polígonos

Polígonos: introducción

LOS POLIGONOSUn polígono es la porción de plano encerrada por varios segmentos llamados lados. El término"polígono" procede del griego antiguo y significa "muchos" (poli) ángulos (gono).

CLASIFICACIÓNES

Polígono convexo: Es aquel polígono que al ser atravesadopor una recta únicamente tiene o puede tener un punto dela recta de entrada y otro de salida. Si al apollarse en unode sus lados sobre una recta el polígono queda en sutotalidad a un lado de esta.Polígono concavo: Es aquel que al ser atravesado por unarecta tiene mas de un punto de entrada y salida en latrayectoria de la recta. También es convexo cuando esposible apoyar el poligóno sobre alguno de sus lados enuna recta quedándo parte a un lado de esta y parte al otro.

Equiángulo: Un polígono es equiángulo cuando tiene todos sus ángulos iguales.Equilátero: Un polígono es equilátero cuando todos sus lados soon iguales.Regular: Un polígono es regular cuando todos sus lados y ángulos son iguales.Irregular: Es el polígono que tiene lados y ángulos desiguales

LOS NOMBRES DE LOS POLÍGONOS SEGÚN SUS LADOS

3456789

1011

1213141516171819

Triángulo

CuadriláteroPentágonoHexágonoHeptágonoOctógonoEneágono

DecágonoOndecágono

DodecágonoTriskaidecágonoTetradecágonoPentadecágonoHexadecágono

HeptadecágonoOctodecágonoEneadecágono

DECENAS Y UNIDADES

304050607080

20 Icosa-Triaconta-Tetraconta-Pentaconta-Hexaconta-Heptaconta-Octaconta-Eneaconta-90

3456789

12

-hená- / -monó--dí--trí-

-tetrá--pentá--hexá--heptá--octá--eneá-

100

100010000

Hectógono / Hectágono

KiliágonoMiriágono

kay -gono

OTROS

PARTES DE UN POLÍGONO

LADO: Cada uno de los segmentos quecomponen el polígono.

VÉRTICE:Es el punto en el que se unen doslados consecutivos.

DIAGONAL: Segmento que une dos vértices noconsecutivos. Algunos polígonos tienen diagonalmayor y diagonal menor.

PERÍMETRO: Es la suma de todos los lados.

En un polígono regular además encontramos:

CENTRO: Es el punto equidistante de todos losvértices y lados. En el se encuentra el centro delas circunferencias inscrita y circunscrita.

APOTEMA: Es el segmento que une el centrodel polígono con el punto medio de los ladosperpendicularmente.

LADO

DIAGONAL MENOR

DIAG

ONA

L M

AYO

R

APOTEMA

CENTROVÉRTICE

COPIA DE POLÍGONOS: Por triangulación y por copiade ángulos y segmentos, por radiación y por coordenadas.

DADO EL CUADRILÁTERO ABCD, COPIARLO A PARTIR DE A': Por copia de ángulos y segmentos

A

B C

D A'

B' C'

D'

A

B C

D A'

B' C'

D'

DADO EL CUADRILATERO ABCD, COPIARLO A PARTIR DE A': Por triangulación

Cualquier polígono de más de tres lados puede ser descompuesto en triángulos. Por esto, podemos descomponerel polígono que queremos copiar en los triángulos que proceda y copiar el polígono copiando los triángulos uno auno. De este modo evitamos emplear el procedimiento de copia de ángulos que es algo impreciso si no somos muycuidadosos y podemos copiar el polígono empleando unicamente la copia de los lados de los triángulos.

Primero copiamos el triángulo ABD a partir deA'. Una vez hecho esto copiaremos el triánguloBCD sobre el lado B'C'

DADO EL HEXAGONO IRREGULAR ABCDEF, COPIARLO A PARTIR DE A': Por radiación

Simplemente debemos emplear losprocedimientos de copia de ángulos y copiade segmentos para copiar el polígono a partirdel punto dado.

A

B

C

D

O

EF

A'

B'

C'

D'

O

E'F'

En este caso se trata de situar uncentro a partir del cual se trazanrádios hasta los vértices delpolígono.Con ello trazaremos otro centro ycopiaremos las magnitudesangulares entre los radios paradespues copiar las distanciasentre el centro y los vértices.NOTESE como solo se traza unacircungerencia para copiar lasmagnitudes angulares, esta debetener igual radio en el enunciadoy en el resultado.

DADO EL CUADRILATERO ABCDE, COPIARLO A PARTIR DE O':Por Coordenadas

A

B

C

D

O

Cy

Y

X

Dy

By

Bx Cx Ax Dx

A

B

C

D

O

Cy

Y

X

Dy

By

Bx Cx Ax Dx

Consiste en trazar dos ejes de coordenadas.Estos deben de formar un ángulo de 90º y silos hacemos coincidir con dos vértices delpolígono ahorraremos algún paso.Proyectaremos los vértices del polígonoortoganalmente sobre cada eje decoordenadas para después copiar lasmagnitudes de los segmentos para construirde nuevo el polígono.

IGUALDAD

Dos figuras son iguales cuando mantienen la misma forma y el mismo tamaño. Dos figuras sigualessiempre tendrán el mismo area. Para los polígonos la igualdad implica: mimas magnitudes ángularesen los vértices, misma magnitudes de los lados y por lo tanto igual superficie.

Nº Lista y grupo

Apellido Apellido, Nombre

Título de la lámina

Fecha

COPIA DE POLÍGONOS

DADO EL CUADRILÁTERO ABCD, COPIARLO A PARTIR DE A': Por copia de ángulos y segmentos

A

B C

D A'

A B

CE

A'

DADO EL POLÍGONO ABCD, COPIARLO A PARTIR DE A': Por triangulación

DADO EL HEXAGONO IRREGULAR ABCDEF, COPIARLO A PARTIR DE A', CON LOS CENTROS O y O' DADOS:Por radiación

A

B

C

D

O

E

F

O'

DADO EL CUADRILATERO ABCDE, COPIARLO A PARTIR DE O':Por Coordenadas

A

B

C

D

D

O O

Polígonos Estrellados.

Los polígonos estrellados se obtienen uniendo de forma constante y no consecutiva los vérticesde los polígonos regulares.Según el número de vértices que tenga el polígono no estrellado podremos obtener ninguno, unoo varios polígonos estrellados:

Estrellar un polígono consiste en prolongar sus lados para que se corten nuevamente entre sí, asíse obtiene un nuevo polígono con forma de estrella.

nº devértices

nº deestrellas

forma de unirlos vértices

56789

10111213

15... ... ...

