PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

ESCUELA DE INGENIERIA

SIMULACION DE TRANSITORIOS

ELECTROMECANICOS

EN SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA

MEDIANTE PROCESAMIENTO PARALELO

FELIPE ALFONSO MORALES SILVA

Tesis para optar al Grado de

Magister en Ciencias de la Ingenier��a.

Supervisores:

HUGH RUDNICK V. D. W.

ALDO CIPRIANO Z.

Santiago de Chile, 1999

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

ESCUELA DE INGENIERIA

Departamento de Ingenier��a El�ectrica

SIMULACION DE TRANSITORIOS

ELECTROMECANICOS

EN SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA

MEDIANTE PROCESAMIENTO PARALELO

FELIPE ALFONSO MORALES SILVA

Tesis presentada a la Comisi�on integrada por los profesores:

HUGH RUDNICK V. D. W.

ALDO CIPRIANO Z.

HECTOR PE~NA M.

CELSO GONZALEZ G.

PATRICIO DEL SOL G.

para completar las exigencias del grado de

Magister en Ciencias de la Ingenier��a.

Santiago de Chile, 1999

A mi familia

ii

AGRADECIMIENTOS

Quiero agradecer a mis padres por su apoyo y comprensi�on, y destacar el

sacri�cio que han realizado para costear mi educaci�on.

Tambi�en quiero agradecer, de manera especial y muy sinceramente, la

con�anza y el apoyo recibido de mi tutor el Pr. Dr. Hugh Rudnick y del Pr. Dr.

Aldo Cipriano, quienes me guiaron en mi formaci�on profesional y humana durante

mi estad��a en el Programa de Magister.

A los Prs. Dr. Joaqu��n Astorga y Dr. Hector Pe~na, de la Universidad

Cat�olica de Valpara��so, quienes recomendaron mi ingreso al programa y continuaron

orient�andome.

A los Prs. Dr. Luis Rouco del Instituto de Investigaci�on Tecnol�ogica

de Madrid, Dr. Leonardo P�aucar en la Universidad de Campinas, Dr. Djalma

Falc~ao de la Universidad Federal de Rio de Janeiro y Dr. Jo~ao Tom�e Saraiva del

Instituto de Engenharia de Sistemas e Computadores de Oporto, por su atenci�on

durante las estad��as de investigaci�on �nanciadas a trav�es del Proyecto CYTED VII.7,

\Tecnolog��as Emergentes en Sistemas El�ectricos".

A la Comunidad Europea, a trav�es del Proyecto \Parallel Computing and

Dynamic Optimization", que �nanci�o la adquisici�on del computador paralelo.

A Fondecyt y a la Unidad de Investigaci�on y Desarrollo de ENDESA en

la Universidad Cat�olica de Chile.

A Tamara Reyes, Doris S�aez, Ren�e Vidal y Juan Zolezzi, de quienes he

recibido mucha amistad y ayuda.

Felipe A. Morales S.

Santiago, Marzo de 1999

iii

INDICE GENERAL

P�ag.

DEDICATORIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

AGRADECIMIENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

INDICE GENERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

INDICE DE TABLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

INDICE DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii

I. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Simulaci�on de Fen�omenos Transitorios . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Motivaci�on, Objetivos y Alcances del Trabajo . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Organizaci�on de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

II. NOCIONES DE PROCESAMIENTO PARALELO Y APLICACIONES

EN SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA . . . . . . . . . . . . . 10

2.1 Nociones de Procesamiento Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Caracter��sticas de las arquitecturas para procesamiento pa-

ralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2 Arquitecturas para procesamiento paralelo . . . . . . . . . 14

2.1.3 Modelos e ��ndices de desempe~no . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Aplicaciones del Procesamiento Paralelo en Sistemas El�ectricos de

Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1 Aplicaciones en el an�alisis de sistemas el�ectricos de potencia 21

2.2.2 Aplicaciones potenciales del procesamiento paralelo . . . . . 37

2.2.3 Implementaciones en la industria el�ectrica . . . . . . . . . . 43

III. REPRESENTACION DEL SISTEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

iv

3.1 Introducci�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Modelaci�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.1 Modelo del generador s��ncrono . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.2 Modelo del sistema de excitaci�on . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.3 Modelo del estabilizador del sistema de potencia . . . . . . 54

3.2.4 Modelo de la turbina y el regulador de velocidad . . . . . . 55

3.2.5 Modelo de las unidades generadoras . . . . . . . . . . . . . 56

3.2.6 Modelo del sistema de transmisi�on y los consumos . . . . . 60

3.2.7 Modelo multim�aquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

IV. SIMULACION DE TRANSITORIOS ELECTROMECANICOS Y FOR-

MULACION DE UNA SOLUCION PARALELA . . . . . . . . . . . . . 70

4.1 Introducci�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2 Procesamiento Paralelo en la Simulaci�on de Transitorios Electro-

mec�anicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2.1 Alternativas para formular el problema de la simulaci�on de

transitorios electromec�anicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2.2 Aplicaciones del procesamiento paralelo en la simulaci�on de

transitorios electromec�anicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3 Formulaci�on y Desarrollo de la Estrategia de Paralelizaci�on . . . . 102

4.3.1 Estrategia de paralelizaci�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.3.2 M�etodos utilizados en el desarrollo de la estrategia . . . . . 107

4.3.3 Realizaci�on del m�etodo en un multicomputador . . . . . . . 114

V. ESTUDIOS DE SIMULACION Y CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . 117

5.1 Estudios de Simulaci�on Paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.1.1 Evaluaci�on de la simulaci�on basada en el concepto de para-

lelizaci�on temporal acoplada . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.1.2 Evaluaci�on de los m�etodos utilizados para el desarrollo de

la estrategia de paralelizaci�on . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.1.3 Evaluaci�on del m�etodo de Newton Maclaurin en simulacio-

nes paso a paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.1.4 Evaluaci�on del m�etodo de Newton Maclaurin en problemas

de dimensi�on elevada: simulaciones del SIC basadas en el

concepto de paralelizaci�on temporal acoplada . . . . . . . . 134

v

5.2 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

ANEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

ANEXO A: Nociones Acerca de la Teor��a de Grafos . . . . . . . . . . . . . . . 155

A.1 Notaci�on y De�niciones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

A.2 Aplicaci�on en la Obtenci�on de una Descomposici�on � Balanceada . 156

ANEXO B: Descripci�on y Utilizaci�on del Multicomputador . . . . . . . . . . . 159

B.1 Descripci�on del Multicomputador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

B.2 Ejecuci�on de Programas y Partici�on del Multicomputador . . . . . 160

ANEXO C: Construcci�on del Programa de Simulaci�on en Lenguaje C . . . . . 162

C.1 T�ecnicas de Programaci�on Basadas en Lenguaje C . . . . . . . . . 162

C.1.1 Programaci�on estructurada basada en subrutinas y directi-

vas #include . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

C.1.2 Utilizaci�on de punteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

C.1.3 Asignaci�on de memoria din�amica . . . . . . . . . . . . . . . 164

C.1.4 Utilizaci�on de estructuras de datos . . . . . . . . . . . . . . 164

C.2 Intercomunicaci�on de Procesadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

ANEXO D: Datos del Sistema de Prueba IEEE300 . . . . . . . . . . . . . . . 168

vi

INDICE DE TABLAS

P�ag.

5.1 Caracter��sticas de la representaci�on utilizada para el SIC (A~no 1992) . . 119

5.2 Niveles de tensi�on considerados en la representaci�on SIC . . . . . . . . . 120

5.3 Caracter��sticas de operaci�on de las unidades generadoras representadas

din�amicamente en el modelo del SIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.4 Normas para evaluar la convergencia del m�etodo de Newton-Maclaurin . 123

5.5 Dispositivos eliminados para obtener una descomposici�on en dos bloques

(el n�umero entre par�entesis es el n�umero de dispositivos en paralelo) . . 126

5.6 Balance de los bloques y tiempos requeridos para una etapa de inversi�on

bifactorizada t��pica sobre cuatro procesadores (no incluye substituci�on) . 127

5.7 Caracter��sticas generales del sistema de prueba IEEE300 . . . . . . . . . 132

5.8 Iteraciones requeridas para convergencia de la simulaci�on paso a paso en

funci�on del n�umero de procesadores. Estudio de simulaci�on del sistema

de prueba IEEE300 mediante un multicomputador . . . . . . . . . . . . 134

5.9 Resumen con las caracter��sticas del estudio de simulaci�on basado en el

concepto de paralelizaci�on temporal acoplada . . . . . . . . . . . . . . . 135

B.1 Caracter��sticas t�ecnicas del multicomputador Parsytec PowerXplorer . . 160

B.2 Particiones actuales del multicomputador Parsytec PowerXplorer . . . . 161

D.1 Par�ametros din�amicos utilizados en las simulaciones del sistema de prue-

ba IEEE300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

D.1 Par�ametros din�amicos utilizados en las simulaciones del sistema de prue-

ba IEEE300 (Continuaci�on) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

vii

INDICE DE FIGURAS

P�ag.

