portafolio de algebra

Universidad politécnica estatal del Carchi

Alumna: Gabriela malquin

Escuela de desarrollo integral agropecuario

Ing. Óscar lomas

Primero “b”

Portafolio de algebra

I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO

UPEC - MISIÓN MISIÓN - ESCUELA

Formar profesionales humanistas,

emprendedores y competentes, poseedores

de conocimientos científicos y tecnológicos;

La Escuela de Desarrollo Integral

Agropecuario contribuye al desarrollo

Provincial, Regional y Nacional, entregando

comprometida con la investigación y la

solución de problemas del entorno para

contribuir con el desarrollo y la integración

fronteriza

profesionales que participan en la

producción, transformación, investigación y

dinamización del sector agropecuario y

agroindustrial, vinculados con la comunidad,

todo esto con criterios de eficiencia y calidad

UPEC - VISIÓN VISIÓN – ESCUELA

Ser una Universidad Politécnica acreditada

por su calidad y posicionamiento regional

Liderar a nivel regional el proceso de formación y lograr la excelencia académica generando profesionales competentes en Desarrollo Integral Agropecuario, con un sólido apoyo basado en el profesionalismo y actualización de los docentes, en la investigación, criticidad y creatividad de los estudiantes, con una moderna infraestructura que incorpore los últimos adelantos tecnológicos, pedagógicos y que implique un ejercicio profesional caracterizado por la explotación racional de los recursos naturales, producción limpia, principios de equidad, participación, ancestralidad, que den seguridad y consigan la soberanía alimentaria.

ÁREA CONOCIMIENTO ESCUELA CINE-UNESCO SUB-ÁREA CONOCIMIENTO CINE-UNESCO

Agricultura. Agricultura, Silvicultura y Pesca.

II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:

CÓDIGO NIVEL PRIMERO

DOCENTE: Oscar René Lomas Reyes Ing.

TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: [email protected]

[email protected]

CRÉDITOS T 1 CRÉDITOS P 2 TOTAL CRÉDITOS 3

HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS48

PRE-REQUISITOS: (Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo)CÓDIGOS

1. Nivelación Aprobada

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

CO-REQUISITOS: (Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo)CÓDIGOS

1. Física Aplicada 1

EJE DE FORMACIÓN: (En la malla ubicado en un eje con un nombre) PROFESIONAL

ÁREA DE FORMACIÓN: (En la malla agrupado con un color y un nombre) Agrícola

LIBRO(S) BASE DEL MÓDULO: (Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio )

Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México

LIBRO(S) REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO: (Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC

para estudio)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid

España.

Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia

Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.

Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

Sánchez A. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.

http://www.sectormatematica.cl /libros.htm. Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis.

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado : Septiembre 2012

Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO: (Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de

aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas

El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del

http://www.sectormatematica.cl/

entorno a través del conocimiento matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos,

análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía, al campo empresarial de manera

preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje

académico pedagógico de los educandos.

III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL

Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).

Escaso razonamiento lógico matemático

Competencia GENÉRICA - UPEC: (Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)

Desarrollar el pensamiento lógico

Competencia GLOBAL - ESCUELA: (Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA)

Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural

Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO: (Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL)

Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas para plantear y resolver problemas del entorno.

NIVELES DE LOGRO PROCESO

COG NITIVO

LOGROS DE APRENDIZAJE

(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías

El estudiante es capaz de:

DIMENSIÓN

(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro)

1. TEÓRICO BÁSICO RECORDARMLP

Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático.

FACTUAL.- Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.

2. TEÓRICO AVANZADO ENTENDER

Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático.

CONCEPTUAL.- Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.

PROCESAL.- Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

3. PRÁCTICO BÁSICO APLICAR

Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático.


4. PRÁCTICO AVANZADO ANALIZAR

Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados


5. TEÓRICO PRÁCTICO BÁSICO EVALUAR

Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados.

CONCEPTUAL.- Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.


6. TEÓRICO PRÁCTICOAVANZADO CREAR

Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno.

1. FACTUAL.- Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.

2. CONCEPTUAL.- Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.

3. PROCESAL.- Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

4. METACOGNITIVO.- Si el estudiante llega a adquirir EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN GENERAL, así como la sensibilización y el conocimiento del propio conocimiento.

Trabajo interdisciplinar: (Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA).

Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas discretas.

IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:


(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

El estudiante será capaz de

CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS LOGROS ESPERADOS ESTRATEGIAS

DIDÁCTICAS

Estrategias, métodos y técnicas

HORAS CLASE

COGNITIVOS

¿Qué TIENE que saber?

PROCEDIMENTALES

¿Saber cómo TIENE que aplicar el conocimiento?

AFECTIVO MOTIVACIONALES

¿Saber qué y cómo TIENE actuar axiológicamente?

T P


Sistema de Números

Reales

Recta de números Reales

Operaciones Binarias

Potenciación y

Radicación

Propiedades

fundamentales

Aplicaciones

Utilizar organizadores gráficos para identificar las clases de números reales que existe

Utilizar organizadores gráficos para ubicar los elementos

Relacionar en la uve heurística

Identificar los diferentes propiedades en potenciación y radicación

Hacer síntesis gráfica

Repasar los conocimientos adquiridos y aplicarlos a la vida del profesional Turístico

Demostrar comprensión sobre los tipos de números reales

Disposición para trabajar en equipo

Utilizar una actitud reflexiva y critica sobre la importancia de la matemática básica

Aceptar opiniones diferentes

Potenciar el clima positivo

Aceptar errores y elevar el autoestima para que pueda actuar de manera autónoma y eficiente

DEMOSTRAR.

1. Caracterizar los números reales para la demostración

2. Seleccionar los argumentos y hechos que corroboraron los números reales.

CONVERSACIÓN HEURISTICA

1. Determinación del problema.

2. Dialogo mediante preguntas.

3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución.

2 4

Diferenciar los conceptos Expresiones algebraicas: Aplicar operaciones mentales Aceptar opiniones divergentes INDUCTIVO-DEDUCTIVO 2 4

básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático.

nomenclatura y clasificación.

Polinomios clasificación.

Operaciones con Polinomios: adición, resta, multiplicación y división.

Productos notables.

Descomposición Factorial

Identificar los diferentes tipos polinomios

Aplicar operaciones mentales en la resolución de un sistema de ecuaciones.

Identificar los diferentes tipos de productos notables

Resolver ejercicios

Destacar la solidaridad en los ambientes de trabajo

Potenciar la resolución de problemas

Valorar las participaciones de los demás

Demostrar grado por lo que hacemos

INDUCTIVO

1.Observación

2. Experimentación.

3. Información (oral, escrita, gráfica, etc.)

4. Dramatización.

5. Resolución de problemas.

6. comprobación.

7. Asociación (especial temporal y casual)

8. Abstracción.

9. Generalización.

10. Resúmenes.

11. Ejercicios de fijación.

CONVERSACIÓN HEURISTICA

1. Determinación del problema.

2. Dialogo mediante preguntas.

3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución.

Máximo común divisor de polinomios.

Resolver ejercicios con polinomios sencillos y complejos

Utilizar una actitud crítica y reflexiva sobre el tema.

RAZONAR

1. Determinar las

3 6


Mínimo común múltiplos de polinomios.

Operaciones con

fracciones.

Aplicaciones

Aplicar procesos de resolución adecuados para resolver problemas.

Resolver ejercicios aplicando en forma conjunta los máximos y los mínimos

Distinguir los componentes de las expresiones racionales

Cooperar en el desarrollo del conocimiento.

Demostrar confianza en el desarrollo del proceso.

Cooperar con el grupo en la resolución de funciones.

premisas.2. Encontrar la relación

de inferencia entre las premisas a través del término medio.

3. Elaborar las conclusiones.

RELACIONAR.

1. Analizar de manera independiente los objetos a relacionar.

2. Determinar los criterios de relación entre los objetos


Ecuaciones lineales, resolución

Sistemas lineales y clasificación.

Resolución de ecuaciones lineales.

Aplicaciones

Plantear ecuaciones lineales.

Identificar los sistemas líneas y su clasificación

Elaborar modelos matemáticos en la solución de problemas de la carrera

Implementar procesos de resolución adecuados en problemas reales.

Trabajar con eficiencia y eficacia respetando los criterios en la resolución de problemas.

