portafolio de algebra
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“UNIVERSIDAD POLITÈCNICA ESTATAL DEL
CARCHI”
ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO
PORTAFOLIO DE
ALGEBRA
NOMBRE:
ANDRÉS H. ALBÁN L.
PRIMER NIVEL Ing. Oscar Lomas
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Contenido
EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES ............................................................................... 8
Introducción...............................................................................................................................8
Conjunto de los números reales ..................................................................................................8
Conjunto de los números naturales .............................................................................................8
Conjunto de los números enteros ...............................................................................................9
Conjunto de los números racionales ...........................................................................................9
Conjunto de los números reales ..................................................................................................9
LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL .......................................................................... 10
Orden ...................................................................................................................................... 11
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS ................................................................ 12
Propiedad conmutativa. ........................................................................................................... 12
Propiedad distributiva. ............................................................................................................. 13
Divisores del cero ........................................................................................................................................... 13
Elementos distinguidos ...................................................................................................... 14
Elemento involutivo ................................................................................................................. 14
Elemento absorbente ............................................................................................................... 14
POTENCIACION Y RADICACION ......................................................................................... 14
POTENCIACION ................................................................................................................ 14
Propiedades de la potenciación ................................................................................................ 15
Potencia de potencia ..................................................................................................................................... 15
Multiplicación de potencias de igual base ..................................................................................................... 15
División de potencias de igual base ............................................................................................................... 15
Propiedad distributiva.................................................................................................................................... 15
Propiedad conmutativa.................................................................................................................................. 16
Potencia de base 10 ....................................................................................................................................... 16
RADICACIÓN .................................................................................................................... 16
OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN. ........... 17
SUMA: ..................................................................................................................................... 17
3
3
RESTA: ..................................................................................................................................... 20
MULTIPLICACIÓN: .................................................................................................................... 21
DIVISION: ................................................................................................................................. 27
División entre fracciones ................................................................................................................................ 27
División de polinomios entre monomios. ...................................................................................................... 27
División entre polinomios. ............................................................................................................................. 28
PRODUCTOS NOTABLES ................................................................................................... 29
Cubo de una suma ......................................................................................................................................... 31
Cubo de una diferencia .................................................................................................................................. 32
MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS .................................................................... 32
1. Reducir fracciones a común denominador. ............................................................................ 34
Aplicaciones del m.c.d.................................................................................................................................... 34
1. Simplificar una fracción hasta su irreducible. ............................................................................................ 34
2. Resolver problemas de la vida práctica. .................................................................................................... 35
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN ........... 36
Descripción: ............................................................................................................................. 36
Ecuaciones de primer grado ............................................................................................. 38
Ecuaciones literales de primer grado ................................................................................ 38
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS) ...................................................... 41
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita ........................................................................... 41
Solución de ecuaciones cuadráticas............................................................................................................... 42
Solución por completación de cuadrados .................................................................................. 44
Solución por la fórmula general ................................................................................................ 46
PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES ............................................. 47
Inverso aditivo ......................................................................................................................... 48
Propiedad del doble negativo ................................................................................................... 48
Operaciones con los números Reales ........................................................................................ 49
1. Sumar números reales .......................................................................................................... 49
Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo) ........................................ 49
Restar números reales .............................................................................................................. 50
Multiplicar números reales ....................................................................................................... 50
Dividir números reales ............................................................................................................. 50
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Propiedades de los números reales. ................................................................................. 51
Ecuaciones fraccionarias ........................................................................................................... 51
Ecuaciones literales .................................................................................................................. 52
Sistemas de ecuaciones lineales ....................................................................................... 52
Sistema compatible indeterminado .......................................................................................... 53
CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ............................... 54
Método de reducción ............................................................................................................... 55
Ejemplo .......................................................................................................................................................... 56
Método de igualación ............................................................................................................... 57
Ejemplo .......................................................................................................................................................... 57
Método de sustitución ............................................................................................................. 58
Ejemplo .......................................................................................................................................................... 59
Método de Gauss ..................................................................................................................... 59
Ejemplo .......................................................................................................................................................... 60
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ............................................................................................. 61
EXPRESIÓN ALGEBRAICA .......................................................................................................... 61
TÉRMINO. ....................................................................................................................................................... 61
GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO. ............................................................................................................ 62
GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA. ............................................................................... 62
CLASES DE TÉRMINOS. .............................................................................................................. 62
TÉRMINOS HOMOGÉNEOS. ....................................................................................................... 62
TÉRMINOS HETEROGÉNEOS ...................................................................................................... 62
TÉRMINOS SEMEJANTES. .......................................................................................................... 62
10 Ejemplos de Términos Semejantes: ............................................................................. 62
CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA ........................................................... 62
MONOMIO. .............................................................................................................................. 62
BINOMIO ................................................................................................................................. 63
TRINOMIO. .............................................................................................................................. 63
POLINOMIO. ............................................................................................................................ 63
GRADO DE UN MONOMIOS .............................................................................................. 63
GRADO DE UN POLINOMIO .............................................................................................. 64
ORDENAR UN POLINOMIO ............................................................................................... 64
5
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NOMENCLATURA ALGEBRAICA ......................................................................................... 64
DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL ......................................................................................... 67
Factores ................................................................................................................................... 67
Métodos para la factorización de polinomios ............................................................................ 67
Binomios ......................................................................................................................... 67
Trinomios ........................................................................................................................ 67
Polinomios ....................................................................................................................... 67
Factorizar un monomio ............................................................................................................ 67
Factorizar un polinomio ............................................................................................................ 68
Caso I: Factor común ........................................................................................................ 68
Factor común. .......................................................................................................................... 68
Factor común de un polinomio ................................................................................................. 69
Factor común por agrupación de términos ................................................................................ 69
Trinomio cuadrado perfecto ..................................................................................................... 69
Raíz cuadrada de un monomio .................................................................................................. 70
Trinomios de la forma x2 + px + q ............................................................................................. 70
OPERACIONES CON FRACCIONES ...................................................................................... 71
SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES ................................................................................. 71
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS .............................................................. 72
DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS .......................................................................... 73
RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO ............................ 73
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS ............................................................ 75
ANEXOS ........................................................................................................................... 77
TEMA: FRACCIONES ALGEBRAICAS ................................................................................. 107
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ........................................................................................... 108
DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN ......................................................................................... 108
Fracción algebraica simple ...................................................................................................... 108
Fracción propia e impropia ..................................................................................................... 108
Fracción compuesta ............................................................................................................... 108
FRACCIONES ALGEBRAICAS ............................................................................................ 109
6
6
Las operaciones que se pueden realizar con las fracciones algebraicas son: .................... 109
Suma y Resta Multiplicación División ............................................................................. 109
Operaciones con fracciones algebraicas ......................................................................... 109
Suma y resta de fracciones algebraicas .......................................................................... 110
Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador .................................. 110
Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas ....................................................... 112
Cociente o división de fracciones algebraicas.................................................................. 113
Bibliografía .................................................................................................................... 114
TEMA: EJERCICIOS Y ECUACIONES LINEALES ................................................................... 115
Ecuaciones Lineales ........................................................................................................ 116
Definición .............................................................................................................................. 116
Recuperado de: ............................................................................................................................................ 116
EJEMPLO 1: Ecuaciones lineales .............................................................................................. 116
Recuperado de: ............................................................................................................................................ 116
Clasificación de ecuaciones literales lineales o de primer grado ...................................... 116
a) ecuaciones lineales propiamente tales ................................................................................ 116
Ejemplo: ....................................................................................................................................................... 117
Ejemplo: ....................................................................................................................................................... 117
c) ecuaciones literales ............................................................................................................ 118
Ejemplo: ....................................................................................................................................................... 118
Recuperado de: ............................................................................................................................................ 118
Ejercicios de ecuaciones lineales ..................................................................................... 118
Ejemplo: ................................................................................................................................ 120
Ecuación: y = 3x + 7. ............................................................................................................... 120
Gráfica de la ecuación y = 3x + 7. ............................................................................................ 122
Bibliografía .................................................................................................................... 122
TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES .................................................................................. 123
Definición de Sistema de ecuaciones .............................................................................. 124
Recuperado de: ............................................................................................................................................ 124
Métodos de solución de Sistemas de Ecuaciones ............................................................. 124
Método de sustitución ........................................................................................................... 124
Método de igualación ............................................................................................................. 125
7
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Método de reducción ............................................................................................................. 127
Recuperado de: ............................................................................................................................................ 128
SISTEMAS DE ECUACIÓNES LINEALES .............................................................................. 129
Ecuación: 4x +4y = ; 8x +8y =0 ................................................................................................. 130
Gráfico de Oferta ................................................................................................................... 132
Ecuación cuadrática ....................................................................................................... 135
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita ......................................................................... 135
Fórmula: ax2 + bx + c = 0................................................................................ 135
Solución de ecuaciones cuadráticas ................................................................................ 135
Recuperado de: ............................................................................................................................................ 135
Método de solución de la ecuación cuadrática ............................................................... 136
Ejemplos numéricos ............................................................................................................... 137
Primer ejemplo, 2x2 – x – 1 = 0 .................................................................................................................... 137
Recuperado de: ............................................................................................................................................ 138
Ejemplo 1: .............................................................................................................................. 138
Solución:....................................................................................................................................................... 138
Ejemplo 2: .............................................................................................................................. 139
Solución:....................................................................................................................................................... 139
Recuperado de: ............................................................................................................................................ 139
Ecuaciones Cuadráticas .................................................................................................. 141
Graficando con Puntos ........................................................................................................... 141
Recuperado de: ............................................................................................................................................ 143
Ecuación: ............................................................................................................................... 144
Ejemplos ................................................................................................................................ 145
Recuperado de: ...................................................................................................................... 146
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EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
Introducción
El ente básico de la parte de la matemática conocida como análisis lo constituye el
llamado sistema de los números reales.
