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MB0003 _M2AA2L3_Exponenciales Versión: Septiembre 2012 Revisor: Patricia Cardona Torres

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Funciones y ecuaciones exponenciales y logarítmicas

por Oliverio Ramírez Juárez

Las funciones exponenciales sirven de apoyo en distintos campos del conocimiento como: biología, química o ingeniería en las que ayudan a analizar y resolver problemas de crecimiento (o decrecimiento) de distinta índole, algunos ejemplos de aplicación son: poblaciones de bacterias, desintegración de materiales radiactivas. Imagina que cierta población de bacterias duplica su población cada minuto, si la población inicial es de 1 bacteria ¿cuál será la población de bacterias en 2, 3 y 4 minutos? El diagrama del árbol muestra el crecimiento de esta población.

La expresión matemática que representa este tipo de relación es ttP 2)( = , en donde P es la población

de bacterias, t es el tiempo dado en minutos y 2 que implica el hecho de que se duplique la población por cada minuto que pasa. Con esta expresión matemática es posible predecir la población de bacterias

en 10 minutos, esto es, 10242)10( 10 ==P bacterias.



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Stewart (2007, p. 328) menciona que una función exponencial está definida para todos los números

reales x por: ( ) xaxf = en donde: 0>a y 1≠a De la propia definición se observa que el dominio de una función exponencial son todos los números reales. Otro punto importante es que las leyes de los exponentes también rigen a las funciones exponenciales. Con ayuda de un software especializado en trazar gráficas, puedes dibujar la gráfica de distintas funciones exponenciales, la siguiente figura muestra ejemplos de algunas gráficas.

Figura 1. Grafica de Funciones y ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Observa el comportamiento de las gráficas para valores de 1>a y para valores de 1<a . ¿Por qué el valor de a debe ser distinto de 1?, ¿por qué no está permitido un valor negativo? Con ayuda de un software especializado en trazar gráficas, analiza la gráfica de las siguientes

funciones: ( ) kxxf ±= 2 , ( ) kxf x ±= 2 en donde k es un número real. De acuerdo con Swokowski & Cole (2001, p. 315), una función exponencial es biunívoca, si para todo su dominio cumple con las siguientes propiedades:



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1. Si 21 xx ≠ , entonces 21 xx aa ≠ .

2. Si 21 xx = , entonces 21 xx aa = . La propiedad anterior implica que si 435 22 += xx , entonces 435 += xx , por lo que .2=x Ejemplo: Resuelve la ecuación 524 42 ++ = xx Solución. Debido a que las bases de las dos funciones exponenciales son distintas, es necesario cambiarlas a una base común, esto se consigue considerando que 224 = , es decir:

5224 )2(2 ++ = xx

Y aplicando la ley de los exponentes ( ) mnnm aa = al lado derecho de esta ecuación queda:

10224 22 ++ = xx Ahora que las bases de ambas funciones son iguales, y tomando en cuenta que son biunívocas, tienes:

482

2102410224

=

=

−=−

+=+

xx

xxxx

Para comprobar este resultado, con ayuda de una calculadora, sustituye el valor encontrado en la ecuación inicial. Un caso especial de las funciones exponenciales es la función:

( ) xexf = en donde la base es la constante e , cuyo valor aproximado es de 71828183.2 . Observa el siguiente ejemplo.



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Ejemplo: La población inicial de una ciudad en México, era de 56, 489 habitantes en 1986, si la población se incrementó a razón de 3% anual, ¿cuántos habitantes habría en el año 2012?

Solución. De acuerdo con Swokowski & Cole (2001), si una población inicial P cambia

instantáneamente a una razón proporcional a su valor actual, entonces ( ) rtoePtP = , en donde oP es la

población inicial, r es la tasa de crecimiento si es mayor que cero (o decrecimiento si es menor que cero). Considerando: Po=56489 r=0.03 (3%) t=26 (años transcurridos desde 1986 a 2012)

y sustituyendo en la expresión ( ) rtoePtP = tienes:

( ) ( )

( ) 1232295648956489 78.02603.0

≈

==

xPeexP

Esto significa que en el 2012, el número de habitantes será de 123 229 aproximadamente.

Las Funciones logarítmicas Ahora que has estudiando las funciones exponenciales, es posible definir otro tipo de funciones exponenciales: las funciones logarítmicas. Larson (2008, p. 229) dice que una función logarítmica está definida por:

xy alog= si, y solo si yax =

para 0>x , 0>a y 1≠a , y se denomina función logarítmica de base a . Ejemplo:

Verifica que ( ) 532log 2 ==xf .

