pontificia universidad catÓlica del perÚ...

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Cálculo 3Práctica N∘ 2

Semestre Académico 2014-1—

ADVERTENCIA: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctoreslíquidos.

1. a. Sea S = 2,0,1, 3,1,2, 1,1,0 un subconjunto de R3.Analizar si el conjunto S eslinealmente independiente. 2 pts

b. Dado m ∈ R, considerar el conjunto B = 1, m, 1, m, 1, 1, 1, m,−1 del espaciovectorial R3.¿Para qué valores de m , el conjunto B genera el espacio vectorialR

3?. 2 pts

2. Demostrar que el conjunto de vectores

B = 1,0,0,2, 0,1,0,1, 0,0,1,0,

es una base para el subespacio H = x, y, z, w ∈ R4 : 2x + y − w = 0 de R4. 2 pts

3. Sea T : R4 R3 la transformación lineal definida por

Tx, y, z, w = x − y, z − w, x − z

Hallar una base para el núcleo de T y la dimensión de la imagen de T. 3 pts

4. Sean a un número real y T : R3 R3 la transformación lineal definida por

Tx, y, z = x − y + z, x − y + z, x − y + az

¿Para que valores de a la dimensión de la imagen de T es 2?.En este caso identificar laimagen de T. 3 pts

5. Sea

e1 = 1,0,0,0, e2 = 0,1,0,0, e3 = 0,0,1,0, e4 = 0,0,0,1

la base canónica de R4 y sea la transformación lineal T : R4 R3 que satisface:

e2, e4 ∈ NuT, Te1 + Te3 = 2,3,4, Te1 − Te3 = 0,1,2

Hallar la matriz asociada A de la transformación lineal T respecto a la basecanónica. 3 pts

6. Sea la función T : R3 R3 dada por

Ta, b, c = Q,

donde Q es el punto proyección ortogonal del punto a, b, c sobre el plano x + y + z = 0.

a. Demostrar que Ta, b, c = 2a − b − c3

, −a + 2b − c3

, −a − b + 2c3

. 2 pts

b. Demostrar que T es una transformación lineal . 2 pts

c. Hallar NuT. 1 pto

N. Chau San Miguel, 26 de abril del 2014

Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.



Ciclo de Verano 2014—


1. Analizar si el conjunto

G = x,y, z ∈ R3 : z = |x| + y,

con las operaciones usuales en R3es un subespacio de R3. Justificar su respuesta. 2 pts

2. Sean H yW los subespacios vectoriales de R3 definidos porH = x,y, z ∈ R3 : z = 0,W = Gen0,1,1, 2,0,1, 2,1,2.Hallar una base y la dimensión de los subespacios H,W,H ∩W. 3 pts

3. Sea el subconjunto S de R4, donde

S = 1,1,1,1 + a, 1,1,1 + a, 1, 1,1 + a, 1, 1, 1 + a, 1, 1, 1

con a ∈ R.a. Hallar los valores de a para los cuales el conjunto S forma una base del espacio

vectorial R4. 2 pts

b. Analizar para qué valor de a se tiene que el subespacio generado por el subconjunto Stenga dimensión 1. 1 pto


Tx,y, z,w = x + y, z + w,x + z

a. Hallar la matriz asociada A de la transformación lineal T respecto a la basecanónica. 1 pto

b. Determinar una base para el núcleo de T y la dimensión del núcleo T. 2 pts

c. Hallar una base para la imagen de T y la dimensión de la imagen de T . 2 pts

5. Determinar los valores propios y los vectores propios de la matriz

A =

1 0 0

1 1 0

0 1 1

3 pts

6. Hallar la ecuación de la esfera tangente en el punto Q4,3,6 al plano

P1 : 3x + y + 5z − 45 = 0

y tangente en el punto T 2,5,−4 al plano

P2 : x + 3y − 5z − 37 = 0.