Demostrar interés en el trabajo individual y de equipo

Respetar las opiniones del grupo y fuera de él.

Expresar coherencia en las soluciones propuestas valorando las iniciativas de cada participante.

EXPOSICION PROBLEMICA.

1. Determinar el problema.

2. Realizar el encuadre del problema.

3. Comunicar el conocimiento.

4. Formulación de la hipótesis.

5. Determinar los procedimientos para resolver problemas.

6. Encontrar solución (fuentes, argumentos, búsqueda, contradicciones)

3 6


Definición y clasificación.

Ecuaciones reducibles a cuadráticas

Resolución de ecuaciones cuadráticas por factoreo.

Resolución por completación de un trinomio cuadrado.

Nombrar la definición de ecuaciones cuadráticas

Reducir a expresiones sencillas las expresiones cuadráticas

Resolver ejercicios sobre expresiones cuadráticas

Ejercitar las operaciones con polinomios incompletos.

Utilizar creatividad y capacidad de análisis y síntesis respetando los criterios del grupo.

Demostrar razonamiento crítico y reflexivo cooperando en la obtención de resultados

EXPOSICIÓN PROBLEMICA

1. Determinar el problema

2. Realizar el encuadre del problema

3. Comunicar el conocimiento (conferencia ,video )

4. Formulación de la hipótesis ( interacción

3 6

de las partes)


Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.

Aplicaciones de la ecuación cuadrática.

Aplicar la fórmula general para la resolución de ecuaciones cuadráticas

Distinguir los componentes de las expresiones racionales

Valorar la creatividad de los demás

Respetar el criterio del grupo.

1. Determinar los procedimientos para resolver problemas.

2. Encontrar la solución ( fuentes ,argumentos, búsqueda ,contradicciones)

3 6

V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO


(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE

COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE

indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados

DIMENSIÓN

(Elija el grado de complejidad que UD.

EXIGIRÁ para alcanzar el logro)

INDICADORES DE LOGRO DE INGENIERIA

descripciónTÉCNICAS e INSTRUMENTOS de

EVALUACIÓN

1° PARCIA

L

2° PARCIA

L

3° PARCIA

L

SUPLETORIO


FACTUAL. Interpretar información. Deberes

Trabajos

Consultas

Participación virtual

Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%


CONCEPTUAL. Interpretar la información. Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%


CONCEPTUAL. Modelar, simular sistemas complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

10%

10%

10%

10%

50%

Portafolio Documento 10% 100%


PROCESAL Analizar problemas y sistemas complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10% 100%


CONCEPTUAL Desarrollar una estrategia para el diseño.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

5%

5%

5%

5%

25%

5%


FACTUAL.

CONCEPTUAL.

PROCESAL

METACOGNITIVO

Interpretar información.

Modelar, simular sistemas complejos.

Analizar problemas y sistemas complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

5%

5%

5%

5%

25%

5% 100%

ESCALA DE VALORACIÓN

Nivel ponderado de aspiración y alcance

9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio 7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable

8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio 4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable

VI. GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS


(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB -

COMPETENCIAS)

APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE

HORAS AUTÓNO

MAS

INSTRUCCIONES RECURSOS PRODUCTO

T P


Consulte información en el internet y textos especializados los conceptos de números reales, presentar en organizadores gráficos.

Prueba

Libros.

Copias

Documentos en pdf.

Descarga de documentos de la web.

Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números reales.

2 4


Consulta sobre la definición de un monomio y polinomio.

Grado de un polinomio y su ordenamiento

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


Identifica los tipos de polinomios 2 4


Distinguir plenamente entre expresiones racionales e irracionales

Libros.

Copias

Documentos en pdf.

Distinguir plenamente entre expresiones racionales e irracionales

3 6


Dar solución a ecuaciones de primer grado

Libros.CopiasDocumentos en pdf.Descarga de documentos de la web.

Dar solución a ecuaciones de primer grado 3 6

Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas

Identificar los tipos de soluciones que pueden

Libros. Identificar los tipos de soluciones que pueden 3 6

planteados. presentarse en la solución de expresiones cuadráticas.

Copias

Documentos en pdf.


presentarse en la solución de expresiones cuadráticas


3 6

PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel )

TOTAL

16 32

CRÉDITOS

1 2

3

VII. Bibliografía.

BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA)

Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México

COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda

edición: Madrid España.

Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia

Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición:

Colombia.

Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

Sánchez A. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.

http://www.sectormatematica.cl /libros.htm. Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis.

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado : Septiembre 2012

Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DOCENTES:

Firma:

Nombres y Apellidos Oscar Rene Lomas Reyes Ing.

http://www.sectormatematica.cl/

Algebra

Es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética.

Primer ejercicio

1._en una finca existen 2 palmeras que enlista la una de la otra en 50 m la palmera Atiene 30 m de altura y la palmera B tiene 20m , en la copa de las palmeras existen 2 pajaros en cada una de estas ; entre las palmeras hay un lago los pajaros ven que hay un pes y se lanzan y llegan al mismo instante , esto implica que si llegan al mismo instante .

A que distancia se encuetra el pes de la primera palmera y a que distancia se encuentra la 2da palmera del pez .

Resolución.

C2=a2+b2 c2=a2+b2

C2=202+x2 c2=302+x2

C2=400+(50-x)2

H2=302+X2 a2-2ab+b2

H2=202+(50-X)2 502-2.(50)(x)+(x)2

302+X2=202+(50-X)2 2500-100x+x2//

900+X2=400+2500-100X+X2

100X=2500+400-900

100X=2000

X=20//

http://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica

2._ en la UPEC existe un edificio de 40 m a las 10 am este proyecta una de 1/3 adicional de lo que mide el edificio ¿Cuánto mide desde el edificio asta el final de la sombra

Resolución

40+(1/3x40)

40+13,33=53.33m

C2=a2+b2

53.332=402+x2

X2=28.43-1600

X2=1243

3._marco y Paola son estudiantes universitarios y el día de hoy martes se encontraron en clases de inglés , marco decide estudiar cada 3 días clase de inglés Paola cada 4

¿A los cuantos días se volverán a encontrar que dia es ese ?

martes

miercoles

jueves

Viernes

Sábado

domingo

lunes

martes

Miércoles

marcopaola

Respuesta se vuelven a encontrar después de 12 días el día domingo

Conjunto de Números Reales

Introducción

Un conjunto es una colección de objetos. Por ejemplo, se puede hablar del conjunto de números pares entre 5 y 11, a saber 6, 8 y 10. Cada objetivo de un conjunto se denomina elemento de ese conjunto. No se preocupe si esto sueno un poco circular. Las palabras conjunto y elemento son semejantes a línea y punto en geometría plana. No puede pedirse definirlos en términos más primitivos, es sólo con la práctica que es posible entender su significado. La situación es también parecida en la forma en la que el niño aprende su primer

idioma. Sin conocer ninguna palabra, un niño infiere el significado de unas cuantas palabras muy simples y termina usándolas para construir un vocabulario funcional.

Nadie necesita entender el mecanismo de este proceso para aprender hablar. De la misma forma, es posible aprender matemáticas prácticas sin involucrarse con términos básico no definidos.

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todos los fracciones; y todos los números irracionales; aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten. Ejemplos de números irracionales son:

√ 2 = 1.4142135623730951 . . . π = 3.141592653589793 . . .

e = 2.718281828459045 . . .

Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como mostrado aquí.

Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el punto corresponde a b estará a la derecha del punto que corresponde a

Conjunto de los números naturalesEl conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z corrientemente se presenta así:

N = {1, 2, 3, 4, 5,...}.

La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.

Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemas numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales.

En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = –2. Puede notarse que N ⊂ Z.

Conjunto de los números racionalesEl conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente manera

Q={mn

, conm ,n enteros y n ≠ 0}

La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación ax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0.

Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b.

Propiedades de los Números Reales

Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales. Conocer sus propiedades te ayudará a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos en cualquier disciplina, ya sea en matemática pura, ciencias experimentales, ciencias sociales, etc.