Solución. De acuerdo con la definición de una función logarítmica, 532log 2 = porque 3225 =



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Entre las funciones logarítmicas más utilizadas se encuentran las de base 2, 10 y e . Las funciones logarítmicas de base 2, se utilizan en informática; las de base dos se conocen como funciones logarítmicas comunes y son utilizadas en acústica, y las de base e en matemáticas avanzadas llamadas funciones exponenciales naturales. La siguiente figura muestra la gráfica de las funciones logarítmicas de base 2 , e , y 10 . Figura 2. Grafica de Funciones logarítmicas de base 2. Al igual que la función exponencial, y debido a que son funciones inversas, la función logarítmica también es biunívoca. Esta propiedad se utiliza para resolver ecuaciones en las que aparecen logaritmos. Ejemplos:

Resuelve la ecuación ( ) ( )35log16log 33 +=− xx . Solución. Aplicando que las funciones logarítmicas son biunívocas, para que la ecuación anterior sea cierta se tiene que cumplir que:

413563516

=

+=−

+=−

xxxxx

Sustituyendo 4=x en la ecuación original para evaluar su validez, tienes:



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( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )23log23log

320log124log345log146log

35log16log

33

33

33

33

=

+=−

+=−

+=− xx

Por lo que se verifica la solución encontrada. Ejemplo: La escala de Richter expresa la magnitud R de la intensidad de un terremoto, en relación a una intensidad de referencia, y permite traducir la lectura de un sismógrafo en una forma más sencilla de comprender. Las lecturas de un sismógrafo están dadas en milímetros y expresan la amplitud de las ondas medidas. Se expresa como sigue:

0

logIIR =

Si se considera que la intensidad de referencia es igual a mmI 30 10−= , ¿qué intensidad ( I ) tiene un

temblor de 6 grados Richter? Solución. De la ecuación anterior, es necesario despejar I para determinar su valor en función de los datos conocidos. Esto lo puedes hacer aplicando la definición de logaritmo, esto es:

0

logIIR =

→ 0

10IIR =

Aplicando la definición de logaritmo. y despejando I queda:

( )RII 100= Sustituyendo los valores tienes:

( )( )1000

101010 363

=

== −

II

Ejemplo: ¿Cuál será la intensidad (dada en milímetros) de un temblor de 5 grados Richter? Solución. Aplicando la fórmula del ejemplo anterior y el mismo procedimiento, tienes:



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( )

( )( )100

101010

10253

0

=

==

=−

IIII R

Los ejemplos anteriores muestran que un temblor de grado 6 es 10 veces más intenso que uno de grado 5.

Leyes de los logaritmos Al igual que los exponentes, los logaritmos también tienen ciertas reglas que sirven para simplificar o resolver ecuaciones o problemas con logaritmos.

1. ( ) BABA logloglog +=⋅

2. BA

BA logloglog −=

3. ( ) AnAn loglog =

Las leyes de los logaritmos son aplicables a cualquier base. Ejemplo:

Resuelve la ecuación 4)6(loglog 22 =++ xx . Solución. Aplica la ley de los logaritmos que dice que el logaritmo de un producto es igual a la suma de sus logaritmos independientes, obtienes:

( )( )[ ] 46log2 =+xx Aplicando la definición de logaritmo para cambiar a forma exponencial, queda:

( )( )

( )( ) 0280166

61662

2

2

4

=−+

=−+

+=

+=

xxxx

xxxx

Igualando con cero los factores lineales encontrados, obtienes:



8

808

−=

=+

xx

202

=

=−

xx

Verifica la validez de las dos soluciones encontradas.

Para 8−=x , tienes:

4)68(log)8(log4)6(loglog

22

22

=+−+−

=++ xx

Como no existen logaritmos de números negativos, 8−=x no es una solución válida.

Para 2=x , tienes:

( )( )[ ][ ]

1616162

416log482log

4)8(log)2(log4)62(log)2(log4)6(loglog

42

2

22

22

22

=

=

=

=

=+

=++

=++ xx

Por lo que 2=x , sí es solución de la ecuación dada.

Ejemplo: Resuelve la ecuación 𝑙𝑜𝑔 𝑥! − 4 − 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 2 = 2 − 𝑙𝑜𝑔 𝑥 − 2 Solución Usando las leyes de los logaritmos, tienes:

𝑙𝑜𝑔𝑥! − 4𝑥 + 2

= 2 − 𝑙𝑜𝑔 𝑥 − 2

Aplicando la definición de logaritmo (de base diez), queda:

10!!!"# !!! =𝑥! − 4𝑥 + 2

Si se aplica la ley de los exponentes 𝑥!!! = !!