1.1 Clasi�caci�on de los tipos de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Sistemas y lazos de control en un sistema el�ectrico de potencia . . . . . 4

1.3 Ventana temporal y banda de frecuencia de los fen�omenos din�amicos en

un sistema el�ectrico de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Contenido de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1 Sistema de intercomunicaci�on de procesadores basado en interruptores . 13

2.2 Red de interconexi�on para procesadores dotados de su propia memoria

local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Arquitecturas de computaci�on paralela basadas en dise~nos h��bridos . . . 14

2.4 Modelo DAG para la operaci�on 2p�x exp(x) . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Alternativas para la soluci�on paralela del problema algebraico lineal . . 23

2.6 Matrices especialmente reestructuradas para procesamiento paralelo . . 25

2.7 Modelo utilizado para representar una l��nea de transmisi�on en estudios

de simulaci�on de transtorios electromagn�eticos . . . . . . . . . . . . . . 28

2.8 Diagrama de ujo para la simulaci�on paralela de transitorios electro-

magn�eticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.9 Diagrama de ujo del m�etodo de la TEF para evaluaci�on de la seguridad

din�amica mediante computadores paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.10 Diagrama de ujo de la versi�on paralela del m�odulo para an�alisis de la

estabilidad de tensi�on EVARISTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.11 Diagrama de ujo de la versi�on paralela del m�odulo de plani�caci�on

MEXICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.12 Con�guraci�on de un sistema de procesamiento descentralizado para un

centro de control local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.13 Herramienta computacional de sistemas el�ectricos de potencia para el

futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.14 Simulador digital en tiempo real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.15 Prueba en lazo cerrado de un rel�e f��sico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1 Estructura del modelo utilizado para an�alisis de transitorios electro-

mec�anicos en sistemas el�ectricos de potencia . . . . . . . . . . . . . . . 47

viii

3.2 Representaci�on gr�a�ca de los circuitos en el estator y rotor de una m�aqui-

na s��ncrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Marcos de referencia utilizados en la de�nici�on de variables del sistema . 50

3.4 Diagrama de bloques del sistema de excitaci�on y el transductor de tensi�on 53

3.5 Diagrama de bloques del estabilizador del sistema de potencia . . . . . . 54

3.6 Diagrama de bloques de la unidad hidr�aulica . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.7 Circuito � equivalente de una l��nea de transmisi�on . . . . . . . . . . . . 61

3.8 Representaci�on de un transformador desfasador . . . . . . . . . . . . . . 61

3.9 Representaci�on de los consumos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1 Representaci�on pict�orica de un sistema el�ectrico de potencia . . . . . . . 74

4.2 Alternativas para formular el problema de simulaci�on de transitorios

electromec�anicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3 Diagrama en bloques para el sistema no lineal representado por la ecua-

ci�on de oscilaci�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4 Diagrama de ujo del algoritmo de relajaci�on funcional para simulaci�on

mediante computadores paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.5 Representaci�on de la simulaci�on paralela utilizando el concepto de para-

lelizaci�on temporal en su forma desacoplada . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.6 Secuencia de operaciones paralelas para los esquemas basados en la re-

lajaci�on del m�etodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.7 Una topolog��a toroidal t��picamente utilizada para la simulaci�on basada

en el paralelismo temporal y espacial (16 nodos: 4 en el espacio y 4 en

el tiempo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.8 Recursos utilizados para la simulaci�on basada en el m�etodo de Picard

Desplazado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.9 Diagrama de ujo para la simulaci�on de transitorios electromec�anicos

mediante el multicomputador Parsytec PowerXplorer . . . . . . . . . . . 115

5.1 Tiempo CPU por etapa de la simulaci�on v=s n�umero de pasos integrados

simult�aneamente. Estudio de simulaci�on del SIC mediante un multicom-

putador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.2 Descomposiciones del Jacobiano para procesamiento paralelo. Estudio

de simulaci�on del SIC mediante un multicomputador . . . . . . . . . . . 124

ix

5.3 Grupos de unidades generadoras obtenidos mediante la Descomposici�on �

Balanceada. Estudio de simulaci�on del SIC mediante un multicomputador125

5.4 Ganancia de velocidad como una funci�on de los t�erminos de la serie de

Maclaurin. Estudio de simulaci�on del SIC mediante un multicomputador 128

5.5 Indices de desempe~no para la simulaci�on paso a paso como una funci�on

del n�umero de procesadores. Estudio de simulaci�on del SIC mediante un

multicomputador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.6 N�umero de iteraciones requeridas para la convergencia como una funci�on

de los t�erminos de la serie de Maclaurin. Estudio de simulaci�on del SIC

mediante un multicomputador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.7 Indices de desempe~no para la simulaci�on paso a paso como una funci�on

del n�umero de procesadores. Estudio de simulaci�on del sistema de prueba

IEEE300 mediante un multicomputador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.8 Indices de desempe~no para la simulaci�on basada en el concepto de pa-

ralelizaci�on temporal acoplada. Estudio de simulaci�on del SIC mediante

un multicomputador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

A.1 Matrices utilizadas para representar la aplicaci�on de la teor��a de grafos

en la obtenci�on de una Descomposici�on � . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

A.2 Grafos correspondientes a las matrices J1, J2 y J3 . . . . . . . . . . . . 157

A.3 Representaci�on de la inversi�on de la matriz J3 mediante el modelo DAG 158

B.1 Representaci�on gr�a�ca del multicomputador Parsytec PowerXplorer . . 159

x

RESUMEN

En esta Tesis se considera la b�usqueda, desarrollo y prueba de un algorit-

mo adecuado para simular r�apida y e�cientemente transitorios electromec�anicos en

sistemas el�ectricos de potencia mediante un computador paralelo (multicomputador).

El m�etodo de integraci�on seleccionado es la regla trapezoidal. Este, en

conjunto con la soluci�on basada en un m�etodo de Newton modi�cado, con iteracio-

nes caracterizadas por la soluci�on bifactorizada o LU de un conjunto de ecuaciones

lineales cuasivac��o, ha liderado los esquemas de simulaci�on desarrollados para com-

putadores seriales (monoprocesador).

La simulaci�on se formula como un problema algebraico nolineal utilizando

el concepto de paralelizaci�on temporal. La soluci�on concurrente se obtiene descom-

poniendo la matriz Jacobiana como la suma de una matriz bloque diagonal, JD, y una

matriz con los elementos fuera de los bloques diagonales, JO. Entonces, la inversa

del Jacobiano se reescribe como (I+J�1D J0)�1J�1D y, asumiendo que jjJ

�1D JOjj < 1, el

t�ermino (I+J�1D J0)�1 se aproxima por su serie de Maclaurin. Los resultados indican

que la propiedad anterior, la cual es una condici�on su�ciente para la convergencia de

la etapa de inversi�on, permite dirigir la b�usqueda de la descomposici�on.

La Descomposici�on � se utiliza para particionar el Jacobiano mientras se

reduce jjJOjj y el M�etodo del Camino m�as Largo para equilibrar la dimensi�on de

los bloques en JD. Ambos permiten adecuar e�cientemente la estrategia de para-

lelizaci�on propuesta, particularmente en computadores cuya raz�on de velocidad de

procesamiento a comunicaci�on es elevada. El algoritmo se desarrolla casi en su to-

talidad mediante esquemas para tratar matrices cuasivac��as, permitiendo mejorar su

desempe~no y hacer viable la simulaci�on de sistemas de gran escala.

La simulaci�on se incorpor�o en lenguaje C a un computador Parsytec Po-

werXplorer que consta de 8 procesadores PowerPC 601. Se realizan estudios de simu-

laci�on del Sistema Interconectado Central chileno y del sistema de prueba IEEE300

para evaluar las ventajas y desventajas de utilizar el algoritmo paralelo; particular-

mente, en lo que concierne a la reducci�on del tiempo de simulaci�on.

xi

ABSTRACT

This Thesis proposes the search, development and test of a suitable al-

gorithm to simulate fast and e�ciently the electromechanical transients of power

systems on a parallel computer.

The integration method chosen is the trapezoidal rule. This one, together

with the solution based on a modi�ed Newton type method, with iterations charac-

terized by the bifactorized or LU solution of a sparse linear equation set, has been

mostly adopted for serial computer applications.

The simulation is formulated as the nonlinear algebraic problem by using

the time parallelization concept. The concurrent solution is obtained by decomposing

the Jacobian matrix as the addition of a block diagonal matrix, JD, and a matrix

with o� blocks diagonal elements, JO. The Jacobian inverse is re-written as (I +

J�1D J0)�1J�1D and assuming that jjJ

�1D JOjj < 1 the term (I+J

�1D J0)

�1 is approximated

by means of its Maclaurin series. The results show that the above property, which is

a su�ciency condition for the convergence of the inversion stage, orients the search

for the decomposition.

The � Decomposition is used to partition the Jacobian while jjJOjj is

decreased and the Longest Path Scheduling Method to balance the size of the blocks

in JD. These permit to adapt the strategy in an e�cient way, particularly, when it is

incorporated on a coarse grain computer. The algorithm was developed mainly with

sparse matrix schemes, so as to not only improve the performance of the program

but in also making feasible the simulation of large scale systems.

The parallel simulation written in C language was implemented on a

Parsytec computer consisting of eight PowerPC 601 processors. Studies of the Chi-

lean Central Interconnected System (SIC) and the IEEE300 test system are conside-

red to evaluate the advantages and drawbacks in the parallel method, in particular

in relation to the reduction of the simulation time.

xii

1

I. INTRODUCCION

Con el advenimiento de los computadores digitales y el uso de tecnolog��as

cada vez m�as e�cientes, una gran cantidad de los an�alisis realizados por la indus-

tria el�ectrica y los grupos acad�emicos asociados han sido continuamente adaptados

para incluir estudios m�as precisos, con�ables y vers�atiles. Los recursos dirigidos al

desarrollo de herramientas de an�alisis con este tipo de caracter��sticas son enormes

[AF94, Fa96, Rep92, Rud77, Sto79]. Esto no s�olo ha permitido extender la operaci�on

del sistema hacia niveles tecnol�ogicos considerablemente m�as complejos, como lo es

aquella basada en la evaluaci�on de la seguridad y el control en tiempo real, sino que

adem�as ha sido determinante en la evoluci�on hacia un sistema en el cual el bien social

se integra a trav�es del concepto de adaptaci�on econ�omica.

Visto el desarrollo que est�an experimentado los sistemas el�ectricos de po-

tencia, considerando sus nuevas estrategias de regulaci�on y mercado [Rud94], y el

desaf��o que conlleva la operaci�on en condiciones cada vez m�as cercanas a los l��mites

de la estabilidad [Kun94, FV92], el an�alisis de �estos viene a ser considerablemente

m�as dif��cil, requiriendo modelos matem�aticos de elevada complejidad. Esto, sumado

al soporte necesario para implementar algoritmos donde las herramientas de compu-

taci�on convencionales no parecen ser adecuadas, incrementan los requerimientos de

computadores que alcancen un mejor desempe~no.