Sean , entonces se verifican las siguientes propiedades:

Propiedad de la cerradura

La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más números reales, y el resultado será siempre un número real. Por ejemplo:

Importante: La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO para la división, no se puede dividir entre cero.

http://cenevalenlinea.com/component/glossary/Glosario-general-de-siglas-acr%C3%B3nimos-y-abreviaturas-2/U/UN-37/

http://cenevalenlinea.com/component/glossary/Glosario-general-de-siglas-acr%C3%B3nimos-y-abreviaturas-2/D/DOS-9/

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes cambiar

el orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el mismo. Por

ejemplo:

Importante: La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división,

pues el resultado se altera.

Propiedad asociativa

La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer sumas o

multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para después sumar

o multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una expresión. Por

ejemplo:

Importante: La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues

el resultado se altera.

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de

adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar las operaciones

aritméticas.

Propiedad de identidad (elemento neutro)

La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado

elemento neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el resultado

de la suma:

25 + 0 = 25 el elemento neutro de la adición es el número CERO.

La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número (llamado

elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no cambia el

resultado de la multiplicación:

25 * 1 = 25 el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.

Propiedad del inverso

La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como

sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO.

28 + (-28) = 0 el inverso aditivo para esta suma es el número

La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser usado

como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO.

, el inverso multiplicativo para esta multiplicación es

Operaciones con Números Reales

SumaPara sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos)

Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.

La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos números negativos será un número negativo.

Ejemplo.

-5 + (-9)

Solución:

Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.

Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un signo negativo antes del valor.

Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo)

Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del número con el valor absoluto más grande.

La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el número con mayor valor absoluto.

Ejemplo.

3 + (-8)

Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto más pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto.

Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto mayor que el número 3, por lo que la suma es negativa.

3 + (-8) = -5

RestarTodo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por medio de la regla siguiente.

a – b = a + (-b)

Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a

Ejemplo.

5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5.

5 – 8 = 5 + (-8) = -3

MultiplicaciónPara multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.

Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.

Ejemplo

Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un número par de números negativos.

Propiedad del cero en la multiplicación

Para cualquier número a,

DivisiónPara dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva.

Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa.

Ejemplos.

Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente.

Exponentes y Radicales

La potenciación o exponenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales.

En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma:

Una de las definiciones de la potenciación, por recurcion, es la siguiente:

x1 = x

Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x¹ = x•x0. Al dividir los dos términos de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0), queda que x0=1.

Así que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en principio, no está definido. Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos atenemos a la idea de producto vació o simplemente por analogía con el resto de números.

Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la inversa de la base, es decir que la potencia pasa con exponente positivo.

Propiedades de la potenciación

Las propiedades de la potenciacion son las siguientes:

Potencia de potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la multiplicación de los primeros exponentes.

Multiplicación de potencias de igual base

La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.

División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.

En general: ab = ba

Si y sólo si a=b.

En particular:

(a + b)m = am + bm

(a − b)m = am − bm

Se cumple en los siguientes casos:

Si m=1.

Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.

Si a y b son iguales a 0 y m≠0.

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.

En particular:

ab = ba

Si y sólo si a=b.

Potencia de exponente 0

Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.

a0 = 1 si se cumple que

Potencia de exponente 1

Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a.

a1 = a

Potencia de base 10

Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades posee el exponente.

101 = 10

como tambien pues ser un conjuntos de numeros potenciados o elevados a un exponente

106 = 1000000

104 = 10000

Gráfico

gráfico de Y = X2El gráfico de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su extremo está en el punto (0, 0), a menos que el gráfico sea trasladado. Su sentido de crecimiento es positivo en ambas direcciones.

Radicación

Es el proceso y el resultado de radicar. Este verbo, por su parte, se refiere a lo que dispone de arraigo en un determinado lugar. Por ejemplo: “La radicación de la empresa en el polo industrial debe hacerse en la Secretaría de Producción”, “Los hechos muestran que la radicación en suelo australiano no fue una buena idea para la familia González”,

“Tenemos que luchar contra la radicación de esos hábitos nocivos en nuestra comunidad”.

En el campo de la matemática, se conoce como radicación a la operación que consiste en obtener la raíz de una cifra o de un enunciado. De este modo, la radicación es el proceso que, conociendo el índice y el radicando, permite hallar la raíz. Ésta será la cifra que, una vez elevada al índice, dará como resultado el radicando.

Para comprender estos conceptos, por lo tanto, hay que reconocer las partes que forman un radical. La raíz es el número que, multiplicado la cantidad de veces que indica el índice, da como resultado el radicando.Supongamos que nos encontramos con un radical que muestra la raíz cúbica de 8. Tendremos el radicando (8) y el índice o exponente (3, ya que es una raíz cúbica). A

http://definicion.de/matematicas/

http://definicion.de/radicar/

través de la radicación, llegamos a la raíz: 2. Esto quiere decir que 2 elevado al cubo (2 x 2 x 2) es igual a 8.Como puede advertirse, la radicación es una operación que resulta inversa a la potenciación: retomando el ejemplo anterior, vemos que multiplicando 2 x 2 x 2 (2 elevado al cubo) llegamos a la raíz cúbica de 8.

Operaciones con Expresiones Algebraicas

Expresión Algebraica: Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas.

Término: Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.

Grado Absoluto de un Término: Es la suma de los exponentes de sus factores literales.

Clases de Términos

El término entero es el que no tiene denominador literal, el término fraccionario es el que tiene denominador literal. El término racional es el que no tiene radical, e irracional el que tiene radical.

Términos Homogéneos: Son los que tienen el mismo grado absoluto.

Términos Heterogéneos: Son los de distinto grado absoluto.

Términos Semejantes: Dos términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.

10 Ejemplos de Términos Semejantes:

1. x es semejante con 3x ya que ambos términos tienen la misma literal (x).2. xy2 es un término semejante a -3y2x ya que ambos tienen la misma literal (xy2 =

y2x)3. 5xyrb es un término semejante con –xyrb4. 4bx2 no es semejante a 4b2x ya que el literal bx2 no es igual al b2x.5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk)6. 4(jk)3 es semejante a 9j3k3 porque (jk)3 = j3k3

7. 5ty es semejante a 3ty8. 5kl4 es semejante a -2kl4

9. 68lky5 es semejante a -96lky5

10. 378ab3c2 no es semejante a 378a2b3c

CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.

BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos.

TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos.

POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término.

GRADO DE UN MONOMIO

Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El

monomio es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado.

El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado

respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1.

División:

División entre fracciones

En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética.

Se aplica ley de signos

Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la división (esto se llama división cruzada)

Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor

Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.

Ejemplos:

División de polinomios entre monomios.

Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.

Pasos:

Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.

Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio.

Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizó en el capítulo anterior.

Se realizan las sumas y restas necesarias.

Ejemplos:

División entre polinomios.

En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir son los siguientes.

Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan.

El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer miembro del divisor.

Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.

El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del divisor.

Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.

Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer término no pueda ser dividido por el primer término del divisor.

Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.

La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el término que se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.

Factorización

Factores

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto entre sí (de estos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el producto entre a y a + b, se obtiene:

a y abe, cuyo producto entre sí dan la expresión a2 + ab, estos son los divisores de a2 + ab de tal manera que:

(X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15

Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15

Ecuaciones

Ecuaciones Lineales

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico. a) ecuaciones lineales propiamente tales

En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual

a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).

Para proceder a la resolución se debe:

Eliminar paréntesis.

Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro

Ejemplo:

4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)

4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192

4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10

–35x = 182

.

Ecuaciones Fraccionarias

En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).

Para proceder a la resolución se debe:

Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)

Ejemplo:

m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12

Ecuaciones Literales

Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.

Ejemplo:

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:

Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.

Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.

Gráficamente, la situación es la siguiente

Representación Gráfica

Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.

En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie. Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.

Tipos de sistemas

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:AL_Sistema.svg

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:

Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.

Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de

soluciones.

Sistema incompatible si no tiene solución.

Quedando así la clasificación:

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

Métodos de solución a sistemas de ecuaciones linealesSustitución

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita Y por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita Y en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la X

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado x = 5,y si ahora sustituimos esta

http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)

incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y = 7 , con lo que el sistema queda ya resuelto.

Igualación

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

.

Una vez obtenido el valor de la incógnita , se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la .

La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.

Reducción

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema:

Método de GaussGauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n

El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver.

Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.