Números tales como 1, 3,√53
, π , e, y sus correspondientes negativos, son usados en
mediciones cuantitativas.
Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno
de ellos comienza con un sistema más primitivo –tal como el conjunto de los números
naturales o enteros positivos 1, 2, 3, 4, ... −, y a partir de él, por medio de una secuencia
lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales1.
En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números
reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades
(axiomas), de las cuales pueden deducirse muchas otras propiedades.
En esta primera parte se hará una presentación intuitiva del conjunto R de los números
reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto` de los números naturales
y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo más a la necesidad
de resolver ciertas ecuaciones en las cuales los conjuntos que se van definiendo
resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axiomático del mismo.
Conjunto de los números reales
El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números.
Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos:
Conjunto de los números naturales
El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z
corrientemente se presenta así:
N = {1, 2, 3, 4, 5,...}.
La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.
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Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los
sistemas numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales.
Conjunto de los números enteros
El conjunto de los números enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta
así:
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.
En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen
solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x
= –2.
Puede notarse que N ⊂ Z.
Conjunto de los números racionales
El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente
manera
𝑄 = {𝑚
𝑛, 𝑐𝑜𝑛 𝑚, 𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑦 𝑛 ≠ 0}
La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la
ecuación
ax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0.
Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b.
Conjunto de los números reales
Se define como. ℜ= ∪
En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones: adición (+) y
multiplicación (·), las cuales verifican las siguientes propiedades AC (llamadas también
axiomas de campo). (Peano, 1889)
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LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL
En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia entre
los números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen los
números reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia
biunívoca (uno a uno) entre el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos
en la recta o eje. A cada número real le corresponde un único punto sobre la recta y a
cada punto en la recta o eje se le asocia un único número real. Como se observa en
el gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina
origen. Se selecciona además una unidad de longitud para medir distancias. Se elige
también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como
negativo al sentido opuesto. A cada número real entonces se le asocia un punto de la
recta teniendo en cuenta lo siguiente:
Se asocia al origen el número 0,
Se asocia a cada número positivo p un punto que está a una distancia de p
unidades del origen en la dirección positiva,
Se asocia a cada número negativo - p el punto que está a p unidades de
distancia del origen en la dirección negativa.
Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número real
que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto
y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica o recta de
los números reales. También se la conoce como eje coordenado o eje real.
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos".
Ejemplo.
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Orden
Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones
siguientes: dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea
mayor que b o a sea igual a b.
Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al número
a está a la izquierda del punto que representa al número b.
.([email protected], s.f.)
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PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS
En álgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones
de A x A en A:
Son las de mayor interés, porque se utilizan tanto en los sistemas numéricos o, más
abstractamente, en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de ciertas
propiedades, usadas con frecuencia en la axiomatización de los diversos sistemas
matemáticos
Propiedad conmutativa.
Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna *:
Se dice que * tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:
Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de
operar b con a.
Del mismo modo podemos decir que la ley de composición interna *, no es conmutativa
en A si:
Si existe algún a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto de
operar b con a.
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Propiedad distributiva.
Dado un conjunto A no vacío en el que se han definidos dos operaciones internas:
Que expresaremos se dice que la operación es distributiva por la derecha de si se
cumple:
Ejemplos el producto vectorial de vectores respecto de la suma de vectores ux (v+ w)
=uxv + uxw
Otro ejemplo: el producto de matrices respecto a la suma de matrices. M(N+Q)= MN +
MQ.
Es importante el orden de factor en la definición de R-módulos a izquierda.
Del mismo modo se dice que la operación es distributiva por la izquierda de si se
cumple:
Divisores del cero
.
Sea el conjunto A y la operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 se deduce que a*b = 0 , se dice
que a y b son divisores del 0.
Hay matrices cuadradas de orden 2 no nulas cuyo producto es la matriz 0.
En el conjunto Z[6]= {0,1,2,3,4,5} de los restos módulo 6 con la multiplicación * de
restos, resulta 2*3=0.
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Elementos distinguidos
Elemento involutivo
Se llama así al elemento d de A, con la operación binaria *, tal que d*d= d.
el 0 y 1 son elementos involutivos respecto de la multiplicación en el conjunto Z de los
enteros.
Elemento absorbente
Se denomina así al elemento s de A, tal que s * a= s, para todo a de A, provisto de la
operación *.
0 es elemento absorbente se un sistema numérico multiplicativo.
El conjunto vacío Ø es elemento absorbente para la intersección definida en el
conjunto de partes de U.
POTENCIACION Y RADICACION
POTENCIACION
ROF. José Luis Gallardo
La potenciación es una nueva forma de escribir el producto de un número por él mismo.
Es muy práctica, elegante, útil y fácil.
Fíjate que la base es el número que multiplicas varias veces por sí mismo, el exponente
es la cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado.
Así por ejemplo:
Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por sí mismo y
obtenemos 125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125.
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Cuando un número se multiplica por sí mismo una cantidad definida de veces
es una potenciación.
Por ejemplo, si se multiplica ocho por sí mismo cinco veces se tendrá 8 X 8 X 8 X 8 X
8.
Si se escribe en forma exponencial se anota, 85.
Propiedades de la potenciación
Las propiedades de la potenciación son las siguientes:
Potencia de potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente
igual a la multiplicación de los primeros exponentes.
Multiplicación de potencias de igual base
La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base
a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y
exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no
lo es con respecto a la suma ni a la resta.
En particular:
(a + b)m = am + bm
(a − b)m = am − bm
Se cumple en los siguientes casos:
Si m=1.
Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.
Si a y b son iguales a 0 y m≠0.
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Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos
casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.
En particular:
ab = ba
Si y sólo si a=b.
a1 = a
Potencia de base 10
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades
posee el exponente.
101 = 10
Como también pues ser unos conjuntos de números potenciados o elevados a un
exponente
106 = 1000000
104 = 10000
RADICACIÓN
ROF. José Luis Gallardo
Vos sabes que la resta es la operación inversa de la suma y la división es la
operación inversa de la multiplicación.
La potenciación tiene también su operación inversa; y se llama “radicación”.
Observa que 82=64 entonces 64 = 8 8 es la raíz cuadrada de 64.
De la misma manera calcular la raíz cuadrada de 25 significa buscar un número
que elevado al cuadrado dé como resultado 25. Es decir que:
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Por ahora sólo trabajaremos con raíces cuadradas (las que corresponden al
exponente dos), pero estas no son las únicas que existen, como podrás ver en cursos
posteriores.
Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas
Este método se debe a Newton
Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una aproximación mejor
utilizando la siguiente fórmula:
OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA,
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.
SUMA:
Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos
del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término
del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar
con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2. Y se los
suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los
términos de igual grado.
También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la
EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras.
EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado)
A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x
B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3
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18
2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)
+
-5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)
______________________________
-3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18
A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18
En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros.
Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que
quede encolumnado término a término con el otro polinomio.
EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado)
A = -3x2 + 5x - 4 (grado 2)
B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (grado 3)
0x3 - 3x2 + 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo)
+
4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo)
____________________
4x3 - 8x2 + 7x - 3
A + B = 4x3 - 8x2 + 7x – 3
La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se
ponen los términos con coeficiente cero.
EJEMPLO 3: (Uno de los términos del resultado es cero)
A = 9 + 5x3 - 4x2 + x
B = 4x2 - 3 - 2x
5x3 - 4x2 + x + 9
+
0x3 + 4x2 - 2x - 3
____________________
19
19
5x3 + 0x2 - x + 6
A + B = 5x3 - x + 6
Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios
con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes. Se
puede observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos polinomios,
sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener otro término
semejante.
EJEMPLO 4: (No hay términos semejantes)
A = 4x3 + 5
B = -2x + x2
4x3 + 0x2 + 0x + 5
+
0x3 + x2 - 2x + 0
____________________
4x3 + x2 - 2x + 5
A + B = 4x3 + x2 - 2x + 5
Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que
son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte
literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de
ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias
entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar"
los términos de igual parte literal.
EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras)
A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy
B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y
A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) =
20
20
-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y =
-3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2 =
-9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2
RESTA:
EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado)
A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x
B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3
9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)
-
5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)
______________________________
La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo
polinomio:
9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8
+
-5x4 - 7x3 + 0x2 - 3x + 10 (el polinomio B con los signos cambiados)
______________________________
4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2
A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2
21
21
MULTIPLICACIÓN:
¿Cómo se multiplican los polinomios?