El procesamiento paralelo, en conjunto con el procesamiento vectorial, el

desarrollo de algoritmos, compiladores, interfaces gr�a�cas y tecnolog��a, entre otros

recursos, constituyen la base de un ambiente computacional e�ciente (HPC: High

Performance Computing). Este tipo de plataforma computacional integrada, cuyo

nivel de desarrollo permite su utilizaci�on con costos relativamente moderados, viene

a ser una de las m�as promisorias en aplicaciones asociadas a los sistemas el�ectricos

modernos [Fa96, Rep92, DFaK96].

1.1 Simulaci�on de Fen�omenos Transitorios

El principal estudio que realiza la industria el�ectrica considerando como

herramienta la simulaci�on de los transitorios electromec�anicos eval�ua la estabilidad

2

angular del sistema frente a perturbaciones de gran magnitud [Sto79]. Tal estudio

presenta un inter�es particular para el �area de la computaci�on e�ciente, dada la poten-

cialidad que �esta presenta para evaluar la seguridad din�amica del sistema en tiempo

real [Fa96]. En un par de aplicaciones se destaca que la utilizaci�on de plataformas

de procesamiento paralelo han permitido alcanzar tal objetivo [TIN+92, CZBT91].

Cuando la simulaci�on est�a dirigida a determinar la seguridad din�amica

del sistema en tiempo real, se hace necesario exponer algunos conceptos que permiten

clari�car las caracter��sticas del problema en cuesti�on. La estabilidad del sistema es

un problema �unico, pero su estudio como tal a�un no es viable; �esto sugiere clasi�car

el problema de acuerdo a consideraciones tales como [Kun94]:

� La naturaleza f��sica de la inestabilidad en cuesti�on;

� la magnitud de la perturbaci�on considerada;

� los dispositivos, procesos y el tiempo que deben ser considerados para evaluar

la estabilidad;

� y el m�etodo seleccionado para determinar y predecir la estabilidad.

En base a un an�alisis como el descrito, y considerando como objetivo el presentar

un medio apropiado y e�ciente para abordar el problema de la estabilidad del siste-

ma, �esta puede ser disgregada en categor��as como las observadas en la Figura 1.1.

En ella, las l��neas segmentadas indican la inexistencia de una clara diferenciaci�on

de los l��mites que caracterizan a uno u otro tipo de estabilidad. Este efecto de su-

perposici�on de problemas viene a ser m�as notorio en la medida que el desarrollo de

algoritmos y plataformas de an�alisis permiten un estudio integrado de estos fen�ome-

nos. Claramente entonces, esta clasi�caci�on surge de la necesidad de acomodar los

estudios del sistema a las herramientas de an�alisis disponibles y en consecuencia,

cuando uno de estos fen�omenos est�a en an�alisis, se debe guardar especial atenci�on a

los efectos que se puedan presentar producto de tal superposici�on.

Habiendo identi�cado algunos de los problemas que se presentan en el

sistema es posible de�nir los alcances del estudio que se desea realizar, y a partir

3

Estabilidad de Tensión

no OscilatoriaInestabilidad

OscilatoriaInestabilidad

ModosLocales Interárea

Modos Modosde Control Torsionales

Modos

Estabilidad de Sistemas Eléctricos de Potencia

Estabilidad de Tensióna Perturbaciones GrandesTransitoria

Estabilidaden Períodos Largos

EstabilidadEstabilidaden Períodos Medios

a Perturbaciones PequeñasEstabilidad

a Perturbación Pequeña

Estabilidad Angular

Estabilidad de Tensión

Figura 1.1: Clasi�caci�on de los tipos de estabilidad

de estos alcances de�nir las limitaciones en la representaci�on del fen�omeno. En con-

secuencia, la utilizaci�on e�ciente de la simulaci�on, u otra herramienta de an�alisis,

requiere de�nir restricciones en lo que respecta a los modelos seleccionados para re-

presentar al sistema, las cuales var��an dependiendo del objetivo del an�alisis y del

tipo de decisi�on requerida. Esto puede lograrse a trav�es de la de�nici�on de subsiste-

mas que agrupen dispositivos y concentran sus efectos sobre el comportamiento del

sistema. La Figura 1.2 muestra un esquema de un sistema el�ectrico de potencia en

el cual se han identi�cado subsistemas y el tipo de control asociado a cada uno de

ellos [AAVN90].

En particular, al considerar la simulaci�on de los transitorios electromec�ani-

cos, el inter�es se concentra en la din�amica de las unidades generadoras y la turbina,

con sus respectivos controles de tensi�on y velocidad. Junto a �estos, la representaci�on

del sistema de transmisi�on y de los consumos es fundamental; la primera para incluir

la interacci�on de las unidades y la segunda para de�nir las condiciones de operaci�on,

4

Generador

Controlde Tensión

Frecuencia

del Sistema

Controlde Velocidad

GeneradaPotencia

en las LíneasFlujos

de Referenciapara el Sistema

Frecuencia

OtrosSistemas

GeneradorasUnidades

Otras

Fuentede Energía

Controlde la Fuentede Energía

Señales de control

de Transmisión

Sistema

Consumos

Centro de Control del Sistema

ωV

para la Generación Deseada

de FlujosAsignación

en las Líneas

Figura 1.2: Sistemas y lazos de control en un sistema el�ectrico de potencia

as�� como para incorporar otras din�amicas de importancia. Sin embargo, la impo-

sibilidad o el exceso de trabajo computacional requerido para obtener simulaciones

que integren otro tipo de transitorios en el sistema, sugiere que la din�amica asociada

a fen�omenos r�apidos, como los electromagn�eticos por ejemplo, no sea incluida. De

igual manera, no se consideran las fuentes de energ��a tales como calderas o reactores

nucleares y las acciones en los centros de control asociadas a fen�omenos temporales

lentos o en baja frecuencia [Kun94, AF94].

A partir del tipo de ecuaciones que representan al problema, principal-

mente en consideraci�on a los par�ametros que generalmente las caracterizan, los tran-

sitorios electromec�anicos, as�� como otros presentes en el sistema el�ectrico de potencia,

pueden caracterizarse por la banda de frecuencia en la que sus efectos son predomi-

nantes. Esta se muestra en la Figura 1.3, de la cual es posible observar que para el

problema electromec�anico el rango de frecuencias de mayor inter�es se concentra en

la banda de frecuencias comprendida entre 0,5 y 10 Hz.

5

seg. 1 hora1 minuto 1 día1 1 mseg. 1 ciclo 1 seg.µ

Sobretensiones debidas a rayos

Balance de carga diario

Tensiones por apertura (cierre) de líneas

Regulacion de flujos en líneas

Dinámicas de períodos largos

10 10 1 10 1010 10 1010 10 10 10

10 10 1 100.1 10 1010 10654310 10 10-6 -5 -4 -3 -2 10210-7

6 5 4 3 2 10 0.1 -2 -3 -4 -5 -6 -7Frecuencia, Hz.

Tiempo, seg.

Estabilidad electromecánica

Resonancia subsíncrona

Figura 1.3: Ventana temporal y banda de frecuencia de los fen�omenos din�amicos en

un sistema el�ectrico de potencia

De�nici�on del problema

La simulaci�on de los transitorios electromec�anicos mediante un computa-

dor paralelo consiste en la soluci�on num�erica de un problema diferencial-algebraico

de valor inicial, en el cual la colaboraci�on y comunicaci�on de los elementos de pro-

cesamiento tiene como �n incrementar la velocidad de dicha soluci�on relativa a la

de su obtenci�on serial (monoprocesador). Esta permite conocer la evoluci�on tem-

poral de un conjunto de variables, previamente de�nido, que resulta de representar

un fen�omeno predeterminado afectando los modos electromec�anicos de las m�aquinas

s��ncronas.

Matem�aticamente, el problema se formula de la siguiente manera:

Considere el conjunto de ecuaciones diferenciales y algebraicas necesario para des-

cribir los transitorios electromec�anicos de un sistema el�ectrico de potencia:

_z = G(z; y)

0 = H(z; y)(1.1)

y las condiciones iniciales z(0) = z0 e y(0) = y0 conocidas. G, el vector de funciones

6

diferenciales, y z, el vector de estado, 2 Rm ; a su vez, H, el vector de funciones

algebraicas, e y, el vector de variables algebraicas, 2 Rn . El objetivo consiste en

conocer la evoluci�on temporal de las variables de inter�es mediante una aproximaci�on

num�erica de la soluci�on de las ecuaciones descritas en 1.1; dicha a ser:

~z�th = ~z(h�t) e ~y�th = ~y(h�t); h = 1; :::; ĥ y ĥ�t = tf ; (1.2)

donde ~z(h�t) e ~y(h�t), para h = 1; : : : ; ĥ, son las aproximaciones discretas respecti-

vas para z(t) e y(t) en el intervalo de tiempo ] 0; tf ]; �t es el paso de integraci�on, el

cual se asume como constante durante el intervalo de simulaci�on, y ĥ es el n�umero de

pasos de integraci�on. Considerando que tal objetivo puede ser alcanzado por un con-

junto de hasta p̂ procesadores de un computador paralelo, el siguiente requerimiento

sobre los tiempos de procesamiento deber��a ser considerado:

Tp < T1; 1 < p � p̂ (1.3)

donde T1 y Tp son, respectivamente, los tiempos requeridos para la soluci�on utilizando

1 y p procesadores de un computador digital. Note que tal requerimiento no es m�as

que una manera formal de representar el deseo de tomar ventaja de una arquitectura

de procesamiento paralelo.

1.2 Motivaci�on, Objetivos y Alcances del Trabajo

El grupo de Autom�atica del Departamento de Ingenier��a El�ectrica de la

Ponti�cia Universidad Cat�olica de Chile cuenta con un computador paralelo Parsytec

PowerXplorer con 8 procesadores y la capacidad de ser escalado. Considerando la

gran cantidad de recursos de investigaci�on dirigidos a la utilizaci�on del procesamiento

paralelo en el an�alisis de los sistemas el�ectricos de potencia, y los bene�cios que �este

puede acarrear, el desarrollo de un trabajo en �el se presenta como una oportunidad

de gran valor. Esto motiv�o la realizaci�on de la Tesis en este campo.