Es:

Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:

Método gráfico

Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensión 2.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos:

1. Se despeja la incógnita (y) en ambas ecuaciones.

http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_cartesiano

http://www.wikillerato.org/M%C3%A9todos_de_resoluci%C3%B3n_de_sistemas_de_ecuaciones_lineales.html#M.C3.A9todo_de_reducci.C3.B3n

http://www.wikillerato.org/%C2%BFQu%C3%A9_es_una_matriz%3F.html#Matrices_triangulares_inferiores

http://www.wikillerato.org/%C2%BFQu%C3%A9_es_una_matriz%3F.html#Matrices_triangulares_superiores

http://www.wikillerato.org/Matriz_inversa.html#Operaciones_elementales_con_las_filas_de_una_matriz

http://www.wikillerato.org/Definici%C3%B3n_y_tipos.html#Definici.C3.B3n

2. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes.

3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.

4. En este último paso hay tres posibilidades:

1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos

valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".

2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son

las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que

coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado».

3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en los reales pero

si en los complejos.

Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

Se puede ver:

Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres

da la segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones

independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuación.

Ecuaciones Cuadráticas

Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son

ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas

de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales.

Ejemplo:

9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10

3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple:

La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8

(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2]

( x + ) (x - ) = 0

(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2

4 · -2 = -8 x + 4 = 0 x – 2 = 0 x + 4 = 0 x – 2 = 0 x = 0 – 4 x = 0 + 2 x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.

Completando el Cuadrado:

En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.

Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:

4x2 + 12x – 8 = 0 4 4 4 4

x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.

Ejemplo:

x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.] x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]

x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

x2 + 2x + 1 = 8 + 1

x2 + 2x + 1 = 9

( ) ( ) = 9 Hay que factorizar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9

(x + 1)2 = 9

(x + 1) = ± √9

x + 1 = ± 3

x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3 x = -1 – 3 x = 2 x = -4

Fórmula General:

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos

(−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a

identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver

cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos

resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.

Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0

Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el –

Así es que las soluciones son

Aplicaciones de Ecuaciones Y Desigualdades

Aplicaciones de Ecuaciones

Pasos para la solución de problemas:

1. Leer el problema hasta entenderlo para ser capaz de explicarlo con otras palabras.

2. Identificar la información disponible y qué es lo que se pregunta.

3. Representar la incógnita con un símbolo algebraico, como x.

4. Expresar las demás cantidades en términos de x.

5. Traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicas que contengan x.

6. Resolver las expresiones algebraicas siguiendo los métodos adecuados.

7. Analizar la respuesta algebraica para ver si es posible.

8. Traducir la respuesta algebraica al lenguaje común.

Ejemplo

El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte. ¿Cuántos estudiantes practican deporte?

Solución:

Como

, entonces para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por

0,2, es decir: 240 · 0,2 = 48.

Ejemplo

Entonces 48 alumnos (de los 240) practican deporte.

En un curso con 200 alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombres

aprobaron. Si en el curso el 30% son mujeres, ¿qué porcentaje de alumnos aprobaron

el examen?

Solución:

Cantidad de mujeres: 0,3.200 = 60

Cantidad de mujeres que aprobaron: 0,55.60 = 33

Cantidad de varones: 0,7.200 = 140 (se podría haber hecho 200 – 60 = 140)

Cantidad de varones que aprobaron: 0,65.140 = 91

Total de alumnos que aprobaron: 33 + 91 = 124

Si x representa al porcentaje de alumnos que aprobaron, entonces

Ejemplo

La tía Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo el doble que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces más que Laura ¿a cuánto le toco cada uno?

Solución

Laurita=x

Pedro=2x (dos veces más que Laura)

Juanita=5x (cinco veces más que Laurita)

X+2x+5x=160

8x=160

x=160/8

x=20

con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a

pedro 40 y a juanita 100 millones.

Desigualdades Lineales

Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son

iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo

de igual hay unos símbolos:<,>,≤,≥. En una definición decimos que:

Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones

siguientes:

X es mayor que Y

X es menor que Y

Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita La expresión ,

Quiere decir que "a" no es igual a "b". Según particulares de "a" y de "b", puede tenerse , que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia es positiva y , que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia es negativa. Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra".

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero

Ejemplo:

porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

Porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor

Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20

Ejemplo 1:

Casos Especiales

Cuando el lado de la incógnita queda con signo negativo (–), se debe realizar un arreglo para eliminar ese signo negativo, ya que la incógnita nunca debe quedar con valor negativo.

Veamos el siguiente ejemplo:

2x – [x –(x –50)] < x – (800 –3x)

Primero quitamos los paréntesis:

2x – [x –x +50] < x –800 +3x

Reducimos términos semejantes.

2x –[50] < 4x –800

Ahora quitamos los corchetes

2x –50 < 4x –800

Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.

2x –4x < –800 +50

Nuevamente reducimos términos semejantes y llegamos a

–2x < –750

Pero sabemos que no puede quedar signo negativo en la parte de la incógnita, entonces cambiamos de signo a todo (–2x queda 2x y –750 queda 750), y

además cambiamos el sentido de la desigualdad (< lo cambiamos por >).

2x > 750

Despejamos x pasando al 2 a dividir, luego simplificamos.

Aplicación de Desigualdades

Una compañía produce un determinado número de microscopios; Si duplica su producción y vende 60 le quedan más de 26 pero si bajara su producción a la tercera parte y vendiera 5, entonces tendría menos de 10 microscopios. ¿Cuántos microscopios se fabricaron?Solución

Número de microscopios fabricados: xLa compañía duplica su producción: 2xVende 60 : 2x-60Le quedan más de 26 : 2x-60 > 26……… (I)Baja su producción a la tercera parte: x/3Vende 5 microscopios : x/3 – 5Tendría menos de 10 : x/3 – 5 < 10…..... (II)Resolviendo las inecuaciones I y II, tenemos:

2 x−60>262 x>86x>43

13

x−5<10 mcm:3

x−15<30

x<45

Es decir, el numero de microscopios fabricados debe ser “mayor que 43” pero “menor que 45”, resultando x=44.

Rpta. Se fabricaron 44 microscopios.

No es muy común encontrar problemas con inecuaciones, pero de todas formas, si nos encontramos frente a este caso, debemos plantearlo en lenguaje matemático y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer).

Veamos un problema sencillo como ejemplo:

Dentro de cinco años, Ximena tendrá no menos de 18 años. ¿Qué edad tiene actualmente Ximena?

Tenemos entonces:

x edad de Ximena

x + 5 edad de Ximena en 5 años

Sabemos que la edad de Ximena en cinco años será mayor que 18 años (Dentro de cinco años, Ximena tendrá no menos de 18 años).

x + 5 > 18

Resolvemos la inecuación:

x + 5 > 18

x > 18 -5

x > 13

Entonces podemos afirmar que Ximena actualmente tiene más de 13 años, pero no podemos determinar exactamente su edad.

Dos ejemplos de inecuaciones representando la solución en la recta numérica e indicando el intervalo en el cual se ubica ésta:

a)

X pertenece al intervalo que va entre el menos infinito y el menos un sexto incluido.

b) X pertenece al intervalo que va entre la fracción incluida y el infinito hacia la derecha.

Valor Absoluto

Si el grado de la inecuación es uno (de primer grado), se dice que la inecuación es lineal.

Esto porque al escribir las desigualdades usamos números y por esto mismo es que podemos usar la recta numérica para visualizar o graficar dichas desigualdades.

Observa que en la recta de arriba:

4 > –1, porque 4 está a la derecha de –1 en la recta numérica.

–2 < 3, porque –2 está a la izquierda de 3 en la recta numérica

–3 < –1, porque -3 está a la izquierda de –1 en la recta numérica

0 > –4, porque 0 está a la derecha de –4 en la recta numérica

Una inecuación lineal, entonces, es una expresión matemática que describe cómo se relacionan entre sí dos expresiones lineales.

Por ejemplo: 3 + 5x ≥ 18; y otro, –2(x + 3) < –9.

Como resolver una inecuación

Resolver una inecuación es encontrar el valor de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales, por ello es que se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinitos números reales.Las reglas para la resolución de una inecuación son prácticamente las mismas que se emplean para la resolución de ecuaciones, pero deben tenerse presentes las propiedades de las desigualdades.