Multiplicando todos los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Se
aplica la Propiedad distributiva entre en la multiplicación y la suma. Antes de aprender
polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones algebraicas",
que son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo:
(x + 5).(x - 3) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1
2x.(x + 1) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1
Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema
"Polinomios". Lo que había que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada
término de una expresión con cada término de la otra:
(x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 =
Y luego "juntar las x con las x, los números con los números, las x2 con las x2...".
"Juntar era en realidad: "hacer la cuenta entre los números que tienen delante". En
este ejemplo sólo tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x.
Como otro número no hay, queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso de juntar
se ve también la suma de polinomios: "juntar las x con las x, los números con los
números..." es en realidad "sumar los términos semejantes o de igual grado". (ver:
suma de polinomios)
= x2 + 2x - 15
Y multiplicar a dos polinomios no es otra cosa que aplicar la Propiedad distributiva de
la multiplicación con la suma a esos dos polinomios. Es lo mismo que se hacía en las
ecuaciones, pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores que 1, y tener
muchos términos. Por ejemplo:
A = -9x3 + x + 4x5
B = 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
(-9x3 - x + 4x5).(3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x) =
Se trata, como antes, de multiplicar cada término de uno por todos los términos del
otro.
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EJEMPLO 1: (Multiplicación por un monomio)
A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
B = -5x4
-3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
X -5x4
______________________________
15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5
A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5
Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra
con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una
multiplicación de potencias de igual base.
También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis y
luego aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos
resueltos de las dos maneras.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1
EJEMPLO 2: (Multiplicación de polinomios completos)
A = 4x3 - 5x2 + 2x + 1
B = 3x - 6
4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio A ordenado y completo)
X 3x - 6 (el polinomio B ordenado y completo)
____________________
-24x3 + 30x2 - 12x - 6
+
12x4 - 15x3 + 6x2 + 3x
_________________________
12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6
A x B = 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6
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23
A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del primer
polinomio. Si ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan también
completos y ordenados, y es más fácil en columnarlos según su grado, porque van saliendo en
orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los polinomios. Es un
procedimiento similar al de la multiplicación de números de varias cifras, con la diferencia de
que no se "llevan" números a la columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al
empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una columna, tal como en la
multiplicación de números de varias cifras, y así se logra que los términos de igual grado
queden en la misma columna.
explicación ejemplo 2
EJEMPLO 3: (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados,
completándolos y ordenándolos)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)
X -2x2 + 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado)
______________________________
15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0
0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x
-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
________________________________________
-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0
A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Así es
más fácil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque
todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo
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polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir
cuando uno recién aprende el tema, pero luego cuando se tiene más práctica se
preferirá no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha
esta misma multiplicación sin completar los polinomios.
En el resultado final ya no se ponen los términos con 0.
EJEMPLO 4: (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos, pero sí
ordenándolos)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4 - 9x2 + x (polinomio A incompleto pero ordenado)
X -2x2 + 3 (polinomio B incompleto pero ordenado)
_____________________
15x4 - 27x2 + 3x
-10x6 + 18x4 - 2x3
____________________________
-10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
EJEMPLO 5: (Multiplicación de polinomios de varias letras)
A = -3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3
B = 5x4y + 8x - 2x3y - 10
A x B = (-3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3).(5x4y + 8x - 2x3y - 10) =
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25
-15x6y4 - 24x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3
- 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 + 60x3y3 =
-15x6y4 + 12x6y4 - 24x3y3 + 60x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x
- 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3
+ 12x6y4 =
-3x6y4 + 36x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 +
28x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4
EJEMPLO 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no
completando el segundo)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)
X -2x2 + 3 (polinomio B completo y ordenado)
______________________________
15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0
-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
________________________________________
-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0
A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
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EJEMPLO 7: (Sin ordenar ni completar)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2
9x2 + x + 5x4 (polinomio A incompleto y desordenado)
X 3 - 2x2 (polinomio B incompleto y desordenado)
__________________________
- 10x6 + 18x4 - 2x3
+ 15x4 - 27x2 + 3x
_________________________________________
- 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
A x B = - 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando más o menos
el espacio que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado
que obtenemos es -10x6, sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas más
para los grados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda,
dejando a su derecha el lugar necesario para los otros grados que puedan aparecer
en los siguientes resultados. Si el segundo resultado es -2x3, dejamos un espacio
entre -10x6 y este nuevo término, para los grados intermedios que faltan. Así quedan
más o menos acomodados, para que en la próxima fila podamos poner los resultados
debajo en la columna correspondiente.
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27
DIVISION:
División entre fracciones
En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios
y las reglas de división de fracciones de la aritmética.
Se aplica ley de signos
Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el
dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear
el divisor de la división (esto se llama división cruzada)
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como
elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.
Ejemplos:
División de polinomios entre monomios.
Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el
monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.
Pasos:
Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.
Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno
dividido por el monomio.
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Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el capitulo
anterior.
Se realizan las sumas y restas necesarias.
Ejemplos:
División entre polinomios.
En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos
a seguir son los siguientes.
Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en
orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los
espacios de los términos que faltan.
El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo
entre el primer miembro del divisor.
Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca
este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo
parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del divisor.
Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se
coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo
primer término no pueda ser dividido por el primer término del divisor.
Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.
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La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el
término que se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.
Ejemplos:
PRODUCTOS NOTABLES
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos
que los valores que se multiplican se llaman factores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran
frecuentemente y que es preciso saber factoriza las a simple vista; es decir, sin
necesidad de hacerlo paso por paso.
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Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque
son muy utilizados en los ejercicios.
A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la
igualdad se muestra la forma de factoriza las (mostrada como un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad,
más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de
la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factoriza la como (a + b)2
Nota:
Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
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31
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el
cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
(a + b) (a – b) = a2 – b2
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la
primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factoriza la como a2 – b2
Cubo de una suma
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y saber
que podemos factorizarla como (a + b)3.
32
32
Cubo de una diferencia
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3debemos identificarla de inmediato y saber
que podemos factorizarla como (a – b)3.
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la
expresión algebraica que lo representa:
Producto notable Expresión algebraica Nombre
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo
a2 - b2 = (a + b) (a - b) Diferencia de
cuadrados
a3 - b3 = (a - b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubos
a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab) Suma de cubos
a4 - b4 = (a + b) (a - b) (a2 + b2) Diferencia cuarta
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac +
2bc
Trinomio al cuadrado
MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS
El problema de calcular el máximo común divisor (MCD) de dos polinomios es de
importancia fundamental en álgebra computacional. Estos cálculos aparecen como
sub problemas en operaciones aritméticas sobre funciones racionales o aparecen
como cálculo prominente en factorización de polinomios y en integración simbólica,
además de otros cálculos en álgebra.
En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variación del
algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo atrás,
es fácil de entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista del álgebra
computacional, este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde finales de los
33
33
sesentas se han desarrollado algoritmos mejorados usando técnicas un poco más
sofisticadas.
En esta primera parte vamos a entrar en la teoría básica y en los algoritmos
(relativamente) más sencillos, el algoritmo "subresultant PRS'' (aquí lo llamaremos
PRS subresultante) y el algoritmo heurístico (conocido como "GCDHEU''). Este último
algoritmo es muy eficiente en problemas de pocas variables y
se usa también como complemento de otros algoritmos. De hecho, se estima que el
90% de los cálculos de MCD's en MAPLE se hacen con este algoritmo [13].
No se puede decir con certeza que haya un "mejor'' algoritmo para el cálculo del MCD
de dos polinomios.
Los algoritmos más usados, para calcular MCD en son "EZ-GCD'' (Extended
Zassenhaus GCD), GCDHEU y "SPMOD'' (Sparse Modular Algorithm) [16]
GCDHEU es más veloz que EZGCD y SPMOD en algunos casos, especialmente para
polinomios con cuatro o menos variables. En general, SPMOD es más veloz que
EZGCD y GCDHEU en problemas donde los polinomios son "ralos'', es decir con
muchos coeficientes nulos y éstos, en la práctica, son la mayoría.
EJERCICIOS
Ejemplo a) Hallar el m.c.d. de 4a^2+4ab y 2a^4-2a^2b^2
1°) Se factorizan las expresiones dadas:
–> 4a^2 + 4ab = 4a(a+b) (Se aplicó Caso I de Factorización)
–> 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 – b^2) = 2a^2(a+b)(a-b) (Se aplicó Caso I y IV de
Factorización)
2°) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 4a y 2a^2 son 2a
Factor común de (a+b) y (a+b)(a-b) son (a+b)
34
34
por lo tanto, el m.c.d. de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es = 2a(a+b) , que es la
Solución.
NOTA : Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de
Factores o Factorización, según el Caso que le corresponda.
