poligonos y poliedros 2013

POLÍGONOS y POLIEDROS

Al dibujar varios segmentos consecutivos obtendremos una línea poligonal. Un polígono es la región interior de una línea poligonal cerrada y no cruzada. Sus elementos son: los lados, los vértices y las diagonales. A la línea que lo rodea se la llama contorno del polígono.

Triángulo3 lados

Pentágono5 lados

Cuadrilátero4 lados

Hexágono6 lados

La palabra "polígono" procede del griego y quiere decir muchos (poly) y ángulos (gwnos).

Un polígono se considera regular cuando tiene todos sus lados y ángulos iguales, y por tanto puede ser inscrito y circunscrito en una circunferencia. El centro de dicha circunferencia se denomina centro del polígono, y equidista de los vértices y lados del mismo.

POLIGONOS REGULARES

En un polígono regular convexo, se denomina apotema a la distancia del centro del polígono al punto medio de cada lado.

Suponiendo que:A = Árean = número de ladosl = longitud de uno de los ladosa = apotema

Se denomina ángulo central de un polígono regular el que tiene como vértice el centro del polígono, y sus lados pasan por dos vértices consecutivos. Su valor en grados resulta de dividir 360º entre el número de lados del polígono.

Se denomina ángulo interior, al formado por dos lados consecutivos. Su valor es igual a 180º, menos el valor del ángulo central correspondiente.

Entonces:

Tipos de triángulos

Triángulo escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos son distintos.

equilátero isósceles escaleno

Por la longitud de sus lados se pueden clasificar en:

Triángulo equilátero: Sus tres lados tienen la misma longitud y los ángulos de sus vértices miden lo mismo (60º)

Triángulo isósceles: Tiene dos lados y dos ángulos iguales.

Triángulo acutángulo: Es aquel cuyos tres ángulos son agudos. En particular, el triángulo equilátero es un ejemplo de triángulo acutángulo.

rectángulo obtusángulo acutángulo

Por la medida de sus ángulos:

Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto (90º). A los dos lados que forman un ángulo recto se les denomina catetos y al lado restante hipotenusa.

Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90º)

Cálculo de la superficie de un triángulo

La superficie o área de un triángulo se obtiene multiplicando la base por la altura (donde la altura es un segmento perpendicular que parte de la base hasta llegar al vértice opuesto) y dividiendo en dos.

Suponiendo que:

S = superficie o área b = baseh = altura

Entonces:

Propiedades de los triángulos.

- Para cualquier triángulo rectángulo cuyos catetos midan a y b, y cuya hipotenusa mida c, se comprueba el “Teorema de Pitágoras” :

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

- Una propiedad obvia de todos los triángulos es que la suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

- La suma de todos los ángulos de sus vértices, en un plano, es igual a 180º.

a² + b² = c²

Este teorema fue propuesto por Pitágoras de Samos (582 a.C. – 496 a.C.), un filósofo y matemático griego.

Mediatriz

Su construcción comienza con

una amplitud del compás mayor que la mitad del segmento y, pinchando en los extremos de AB, trazar arcos a un lado y otro del segmento. La recta CD definida por los dos puntos de corte es la mediatriz buscada.

Dado un segmento AB, su mediatriz se define como la recta perpendicular que pasa por su punto medio.

Altura y Ortocentro

Si se trazan las tres alturas de un triángulo estas rectas vuelven a cortarse en un punto para cualquier triángulo. Este punto se llama ortocentro.

Se define una altura de un triángulo ABC como aquella perpendicular a cada lado o su prolongación pasando por el vértice opuesto a dicho lado.

Por otro lado, este baricentro tiene un significado físico muy preciso por coincidir con el centro de gravedad del triángulo o lugar donde se considera aplicada la fuerza derivada de su peso.

Mediana y Baricentro

Se llama mediana de un triángulo al segmento que une cada vértice del mismo con el punto medio del lado opuesto.

Estas medianas también concurren en un punto que se denomina baricentro y que muestra dos propiedades que sólo enunciaremos: En primer lugar, el baricentro divide a la mediana en dos partes, una de las cuales es el doble que la otra.

Bisectriz

Dado un ángulo BAC se llama bisectriz del mismo a la semirrecta con origen en A y que divide al ángulo en dos ángulos iguales.

Su construcción se realiza del siguiente modo. Se pincha con el compás en A y se marcan los puntos M y N sobre los lados del ángulo a igual distancia de A.

Por tanto, AM = AN

A continuación se pincha el compás en M y luego en N, de manera que se trazan arcos con una amplitud cualquiera pero igual en ambos casos, obteniéndose el punto L. La semirrecta AL es la bisectriz del ángulo inicial.

La demostración de este hecho se basa en la igualdad de los triángulos Triángulo AML = Triángulo ANL

Cuadrilátero

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.

Convexo: Todos sus ángulos internos son menores que 180 grados (todas las puntas hacia afuera)

Tipos de cuadriláteros convexos regulares

Cuadrado

Rectángulo Rombo

Trapecio

Cóncavo: Uno de sus ángulos es mayor que 180 grados (no todas las puntas hacia afuera)

TRIÁNGULO, HEXÁGONO Y DODECÁGONO (construcción exacta)

NOTA: Todas las construcciones de este ejercicio se realizan con una misma abertura del compás, igual al radio de la circunferencia dada.

CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES DADA LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA

Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-4 respectivamente.

A continuación, con centro en 1 y 4 trazaremos dos arcos, de radio igual al de la circunferencia dada, que nos determinarán, sobre ella, los puntos 2, 6, 3 y 5. Por último con centro en B trazaremos un arco del mismo radio, que nos determinará el punto C sobre la circunferencia dada. Uniendo los puntos 2, 4 y 6, obtendremos el triángulo inscrito. Uniendo los punto 1, 2, 3, 4, 5 y 6, obtendremos el hexágono inscrito. Y uniendo los puntos 3 y C, obtendremos el lado del dodecágono inscrito; para su total construcción solo tendríamos que llevar este lado, 12 veces sobre la circunferencia.

CUADRADO Y OCTÓGONO (construcción exacta)

NOTA: De esta construcción podemos deducir, la forma de construir un polígono de doble número de lados que uno dado. Solo tendremos que trazar las bisectrices de los ángulos centrales del polígono dado, y estas nos determinarán, sobre la circunferencia circunscrita, los vértices necesarios para la construcción.

Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos 1-5 y 3-7 respectivamente.

A continuación, trazaremos las bisectrices de los cuatro ángulos de 90º, formados por las diagonales trazadas, dichas bisectrices nos determinarán sobre la circunferencia los puntos 2, 4, 6 y 8.

Uniendo los puntos 1, 3, 5 y 7, obtendremos el cuadrado inscrito. Y uniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, obtendremos el octógono inscrito.

PENTÁGONO Y DECÁGONO (construcción exacta)

Para la construcción del pentágono y el decágono, solo resta llevar dichos lados, 5 y 10 veces respectivamente, a lo largo de la circunferencia.

Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán sobre la circunferencia dada los puntos A-B y 1-C respectivamente. Con el mismo radio de la circunferencia dada trazaremos un arco de centro en A, que nos determinará los puntos D y E sobre la circunferencia, uniendo dichos puntos obtendremos el punto F, punto medio del radio A-O.

Con centro en F trazaremos un arco de radio F-1, que determinará el punto G sobre la diagonal A-B. La distancia 1-G es el lado de pentágono inscrito, mientras que la distancia O-G es el lado del decágono inscrito.

HEPTÁGONO (construcción aproximada)

NOTA: Como puede apreciarse en la construcción, el lado del heptágono inscrito en una circunferencia, es igual a la mitad del lado del triángulo inscrito.

Comenzaremos trazando una diámetro de la circunferencia dada, que nos determinará sobre ella los puntos A y B.

A continuación, con centro en A, trazaremos el arco de radio A-O, que nos determinará, sobre la circunferencia, los puntos 1 y C, uniendo dichos puntos obtendremos el punto D, punto medio del radio A-O. En 1-D habremos obtenido el lado del heptágono inscrito.

Solo resta llevar dicho lado, 7 veces sobre la circunferencia, para obtener el heptágono buscado. Como se indicaba al principio de este tema, partiendo del punto 1, se ha llevado dicho lado, tres veces en cada sentido de la circunferencia, para minimizar los errores de construcción.

ENEÁGONO (construcción aproximada)

Procediendo como en el caso del heptágono, llevaremos dicho lado, 9 veces sobre la circunferencia, para obtener el heptágono buscado.

Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-C respectivamente.

Con centro en A, trazaremos un arco de radio A-O, que nos determinará, sobre la circunferencia dada, el punto D.

Con centro en B y radio B-D, trazaremos un arco de circunferencia, que nos determinará el punto E, sobre la prolongación de la diagonal 1-C. Por último con centro en E y radio E-B=E-A, trazaremos un arco de circunferencia que nos determinará el punto F sobre la diagonal C-1. En 1-F habremos obtenido el lado del eneágono inscrito en la circunferencia.

CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES DADO EL LADO

PENTÁGONO DADO EL LADO (construcción exacta)

Por triangulación, obtendremos los vértices restantes, que uniremos convenientemente, obteniendo así el pentágono buscado.

Comenzaremos trazando la perpendicular en el extremo 2 del lado, con centro en 2 trazaremos un arco de radio 1-2, que nos determinará sobre la perpendicular anterior el punto A.

A continuación, con centro en B, trazaremos la circunferencia de radio A-B.

Trazaremos la mediatriz del segmento A-2, que nos determinará su punto medio B.

Uniremos el punto 1 con el punto B, la prolongación de esta recta, interceptará a la circunferencia anterior en el punto C, siendo 1-C el lado del estrellado, o diagonal del pentágono buscado.

HEPTÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción aproximada)

Solo resta construir dicha circunferencia circunscrita, y obtener los vértices restantes del heptágono, que convenientemente unidos, nos determinarán el polígono buscado.

