dividir entre cero.
Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes cambiar
el orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el mismo. Por
ejemplo:
Importante: La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división,
pues el resultado se altera.
Propiedad asociativa
La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer sumas o
multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para después sumar
o multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una expresión. Por
ejemplo:
Importante: La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues
el resultado se altera.
Propiedad distributiva
La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de
adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar las operaciones
aritméticas.
Propiedad de identidad (elemento neutro)
La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado
elemento neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el resultado
de la suma:
25 + 0 = 25 el elemento neutro de la adición es el número CERO.
La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número (llamado
elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no cambia el
resultado de la multiplicación:
25 * 1 = 25 el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.
Propiedad del inverso
La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como
sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO.
28 + (-28) = 0 el inverso aditivo para esta suma es el número
La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser usado
como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO.
, el inverso multiplicativo para esta multiplicación es
Operaciones con Números Reales
Suma Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos)
Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.
La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos
números negativos será un número negativo.
Ejemplo.
-5 + (-9)
Solución:
Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.
Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un
signo negativo antes del valor.
Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y
el otro negativo)
Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del
número con el valor absoluto más grande.
La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o
cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el número con mayor valor
absoluto.
Ejemplo.
3 + (-8)
Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto
más pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto.
Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto
mayor que el número 3, por lo que la suma es negativa.
3 + (-8) = -5
Restar
Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por
medio de la regla siguiente.
a – b = a + (-b)
Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a
Ejemplo.
5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5.
5 – 8 = 5 + (-8) = -3
Multiplicación Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos,
multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,
multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplo
Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista
un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un
número par de números negativos.
Propiedad del cero en la multiplicación
Para cualquier número a,
División
Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos,
divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida
sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplos.
Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común
reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho
siguiente.
Exponentes y Radicales
La potenciación o exponenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al
igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales.
En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el
exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la
cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma:
Una de las definiciones de la potenciación, por recurcion, es la siguiente:
x1 = x
Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x¹ = x•x0. Al dividir los dos
términos de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0),
queda que x0=1.
Así que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en
principio, no está definido. Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos
atenemos a la idea de producto vació o simplemente por analogía con el resto de
números.
Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la inversa de la
base, es decir que la potencia pasa con exponente positivo.
Propiedades de la potenciación
Las propiedades de la potenciacion son las siguientes:
Potencia de potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente
igual a la multiplicación de los primeros exponentes.
Multiplicación de potencias de igual base
La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de
base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y
exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no
lo es con respecto a la suma ni a la resta.
En general: ab = ba
Si y sólo si a=b.
En particular:
(a + b)m = am + bm
(a − b)m = am − bm
Se cumple en los siguientes casos:
Si m=1.
Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.
Si a y b son iguales a 0 y m≠0.
Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos
casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.
En particular:
ab = ba
Si y sólo si a=b.
Potencia de exponente 0
Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.
a0 = 1 si se cumple que
Potencia de exponente 1
Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a.
a1 = a
Potencia de base 10
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades
posee el exponente.
101 = 10
como tambien pues ser un conjuntos de numeros potenciados o elevados a un
exponente
106 = 1000000
104 = 10000
Gráfico
gráfico de Y = X2El gráfico de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su
extremo está en el punto (0, 0), a menos que el gráfico sea trasladado. Su sentido de
crecimiento es positivo en ambas direcciones.
Radicación
Es el proceso y el resultado de radicar. Este verbo, por su parte, se refiere a lo
que dispone de arraigo en un determinado lugar. Por ejemplo: “La radicación de la
empresa en el polo industrial debe hacerse en la Secretaría de Producción”, “Los
hechos muestran que la radicación en suelo australiano no fue una buena idea para la
familia González”,
“Tenemos que luchar contra la radicación de esos hábitos nocivos en nuestra
comunidad”.
En el campo de la matemática, se conoce como radicación a la operación que
consiste en obtener la raíz de una cifra o de un enunciado. De este modo, la
radicación es el proceso que, conociendo el índice y el radicando, permite hallar la
raíz. Ésta será la cifra que, una vez elevada al índice, dará como resultado el
radicando.
Para comprender estos conceptos, por lo tanto, hay que reconocer las partes que
forman un radical. La raíz es el número que, multiplicado la cantidad de veces que
indica el índice, da como resultado el radicando.
Supongamos que nos encontramos con un radical que muestra la raíz cúbica de 8.
Tendremos el radicando (8) y el índice o exponente (3, ya que es una raíz cúbica). A
través de la radicación, llegamos a la raíz: 2. Esto quiere decir que 2 elevado al
cubo (2 x 2 x 2) es igual a 8.
Como puede advertirse, la radicación es una operación que resulta inversa a
la potenciación: retomando el ejemplo anterior, vemos que multiplicando 2 x 2 x 2 (2
elevado al cubo) llegamos a la raíz cúbica de 8.
Operaciones con Expresiones Algebraicas
Expresión Algebraica: Es la representación de un símbolo algebraico o de una o
más operaciones algebraicas.
Término: Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios
símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término son
cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
Grado Absoluto de un Término: Es la suma de los exponentes de sus factores
literales.
Clases de Términos
El término entero es el que no tiene denominador literal, el término fraccionario es el
que tiene denominador literal. El término racional es el que no tiene radical, e irracional
el que tiene radical.
Términos Homogéneos: Son los que tienen el mismo grado absoluto.
Términos Heterogéneos: Son los de distinto grado absoluto.
Términos Semejantes: Dos términos son semejantes cuando tienen la misma parte
literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.
10 Ejemplos de Términos Semejantes:
1. x es semejante con 3x ya que ambos términos tienen la misma literal (x).