___________________________________________________________
Ejemplo b) Hallar el m.c.d. de x^2 – 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4
1°) Se factorizan las expresiones dadas:
–> x^2 -4 = (x -2)(x +2) Se aplicó el Caso IV de Factorización
–> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2) Se aplicó el Caso III de Factorización.
–> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2) Se aplicó el Caso III de
Factorización.
Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de las 3 expresiones es = (x +2)
por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4, x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solución.
___________________________________________________________
1. Reducir fracciones a común denominador.
Ejemplo: Reducir a común denominador las siguientes fracciones:
Factor izamos los denominadores:
12 = 22 x 3
9 = 32
18 = 2 x 32
Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor
exponente. El m.c.m (12, 9, 18) = 22 • 32 = 4 • 9 = 36. Ya tenemos el nuevo
denominador.
Aplicaciones del m.c.d.
1. Simplificar una fracción hasta su irreducible.
Ejemplo: Simplifica hasta su equivalente irreducible la siguiente fracción:
Hallamos el M.C.D. (360, 336).
Para ello factorizamos el numerador y el denominador.
35
35
360 = 23 x 32 x 5
336 = 24 x 3 x 7
Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:
M.C.D. (360, 336) = 23 • 3 = 8 • 3 = 24.
Dividimos el numerador y el denominador entre 24
360 = 360 : 24 = 15
336 336 : 24 14
y obtenemos la fracción equivalente irreducible:
2. Resolver problemas de la vida práctica.
Ejemplo: Queremos embaldosar el suelo de una cocina rectangular con baldosas
cuadradas. La cocina mide 270 cm de largo por 180 cm de ancho. ¿De qué tamaño
tengo que comprar las baldosas de manera que encajen enteras en estas dimensiones
y sean lo más grande posible? ¿Cuántas baldosas tengo que comprar?
Solución: la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor común de 270 y 180,
y el más grande posible. Por lo tanto, estamos buscando el máximo común divisor de
270 y 180.
Factorizamos 270 y 180:
270 = 2 x 33 x 5
180 = 22 x 33 x 5
Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:
M.C.D. (270,180) = 2 • 32 • 5 = 2 • 9 • 5 = 90.
Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm de lado podremos pavimentar la cocina
sin tener que romper ninguna. Ahora vamos a calcular cuántas necesitamos:
270 : 90 = 3. Tres baldosas de largo.
180 : 90 = 2. Dos baldosas de ancho.
Respuesta: Necesitamos 6 baldosas.
36
36
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR
FACTORIZACIÓN
Descripción:
La función cuadrática es una función de los reales en los reales
cuya regla de correspondencia está dada por f(x) = ax2 + bx + c (a0) y cuyo
dominio incluye todos los números reales. Para resolver ecuaciones cuadráticas
utilizamos principalmente el método de factorización.
Ejemplos:
1) Resuelva x 32x 1 9 .
Solución:
Lo primero es lograr que la ecuación se iguale a cero. Para esto, primero
multiplicaremos el lado izquierdo y luego restaremos el nueve. Después
factorizaremos la ecuación resultante para obtener la solución final. Es
conveniente verificar la solución final en la ecuación original.
x 32x 1 9
2x2 x 6x 3 9
2x2 5x 3 9 0
2x2 5x 12 0
2x 3x 4 0
2x 3 0
2x 3
x 3/2
37
37
ó x 4 0 x 4
2) Halle las soluciones de x3 8x
2 16x 0 .
Solución:
Como la ecuación ya está igualada a cero solamente hay que factorizar e
igualar sus factores a cero y resolver en términos de x .
xx 2
8x 16 0
xx 4x 4 0
x 0 ó
x 4
0
x 4
38
38
Ecuaciones de primer grado Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que aparece una incógnita cuyo valor está relacionado a través de operaciones aritméticas. Se denominan ecuaciones de primer grado si el exponente de la incógnita es uno.
Para resolver una ecuación de primer grado se deben traspasar los términos de un lado a otro de la ecuación, de manera que todos los términos que tengan la incógnita queden a un lado y los demás al otro, teniendo la precaución de mantener la igualdad de la expresión.
Por eso, cada vez que trasponemos un término se aplica el opuesto (inverso aditivo), tal como se ilustra en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación:
(x + 3)2 – (x - 1)2 = 3x – (x – 4)
a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresión
x2 + 6x + 9 – (x2 – 2x + 1) = 3x – x + 4
x2 + 6x + 9 – x2 + 2x – 1 = 3x – x + 4
b) Trasponemos los términos:
x2 + 6x – x2 + 2x –3x + x = 4 – 9 + 1;
c) Reducimos términos semejantes:
6x = -4 ;
d) Dividimos por 6:
x = -4/6
e) Simplificamos por 2:
x = -2/3
Ecuaciones literales de primer grado Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene expresiones literales
además de la incógnita. Por convención, se identifica como incógnitas a las últimas
39
39
letras del alfabeto y como literales a las primeras letras del alfabeto (estos literales
se suponen valores constantes). Para resolver ecuaciones literales se efectúa el
mismo procedimiento aplicado en la ecuación del ejemplo anterior. La variante es
que cuando tengamos todas las incógnitas a un lado de la ecuación, factorizaremos
por ella para poder despejarla.
Desarrollemos un ejemplo: ax – b(x – 1) = 3(x + a)
Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos términos
semejantes y trasponemos términos:
a) Resolvemos las operaciones ax – bx + b = 3x + 3a
b) Reducimos términos semejantes y trasponemos términos: ax – bx – 3x = 3a – b
c) Factorizamos al lado izquierdo por la incógnita: x(a – b – 3) = 3a – b
d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a – b – 3):
(¿Por qué se divide? Porque el factor de la incógnita es diferente de 1)
Ejemplos de planteo de ecuaciones:
Ejemplo 1:
Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a 9.
Sean x y x + 1 los números. Entonces, según el enunciado dado:
(x + 1)2 – x2 = 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos:
x2 + 2x + 1 – x2 = 9
2x + 1 = 9
x = 4;
Por lo tanto los números son 4 y 5.
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Ejemplo 2:
Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto, y sus edades suman
97. ¿Qué edad tiene el menor?
Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que
la suma de las edades es 97, obtenemos la ecuación:
x + 2x + 1 = 97
3x = 96
x = 32
Reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la de Sergio es 65.
Respuesta: la edad del menor es 32.
Ejemplo:
1.-Resolución de la ecuación 2x - 3 = 2
1º paso: Se suma a los dos miembros 3.
2x -3 + 3 = 2 + 3
2x = 5
2º pasó. Se divide los dos miembros por 2.
2x /2 = 5/2
2.- Resolución de la ecuación 3x -2 = x + 5
1º paso: Restamos x a los dos miembros.
3x -2 -x = x - x + 5; 2x - 2 = 5
2º pasó. Sumamos 2 a los dos miembros.
2x - 2 + 2 = 5 + 2; 2x = 7
41
41
3º pasó. Dividimos por 2, el coeficiente de la x
2x/2 = 7/2
SOLUCIÓN: x = 7 / 2
3.- Resolución de la ecuación 5x - 4 + x = 7 - 3x + 5
1º paso: Se simplifica los dos miembros.
6x - 4 = 12 - 3x
2º paso: Sumamos 3x a los dos miembros.
6x + 3x - 4 = 12 - 3x + 3x; 9x -4 = 12
3º paso. Sumamos 4 a los dos miembros.
9x - 4 + 4 = 12 + 4; 9x = 16
4º paso: Dividimos por 9
SOLUCIÓN: x = 16 / 9
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras.
Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra,
llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por
la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo
tanto, 1 es la solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es
una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas),
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que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una
sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la
siguiente forma:
ax2 + bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales
que corresponda en cada caso particular.
Solución de ecuaciones cuadráticas
Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx +
c = 0, donde a, b, y c son números reales.
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplos:
9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10
3x2 – 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está)
–6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)
Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de
las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:
Solución por factorización
En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo
grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda
factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos
a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus
multiplicandos, o ambos, es igual a cero.
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x − 1) = 9
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Lo primero es igualar la ecuación a cero.
Para hacerlo, multiplicamos los binomios:
Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:
Ahora podemos factorizar esta ecuación:
(2x − 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las
incógnitas:
Si
2x − 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = −4
Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:
(x + 3)(2x − 1) = 9
2x2 + 5x − 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 − 12 = − 5x
2) Halle las soluciones de
La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores
a cero y luego resolver en términos de x:
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Ahora, si
x = 0
o si
x− 4 = 0
x = 4
Solución por completación de cuadrados
Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un
cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar
operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:
(ax + b)2 = n
en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma
de un binomio.
Partiendo de una ecuación del tipo
x2 + bx + c = 0
por ejemplo, la ecuación
x2 + 8x = 48, que también puede escribirse x2 + 8x − 48 = 0
Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar
el cuadrado de la suma de un binomio del tipo
(ax + b)2
Que es lo mismo que
(ax + b) (ax + b)
Que es lo mismo que
ax2 + 2axb + b2
En nuestro ejemplo
x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto,
ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como
en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer término
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corresponde al cuadrado del segundo término (42 = 16) amplificamos ambos
miembros de la ecuación por 16, así tenemos
x2 + 8x + 16 = 48 + 16
x2 + 8x + 16 = 64
la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:
(x + 4) (x + 4) = 64
Que es igual a
(x + 4)2 = 64
Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos
Nos queda
x + 4 = 8
Entonces
x = 8 − 4
x = 4
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la
ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un
binomio.