4 ptsNorberto Chau

San Miguel, 30 de enero del 2014






1. Sea la transformación lineal T : R3 R3, definida por :

Tx,y, z = 2x + 2z, 2x + 6y − z, 2x + 2z.

a. Determinar una base para el núcleo de T y la dimensión del núcleo T. 2 pts

b. Calcular la dimensión de la imagen de T . 1 pto

2. Dada la matriz A =

2 0 2

2 6 −1

2 0 5

.Hallar:

a. Los valores propios de la matriz A. 2 pts

b. Los vectores propios asociados al menor valor propio de la matriz A. 2 pts

3. Sean las transformaciones lineales: f,g : R3 → R3definidas por

fx,y, z = x,y, 0, gx,y, z = 0,0, z

respectivamente.a. Demostrar que Nuf = Img , Imf = Nug 2 pts

b. Hallar una base para Nuf y otra para Nug. 2 pts


Tu = u ⋅ v‖v‖2

v, ∀u = x,y ∈ R2,

donde v = 1,3.a. Encontrar Tx,y. 1 pto

b. Hallar la matriz que representa a T en la base canónica. 1 pto

c. Determinar los valores propios de T. 2 pts

5. Los puntos R = −2,4,0, S = 5,0,3 pertenecen a la esfera E y el centro de E seencuentra en la recta

L1 : P = 2,−1,0 + t1 − 1,0, t ∈ R.

Hallar:a. La ecuación de E . 3 pts

b. La ecuación cartesiana del plano tangente a E en uno de sus puntos de intersección conla recta

L2 : P = 2,3,3 + s1,0,−1, s ∈ R .

2 ptsElaborado por los profesores del curso

Coordinador : Prof. Norberto Chau San Miguel, 28 de setiembre del 2013

Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporadodurante la realización de las evaluaciones.





1. En el espacio vectorial R3 se consideran las bases

B1 = u1 = 1, 1, 0, u2 = 2, 1, 1, u3 = 3, 2, 2 ,

B2 = v1 = 1, 0, 0, v2 = 0, 1, 0, v3 = 0, 0, 1

Hallar la matriz A de transición de la base B1 a la base B2 y la matriz C de transición de labase B2 a la base B1. 4 pts

2. Sea T : R3 R3 la transformación lineal definida por :

Tx, y, z = x + y, y − z, x + z

a. Hallar una base de ImT . 2 pts

b. Probar que ImT es el plano x − y − z = 0. 2 pts

3. Fijar un vector w = a, b, c no nulo en R3 y considere la función T : R3 → R3, definida

como

Tv = v × w (producto vectorial de v y w), para todo v = x, y, z ∈ R3.

a. Probar que T es una transformación lineal. 1 pto

b. Dar una base para el núcleo de T. 2 pts

c. ¿Cuál es la dimensión de la imagen de T ? 1 pto

4. Sea la transformación lineal T : R2 → R2 definida por

Tx, y = ax + by, cx + dy

tales que T1, 0 = 2, 4 y

NuT = x, y ∈ R2 : 2x + 5y = 0.

Hallar los números a, b, c y d. 3 pts

5. Dada la transformación T : R3 → R3 definida por

Tx, y, z = x + 2y − z, x + z, 4x − 4y + 5z.

Hallar:a. La matriz A asociada a T respecto a la base canónica de R3. 1 pto

b. Los valores propios de la matriz A. 2 pts

c. El conjunto de todos los vectores propios correspondientes al mayor de los valorespropios hallados en b). 2 pts

Elaborado por los profesores del cursoCoordinador : Prof. Norberto Chau

San Miguel, 27 de abril del 2013




Ciclo de Verano 2013—


1. a. Sea F el espacio generado por X = u = 0,1,−2,v = 1,1,1Encontrar números reales a,b,c, tales queF = x,y, z ∈ R3 : ax + by + cz = 0. 1 pto

b. Analizar la verdad o falsedad de las siguiente afirmación:Con las operaciones usuales en R3, el conjunto