1 20212

14

-2-33

2-42 3-44 2-3-4-5

51

4

54

2-3-4-5-63-4-5-62-4-6-7

Para ilustrar el cuadro de la izquierda tomamos el ejemplo del eneágono, del cualpodemos obtener hasta cuatro estrellas dependiendo del número de vértices quesaltemos.Uniendo vérticessaltando al segundo.

Uniendo vérticessaltando al cuarto.

Uniendo vérticessaltando al tercero.

Uniendo vérticessaltando al quinto.

En algunos casos al unir los vértices de forma alterna podemosencontrarnos con que en realidad inscribimos otros polígonosconvexos dentro del polígono inicial. En esos casos noobtendremos verdaderos polígonos estrellados sino FALSASESTRELLAS.

FALSAS ESTRELLAS

La estrella de David. Falso Octógono estrellado.

Se definen por N/M siendo N el numero de vértices polígono del regular convexoy M el salto entre vértices. N/M ha de ser fracción irreducible, de lo contrario nose genera el polígono estrellado que indica la fracción.

11/2 11/3 11/4

11/5

ESTRELLAR POLÍGONOS

1 2

3

A la izquierda podemos ver el procesode estrellar un pentágono.Para este polígono solo podemosestrellarlo una vez, pues el pentágonoúnicamente genera un polígonoestrellado.Al pentágono estrellado también se lellama generalmente PENTAGRAMA opentáculo y es una figura muysignificativa simbólicamente, sobre todopor contener la proporción divina ocultaen sus medidas

polígonogenerador

lado del polígono estrellado

Estrellar un polígono consiste en prolongar sus lados para que se corten nuevamente entre sí, asíse obtiene un nuevo polígono con forma de estrella.

Si estrellamos un polígono convexoobservamos que la primera estrella quese genera es la que se produce al saltarel menor número de vértices. Sicontinuamos estrellándola conseguiremosla segunda estrella. Y así sucesivamentepodremos dibujar, unas dentro de otras,todas las estrellas posibles que dichopolígono nos ofrece. Lo mismo ocurre siinscribimos la estrella empezando por elmáximo salto de vértices (procedimientoinverso).

Para saber cuantos polígonos estrellados es posible inscribir en un polígono convexo:n es el nº de vértices del polígono regular convexo.Es posible construir tantos polígonos estrellados como números enteros hay, menores que su mitad (n/2) y primoscon n.Ejemplo: Eptágono (7 lados), su mitad es 3,5 y los numeros enteros menores de 3,5 primos son el 2 y el 3. Entoncespodemos unir los vértices

Nº Lista y grupo



Fecha

Polígonos Estrellados

Pentágono: Paso 2

Heptágono: Paso 2 y Paso 3

Endecágono: Paso 2, Paso 3, Paso 4 y Paso 5

INCENTRO: Intersección de las bisectrices, centro de la circunferencia inscrita

CIRCUNCENTRO:Punto de corte de mediarices, centro de circunferencia circunscrita

BARICENTRO: Intersección de las medianas, centro de gravedad del triángulo

ORTOCENTRO: Intersección de las alturas

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS:Según sus lados

Según sus ángulos

Equilátero:los tres ladosiguales

Isósceles:dos ladosiguales

Escaleno:tres ladosdesiguales

Recto:un ángulorecto(90º)

Acutángulo:tres ángulosagudos

Obtusángulo:un ánguloobtuso

BISECTRIZ: Es la recta que divide los ángulos o vérticesdel triángulo en dos mitades iguales. Tambien es la rectacuyos puntos equidistan de los lados de un ángulo. Porlo tanto el incentro está a la misma distancia de los treslados del triángulo.

MEDIANA: Es la recta de un triángulo que parte de unvértice al punto medio del lado opuesto.Todas las medianas, al ser dividas en tres partes iguales,el baricentro siempre se situa a un tercio del lado y ados tercios del vértice.

MEDIATRIZ: es la recta que divide los lados del triángulo endos mitades iguales, también equidista de los vértices. Por lotanto el circuncentro equidista de los tres vértices del triángulo.

ALTURA: La altura en un triángulo (y en cualquier polígono)es la recta que parte de un vértice perpendicular al ladoopuesto

TEOREMAS FUNDAMENTALES O PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS1º-La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es de 180º2º-Todo ángulo exterior de un trángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.3º-La suma de los tres ángulos exteriores de un triángulo es igual a 360º.4º-En todo triángulo isosceles, a lados iguales se poponen ángulos iguales.5º-En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo6º-En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos, pero menor que su diferencia.

Triángulos: Clasificación, Teoremas y rectas notables

TRIÁNGULO: Superficie plana limitada por tres segmentos o lados que se cortandos a dos en tres vértices.NOMENCLATURA: Los vértices se nombran con letras minúsculas y los lados conletras mayúsculas empleando la misma letra que el vértice opuesto.

C A

B

a

b

c

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES

TRIÁNGULO PODAR RESPECTO A UN PUNTO P:

Triángulos: Triángulos podar, complementario y órtico.Recta de Euler y Exincentros

El triángulo podar de otro respecto a unpunto es aquel que surge unir los piesde las perpendiculares desde el puntoa los lados del triángulo

TRIÁNGULO ÓRTICO

El triángulo Órtico de otro es aquel quesurge de unir los pies de las alturas delprimero. El incentro del triángulo órticoes el ortocentro del primero.

TRIÁNGULO COMPLEMENTARIOEl triángulo complementario de otroes aquel que surge de unir lospuntos medios de los lados delprimero.

RECTA DE EULER

i

o

c

b

En el triángulo equilátero todos lospuntos y rectas notables soncoincidentes.En el resto de triángulos se cumplesiempre que ortocentro, baricentroy circuncentro están alineados enla llamada recta de Euler.

EXINCENTROS: CIRCUNFERENCIAS EXINSCRITAS

Encontramos el incentroen la intersección de lasbisectrices de losángulos interiores deltriángulo y esta es elcentro de lacircunferencia inscrita

Prolongando los lados del triángulo ytrazando las bisectrices de los ángulosexteriores encontramos los exincentros.

Los exincentros son los centros de lascircunferencias tángentes, exteriores a lostres lados del triángulo

A B

A C

Construcción de un triángulo isósceles conocida la base AB y la altura h :

A B A C B C

Triángulos: Construcciones 1

Construcción de un triángulo conocidos sus tres lados:

3º Con radio BC y centro en B trazamos otro arco. 4º La intersección de ambos arcos es el vértice C.A B A B

AC

A B

BC

1º Sobre una recta r se copia el segmento AB.2º Con radio AC y centro A trazamos otro arco.