2. xy2 es un término semejante a -3y2x ya que ambos tienen la misma literal (xy2 =
y2x)
3. 5xyrb es un término semejante con –xyrb
4. 4bx2 no es semejante a 4b2x ya que el literal bx2 no es igual al b2x.
5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk)
6. 4(jk)3 es semejante a 9j3k3 porque (jk)3 = j3k3
7. 5ty es semejante a 3ty
8. 5kl4 es semejante a -2kl4
9. 68lky5 es semejante a -96lky5
10. 378ab3c2 no es semejante a 378a2b3c
CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.
BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos.
TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos.
POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término.
GRADO DE UN MONOMIO
Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El
monomio es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado.
El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado
respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1.
División:
División entre fracciones
En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de
monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética.
Se aplica ley de signos
Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el
dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para
crear el divisor de la división (esto se llama división cruzada)
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como
elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.
Ejemplos:
División de polinomios entre monomios.
Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el
monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.
Pasos:
Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.
Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno
dividido por el monomio.
Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizó en el
capítulo anterior.
Se realizan las sumas y restas necesarias.
Ejemplos:
División entre polinomios.
En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos
a seguir son los siguientes.
Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en
orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los
espacios de los términos que faltan.
El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo
entre el primer miembro del divisor.
Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se
coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo
parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del divisor.
Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se
coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo
primer término no pueda ser dividido por el primer término del divisor.
Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.
La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el
término que se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.
Factorización
Factores
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto entre
sí (de estos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el producto
entre a y a + b, se obtiene:
a y abe, cuyo producto entre sí dan la expresión a2 + ab, estos son los divisores de
a2 + ab de tal manera que:
(X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15
Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15
Ecuaciones
Ecuaciones Lineales
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido
como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de
ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es
de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de
sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y
x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico. a) ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual
a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro
Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
–35x = 182
.
Ecuaciones Fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones
algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo
común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)
Ejemplo:
m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12
Ecuaciones Literales
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
Ejemplo:
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:
Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.
Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas
ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.
Gráficamente, la situación es la siguiente
Representación Gráfica
Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.
En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano
bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una
recta. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas
representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al
mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no
tiene solución.
En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional,
siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un
único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario,
la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá
infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o
superficie. Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe,
por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.
Tipos de sistemas
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que
pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes
casos:
Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse
entre:
Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de
soluciones.
Sistema incompatible si no tiene solución.
Quedando así la clasificación:
Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o
rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se
caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único
punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que
se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión
menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se
caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:
Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales
Sustitución
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier
incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación,
sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida
por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos
despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita
menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente.
Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita Y por ser la de menor coeficiente y
que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la
siguiente ecuación.
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita Y en la otra ecuación,
para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la X
Al resolver la ecuación obtenemos el resultado x = 5,y si ahora sustituimos esta
incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y = 7 ,
con lo que el sistema queda ya resuelto.
Igualación
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de
sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a
continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si
despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por
lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.
.
Una vez obtenido el valor de la incógnita , se sustituye su valor en una de las
ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la .
La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para
despejar x después de averiguar el valor de la y.
Reducción
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos
los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento,
diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una
de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos
dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y
distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la
reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola
incógnita, donde el método de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema:
Método de Gauss
Gauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un
GENIO!
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para
ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales
con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta
forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con
ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir
las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una
misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.
Es:
Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:
Método gráfico
Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método
(manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un
espacio de dimensión 2.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se
resuelve en los siguientes pasos:
1. Se despeja la incógnita (y) en ambas ecuaciones.
2. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo
la tabla de valores correspondientes.
3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4. En este último paso hay tres posibilidades:
1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos
valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".
2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son
las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que
coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado».
3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en los reales pero
si en los complejos.
Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas
Se puede ver:
Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres
da la segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones
independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuación.
Ecuaciones Cuadráticas
Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son
ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas
de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.
Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c
son números reales.
Ejemplo:
9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10
3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0
-6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10
Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones
cuadráticas:
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de
binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8
(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2]
( x + ) (x - ) = 0
(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2
4 · -2 = -8 x + 4 = 0 x – 2 = 0
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x = 0 – 4 x = 0 + 2
x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.
Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la
constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la
siguiente forma:
4x2 + 12x – 8 = 0
4 4 4 4
x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.
Ejemplo:
x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.]
x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]
x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]
x2 + 2x + 1 = 8 + 1
x2 + 2x + 1 = 9
( ) ( ) = 9 Hay que factorizar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.
( x + 1) (x + 1) = 9
(x + 1)2 = 9
(x + 1) = ± √9
x + 1 = ± 3
x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3 x = -1 – 3
x = 2 x = -4
Fórmula General:
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación
cuadrática a la siguiente fórmula:
La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos
(−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a
identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos
resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.
Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0
Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5, así es que:
Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el –
Así es que las soluciones son
Aplicaciones de Ecuaciones Y Desigualdades
Aplicaciones de Ecuaciones
Pasos para la solución de problemas:
1. Leer el problema hasta entenderlo para ser capaz de explicarlo con otras palabras.
2. Identificar la información disponible y qué es lo que se pregunta. 3. Representar la incógnita con un símbolo algebraico, como x. 4. Expresar las demás cantidades en términos de x. 5. Traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicas que contengan x. 6. Resolver las expresiones algebraicas siguiendo los métodos adecuados. 7. Analizar la respuesta algebraica para ver si es posible. 8. Traducir la respuesta algebraica al lenguaje común.
Ejemplo
El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte.
¿Cuántos estudiantes practican deporte?