G = x,y, z ∈ R3 : xyz = 0

es un subespacio de R3. Justificar su respuesta. 2 pts

2. Sea el subconjunto S de R3, donde S = 1,1,a, 1,a, 1, a, 1, 1 con a ∈ R

a. Hallar los valores de a para los cuales el conjunto S forma una base del espaciovectorial R3. 2 pts

b. Analizar para qué valor de a se tiene que dimS =2. 2 pts

3. En el espacio vectorial R3se consideran las bases

β1 = 5,3,1, 1,−3,−2, 1,2,1, β2 = −2,1,0, −1,3,0, −2,−3,1

Calcular la matriz A β2β1de cambio de base de β1 a β2. 3 pts

4. Sea T : R3 R2 la transformación lineal definida por Tx,y, z = −x + 2y + z,x + z

a. Hallar la matriz asociada A de la transformación lineal T respecto a la basecanónica. 1 pto

b. Determinar una base para el núcleo de T y la dimensión del núcleo T. 2 pts

c. Calcular la dimensión de la imagen de T . 1 pto

5.a. Determinar los valores propios (autovalores ) y los vectores propios ( autovectores) de

la matriz A =

1 1 0

0 1 1

0 0 1

2 pts

b. Si 0 < θ < π y B =cosθ − senθ

senθ cosθ

¿ Tiene la matriz B los valores propios (autovalores ) reales? 1 pto

6. El plano P : x − 3y + 2z − 2 = 0 interseca a la esfera E con centro en el origen , en una

circunferencia C de radio 2507

.Hallar la ecuación de la esfera E. 3 pts

Elaborado por los profesores del cursoCoordinador : Prof. Norberto Chau

San Miguel, 31 de enero del 2013






1. Analizar si los siguientes subconjuntos del espacio vectorial V (con las operaciones usuales)son subespacios.a. S = px ∈ P2R : p−1 = 0, p 0 = 0 ,donde V = P2R, el conjunto de los

polinomios de grado ≤ 2, con coeficientes reales. 2 pts

b. T = u = x,y, z ∈ R3 : xy + z = 0, donde V = R3. 2 pts

2. Sea el subconjunto D de R4, dondeD = 1,0,0,a, 1,a + 1,0,a, 1,a,a − 1,1, 1,0,1,a : a ∈ R.a. Hallar los valores de a para los cuales el conjunto D forma una base del espacio

vectorial R4. 3 pts

b. Si a = 1, encontrar una base para el subespacio generado por el conjunto D. 2 pts

3. Considere las matrices A =1 2

3 5,B =

2 3

1 2, y las transformaciones lineales

T1,T2 : R2 R2 definidas por

T1X = AX, T2X = BX.

Analizar si NuT1 = NuT2.3 pts


Tx,y, z,w = x + y, z + w,x + z

a. Determinar una base para el núcleo de T y la dimensión del núcleo T. 2 pts

b. Hallar una base para la imagen de T y la dimensión de la imagen de T . 2 pts

5. Sea T : R3 R3 una transformación lineal definida por

Tx,y, z = x + ay + az,−x + y − z,x + 2z.

a. Hallar la matriz asociada A de la transformación lineal T respecto a la basecanónica. 2 pts

b. Determinar todos los valores λ ∈ R tales que detA − λI = 0. 2 pts

Elaborado por los profesores del cursoCoordinador de Práctica: Prof. Norberto Chau

San Miguel, 29 de septiembre del 2012


PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

SEGUNDA PRÁCTICA DE CÁLCULO 3

Semestre académico 2012-1

Advertencia: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctores líquidos. 1. a).- Analizar el valor de verdad de los siguientes enunciados: i , es el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual a , es el

conjunto de polinomios de grado 2 con coeficientes reales. Entonces, es un

subespacio de . (1 pto.)

nP n 2Q

2Q)(xp

nP

ii Sea, V un espacio vectorial real de dimensión nV dim . Si es una

transformación lineal tal que VVT :

)Im()( TTNu , entonces es un número par. n (1 pto.)

b) Sea , el conjunto de polinomios de grado menor o igual a 2. Sea 2P H un subespacio

de , donde 2P }0)2()1(:)({ 2 ppPxpH . Hallar una base para H . (2 pts.)