A B

C1 2 3 4

Construcción de un triángulo equilátero conocida la altura: 1º Trazamos una recta horizontal donde situaremos la base del triángulo. A partir de esta trazamos una perpendicular y sobre ella copiamos la altura dada.2º Dividimos la altura en tres partes iguales.3º Haciendo centro en la primera división de la altura, con radio hasta el extremo superior de esta trazamos una ciurcunferencia.4º Los puntos donde la circunferencia corta a la recta de la base seran los

extremos de esta. Trazamos el triángulo.

1 2 3 4

1º Trazamos una recta horizontal donde situaremos la base del triángulo AB. A partir de esta trazamos la mediatriz y sobre ella copiamos la altura dada.2º Dividimos la altura en tres partes iguales.

A B

h

1 2

Construcción de un triángulo isósceles conocidos los lados iguales BC y la altura h:B C

1º Trazamos una recta horizontal donde situaremos la base. A partir de esta trazamos una perpendicular y sobre ella copiamos la altura dada.2º Con centro en el extremo superior de la altura y radio igual al lado dado trazamos un arco que corta a la primera recta en dos puntos que serán los extremos de la base.3º Trazamos el triángulo.

h

1 2 3

A B h

h

Construcción de un triángulo conocidos dos lados AB y BC y la mediana correspondiente a AB:

M C

A M B A M B A M B

1 2 3 1º- Trazamos la mediatriz de AB encontrando el punto M.2º- A partir del segmento AM, empleando las magnitudes del lado AC y mediana MC, trazamos el triángulo AMC.3º- Trazamos el triángulo ABC.

C C

Construcción de un triángulo conocido el lado AB el angulo adyacente a y el ángulo opuesto c :A B

a c

A Ba

A B

x

ca

A B

x

ca

1

2 3

1º- A partir con vértice en el extremo A del lado dado copiamos el ángulo a.2º- Sobre un punto cualquiera (x) del lado del ángulo copiado, copiamos el ángulo c.3º- Trazamos una paralela a ese tercer lado pasando por B para obetener el punto C y trazamos el triángulo.

NOTA: Podemos sustituir el 2º y 3er pasosde este método por la construcción del arcocapaz del ángulo c del segmento AB. dondeeste corta a la recta oblicua encontraremosC. (Dibujo a la deerecha).

C

A Ba

C

Construcción de un triángulo isósceles conocida la base AB y el ángulo opuesto:A B

1º- Trazamos el arco capaz de dicho ángulo.2º- El punto donde la mediatriz (que ya hemos trazado para averiguar el centro del arco) corta al arco capaz es el vértice superior del triángulo.

1 2

Triángulos: Construcciones 2

1º Trazamosla mediatriz del segmento AB y con centro en el punto medio la semicircunferencia de diametro AB. ( Arco Capaz de 90º del segmento AB). La intersección de la mediatriz con la semicircunferencia es el punto C.2º- Trazamos el triángulo.

Construcción de un triángulo isósceles conocida la magintud de los lados iguales, AB, y el ánguloa comprendido entre ambos.

Construcción de un triángulo isosceles conocida la suma de uno de los lados iguales y la base, MD, y el ángulo c comprendido entre los lados iguales.

M D

c

Construcción de un triángulo isósceles conocido el semiperímetro sp y su altura MC.

sp

M C

Construcción de un triángulo isósceles rectángulo a partir de AB, base del triángulo, siendo C elvértice opuesto a AB el ángulo recto.

A B

A B

a

A B

a

A B

a 1º- A partir de A copiamos el ángulo a.2º- Con centro en A y radio AB trazamos un arco que corta al otro lado del ángulo en C.

C

r

1º- Sobre una recta r que contendrá la base AB situamos perpendicularmente el segmento h+c. A partir de su extremo superior copiamos el ángulo c. Trazamos su bisectriz y a la mitad del ángulo obtenida trazamos su bisectriz que corta en A a la recta r. Trazamos el simétrico de A respecto al eje de simetría h+c obteniendo B.2º- Trazamos la mediatriz de la bisectriz DA obteniendo sombre el segmento MD el punto C.3º- Trazamos el triángulo.

r

c

M

D

A B A B

C

1 2

1 2 3

A B A B

C

rr spM

C

rBA

C

1º- Sobre una recta r, construimos el triángulo rectangulo de catetos sp y CM.2º- Trazamos la mediatriz a la hipotenusa, obteniendo el punto B. Con centro en M trasladamos la magnitud MB alotro lado de la recta r, obteniendo el vértice A.3º- Unimos A, B y C para dibujar el triángulo buscado.

1 2

1 2 3

A A B

A B B C

Construcción de un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa h y un cateto AB: A B

B

A

CC

h1 2 3 1º- Trazamos una semirecta y por su extremo

levantamos una perpendicular. Sobre esta copiamos la medida del cateto AB.2º- Con centro en B (extremo superior del cateto) y radio h trazamos un arco que corta a la semirecta en C, tercer vértice del triángulo.3º- Trazamos el triángulo.

Construcción de un triángulo rectángulo conocido el cateto AB y el ángulo opuesto:A B

A B

x

A B

x

A B

C

C

A B1

2

3

1º-Copiamos el segmento AB sobre una recta horizontal. Desde el extremo A levantamos una perpendicular.2º- Sobre esa perpendicular elegimos un punto x y con este como vértice copiamos el ángulo dado.3º- Trazamos una paralela al lado oblícuo del ángulo copiado pasando por el punto B. En la intersección de esta paralela con la primera perpendicular encontramos el punto C y ya podemos trazar el triángulo.

OTRO MÉTODO: Podemos sustituir los pasos 2º y 3º por el trazadodel ARCO CAPAZ del ángulo dado sobre el segmento AB.

A B

Triángulos rectángulos: Construcciones

Construcción de un triángulo rectángulo conocido un cateto y el ángulo adyacente no recto:

1 23

1º-Copiamos el segmento AB sobre una recta horizontal. Desde el extremo A levantamos una perpendicular.2º-A partir del extremo B copiamos el ángulo dado. A B A B

A B3º-El punto intersección entre el lado del ángulo copiado y la perpendicular por A es C. Trazamos el triángulo.

Construcción de un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa AB y el cateto BC:

A B A B

C

A B

C

El ángulo opuesto a la hipotenusa en un ángulorecto es siempre recto. El arco capaz de 90º decualquier segmento es la semicircunferencia.1º- Hayamos el punto Medio y trazamos la semicircunferencia del segmento AB.2º- Con centro en B y radio BC trazamos un arco que corta a la semicircunferencia en el pto C.3º- Trazamos el triángulo ABC.