Como ya dijimos, se puede ilustrar la solución de una inecuación con una utilizando la recta numérica y marcando el intervalo entre los números que dan solución a la desigualdad. Si la solución incluye algún extremo definido del intervalo, en la gráfica

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Intervalos_Inecuaciones.html

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representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo en blanco.Ejemplo: x > 7 (equis es mayor que 7)

Los valores mayores a 7 se representan a la derecha de la recta numérica y no incluyen al 7. En intervalo desde el punto blanco hacia el infinito a la derecha se

escribe:

Ejemplo: x ≥ 7 (equis es mayor o igual a 7)

Los valores mayores e iguales a 7 se representan a la derecha de la recta numérica e incluyen al 7. El intervalo desde el punto negro hacia el infinito a la derecha se

escribe: Nótese la postura del corchete cuando incluye y cuando no incluye una cifra determinada dentro del intervalo.

Resolución de inecuaciones lineales (de primer grado) con una incógnita

Veamos algunos ejemplos:

Resolver la inecuación 4x - 3 > 53 (Se lee: cuatro equis menos tres es mayor que 53)

Debemos colocar las letras a un lado y los números al otro lado de la desigualdad (en este caso, mayor que >), entonces para llevar el –3 al otro lado de la desigualdad, le aplicamos el operador inverso (el inverso de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).

Tendremos: 4x − 3 + 3 > 53 + 3

4x > 53 +3

4x > 56

Ahora tenemos el número 4 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la desigualdad dividiendo (la operación inversa de la multiplicación es la división).

Tendremos ahora: x > 56 ÷ 4

x > 14

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" serán todos los números mayores que 14, no incluyendo al 14.

Gráficamente, esta solución la representamos así:

Esto significa que en la recta numérica, desde el número 14 (sin incluirlo) hacia la derecha todos los valores (hasta el infinito + ∞) resuelven la inecuación.

Veamos el siguiente ejemplo: –11x -5x +1 < –65x +36

Llevamos los términos semejantes a un lado de la desigualdad y los términos independientes al otro lado de la desigualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario).

–11x –5x +65x < 36 –1

Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente

49x < 35

Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.

Funciones y Gráficas

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X

(Llamado dominio).

Y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de

Forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del

Codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Relaciones_y_funciones.html

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":

1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 x --------> x2.Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

x --------> x2 o f(x) = x2 .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.

Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc.

Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.

Ejemplo 3

Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo".

Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio y recorrido.

Veamos:

A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).

Dominio = {1, 2, 3} Recorrido = {4, 8, 12}

Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}

Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes:

Si tenemos los conjuntos

A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}

Podemos establecer las relaciones

f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }

g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }

h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }:

Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom (h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).

Ejemplo 4

Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9}, Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada".

Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y.

Veamos:

A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y (

), pero a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.

Dominio y rango de una función

Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x).

Por ejemplo la función f(x) = 3x2 – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.

En cambio, la función tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.

Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene sentido.

En el caso de la función , el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada.

Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente:

Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad sub radical sea mayor o igual a cero.

Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn (donde a0, a1, a2,..., an son constantes y un entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales.

Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero.

El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función.

Ejemplo

Identificar dominio y rango de la función

Veamos:

Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o iguales a 2.

El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo la función f.

Funciones Especiales

Dominio y recorrido

El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y. Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y).

Ejemplo para discusión:

Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es:

Ejercicio de práctica: Determina el dominio y el recorrido de la siguiente gráfica:

Funciones crecientes, decrecientes y constantesDefinición: Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces:

1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b<a en I.3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I. Ejemplos:

La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.

La función g(x) = -x3 es una función decreciente en los números reales.

La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales.

Gráfica de una Función

Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio de definición de la función.

Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la función. Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la gráfica. Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica de la

función.

Las gráficas de x ≥ -2 y y < 3, mostradas arriba no tienen nada de especial. Pudimos haber representado las dos relaciones en una recta numérica, y dependiendo del problema que tratamos de resolver, habría sido más fácil hacerlo. Las cosas se vuelven más interesantes cuando graficamos desigualdades lineales con dos variables. Empecemos con una desigualdad básica de dos variables: x > y.

Graficar otras desigualdades en la forma estándar y = mx + b es bastante simple también. Una vez que graficamos la línea límite, podemos encontrar cuál es la región a

sombrear si probamos algunos pares ordenados dentro de la región o, en muchos casos, sólo observando la desigualdad. La gráfica de la desigualdad y > 4x − 5.5 se muestra abajo. La línea límite es la recta y = 4x − 5.5, y está punteada porque nuestro término y es “mayor que,” no “mayor o igual que.”

Gráficas en Coordenadas Rectangulares

Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas graduadas, perpendiculares, que se cortan en un punto O(0,0), llamado origen de coordenadas. A la recta horizontal se llama eje de abscisas, y a su perpendicular por O, eje de ordenadas.

Se puede representar una función en el plano haciendo corresponder a cada par del grafo un punto determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su variable y en el de ordenadas, su correspondiente imagen.

Función identidad

La función identidad es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales.

Función lineal

Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de cero, m y b son números reales. La restricción m diferente de cero implica que la gráfica no es una recta horizontal. Tampoco su gráfica es una recta vertical. El dominio y el recorrido (rango) de una función lineal es el conjunto de los números reales.

Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números reales y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales. El intercepto en y es (0,b).

Rectas, Parábolas y Sistemas de Ecuaciones

Rectas

Pendiente de una recta

Muchas relaciones entre cantidades pueden ser representadas de manera adecuada por rectas. Una característica de una recta es su "inclinaci6n". Por ejemplo, en la figura 4.1 la recta Ll crece más rápido que la recta L2 cuando va de izquierda a derecha. En este sentido Ll está más inclinada respecto a la horizontal.

Para medir la inclinaci6n de una recta usamos la noci6n de pendiente. En la figura 4.2, conforme nos movemos a 10 largo de la recta L de (1, 3) a (3, 7), la coordenada x aumenta desde 1 hasta 3.

Definición

Sean (Xl' Y l) Y (X2' Y2) das puntas diferentes sobre una recta no vertical. La pendiente de la recta es el numero m dado por

Una recta vertical no tiene pendiente, porque cualesquiera dos puntos sobre ella deben tener Xl = X2 que da un denominador de cero en la ecuación (1). Para una recta horizontal, cualesquiera dos puntos deben tener Yl = Y2 Esto da un numerador de cero en la ecuaci6n (1) y, por tanto, la pendiente de 1a recta es cero.

Ejemplo 1 Relación precio/cantidad

La recta de La figura 4.4 muestra La relación entre el precio p de un artículo (en dólares) Y La cantidad q de artículos (en miles) que Los consumidores comprarán a ese precio. Determinar e interpretar la pendiente.

Solución: En la fórmula de la pendiente (1) reemplazamos x por q y y por p. En la figura 4.4, cualquier punto puede ser seleccionado como (q" P'). Haciendo (2, 4) (qI pI) Y (8, 1) = (q2' p2)' tenemos:

La pendiente es negativa, -t. Esto significa que por cada unidad que aumente la cantidad (un millar de artículos), habrá una disminución de t (d6lar por artículo) en el precio. Debido a esta disminuci6n, la recta desciende de izquierda a derecha.

• En resumen, podemos caracterizar la orientación de una recta por su pendiente:

Pendiente cero: recta horizontalPendiente indefinida: recta verticalPendiente positiva: recta que sube de izquierda a derechaPendiente negativa: recta que desciende de izquierda a derecha

Observe que entre más cercana a cero es la pendiente, está más cerca de ser horizontal. Entre mayor valor absoluto tenga la pendiente, la recta estará más cercana a ser vertical.

Notamos que dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente o son verticales.

Ecuaciones de rectas

Si conocemos un punto y la pendiente de una recta, podemos encontrar una ecuación cuya gráfica es esa recta. Suponga que la recta L tiene pendiente m y pasa a través del punto (xl' YI)' Si (x, y) es cualquier otro punto sobre L (podemos encontrar una relación algebraica entre x y y. Utilizando la fórmula de la pendiente con los puntos (XI' y I) y (x, y), se obtiene

Ejemplo 2 Forma punto-pendiente

Determinar una ecuaci6n de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el punto (I, -3). Seleccionando (4, - 2) como (x" Y,) darla un resultado equivalente.