2. Sea una transformación lineal definida por 32: RRT

)2,0,4()1,2( ; )0,1,2()0,1( TT a) Hallar y su matriz asociada respecto a las bases canónicas. ),( yxT TA (2 pts.) b) Identificar el conjunto imagen de T , y dar una base. )Im(T (2 pts.)

3. Sea E un subconjunto de , matrices de orden 2x2 , definido por 22xM

Rcba

bca

baaAE ,,:

a) Demostrar que el conjunto E es un sub-espacio de 22xM . (2 pts.)

b) Hallar una base del sub-espacio E y dar su dimensión. (2 pts.) 1 de 2


4. Sea definido por 23: RRT )43 , 73(),,( zyxzyxzyxT

a) Demostrar que T es una transformación lineal. (2 pts.) b) Hallar el núcleo de T y una base para el núcleo. (1 pto.) c) Hallar la dimensión de la Imagen. (1 pto.)

5. Sean, 22M es el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2x2 y

es una transformación lineal. Definida por

2222: MMT

10

11

donde ,)( BABAT

a) Hallar el núcleo de T y la imagen de T . (3 pts.) b) Dar la dimensión del núcleo y de la imagen de T . (1 pts.)

San Miguel, 21 de abril 2012 Preparado por los profesores del curso Coordinadora: Profa. Olga Chamorro

2 de 2


PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU

ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

CALCULO 3

Practica N◦2

Semestre academico 2012-1

Elaborado por los profesores del curso.

1. Analice el valor de verdad de los siguientes enunciados:

a) i) Sea Pn el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual a n. Si Q2

es el conjunto de polinomios p(x) de grado igual a 2 con coeficientes reales tal

que p(1) = 0 entonces Q2 es un subespacio de Pn. (1.0 pto.)

ii) Sea V un espacio vectorial real de dimension dimV = n > 0. Si T : V → V es

una transformacion lineal inyectiva entonces Nu(T ) = Im(T ). (1.0 pto.)

b) Sea P2 el conjunto de polinomios de grado menor o igual a 2. Sea H un subespacio

de P2, donde H = {p(x) ∈ P2 : p(1) = p′(1) = 0}. Halle una base para H.

(2.0 ptos.)

2. Sea T : R2 → R3 una transformacion lineal tal que T (0, 1) = (0, 1, 2), T (1, 2) = (2, 0, 4).

a) Halle la matriz asociada a T respecto a las bases canonicas. (2.0 ptos.)

b) Halle una base para Im(T ). Ademas, encuentre la ecuacion del lugar geometrico

descrito por el conjunto Im(T ). (2.0 ptos.)

3. Sea E un subconjunto de M2×2, matrices de orden 2× 2, definido por

E = {A =

[a b

c d

]: a + b + c + d = 0, a, b, c, d ∈ R}.

a) Pruebe que el conjunto E es un subespacio de M2×2. (2.0 ptos.)

b) Halle una base del subespacio E y dar su dimension. (2.0 ptos.)

4. Sea T : R3 → R definida por T (x, y, z) = 3x + y − 4z.

a) Pruebe que T es una transfomacion lineal. (2.0 ptos.)

b) Halle el nucleo de T y una base para el nucleo. (1.0 pto.)

c) Halle la dimension de la imagen de T . (1.0 pto.)

5. Sean M2×2 el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 × 2 y T : M2×2 → M2×2

una transformacion lineal definida por T (X) = BXB−1, donde B =

[1 0

0 −1

].

a) Halle el nucleo de T y la imagen de T . (3.0 ptos.)

b) Halle la dimension del nucleo y de la imagen de T . (1.0 pto.)

San Miguel, 19 de mayo del 2012.

Elaborado por: Raul Chavez Aquino



Cálculo 3Práctica N� 2

Ciclo de Verano 2012�

ADVERTENCIA: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras ycorrectores líquidos.