Solución:
Como
, entonces para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por
0,2, es decir: 240 · 0,2 = 48.
Ejemplo
Entonces 48 alumnos (de los 240) practican deporte.
En un curso con 200 alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombres
aprobaron. Si en el curso el 30% son mujeres, ¿qué porcentaje de alumnos aprobaron
el examen?
Solución:
Cantidad de mujeres: 0,3.200 = 60
Cantidad de mujeres que aprobaron: 0,55.60 = 33
Cantidad de varones: 0,7.200 = 140 (se podría haber hecho 200 – 60 = 140)
Cantidad de varones que aprobaron: 0,65.140 = 91
Total de alumnos que aprobaron: 33 + 91 = 124
Si x representa al porcentaje de alumnos que aprobaron, entonces
Ejemplo
La tía Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo el
doble que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces más que Laura ¿a cuánto le toco cada
uno?
Solución
Laurita=x
Pedro=2x (dos veces más que Laura)
Juanita=5x (cinco veces más que Laurita)
X+2x+5x=160
8x=160
x=160/8
x=20
con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a
pedro 40 y a juanita 100 millones.
Desigualdades Lineales
Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son
iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo
de igual hay unos símbolos:<,>,≤,≥. En una definición decimos que:
Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones
siguientes:
X es mayor que Y
X es menor que Y
Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita La
expresión ,
Quiere decir que "a" no es igual a "b". Según particulares de "a" y de "b", puede
tenerse , que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia es positiva
y , que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia es negativa.
Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor
que la otra".
Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la
izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los
términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad,
lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas
consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero
Ejemplo:
porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero
Ejemplo:
Porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor
Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20
Ejemplo 1:
Casos Especiales
Cuando el lado de la incógnita queda con signo negativo (–), se debe realizar un arreglo para eliminar ese signo negativo, ya que la incógnita nunca debe quedar con valor negativo.
Veamos el siguiente ejemplo:
2x – [x –(x –50)] < x – (800 –3x)
Primero quitamos los paréntesis:
2x – [x –x +50] < x –800 +3x
Reducimos términos semejantes.
2x –[50] < 4x –800
Ahora quitamos los corchetes
2x –50 < 4x –800
Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.
2x –4x < –800 +50
Nuevamente reducimos términos semejantes y llegamos a
–2x < –750
Pero sabemos que no puede quedar signo negativo en la parte de la incógnita,
entonces cambiamos de signo a todo (–2x queda 2x y –750 queda 750), y
además cambiamos el sentido de la desigualdad (< lo cambiamos por >).
2x > 750
Despejamos x pasando al 2 a dividir, luego simplificamos.
Aplicación de Desigualdades
Una compañía produce un determinado número de microscopios; Si duplica su
producción y vende 60 le quedan más de 26 pero si bajara su producción a la tercera
parte y vendiera 5, entonces tendría menos de 10 microscopios. ¿Cuántos
microscopios se fabricaron?
Solución
Número de microscopios fabricados: x
La compañía duplica su producción: 2x
Vende 60 : 2x-60
Le quedan más de 26 : 2x-60 > 26……… (I)
Baja su producción a la tercera parte: x/3
Vende 5 microscopios : x/3 – 5
Tendría menos de 10 : x/3 – 5 < 10…..... (II)
Resolviendo las inecuaciones I y II, tenemos:
2𝑥 − 60 > 26
2𝑥 > 86
𝑥 > 43
1
3𝑥 − 5 < 10 mcm:3
𝑥 − 15 < 30
𝑥 < 45
Es decir, el numero de microscopios fabricados debe ser “mayor que 43” pero “menor
que 45”, resultando x=44.
Rpta. Se fabricaron 44 microscopios.
No es muy común encontrar problemas con inecuaciones, pero de todas formas, si
nos encontramos frente a este caso, debemos plantearlo en lenguaje matemático y
luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el
dato que deseamos conocer).
Veamos un problema sencillo como ejemplo:
Dentro de cinco años, Ximena tendrá no menos de 18 años. ¿Qué edad tiene
actualmente Ximena?
Tenemos entonces:
x edad de Ximena
x + 5 edad de Ximena en 5 años
Sabemos que la edad de Ximena en cinco años será mayor que 18 años (Dentro de cinco años, Ximena tendrá no menos de 18 años).
x + 5 > 18
Resolvemos la inecuación:
x + 5 > 18
x > 18 -5
x > 13
Entonces podemos afirmar que Ximena actualmente tiene más de 13 años, pero no podemos determinar exactamente su edad.
Dos ejemplos de inecuaciones representando la solución en la recta numérica e indicando el intervalo en el cual se ubica ésta:
a)
X pertenece al intervalo que va entre el menos infinito y el menos un sexto incluido.
b)
X pertenece al intervalo que va entre la fracción incluida y el infinito hacia la derecha.
Valor Absoluto
Si el grado de la inecuación es uno (de primer grado), se dice que la inecuación
es lineal.
Esto porque al escribir las desigualdades usamos números y por esto mismo es que
podemos usar la recta numérica para visualizar o graficar dichas desigualdades.
Observa que en la recta de arriba:
4 > –1, porque 4 está a la derecha de –1 en la recta numérica.
–2 < 3, porque –2 está a la izquierda de 3 en la recta numérica
–3 < –1, porque -3 está a la izquierda de –1 en la recta numérica
0 > –4, porque 0 está a la derecha de –4 en la recta numérica
Una inecuación lineal, entonces, es una expresión matemática que describe cómo
se relacionan entre sí dos expresiones lineales.
Por ejemplo: 3 + 5x ≥ 18; y otro, –2(x + 3) < –9.
