pontificia universidad catÓlica del perÚ...

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ

ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

EXAMEN FINAL DE CÁLCULO 3

Semestre Académico 2014- 1

—Indicaciones

⋅ Resolver sólo 5 preguntas de las 6 propuestas.⋅ Resolver las preguntas de acuerdo a la siguiente distribución:

Pregunta 1 2 3 4 5 6

Páginas 1 y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 10 11 y 12

⋅ No está permitido el uso de correctores líquidos, libros, apuntes ni calculadoras.⋅ Duración del examen: 3 horas.

1. Dada la curva Γ :2x − 22 + z2 = 8

x + y = 4.Hallar:

a. La longitud de arco de Γ desde el punto P4,0,0 hasta el punto Q2,2,2 2 . 2 pts

b. La curvatura kt y la torsión τt de la curva Γ en todo punto de la curva Γ. 2 pts

2. Dada la función f :R2 → R definida por

f x, y =

xry3

x4 + y232

, si x, y ≠ 0,0

0 , si x, y = 0,0

a. Analizar la diferenciabilidad de f en el punto 0,0 para r = 2. 2 pts

b. Para r = 1, hallar la derivada direccional de f en el punto 0,0 en todas las direccionesunitarias u = a, b ∈ R2 donde existan. 2 pts

3.a. Dada la superficie S : z = x2 − y2.

i. Hallar la ecuación cartesiana del plano tangente P a la superficie S en el puntoQ = a, b, a2 − b2. 1 pto

ii. Sea P = u, v, w la proyección ortogonal del origen de coordenadas sobre el planotangente P a S en el punto Q. Sabiendo que u2 + v2 + w2 = fa, b hallarfa, b. 1 pto

b. Dada la función f x, y =

ex2+y2− 1

x2+y2 , , si x, y ≠ 0,0

1 , , si x, y = 0,0.

Hallar los vectores unitarios u = a, b ∈ R2 tales que Duf 0,0 existe. 2 pts

4.a. Hallar la ecuación cartesiana del plano tangente P a la superficie

S : arctanxy − eyz2= 0, y ≠ 0 que contiene a la recta L : x = 2, y = 0. 2 pts

b. Si Γ : P = Ft, t ∈ R es una curva regular en Rn y v es un vector fijo. Si para todot ∈ R, F ′t y v son ortogonales y F0 es también ortogonal a v. Probar que Ft esortogonal a v, para todo t ∈ R. 2 pts

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯CONTINÚA

1

Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.

5. Dada la función

f x, y = x3y − 5x2y + 3xy2.

Hallar los puntos críticos de f y analizar su naturaleza. 4 pts

6. Usando el método de Multiplicadores de Lagrange, encontrar los extremos relativos de lafunción

f x, y, z = xyz

sujeta a la condición x2 + y2 + z2 = a2, donde a es una constante positiva.Además indicarlos puntos donde se alcanzan dichos extremos. 4 pts

Evaluación elaborada por todos los profesores del curso.Coordinador de teoría : Profesor Norberto Chau San Miguel, 30 de junio de 2013

2





Semestre Académico 2014- 0

—

Indicaciones

● Resolver sólo 4 de las 5 preguntas propuestas

● Enumerar del 1 al 10 las páginas de su cuadernillo en la parte superior derecha y desarrollarlas preguntas, de acuerdo a la siguiente distribución:

Pregunta 1 2 3 4 5

Páginas 1 y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 10

● No está permitido el uso de correctores líquidos, libros, apuntes ni calculadoras.

1. Dadas las curvas:

Γ : Ft = 1 + t, e t+1, t2 + 1, t ∈ 0,+∞ y C : Gr = 31 + r

, e4r, 1 + 2r , r ∈ 0,+∞.

a. Encontrar la ecuación del plano osculador de la curva Γ en Q, punto intersección de lascurvas Γ y C. 3 pts

b. Calcular la curvatura y la torsión de Γ en el punto Q. 2 pts

2. Sea f x,y = x3 + y3 − 3axy, donde x,y ∈ R2.Hallar los puntos críticos de f y analizar sunaturaleza según los valores de a ∈ R. 5 pts

3.a. Dada la superficie S = x,y, z ∈ R3 : z = x2 + y2.Hallar la ecuación cartesiana del

plano tangente P a la superficie S que contiene al punto M = 0,3,4 y esperpendicular al plano π : x − 2y − 2z = 0. 2.5 pts

b. Dada la función f :R2 → R, definida por fx,y = |xy|3 .Analizar la diferenciabilidad

de f en 0,0. 2. 5 pts

4. Dada la superficie S = x,y, z ∈ R3 : x2

4+

y2

25+ z2

5= 1 .Hallar las dimensiones del

tetraedro de menor volumen que se puede formar con los tres planos coordenados y un planotangente a la superficie S en un punto del primer octante. 5 pts