1. (a) Calcular el determinante de A =

24 1 �2 k + 22 �3 2k1 �k k2 + k � 3

35 (1:5 pto)

(b) Dado el sistema de ecuaciones lineales en las variables x; y; z :8<: x � 2y + (k + 2) z = 52x � 3y + 2kz = 8x � ky +

�k2 + k � 3

�z = 3k

:

Hallar todos los valores de k 2 R para que dicho sistema :i. tenga una única solución . (1:5 pts)ii. tenga in�nitas soluciones. (1 pto)iii. no tenga solución (1 pto)

2. Hallar todas las matrices cuadradas A de orden 2 � 2 que conmutan conla matriz

B =

�1 02 �1

�:

Es decir, AB = BA. (2 pts)

3. (a) Sea V = P3(R), el conjunto de los polinomios de grado � 3, con coe-�cientes reales, con las operaciones usuales de adición de polinomiosy multiplicación de polinomios por un número real. Demostrar queel conjunto

W = fp(x) 2 V : p(x) = ax3 + bx2 + (a+ b)x+ 2b; a; b 2 Rg;

es un subespacio vectorial de V . (2 pts)

(b) Sea R3el espacio vectorial con las operaciones usuales.Analizar si lossiguientes conjuntos son subespacios vectoriales de R3.

i. S = f(x; y; z) 2 R3 : x = y = zg (2 pts)ii. T = f(x; y; z) 2 R3 : z = x2 + y2g (2 pts)

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �CONTINÚA

1


4. Sea A =

26641 0 0 0a 1 0 0a2 a 1 0a3 a2 a 1

3775(a) Hallar todos los valores de a para las cuales existe A�1: (1 pto)

(b) Calcular A�1: (2 pts)

(c) Hallar la inversa de 26641 0 0 0p2 1 0 0

2p2 1 0

2p2 2

p2 1

3775(1 pto)

5. Sabiendo que ��x 1 0 03 x 2 00 2 x 30 0 1 x

�� = (xm � 1) (xm � 3m)

Hallar el valor de m: (3 pts)

Elaborado por los profesores del cursoSan Miguel, 26 de Enero del 2012

2


PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

SEGUNDA PRÁCTICA DE CÁLCULO 3

Semestre académico 2011-2

Advertencia: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctores líquidos. 1, a. Pruebe que los siguientes polinomios del espacio vectorial 5P

25)( , 652)( , 15)( 2423 xxxrxxxqxxxp

son linealmente independientes. (2 puntos)

b. Dado las matrices . Probar que

genera el subespacio .

11

02y

10

01 ,

21

01321 AAA

Rzyx

zy

xH ,,:

0} ,,{ 321 AAAB

Expresar la matriz como combinación lineal de

13

04M B . (3 puntos)

2. Sea el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 2, con las

operaciones usuales. Dado el polinomio 2P

1)( xxp

)}()( xqxp

, encuentre un polinomio de

modo que el conjunto forme una base para el espacio (3 puntos)

)(xq

),(),({ xqxpB 2P

3. a. Si es la matriz de una transformación lineal

relativas a las bases canónicas o estándar de respectivamente. Hallar la transformación lineal y calcular

321

111A

,(xT

,: RRT 23

,23 RyR)1,2,5(), zy T (2 puntos)

b. Hallar la matriz que representa a la transformación lineal que, a

cada punto de le hace corresponder su punto simétrico con respecto al plano

,: 33 RRT Q),,( zyxP 3R

XY (2 puntos)

CONTINÚA…

1 de 2

4. a. Sea definida por:33: RRS ),0,0(),,( yxzyxS una transformación lineal.

Hallar las dimensiones del núcleo y de la imagen de . (2 puntos) S

b. Sea una transformación lineal talque para todo nn RRT : nRu0))(( uTT

i. Demostrar que la Imagen de T es un subconjunto del Núcleo de T . ii. Verificar en la parte (a) que 0SS y que la imagen de . nuTS

(2 puntos)

5. Sea la transformación lineal definida por 44: RRT

) ,2- ,32 ,32(),,,( w-zwzxwzyxwzyxwzyxT

a. Hallar las dimensiones del núcleo y de la imagen de T (2 puntos) b. Hallar una base de la imagen de T puntos) (2

San Miguel, 24 de setiembre 2011 Preparado por los profesores del curso Coordinadora: Profa. Olga Chamorro

2 de 2

pontificia universidad catÓlica del perÚ...

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