Considerando tal motivaci�on, los objetivos fundamentales del trabajo de-

sarrollado fueron:

7

a) Investigar los m�etodos de simulaci�on paralela propuestos en la literatura; prin-

cipalmente, aquellos planteados para simular los transitorios electromec�anicos

en sistemas el�ectricos de potencia.

b) De�nir una estrategia que permitiese acomodar de manera e�ciente el problema

de la simulaci�on al computador paralelo disponible.

c) Desarrollar la estrategia a trav�es de un programa basado en uno de los lenguajes

disponibles para tal computador.

d) Evaluar el desempe~no de la estrategia propuesta.

e) Dilucidar las ventajas y desventajas tanto en la estrategia como en la aplicaci�on

del procesamiento paralelo al problema de la simulaci�on de los transitorios

electromec�anicos en sistemas el�ectricos de potencia.

A su vez, las restricciones que permitieron acotar los objetivos planteados se concen-

tran principalmente en el desarrollo del programa:

a) La estrategia de paralelizaci�on se plante�o en la etapa de soluci�on de las ecua-

ciones. Como se ver�a posteriormente, esta suposici�on consider�o paralelizar la

etapa m�as compleja y cr��tica de la simulaci�on.

b) La representaci�on del sistema el�ectrico de potencia debi�o realizarse con mo-

delos adecuados para el estudio de los transitorios electromec�anicos. Para tal

efecto, se incluyeron los modelos din�amicos com�unmente m�as utilizados para

representar a los generadores s��ncronos, sistemas de excitaci�on, estabilizadores

del sistema de potencia, turbinas y reguladores de velocidad.

c) El programa se desarroll�o con objetivos acad�emicos; sin embargo, debi�o pre-

sentar caracter��sticas como:

i) Disponibilidad para estudiar sistemas en gran escala, con restricciones

asociadas a la capacidad de memoria (RAM) disponible en el computador.

ii) Escalabilidad, lo que permite la utilizaci�on de tantos procesadores como

de�na el usuario.

8

1.3 Organizaci�on de la Tesis

Habiendo de�nido el problema de simular los transitorios electromec�ani-

cos de un sistema el�ectrico de potencia, y los objetivos y alcances de esta Tesis, el

desarrollo del trabajo se estructur�o seg�un el diagrama presentado en la Figura 1.4

Representación

Esquemas para Solución

de las Ecuacionesde Integración

Métodos

de SimulaciónEstudios

en Sistemas Eléctricos de Potenciapara Procesamiento Paralelo

Plataformas y Modelos

εDescomposición

del Sistema

Electromecánicos

de Sistemas Eléctricos de Potencia

Estado Actual

Newton-MaclaurinMétodo de

Estrategia de paralelización:

de las Aplicaciones en el Area

Conclusiones

Basado en el MétodoAlgoritmo de Balance

del Camino Más Largo

Simulaciónde Transitorios

Figura 1.4: Contenido de la Tesis

En el Cap��tulo II se describen algunas plataformas y un modelo com-

putacional utilizados para realizar procesamiento paralelo en sistemas el�ectricos de

potencia. Posteriormente, se revisa el estado actual de las investigaciones asociadas

a la utilizaci�on del procesamiento paralelo en la soluci�on de problemas que son de

inter�es para la industria el�ectrica.

En el Cap��tulo III se considera la representaci�on del sistema el�ectrico

de potencia. La construcci�on del modelo guarda una relaci�on estrecha con aquella

utilizada por el programa de simulaci�on. Todos los subsistemas se representan en

el espacio estado. El modelo multim�aquinas se obtiene acoplando los submodelos

por unidad generadora e incorporando el modelo del sistema de transmisi�on para

as�� acoplar los modelos de las unidades generadoras.

9

El Cap��tulo IV se disgreg�o en dos secciones. En la primera de �estas se

trata el problema de simular los transitorios electromec�anicos; y en particular, la

obtenci�on de �esta mediante un computador paralelo. Se presentan los esquemas

utilizados para abordar la soluci�on de las ecuaciones y algunos de los m�etodos de in-

tegraci�on sugeridos en la literatura. Posteriormente, en la segunda secci�on, se plantea

la estrategia de paralelizaci�on basada en el m�etodo de Newton-Maclaurin. Se pre-

sentan los fundamentos te�oricos y pr�acticos que determinaron su selecci�on. Adem�as,

se incluye una rese~na con los conceptos fundamentales en torno a la Descomposici�on

� y al algoritmo de balance de carga basado en el M�etodo del Camino m�as Largo,

ambos seleccionados como apropiados para llevar a cabo el desarrollo pr�actico de la

estrategia propuesta.

En el Cap��tulo �nal se presentan los resultados obtenidos de los estudios

de simulaci�on en un modelo simpli�cado del Sistema Interconectado Central chileno

(SIC) y en el sistema de prueba IEEE300. Estos consideran diversidad en el n�umero

de procesadores utilizados para la simulaci�on y en los par�ametros que la de�nen. Este

Cap��tulo se complementa adem�as con comentarios en relaci�on al desempe~no obtenido

con el algoritmo paralelo. Finalmente, se incluyen las conclusiones del trabajo y se

proponen algunos caminos de investigaci�on futura en torno a la utilizaci�on de la

estrategia de paralelizaci�on en otros problemas de inter�es para la industria el�ectrica.

La Tesis incluye una extensa bibliograf��a y diversos anexos que comple-

mentan los t�opicos presentados en la Tesis. Estos incluyen una revisi�on de la teor��a

de grafos, con �enfasis en los conceptos utilizados en el desarrollo de la Tesis, la des-

cripci�on y utilizaci�on del multicomputador Parsytec PowerXplorer, la programaci�on

en Lenguaje C bajo ambiente Parix y los datos utilizados en el estudio del sistema

de prueba IEEE300.

10

II. NOCIONES DE PROCESAMIENTO PARALELO Y APLICA-

CIONES EN SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA

La plani�caci�on, el an�alisis de la operaci�on y el dise~no de un sistema

el�ectrico de potencia, entre otras tareas, poseen una complejidad tal que dif��cilmente

podr��an ser realizadas sin la ayuda de computadores. Tanto la viabilidad de estas

tareas como su e�ciencia dependen considerablemente de los recursos computacio-

nales disponibles; por tal motivo, los desarrollos en la tecnolog��a de procesamiento y

los algoritmos de an�alisis juegan un papel preponderante en t�erminos de la calidad

alcanzada en el desempe~no del sistema.

La utilizaci�on de computadores y el dise~no de algoritmos en sistemas

el�ectricos de potencia tiene una larga historia; concretada a trav�es de un sinn�umero de

investigaciones, desarrollos y aplicaciones que han permitido consolidar las bases de

la forma en que actualmente se opera al sistema. La demanda de nuevas tecnolog��as

de procesamiento, como las basadas en las arquitecturas para computaci�on paralela,

y la adecuaci�on de los algoritmos computacionales a estas tecnolog��as, responden

a desaf��os incipientes producto de la complejidad presente hoy en el sistema y a la

imposibilidad de hacer frente a �estos con las herramientas convencionales disponibles.

Los centros de computaci�on e�ciente, las plataformas para la computaci�on paralela o

distribuida, las redes para comunicaci�on local o externa, los sistemas para adquisici�on

de datos y control, las capacidades de procesamiento h��brido basado en tecnolog��as

digitales y an�alogas, las interfaces gr�a�cas y los algoritmos de an�alisis y dise~no son

algunos de los recursos que actualmente concentran la atenci�on por su aplicaci�on

pr�actica en la industria el�ectrica. Por ende, el conocimiento acerca de �estos, as�� como

de su aplicaci�on en las tareas asociadas a un sistema el�ectrico de potencia, es un

aspecto importante que vale la pena tener en consideraci�on.

Este Cap��tulo consta de dos secciones principales, en la primera se tratan

algunos de los conceptos b�asicos asociados al procesamiento paralelo, incluyendo

caracter��sticas, arquitecturas, modelos e ��ndices de desempe~no; posteriormente, en la

secci�on dos, se describen algunas de sus aplicaciones en la soluci�on de los problemas

presentes en un sistema el�ectrico de potencia.

11

2.1 Nociones de Procesamiento Paralelo

Los sistemas de computaci�on paralela y distribuida ofrecen la esperan-

za de dar un salto cuantitativo en la potencialidad computacional, tal que permita

abordar o incrementar la e�ciencia en el estudio de una gran cantidad de proble-

mas. El que tal promesa pueda ser cumplida puede ser objeto de especulaci�on; sin

embargo, la experiencia alcanzada con este tipo de sistemas ha despejado una gran

cantidad de potencialidades y limitaciones cuyo conocimiento puede ser de gran in-

ter�es. El objetivo de est�a secci�on se concentra en proveer las nociones b�asicas acerca

del procesamiento paralelo; se describen par�ametros que permiten caracterizar a una

diversidad de arquitecturas disponibles para procesamiento paralelo, as�� como tam-

bi�en se mencionan algunas de �estas. Adem�as se introducen conceptos b�asicos acerca

de los modelos utilizados para el desarrollo de algoritmos paralelos, y de igual forma

se describen algunos de los ��ndices utilizados para evaluar el desempe~no logrado al

transportar una aplicaci�on a un computador paralelo.