1 2 3

Construcción de un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa h y la suma de los catetos b+c :h

C B

b+c

h h

b+c45º

1 2 3 4

b+c

C

C

1º- A partir de un extremo del segmento b+c trazamos una recta a 45º.2º- Con centro el otro extremo y radio h trazamos un arco que corta a la recta 45º en dos puntos que son dos soluciones (dos posibles vértices C)

3º- A partir de los puntos C (o uno de ellos) trazamos una perpendicular con el segmento b+c. el punto donde esta lo corte tendremos el tercer vértice (A) del triángulo. (obtenemos dos soluciones que cumplen los datos del enunciado.

Construcción de un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa BC y sobre esta el punto H por donde pasa la bisectriz del ángulo recto del triángulo (selectividad Valencia, 2010):

B H C B H C

1 2Podemos sospechar que necesitaremos hayar el arco capaz de90º o de 45º ya que sabemos que el vértice buscado será de90º. Con esto podemos resolver el problema de dos formas:

1º- Trazamos el arco capaz de 90º del segmento BC y el de 45º de HC (donde ambos se cortan se encuentra la solución).

2º- Trazamos dos arcos capaces de 45º uno para el segmento BH y el otro para el HC.

B H C

Nº Lista y grupo



Fecha

Triángulos: Puntos notables y construcciones

Traza el INCENTRO de este triángulo y la circunferenciaINSCRITA

Traza el CIRCUNCENTRO de este triángulo y lacircunferencia CIRCUNCRITA

Traza el INCENTRO de este triángulo. Traza el ORTOCENTRO de este triángulo.

Determina el incentro, ortocentro, baricentro y circuncentro de este triángulo. Traza su circunferencia inscrita,circuncrita y su recta de Euler

Nº Lista y grupo



Fecha

Triángulos:Complementario, Podar, Órtico y Exincentros.

Traza el triángulo podar al triángulo del punto dado. Traza el triángulo complementario del dado.

Traza el triángulo órtico del triángulo dado. Traza el triángulo del cualel dado es el triángulo órtico.

Traza la circunferencia inscritas y las exinscritas al triángulo dado

Nº Lista y grupo



Fecha

B C

Construye el triángulo dados sus lados AC, BC(a partirde AB dado):

Construye un triángulo equilátero dada su altura:

A C B C

A B

Traza el triángulo isósceles conocida la base AB y laaltura h :

h

A B

Traza con base en r un triángulo isósceles dados los lados iguales BC y la altura h:

h

r

A partir de AB, traza el triángulo isósceles conocido lamagintud de los lados iguales, AB, y el ángulo a comprendidoentre ambos.

A B

a

A partir de r, trazar el triángulo isosceles conocida la sumade uno de los lados iguales h+c y la base y el ángulo acomprendido entre los lados iguales.

r h+c

a

Sobre la recta r, traza el triángulo isósceles conocido elsemiperímetro sp y su altura MC.

r

spM C

Traza un triángulo isósceles rectángulo a partir de AB, basedel triángulo, siendo C el vértice opuesto a AB el ángulorecto.

A B

Construcción de Triángulos:Equilátero, Isósceles y Escaleno

Nº Lista y grupo



Fecha

A C

Traza sobre la base AB un triángulo isósceles cuyo ánguloopuesto o vértice superior sea igual al dado:

A B

Construye un triángulo de base AB conocidos dos ladosAB y BC y la mediana MC correspondiente a AB:

A B

Construye un triángulo sobre el lado AB cuyo ángulo adyacente sea (a) y el ángulo opuesto (c) :

(a)

(c)

A B

M C

Traza un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa h yel cateto AB:

A B

h

B C

Traza un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa ABconociendo también el cateto BC:

A B

Traza el triángulo rectángulo sobre cateto AB dado con el vértice opuesto (c):

A B

(c)

Traza el triángulo rectángulo sobre la hipotenusa BCsabiendo que sobre el punto H pasa la bisectriz delvértice opuesto a BC. (selectividad Valencia, 2010):

B H C

Traza un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa h yla suma de los catetos CB:

hC B

Construcción de Triángulos:Isósceles, rectángulo y escaleno


Triángulos: Puntos y rectas notables

Traza el INCENTRO de este triángulo y la circunferenciaINSCRITA

Traza el CIRCUNCENTRO de este triángulo y lacircunferencia CIRCUNCRITA

Traza el INCENTRO de este triángulo. Traza el ORTOCENTRO de este triángulo.

Determina el incentro, ortocentro, baricentro y circuncentro de este triángulo. Traza su circunferencia inscrita,circuncrita y su recta de Euler

i

o

c

b

Par

a ca

da p

unto

not

able

se

han

traz

ado

las

tres

rec

tas

corr

espo

ndie

ntes

. No

obst

ante

dos

de e

llas

para

cad

a pu

nto

son

sufic

ient

es p

ara

dete

rmin

arlo

. La

circ

unfe

renc

ia In

scrit

ane

cesi

tarí

a ad

emás

las

rect

as p

erpe

ndic

ular

es a

cad

a la

do p

asan

do p

or e

l inc

entr

o pa

rade

term

inar

lso

punt

os d

e ta

ngen

cia

con

los

lado

s de

l triá

ngul

o.


Triángulos:Complementario, Podar, Órtico y Exincentros.

Traza el triángulo podar al triángulo del punto dado. Traza el triángulo complementario del dado.

Traza el triángulo órtico del triángulo dado. Traza el triángulo del cualel dado es el triángulo órtico.

Traza la circunferencia inscritas y las exinscritas al triángulo dado


B C

Construcción de Triángulos:Equilátero, Isósceles y Escaleno

Construye el triángulo dados sus lados AC, BC(a partirde AB dado):

Construye un triángulo equilátero dada su altura:

A C B C

A B

Traza el triángulo isósceles conocida la base AB y laaltura h :

h

A B

Traza con base en r un triángulo isósceles dados los lados iguales BC y la altura h:

h

A partir de AB, traza el triángulo isósceles conocido lamagintud de los lados iguales, AB, y el ángulo a comprendidoentre ambos.

A B

a

A partir de r, trazar el triángulo isosceles conocida la sumade uno de los lados iguales h+c y la base y el ángulo acomprendido entre los lados iguales.

r h+c

a

Sobre la recta r, traza el triángulo isósceles conocido elsemiperímetro sp y su altura MC.

r

spM C

Traza un triángulo isósceles rectángulo a partir de AB, basedel triángulo, siendo C el vértice opuesto a AB el ángulorecto.