Como resolver una inecuación
Resolver una inecuación es encontrar el valor de la incógnita para los cuales se
cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o
una unión de intervalos de números reales, por ello es que se puede representar
haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinitos números
reales.
Las reglas para la resolución de una inecuación son prácticamente las mismas que se
emplean para la resolución de ecuaciones, pero deben tenerse presentes las
propiedades de las desigualdades.
Como ya dijimos, se puede ilustrar la solución de una inecuación con una utilizando la
recta numérica y marcando el intervalo entre los números que dan solución a la
desigualdad. Si la solución incluye algún extremo definido del intervalo, en la gráfica
representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no
incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo en blanco.
Ejemplo: x > 7 (equis es mayor que 7)
Los valores mayores a 7 se representan a la derecha de la recta numérica y no incluyen al 7. En intervalo desde el punto blanco hacia el infinito a la derecha se
escribe:
Ejemplo: x ≥ 7 (equis es mayor o igual a 7)
Los valores mayores e iguales a 7 se representan a la derecha de la recta numérica e
incluyen al 7. El intervalo desde el punto negro hacia el infinito a la derecha se
escribe:
Nótese la postura del corchete cuando incluye y cuando no incluye una cifra
determinada dentro del intervalo.
Resolución de inecuaciones lineales (de primer grado) con una incógnita
Veamos algunos ejemplos:
Resolver la inecuación 4x - 3 > 53 (Se lee: cuatro equis menos tres es mayor que 53)
Debemos colocar las letras a un lado y los números al otro lado de la desigualdad (en
este caso, mayor que >), entonces para llevar el –3 al otro lado de la desigualdad, le
aplicamos el operador inverso (el inverso de –3 es +3, porque la operación inversa de
la resta es la suma).
Tendremos: 4x − 3 + 3 > 53 + 3
4x > 53 +3
4x > 56
Ahora tenemos el número 4 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la desigualdad dividiendo (la operación inversa de la multiplicación es la división).
Tendremos ahora: x > 56 ÷ 4
x > 14
Entonces el valor de la incógnita o variable "x" serán todos los números mayores que 14, no incluyendo al 14.
Gráficamente, esta solución la representamos así:
Esto significa que en la recta numérica, desde el número 14 (sin incluirlo) hacia la derecha todos los valores (hasta el infinito + ∞) resuelven la inecuación.
Veamos el siguiente ejemplo: –11x -5x +1 < –65x +36
Llevamos los términos semejantes a un lado de la desigualdad y los términos independientes al otro lado de la desigualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario).
–11x –5x +65x < 36 –1
Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente
49x < 35
Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.
Funciones y Gráficas
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X
(Llamado dominio).
Y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de
Forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del
Codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).
En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen
al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el
costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una
encomienda que depende de su peso.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con
los de la izquierda en la siguiente lista?:
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado":
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
x --------> x2.
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la
letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".
Usualmente se emplean dos notaciones:
x --------> x2 o f(x) = x2 .
Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.
Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc.
Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.
Ejemplo 3
Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo".
Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio y recorrido.
Veamos:
A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).
Dominio = {1, 2, 3} Recorrido = {4, 8, 12}
Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}
Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes:
Si tenemos los conjuntos
A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}
Podemos establecer las relaciones
f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }
g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }
h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }:
Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom (h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).
Ejemplo 4
Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9}, Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada".
Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y.
Veamos:
A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y (
), pero a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.
Dominio y rango de una función
Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x).
Por ejemplo la función f(x) = 3x2 – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.
En cambio, la función tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor
real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.
Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene sentido.
En el caso de la función , el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero
para que exista la raíz cuadrada.
Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente:
Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad sub radical sea mayor o igual a cero.
Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn (donde a0, a1, a2,..., an son constantes y un entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales.
Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero.
El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función.
Ejemplo
Identificar dominio y rango de la función
Veamos:
Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o iguales a 2.
El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo la función f.
Funciones Especiales
Dominio y recorrido
El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de
la gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el
eje y. Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el
eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y).
Ejemplo para discusión:
Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es:
Ejercicio de práctica: Determina el dominio y el recorrido de la siguiente gráfica:
Funciones crecientes, decrecientes y constantes
Definición: Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces:
1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.
2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b<a en I.
3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I.
Ejemplos:
La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.
La función g(x) = -x3 es una función decreciente en los números reales.
La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales.
Gráfica de una Función
Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le
corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x
debe pertenecer al dominio de definición de la función.
Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en
una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la función.
Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la gráfica.
Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica de la
función.
Las gráficas de x ≥ -2 y y < 3, mostradas arriba no tienen nada de especial. Pudimos haber representado las dos relaciones en una recta numérica, y dependiendo del problema que tratamos de resolver, habría sido más fácil hacerlo. Las cosas se vuelven más interesantes cuando graficamos desigualdades lineales con dos variables. Empecemos con una desigualdad básica de dos variables: x > y.
Graficar otras desigualdades en la forma estándar y = mx + b es bastante simple también. Una vez que graficamos la línea límite, podemos encontrar cuál es la región a
sombrear si probamos algunos pares ordenados dentro de la región o, en muchos casos, sólo observando la desigualdad. La gráfica de la desigualdad y > 4x − 5.5 se muestra abajo. La línea límite es la recta y = 4x − 5.5, y está punteada porque nuestro término y es “mayor que,” no “mayor o igual que.”
Gráficas en Coordenadas Rectangulares
Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas graduadas,
perpendiculares, que se cortan en un punto O(0,0), llamado origen de coordenadas. A
la recta horizontal se llama eje de abscisas, y a su perpendicular por O, eje de
ordenadas.