2.1.1 Caracter��sticas de las arquitecturas para procesamiento paralelo

Existe una gran diversidad de arquitecturas que permiten realizar proce-

samiento paralelo. Por lo general, las caracter��sticas entre alg�un par espec���co de

arquitecturas llega a ser tan dis��mil entre s�� que la portabilidad de programas entre

m�aquinas es casi imposible. Sin embargo, la heterogeneidad de arquitecturas ha ju-

gado un papel relevante al momento de buscar un lugar que permita acomodar a la

igualmente diversa gama de problemas presentes en nuestros quehaceres; m�as a�un,

no es dif��cil prever que el �exito en el desempe~no de un algoritmo paralelo depende

de cuan bien se acomoden ambos, arquitectura y algoritmo, al problema. Algunos

par�ametros que podr��an ser de utilidad para reconocer la diversidad de caracter��sticas

presentes en las arquitecturas para procesamiento paralelo son [BT89]:

a) Tipo y n�umero de procesadores. Los sistemas con cientos o miles de pro-

cesadores se denominan \masivamente paralelos". Por el contrario, aquellos

sistemas cuya cantidad de procesadores es relativamente peque~na, pero cada

uno posee una gran capacidad de procesamiento, se denominan \m�aquinas de

12

granularidad gruesa"1. Estas �ultimas caracterizan a los multicomputadores y

multiprocesadores.

b) Presencia o ausencia de un mecanismo de control global. El nivel de con-

trol que tienen los procesadores se caracteriza, por lo general, a trav�es de la

capacidad que �estos tienen o no para ejecutar simult�aneamente operaciones

diferentes. As��, para un instante de tiempo dado, m�aquinas SIMD (Single

Instruction Multiple Data) permiten operar sobre diferentes datos mediante

la misma instrucci�on y m�aquinas MIMD (Multiple Instruction Multiple Data)

permiten operar sobre diferentes datos con diferentes instrucciones.

c) Operaci�on s��ncrona �o as��ncrona. Tal caracter��stica apunta a la presencia o

ausencia de un reloj global com�un utilizado para sincronizar la operaci�on y/o

intercomunicaci�on de los procesadores. Las m�aquinas SIMD son s��ncronas por

de�nici�on. Tal caracter��stica es deseable pese al excesivo trabajo que pueda

requerir tal sincronizaci�on, tanto por las facilidades para el control de los pro-

cesadores como para el dise~no de los algoritmos. Una caracter��stica importante

es que las m�aquinas que operan as��ncronamente tienen la exibilidad de simular

una operaci�on s��ncrona.

d) Interconexi�on de procesadores. En t�erminos del mecanismo por el cual se in-

tercambia la informaci�on entre procesadores, por lo general, suele distinguirse

entre dos alternativas extremas. Estas se conocen como arquitecturas de me-

moria compartida (shared memory) y de intercambio de mensajes (message

passing); adicionalmente, existen dise~nos h��bridos que combinan ambas alter-

nativas.

La primera de estas alternativas utiliza una memoria global compartida accesi-

ble a todos los procesadores. As��, un procesador puede escribir en la memoria

global para que luego otro lea a partir de la misma direcci�on de memoria. El

problema de intercomunicaci�on resuelto de esta manera introduce otro proble-

ma: el acceso simult�aneo de diferentes procesadores a diferentes localizaciones

1Como se sugiere en [Rep92], la granularidad de una arquitectura de procesamiento est�a ca-

racterizada por la raz�on entre una medida de la velocidad de ejecuci�on de instrucciones en cada

procesador (por ejemplo, MIPS: Mega Integers Per Second) y una medida de la velocidad de inter-

comunicaci�on (por ejemplo, baud rate)

13

de memoria. Un sistema basado en interruptores, como el que se muestra a

trav�es de la Figura 2.1, permite resolver tal problema. Naturalmente, la com-

plejidad de tal sistema incrementa con el n�umero de procesadores; situaci�on

que adem�as acarrea tiempos de acceso considerables. Sin embargo, puesto que

el sistema aparece como si todos los procesadores estuviesen directamente co-

nectados entre s��, el dise~no de algoritmos se simpli�ca considerablemente.

ProcesadorProcesador

Procesador

MemoriaMemoria

MemoriaMemoria

Procesador

Interruptor

Figura 2.1: Sistema de intercomunicaci�on de procesadores basado en interruptores

En la segunda alternativa cada procesador cuenta con una memoria local pro-

pia. Tal como se ilustra en la Figura 2.2, el proceso de comunicaci�on se realiza

a trav�es de una red interconectada que consiste en enlaces de comunicaci�on di-

recta entre pares de procesadores. La selecci�on de los procesadores a conectar

es muy importante; la mejor alternativa se presenta si cada procesador pudiese

ser conectado directamente a todos los restantes, pero tal interconexi�on no es

factible. As��, un n�umero excesivo de enlaces incrementa el costo del sistema y

una comunicaci�on mediante un bus compartido presenta un considerable retar-

do cuando el n�umero de procesadores es grande; �esto debido a la necesidad de

contener los mensajes.

Procesador

Procesador

Procesador

Procesador

Memoria

Memoria

Memoria

Memoria

Figura 2.2: Red de interconexi�on para procesadores dotados de su propia memoria

local

14

Procesador

Procesador

Procesador

Procesador

Memoria

(a) Coexistencia de una red punto a punto

con memoria compartida

Procesador ProcesadorProcesadorMemoria Memoria Memoria

Procesador ProcesadorProcesadorMemoria Memoria Memoria

Procesador ProcesadorProcesadorMemoria Memoria Memoria

(b) Grupos de procesadores conectados me-

diante redes intra e intergrupo

Figura 2.3: Arquitecturas de computaci�on paralela basadas en dise~nos h��bridos

Existe un gran n�umero de sistemas que utilizan arquitecturas h��bridas, que

combinan caracter��sticas particulares de cada una de las alternativas anterior-

mente descritas. La Figura 2.3 muestra un par de ejemplos de entre las muchas

combinaciones posibles. A su izquierda se observa una red de conexi�on nodo

a nodo que consta de una memoria compartida; a su vez, a la derecha de la

misma se observan grupos de procesadores donde un bus de comunicaci�on de

alta velocidad sirve de enlace dentro de cada grupo y una red de comunicaci�on

se utiliza para la comunicaci�on entre grupos.

Finalmente, es importante resaltar una diferencia fundamental entre la topo-

log��a de interconexi�on disponible para un sistema de computaci�on paralela y

uno de computaci�on distribuida. Mientras en el primero la red de interconexi�on

est�a bajo control del dise~nador, y por ende es muy regular, en el segundo esta

red est�a predeterminada y usualmente es irregular, como es el caso de las redes

de comunicaci�on de datos habitualmente utilizadas en sistemas de computaci�on

distribuida.

2.1.2 Arquitecturas para procesamiento paralelo

Las capacidades de procesamiento de un monoprocesador, sin desmedro

del incremento substancial alcanzado en los �ultimos a~nos, no son lo su�cientemente

adecuadas para cubrir las demandas que est�an apareciendo en diversos campos de

la ciencia y la ingenier��a. Por tal motivo, la industria computacional ha estado

continuamente desarrollando sistemas que puedan ejecutar las tareas concurrentes de

un programa por medio de computadores paralelos con multiplicidad de tecnolog��as.

15

Habiendo introducido algunos par�ametros generales en torno a la arquitecturas de

procesamiento paralelo, ahora resulta interesante referirse a c�omo se han combinado

estos par�ametros en las arquitecturas disponibles actualmente. Como fue sugerido

en [Fa96], algunas de �estas son:

a) Procesadores superescalares. Son monoprocesadores que permiten la ejecuci�on

simult�anea de m�as de una instrucci�on por ciclo de reloj. Su e�ciencia depende

de la habilidad que tiene el compilador para detectar instrucciones que pue-

den ser ejecutadas en paralelo. Estos procesadores se utilizan en estaciones de

trabajo de desempe~no elevado y en algunos sistemas multiprocesadores. Algu-

nos ejemplos de procesadores escalares son el IBM Power2, DEC Alpha, MIPS

R10000, Intel 80960Hx, etc.

b) Procesadores vectoriales. Son procesadores dise~nados para optimizar la ejecu-

ci�on de las operaciones aritm�eticas en vectores de dimensi�on elevada. Estos

se basan principalmente en arquitecturas que emulan una l��nea de trabajo en

la cual dos o m�as etapas operan en forma simult�anea (pipeline). Muchos de

los tambi�en denominados supercomputadores, como los manufacturados por la

Cray, Fujitsu, IBM, NEC, etc., se basan en procesadores vectoriales poderosos.

c) Multiprocesadores con memoria compartida. Son m�aquinas compuestas de

varios procesadores que se comunican entre s�� a trav�es de una memoria global

compartida por todos los procesadores. Algunas de estas m�aquinas tienen unos

cuantos (2-16) procesadores vectoriales poderosos cuyo acceso a la memoria

se realiza a gran velocidad. Algunos ejemplos de tales arquitecturas son las

familias Cray T90 y J90. Otras, como el SGI Power Challenge, puede tener un

gran n�umero (hasta 32) de procesadores superescalares de menor potencialidad.

d) M�aquinas SIMD masivamente paralelas. Estas m�aquinas est�an compuestas de

cientos o miles de procesadores relativamente simples. Bajo el comando de

una unidad de control central permiten ejecutar, en sincronismo, la misma

instrucci�on sobre conjuntos de datos diferentes (paralelismo a nivel de datos).

e) Multicomputadores con memoria distribuida. Son m�aquinas compuestas por

un conjunto de pares procesador-memoria conectados mediante una red de

comunicaci�on de datos de alta velocidad y cuyo traspaso de informaci�on se

16

realiza mediante intercambio de mensajes. Los procesadores cuentan con una

capacidad de procesamiento relativamente elevada y el n�umero de procesadores

puede llegar a ser grande (2-1024). Debido a la posibilidad de contar con

un n�umero elevado de procesadores, a este tipo de arquitectura tambi�en se

le denomina \masivamente paralelo". Ejemplos de multicomputadores son el

IBM SP-2, Cray T3D/3E, Intel Paragon, Parsytec PowerXplorer, etc.

f) Red heterog�enea de estaciones de trabajo. Esta puede ser utilizada como una

m�aquina paralela virtual que permite resolver problemas concurrentes median-

te el uso de programas, tales como el PVS (Parallel Virtual Machine) y el MPI

(Message Passing Interface), especialmente desarrollados para los efectos de co-

municaci�on y coordinaci�on. En lo que concierne al desarrollo de las aplicacio-

nes, �este sistema computacional es similar a los multicomputadores de memoria

distribuida pero su e�ciencia y con�abilidad es usualmente inferior. Por otro

lado, la oportunidad de utilizar estaciones de trabajos desocupadas como una

m�aquina paralela virtual es atractivo desde el punto de vista econ�omico.