A B


A B

A C

Traza sobre la base AB un triángulo isósceles cuyo ánguloopuesto o vértice superior sea igual al dado:

A B

Construye un triángulo de base AB conocidos dos ladosAB y BC y la mediana MC correspondiente a AB:

A B

Construye un triángulo sobre el lado AB cuyo ángulo adyacente sea (a) y el ángulo opuesto (c) :

(a)

(c)

A B

M C

Traza un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa h yel cateto AB: h

B C

Traza un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa ABconociendo también el cateto BC:

A B

C

traza eln triángulo rectángulo sobre cateto AB dado cony el ángulo opuesto (c) dado:

C

A B

(c)

Traza el triángulo rectángulo sobre la hipotenusa BCsabiendo que sobre el punto H pasa la bisectriz del ángulorecto del triángulo (selectividad Valencia, 2010):

B H C

Traza un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa h y la suma de los catetos CB:

hC B

A A B

C

C

Construcción de Triángulos:Isósceles, rectángulo y escaleno

CUADRILATERO: Es un polígono que tiene cuatro lados, cuatro vértices y dos diagonañes.-La suma de sus ángulos interiores es igual a 360º.-Las suma de sus ángulos exteriores es igual a 360º.

CLASIFICACIÓN:

PARALELOGRAMO: Es un tipo especial de cuadriláteros los cuales tiene los lados paralelos dosa dos.

CUADRADO:cuatro ánguloscuatro lados iguales

RECTÁNGULO:cuatro ángulosrectos(90º).ladosiguales dos a dos.

ROMBO:Lados igualesángulos iguales dos a dos.Diagonal mayor y otramenor se cortan en putos.medios formando 90º.

ROMBOIDE:Lados iguales dos a dosángulos iguales dos a dos.lados iguales yparalelos dos a dos

TRAPECIO: Cuadrilátero que tiene dos lados opuestos paralelos

PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS:- En todo paralelogramo los ángulos y lados opuestos son paralelos (igual medida).- Tienen dos pares de lados opuestos paralelos.- Las diagonales se cortan en su punto médio.- Dos ángulos contiguos son suplementarios (suman 180º).

CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE:Un cuadrilatero si todos sus vértices puede pasar unacircunferencia.Un cuadrilátero es inscriptible si sus ángulos internos opuestos sonsuplementarios:A+C=B+D=180ºCUADRILÁTERO CIRCUNSCRIBIBLE:Un cuadrilátero es circunscribible si puede conterener unacircunferencia tangente a todos sus lados.Un cuadrilátero es circunscribible si la suma de sus lados opuestos es iguala+c=b+d

A B

CD

POLÍGONOINSCRITO

POLÍGONOCIRCUNSCRITO

a b

cd

TRAPECIO ISOSCELES:dos lados paralelosdos lados igualesdos diagonales iguales

TRAPECIO RECTÁNGULO:Dos ángulos rectosDos ladosparalelos

TRAPECIO ESCALENO:dos lados paraleloslados y ángulos desiguales

TRAPEZOIDE:ángulos desigualeslados desiguales yno paralelos

LOS CUADRILATEROS:Clasificación y Propiedades

1º-Trazamos una semirecta, situando el punto A y a partir de este los segmentos AB y AC superpuestos.2º- Trazamos la mediatriz de CB, encontrando el pt.o D, Con centro en este trazamos la semicircunferencia de diámetro CD encontrando el pto. E sobre la mediatriz trazada.3º- Con radio DE y centro en A trazamos un arco, otro con centro en E y radio AD, donde se cortan encontramos el punto F, cuarto vértice.4º- Unimos A-D-E-F.

A B

A C

RECTÁNGULOS: Construcciones

A B A DConstrucción de un rectángulo conocidos sus lados:

1 2

3 4

1º- Por un extremo del segmento AB trazamos una perpendicular y copiamos sobre ella el segmento AD.2º- Con centro en B trazamos un arco de radio AD.3º- Con centro en A trazamos un arco de radio AB. Encontrando el punto C. Trazamos el rectángulo.

A B

D D C

1 2 3

Construcción de un rectángulo conocido un lado AB y la diagonal AC:A C

A C

B

D

A C

B

D

1º- Trazamos la mediatriz de la diagonal Ab y desde el punto medio trazamos la circunferencia de la cual es diámetro.2º- Con radio AB y centros A y C trazamos dos arcos que cortan a la circunferencia en B y D3º- Trazamos el rectángulo.

1 2 3

Construcción de un rectángulo conocida la suma de dos lados AE y la diagonal AC:A E A C

1º- Trazamos desde el extremo E una recta que forma 45º con el segmento AE. Con centro en el extremo A y radio AC trazamos un arco que corta a la recta con 45º en el punto C.2º- Desde C trazamon una perpendicular a AE, cortándolo en B.3º- Con centro en A y radio BC trazamos un arco. Trazamos otro con centro en C y radio AB. Obtenemos el punto D.4º- Unimos AB, BC, CD y DA para dibujar el rectángulo.

A E A B E

C

45º

Construcción de un rectángulo conocida la suma de dos lados AB y la diferencia de estos AC:

2

A C A B

A C D B

E

A C D B

EF

A C D B

EF

A C B

1

3 4

Construcción de un rectángulo dados el lado AB y la suma del otro lado y la diagonal ,AE:

A D A E

A B E

D

A E

D D C

A B E

1 2 3

1º- Trazamos un triángulo rectángulo con los segmentos dados como catetos. La suma del lado con la diagonal será la base.2º-Trazamos la mediatriz de la hipotenusa, el punto de corte de esta con la base será el tercer vértice del rectángulopedido.3º- Por D trazamos paralela a AE y por B paralela a AD.

Construcción de un rectángulo conocida la diferencia entre la diagonal y la base, AE, y la altura, AD:A DA E

B A E

D

A E

D C D

B A E

1 23

1º- Construimos un triángulo rectangulo con los catetos formados por los segmentos conocidos. AE sera la base y AD (la altura) quedara en vertical.2º- Trazamos la mediatriz de la hipotenusa con lo que encontraremos el punto B en la intersección con la prolongación de AE.3º- Trazamos una paralela a AD por B y trazamos otra paralela a BA por D.