5.a. Dada la función f : Ω⊂R2 → R, definida por

f x,y =1 , si x ≠ 0 , y ≠ 0

x − y, si x = 0 o y = 0

i. Analizar si existe la derivada direccional de f en 0,0 en las direcciones unitariasu = a,b ∈ R2 con a ≠ 0 y b ≠ 0. 1 pto

ii. Analizar la diferenciabilidad de f en 0,0. 1 pto

b. Dada la parametrización de la curva Γ :

Ft = t u + t2v + 2 23t

32 u × v, t ∈ 0,+∞;

donde u y v son dos vectores unitarios fijos en R3 que forman un ángulo de π3

radianes. Analizar si F es una parametrización regular. 3 pts

Norberto Chau San Miguel, 27 de febrero de 2013





Semestre Académico 2013- 2—

Indicaciones

⋅ Resolver sólo 5 preguntas de las 6 propuestas.⋅ Resolver las preguntas de acuerdo a la siguiente distribución:


Páginas 1 y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 10 11 y 12

⋅ No está permitido el uso de correctores líquidos, libros, apuntes ni calculadoras.⋅ Duración del examen: 3 horas.

1. Dada la parametrización de la curva Γ :

Ft = cos t, sen t, lncos t, t ∈ 0, π2

.

a. Encontrar la longitud de arco de la curva que se inicia en el punto 1, 0, 0 hasta el

punto 12 , 3

2 ,− ln 2 . 3 pts

b. Hallar la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva Γ en el punto Q donde elplano P : x = y interseca a la curva Γ. 1 pto

2. Los planos tangentes a la gráfica de la función f x, y = 2x2 + 2x − y2 + 1 en el puntoP0 = a, b, 1 son perpendiculares al plano P : x + y + 2z = 1. Hallar los valores de a , b ylas ecuaciones cartesianas de dichos planos tangentes. 4 pts

3. Dada la función f :R2 → R, definida por f x, y = |xy|α. Analizar la diferenciabilidad de f

en 0, 0 cuando α > 12 . 4 pts

4. Sea f x, y = axy − x4 − y4, donde x, y ∈ R2 y a ∈ 0;+∞.a. Hallar los puntos críticos de f según el valor de a. 2 pts

b. Determinar la naturaleza de los puntos críticos hallados en a). 2 pts

5. Sea la función f x, y, z = x2 + y2 + bxy + az donde a, b son constantes reales tales quea + b = 2.Hallar los valores de a y b de manera que f tenga un extremo relativo en el punto1, 1, 1 sujeta a la restricción x2 + y2 + z2 = 3. 4 pts

6. Considere la curva Γ parametrizada por Ft = 34 t2, t, 1

4 t3 + t, t ∈ R.

a. Probar que la curvatura κt de Γ es diferente de cero en todo punto Ft ∈ Γ. 2 pts

b. Si dado t ∈ R, θt denota el ángulo que forma el vector v = 0, 0, 1 con el vectorbinormal Bt a la curva en todo punto Ft ∈ Γ, probar que la torsión esτt = −cos2θt. 2 pts

Evaluación elaborada por todos los profesores del curso.Coordinador de teoría : Profesor Norberto Chau San Miguel, 2 de diciembre de 2013

1

Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporadodurante la realización de las evaluaciones.

PO�TIFICIA U�IVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚESTUDIOS GE�ERALES CIE�CIAS

EXAME� FI�AL DE CÁLCULO 3Semestre Académico 2013- 1

—

Indicaciones⋅ Resolver sólo 5 preguntas de las 6 propuestas.

⋅ Resolver las preguntas de acuerdo a la siguiente distribución:


Páginas 1 y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 10 11 y 12

⋅ No está permitido el uso de correctores líquidos, libros, apuntes ni calculadoras.

⋅ Duración del examen: 3 horas.

1. Sea Γ la curva parametrizada por

Ft = t, t2t − 1

, 2t2

2t − 1, t ∈ 3

4,+∞ .

a. Hallar la ecuación cartesiana del plano osculador a la curva Γ en el puntoQ = 1,1,2. 2 pts

b. Calcular la curvatura y la torsión de Γ en el punto Q. 2 pts

2. Analizar la naturaleza de los puntos críticos de la función

fx,y = xy3 − 5xy2 + x2y.

4 pts

3. Sea la función f x,y =

x2y2

x2 + y2, si x,y ≠ 0,0

0 , si x,y = 0,0

a. Analizar si f es diferenciable en todo R2. 2 pts

b. Hallar todos los vectores unitarios U tales que DUf0,0 existe. 1 pto

c. Hallar todos los vectores unitarios U tales que DUf1,−1 = 0. 1 pto

4.a. Hallar todos los puntos de la superficie S = x,y, z : z = ex+y + senx − y

cuyo plano tangente es paralelo al plano P : x + y − z = 0. 2 pts

b. Dada la superficie S = x,y, z ∈ R3 : xyz = 1, donde x,y, z > 0, demostrar que losplanos tangentes en cualquier punto de S forma con los tres planos coordenados untetraedro de volumen constante. 2 pts

5. Usando el método de Multiplicadores de Lagrange, encontrar el punto de la superficieS = x,y, z : x2 + y2 + z2 = 11

4más cercano al punto Q = 3,1,−1. 4 pts

6. Dada una función f de clase C2 en R2, sea

z = f x,y , donde x = v2 − u2 , y = v − u.