Veamos otro ejemplo:
Partamos con la ecuación
x2 + 6x − 16 = 0
Hacemos
x2 + 6x = 16
Luego, a partir de la expresión x2 + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos
obtener una expresión de la forma (ax + b)2 (cuadrado de la suma de un binomio).
Para encontrar el término que falta hacemos
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(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2
el valor real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado).
Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la
ecuación:
x2 + 6x = 16
x2 + 6x + 9 = 16 + 9
x2 + 6x + 9 = 25
factorizamos, y queda
(x +3) (x + 3) = 25
(x + 3)2 = 25
La expresión x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este
caso (x + 3)2, y así la ecuación se resuelve con facilidad:
Extraemos raíz cuadrada
y queda
x + 3 = 5 y x + 3 = −5
(pues 52 = 5 y también (−5)2 = 5
Entonces
x = 5 − 3
x = 2
Y
x = − 5 − 3
x = − 8
La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8.
Solución por la fórmula general
Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que
es la siguiente:
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La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el
signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se
limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener
buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.
Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0
Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5, así es que:
Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el –
Así es que las soluciones son
PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES Para tener éxito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir
números Reales.
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Dos números, en la recta numérica, que están a la misma distancia del cero pero
en direcciones opuestas se denominan:
Inversos aditivos, opuestos o simétricos uno del otro. Por ejemplo.
3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3
El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo.
La suma de un número y su inverso aditivo es 0 (cero).
Inverso aditivo
Para cualquier número real de a, su inverso aditivo es –a.
Considere el número -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este
número debe ser positivo, esto implica que -(-4) = 4. Éste es un ejemplo de la
propiedad del doble negativo.
Propiedad del doble negativo
Para cualquier número real a, -(-a) = a
Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9
Valor absoluto
El valor de cualquier número distinto del cero siempre será un nuero positivo, y el
valor absoluto de 0 es 0.
Para determinar el valor absoluto de un número real, use la definición siguiente.
La definición de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier número no
negativo, es el mismo, y el valor absoluto de cualquier número negativo es el inverso
aditivo (opuesto9 del número.
El valor absoluto de un número puede determinarse por medio de la definición. Por
ejemplo.
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Operaciones con los números Reales
1. Sumar números reales
Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos)
Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.
La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos
números negativos será un número negativo.
Ejemplo.
-5 + (-9)
Solución:
Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.
Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque
un signo negativo antes del valor.
Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro
negativo)
Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo
del número con el valor absoluto más grande.
La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa
o cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el numero con mayor valor
absoluto.
Ejemplo.
3 + (-8)
Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor
absoluto más pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor
absoluto.
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Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto
mayor que el número 3, por lo que la suma es negativa.
3 + (-8) = -5
Restar números reales
Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por
medio de la regla siguiente.
a – b = a + (-b)
Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a
Ejemplo.
5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5.
5 – 8 = 5 + (-8) = -3
Multiplicar números reales
Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos
negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,
multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplo
Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando
exista un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando
exista un número par de números negativos.
Propiedad del cero en la multiplicación
Para cualquier número a,
Dividir números reales
Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos,
divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,
divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplos.
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Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común
reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el
hecho siguiente.
Propiedades de los números reales.
Ecuaciones fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)
Ejemplo:
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m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12
Ecuaciones literales
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
Ejemplo:
Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:
Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.
Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas
ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.
Gráficamente, la situación es la siguiente
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Sistema compatible indeterminado
Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas
Se puede ver:
Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por
tres da la segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones
independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuación.
Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos:
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CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES a) 2 x + y = 6 2
x - y = 2
a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:
Dos soluciones de la primera ecuación son:
x = 1, y = 4; x = 2, y = 2
Dos soluciones de la segunda ecuación son:
x = 1, y= 0; x = 2, y = 2
Las rectas se cortan en un punto que será la solución:x = 2, y = 2. Por tanto,
el sistema será compatible determinado. Vemos la representación más
abajo
.x + y = 3 2
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x + 2 y = 6
b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:
Dos soluciones de la primera ecuación son:
x = 0, y = 3; x = 3, y = 0
Dos soluciones de la segunda ecuación son:
x = 1, y = 2; x = 2, y = 1
Las rectas coinciden, toda la recta es solución del sistema (infinitas
soluciones). Por tanto, el sistema será compatible indeterminado. Vemos
la representación más abajo
b) x + y = 3
x + y = - 1
c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:
Dos soluciones de la primera ecuación son:
x = 0,y = 3; x = 3,y = 0
Dos soluciones de la segunda ecuación son:
x = 0, y =-1; x = -2, y = 1
Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, luego el sistema
no tiene solución. Por tanto, el sistema será incompatible. Vemos la
representación siguiente
Método de reducción
Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número
de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.
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Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de
la ecuación por dicho número.
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro
derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos ) de las
ecuaciones que se suman.
Ejemplo
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las
ecuaciones
El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la
desaparezca al sumar ambas ecuaciones.
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida,
se obtiene
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Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .
Método de igualación
El método de igualación consiste en lo siguiente:
Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son
expresiones algebraicas ).
De las dos igualdades anteriores se deduce que
Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en ,
entonces la ecuación
No contendría dicha incógnita.
Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar
a una ecuación con solo una incógnita, digamos .
Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución
en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en
dichas ecuaciones.
Ejemplo
El sistema de ecuaciones
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Es equivalente a este otro
El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la
izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer
sistema.
Del segundo sistema se deduce que
Que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es .
Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que
Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .
Método de sustitución
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma
Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera,
para obtener la ecuación:
Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida.
Aquí y son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.
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Ejemplo
Intentemos resolver
La primera ecuación se puede reescribir de la forma
Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que
Sustituyendo por en
Se tiene que
Que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es .
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida
obtenemos una ecuación de una sola incógnita
Cuya solución es .
Método de Gauss
Gauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un
GENIO!
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente.
Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones
elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o
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inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy
fácil de resolver.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con
ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir
las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una
misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.
Ejemplo
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
Es:
Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:
Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación
la primera.
Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas (ecuaciones ), obtenemos la
siguiente matriz triangular superior:
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Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
Que es equivalente al inicial.
Solucionamos la tercera ocupación para obtener :
En la primera y segunda ecuación, sustituimos por la solución de la tercera
ecuación ( ), para obtener:
La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incógnita, , que
resolvemos para obtener . Sustituimos, en la primera ecuación, por
1 ( ). Esto nos da una ecuación en :
Que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es la representación de un símbolo algebraico o de
una o más operaciones algebraicas.
TÉRMINO. Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios
símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término son
cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
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GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO. Es la suma de los exponentes de sus
factores literales.
GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el exponente de
dicha letra.
CLASES DE TÉRMINOS. El término entero es el que no tiene denominador literal,
el término fraccionario es el que tiene denominador literal. El término racional es el
que no tiene radical, e irracional el que tiene radical.
TÉRMINOS HOMOGÉNEOS. Son los que tienen el mismo grado absoluto.
TÉRMINOS HETEROGÉNEOS. Son los de distinto grado absoluto.
TÉRMINOS SEMEJANTES. Dos términos son semejantes cuando tienen la misma
parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.
10 Ejemplos de Términos Semejantes:
1. x es semejante con 3x ya que ambos términos tienen la misma literal (x).
2. xy2 es un término semejante a -3y2x ya que ambos tienen la misma literal
(xy2 = y2x)
3. 5xyrb es un término semejante con –xyrb
4. 4bx2 no es semejante a 4b2x ya que el literal bx2 no es igual al b2x.
5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk)
6. 4(jk)3 es semejante a 9j3k3 porque (jk)3 = j3k3
7. 5ty es semejante a 3ty
8. 5kl4 es semejante a -2kl4
9. 68lky5 es semejante a -96lky5
10. 378ab3c2 no es semejante a 378a2b3c
CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA
MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.
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BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos.
TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos.
POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término.
GRADO DE UN MONOMIOS
Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El
monomio es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado.
El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado
respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1.
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64
GRADO DE UN POLINOMIO
Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio:
9.5 ¿Cuál es el grado de: ?
9.6 ¿Cuál es el grado de: ?