- Sean dos segmentos a averiguar, AD y DE.- La suma de los dos será s = AD + DE.- La diferencia de ambos es d = AD - DE- Si restamos la diferencia, d, a la suma, s, queda s - d = (AD + DE) - (AD - DE) = = AD + DE - AD + DE = (AD - AD) + (DE + DE) = 0 + 2·DE = 2·DE.

CONCLUSIÓN: La diferencia entre los segmentos suma y diferencia es igual al doble del segmento menorbuscado, s - d = 2·DE, luego el segmento menor buscado, DE, es la mitad (mediatriz) del segmento resultantede restar a la suma de los dos segmentos su diferencia.

A B

ROMBOS Y ROMBOIDES:: Construcciones

A CConstrucción de un rombo conocidos el lado AB y una diagonal AC:

1 2

3

1º- Tomamos como radio el lado AB y con centro en los extremos de la diagonal trazamos cuatro arcos. Obtenemos los ptos. A y B.2º- Unimos A-B-C-D para trazar el rombo.

1 2

Construcción de un rombo conocido un ángulo (a) y la diagonal AC:

Construcción de un rombo conocidas las diagonales AC y BD: A C B D

1º- Trazamos las mediatrices de ambas diagonales.2º- Sobre la mediatriz de AC y a partir del punto medio de la diagonal copiamos las dos mitades de la diagonal menor, obteniendo los puntos B y D sobre esta. Trazamos el rombo ABCD.

Construcción de un romboide conocidos sus lados AB y AD y un ángulo (a):

A C A C

A C

(a)A

C1 21º- Copiamos el ángulo (a), trazamos su bisectriz y sobre ella,a partir del vértice, copiamos la diagonal AC.2º- A partir de C trazamos paralelas al los lados del ángulo y prolongamos estos (si es necesario). Así obtenemos los puntos B y D. Trazamos el rombo A-B-C-D. (a)

A D

B C

A C

B D

A C

B

D

A B

A D(a)

(a)

B

A D

1 2

(a)

1º- Copiamos el ángulo (a) y sobre sus lados, a partir de A, copiamos los lados dados AB y AD.2º- A partir de B y D trazamos paralelas a los lados del ángulo. Donde Ambas se cortan tenemos el punto C. Trazamos el romboide ABCD.

EL PROCEDIMIENTO DE ESTE PROBLEMA ES EL MISMOPARA UN ROMBO DADO EL ÁNGULO Y SU LADO.

(a)A D

B C

Construcción de un romboide conocida sus altura h y sus lados AB y AD:A B

A D

h

A D

h

A D

hB C

A D

hB C

1 2

1º- Situamos el lado AC y trazamos una paralela a este a una distancia h.2º- Tomamos como radio de compás el otro lado, AB, y con centro en A y en D trazamos dos arcos que cortan a la paralela en B y C.3º- Trazamos el trapezoide ABCD.

SABEMOSQUE EN CUALQUIER PARALELOGRAMO LAS DIAGONALES SE CORTAN EN SUS PUNTOS MEDIOS

1º- Situamos la base AB. Trazamos las mediatrices de las diagonales AC y BD para conocer sus mitades.2º- Con centro en un extremo A de la base AB y radio AC/2 un arco. Con centro en D y radio DB/2 trazamos otro arco que corta al primero en O.3º- A partir de O copiamos el resto de las diagonales DB/2 y AC/2 para encontrar los puntos B y C.4º- Trazamos el romboide ABCD.

Construcción de un romboide conocida la base AD y las diagonales AC y DB:A DA C D B

D B A CDB/2 DB/2 AC/2 AC/2

A D A D

O

B C

A D

O

B C1 2 3 4

A DhA B

A DB C

A B

TRAPECIOS: Construcciones

D CConstrucción de un trapecio escaleno conociendo los cuatro lados:

A E B

D C

A E B

A E B1

2 3 4 5

1º- Situamos el segmento AB como base, sobre el y a partir de A copiamos el lado opuesto (paralelo) DC cortando la base en E.2º- Tomamos con el compás la medida del lado AD y con centro en E trazamos un arco. Tomamos la medida del lado BC y con centro en B trazamos un arco. obtenemos el punto C.3º- Trazamos el lado BC. el segmento EC es paralelo e igual al segmentoA.4º Con centro en C y radio DC trazamos un arco. Con centro en A y radio AD trazamos otro arco para obtener D.5º- Trazamos el trapecio escaleno ABCD.

A E B

C C

CA E B

D

Construcción de un trapecio escaleno conociendo sus bases (AB y DC) y sus diagonales (AC y BD):

D CA B

D BA CA B E A B E

C

A B E

D C

A B E

D C

1

2 3 4

1º- Situamos el segmento AB como base, lo prolongamos y a partir de B copiamos el lado opuesto (paralelo) DC cortando la prolongación en E.2º- Tomamos con el comás la medida de la diagonal AC y con centro en A trazamos un arco. Tomamos la medida de la diagonal BD y con centro en E trazamos un arco. Obtenemos el punto C.3º- Con centro en B trazamos un arco de radio igual a la diagonal BD. Y con centro en C trazamos otro arco con radio igual a la base superior DC. Obtenemos el punto D4º- Trazamos el trapedio ABCD.

EN AMBOS PROBLEMAS HEMOS REDUCIDO (SUMANDO LA BASE MENROR A LA MAYOR O RESTANDOLA) EL PROBLEMA A UNPROBLEMA SENCILLO DE TRIÁNGULOS. AL VOLVER AL PROBLEMA ORIGINAL ENCONTRAMOS LA SOLUCIÓN CONVIRTIENDO UNLADO DEL TRIÁNGULO INICIAL EN LA DIAGONAL (O EL LADO EN EL PRIMER PROBLEMA) DE LA SOLUCIÓN.

Construcción de un trapecio rectángulo a partir de A (vértice recto) conociendo la base mayor AB,la altura h y la diagonal AC:

A CA B

D C

A B

D C

A B

D

1º- Situamos el segmento AB como base. Por el extremo A levantamos una perpendicular y sobre esta copiamos h obteniendo de esta manera el punto D.2º- Por el punto D trazamos una recta paralela al segmento AB. Con centro en A y radio AC trazamos un arco que corta a la paralela (base superior) en C.3º- Trazamos el trapecio ABCD.

1 2 3

Construcción de un trapecio Isosceles conociendo la base mayor AB, la altura h, y la diagonal d:

A B

h

dD C

A BA BA BA B21 3 4 5

1º- Situamos el segmento AB como base.Trazamos una perpendicular, por ejemplo la mediatriz.2º- A partir del punto medio del segmento AB copiamos h.3º- Por el extremo superior de h trazamos una paralela al segmento AB.4º- Con radio igual a la diagonal dada y con centros en los extremos del segmento AB trazamos dos arcos que cortan a la paralela de la base, obteniendo los puntos C y D5º- Trazamos el trapecio ABCD.