Se puede representar una función en el plano haciendo corresponder a cada par del
grafo un punto determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su variable y
en el de ordenadas, su correspondiente imagen.
Función identidad
La función identidad es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el
conjunto de los números reales.
Función lineal
Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de
cero, m y b son números reales. La restricción m diferente de cero implica que la
gráfica no es una recta horizontal. Tampoco su gráfica es una recta vertical. El
dominio y el recorrido (rango) de una función lineal es el conjunto de los números
reales.
Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números
reales y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales. El
intercepto en y es (0,b).
Rectas, Parábolas y Sistemas de Ecuaciones
Rectas
Pendiente de una recta
Muchas relaciones entre cantidades pueden ser representadas de manera adecuada
por rectas. Una característica de una recta es su "inclinaci6n". Por ejemplo, en la figura
4.1 la recta Ll crece más rápido que la recta L2 cuando va de izquierda a derecha. En
este sentido Ll está más inclinada respecto a la horizontal.
Para medir la inclinaci6n de una recta usamos la noci6n de pendiente. En la figura 4.2,
conforme nos movemos a 10 largo de la recta L de (1, 3) a (3, 7), la coordenada x
aumenta desde 1 hasta 3.
Definición
Sean (Xl' Y l) Y (X2' Y2) das puntas diferentes sobre una recta no vertical. La
pendiente de la recta es el numero m dado por
Una recta vertical no tiene pendiente, porque cualesquiera dos puntos sobre ella
deben tener Xl = X2 que da un denominador de cero en la ecuación (1). Para una
recta horizontal, cualesquiera dos puntos deben tener Yl = Y2 Esto da un numerador
de cero en la ecuaci6n (1) y, por tanto, la pendiente de 1a recta es cero.
Ejemplo 1 Relación precio/cantidad
La recta de La figura 4.4 muestra La relación entre el precio p de un artículo (en
dólares) Y La cantidad q de artículos (en miles) que Los consumidores comprarán a
ese precio. Determinar e interpretar la pendiente.
Solución: En la fórmula de la pendiente (1) reemplazamos x por q y y por p. En la
figura 4.4, cualquier punto puede ser seleccionado como (q" P'). Haciendo (2, 4) (qI pI)
Y (8, 1) = (q2' p2)' tenemos:
La pendiente es negativa, -t. Esto significa que por cada unidad que aumente la
cantidad (un millar de artículos), habrá una disminución de t (d6lar por artículo) en el
precio. Debido a esta disminuci6n, la recta desciende de izquierda a derecha.
• En resumen, podemos caracterizar la orientación de una recta por su pendiente:
Pendiente cero: recta horizontal
Pendiente indefinida: recta vertical
Pendiente positiva: recta que sube de izquierda a derecha
Pendiente negativa: recta que desciende de izquierda a derecha
Observe que entre más cercana a cero es la pendiente, está más cerca de ser
horizontal. Entre mayor valor absoluto tenga la pendiente, la recta estará más cercana
a ser vertical.
Notamos que dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente o son
verticales.
Ecuaciones de rectas
Si conocemos un punto y la pendiente de una recta, podemos encontrar una ecuación
cuya gráfica es esa recta. Suponga que la recta L tiene pendiente m y pasa a través
del punto (xl' YI)' Si (x, y) es cualquier otro punto sobre L (podemos encontrar una
relación algebraica entre x y y. Utilizando la fórmula de la pendiente con los puntos (XI'
y I) y (x, y), se obtiene
Ejemplo 2 Forma punto-pendiente
Determinar una ecuaci6n de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el punto (I, -3).
Seleccionando (4, - 2) como (x" Y,) darla un resultado equivalente.
Solución: Utilizando una forma punto-pendiente con m = 2 Y (x" Y,) = (I, -3), se obtiene
Ejemplo 4 Forma pendiente-ordenada al origen
Encontrar una ecuación de La recta con pendiente 3 e intercepci6n y - 4.
Solución: Utilizando la forma pendiente-ordenada al origen y = mx + b con 111 ::: 3 y
b= - 4, se obtiene:
Rectas paralelas y perpendiculares
Como se estableció previamente, existe una regia para rectas paralelas:
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si y s610 si tienen la misma pendiente 0 son verticales.
También existe una regia para rectas perpendiculares. y observe que la recta con
pendiente -+ es perpendicular a la recta con pendiente 2.
EI hecho de que la pendiente de cada una de estas rectas sea el recíproco negativo
de la pendiente de la otra recta, no es coincidencia, como lo establece la siguiente
regla.
Ejemplo 5 Rectas paralelas y perpendiculares
La figura muestra dos rectas que pasan por (3, - 2). Una es paralela a la recta y = 3x +
1, y la otra es perpendicular a ella. Determinar las ecuaciones de estas rectas
Aplicaciones y Funciones Lineales
Suponga que un fabricante utiliza 100 \libras de material para hacer los productos A y
B, que requieren de 4 y 2 libras de material por unidad, respectivamente. Si x y y
denotan el número de unidades producidas de A y B, respectivamente, entonces todos
los niveles de producción están dados por las combinaciones de x y y que satisfacen
la ecuación.
Resolviendo para y se obtiene:
de modo que la pendiente es -2. La pendiente refleja la tasa de cambio del nivel de
producci6n B con respecto al de A. Por ejemplo, si se produce una unidad adicional de
A, se requerirán 4libras mas de material, resultando t = 2 unidades menos de B. Por
tanto cuando x aumenta en una unidad, el valor correspondiente de y disminuye en 2
unidades. Para bosquejar la gráfica de y = -2x + 50, podemos utilizar la intercepción y
(0,50) y el hecho de que cuando x = 10, Y = 30
Curvas de demanda y de oferta Para cada nivel de precio de un producto existe una cantidad correspondiente de ese
producto que los consumidores demandaran (esto es, compraran) durante algún
periodo.