Los desarrollos de aplicaciones sobre las arquitecturas descritas anterior-

mente pueden tener diferentes paradigmas y procedimientos de programaci�on. El

paralelismo puede ser explotado para uno o m�as niveles de granularidad, los cua-

les van desde el nivel de instrucci�on (paralelismo de granularidad �na: �ne grain

parallelism) al nivel de subprograma (paralelismo de granularidad gruesa: coarse

grain parallelism). Los procesadores superescalares y vectoriales, como tambi�en las

m�aquinas SIMD, son m�as adecuados para el paralelismo a nivel de instrucci�on; por

el contrario, las arquitecturas de multiprocesadores y multicomputadores se adaptan

mejor al paralelismo a nivel de subprograma. Este tipo de paralelismo de granula-

ridad gruesa se obtiene al utilizar ya sea la arquitectura de multiprocesadores con

memoria compartida o el paradigma de intercambio de mensajes empleado en multi-

computadores y redes de estaciones de trabajo. El primer modelo se adecua mejor a

programas f�aciles de desarrollar y mantener pero los multiprocesadores de memoria

compartida son generalmente m�as caros y menos escalables que los multicomputa-

dores. Por esta raz�on, los fabricantes de sistemas de computaci�on est�an intentando

desarrollar sistemas operativos inteligentes que permitan emular un ambiente de me-

moria compartida sobre un sistema de memoria f��sicamente distribuida. La detecci�on

17

de paralelismo en el c�odigo se desarrolla principalmente por el programador de la

aplicaci�on; la detecci�on autom�atica de paralelismo a�un es un desaf��o para la compu-

taci�on paralela, excepto en el caso de procesadores superescalares y vectoriales.

2.1.3 Modelos e ��ndices de desempe~no

En muchas �areas de la ciencia se utilizan modelos como un medio de abs-

tracci�on de un sistema particular; igualmente importante resulta ser la de�nici�on de

��ndices que permitan evaluar el desempe~no de tal sistema. El procesamiento paralelo

no es una excepci�on a tales necesidades; aqu�� es posible encontrar una variedad de

modelos para la computaci�on paralela y distribuida, que incorporan diferentes supo-

siciones acerca de la potencialidad individual de cada procesador y del mecanismo

por el cual se trans�ere la informaci�on entre �estos. Considerando que la realizaci�on

pr�actica de la simulaci�on requiere de un modelo para el algoritmo paralelo, al menos

para alguna de las etapas de �esta, a continuaci�on se describen algunos conceptos

b�asicos que permiten caracterizar uno muy simple utilizado para computaci�on para-

lela s��ncrona. De igual manera, se describen los conceptos asociados a los ��ndices de

desempe~no en aplicaciones de tal ��ndole [BT89].

Representaci�on de un algoritmo paralelo mediante un modelo DAG

Las siguientes suposiciones conciernen al modelo en consideraci�on. En lo

que respecta a la funcionalidad de cada procesador, se asume que �estos son capa-

ces de ejecutar ciertas instrucciones elementales, tales como operaciones aritm�eticas

b�asicas, comparaciones, instrucciones anidadas del tipo \if : : : entonces : : : ", etc.; y

que adem�as cuentan con un mecanismo mediante el cual pueden intercambiar infor-

maci�on. En lo que concierne a la potencialidad computacional de cada procesador,

se asume que cada instrucci�on b�asica consume una unidad de tiempo. Finalmente,

en lo que respecta al intercambio de informaci�on, se asume que �esta se trans�ere

instant�aneamente y libre de costo. Bajo tales asunciones, un algoritmo paralelo

puede ser representado mediante un grafo ac��clico dirigido2 (DAG: Directed Acyclic

2Un DAG es un grafo dirigido que no tiene ciclos positivos; es decir, no tiene ciclos que consisten

exclusivamente de arcos hacia adelante.

18

Graph) seg�un se indica a continuaci�on. Los conceptos asociados a la teor��a de grafos,

as�� como la nomenclatura utilizada, se describen en el Anexo A.

Sea G = (N ;A) un DAG, donde N = fn1; : : : ; njNjg es el conjunto

de nodos y A es el conjunto de arcos dirigidos. Cada nodo representa una de las

operaciones realizadas por el algoritmo y los arcos son utilizados para representar la

dependencia de los datos. En particular, un arco (ni; nj) 2 A indica que la operaci�on

correspondiente al nodo nj utiliza el resultado de la operaci�on correspondiente al

nodo ni. Una operaci�on podr��a ser elemental, por ejemplo una operaci�on aritm�etica,

o podr��a ser una operaci�on de alto nivel tal como la ejecuci�on de una subrutina. A

modo de ejemplo, en la Figura 2.4 se muestra el modelo DAG para la operaci�on

matem�atica 2p�x exp(x)

exp( )( ).-

x

( ).

.

2

*

Figura 2.4: Modelo DAG para la operaci�on 2p�x exp(x)

Si xi denota el resultado correspondiente a la operaci�on en el i-�esimo

nodo del DAG, entonces �este puede considerarse como una representaci�on de la

dependencia entre funciones de la forma: xi = fi(f xj = j es un predecesor de i g).

Aqu�� fi es una funci�on que describe la operaci�on correspondiente al nodo ni. Si ni

corresponde a un nodo de entrada, entonces xi no depende de otras variables y es

vista como una variable de entrada externa. As��, la operaci�on correspondiente al

nodo de entrada ni equivale esencialmente a leer la variable de entrada xi y por ende

se asume a consumir un tiempo insigni�cante. S�� N0 denota al conjunto de nodos

que no es de entrada, para alg�un nodo ni 2 N0 se asume que la correspondiente

operaci�on; es decir, la evaluaci�on de la funci�on fi, toma una unidad de tiempo.

19

Tal suposici�on es razonable si cada nodo representa una operaci�on aritm�etica; sin

embargo, en algoritmos m�as complejos los tiempos de ejecuci�on en diferentes nodos

pueden diferir considerablemente.

El DAG es una representaci�on parcial de un algoritmo. Este especi�ca

que operaciones se ejecutar�an, sobre qu�e operandos, e impone ciertas restricciones de

precedencia sobre el orden en que estas operaciones ser�an realizadas. Para describir

completamente un algoritmo paralelo se debe especi�car las operaciones que reali-

zar�a cada procesador y el tiempo en el cual las har�a. Supongamos que se dispone

de un conjunto de p̂ procesadores y que cada procesador es capaz de realizar alguna

de las operaciones deseadas. Para alg�un nodo ni 2 N0, asigne al procesador Pi la

responsabilidad de realizar la tarea correspondiente. Tambi�en, para ni 2 N0, sea ti

una variable entera positiva especi�cando el tiempo para el cual la operaci�on corres-

pondiente al nodo ni se ha completado. No hay procesadores asignados a nodos de

entrada, y por ende ti = 0 para cada nodo de entrada ni. Entonces, se imponen las

siguientes restricciones:

a) Un procesador puede realizar a lo m�as una operaci�on para un tiempo espec���co.

As��, si ni; nj 2 N0, i 6= j, y ti = tj, entonces Pi 6= Pj

b) Si (ni; nj) 2 A, entonces tj � ti +1. Este requerimiento reeja el hecho de que

la operaci�on correspondiente al nodo nj puede comenzar solamente despu�es que

la operaci�on correspondiente al nodo ni ha sido completada.

Una vez que Pi y ti han sido �jados, sujetos a las restricciones anterio-

res, se dice que el DAG ha sido asignado (scheduled) y se denomina al conjunto

f(ni; Pi; ti)jni 2 N0g una asignaci�on (schedule).

Indices de desempe~no

Los siguientes conceptos son �utiles para evaluar el desempe~no que se ob-

tiene al trasladar una aplicaci�on a un computador paralelo [BT89]. En primer lugar

se supone que se ha seleccionado un modelo particular de computaci�on paralela, �este

podr��a ser el DAG previamente considerado u otro modelo. Adem�as, se considera que

20

el problema computacional en cuesti�on puede ser parametrizado por una variable d

que representa el tama~no del problema; por ejemplo, en el modelo DAG, problemas

de diferentes tama~nos corresponden a diferentes n�umeros de variables de entrada.

Supongamos que un algoritmo paralelo utiliza p procesadores (p puede

depender de d, el tama~no del problema) y termina en un tiempo Tp(d). Si T�(d)

denota al tiempo serial �optimo para resolver el mismo problema, es decir, el tiempo

requerido por el mejor posible algoritmo serial (monoprocesador) para este problema,

la raz�on

Sp(d) =T �(d)

Tp(d)(2.1)

se denomina la ganancia de velocidad (speedup) del algoritmo y describe la ventaja

del algoritmo paralelo comparado con el mejor algoritmo serial posible. A su vez, la

raz�on

Ep(d) =Sp(d)

p=

T �(d)

pTp(d)(2.2)

se denomina la e�ciencia del algoritmo y esencialmente mide la fracci�on de tiempo

que un procesador se emplea en forma �util. Idealmente, Sp(d) = p y Ep(d) = 1; en

tal caso, la disponibilidad de p procesadores permite incrementar la velocidad en un

factor igual a p. Para que esta situaci�on se de, el algoritmo paralelo deber��a ser tal

que ning�un procesador se encuentre desocupado o realice trabajos innecesarios, lo

cual es pr�acticamente imposible. Un objetivo m�as realista es aspirar a una e�ciencia

que se mantenga acotada lejos de cero cuando d y p se incrementan.

Las de�niciones anteriores presentan la di�cultad de que el tiempo serial

�optimo T �(d) no es conocido. Por esta raz�on, generalmente T �(d) se de�ne de manera

diferente; algunas de las alternativas son:

a) T �(d) es el tiempo requerido por el mejor algoritmo serial disponible.

b) T �(d) es el tiempo requerido por alg�un algoritmo serial competitivo.