Solución: Utilizando una forma punto-pendiente con m = 2 Y (x" Y,) = (I, -3), se obtiene

Ejemplo 4 Forma pendiente-ordenada al origen

Encontrar una ecuación de La recta con pendiente 3 e intercepci6n y - 4.

Solución: Utilizando la forma pendiente-ordenada al origen y = mx + b con 111 ::: 3 y b= - 4, se obtiene:

Rectas paralelas y perpendiculares

Como se estableció previamente, existe una regia para rectas paralelas:

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si y s610 si tienen la misma pendiente 0 son verticales.

También existe una regia para rectas perpendiculares. y observe que la recta con pendiente -+ es perpendicular a la recta con pendiente 2.

EI hecho de que la pendiente de cada una de estas rectas sea el recíproco negativo de la pendiente de la otra recta, no es coincidencia, como lo establece la siguiente regla.

Ejemplo 5 Rectas paralelas y perpendiculares

La figura muestra dos rectas que pasan por (3, - 2). Una es paralela a la recta y = 3x + 1, y la otra es perpendicular a ella. Determinar las ecuaciones de estas rectas

Aplicaciones y Funciones Lineales

Suponga que un fabricante utiliza 100 \libras de material para hacer los productos A y B, que requieren de 4 y 2 libras de material por unidad, respectivamente. Si x y y denotan el número de unidades producidas de A y B, respectivamente, entonces todos los niveles de producción están dados por las combinaciones de x y y que satisfacen la ecuación.

Resolviendo para y se obtiene:

de modo que la pendiente es -2. La pendiente refleja la tasa de cambio del nivel de producci6n B con respecto al de A. Por ejemplo, si se produce una unidad adicional de A, se requerirán 4libras mas de material, resultando t = 2 unidades menos de B. Por tanto cuando x aumenta en una unidad, el valor correspondiente de y disminuye en 2 unidades. Para bosquejar la gráfica de y = -2x + 50, podemos utilizar la intercepción y (0,50) y el hecho de que cuando x = 10, Y = 30

Curvas de demanda y de oferta

Para cada nivel de precio de un producto existe una cantidad correspondiente de ese producto que los consumidores demandaran (esto es, compraran) durante algún periodo.Por 10 común, a mayor precio, la cantidad demandada es menor; cuando el precio baja, la cantidad demandada aumenta. Si el precio por unidad del producto está dado por p y una cantidad (en unidades) está dada por q. Entonces una ecuación que relaciona p y q es llamada ecuación de demanda. Su gráfica es la curva de demanda. La Figura 4.14(a) muestra una curva de demanda. De acuerdo con la práctica de la mayoría de los economistas, el eje horizontal es el ejeq y el eje vertical es el p. Supondremos que el precio por unidad esta dado en dólaresy el periodo es una semana. Así el punto (a, b) en la Figura 4.14(a) indica que, a un precio de b dólares por unidad, los consumidores demandaran a unidades por semana. Como precios 0 cantidades

negativos no tienen sentido, a y b deben ser no negativos. Para la mayoría de los productos, un incremento en la cantidad demandada que corresponde una disminución en el precio. Por tanto, una curva de demanda en general desciende de izquierda a derecha, como en la Figura 4. 14(a).

Como respuesta a diferentes precios, existe una cantidad correspondiente de productos que los productores están dispuestos a proveer al mercado durante algún periodo.Usualmente, a mayor precio por unidad es mayor la cantidad que los productores están dispuestos a proveer; cuando el precio disminuye también 10 hace la cantidad suministrada.Si p denota el precio por unidad y q la cantidad correspondiente, entonces unaecuaci6n que relaciona p y q es llamada ecuación de oferta y su gráfica es una curva de oferta. La figura 4.14 (b) muestra una curva de oferta. Si p está en dólares y el periodo es una semana, entonces el punto (c, d) indica que a un precio de d d61ares cada una, los productores proveerán c unidades por semana. Como antes, c y d son no negativos. Una curva de oferta por 10 regular asciende de izquierda a derecha, como en la figura 4. 14(b).Esto indica que un fabricante suministrara más de un producto a precios mayores.Centraremos la atención ahora en las curvas de oferta y de demanda que son líneas rectas (figura 4. IS). Son llamadas curvas de oferta lineal y de demanda lineal.Tales curvas tienen ecuaciones en las que p y q están linealmente relacionadas. Puesto que una curva de demanda por 10 regular desciende de izquierda a derecha, una curva de demanda lineal tiene pendiente negativa.Sin embargo, la pendiente de una curva de oferta lineal es positiva ya que la curva asciende de izquierda a derecha.

Ejemplo 2 Determinación de una ecuación de demandaSuponga que la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando el precio es de $S8 por unidad, y de 200 unidades si son a $SI cada una. Determinarla ecuación de demanda, suponiendo que es lineal.

Solución:Estrategia: Ya que la ecuación de demanda es lineal, la curva de demanda debe ser una línea recta. Tenemos que la cantidad q y el precio p están relacionados linealmente de tal modo que p = 58 cuando q = 100, Y P = 51 cuando q =200. Estos datos pueden .ser representados en un plano de coordenadas q. p por los puntos (100,58) y (200, 51). Con estos puntos podemos encontrar una ecuación de la recta, esto es, la ecuación de demanda.

La pendiente de la recta que pasa por (100, 58) y (200, 51) es

Una ecuación de la recta (forma punto-pendiente) es

Simplificando, da la ecuaci6n de demanda

Por costumbre, una ecuación de demanda (así como una ecuación de oferta) expresa P en términos de q y define una función de q. Por ejemplo, la ecuación (I) define P como una función de q y es llamada la función de demanda para el producto

Funciones Lineales

En la sección 3.2 se describió una función lineal. A continuación se presenta una definición formal.

DefiniciónUna función f es una función lineal si y solo si f(x) puede ser escrita en la forma f(x)= ax + b, en donde a y b son constantes y a≠ O.

Ejemplo 3 Graficación de funciones lineales

a. Graficar f(x) = 2x - 1.

Solución: Aquí f es una función lineal (con pendiente 2), de modo que su gráfica es una recta. Como dos puntos determinan una recta, solo necesitamos graficar dos puntos y después dibujar una recta que pase por ellos.Observe que uno de los puntos graficados es la intercepción en el eje vertical, -I, que ocurre cuando x = O.

Funciones Cuadráticas

Definición

Una función f es una función cuadrática si y solo si f(x) puede ser escrita en la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a"# O.

Por ejemplo: f(x) = x2- 3x + 2 Y F(t) = -3t2 son funciones cuadráticas. Sin embargo, g(x) = - 2 no es cuadrática ya que no puede ser escrita en la forma g(x) =ax2 + bx + c.

La gráfica de la función cuadrática y = f(x) = ax2 + bx + c es llamada parábola y tiene una forma parecida a las curvas de la figura 4.19. Si a > 0, la gráfica se extiende hacia arriba de manera indefinida y decimos que la parábola se abre hacia arriba. Si a < 0, entonces la parábola se abre hacia abajo.

Cada parábola en la figura 4.19 es simétrica con respecto a una recta vertical, llamada el eje de simetría de la parábola. Esto es, si la página fuera doblada en una de estas rectas, las dos mitades de la parábola correspondiente coincidirían. El eje (de simetría) no es parte de la parábola, pero es una ayuda útil al bosquejarla.

La figura 4.19 también muestra puntos etiquetados como vértice, donde el eje corta a la parábola. Si a > 0, el vértice es el punto "más bajo" de la parábola. Esto significa que f(x) tiene un valor mínimo en ese punto. Realizando manipulaciones algebraicas sobre ax2 + bx + c (completar el cuadrado), podemos determinar no solo este valor mínimo, sino también en donde ocurre. Tenemos:

Rápidamente podemos bosquejar la gráfica de una funci6n cuadrática localizando primero el vértice, la intercepción y y unos cuantos puntos más, aquellos en donde la parábola interseca al eje x. Las intercepciones x se encuentran al hacer y = 0y resolviendo para x. Una vez que las intercepciones y el vértice han sido 1encontrados,es relativamente fácil trazar la parábola apropiada a través de estos puntos. Cuando las intercepciones x estén muy cercanas al vértice, 0 no existan, fijaremos un punto a cada lado del vértice de modo que podamos dar un bosquejo razonable dela parábola. Tenga en cuenta que una recta vertical (con Iínea punteada) a través del vértice da el eje de simetría. Graficando puntos a un lado del eje, podemos obtener por simetría los correspondientes del otro lado.