Por 10 común, a mayor precio, la cantidad demandada es menor; cuando el precio
baja, la cantidad demandada aumenta. Si el precio por unidad del producto está dado
por p y una cantidad (en unidades) está dada por q. Entonces una ecuación que
relaciona p y q es llamada ecuación de demanda. Su gráfica es la curva de demanda.
La Figura 4.14(a) muestra una curva de demanda.
De acuerdo con la práctica de la mayoría de los economistas, el eje horizontal es el eje
q y el eje vertical es el p. Supondremos que el precio por unidad esta dado en dólares
y el periodo es una semana.
Así el punto (a, b) en la Figura 4.14(a) indica que, a un precio de b dólares por unidad,
los consumidores demandaran a unidades por semana. Como precios 0 cantidades
negativos no tienen sentido, a y b deben ser no negativos. Para la mayoría de los
productos, un incremento en la cantidad demandada que corresponde una disminución
en el precio. Por tanto, una curva de demanda en general desciende de izquierda a
derecha, como en la Figura 4. 14(a).
Como respuesta a diferentes precios, existe una cantidad correspondiente de
productos que los productores están dispuestos a proveer al mercado durante algún
periodo.
Usualmente, a mayor precio por unidad es mayor la cantidad que los productores
están dispuestos a proveer; cuando el precio disminuye también 10 hace la cantidad
suministrada.
Si p denota el precio por unidad y q la cantidad correspondiente, entonces una
ecuaci6n que relaciona p y q es llamada ecuación de oferta y su gráfica es una curva
de oferta.
La figura 4.14 (b) muestra una curva de oferta. Si p está en dólares y el periodo es una
semana, entonces el punto (c, d) indica que a un precio de d d61ares cada una, los
productores proveerán c unidades por semana. Como antes, c y d son no negativos.
Una curva de oferta por 10 regular asciende de izquierda a derecha, como en la figura
4. 14(b).
Esto indica que un fabricante suministrara más de un producto a precios mayores.
Centraremos la atención ahora en las curvas de oferta y de demanda que son líneas
rectas (figura 4. IS). Son llamadas curvas de oferta lineal y de demanda lineal.
Tales curvas tienen ecuaciones en las que p y q están linealmente relacionadas.
Puesto que una curva de demanda por 10 regular desciende de izquierda a derecha,
una curva de demanda lineal tiene pendiente negativa.
Sin embargo, la pendiente de una curva de oferta lineal es positiva ya que la curva
asciende de izquierda a derecha.
Ejemplo 2 Determinación de una ecuación de demanda
Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando el
precio es de $S8 por unidad, y de 200 unidades si son a $SI cada una. Determinar
la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal.
Solución:
Estrategia: Ya que la ecuación de demanda es lineal, la curva de demanda debe ser
una línea recta. Tenemos que la cantidad q y el precio p están relacionados
linealmente de tal modo que p = 58 cuando q = 100, Y P = 51 cuando q =200. Estos
datos pueden .ser representados en un plano de coordenadas q. p por los puntos
(100,58) y (200, 51). Con estos puntos podemos encontrar una ecuación de la recta,
esto es, la ecuación de demanda.
La pendiente de la recta que pasa por (100, 58) y (200, 51) es
Una ecuación de la recta (forma punto-pendiente) es
Simplificando, da la ecuaci6n de demanda
Por costumbre, una ecuación de demanda (así como una ecuación de oferta) expresa
P en términos de q y define una función de q. Por ejemplo, la ecuación (I) define P
como una función de q y es llamada la función de demanda para el producto
Funciones Lineales
En la sección 3.2 se describió una función lineal. A continuación se presenta una
definición formal.
Definición
Una función f es una función lineal si y solo si f(x) puede ser escrita en la forma f(x)=
ax + b, en donde a y b son constantes y a≠ O.
Ejemplo 3 Graficación de funciones lineales
a. Graficar f(x) = 2x - 1.
Solución: Aquí f es una función lineal (con pendiente 2), de modo que su gráfica es una recta. Como dos puntos determinan una recta, solo necesitamos graficar dos puntos y después dibujar una recta que pase por ellos. Observe que uno de los puntos graficados es la intercepción en el eje vertical, -I, que ocurre cuando x = O.
Funciones Cuadráticas
Definición Una función f es una función cuadrática si y solo si f(x) puede ser escrita en la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a"# O. Por ejemplo: f(x) = x2- 3x + 2 Y F(t) = -3t2 son funciones cuadráticas. Sin embargo, g(x) = - 2 no es cuadrática ya que no puede ser escrita en la forma g(x) =ax2 + bx + c. La gráfica de la función cuadrática y = f(x) = ax2 + bx + c es llamada parábola y tiene
una forma parecida a las curvas de la figura 4.19. Si a > 0, la gráfica se extiende hacia
arriba de manera indefinida y decimos que la parábola se abre hacia arriba. Si a < 0,
entonces la parábola se abre hacia abajo.
Cada parábola en la figura 4.19 es simétrica con respecto a una recta vertical, llamada el eje de simetría de la parábola. Esto es, si la página fuera doblada en una de estas rectas, las dos mitades de la parábola correspondiente coincidirían. El eje (de simetría) no es parte de la parábola, pero es una ayuda útil al bosquejarla.