Siendo el segmento 1-2 el lado del heptágono, comenzaremos trazando la mediatriz de dicho lado, y trazaremos la perpendicular en su extremo 2.

A continuación, en el extremo 1 construiremos el ángulo de 30º, que interceptará a la perpendicular trazada en el extremo 2, en el punto D, la distancia 1-D, es el radio de la circunferencia circunscrita al heptágono buscado.

Con centro en 1 y radio 1-D, trazamos un arco de circunferencia que interceptará a la mediatriz del lado 1-2 en el punto O, centro de la circunferencia circunscrita.

OCTÓGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción exacta)

Solo resta construir dicha circunferencia circunscrita, y obtener los vértices restantes del octógono, que convenientemente unidos, nos determinarán el polígono buscado.

Siendo el segmento 1-2 el lado del octógono, comenzaremos trazando un cuadrado de lado igual al lado del octógono dado.

A continuación, trazaremos la mediatriz del lado 1-2, y una diagonal del cuadrado construido anteriormente, ambas rectas se cortan en el punto C, centro del cuadrado.

Con centro en C trazaremos la circunferencia circunscrita a dicho cuadrado, dicha circunferencia intercepta a la mediatriz del lado 1-2, en el punto O, centro de la circunferencia circunscrita al octógono buscado.

DECÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción exacta)

Solo resta trazar dicha circunferencia circunscrita, y determinar sobre ella los vértices restantes del polígono, que convenientemente unidos nos determinarán el decágono buscado.

Comenzaremos trazando la perpendicular en el extremo 2 del lado, con centro en 2 trazaremos un arco de radio 1-2, que nos determinará sobre la perpendicular anterior el punto A, trazaremos la mediatriz del segmento A-2, que nos determinará su punto medio B, y con centro en B trazaremos la circunferencia de radio B-A.

Uniendo el punto 1 con el B, en su prolongación obtendremos el punto C sobre la circunferencia anterior, siendo 1-C, el radio de la circunferencia circunscrita al polígono.

A continuación, trazaremos la mediatriz del lado 1-2, y con centro en 1 un arco de radio 1-C, que determinará sobre la mediatriz anterior, el punto O, centro de la circunferencia circunscrita.

Equiparticiones regulares del plano

Estructuras Poliédricas regulares o sólidos platónicos

Los sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos o cósmicos, sólidos pitagóricos o perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos; son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos, cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras, la palabra viene del griego y quiere decir: muchos (poly), lados o caras (edros).

Reciben estos nombres en honor del filósofo griego Platón (427–347 A.C.), al que se atribuye haberlos estudiado en primera instancia.

Las particulares propiedades de estos poliedros son conocidas desde la antigüedad clásica, hay referencias a unas Bolas Neolíticas de piedra labrada encontradas en Escocia 1000 años antes de que Platón hiciera una descripción detallada de los mismos en Los elementos de Euclides.

Esta lista es exhaustiva, ya que es geométricamente imposible construir otro sólido diferente de los anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad.

Se les llegaron a atribuir incluso propiedades mágicas o mitológicas; Timeo de Locri, en el diálogo de Platón dice:

«El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo».


Tetraedro


Hexaedro


Octaedro


Dodecaedro


Icosaedro

Estructuras Poliédricas regulares o sólidos arquimedianos

Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son un grupo de poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares de dos o más tipos.

Todos los sólidos de Arquímedes son de vértices uniformes.

La mayoría de ellos se obtienen truncando los sólidos platónicos. Arquímedes describió ampliamente estos cuerpos en trabajos que fueron desapareciendo, fue sólo en el renacimiento cuando artistas y matemáticos los redescubrieron.

Los sólidos arquimedianos son 13, y a continuación, veremos los más importantes:

Tetraedro truncado


Cuboctaedro


Cubo truncado


Octaedro truncado


Rombicuboctaedro


Cuboctaedro truncado


Cuboctaedro romo


Icosidodecaedro


Dodecaedro truncado


Icosaedro truncado


Rombicosidodecaedro


Icosidodecaedro truncado


Dodecaedro romo


Ejercicio

Dibujar geométricamente (con instrumentos) en una hoja cada uno de los siguientes POLIGONOS regulares con lados congruentes (misma medida, 4 cm.)

- Triángulo equilátero (3 lados)

- Cuadrado (4 lados)

- Pentágono (5 lados)

- Hexágono (6 lados)

- Octógono (8 lados)

- Decágono (10 lados)

Primera Parte

Segunda Parte

Reproducir cada una de las figuras en cartón forrado grueso “n” cantidad de veces, y componer con ellas, combinándolas. Usando como mínimo 3 de ellas construir una figura cerrada, “poliedros y polígonos combinados” dodecaedro, icosaedro, etc.

Armarla pegando internamente sus lados con pegote o dejando aletas.

Luego, recubrir todas sus caras con papeles de color pegados con “Stick-fix”, creando una combinación entre ellos que resalte las formas conjugadas.

Elegir uno de los poliedros como base, (pitagóricos o arquimedianos) y recomponer tridimensionalmente sobre sus caras.

Ejercicio

poligonos y poliedros 2013

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