Ejemplo 1 Graficación de una función cuadrática

Graficar La funci6n cuadrática y = f(x) = _x2 - 4x + 12.

Solución: Aquí a = -I, b = -4 Y c = 12. Como a < 0, la parábola abre hacia abajo ypor tanto tiene un punto más alto. La coordenada x del vértice es b -4- 2a = - 2( - I) = - 2.

La coordenada y es f{ -2) = _(_2)2 - 4(-2) + 12 = 16. Así, el vértice es (-2, 16), de modo que el valor máximo de f{x) es 16. Ya que c = 12, la intercepci6n y es 12. Para encontrar las intercepciones x, hacemos y igual a cero en y =I-X2 - 4x + 12 y resolvemos para x.

o = - x2 - 4x + 12,

o = - (x2 + 4x - 12),

o = - (x + 6)(x - 2).

Así x = -6 0 x = 2, de modo que las intercepciones x son -6 y 2. Ahora trazamos el vértice, el eje de simetría y las intercepciones Como (0, 12) está dos unidades a la derecha del eje, existe un punto correspondiente dos unidades a la izquierda del eje con la misma coordenada y. Por tanto, obtenemos el punto (-4.12). Pasando por todos los puntos, dibujamos una parábola que abra hacia abajo.


Graficar p = 2q2.Solución: Aquí p es una función cuadrática de q, donde a = 2, b = 0 y c = O. Como a> 0, la parábola abre hacia arriba y, por tanto, tiene un punto más bajo. La coordenada q del vértice es (0,0) en este caso el eje p y la coordenada p es 2(0)2 = O. Así el valor mínima de p es 0 y el vértice es

En este caso el eje p es el eje de simetría. Una parábola que abre hacia arriba con vértice en (0, 0) no puede tener ninguna otra intercepción. De aquí que para bosquejar una gráfica razonable graficamos un punto a cada lado del vértice. Si q = 2, entonces p =8. Esto da el punto (2,8) y, por simetría, el punto (- 2,8)


Graficar g(x) = x2- 6x + 7.

Solución: Aquí g es una función cuadrática, donde a = 1, b = - 6 y c = 7. La parábola abre hacia arriba ya que a > O. La coordenada x del vértice (el punto más bajo) es

Y g (3) = 32 - 6(3) + 7 = - 2, que es el valor mínimo de g(x) . Por tanto el vértice es (3,2). Ya que c =7, la intercepción con el eje vertical es 7. Para encontrar las intercepciones x, hacemos g(x) = o.

o = x2 .- 6x + 7

El lado derecho no se puede factorizar fácilmente, de modo que usaremos la fórmula cuadrática al resolver para x,


Graficar y = f(x) = 2x2 + 2x + 3 y encuentre el rango de f

Solución: Esta función es cuadrática con a = 2, b = 2 Y c = 3. Como a> 0 la gráfica es una parábola que se abre hacia arriba. La coordenada x del vértice es

Y la coordenada y es 2(-t)2 +2(-t)+3=t. Así el vértice es (-t,t)·Como la intercepción y es 3. Una parábola que abre hacia arriba con su vértice arriba eje x, no tiene intercepciones x. En la figura 4.23 graficamos la intercepción y, el

Vértice y un punto adicional (-2, 7) ala izquierda del vértice. Por simetría, también obtenemos el punto (I, 7). Trazando una para bola a través de estos puntos se obtiene la gráfica deseada.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sistemas con Dos VariablesCuando una situación debe ser descrita matemáticamente, no es raro que surja un conjunto de ecuaciones. Por ejemplo, suponga que el administrador de una fábrica establece un plan de producción para dos modelos de Un producto nuevo. El modeloA requiere de 4 piezas del tipo I y 9 piezas del tipo II. El modelo B requiere de 5 piezas del tipo I y 14 piezas del tipo II. De sus proveedores, la fábrica obtiene 335 piezas del tipo I y 850 piezas del tipo II cada día. De cada modelo, cuantos debe producir cada día de modo que todas las piezas del tipo I y piezas del tipo II sean utilizadas?

Es buena idea construir una tabla que resuma la informaci6n importante. La tabla 4.2 muestra el número de piezas del tipo I y piezas del tipo II requeridas para cada modelo, así como el número total disponible.

Suponga que hacemos x igual al número de artículos del modele A fabricados cada día y y igual al número de artículos del modele B. Entonces estos requieren de 4x + 5y piezas del tipo I y 9x + 14y piezas del tipo II. Como están disponibles 335 y 850 piezas del tipo I y II, respectivamente, tenemos

A este conjunto de ecuaciones Ie llamamos sistema de dos ecuaciones lineales en las variables (0 incógnitas), x y y. El problema es encontrar valores de x y y para los cuales ambas ecuaciones sean verdaderas de manera simultánea. Estos valores son llamados soluciones del sistema.

Sistemas no lineales

Un sistema de ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal se llama sistema no lineal. Con frecuencia podemos resolver un sistema no lineal por sustitución, como se hizo con los sistemas lineales. Los ejemplos siguientes 10 ilustran

Ejemplo 1 Solución de un sistema no linealSolución:

X2 - 2x + Y - 7 = 0,3x - y + 1 = 0

Estrategia: Si un sistema no lineal contiene una ecuaci6n lineal, en general resolvemos la ecuación lineal para una de las variables y sustituimos esta variable en la otra ecuación.

Ejemplo 1 Solución de un sistema no lineal

Solución:

Estrategia: Si un sistema no lineal contiene una ecuación lineal, en general· resolvemos la ecuación lineal para una de las variables y sustituimos esa variable en otra ecuación.

Resolviendo la ecuación (2) para y se obtiene:y= 3x + 1

Sustituyendo en la ecuación (1) y simplificando, tenemos:

Si x = -3, entonces la ecuaci6n (3) implica y = -8; si x = 2, entonces y = 7. Debe verificar que cada pareja de val ores satisfaga la ecuación dada. De aquí que las soluciones sean x = -3, y = -8 Y x = 2, y = 7. Estas soluciones pueden ser vistas geométricamente en la gráfica del sistema de la figura 4.37. Observe que la gráfica de la ecuación (1) es una parábola y la de la ecuaci6n (2) una recta. Las solucione corresponden a los puntos de intersecci6n (-3, -8) Y (2, 7).

Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones

EquilibrioRecuerde de la secci6n 4.2 que una ecuaci6n que relaciona el precio por unidad y, cantidad demandada (suministrada), es llamada ecuación de demanda (ecuación de oferta). Suponga que para un producto Z la ecuación de demanda es

Donde q, p ≥ O. Las correspondientes curvas de demanda y oferta son las líneas de las figuras 4.40 y 4.41 . AI analizar la figura 4.40, vemos que los clientes comprarán.

Cuando el precio sea $6; y así sucesivamente. La figura 4.41 muestra que cuando el precio es de $9 por unidad, los productores colocarán 300 unidades por semana en el mercado; a $10 colocarán in 600 unidades y así sucesivamente.Cuando las curvas de demanda y oferta de un producto son representadas en el mismo plano de coordenadas, el punto (m, n) en donde las curvas se intersecan es llamado punto de equilibrio. El precio n, llamado precio de equilibrio, es el precio al que los consumidores comprarán la misma cantidad de un producto que los productores ofrezcan a ese precio. En resumen, n es el precio en que ocurre una estabilidad entre productor y consumidor. La cantidad m es Hamada cantidad de equilibrio.Para determinar con precisi6n el punto de equilibrio, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de of en a y demanda. Hacemos esto para los datos anteriores, es decir el sistema.

Y el punto de equilibrio es (450, 9.50). Por tanto, al precio de $9.50 por unidad, los fabricantes producirán exactamente la cantidad (450) de unidades por semana que los consumidores comprarán a ese precio.

Programación Lineal

Es un enfoque de solución de problemas elaborado para ayudar a tomar decisiones. Es un modelo matemático con una función objetivo lineal, un conjunto de restricciones lineales variables no negativas. En el ambiente de negocios actual, pueden encontrarse gran cantidad de aplicaciones.