Nº Lista y grupo



Fecha

A BA E

A D

Cuadriláteros: Construcciones de rectángulos y trapecios

Traza el rectángulo con lados AB y CD sobre el segmentoAB dado:

A B

A B

A C

Traza el rectángulo a partir de la diagonal AC conociendo un lado AB:

Traza el rectángulo dad la suma de dos lados AEy la diagonal AC (hazlo a partir del segmento AE superior):

A EA C

Traza el rectángulo dadas la suma de dos lados ABy la diferencia de estos AC: A C

A B

Traza el rectángulo dados el lado AB y la suma del otrolado y la diagonal ,AE:

A DA E

A E

Traza el rectángulo dadas la diferencia entre la diagonal y la base, AE, y la altura, AD: A D

A E

A E

A DB C

A B

D C

Sobre el lado AB construye un trapecio escalenoconociendo ese y los otros tres lados BC, CD y AD:

Sobre la base AB dada trazaun trapecio escalenodadas sus bases (AB y DC) y sus diagonales (AC y BD):

D C

A B

D BA C

Nº Lista y grupo



Fecha

A C

(a)

A

Construcciones de trapecios, rombos y romboides

h

A B

Sobre la base AB traza un trapecio rectángulo sabiendoque en A se encuentra el ángulo recto y conociendo dichabase AB, la altura h y la diagonal AC:

A C

Sobre la base mayor AB dada traza el trapecio Isoscelesdadas tambien la altura h, y la diagonal d:

A B

hd

A B

A C

Traza un rombo dado el lado AB y sobre la diagonal AC:

Traza un romboide sobre el lado mayor AD conocido este,su otro lado AB y un ángulo (a): A B

A D

(a)

Sobre la diagonal AC traza un rombo conocida su otradiagonal BD:

A C

B D

Sobre el lado AD traza un romboide conocida su altura hy sus lados AB y AD: A B

A D

h

A partir del punto A construye de un romboconocida su diagonal AC y el ángulo (a): (a)

Sobre la base AD traza un romboide conocidas lasdiagonales AC y DB:

A D

A CD B

Construcción de polígonos regulares dado el lado

Triángulo equilátero

Cuadrado

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octógono

Dado el lado a, construcción de polígonos regulares:

1º Desde un extremo del lado dado trazar un arco de igual radio al lado2º Desde el otro extremo repetir la operación3º El punto donde se curzan ambos arcos es el tercer vértice del triángulo. Unir este con los extremos dle segmento

1 2 3

1º Con compás, en el vértice1, trazamos 4 arcos del mismo radio que definirán 4 puntos2º Se une el punto 4 con el vértice 13º Con el compás: radio igual al lado y centro en el vértice 1 trazamos un arco que nos da el vértice 34º Con radio igual al lado dado trazamos dos arcos desde el vertice 3 y el 2 obteniendo el 4º vértice5º Se unen los vértices 3 y 2 con 4

1 2 3

1 1 1

3 3

2

44 5

1 2 3 4 5 6

1º Se traza la mediatriz del lado. Por el extremo derecho: se levanta una perpendicular y se prolonga el lado2º Desde el extremo derecho, con radio igual al lado trazamos un arco que corta a la perpendicular que hemos levantado antes3º Con centro en el punto medio del lado dado y radio MN trazamos un arco que corta a la prolongacion del segmento en D4º Con centro en el vértice 1, con radio 1D trazamos un arco que corta a la mediatriz en el punto 45º Con radio igual al lado dado trazamos arcos desde 1, 2 y 4 para obtener los vértices 3 y 56º Unimos los 5 vértices para obtener el pentágono

M

N

D

4

D1

4

1 2

35

1 2 3 4

1º Con Radio igual al lado dado se trazan dos arcos para obtener O2º Con centro en O y abriendo el compás hasta un extremo del lado dado trazamos una circunferencia3º Desde 3 y 6 con radio igual al lado dado trazamos dos arcos que sobre la circunferencia nos darán los puntos 4 y 54º Unimos los 6 puntos

O O

1 2

3

45

6

1 2 3 4 5 61º Trazamos la mediatriz delado dado y por un extremolevantamos una perpendicular2º por el otro extremo trazamosuna recta a 30º3º Desde el punto 1 con radio1A trazamos un arco que cortaa la mediatriz en el punto O

O A

1

4º Con centro en O y radio O1 Trazamos la circunferencia que encerrará (circunscribe) al Heptágono5º Tomamos el radio igual al lado dado y desde 1 y 2 trazamos arcos que nos daran los vértices 3,4,5,6 y 76º Unimos los 7 puntos

O

11 2

1 2 3 4 51º Se traza la mediatriz del lado dado y desde un extremo trazamos una recta a 45º para obtener A2º Con centro en A y radio A1 trazamos un arco que corta a la mediatriz en el punto O3º Con centro en O y radio O1 trazamos una circunferencia4º Tomando como radio el lado dado trazamos arcos sobrela circunferencia que nos darán los 6 vertices restantes5º Unimos los 6 puntos con el segmento.

A

1

A

O

1º- Trazamos un diámetro. 2º- Trazamos un diámetro perpendicular al primero. 3º- Hacemos la mediatriz de un radio obteniendo m4º- Con centro en m y radio ab trazamos un arco para obtener b => ab es el lado del pentágono inscrito.5º- Con radio ab empezando por a trazamos arcos sobre la circunferencia 6º- unimos los puntos de la circunferencia.

Dado el radio de circunferencia a (o la circunferencia con su centro), inscribir los polígonos regulares:

Triángulo equilátero

Cuadrado

Hexágono

Heptágono

1º- Trazamos un diámetro2º- Con centro en un extremo y radio igual al la cir. trazamos un arco3º-Unimos el otro extremo del diámetro con los dos puntos en la circunferencia que nos han dado los arcos.

1º- Trazamos un diámetro.2º- Trazamos un diámetro perpendicular.3º- Unimos los puntos de corte de los diámetros con la circunferencia.

Pentágono

1º- Trazamos un diámetro.2º- Con centro en un extremo y radio igual al la cir. trazamos un arco.3º- Repetimos la operación desde el otro extremo.4º- Unimos los puntos.

1º- Trazamos un diámetro horizontal.2º- Trazamos un diámetro perpendicular al primero.3º- Trazamos dos bisectrices a dos cuadrantes.4º- Hemos obtenido ocho puntos sobre la circunferencia, los unimos.