La figura 4.19 también muestra puntos etiquetados como vértice, donde el eje corta a
la parábola. Si a > 0, el vértice es el punto "más bajo" de la parábola. Esto significa
que f(x) tiene un valor mínimo en ese punto. Realizando manipulaciones algebraicas
sobre ax2 + bx + c (completar el cuadrado), podemos determinar no solo este valor
mínimo, sino también en donde ocurre. Tenemos:
Rápidamente podemos bosquejar la gráfica de una funci6n cuadrática localizando
primero el vértice, la intercepción y y unos cuantos puntos más, aquellos en donde la
parábola interseca al eje x. Las intercepciones x se encuentran al hacer y = 0y
resolviendo para x. Una vez que las intercepciones y el vértice han sido
1encontrados,es relativamente fácil trazar la parábola apropiada a través de estos
puntos. Cuando las intercepciones x estén muy cercanas al vértice, 0 no existan,
fijaremos un punto a cada lado del vértice de modo que podamos dar un bosquejo
razonable dela parábola. Tenga en cuenta que una recta vertical (con Iínea punteada)
a través del vértice da el eje de simetría. Graficando puntos a un lado del eje,
podemos obtener por simetría los correspondientes del otro lado.
Ejemplo 1 Graficación de una función cuadrática Graficar La funci6n cuadrática y = f(x) = _x2 - 4x + 12.
Solución: Aquí a = -I, b = -4 Y c = 12. Como a < 0, la parábola abre hacia abajo y
por tanto tiene un punto más alto. La coordenada x del vértice es b -4- 2a = - 2( - I) = -
2.
La coordenada y es f{ -2) = _(_2)2 - 4(-2) + 12 = 16. Así, el vértice es (-2, 16), de modo que el valor máximo de f{x) es 16. Ya que c = 12, la intercepci6n y es 12. Para encontrar las intercepciones x, hacemos y igual a cero en y =I-X2 - 4x + 12 y resolvemos para x.
o = - x2 - 4x + 12,
o = - (x2 + 4x - 12),
o = - (x + 6)(x - 2).
Así x = -6 0 x = 2, de modo que las intercepciones x son -6 y 2. Ahora trazamos el vértice, el eje de simetría y las intercepciones Como (0, 12) está dos unidades a la derecha del eje, existe un punto correspondiente dos unidades a la izquierda del eje con la misma coordenada y. Por tanto, obtenemos el punto (-4.12). Pasando por todos los puntos, dibujamos una parábola que abra hacia abajo.
Ejemplo 2 Graficación de una función cuadrática
Graficar p = 2q2.
Solución: Aquí p es una función cuadrática de q, donde a = 2, b = 0 y c = O. Como a>
0, la parábola abre hacia arriba y, por tanto, tiene un punto más bajo. La coordenada q
del vértice es (0,0) en este caso el eje p y la coordenada p es 2(0)2 = O. Así el valor
mínima de p es 0 y el vértice es
En este caso el eje p es el eje de simetría. Una parábola que abre hacia arriba con
vértice en (0, 0) no puede tener ninguna otra intercepción. De aquí que para bosquejar
una gráfica razonable graficamos un punto a cada lado del vértice. Si q = 2, entonces
p =8. Esto da el punto (2,8) y, por simetría, el punto (- 2,8)
Ejemplo 3 Graficación de una función cuadrática
Graficar g(x) = x2- 6x + 7.
Solución: Aquí g es una función cuadrática, donde a = 1, b = - 6 y c = 7. La parábola
abre hacia arriba ya que a > O. La coordenada x del vértice (el punto más bajo) es
Y g (3) = 32 - 6(3) + 7 = - 2, que es el valor mínimo de g(x) . Por tanto el vértice es
(3,2). Ya que c =7, la intercepción con el eje vertical es 7. Para encontrar las
intercepciones x, hacemos g(x) = o.
o = x2 .- 6x + 7
El lado derecho no se puede factorizar fácilmente, de modo que usaremos la fórmula cuadrática al resolver para x,
Ejemplo 4 Graficación de una función cuadrática Graficar y = f(x) = 2x2 + 2x + 3 y encuentre el rango de f
Solución: Esta función es cuadrática con a = 2, b = 2 Y c = 3. Como a> 0 la gráfica es
una parábola que se abre hacia arriba. La coordenada x del vértice es
Y la coordenada y es 2(-t)2 +2(-t)+3=t. Así el vértice es (-t,t)·Como la intercepción y es
3. Una parábola que abre hacia arriba con su vértice arriba eje x, no tiene
intercepciones x. En la figura 4.23 graficamos la intercepción y, el
Vértice y un punto adicional (-2, 7) ala izquierda del vértice. Por simetría, también
obtenemos el punto (I, 7). Trazando una para bola a través de estos puntos se obtiene
la gráfica deseada.
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sistemas con Dos Variables
Cuando una situación debe ser descrita matemáticamente, no es raro que surja un
conjunto de ecuaciones. Por ejemplo, suponga que el administrador de una fábrica
establece un plan de producción para dos modelos de Un producto nuevo. El modelo
A requiere de 4 piezas del tipo I y 9 piezas del tipo II. El modelo B requiere de 5 piezas
del tipo I y 14 piezas del tipo II. De sus proveedores, la fábrica obtiene 335 piezas del
tipo I y 850 piezas del tipo II cada día. De cada modelo, cuantos debe producir cada
día de modo que todas las piezas del tipo I y piezas del tipo II sean utilizadas?
Es buena idea construir una tabla que resuma la informaci6n importante. La tabla 4.2
muestra el número de piezas del tipo I y piezas del tipo II requeridas para cada
modelo, así como el número total disponible.