!! , al lado izquierdo de la ecuación, tienes:

10!

10!"# !!! =𝑥! − 4𝑥 + 2



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100𝑥 − 2

=𝑥! − 4𝑥 + 2

Para resolver esta ecuación racional, factoriza 𝑥! − 4 en una diferencia de cuadrados y reduce terminos:

100𝑥 − 2

=𝑥 − 2 𝑥 + 2

𝑥 + 2

100𝑥 − 2

= 𝑥 − 2 Multiplicando toda la ecuación por 𝑥 − 2 se obtiene:

𝑥! − 4𝑥 − 96 = 0 Factorizando para hallar las soluciones; queda

𝑥 − 12 𝑥 + 8 = 0 De donde se concluye que:

x=12 y x=-8 Sustituyendo ambas soluciones en la ecuación original para validarlas, tienes:

Para x=12 Para x=-8

𝑙𝑜𝑔 𝑥! − 4 − 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 2 = 2 − 𝑙𝑜𝑔 𝑥 − 2 𝑙𝑜𝑔 12! − 4 − 𝑙𝑜𝑔 12 + 2 = 2 − 𝑙𝑜𝑔 12 − 2

𝑙𝑜𝑔 144 − 4 − 𝑙𝑜𝑔 14 = 2 − 𝑙𝑜𝑔 10 𝑙𝑜𝑔 140 − 𝑙𝑜𝑔 14 = 2 − 𝑙𝑜𝑔 10

1 = 1 Solución valida y correcta.

𝑙𝑜𝑔 𝑥! − 4 − 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 2 = 2 − 𝑙𝑜𝑔 𝑥 − 2

𝑙𝑜𝑔 (−8)! − 4 − 𝑙𝑜𝑔 −8 + 2 = 2 − 𝑙𝑜𝑔 −8 − 2 𝑙𝑜𝑔 64 − 4 − 𝑙𝑜𝑔 −6 = 2 − 𝑙𝑜𝑔 −10

La solución x = -8 no es válida, ya que se presentan logaritmos de números negativos y éstos no existen.



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Ejemplo: decibel se define como 10 veces el logaritmo de base diez de la relación entre dos niveles de potencia. El número de decibeles mostrado en la tabla proporcionada por Floria, corresponde con la siguiente expresión matemática:

= 2

0

2

log10PPn t

En donde el nivel de referencia es: 6

0 1020 −×=P pascales. Verifica que una presión acústica de 610200 −×=tP pascales corresponden con 20 decibeles.

Solución. Sustituyendo los datos conocidos en la ecuación anterior, tienes:

( )( )

20)2(10100log10

1020)10200(log10 26

26

=

=

=

×

×=

−

−

nnn

n

Por lo que se verifica que una presión acústica equivalente a 610200 −×=tP , tomando como referencia

a 6

0 1020 −×=P equivale a 20dB. El valor de referencia 0P utilizado corresponde con el valor más bajo que el oído humano puede percibir. Como se puede apreciar en este ejemplo, las escalas logarítmicas hacen posible trabajar con rangos de valores menores, en la tabla mostrada en la Clase Virtual, se observa que el rango de valores entre las potencias acústicas es de )20000,000,200( − , mientras que el rango equivalente en decibeles (que están basados en logaritmos) es de )0140( − .



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Referencias

Floría, P. M. (2007). Gestión de la higiene industrial en la empresa. [Versión Electrónica]. Recuperado el 4 de marzo de 2010 del sitio Google libros: http://books.google.com.mx/books?id=dXmm_dQ4GdAC&printsec=frontcover&dq=floria+gestion+de+higiene+industrial&cd=1#v=onepage&q=weber&f=false

Larson, R. (2008). Precálculo. [Versión Electrónica]. Recuperado el 28 de febrero de 2010 del sitio Google libros: http://books.google.com.mx/books?id=kSseL4J0VJIC&pg=PA205&dq=funciones+logaritmicas+definicion&cd=5#v=onepage&q=&f=false

Stewart, J.; Redlin, L. (2007). Precálculo, matemáticas para el cálculo. [Versión Electrónica]. Recuperado el 28 de febrero de 2010 del sitio Google libros: http://books.google.com.mx/books?id=CiHF4fJ_ezwC&pg=PA342&dq=funcion+exponencial+definici%C3%B3n&lr=&cd=20#v=onepage&q=&f=false

Swokowski, E. W. & Cole, J. A. (2001).

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