Octógono

1º- Trazamos un diámetro.2º- Trazamos un arco de igual radio a la cir. desde un extremo.3º- Unimos a con b obteniendo m. am es el lado del heptágono4º- Con arcos de radio ab trazamos arcos sobre la cir.5º- Unimos los puntos.

1 2 3

1 2 3

1 2 3 4 5

1 2 3 4

1 2 3 4 5

6

1 2 3 4

Construcción de polígonos regularesdada la circunferencia circunscrita

1 2 3

4 5 6 7

8

9 10

Construcción de polígonos de n lados dado el lado

Construcción de un polígono regulares de n (9) lados dado su lado:

1º Trazamos la mediatriz del segmento2º Desde un extremo del segmento y con radio igual a este. trazamos un arco que corta a la mediatriz3º Desde el punto obtenido en la mediatriz con el arco hacemos centro de compás abriendolo hasta no de los extremos del segmento y trazamos una circunerencia que debe de pasar por ambos extremos del segmento

Nos aseguraremos de que la mediatriz corte a la circunferencia por la parte superior. De estemodo la mediatriz ahora es un diámetro de la circunferencia. A continuación dividiremos el radiosuperior de este diámetro en seis partes iguales mediante Thales de Mileto.

6

12

789

6

101112

4º Trazamos un segmento auxiliar desde el extremo superior del diámetro5º dividimos el segmento auxiliar en seis partes iguales (con compás)6º Unimos el último extremo del seg. aux. con el centro de la circunferencia que será la parte nº 6, siendo el extremo superior del diámetro la parte nº 127º Trazamos paralelas por las marcas hechas sobre el segmento auxiliar obteniendo así las 6 divisiones buscadas.

En este caso buscamos un eneágono. Por ello haremos centro de compás en la división nº 9Si buscaramos un polígono de nº distinto de lados hariamos centro en la división del radio deigual numero

9

8º Hacemos centro en la división correspondiente con el numero de lados que buscamos. Abrimos el compás hasta uno de los extremos del segmento dado en el enunciado y trazamos una circunferencia. La circunferencia debe de pasar tambien por el otro extremo del segmento

9º Con ayuda del compás repetimos la medida del segmento dado en el enunciado sobre la circunferencia.

10º Finalmente podemos trazar el poligono de nueve lados que pide el enunciado.

Dado el radio de circunferencia a: construir un polígono regular de n (13) lados:

Construccíón de polígonos de n (13) ladosdada la cir circunscrita.

1º Trazamos una circunferencia con el radio que nos han indicado y trazamos un diámetro vertical DIVIDIMOS EL DIAMETRO EN TANTAS PARTES COMOLADOS QUEREMOS QUE TENGA EL POLIGONO2º Desde el extremo superior trazamos una semirecta auxiliar y la dividimos en tantas partes com queremos dividirel diámetro (podemos hacerlo con el compás o con la regla graduada)3º unimos el último extremo con el extremo opuesto del diámetro4º Trazamos paralelas por las divisiones del segmento auxiliar obteniendo la división del diámetro en n partesiguales

5º con radio igual al diámetro de la circunferencia y desde los extremos de este trazamos dos arcos que nos daranun foco6º desde el foco trazamos rectas por las divisiones pares. en los extremos contrarias de la circunferenciaobtendremos la mitad de los vertices de la solución. el punto 0 del diámetro tambien lo incluimos, aunque dadasu situación no hemos necesitado trazar una recta puesto que este ya se encuentra sobre la circunferencia

7º Repetimos la última operacion desde el lado contrario

8º Unimos todos los puntos obtenidos sobre la circunferencia, recordando contar con el punto 0 del diámetro

1 2 3 4

5 6

7

8

Polígono n lados dado el lado: POR HOMOTECIA

Dado el lado a, construir un polígono regular de n (9):Si no conocemos o no nos acordamos del procedimiento para resolver este problema podemosrecurrir a la homotecia para resolverlo. Necesitamos conocer, eso si, el procedimiento de construcciónde un polígono de n lados dada la circunferencia.1º- Trazamos una circunferencia cuyo rádio elegimos nosotros mismos. Tendremos que calcular a ojo quela circunferencia pueda albergar un polígono del numero de dados pedido y cuya magnitud del lado seamenor que la del lado que nos dan en el enunciado. Sobre esa circunferencia procederemos a trazar unpolígono con el numero de lados pedido. No llegaremos a trazar todo el polígono. Y

sólo trazaremos el primer haz proyectantesobre la circunferencia y el primer lado.

A partir de ahí, haciendo uso de la homoteciaconstruiremos el polígono que pide elenunciado.

Empleamos el centro de la cir. aux. (O) como centro de homotecia. El diámetro vertical esun radio de la operación.

1

2

3

2º- Nombramos los extremos del lado auxiliarque hemos conseguido 1-2. Buscamos el lado1'-2'.

-Para ello prolongamos 1-2 hasta hacerlocoincidir con la magintud del lado (a) delenunciado. (punto 3)

-Pasaremos otro radio de la homotecia por 2.

-Desde 3 una paralela al diámetro vertical paraencontrar 2'

-1' lo encontramos sobre el diámetro trazandodesde 2' una paralela al lado 1-2

1

O

2 3

1'

2'

3º- Con centro en O trazamos lacircunferencia que pasa por 1' y 2'. Con elcompás tomaremos la medida 1'-2' y larepetiremos sobre la circunferencia paraobtener los demás vértices.

Así pues hemos construido un polígonocon el numero de lados que nos pedíanpero de menor tamaño (no lo hemos llegadoa dibujar, solo hemos dibujado el primerlado).

Empleando el centro de la circunferenciacircunscrita como centro de homotecia,hemos ampliado el polígono hasta que lamagnitud del lado coincide con la delenunciado.

Nº Lista y grupo



Fecha

Polígonos dado el lado

Triángulo equilátero Cuadrado

Pentágono Hexágono

Heptágono Octógono

Dado el lado a, construir los polígonos regulares:

a a

a a

a a

Nº Lista y grupo



Fecha

Dado el radio de circunferencia a, inscribir los polígonos regulares:

Triángulo equilátero Cuadrado

Pentágono Hexágono

Heptágono Octógono

Polígonos dada la circunferencia

Nº Lista y grupo



Fecha

Dado el lado a, construir un polígono regular de n (9):

Dado el radio de circunferencia a:Construir un polígono regular de n (13) lados::

Costrucción de polígonos de n lados

a

a

a

polígonos

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