La función objetivo define la cantidad que se va a maximizar o minimizar en un modelo de programación lineal.

Las restricciones limitan o reducen el grado en que puede perseguirse el objetivo.Las variables son las entradas controlables en el problema.

Para resolver un problema de programación lineal es recomendable seguir ciertos pasos que son:

1. Entender el problema a fondo.2. Describir el objetivo.3. Describir cada restricción.4. Definir las variables de decisión.5. Escribir el objetivo en función de las variables de decisión.6. Escribir las restricciones en función delas variables de decisión.7. Agregar las restricciones de no negatividad.

Términos Claves

Modelo MatemáticoRepresentación de un problema donde el objetivo y todas las condiciones de restricción se describen con expresiones matemáticas.

Restricciones de no negatividadConjunto de restricciones que requiere que todas las variables sean no negativas.

Solución FactibleSolución que satisface simultáneamente todas las restricciones.

Región FactibleConjunto de todas las soluciones factibles.

Variable de holguraVariable agregada al lado izquierdo de una restricción de "menos o igual que" para convertir la restricción en una igualdad. El valor de esta variable comúnmente puede interpretarse como la cantidad de recurso no usado.

Forma EstándarProgramación lineal en el que todas las restricciones están escritas como igualdades. La solución óptima de la forma estándar de un programa lineal es la misma que la solución óptima de la formulación original del programa lineal.

Punto ExtremoDesde el punto de vista gráfico, los puntos extremos son los puntos de solución factible que ocurren en los vértices o "esquinas" de la región factible. Con problemas de dos variables, los puntos extremos están determinados por la intersección de las líneas de restricción.

Deberes

Ecuaciones

Talleres

Ejercicios de inecuaciones

Evaluciones

EJERCICIO EN CLASE

CR CF VP RESTRICCIONESA 3 2 ≥ 160 160B 5 2 ≥ 200 240C 1 2 ≥ 80 80

COSTO 8 6ZMINIMO 440

VARIABLES 40 20 FUNCIONOBJETIVO

PARA EL EJERCICIO PROPUESTO SE REQUIEREN 40BOLSAS DE CRECE RAPIDO Y 20 BOLSAS DE CRECE FACIL OBTENIENDO UN COSTO MINIMO DE440 DOLARES CUMPLIENDO

EJERCICO NUMERO 13CAMINES PERINOLAS RESTRICCIONES

MA 2 1 ≤ 80 40MB 3 1 ≤ 50 50

ACABADO 5 1 ≤ 70 70

UTILIDADES 7 2

VARIABLES 10 20 ZMAXIMO 110FUNCIÓNOBJETIVO

SE NECESITA PRODUCIR 10 CAMIONES Y 20 PERINOLAS SEMANALMENTE PARA OBTENER UNA UTILIDAD DE 110 DOLARES SEMANALES

UTILIZANDO LASLAS HORAS NECESARIAS PARA SU ELABORACION

EJERCICIO NUMERO 14VISTA XTREME RESTRICCIONES

MAQUINA A 1 3 ≤ 24 24MAQUINAB 2 2 ≤ 24 24

utilidades 50 80

variables 6 6 Z MINIMO 780FUNCIONOBJETIVOS

SE NECESITA PRODUCIR 6 EQUIPOS DE VISTAS Y 6 EQUIPOS DE XTREME PARA OBTENER UNA UTILIDAD MAXIMA DE 780 DOLARES POR DIA

EJERCICIO NUMERO 15ALIMRENTO A ALIMENTO B RESTRICCIONES

CARBOHIDRATOS 2 2 ≥ 16 16PROREINAS 4 1 ≥ 20 20

COSTO 1,20 0,80

VARIABLES 4 4 Z MINIMO 8FUNCIONOBJETIVO

SE DEBEN COMPRAR 4 UNIDADES DEL ALIMENTO A Y 4 UNIDADES DEL ALIMENTO B PAR MINIMIZAR EL COSTO A 8 DOLARES

EJERCICIO NUMERO 17MENA I MENA II RESTRICCIONES

MINERAL A 100 200 ≥ 3000 3000MINERAL B 200 50 ≥ 2500 2500

COSTO 50 60

VARIABLES 10 10 Z MINIMO 1100FUNCIONOBJETIVOS

SE DEBEN OBTENER 10 TONELADAS DE LA MENA A Y 10 TONELADAS DE A MENA B PARA OBTENERUN COSTO MINMO DE 11000 DOLARES

EJERCICIO NUMERO 18

REFINERIA I REFINERIA IIRESTRICCIONES

BAJO 2000 1000 ≥ 8000 9000MEDIO 3000 2000 ≥ 14 14000ALTO 1000 1000 ≥ 5000 5000

COSTO 25000 20000

VARIABLES 4 1 Z MINIMO 120000FUNCION

SE DEBE OPERAR 4 DIAS EN LA REFINERIA I Y 1 DIA EN LA REFINERIA II PARA SATISFACER LOS COSTOS DE PRODUCCION EN UN MINIMO DE 120000 DOLARES

EJERCICIO NUMERO 19A B RESTRICCIONES

P1 10 4 ≥ 100 100P2 20 30 ≥ 420 420

COSTO 600000 300000

VARIABLES 6 10 ZMINIMO 6600000FUNCIONOBJETIVO

SE DEBEN INCLUIR EN LA CAMARA DE TIPO A 6 UNIDADES Y EN LA CAMARA DE TIPO B 10 UNIDADES PARA MINIMIZAR EL COSTO DE PRODUCCION A 6600000 $DOLARESPARA ASI SATISFACR EL PROGRAMA DE PRODUCCIIN REQUERIDO

EJERCICIO NUMERO 20PROCESO A PROCEBO B RESTRICCIONES

DIOXIDO DE C 25 15 ≤ 13 10PARTICULAS EN LA A 50 40 ≤ 20 20

UTILIDADES 40 15

VARIABLES 0,4 0 Z MINIMO 160FUNCIONOBJETIVO

PARA EL PROCESO A SE DEBE PRODUCIR 400,00 LITROS DE PRODUCTO QUIMICO DIARIAMENTE PARA MAXIMIZAR LA UTILIDAD DIARIA A 160 DOLARES

EJERCICIO NUMERO 16

MEZCLA I MEZCLA II UNIDADESRESTRICCIONES

A 2 2 ≥ 80 80B 6 2 ≥ 120 200C 4 12 ≥ 240 240

COSTO 8 10

VARIABLES 30 10 XZ MINIMO 340FUNCIONOBJETIVOS

SE DEBE COMPRAR 30 BOLSAS DE LA MEZCLA A Y 10 BOLSAS DE LA MEZCLA B PARA QUE EL AGRICULTOR PUEDA MINIMIZAR EL COSTO A 340 DOLARESY SATISFACER SUS REQUERIMIENOS DE NUTRIENTES

EVALUACIONES

REFINERIA 1

REFINERIA 2 RESTRICCIONES

BAJOS 2000 1000 ≥ 8000 9000MEDIOS 3000 2000 ≥ 14000 14000ALTOS 1000 1000 ≥ 5000 5000

COSTO 25000 20000

VARIABLES 4 1 ZMINIMO 120000

RESPUESTA .- PARA SATISFACER LOS REQUERIMIENTOS DE PRODUCCION A UN COSTO MINIMO SE NECESITA 4 BARRILES DE LA REFINERIA A Y 1 BARRIL DE LA REFINERIA B

CAMARA A CAMARA BRESTRICCIONE

SP1 10 4 ≥ 100 100P2 20 30 ≥ 420 420

COSTO 600000 300000

VARIABLES 6 10 Z MINIMO= 6600000

RESPUESTA.- Para satisfacer el programa de produccion requerido se necesita 6 unidades de la camara A y 10 unidades de la camara B

MEZCLA 1 MEZCLA2RESTRICCIONE

SA 2 2 ≥ 80 80B 6 2 ≥ 120 200C 4 12 ≥ 240 240

COSTO 8 10

VARIABLES 30 10 Z M INIMO= 340

Para minimizar el costo y satisfacer los requerimientos de nutrientes el agricultor debe comprar 30 bolsas de mezcla A y 10 bolsas de mezcla de B

portafolio de algebra

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