21

c) T �(d) es el tiempo requerido para ejecutar el algoritmo paralelo en cuesti�on en

un procesador. Tal elecci�on de T �(d) permite evaluar e�cientemente cuan bien

se ha paralelizado un algoritmo paralelo particular, pero no provee informa-

ci�on acerca de los m�eritos absolutos del algoritmo, en contraste con la primera

de�nici�on de T �(d).

Puede observarse que si T �(d) se de�ne como en c), y si los algoritmos se

especi�can mediante el modelo DAG, entonces T �(d) coincide con T1(d).

En los inicios de las aplicaciones de la computaci�on paralela, ambos ��ndi-

ces, ganancia de velocidad y e�ciencia, fueron los �unicos utilizados para determinar

la calidad de los algoritmos paralelos. Al aumentar la disponibilidad de m�aquinas

paralelas, y comenzar a desarrollarse las aplicaciones pr�acticas, surgieron otros as-

pectos asociados al problema, como por ejemplo, la raz�on de desempe~no a costo

(Mops/$)3 [Fa96].

2.2 Aplicaciones del Procesamiento Paralelo en Sistemas El�ectricos

de Potencia

El primer objetivo de esta secci�on consiste en describir, en base a una

revisi�on bibliogr�a�ca, algunas de las aplicaciones del procesamiento paralelo en el

an�alisis de los sistemas el�ectricos de potencia. Posteriormente, basado en el trabajo

presentado en [Fa96], se realizar�a una breve rese~na acerca de los problemas en los

que el procesamiento paralelo presenta las mejores perspectivas de utilizaci�on. Fi-

nalmente, con referencia al mismo trabajo, se describen algunos desarrollos llevados

a la industria.

2.2.1 Aplicaciones en el an�alisis de sistemas el�ectricos de potencia

Existe una gran diversidad de aplicaciones concernientes a la utilizaci�on

del procesamiento paralelo en el an�alisis de sistemas el�ectricos de potencia. Las

3Un Mops (Mega oating operations per second) son 106 operaciones en punto otante por

segundo.

22

aplicaciones, por lo general, se motivan m�as por el deseo de incrementar la veloci-

dad de procesamiento que por causas asociadas a la estructura de los problemas.

A excepci�on de los casos en que el estudio implica la obtenci�on de soluciones repe-

tidas, como es el caso del an�alisis de contingencias, no existe un paralelismo obvio

inherente a la estructura matem�atica de los problemas. As��, el recurso usual para

abordarlos requiere de la formulaci�on de un algoritmo en paralelo, cuya e�ciencia

es fuertemente dependiente de cuan bi�en se acomode el algoritmo a la arquitectura

paralela disponible [Rep92].

A continuaci�on se describen algunos de las aplicaciones del procesamiento

paralelo en el an�alisis de sistemas el�ectricos de potencia. El objetivo es dar a conocer

un resumen con los detalles m�as relevantes de estas aplicaciones, principalmente,

en lo que dice relaci�on al objetivo de la aplicaci�on, la estrategia de paralelizaci�on

propuesta y los resultados m�as signi�cativos. El lector que desee profundizar en

�estos y otros detalles, as�� como en otras aplicaciones, puede encontrar referencias a

trabajos de inter�es en la bibliograf��a proporcionada al �nal de esta Tesis.

Soluci�on de ecuaciones algebraicas lineales, cuasivac��as y de gran dimen-

si�on

La soluci�on de ecuaciones algebraicas lineales es un t�opico de inter�es ge-

neral en diversas �areas de la ciencia [GVL89]. En lo que concierne al an�alisis de los

sistemas el�ectricos de potencia, en muchos casos este problema toma caracter��sticas

particulares; siendo la dimensi�on, relativamente elevada, y la representaci�on median-

te matrices cuasivac��as las m�as relevantes.

Considerando que tanto el problema del ujo de potencia como el de

la simulaci�on din�amica, dos de los estudios m�as frecuentemente realizados por la

industria el�ectrica, se formulan generalmente a trav�es de un conjunto de ecuaciones

algebraicas nolineales, y que para su soluci�on el m�etodo com�unmente m�as adoptado

requiere de la soluci�on, entre iteraciones, del problema algebraico lineal4; muchas de

4En el m�etodo de Newton-Raphson, mediante la correcci�on �xk = �(J jxk)�1F (xk), se estima

una soluci�on xk+1 = xk + �xk tal que F (xk+1) t 0. J jxk corresponde a la matriz Jacobiana

evaluada en la soluci�on xk que se conoce a partir de la iteraci�on previa.

23

las investigaciones se concentran en resolver este problema independientemente de

su naturaleza [Com78].

Teniendo en mente las caracter��sticas de dimensi�on elevada y estructura

cuasivac��a mencionadas anteriormente, los esquemas paralelos m�as utilizados para

resolver el problema algebraico lineal, tal como se indica en la Figura 2.5, pueden

dividirse en tres categor��as principales. Adem�as de los m�etodos directos e indirectos,

tambi�en se destacan aquellos que requieren de una etapa previa que reordena y

particiona las matrices envueltas en la soluci�on con el �n de obtener una estructura

especialmente adecuada para su tratamiento en plataformas de computaci�on paralela.

Posterior a esta etapa, se utiliza un m�etodo directo, indirecto o una combinaci�on de

ambos para resolver el problema.

ecuaciones algebraicas linealesAlternativas para la solución paralela de

Gradiente Conjugado

Método de la matriz W

Factorizacionesmultiples

Factorizaciones ysubstitucionesindependientes

Métodos directos

en el borde y la diagonal

en el borde y la diagonal

bloque diagonalAproximadamente

Tipo banda

Con bloques anidados

Con bloques

reordenamiento y particiónMétodos basados en

Métodos indirectos

Gauss Jacobi

Gauss Seidel

Figura 2.5: Alternativas para la soluci�on paralela del problema algebraico lineal

Los m�etodos indirectos de Gauss Seidel y Gauss Jacobi son extreme-

damente paralelizables pero adolecen de problemas de convergencia. Este motivo,

sumado a requerimientos de comunicaci�on extremadamente elevados, los ha mante-

nido pr�acticamente fuera de las perspectivas de aplicaci�on. Como una alternativa

superior, el m�etodo indirecto del Gradiente Conjugado, en combinaci�on con una eta-

pa de pre-condicionamiento de las ecuaciones, presenta caracter��sticas de robustez,

precisi�on y velocidad de computaci�on muy atractivas [GJM94]. Por otro lado, los

24

m�etodos directos, tales como la factorizaci�on LDU5 o la bifactorizaci�on, son apa-

rentemente secuenciales y no sufren de problemas de convergencia. La estrategia

de paralelizaci�on de tales m�etodos no es obvia, siendo los m�etodos de la matriz W

[PM92, WB96, MAK94, LVN94, LC93, HL94] y de las factorizaciones y substitucio-

nes independientes [MGVC96, VGM96, WB95] los m�as utilizados. Adicionalmente,

un gran n�umero de esquemas se ha propuesto para la soluci�on e�ciente de ecuaciones

algebraicas lineales mediante computadores vectoriales; sin embargo, en la mayor��a

de los casos ha sido vectorizada s�olo la etapa de substituci�on de los m�etodos directos.

Los m�etodos basados en el reordenamiento y la partici�on de las matrices

envueltas en el problema algebraico lineal tambi�en han sido utilizados exitosamente;

en �estos destaca la utilizaci�on de una combinaci�on de m�etodos directos e indirectos.

Por ejemplo, un m�etodo h��brido que combina tanto los m�etodos directo LU como

indirecto del Gradiente Conjugado se utiliza en [DFaK96]. A partir de la matriz

BBDF (Block Bordered Diagonal Form), la cual es producto de un reordenamiento

y partici�on que genera una matriz con bloques en la diagonal y en el borde de �esta,

se utiliza el m�etodo del Gradiente Conjugado para resolver la interconecci�on de las

ecuaciones y, posteriormente, la descomposici�on LU para resolver el conjunto de

ecuaciones independientes asociado a cada bloque diagonal de la matriz BBDF. La

Figura 2.6 muestra la estructura particular de �esta y otras matrices, como lo son la

con bloques anidados en la diagonal y en el borde (NBBDF: Nested Block Bordered

Diagonal Form) [Com78], la aproximadamente bloque diagonal (NBDF: Near Block

Diagonal Form) y la tipo banda [OKS90].

Como puede observarse, el n�umero de investigaciones asociadas a la solu-

ci�on de ecuaciones algebraicas lineales mediante computadores paralelos o vectoriales

es considerable. Desde el punto de vista pr�actico, un m�etodo generalizado para la

soluci�on del problema algebraico lineal, sin consideraci�on de la naturaleza de �este,

permitir��a reducir en gran medida el costo de dise~no de alguna estrategia paralela

particular a cada tipo de estudio. Frente a tal bene�cio, la principal desventaja se

concentra en la imposibilidad de incluir en el m�etodo generalizado ciertas poten-

5La factorizaci�on LDU se utiliza como m�etodo de inversi�on de matrices sim�etricas y la factori-

zaci�on LU para matrices asim�etricas.

25

(a) BBDF (b) NBBDF

x

x

x

x

x

x

x

x

(c) NBDF (d) Tipo banda

Figura 2.6: Matrices especialmente reestructuradas para procesamiento paralelo

cialidades que aborden las caracter��sticas particulares a uno u otro problema. Este

aspecto se discute a trav�es de la aplicaci�on considerada a continuaci�on.

Flujo de potencia

El ujo de potencia es una de las herramientas fundamentales para el

an�alisis de un sistema el�ectrico de potencia, siendo lejos el programa m�as utilizado

en tareas como la evaluaci�on de la seguridad del sistema y el an�alisis de la con�-

guraci�on m�as apropiada para �este. Adem�as, puesto que entre otras cosas permite

determinar las condiciones del sistema para una operaci�on en estado estacionario,

sirve como punto de partida para programas tales como el an�alisis de cortocircuitos

y la simulaci�on de transitorios. As��, la e�ciencia en la soluci�on del ujo de potencia

es un requerimiento fundamental para la e�ciencia global de un an�alisis integrado de

problemas.