ORDENAR UN POLINOMIO
Ordenar un polinomio es colocar los monomios de mayor a menor teniendo en
cuenta su grado:
9.8 Ordena el polinomio:
Respuesta:
NOMENCLATURA ALGEBRAICA 1. Dígase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen
o no denominador y a si tienen o no radical:
S o l u c i ó n :
65
65
2. Dígase el grado absoluto de los términos seguientes:
S o l u c i ó n :
3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno de sus factores
literales:
4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y tre
hetereogéneos
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66
S o l u c i ó n :
5. Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y
racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales
S o l u c i ó n :
6. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes: tercer grado,
quinto grado, undécimo grado, décimo quinto grado, vigésimo grado
S o l u c i ó n :
7. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con relación
a la x; otro de cuatro factores literales que sea de séptimo grado con relación a la y;
otro de cinco factores literales que sea de décimo grado con relación a la b
S o l u c i ó n :
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DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL
Factores
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto entre sí (de estos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el producto entre a y a + b, se obtiene:
a y abe, cuyo producto entre sí dan la expresión a2 + ab, estos son los divisores de a2 + ab de tal manera que:
(X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15
Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15
Métodos para la factorización de polinomios
Todo Polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
Binomios
Diferencia de Cuadrados
Suma o diferencia de Cubos
Suma o diferencia de potencias impares iguales
Trinomios
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c
Polinomios
Factor común
Factorizar un monomio
Se descompone el término en el producto de factores primos.
Ejemplo:
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Factorizar un polinomio
No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más
factores distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números
primos que sólo son divisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay
expresiones algebraicas que sólo son divisibles por la unidad y por ellas mismas,
en consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a + b no
puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible por a
+ b y por la unidad.
A continuación diferentes casos de descomposición factorial.
Caso I: Factor común
Factor común.
Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
Ejemplos:
a) Descomponer en factores a2 + 2a
a2 y 2a contienen el factor común a. Se escribe este factor común como coeficiente
de un paréntesis, dentro de este paréntesis se escriben los cocientes obtenidos de
efectuar el cociente entre a2 y a y 2a ya
Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2)
b) Factorizar 10b - 40ab2
Los coeficientes numéricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque
siempre se escoge el mayor factor común. De las variables, el único factor común
es b ya que se haya en los dos términos del binomio y se toma con su menor
exponente. El factor común será 10b
Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b (1 - 4ab)
c) Descomponer en factores:
10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a2)
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Factor común de un polinomio
a) Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b)
Los dos términos de la expresión tienen como factor común (a+b). Se
escribe (a+b) como coeficiente de un paréntesis, dentro del paréntesis se escriben
los cocientes de dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b).
Factorizando se obtiene:
x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)
x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by
Obteniendo:
x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb = ax+ay+bx+by
Factor común por agrupación de términos
Se agrupan los términos que tengan factor común, asociándolos entre paréntesis y
luego se extrae el factor común de cada uno.
Ejemplos
a) Factorizar ax + by +ay + by
Los dos primeros términos tienen el factor común x, y los dos últimos tienen el factor
común y, asociando los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos
también en un paréntesis precedido de un signo + ya que el tercer término es
positivo se obtiene:
ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by)
ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b) extrayendo los factores comunes
ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y) factorizando
Nota: La asociación de términos puede hacerse de varios modos y siempre se obtendrá el mismo resultado.
Trinomio cuadrado perfecto
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales.
70
70
Asi, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a.
En efecto (4a2) = 4a x 4a = 16a2, 4a cantidad que multiplicada por si misma da 16a2, 4a es la raíz cuadrada de 16a2.
Sin embargo (-4a2) = (-4a)((-4a) = 16a2, luego (-4a) es también raíz de 16a2, por lo que la raiz cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-).
Raíz cuadrada de un monomio
Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se saca la raíz cuadrada de su
coeficiente numérico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2.
Ejemplo: La raíz cuadrada de 25a2b4 es 5ab2
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir,
es el producto de dos binomios iguales.
Así, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b
Por tanto:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
Trinomios de la forma x2 + px + q
En el producto notable (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab observa que se obtiene un
trinomio de la forma x2 + px + q, haciendo para ello a + b = p y ab = q
Por tanto:
Un trinomio de la forma x2 + px + q se puede descomponer en el producto de dos
factores: (x + a) y (x + b) si podemos encontrar dos números a y b cuya suma
algebraica sea p y cuyo producto sea
(Baldor, 2013)
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OPERACIONES CON FRACCIONES
SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES
Para entender mejor este tema, lo que haremos primero es repasar como se
resuelven las sumas y las restas cuando tenemos fracciones.
En principio podemos distinguir dos situaciones diferentes; cuando las fracciones tienen igual denominador, y cuando tienen distintos denominadores. En el primer caso, el resultado de una suma algebraica de fracciones de igual denominador, es una fracción que tendrá el mismo denominador que las fracciones dadas y su numerador será la suma algebraica de los numeradores de las fracciones dadas.
En el segundo caso, cuando se tienen distintos denominadores, se puede optar por dos caminos. Uno de ellos, implica determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores, el cual será el denominador de la fracción resultado, en tanto que el numerador será la suma algebraica de números que surgen de dividir el mínimo común múltiplo que hemos determinado, por cada uno de los denominadores de las fracciones dadas, y al resultado de cada una de estas divisiones se lo multiplica por su respectivo numerador, se hace la suma algebraica del numerador y ya está. El otro camino implica determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores,
y después, expresar cada una de las fracciones como fracciones equivalentes cuyos
denominadores serán el mínimo común múltiplo que se ha determinado, con lo cual
se consigue transformar una suma algebraica de fracciones de distinto denominador
en una suma algebraica de igual denominador, que se resuelve como ya hemos
visto.
Ahora bien, todo lo que hemos desarrollado se aplica, para las expresiones algebraicas fraccionarias. De modo tal que si se tiene una expresión con igual denominador, se mantiene el denominador y se suman o restan sus denominadores según sea el caso.
72
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MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Multiplicar fracciones es muy sencillo, solo hay que multiplicar los numeradores y
los denominadores entre sí.
Para las fracciones algebraicas, pasa lo mismo. Es decir hay que multiplicar los
polinomios que están en los numeradores, entre sí, y de igual manera se multiplican
entre sí los polinomios que están en los denominadores.
En la práctica, procederemos de la siguiente manera:
1) Factoramos todos los polinomios.
2) Simplificamos lo que se pueda.
3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron.
Veamos un ejemplo:
73
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DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
La división de fracciones tampoco es muy complicada. Se realiza el producto
cruzado entre los numeradores y los denominadores.
Caso contrario, se multiplica la primera por la recíproca de la segunda.
(Traducción: se invierte la segunda de las fracciones, con lo cual se transforma la
división en una multiplicación, y se resuelve el ejercicio como un producto).
Desarrollando por el segundo método.
Ahora, cuando tenemos fracciones algebraicas, se procede de la misma manera.
Es decir hay que invertir la segunda fracción y resolverla como una multiplicación.
Formula:
RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO
CUADRADO
74
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En este tipo de expresión, hace falta un término cuadrático, para transformar a la
expresión original en un trinomio cuadrado perfecto.
Dicho término cuadrático se suma y se resta, al mismo tiempo, garantizando que en
realidad estamos agregando 0, es decir que no estamos alterando la expresión
básica en nada.
La parte positiva de las dos que se han agregado, se suma a la parte de la expresión
básica que necesitaba esa adición para transformar dicha parte básica en un
trinomio cuadrado perfecto. La parte negativa queda agregada al final de todo.
Se factoriza la parte que ha quedado transformada en un trinomio cuadrado
perfecto.
Ahora se tendrá una diferencia de cuadrados, en la cual el primer término es el
trinomio cuadrado perfecto factorizado, y la otra es la parte negativa de las dos
expresiones cuadráticas que se agregaron.
Dicha diferencia de cuadrados se vuelve a factorizar, como tal, y deja la expresión
original totalmente factorizada, mediante la completación de un trinomio cuadrado
perfecto y de llevar todo a una diferencia de cuadrados.
Cuando mencionamos el caso cinco es porque un autor decidió enumerar los casos,
para nosotros es conocido como completación del trinomio cuadrado perfecto,
entonces para hacerlo recordemos que es el trinomio cuadrado perfecto.
Recordemos que sabíamos que era un trinomio cuadrado perfecto si tomábamos
las raíces y encontrábamos el doble producto. En este caso la factorización es muy
simple, pongamos las raíces en un paréntesis y pongamos entre ellas el signo del
doble producto y elevemos al cuadrado, esa es la factorización del trinomio
cuadrado perfecto. Pero vamos a ver ahora trinomios donde no encontramos ese
doble producto pero haciendo un artilugio matemático podemos lograrlo para luego
volver esa expresión en una diferencia de cuadrados que es otro caso distinto. Para
averiguar si es cuadrado perfecto tomamos las raíces siempre de los que estén
solos. El problema de las matemáticas es que si yo sumo algo también se lo debo
75
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restar porque al restarlo no afectó la expresión. Luego de eso si se puede factorizar.
Aunque hagamos la completación y obtuvimos un trinomio, simplemente tuve una
diferencia y para factorizar se deben obtener productos. Entonces se debe hacer
una diferencia de cuadrados porque lo bueno del trinomio cuadrado perfecto es que
cuando yo lo factorizo siempre se me genera un cuadrado y si la expresión que
sume y reste no me queda al cuadrado entonces el caso no aplica, o sea que no
podemos usar el caso cinco. Siempre que haya completación tengo que darme
cuenta que lo que vaya a sumar o restar tenga raíz. Al tener las dos raíces y el doble
producto ya puedo empezar a factorizar, poniendo entre paréntesis las raíces, el
signo de la mitad que en este caso si importa. Con esto dejamos por explicado como
se resuelven trinomios y binomios utilizando la completación del trinomio cuadrado
perfecto.