Hallar el valor de la constante A, y las funciones hu,v, ku,v tales que∂2z∂u2

+ ∂2z∂v∂u

= A ∂z∂x

+ hu,v ∂2z

∂x2+ ku,v ∂2z

∂x∂y

4 pts

Evaluación elaborada por todos los profesores del curso.Coordinador de teoría : Profesor Norberto Chau San Miguel, 1 de julio de 2013

1


PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

EXAMEN FINAL DE CÁLCULO 3Semestre Académico 2013- 0

—

Indicaciones● Resolver sólo 5 de las 6 preguntas propuestas



Páginas 1 y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 10 11 y 12


1. Sea la curva

Γ : Ft = −2 + sen t, t2 + 2,−1 + t2 + 2sen t, t ∈ 0,π

Hallar los vectores unitarios Tt,Bt, Nt, la curvatura kt y torsión τt de la curva en elpunto Q, donde el vector tangente a Γ es paralelo al plano YZ. 4 pts

2. Dada la función

f x,y =

exy − 1xy , si x ≠ 0, y ≠ 0

1 , si x = 0 o y = 0

a. Analizar la existencia de Duf x,y si x ≠ 0,y ≠ 0, para todo vector unitariou = a,b ∈ R2. En caso afirmativo, calcular el valor de Duf1,1.

2 pts

b. Hallar Duf x, 0, x ∈ R −0, u = 0,1. 1 pto

c. Hallar Duf x, 0, x ∈ R −0, u = 1,0. 1 pto

3. Dada la función

f x,y =

x + yn

x2 + y2, si x,y ≠ 0,0

0 , si x,y = 0,0

Analizar la diferenciabilidad de f en 0,0, según los valores de n ∈ N. 4 pts

4. Dada la función fx,y = xy3 − kxy2 + x2y. Hallar los puntos críticos de f y analizar sunaturaleza según los valores de k > 1. 4 pts

5. Usando el método de Multiplicadores de Lagrange, hallar la mínima distancia del origende coordenadas a la superficie S : xyz2 = 2. 4 pts

6. Sean z = fx,y , x = ev secu , y = ev tanu, donde f es una función de clase C2.

Hallar las funciones gu,hx,y y kx,y tales que

∂2z∂u∂v

− ∂z∂u

= gu hx,y ∂2z∂x2

+ ∂2z∂y2

+ kx,y ∂2z∂x∂y

4 pts

Elaborada por los profesores del cursoCoordinador : Profesor Norberto Chau

San Miguel, 28 de febrero de 2013


PO�TIFICIA U�IVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚESTUDIOS GE�ERALES CIE�CIAS

EXAME� FI�AL DE CÁLCULO 3Semestre Académico 2012- 0

—

Indicaciones● Resolver sólo 5 de las 6 preguntas propuestas



Páginas 1 y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 10 11 y 12


1. a. Sea la superficie

S : z − xarctanyx = 0.

Demostrar que todos los planos tangentes a S se intersecan en un punto y hallar dichopunto. 2 pts

b. Sea

f x,y =x sen 1

x2+y2− x

x2+y2cos 1

x2+y2, si x,y ≠ 0,0

0 , si x,y = 0,0

Analizar la continuidad de f en 0,0. 2 pts

2. Dada la curva

Γ:x2 + y = 4

x y = z

a. Parametrizar Γ, indicando el dominio de la parametrización. 1 pto

b. Hallar los vectores unitarios T y B en el punto Q ∈ Γ, donde la recta tangente esperperdicular al eje Y. 2 pts

c. Hallar la curvatura kt en cualquier punto de la curva Γ. 1 pto

3. Sea

f x,y =

|xy|

x2+y2, si x,y ≠ 0,0

0 , si x,y = 0,0

a. Analizar la diferenciabilidad de f en 0,0. 2. 5 pts

b. Calcular Duf1,1 para u = 1

2, 1

2. 1. 5 pts

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯CO�TI�ÚA


4. Dada la función

fx,y = x3y − xy2 + 25x2y

Hallar los puntos críticos de f y analizar su naturaleza. 4 pts

5. Usando el método de Multiplicadores de Lagrange, hallar los puntos de la superficie

S : x2 + y2 + z2 = 19.

que están más cerca del punto 1,2,−2. 4 pts

6. Sea la función f : R2 R, definida por

fx,y = 2x + 3y1 + |xy|β; β > 0.

Analizar según los valores de β :

a. La diferenciabilidad de f en 0,0. 2. 5 pts

b. La existencia de Duf0,0 en toda dirección unitaria u = a,b ∈ R2. 1. 5 pts

Elaborada por los profesores del cursoCoordinador : Profesor Norberto Chau

San Miguel, 23 de febrero de 2012


pontificia universidad catÓlica del perÚ...

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