En lo que respecta a la utilizaci�on del procesamiento paralelo en aplica-

26

ciones de sistemas el�ectricos de potencia, el estudio del ujo de potencia como tal no

ha concentrado un n�umero considerable de investigaciones. Algunas de las razones

son las siguientes [Fa96]:

� La di�cultad en el desarrollo de una estrategia de paralelizaci�on, respecto de

problemas similares, debido a las restricciones que se adhieren a las ecuaciones

algebraicas nolineales b�asicas del problema.

� La disponibilidad de algoritmos e�cientes, que permiten resolver los problemas

de ujo de potencia de sistemas de gran tama~no, con requerimientos computa-

cionales de bajo costo y tiempos de soluci�on muy reducidos.

Sin embargo, tal como se mencion�o anteriormente, el problema del ujo de

potencia, al igual que el de la simulaci�on de los transitorios electromec�anicos, puede

ser visto desde la perspectiva de un problema de soluci�on de ecuaciones algebraicas

lineales, para el cual las investigaciones relativas a la aplicaci�on del procesamiento

paralelo abundan. Dado que la naturaleza de ambos problemas no es la misma, �estos

presentan caracter��sticas particulares que desde el punto de vista de la soluci�on de

ecuaciones algebraicas lineales no necesariamente se consideran; una caracter��stica

relevante y particular al problema del ujo de potencia es que el Jacobiano no posee

elementos constantes. En contraste a �esto, la formulaci�on del problema de simulaci�on

puede resultar en un Jacobiano cuyos coe�cientes en su mayor��a son constantes entre

iteraciones. Con una caracter��stica como �esta, sut��lmente diferente, los esquemas de

soluci�on generalizados no siempre llevan a soluciones e�cientes.

En [Ac96] se plantea un m�etodo de paralelizaci�on del ujo de potencia

basado en la Descomposici�on �; �esta permite aproximar el Jacobiano por una ma-

triz bloque diagonal cuyos bloques se procesan independiente y simult�aneamente en

cada procesador. Tal aproximaci�on resulta en un incremento considerable de las ite-

raciones necesarias para la convergencia del ujo, de�ciencia que se intenta subsanar

mediante un m�etodo de aceleraci�on heur��stico. En lo que respecta a los resultados,

utilizando una m�aquina Intel iPSC/860 con topolog��a hipercubo y 8 procesadores, se

obtuvo una ganancia de velocidad igual a 10,39 en el estudio del sistema de prueba

IEEE 888. El m�etodo tambi�en fue sugerido para la evaluaci�on de contingencias. Por

27

su parte, en [WB95] la estrategia de paralelizaci�on para el ujo de potencia se basa

en el estudio de las tareas independientes que pueden ser encontradas en las etapas

de fatorizaci�on y substituci�on presentes en la soluci�on de ecuaciones algebraicas line-

ales, cuasivac��as y de gran dimensi�on. El desarrollo se llev�o a cabo en un computador

Symetry 81; considerando el estudio de un sistema de 970 barras y 3536 ramas, la

ganancia de velocidad obtenida al utilizar 20 procesadores con memoria compartida

fue 13. Otra alternativa de paralelizaci�on, sugerida en [HO94], considera la soluci�on

del ujo de potencia mediante el m�etodo de Gauss-Seidel; los desarrollos se llevaron a

cabo en dos m�aquinas, una Sequent Balance con memoria distribuida y un nCUBE2

de memoria distribuida.

Otras aplicaciones asociadas al ujo de potencia y su implementaci�on so-

bre computadores paralelos, vistas con mayor inter�es, consideran la paralelizaci�on

de una multiplicidad de problemas de ujo de potencia. Tal es el caso de la eva-

luaci�on de contingencias y los desarrollos basados en arquitecturas con procesadores

superescalares o vectoriales [BCFa96, GMPM92, GMPM93].

Simulaci�on de transitorios electromec�anicos

La simulaci�on de transitorios electromec�anicos concentra un sinn�umero de

investigaciones. Considerando que el trabajo planteado aqu�� se orienta a la aplicaci�on

del procesamiento paralelo en este tipo de estudio, las investigaciones relativas, en

conjunto a otros detalles del problema de simulaci�on, se describir�an en el Cap��tulo

IV de esta Tesis.

Simulaci�on de transitorios electromagn�eticos

El estudio de transitorios en rangos de frecuencia elevada, como los cau-

sados por la operaci�on de interruptores, fallas o descargas atmosf�ericas, es una de

las etapas importantes en la plani�caci�on de un sistema el�ectrico, particularmente,

en lo que dice relaci�on al dise~no de dispositivos aisladores y a la coordinaci�on de

esquemas de protecci�on. Cuando las dimensiones de una l��nea de transmisi�on son

comparables a la longitud de onda de los transitorios de frecuencia elevada, el estudio

debe considerar la din�amica asociada a la propagaci�on de las ondas electromagn�eticas

28

por las l��neas; este fen�omeno se conoce com�unmente con el nombre de transitorios

electromagn�eticos.

En el modelo generalmente utilizado para analizar los transitorios elec-

tromagn�eticos todos los componentes del sistema, excepto las l��neas de transmisi�on,

se modelan mediante circuitos equivalentes con par�ametros concentrados. Estos ele-

mentos se describen mediante ecuaciones diferenciales ordinarias y su soluci�on se

obtiene mediante integraci�on num�erica paso a paso. Por el contrario, las l��neas de

transmisi�on se modelan mediante elementos con par�ametros distribuidos descritos

matem�aticamente por ecuaciones diferenciales parciales (ecuaci�on de onda). En el

caso de considerar p�erdidas en la l��nea, la ecuaci�on de onda no tiene una soluci�on

anal��tica en el dominio del tiempo; sin embargo, tal como se observa en la Figura

2.7, �esta suele representarse adecuadamente por medio de un modelo de onda via-

jera que consiste de dos circuitos equivalentes disgregados, cada uno de los cuales

contiene una fuente de corriente en paralelo con una impedancia ubicada al �n de

ambos extremos de la l��nea.

HA BIA IHB

A B

Figura 2.7: Modelo utilizado para representar una l��nea de transmisi�on en estudios

de simulaci�on de transtorios electromagn�eticos

En [FaKA93], considerando como base los m�etodos num�ericos utilizados

en el Electromagnetic Transients Program (EMTP) [ML94], se propone un algoritmo

paralelo para la simulaci�on de los transitorios electromagn�eticos en redes de gran ta-

ma~no. Tal como puede observarse en el diagrama de ujo de la Figura 2.8, el recurso

principal utilizado para la simulaci�on paralela consiste en explotar el desacoplamien-

to natural introducido por el modelo de onda viajera en las ecuaciones de nodo de

la red.

29

Lea los datos

Determine las condiciones iniciales

optimizando el balance de carga en éstosAsigne subredes a los procesadores

t=h

i=1

en la i-ésima subred asignadaEvalúe las fuentes de corriente

Resuelva las ecuaciones de nodode la i-ésima subred asignada

i=i+1

t=h

i=1

en la i-ésima subred asignadaEvalúe las fuentes de corriente

Resuelva las ecuaciones de nodode la i-ésima subred asignada

i=i+1

Es la últimasubred asignadaal procesador

t=t+h

Envíe las funciones previamente evaluadas

Evalúe la ecuación de onda

Es la últimasubred asignadaal procesador

t=t+h

Envíe las funciones previamente evaluadas

Evalúe la ecuación de onda

integraciónpaso de

Es el último

?integraciónpaso de

Es el último

?SI Procesador B

Escriba la información requerida

Procesador A

Descomponga la red en subredes

que están asociadas a las variables en los extremosEvalúe las funciones de la ecuación de onda

de las líneas que llegan a las subredes asignadasque están asociadas a las variables en los extremos

Evalúe las funciones de la ecuación de onda

de las líneas que llegan a las subredes asignadas

que están asociadas a las variables en los extremosReciba las funciones de la ecuación de onda

opuestos de las líneas que llegan a las subredes asignadasque están asociadas a las variables en los extremos

Reciba las funciones de la ecuación de onda

opuestos de las líneas que llegan a las subredes asignadas

NO

SI

SI

NO

SI

NO

NO

Figura 2.8: Diagrama de ujo para la simulaci�on paralela de transitorios electro-

magn�eticos

El desarrollo de la simulaci�on se realiz�o en Lenguaje C. La plataforma

utilizada para efectos de an�alisis es un multiprocesador prototipo desarrollado pa-

ra la Universidad Federal de Rio de Janeiro. El computador paralelo consta de 8

unidades de procesamiento conectadas a trav�es de una topolog��a hipercubo; cada

unidad de procesamiento posee su propia memoria local y est�a provista de puertas

de comunicaci�on bidireccionales de gran velocidad.

Los resultados obtenidos indican una ganancia de velocidad elevada. Por

ejemplo, en un estudio basado en la simulaci�on del sistema brasile~no, cuya represen-

30

taci�on consisti�o de 1026 nodos, 2457 ramas y 146 l��neas, la ganancia de velocidad

alcanz�o a 6,92. Este resultado, as�� como otros expuestos en la referencia, ponen en

evidencia los bene�cios de utilizar el procesamiento paralelo en la simulaci�on de los

transitorios electromagn�eticos, en especial, si alguna caracter��stica propia, como lo

es el paralelismo natural del problema, puede ser explotado exitosamente mediante

una estrategia de paralelizaci�on adecuada.

Estabilidad transitoria mediante funciones de energ��a

El m�etodo utilizado m�as frecuentemente para evaluar tanto la estabilidad

transitoria como la seguridad din�amica de un sistema el�ectrico de potencia correspon-

de a la simulaci�on din�amica, principalmente la de los transitorios electromec�anicos.

A pesar de su utilidad, y de la gran cantidad de a~nos que respaldan su uso, los

m�etodos directos, tales como el de Lyapunov o