2 Comentarios en: factorización por completación del trinomio cuadrado perfecto
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS
Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas — son
ampliamente usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con
forma de U puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar
de una pelota, o pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores
parabólicos que forman la base de los platos satelitales y faros de los carros. Las
funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios,
graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores
mínimos y máximos. Muchos de los objetos que usamos hoy en día, desde los
carros hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado
funciones cuadráticas para su diseño.
Ejemplos:
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Resolver la siguiente ecuación x 2 + 4 x = 12
Solución:
Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.
x 2 + 4 x - 12 = 0
Paso 2: Factorizar
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( x + 6 ) ( x - 2 ) = 0
Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x
x + 6 = 0 x = - 6 x - 2 = 0 x = 2
Paso 4: Verificar la solución.
Verificar x=-6
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( - 6 ) 2 + 4 ( - 6 ) -
12 = 0 36 - 24 - 12 = 0 0 = 0
Verificar x=2
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) -
12 = 0 4 + 8 - 12 = 0 0 = 0
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ANEXOS
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TEMA: FRACCIONES ALGEBRAICAS
Contenido
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ................................................................................. 108
DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN ............................................................................... 108
Fracción algebraica simple ........................................................................................... 108
Fracción propia e impropia ........................................................................................... 108
Fracción compuesta ..................................................................................................... 108
FRACCIONES ALGEBRAICAS ................................................................................... 109
Las operaciones que se pueden realizar con las fracciones algebraicas son: ........... 109
Suma y Resta Multiplicación División .................................................................... 109
Operaciones con fracciones algebraicas ................................................................ 109
Suma y resta de fracciones algebraicas ................................................................. 110
Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador ........................ 110
Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas .............................................. 112
Cociente o división de fracciones algebraicas ........................................................ 113
Bibliografía .......................................................................................................... 114
108
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN Se llama fracción o quebrado al cociente indicado de dos expresiones algebraicas
cualesquiera. El dividendo se llama numerador y el divisor se llama denominador y ambos
se conocen como términos del quebrado. Así, a/bes una fracción algebraica porque es el
cociente indicado de la expresión a (dividendo) entre expresión b(divisor).
Fracción algebraica simple
Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras. Son ejemplos de fracciones simples:
.
Fracción propia e impropia
Una fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.
Por ejemplo, son fracciones propias, mientras
que son fracciones impropias. Una fracción impropia puede escribirse como
la suma de un polinomio y una fracción propia.
Fracción compuesta
Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos. Son ejemplos de fracciones compuestas:
(Sánchez, 2005)
109
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FRACCIONES ALGEBRAICAS
Las operaciones que se pueden realizar con las fracciones algebraicas
son:
Suma y Resta
Multiplicación
División
Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios.
Son fracciones algebraicas:
Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.
El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.
Por ejemplo:
Si se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:
Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.
Operaciones con fracciones algebraicas Simplificar fracciones algebraicas
La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador.
Por ejemplo, simplificar:
110
110
Otro ejemplo, simplificar la fracción
Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar
Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel).
Suma y resta de fracciones algebraicas Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador.
Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador.
Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador
Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:
Como el denominador es común (x + 1), este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos.
Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda
Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.
Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador Veamos el siguiente ejemplo:
Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador común.
111
111
Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que llamaremos mínimo común denominador (m.c.d.).
Para calcular el m.c.m. factorizamos
5ab a2 15b2 a
5b a 15b2 a
5b 1 15b2 b
5 1 15b b
5 1 15 5
1 1 3 3
1 1 1
Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a2 • b2 • 15 que es lo mismo que 15a2b2 y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas.
Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:
Previamente, dividimos el denominador común (15a2b2) por cada uno de los denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo hacemos así:
Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como la siguiente:
Encontrado el m.c.d. (15a2b2) se multiplica cada fracción (tanto numerador como
denominador) por los términos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:
112
112
Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior.
Un ejemplo más:
Sumar
El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x − 3)
Hacemos
¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:
Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos qué significa esto:
Sea una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra ,
entonces:
Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones algebraicas
Multiplicar
Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:
113
113
Simplificamos antes de efectuar el producto:
Ahora, podemos multiplicar los factores finales:
Ejemplos desarrollados
a)
b)
c)
Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es preciso dominar la factorización de productos notables.
Cociente o división de fracciones algebraicas Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos, ahora qué significa esto:
Sea una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra , entonces:
Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas
Dividir
Anotamos haciendo el producto cruzado:
114
114
Simplificamos y finalmente multiplicamos:
Fracciones algebraicas compuestas
En los últimos ejemplos nos encontramos con un tipo de fracción algebraica especial: las fracciones compuestas.
Una fracción algebraica compuesta contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador.
La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la componen.
Ejemplos:
1)
(Profesores en linea, s.f.)
Bibliografía Profesores en linea. (s.f.). Obtenido de
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Algebra_Fracciones.html
Sánchez, S. G. (2005). Obtenido de
http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapIV/4_1_def.htm
115
115
TEMA: EJERCICIOS Y ECUACIONES LINEALES
Contenido
Ecuaciones Lineales .............................................................................................. 116
Definición .................................................................................................................... 116
Recuperado de: ................................................................................................................................ 116
EJEMPLO 1: Ecuaciones lineales .................................................................................... 116
Recuperado de: ................................................................................................................................ 116
Clasificación de ecuaciones literales lineales o de primer grado ............................. 116
a) ecuaciones lineales propiamente tales ...................................................................... 116
Ejemplo: ........................................................................................................................................... 117
Ejemplo: ........................................................................................................................................... 117
c) ecuaciones literales .................................................................................................. 118
Ejemplo: ........................................................................................................................................... 118
Recuperado de: ................................................................................................................................ 118
Ejercicios de ecuaciones lineales ........................................................................... 118
Ejemplo: ...................................................................................................................... 120
Ecuación: y = 3x + 7. ..................................................................................................... 120
Gráfica de la ecuación y = 3x + 7. ................................................................................. 122
Bibliografía .......................................................................................................... 122
116
116
Ecuaciones Lineales
Definición
Una ecuación lineal con n incógnitas x1,..., xn es una ecuación que se puede escribir
en la forma a1x1 + a2x2 + a3x3 +... + anxn = b (1), donde las a-es se llaman coeficientes
de los x y el número b se llama término constante. Se asume que la a-e y la b son
valores conocidos.
La forma general de una ecuación lineal es y = mx + b, que es una línea recta en
una gráfica de coordenadas Cartesianas. El parámetro m es la pendiente de la línea
y b es el punto de intersección en y.
Recuperado de:
http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/l/linearequation.htm,01/08/2013
EJEMPLO 1: Ecuaciones lineales.
a.
b.
c.
a, b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2, 3 y 4 incógnitas respectivamente.
Recuperado de:
http://huitoto.udea.edu.co/GeometriaVectorial/uni1/seccion11/ejemplos11.html#ej01,01/08/201
3
Clasificación de ecuaciones literales lineales o de primer grado
Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano.
Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:
a) ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).
117
117
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro.
Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.
Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
–35x = 182
b) ecuaciones fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)
Ejemplo:
118
118
m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12
c) ecuaciones literales
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
Ejemplo:
Recuperado de:
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_lineales_tipos.html,01/08/2013
Ejercicios de ecuaciones lineales
1.
119
119
2.
3.
4.
120
120
5.
(Vitutor, 2010)
Ejemplo:
Ecuación: y = 3x + 7.
Encontrar los puntos de la ecuación y = 3x + 7. Vamos a utilizar la siguiente tabla para organizar el trabajo. Le daremos a la x , los valores de -2, -1, 0, 1 y 2
x y
-2
-1
0
1
2
121
121
Y = 3x + 7
Y = 3(-2) + 7 [Cuando la x es -2, la y es 1]
Y = -6 + 7
Y = 1
Y = 3x + 7 Y = 3(-1) + 7 [Cuando la x es -1, la y es 4] Y = -3 + 7 Y =4 Y = 3x + 7
Y = 3(0) + 7 [Cuando la x es 0, la y es 7] Y = 0 + 7
Y = 7
Y = 3x + 7
Y=3(1) + 7
Y= 3 + 7
Y = 10 [Cuando la x es 1, la y es 10]
Y = 3x + 7
Y= 3(2) + 7
Y= 6 + 7
Y = 13 [Cuando la x es 2, la y es 13]
x Y
-2 1
-1 4
0 7
1 10
2 13
Y así se resuelve con cada valor que le quieras dar a la x de la tabla. Es por esto
que x se llama la variable independiente, ya que le puedes dar cualquier valor de su
dominio, que son los valores permitidos para la x. En el caso de está ecuación lineal,
x puede ser cualquier número real, pero en nuestro estudio se encontrarán
ecuaciones que tienen restricciones en su dominio.
122
122
Gráfica de la ecuación y = 3x + 7.