Suponga que hacemos x igual al número de artículos del modele A fabricados cada
día y y igual al número de artículos del modele B. Entonces estos requieren de 4x + 5y
piezas del tipo I y 9x + 14y piezas del tipo II. Como están disponibles 335 y 850 piezas
del tipo I y II, respectivamente, tenemos
A este conjunto de ecuaciones Ie llamamos sistema de dos ecuaciones lineales en las variables (0 incógnitas), x y y. El problema es encontrar valores de x y y para los cuales ambas ecuaciones sean verdaderas de manera simultánea. Estos valores son llamados soluciones del sistema.
Sistemas no lineales
Un sistema de ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal se llama sistema no lineal. Con frecuencia podemos resolver un sistema no lineal por sustitución, como se hizo con los sistemas lineales. Los ejemplos siguientes 10 ilustran Ejemplo 1 Solución de un sistema no lineal Solución: X2 - 2x + Y - 7 = 0, 3x - y + 1 = 0 Estrategia: Si un sistema no lineal contiene una ecuaci6n lineal, en general resolvemos la ecuación lineal para una de las variables y sustituimos esta variable en la otra ecuación. Ejemplo 1 Solución de un sistema no lineal
Solución:
Estrategia: Si un sistema no lineal contiene una ecuación lineal, en general·
resolvemos la ecuación lineal para una de las variables y sustituimos esa variable en
otra ecuación.
Resolviendo la ecuación (2) para y se obtiene:
y= 3x + 1
Sustituyendo en la ecuación (1) y simplificando, tenemos:
Si x = -3, entonces la ecuaci6n (3) implica y = -8; si x = 2, entonces y = 7. Debe
verificar que cada pareja de val ores satisfaga la ecuación dada. De aquí que las
soluciones sean x = -3, y = -8 Y x = 2, y = 7. Estas soluciones pueden ser vistas
geométricamente en la gráfica del sistema de la figura 4.37. Observe que la gráfica de
la ecuación (1) es una parábola y la de la ecuaci6n (2) una recta. Las solucione
corresponden a los puntos de intersecci6n (-3, -8) Y (2, 7).
Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones
Equilibrio
Recuerde de la secci6n 4.2 que una ecuaci6n que relaciona el precio por unidad y,
cantidad demandada (suministrada), es llamada ecuación de demanda (ecuación de
oferta). Suponga que para un producto Z la ecuación de demanda es
Donde q, p ≥ O. Las correspondientes curvas de demanda y oferta son las líneas de
las figuras 4.40 y 4.41 . AI analizar la figura 4.40, vemos que los clientes comprarán.
Cuando el precio sea $6; y así sucesivamente. La figura 4.41 muestra que cuando el
precio es de $9 por unidad, los productores colocarán 300 unidades por semana en el
mercado; a $10 colocarán in 600 unidades y así sucesivamente.
Cuando las curvas de demanda y oferta de un producto son representadas en el
mismo plano de coordenadas, el punto (m, n) en donde las curvas se intersecan es
llamado punto de equilibrio. El precio n, llamado precio de equilibrio, es el precio al que
los consumidores comprarán la misma cantidad de un producto que los productores
ofrezcan a ese precio. En resumen, n es el precio en que ocurre una estabilidad entre
productor y consumidor. La cantidad m es Hamada cantidad de equilibrio.
Para determinar con precisi6n el punto de equilibrio, resolvemos el sistema formado
por las ecuaciones de of en a y demanda. Hacemos esto para los datos anteriores, es
decir el sistema.
Y el punto de equilibrio es (450, 9.50). Por tanto, al precio de $9.50 por unidad, los fabricantes producirán exactamente la cantidad (450) de unidades por semana que los consumidores comprarán a ese precio.
Programación Lineal
Es un enfoque de solución de problemas elaborado para ayudar a tomar decisiones.
Es un modelo matemático con una función objetivo lineal, un conjunto de restricciones
lineales variables no negativas. En el ambiente de negocios actual, pueden
encontrarse gran cantidad de aplicaciones.
La función objetivo define la cantidad que se va a maximizar o minimizar en un modelo
de programación lineal.
Las restricciones limitan o reducen el grado en que puede perseguirse el objetivo.
Las variables son las entradas controlables en el problema.
Para resolver un problema de programación lineal es recomendable seguir ciertos
pasos que son:
1. Entender el problema a fondo.
2. Describir el objetivo.
3. Describir cada restricción.
4. Definir las variables de decisión.
5. Escribir el objetivo en función de las
variables de decisión.
6. Escribir las restricciones en función de
las variables de decisión.
7. Agregar las restricciones de no negatividad.
Términos Claves
Modelo Matemático
Representación de un problema donde el objetivo y todas las condiciones de
restricción se describen con expresiones matemáticas.
Restricciones de no negatividad
Conjunto de restricciones que requiere que todas las variables sean no negativas.
Solución Factible
Solución que satisface simultáneamente todas las restricciones.
Región Factible
Conjunto de todas las soluciones factibles.
Variable de holgura
Variable agregada al lado izquierdo de una restricción de "menos o igual que" para
convertir la restricción en una igualdad. El valor de esta variable comúnmente puede
interpretarse como la cantidad de recurso no usado.
Forma Estándar
Programación lineal en el que todas las restricciones están escritas como igualdades.
La solución óptima de la forma estándar de un programa lineal es la misma que la
solución óptima de la formulación original del programa lineal.
Punto Extremo
Desde el punto de vista gráfico, los puntos extremos son los puntos de solución
factible que ocurren en los vértices o "esquinas" de la región factible. Con problemas
de dos variables, los puntos extremos están determinados por la intersección de las
líneas de restricción.
Deberes
Ecuaciones
Talleres
Ejercicios de inecuaciones
Evaluciones