(Por: Melissa Murrias y Dra. Luz M. Rivera, 2002)
Bibliografía Por: Melissa Murrias y Dra. Luz M. Rivera. (09 de 2002). Obtenido de
http://ponce.inter.edu/cremc/eclineal.html
Vitutor. (2010). Obtenido de Ecuaciones Lineales:
http://www.vitutor.net/2/7/ecuaciones_lineales.html
123
123
TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES
Contenido
Definición de Sistema de ecuaciones ..................................................................... 124 Recuperado de: ................................................................................................................................ 124
Métodos de solución de Sistemas de Ecuaciones ................................................... 124
Método de sustitución ................................................................................................. 124
Método de igualación .................................................................................................. 125
Método de reducción ................................................................................................... 127
Recuperado de: ................................................................................................................................ 128
SISTEMAS DE ECUACIÓNES LINEALES .................................................................... 129
Ecuación: 2x + 2y =4; 4x +4y=0 ............................................... ¡Error! Marcador no definido.
Ecuación: 4x +4y = ; 8x +8y =0 ....................................................................................... 130
Gráfico de Oferta ......................................................................................................... 132
124
124
Definición de Sistema de ecuaciones Grupo de dos o más ecuaciones que comprenden dos o más variables.
Cuando el número de variables es mayor que el de las ecuaciones, por lo general existen muchas soluciones. Por ejemplo, x + y = 0. En este caso, el número de soluciones es ilimitado.
Si el número de variables es menor que el de las ecuaciones, por lo general, no existe solución, porque con frecuencia existen ecuaciones contradictoras comprendidas en el sistema dado.
Por ejemplo, 2x = 0, y 5x = 1.
Si el número de variables es igual al de las ecuaciones, tenemos una mejor oportunidad de obtener una solución única para el sistema.
Recuperado de:
http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/s/systemofequations.htm,01/08/2013
Métodos de solución de Sistemas de Ecuaciones
Método de sustitución
1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo
una ecuación con una sola incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita
despejada.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
125
125
Ejemplo
1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos
la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.
2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:
3 Resolvemos la ecuación obtenida:
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.
5 Solución
Método de igualación
1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una
incógnita.
126
126
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las
que aparecía despejada la otra incógnita.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo
1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda
ecuación:
2 Igualamos ambas expresiones:
3 Resolvemos la ecuación:
4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que
tenemos despejada la x:
127
127
5 Solución:
Método de reducción
1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que
convenga.
2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
3 Se resuelve la ecuación resultante.
4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se
resuelve.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo
Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las
ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el
proceso.
128
128
Restamos y resolvemos la ecuación:
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.
Solución:
Recuperado de:
http://www.vitutor.net/1/36.html,01/08/2013
129
129
SISTEMAS DE ECUACIÓNES LINEALES
130
130
Ecuación: 4x +4y = ; 8x +8y =0
131
131
132
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Gráfico de Oferta
133
133
134
134
TEMA: ECUACIONES CUADRATICAS
Contenido
Ecuación cuadrática.............................................................................................. 135
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita ............................................................... 135
Fórmula: ax2 + bx + c = 0 ..................................................................... 135
Solución de ecuaciones cuadráticas ...................................................................... 135
Recuperado de: ................................................................................................................................ 135
Método de solución de la ecuación cuadrática ...................................................... 136
Ejemplos numéricos ..................................................................................................... 137
Primer ejemplo, 2x2 – x – 1 = 0 ........................................................................................................ 137
Recuperado de: ................................................................................................................................ 138
Ejemplo 1: ................................................................................................................... 138
Solución: .......................................................................................................................................... 138
Ejemplo 2: ................................................................................................................... 139
Solución: .......................................................................................................................................... 139
Recuperado de: ................................................................................................................................ 139
135
135
Ecuación cuadrática
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con
ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea
cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la
ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado
(llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque
también una sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:
Fórmula: ax2 + bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada
caso particular.
Solución de ecuaciones cuadráticas Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son
números reales.
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplos:
9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10
3x2 – 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está)
–6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)
Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas),
puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:
Recuperado de:
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.html,01/08/2013
La ecuación cuadrática o también conocida como la ecuación de segundo
grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de segundo grado de la
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forma ax2 + bx + c igual a cero.
Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0
se obtiene una ecuación lineal o de primer orden)
Método de solución de la ecuación cuadrática
Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨
Se procede a completar un trinomio cuadrado perfecto con la expresión
Para lo cual se suma y resta
, que puede escribirse como
Ahora simplemente se resuelve esta ecuación aprovechando que el
término puede despejarse
137
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El valor de x es lo que se conoce como fórmula general de la ecuación de
segundo grado
El teorema fundamental del álgebra garantiza que un polinomio de grado dos tiene
dos soluciones que son precisamente las que se generan con el signo ¨+¨ y ¨-¨ de la
x que se obtuvo De esta manera se tiene
Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes entre sí
Si las dos raíces son reales e iguales
Si las dos raíces son complejas conjugadas
Ejemplos numéricos
Primer ejemplo, 2x2 – x – 1 = 0
Primero se identifican los coeficientes a = 2, b = -1 y c = -1
138
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Luego se procede a reemplazarlos en la fórmula
Ambas soluciones son reales y diferentes entre sí. Note que , en
este ejemplo en particular
Recuperado de:
http://www.ecuacioncuadratica.com/,01/08/2013
Ejemplo 1:
Resolver la siguiente ecuación 2 x 2 - 1 + x = 0
Solución:
Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.
2 x 2 + x - 1 = 0
Paso 2: Identificar las variables correspondientes.
a = 2 , b = 1 , c = − 1
Paso 3: Reemplazar los valores en la fórmula y resolver parax
x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a
x = − 1 ± 1 2 − 4 ( 2 ) ( − 1 ) 2 ( 2 )
x = − 1 ± 1 + 8 4
x = − 1 ± 9 4
x = − 1 ± 3 4
x = − 1 + 3 4 x = 2 4 x = 1 2 x = − 1 − 3 4 x = − 4 4 x = −1
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Paso 4: Verificar la solución.
Verificar x = 1 2
2 x 2 - 1 + x = 0 2 ( 1 2 ) 2 - 1 +( 1 2 ) = 0 2 ( 1 4 ) - ( 1 2 )
= 0 12 - 1 2 = 0 0 = 0
Verificar x = - 1
2 x 2 - 1 + x = 0 2 ( - 1 ) 2 -
1 + ( - 1 ) = 0 2 ( 1 ) - 2 = 02 -
2 = 0 0 = 0
Ejemplo 2:
Resolver la siguiente ecuación 2 x - x 2 = 2
Solución:
Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.
- x 2 + 2 x - 2 = 0
Paso 2: Identificar las variables correspondientes.
a = − 1 , b = 2 , c = − 2
Paso 3: Reemplazar los valores en la fórmula y resolver parax
x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a
x = − 2 ± 2 2 − 4 ( − 1 ) ( − 2 ) 2 ( − 1 )
x = − 2 ± 4 − 8 − 2
Como 4 − 8 = − 4 no existe, significa que la ecuación no tiene solución.
Recuperado de:
http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/Cuad_Eq/cuadeq_home.html,01/08/2013
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TEMA: Ejercicios de ECUACIONES CUADRATICAS con gráficas.
Contenido
Ecuaciones Cuadráticas ........................................................................................ 141
Graficando con Puntos ................................................................................................. 141
Recuperado de: ................................................................................................................................ 143
Ecuación: ..................................................................................................................... 144
Ejemplos ...................................................................................................................... 145
Recuperado de: ............................................................................................................ 146
141
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Ecuaciones Cuadráticas
Graficando con Puntos Una función cuadrática es un polinomio de grado 2, es decir, el exponente más
alto en la variable es 2. Los siguientes son ejemplos de funciones cuadráticas:
La función cuadrática más básica y simple tiene la ecuación . Si hacemos una
tabla con los valores de esta función, vemos que el rango (los valores de y, o salida)
no se comportan como una función lineal. En una función lineal, el valor de y cambia
por la misma cantidad cada vez que el valor de x aumenta por 1. Eso no sucede con
una función cuadrática:
x y = x2
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
Los valores de y no cambian por una cantidad constante. Grafiquemos algunos
puntos para ver cómo se vería la función:
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Después de graficar algunos puntos, podría ser tentador conectar los puntos con
segmentos de línea, que son rectos. Pero esto estaría mal, y produciría un patrón
que no representa la función.
Borremos esas líneas rectas y grafiquemos el resto de los puntos:
Ahora dibujamos una curva suave conectando los puntos.
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¡Mejor! Una función cuadrática resulta en una gráfica con forma de U,
llamada parábola. Los valores de la función cambian suavemente, por lo que la curva
debe ser suave también. Ahora que podemos ver la naturaleza de la parábola (forma
de U), veamos su forma en detalle.
Recuperado de:
http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U10_L1_T1_text
_final_es.html01/08/2013
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Ecuación:
Y-X2=0; Y=X2
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Ejemplos
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Recuperado de:
http://www.vadenumeros.es/cuarto/parabolas-hiperbolas.htm01/08/2013